MECHANIKA 1. Egyenes vonalú mozgások 1.1. Fizikai mennyiségek, mérés, mértékegységek 1.2. Helymeghatározás 1.3. Egyenes vonalú mozgás 1.4. Átlagsebesség, sebesség-idő grafikon, megtett út kiszámítása 1.5. Egyenes vonalú egyenletes mozgás, a sebesség 1.6. Változó mozgás, pillanatnyi sebesség 1.7. Egyenletesen gyorsuló mozgás, gyorsulás 1.8. Gyorsuló mozgás kezdősebességről 1.9. Egyenletesen lassuló mozgás 1.10. Szabadesés, nehézségi gyorsulás 1.11. Összetett egyenes vonalú mozgások 1.12. Hajítás függőlegesen lefelé, felfelé 2. A tömegpont dinamikája 2.1. Testek kölcsönhatása, az erő, Newton I. törvénye 2.2. A kölcsönhatás törvénye, Newton III. törvénye 2.3. Az erő mérése 2.4. Newton II. törvénye, a tömeg, az erő egysége 2.5. A dinamika alapegyenlete 2.6. A nehézségi erő 2.7. Súrlódás, tapadási és csúszási súrlódás, gördülési ellenállás 2.8. Közegellenállás, szabadesés reális körülmények között 2.9. A mozgást segítő, illetve gátló erők 2.10. Testek mozgása lejtőn, a mozgás felbontása komponensekre 2.11. Az impulzus 3. Munka, energia, teljesítmény 3.1. A munka definíciója, köznapi jelentése, mértékegysége 3.2. A munkavégzés testek gyorsítása közben, gyorsítási munka 3.3. Mozgási energia, a munkatétel 3.4. Emelési munka, a nehézségi erő munkája 3.5. Változó erő munkája, rugalmas potenciális energia 3.6. A mechanikai energia megmaradásának tétele 3.7. A teljesítmény, a munkavégzés sebessége 4. Pontszerű és merev test egyensúlya 4.1. A pontszerű test egyensúlya 4.2. Az erő hatásvonala és támadáspontja 4.3. A forgatónyomaték 4.4. Az egymással szöget bezáró erők összegzése 4.5. A párhuzamos hatásvonalú erők összegzése 4.6. Az erőpár 4.7. A kiterjedt merev test egyensúlyának feltétele 4.8. A súlyvonal és a súlypont 4.9. Egyensúlyi helyzetek 4.10. Egyszerű gépek 4.11. Munkavégzés egyszerű gépekkel Mechanika összefoglaló BalaTom 1
5. Deformálható testek 5.1. Szilárd testek alakváltozásai 5.2. A rugalmas megnyúlás 5.3. Folyadékok tulajdonságai 5.4. Pascal törvénye és alkalmazásai 5.5. A hidrosztatikai nyomás törvénye 5.6. Arkhimédész törvénye 5.7. Molekuláris erők folyadékokban 5.8. A gázok tulajdonságai, a légnyomás 5.9. Folyadékok és gázok áramlása 5.10. A közegellenállás 6. Pontrendszerek dinamikája A Newton III. törvény már megfogalmazza azt a tényt, hogy az erők mindig kölcsönhatás során jönnek létre, azaz ha testek kapcsolatba kerülnek, akkor kölcsönösen hatnak egymásra. A kölcsönhatás mindkettőjük mozgását, egyensúlyát befolyásolja. Célunk, hogy egyszerre több test mozgását írjuk le, a köztük felismerhető kölcsönhatásokat is figyelembe véve. Általában az egymással valamilyen kölcsönhatásban lévő testek egy meghatározott csoportját rendszernek nevezzük. Ha ezek a testek a leírás szempontjából pontszerűek, akkor pontrendszerről beszélünk. Mindig a vizsgált probléma határozza meg a rendszerbe tartozó tárgyakat. (Pl.: állócsigán átvetett ideális fonál végén függő testek esetén a rendszer: az elhanyagolható tömegű csiga és a kötél és m1, m2 tömegű testek. A fölfüggesztés és a Föld a mozgás során nyugalomban maradnak, ezért nem soroljuk őket a rendszer tagjai közé) A pontrendszer tagjai között a kölcsönhatások során fellépő erőket belső erőknek, a pontrendszerhez nem tartozó testek által a rendszer tagjaira kifejtett erőket külső erőknek nevezzük. 6.1. A pontrendszer tagjainak mozgása Vízszintes asztallapon egy m1 és m2 tömegű kiskocsi áll. A két kocsit, hozzájuk képest elhanyagolható tömegű nyújthatatlan fonál köti össze. Az első kiskocsit egy a fonál egyenesébe eső F nagyságú erővel húzzuk.. Mekkora a kezdetben nyugalomban lévő kocsik gyorsulása, és mekkora az összekötő kötélben ébredő erő, ha a súrlódástól eltekintünk? A két kocsi együtt fog mozogni, mert össze vannak kötve, a nyújthatatlan kötél miatt az elmozdulásaik megegyeznek. Következmény (továbbiakban K:-al jelölöm!): pillanatnyi sebességük és gyorsulásuk is mindig megegyezik. Ezt a feltételt, mely szerint a két test gyorsulása egyenlő, kényszerfeltételnek nevezzük. Meg kell határoznunk az egyes kocsikra ható erőket. Az első kocsira: F húzóerő, m1*g nehézségi erő, az asztallap által kifejtett nyomóerő, és a kötél által kifejtett K kötélerő (kötél feszességéből következik). A nehézségi erő és a nyomóerő függőleges és ellentétes irányú, mivel a testek függőleges irányban nem gyorsulnak, ezért összegük nulla. Mechanika összefoglaló BalaTom 2
Ha ismerjük a testekre ható erőket, így alkalmazhatjuk rájuk a dinamika alapegyenletét, a test gyorsulását tekintjük pozitívnak (erők egy egyenesbe esnek, ezért nem vektorosan, hanem előjelesen dolgozunk velük): Első kocsi: 1. F-K1 =m1*a1 Második kiskocsi: 2. K2=m2*a2 Kényszerfeltétel: 3. a1=a2 Az összekötő kötél is mozog, valami gyorsítja: K1-K2 = ma, mivel a kötél elhanyagolható tömegű, így az m*a szorzat is elhanyagolhatóan kicsi, majdnem nulla, következésképpen: Kényszerfeltétel: 4. K1 = K2 Ez a négyismeretlenes egyenletrendszer az adott problémában a pontrendszer mozgásegyenletrendszere. Megoldás: F K =m1*a K=m2*a Összeadva: F=(m1+m2)*a, gyorsulás kifejezhető és beírva a második egyenletbe K-is! Az ilyen és ehhez hasonló pontrendszereken belül a mozgások leírásához a következőkre van szükség: 1. meg kell határozni a pontrendszer tagjaira ható erőket; 2. erők ismeretében fölírjuk a dinamika alapegyenletét minden egyes tagra; 3. kényszerek figyelembevételével megfogalmazzuk a kényszerfeltételeket; 6.2. A pontrendszer impulzusa Newton II. törvénye az eredeti formájában: F*Δt = ΔI, a pontszerű testre ható erő és az erőhatás idejének szorzata egyenlő a test impulzusának megváltozásával. Az F*Δt szorzatot erőlökésnek nevezzük. Ha fölírjuk a pontrendszer egyes tagjainak impulzusát és ezeket az impulzusokat mint vektorokat összegezzük, akkor a pontrendszer összimpulzusát kapjuk. A testek impulzusát az erők változtatják meg. Két csoport: belső erők, külső erők. A pontrendszer összimpulzusát belső erők nem változtatják meg (hatás ellenhatás törvény!). K: Amennyiben egy pontrendszer tagjaira csak belső erők hatnak, a pontrendszer összimpulzusa állandó. Az olyan pontrendszert, amelyben csak belső erők hatnak, zárt pontrendszernek nevezzük. Mechanika összefoglaló BalaTom 3
Impulzusmegmaradás tétele: Zárt pontrendszer összimpulzusa állandó. Impulzustétel: Pontrendszer összimpulzusának megváltozása egyenlő a pontrendszer tagjaira ható külső erők erőlökéseinek vektori összegével. (csónakban elmozduló ember, rakéta) 6.3. Az ütközésekről általában Egy kezdetben mozgó test sebessége nagyon rövid idő alatt megváltozik egy másik testtel való kölcsönhatás következtében. (biliárdgolyók, járművek, labda, hógolyó) (rövid idő, hanghatás, nagy erőhatás) Az ütközésben résztvevő test impulzusa az ütközés során megváltozik. Az impulzusváltozás kiszámítható az ütközés előtti és az ütközés utáni sebességekből. Nagy erőhatások ébrednek, hiszen az erőlökés időtartama nagyon rövid. K: a testre ható egyéb erők hatásai elhanyagolhatóak. K: az ütközés során érvényesül az impulzusmegmaradás tétele. Az ütközéseket 3 csoportba osztjuk: tökéletesen rugalmatlan ütközés (hógolyó) az ütköző testek sebessége az ütközés után megegyezik; az ütközés után a testek sebessége különböző, s az ütköző testek mechanikai energiájának egy része elvész, más energiává alakul (hő, hang) tökéletesen rugalmas ütközés: az ütközés során megmarad a mechanikai energia (ideális határeset elemi részecskék fizikája) Centrális egyenes ütközések: a testek sebességei egy egyenesbe esnek az ütközés előtt, és az ütközés után. 6.4. A tökéletesen rugalmatlan ütközés Az ütközés után azonos sebességgel haladnak tovább. Ebben az esetben az impulzusmegmaradás tétele azt jelenti, hogy az ütközésben résztvevő testek összimpulzusa az ütközés előtt, és az ütközés után egyenlő. u = (m1*v1+m2*v2)/m1+m2 A tökéletesen rugalmas ütközés során a mozgási energia nem marad állandó! A testek mozgási energiájának összege az ütközés során csökken. Nem vész el energia, csak a kezdetben meglévő mozgási energia hő fejlődésére, alakváltozásra, hanghatás energiájára fordítódik. 6.5. A tökéletesen rugalmas ütközés A testek összes mozgási energiája az ütközés előtt és az ütközés után megegyezik. Centrális ütközés! Teljesül az impulzus és a mozgási energia megmaradása is. u1 = ((m1-m2)v1 + 2m2v2)/m1+m2 u2 = ((m2-m1)v2 + 2m1v1)/m1+m2 Mechanika összefoglaló BalaTom 4
6.6. Munkatétel pontrendszerre A munkatétel pontszerű testre: A testre ható erők eredőjének munkája egyenlő a test mozgási energiájának megváltozásával. WF eredő = ΔEkin A pontrendszerre vonatkozó munkatétel: A pontrendszer összes mozgásienergia-változása egyenlő a külső és a belső erők munkájának összegével. (rugóval összekötött kiskocsik) Feladatmegoldáshoz: Wk + Wb = ΔEössz.kin A lendület vektormennyiség, így a rendszer teljes lendületének kiszámításakor a vektorösszeadás szabályait kell alkalmazni. (komponensek használata) Egy egyenes mentén mozgó testeknél a vektor jelleg előjeles mennyiségeket jelent. A rendszer lendülete megmarad, a teljes mozgási energia csak a tökéletesen rugalmas ütközéskor! 7. Görbe vonalú mozgások A görbe vonalú pályán történő mozgások általános tulajdonságait és feltételeit vizsgáljuk. Alkalmazzuk a vízszintes hajításra, valamint a körmozgásra. 7.1. A görbe vonalú mozgások általános jellemzői A sebesség vektormennyiség: a nagyságán kívül az irányát is ismernünk kell. A görbe vonalú mozgások esetén a pálya egy görbe vonal és ehhez képest kell megadnunk a sebesség irányát. Görbe vonalú pályán mozgó test esetén a sebesség iránya mindig a pálya érintőjének irányába mutat. Logikai igazolás: Ha a test sebessége nem érintő irányú lenne, akkor fölbonthatnánk egy érintő és egy merőleges komponensre. Ha van merőleges komponense, akkor elmozdul ebbe az irányba is, ami azt jelenti, hogy nem lehet az eredeti görbe a mozgás pályája. (Ilyen egyszerűen belátható a pillanatnyi sebesség definíciójából is!) A gyorsulás, annak a mértéke, hogy milyen gyorsan változik a sebesség. A görbe vonalú pályán mozgó test akkor is gyorsul, ha sebességének nagysága állandó. Az állandó nagyságú sebességgel, görbe vonalon mozgó tárgy gyorsulása nem a sebesség nagyságát változtatja meg, hanem a sebesség irányát. Ha viszont a sebesség nagysága nem változik, csak az iránya, a gyorsulás merőleges kell legyen a sebességre. A gyorsulásvektor abba az irányba mutat, amerre a pálya görbül. Mechanika összefoglaló BalaTom 5
Ha a test sebességének nagysága is változik, akkor a gyorsulásnak van érintő irányú komponense tangenciális gyorsulás, és van merőleges irányú komponense is normális gyorsulás. 7.2. A vízszintes hajítás Egy testet vízszintes kezdősebességgel hajítunk el a gravitációs térben. A pálya parabola, ha nem vesszük figyelembe a közegellenállást, egyébként ballisztikai görbe. A vízszintesen elhajított test az elhajítás után függőlegesen lefelé gyorsul, ezért a mozgását egy vízszintes és egy függőleges mozgásra bontjuk. A test vízszintes irányban mindvégig állandó sebességgel mozog. Függőleges irányban úgy mozog, mintha szabadon esne. A mozgást leírtuk, ha ismerjük adott pillanatban a helyét. x=v0*t y = g/2*t 2 A két egyenlet közti kapcsolat, hogy a mozgások azonos ideig tartanak. vx = v0 vy = g*t Pitagorasz-tétel segítségével a pillanatnyi sebesség számítható. Irányát szögfüggvények segítségével adhatjuk meg: tg α = vy/vx Mivel minden pillanatban ismerjük a vízszintesen elhajított test helyét, sebességét és gyorsulását, ismerjük magát a mozgást is. 7.3. A ferde hajítás A ferdén elhajított test mozgásának leírásához vízszintes és függőleges mozgásra bontjuk a repülést. Most a függőleges irányú mozgás nem szabadesés, hanem kezdősebességgel induló gyorsuló mozgás. A testet ferdén fölfelé hajítjuk v0 kezdősebességgel, a vízszinteshez képest α szög alatt. v0x = v0 * cos α v0y = v0 * sin α A gyorsulás minden pillanatban függőlegesen lefelé mutat. A test vízszintes irányú sebessége állandó marad. vx = vx0 = v0 * cos α vy = vy0 g*t = v0 * sin α g*t Pitagorasz-tétel segítségével a pillanatnyi sebesség számítható. Mechanika összefoglaló BalaTom 6
Irányát szögfüggvények segítségével adhatjuk meg: tg α = vy/vx A test helyének megadásához a koordinátáit kell meghatároznunk. x = (v0*cos α)*t y = (v0*sin α)*t g/2*t 2 7.4. A körmozgásról általában Ha egy test mozgásának pályája kör, körmozgásról beszélünk. A körmozgás görbe vonalú mozgás, és periodikus mozgás is. A periodikus mozgások törvényszerűségeit kifejező egyenletekben a szögek mérésére a fok helyett a radiánt használjuk. Az ív és a sugár hányadosa az α szög értékét radiánban adja meg. Egy test a Δt idő alatt befutja a körvonal egy di hosszúságú darabját, amelyet befutott ívnek nevezünk. A kör középpontjából a testhez húzott sugarat vezérsugárnak nevezzük. Mialatt a test di ív A pontjából a B végpontjába jut, a vezérsugár elfordul Δα-t. A Δα radiánban mért nagysága egy mértékegység nélküli arányszám: Δα = Δi/r mivel minden kör hasonló, ez az arányszám mindig ugyanakkora szöget jelöl. 180 = π radián A körmozgás és a forgómozgás leírása során a szögeket radiánban mérjük. 7.5. Az egyenletes körmozgás A test sebessége állandó nagyságú! A befutott ívdarabok hossza és a befutásukhoz szükséges idők egyenesen arányosak egymással. Egy test egyenletes körmozgást végez, ha mozgásának pályája kör, és a test által befutott ív egyenesen arányos a befutás idejével. 7.6. Az egyenletes körmozgást jellemző mennyiségek A keringési idő vagy periódusidő az egy kör megtételéhez szükséges idő. Jele: T, mértékegysége: s. A fordulatszám az időegység alatt befutott körök száma. Jele: n, mértékegysége: 1/s. A fordulatszám és a periódusidő szorzata: n*t = 1, a fordulatok száma t idő alatt: z = n*t. A periódusidő és a fordulatszám egymás reciprokai. A körpályán mozgó test sebességét kerületi sebességnek nevezzük: vk = Δi/Δt. Mechanika összefoglaló BalaTom 7
A keringési idő vagy fordulatszám ismeretében a kerületi sebesség: vk = 2rπ/T. Mivel Δi = r*δα, a kerületi sebesség vk = r*δα/ Δt. A Δα/ Δt hányados a vezérsugár forgási sebessége, amit szögsebességnek nevezünk. Jele: ω, mértékegysége: 1/s. vk = r*ω 7.7. Az egyenletes körmozgást végző test gyorsulása Mivel a sebesség nagysága állandó, így a gyorsulásnak nem lehet a sebességgel párhuzamos komponense. K: a gyorsulás merőleges a sebességre, és a kör középpontjába mutat, ezért centripetális (középpontba mutató) gyorsulásnak nevezzük. a cp = v2 r (levezetés kell!) 7.8. Az egyenletes körmozgás dinamikai leírása Newton első és második törvényéből következik, ha egy test gyorsul, akkor erő hat rá, amely a gyorsulását okozza. A testre ható erők vektori összege egyenlő a test tehetetlen tömegének és gyorsulásának szorzatával, iránya megegyezik a gyorsulás irányával. F = m v2 r Az egyenletes körmozgást végző testre ható erők eredője minden pillanatban a kör középpontjába mutat, nagysága állandó. Ezt az erőt centripetális erőnek nevezzük. 7.9. Az egyenletesen változó körmozgás Abban az esetben, ha a körpályán mozgó test sebességének nagysága is változik, változó körmozgásról beszélünk. Mivel a kerületi sebesség nagysága nem állandó, a centripetális gyorsulás nagysága sem állandó. Az érintőirányú gyorsulás független a körpálya sugarától és a test pillanatnyi sebességétől. Értéke mindig attól függ, hogy milyen nagyságú erők okozzák a sebesség nagyságának változását. Abban az esetben, ha a test érintőirányú gyorsulása állandó nagyságú, egyenletesen változó körmozgásról beszélünk. A pillanatnyi kerületi sebesség: vk = v0 + aé*t. A sebesség nagyságának változása miatt a szögsebesség sem állandó. vk = r*ω r*ω = v0 + aé*t ω = v0/r + aé/r*t ω = ω0 + β*t Mechanika összefoglaló BalaTom 8
β = ω - ω0/t A β = Δω/Δt hányados szöggyorsulásnak nevezzük. A szöggyorsulás a szögsebesség-változás gyorsaságának a mértéke. Azt mutatja meg, hogy a szögsebesség milyen gyorsan változik. Mértékegysége: 1/s 2. A test érintő irányú gyorsulása és a szöggyorsulás közötti kapcsolat: aé = r* β. 8. A merev testek forgómozgása A forgómozgás a periodikus mozgások egyik típusa. A periodikusság miatt a forgómozgás és a körmozgás között nagyon sok hasonlóság van. A forgómozgás tárgyalásátrögzített tengely körül forgatható merev testre végezzük el. 8.1. Az egyenletes forgómozgás A rögzített tengely körül forgó merev test egyenletes forgómozgást végez, ha szögelfordulása egyenesen arányos a szögelfordulás idejével. α t = áll. = ω Azt mondjuk, hogy az egyenletes forgómozgást végző test szögsebessége állandó. A forgó merev test egyes pontjai körmozgást végeznek. A tengelytől különböző távolságban lévő pontok különböző sebességgel mozognak. Az egyes pontok kerületi sebessége: v = ω * r és ω = 2π T 8.2. Az egyenletesen változó forgómozgás Egy test egyenletesen változó forgómozgást végez, ha álló helyzetből indulva szögelfordulása és a szögelforduláshoz szükséges idő négyzete egyenesen arányos. Az egyenletesen változó forgómozgást végző test szögsebessége nem állandó. Az álló helyzetből induló, egyenletesen változó forgómozgást végző merev test szögelfordulása arányos a szögelfordulás idejének négyzetével, pillanatnyi szögsebessége arányos az eltelt idővel és szöggyorsulása állandó. α = β 2 t2 ω = β * t β = áll. Ezek az összefüggések abban az esetben igazak, ha a test álló helyzetből kezdi a forgást. Ha a test az időmérés kezdetekor már forog: Mechanika összefoglaló BalaTom 9
α = β 2 t2 ω = β * t; β = áll. A szögsebesség időbeli változása azt jelenti, hogy a fordulatszám és a periódusidő nem állandó. A fordulatszám a pillanatnyi fordulatszámot jelenti, amelyet a pillanatnyi szögsebességből számíthatunk: ω = 2πn A forgó merev test átlagos szögsebessége egyenlő a test szögelfordulásának és a szögelfordulás idejének hányadosával: ω átl = α t Az egyenletes forgómozgás esetén az átlagos és pillanatnyi szögsebesség megegyezik. Az egyenletesen változó forgómozgás esetén: ω átl = ω kezdeti + ω végső 2 8.3. A forgómozgás alaptörvénye Ahhoz, hogy egy forgó merev test szögsebessége változzon, a testre erőknek kell hatni, mégpedig úgy, hogy az erő hatásvonala nem mehet át a forgástengelyen. A forgási állapot megváltoztatásához olyan erőhatásra van szükség, amelynek a tengelyre vonatkoztatva van forgatónyomatéka, így hatásvonala nem megy át a forgástengelyen. Ha a forgási állapot változik, akkor változik a szögsebesség is, a szöggyorsulás sem nulla. A szöggyorsulást a testre ható erő forgatónyomatéka hozza létre. A rögzített tengely körül forgatható merev test állandó forgatónyomaték hatására állandó szöggyorsulással forog. A tengely körül forgó merev testre ható forgatónyomaték és az általa létrehozott szöggyorsulás egyenesen arányos. Az M forgatónyomaték és a ß szöggyorsulás hányadosát θ-val (théta) jelöljük, és a test forgási tehetetlenségének, tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. θ = M β Amennyiben a testre több erő is hat, akkor az egyes erők forgatónyomatékait összegezzük: M = θ β Ezt az egyenletet a forgómozgás alapegyenletének nevezzük. Az egyenletes forgómozgás dinamikai feltétele, hogy a testre ható erők forgatónyomatékainak összege nulla legyen. Az egyenletesen változó forgómozgás dinamikai feltétele, hogy a testre ható erők forgatónyomatékainak összege állandó legyen. Mechanika összefoglaló BalaTom 10
8.4. A tehetetlenségi nyomaték Pontszerű test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a test tömegének és a forgástengelytől mért távolság négyzetének szorzatával. θ = m r 2 A tehetetlenségi nyomaték ellentétben a tömeggel nem állandó! Amennyiben a forgástengely helye változik a testhez képest, más lesz a test tehetetlenségi nyomatéka. Több test esetén a tehetetlenségi nyomaték egyenlő az egyes testek tehetetlenségi nyomatékainak összegével. 8.5. A forgási energia A forgómozgást végző testnek van mozgási energiája, ezt forgási energiának nevezzük. A test forgási energiája: E = 1 2 θω2 Amennyiben a test szögsebessége változik, változik a forgási energiája is. Ha a test forgási energiája változik, akkor az erők munkát végeznek. W = 1 2 θω2 (levezetés kell!) W = E forg A forgómozgás esetén is érvényes a munkatétel. 8.6. A perdület A forgó merev test tehetetlenségi nyomatékának és a szögsebességnek szorzata a test perdülete. Jele N, mértékegysége: kg*m 2 /s. N = θ * ω (feltételezzük, hogy a forgó test tengelye nem mozog a vonatkoztatási rendszerhez képest) Impulzustétel: F = I A tétel azt jelenti, hogy a tömegpontra ható erők által okozott t impulzusváltozás és az impulzusváltozás idejének hányadosa egyenlő a rá ható erők összegével. Forgómozgás alapegyenletét átalakítva: M = θ β = θ ω t = N t A kapott eredmény a perdülettétel. Egy test perdületét, forgásállapotát csak külső forgatónyomatékok változtathatják meg. A forgatónyomatékok eredője egyenlő a perdület időegységre eső megváltozásával. A perdületmegmaradás tétele: Ha a forgatónyomatékok összege nulla, a test perdülete nem változik meg, a perdület állandó. Mechanika összefoglaló BalaTom 11
8.7. A haladó és a forgómozgás összehasonlítása A haladó mozgást végző test által megtett útnak a forgómozgásnál a szögelfordulás a megfelelője, a sebességnek a szögsebesség, és a gyorsulásnak a szöggyorsulás. Az egyenletes és az egyenletesen változó forgómozgás definíciója pontosan olyan, mint az egyenletes és egyenletesen változó egyenes vonalú mozgás definíciója. Haladó mozgás Forgó mozgás megtett út: s szögelfordulás: α sebesség: v = s szögsebesség: t gyorsulás: a = v t szöggyorsulás: ω = α t β = ω t tömeg: m tehetetlenségi nyomaték: θ = mr 2 erő: F forgatónyomaték: M dinamikai alapegyenlet: F = m a dinamikai alapegyenlet: M = θ β munka: W = F*s munka: W = M*α mozgási energia: E m = 1 2 mv2 forgási energia: E f = 1 2 θω2 munkatétel: W = F*s= 1 2 mv 2 2 1 2 mv 1 2 munkatétel: W=Mα= 1 2 θω 2 2 1 2 θω 1 2 impulzus: I = m*v perdület: N = θ*ω impulzustétel: F = I perdülettétel: M = N t t 8.8. Merev testek síkmozgása Ebben a pontban olyan mozgásokat vizsgálunk, amikor a forgó test tengelye nem rögzített. Ebbe az esetben a testek egyszerre végeznek haladó és forgómozgást. Síkmozgás: a test bármely kiszemelt pontja mindvégig ugyanabban a síkban mozog. Két csoport: tiszta gördülés, csúszva gördülés. Csúszva gördülés esetén a haladó mozgás sebessége és a szögsebessége, gyorsulása és szöggyorsulása nincs általánosan megfogalmazható kapcsolat. Tiszta gördülés esetén a sebesség és szögsebesség között egy nagyon egyszerű matematikai kapcsolat van. vkerületi pont = -vtengely=r*ω Ez a tiszta gördülés feltétele!, amely azt fejezi ki, hogy a gördülő kerék szélső pontjainak kerületi sebessége egyenlő a kerék tengelyének sebességével. Ha egyenletesen változó a mozgás: a = r * β Ez a gyorsulás és a szöggyorsulás közötti matematikai kapcsolat. 9. Gravitáció Mechanika összefoglaló BalaTom 12
9.1. Az általános tömegvonzás A gravitáció az egyik alapvető kölcsönhatás a természetben. Newton jelentette ki először, hogy A Holdat ugyanolyan gravitációs vonzerő tartja a Föld körüli pályán, mint amilyen erő a testek földre esését okozza. (négyzetes reciprok törvény Newton 23 éves!) Newton gravitációs erőtörvényét két tetszőleges testre, általános érvénnyel mondta ki. 100 évvel később Henry Cavendish kísérlettel bizonyította. A szabadesés és a bolygómozgás azonos eredetét ismerte fel Newton és mondta ki az általános tömegvonzás törvényét: Bármely két test, anyagi részecske kölcsönösen vonzóerőt fejt ki egymásra, amely erő nagyága pontszerű testek esetében arányos a két test tömegével, és fordítva arányos a köztük lévő távolság négyzetével. F grav = f m 1 m 2 r 2 Az f arányossági tényező, az úgynevezett Newton-féle gravitációs állandó: f = 6,67 * 10-11 Nm 2 /kg 2 Newton az általános tömegvonzás törvényét pontszerű testekre mondta ki, de reális testekre is kiterjeszthető. Gömbszimmetrikus testekre azzal a megszorítással érvényes, hogy a test a tömegvonzásban úgy viselkedik, mintha a teljes tömeg a középpontban lenne koncentrálva. 9.2. A gravitációs állandó Az átlagos testek közt olyan kicsi a vonzóerő, hogy szinte mérhetetlen, nem ad használható értéket a gravitációs állandóra: F r2 f = m 1 m 2 Cavendish készített először olyan érzékeny mérleget, amely az egészen kicsi erőhatások pontos tanulmányozására is alkalmas. Cavendish mérései egyrészt igazolták Newton erőtörvényét, másrészt pontos értéket szolgáltattak a gravitációs állandó értékére, amely olyan kis szám, hogy a köznapi tárgyak között ható vonzóerő gyakorlatilag elhanyagolható, ezért nem érzékeljük nap mint nap. 9.3. Bolygók mozgása, a Naprendszer, Kepler törvényei Tycho de Brahe (1546-1601) volt az utolsó jelentős csillagász, aki csillagászati távcső nélkül vizsgálta az égboltot. Több évtizedes nagyon precíz megfigyeléseit feljegyezte, amely alapján Johannes Kepler (1571-1630) foglalta össze három törvényben Naprendszerünk bolygóinak mozgástörvényét. Kepler első törvénye (a bolygók pályája): I. Naprendszerünkben minden bolygó egy-egy ellipszispályán mozog a Nap körül. Ezeknek az ellipsziseknek az egyik közös fókuszpontjában a Nap áll. Mechanika összefoglaló BalaTom 13
Kepler második törvénye (a felületi törvény): II. A Naptól egy bolygóhoz húzott szakasz (vezérsugár) egyenlő idő alatt egyenlő területeket súrol. Kepler harmadik törvénye: III. Egy bolygó keringési idejének négyzete egyenesen arányos az ellipszispályája fél nagytengelyének a köbével (az arányossági tényező: 4 π 2 f M Nap ) T 1 2 2 3 a = T 2 3 1 a 2 Később Newton a tömegvonzás törvényéből levezette Kepler tapasztalati törvényeit, ezzel általánosította a bolygómozgás elméletét, bármelyik égitestre és a körülötte keringő természetes vagy mesterséges holdra is. 9.4. Mesterséges égitestek mozgása Newton (Principia) megadja azokat a feltételeket, amelyek mellett egy földi test égitestté tehető. (Newton által először vázolt mesterséges bolygó gondolata) Ma is úgy állítják az űrrakétákat, űrhajókat Föld körüli pályára, hogy egy bizonyos magasságba juttatva, ott az adott pályához tartozó kezdősebességgel, érintő irányban elindítják. Milyen sebességre kell gyorsítani a rakétának az űrhajót, hogy azután az kikapcsolt hajtóművel körpályán keringjen? Kifejezve v-t (r = RF +h): f M F m r 2 m v2 = r v = f M F R F + h Ettől a sebességtől kissé eltérve, a mesterséges égitest ellipszispályára kerül, ahol a Keplertörvényeknek megfelelően kering a Föld körül. 10. Mechanikai rezgések A természetben a rezgés az egyik leggyakoribb mozgásforma. Egy mozgást rezgőmozgásnak nevezünk, ha a test két szélső helyzete között egyenes vonalú pályán periodikusan mozog. Ha a rezgés két szélső helyzetének távolsága az időben csökken, csillapított rezgésről beszélünk. Ha a megfigyelés időtartama alatt a szélső helyzetek távolságcsökkenése nem számottevő, akkor a rezgést csillapítatlan rezgésnek tekintjük. Mechanika összefoglaló BalaTom 14
10.1. A rezgőmozgást jellemző mennyiségek Teljes rezgés: a rezgő test az egyik szélső helyzetéből kiindulva ugyanabba a helyzetbe visszatér. Rezgésidő vagy periódusidő: egy teljes rezgés lefolyásához szükséges idő. Jele: T. Frekvencia vagy rezgésszám: a teljes rezgések száma és a közben eltelt idő hányadosával meghatározott fizikai mennyiség. Jele: f. Mértékegysége: 1/s. (Hz - hertz) A frekvencia és a rezgésidő kapcsolata: f = 1 T Minden rezgést jellemez még a tágassága, az egyensúlyi helyzet és a szélső helyzetek távolsága (A - amplitúdó), a rezgő test pillanatnyi helyzete, sebessége és gyorsulása az idő függvényében, valamint, hogy mekkora energiát képvisel a rezgés. 10.2. A harmonikus rezgőmozgás Azokat a rezgőmozgásokat, amelyek kitérése az idő függvényében szinuszfüggvénnyel írható le, harmonikus rezgőmozgásoknak nevezzük. 10.3. A harmonikus rezgőmozgás és az egyenletes körmozgás kapcsolata A harmonikus rezgőmozgás szoros kapcsolatba hozható az egyenletes körmozgással. Egy egyenletes körmozgás alkalmas síkra való merőleges vetülete harmonikus rezgőmozgás. Egy harmonikus rezgőmozgáshoz mindig található olyan egyenletes körmozgás, amelynek vetületeként az előállítható. Ezt a körmozgást az adott harmonikus rezgőmozgás referencia körmozgásának nevezzük. 10.4. A harmonikus rezgőmozgás kitérés idő függvénye A rezgőmozgás, illetve a hozzá tartozó körmozgás egy pillanatnyi állapotát a mozgás egy fázisának nevezzük. Ahhoz, hogy tudjuk, hogy milyen fázisban van a test, ismernünk kell, hogy az adott pillanatban hol van, mekkora és milyen irányú a sebessége. Ennek az állapotnak a leírását segíti a fázisszög nevű fizikai mennyiség, amely a referenciakör középpontjából a testhez húzott helyvektor vízszintessel alkotott szöge. A harmonikus rezgőmozgás t időpillanatához tartozó kitérését megkaphatjuk, ha a referencia körmozgást végző testhez húzott helyvektor függőleges vetületét vesszük, y-al jelölve: Az y értéke maximális, ha sin α = 1. y = R sin Mechanika összefoglaló BalaTom 15
A rezgőmozgás maximális kitérését amplitúdónak nevezzük, és A-val jelöljük. Az egyenletes körmozgás ismert összefüggése alapján (φ = ω*t): A harmonikus rezgőmozgás kitérés-idő kapcsolata: y = A sin φ, ebből kiolvasható, hogy t = 0 időpillanatban y = 0, vagyis a test az egyensúlyi helyzeten halad át. Ha a megfigyelés kezdetén a kitérés nem zérus, akkor ezt a fázisállandóval vagy kezdőfázissal vesszük figyelembe. A fázisállandó azt mutatja meg, hogy a t = 0 időpillanathoz mekkora fázisszög tartozik a referencia körmozgásnál, illetve az ennek megfelelő rezgésnél. A kezdőfázishoz tartozó kitérést kezdeti kitérésnek nevezzük. Általános esetben a kitérés-idő összefüggés: y = A sin(ω t + φ 0 ) A referenciakör periódusideje megegyezik a hozzátartozó harmonikus rezgőmozgás rezgésidejével, ezt felhasználva egy másik alakban: y = A sin( 2π T t + φ 0) 10.5. A harmonikus rezgőmozgás sebessége és gyorsulása A test sebessége az egyensúlyi helyzeten áthaladáskor a legnagyobb, míg a szélső helyzetekben egy pillanatra megáll (a szélső helyzetek környezetében több időt tölt). A rezgőmozgást végző test sebességét a referenciakörön mozgó test sebességének vetületeként keressük. Az egyenletes körmozgás kerületi sebessége: A fázisállandó zérus, R = A, és φ = ω*t: v = v k cos φ v k = R ω v = Aω cos(ωt) A harmonikus rezgőmozgás sebessége koszinuszfüggvény szerint változik. Legkisebb a szélső helyzeteknél, ahol cos(ωt)=0, legnagyobb az egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor, ahol cos(ωt)=1. A sebesség legnagyobb értéke: vmax = Aω. (sebességamplitúdó) A harmonikus rezgőmozgás gyorsulása a referenciakörön mozgó test centripetális gyorsulásának vetülete: a = a cp sin φ A körmozgás centripetális gyorsulása sugárirányú, és a kör középpontja felé mutat, ezért a harmonikus rezgőmozgás gyorsulása is mindig az egyensúlyi hely felé mutat, ellentétes a kitéréssel. Az egyenletes körmozgás gyorsulása: Mechanika összefoglaló BalaTom 16
a cp = Rω 2 A harmonikus rezgőmozgás gyorsulás-idő kapcsolata: a = Aω 2 sin(ωt) A negatív előjelet az indokolja, hogy miután a gyorsulás mindig az egyensúlyi állapot felé mutat, ez pozitív kitérés esetén negatív irányú, míg negatív kitérés esetén pozitív irányba mutat. Az egyensúlyi helyzeten áthaladáskor a gyorsulás zérus, mert sin ωt = 0, míg a szélső helyzetekben a legnagyobb (gyorsulásamplitúdó): a max = Aω 2 A harmonikus rezgőmozgás gyorsulása egyenesen arányos a kitéréssel, és vele ellentétes irányú: a = ω 2 y 10.6. A harmonikus rezgőmozgás dinamikai leírása A rezgésidő nem függ az amplitúdó nagyságától, viszont a test tömegének négyzetgyökével egyenesen arányos. A rezgésidő a rugó minőségétől is függ: Indoklás: T = 2π m D a = ω 2 y szorozzuk meg mindkét oldalt a test tömegével: ma = mω 2 y A jobb oldalon Newton II. törvénye szerint a testre ható erők eredője: F e = mω 2 y Egy test harmonikus rezgőmozgást végez, ha a kitérése egyenesen arányos a rá ható erők eredőjével és vele ellentétes irányú. Ez a harmonikus rezgőmozgás dinamikai feltétele. 10.7. A rezgő rendszer energiaviszonyai A harmonikus rezgés során a pillanatnyi mozgási és rugalmas energia összege állandó. E = E m + E r = 1 2 mv2 + 1 2 Dy2 (bizonyítás kell!) 10.8. Egy egyenesbe eső rezgések összetétele Mechanika összefoglaló BalaTom 17
Az egy egyenesbe eső rezgések összetételénél a testre ható erők azonos hatásvonalúak, így az eredő rezgés is ezen egyenes mentén zajlik le. Az eredő rezgés pillanatnyi kitérését a szuperpozíció elv értelmében úgy kaphatjuk meg, hogy az összetevő rezgések pillanatnyi kitéréseit előjelesen összeadjuk. Amikor a két rezgés frekvenciája megegyezik, az eredő rezgés egy olyan harmonikus rezgőmozgás, amelynek frekvenciája megegyezik az összetevők frekvenciájával, amplitúdója A1 + A2 és A1-A2 között változik, attól függően, hogy mekkora fáziskülönbség van a két rezgés között. Ha a fáziskülönbség zérus, az amplitúdó A1+A2, és maximális erősítésről beszélünk. Ha a fáziskülönbség π, akkor az amplitúdó A1-A2 és maximális gyengítés a jelenség neve. Kioltás, amikor A1=A2, ebben az esetben a test nyugalomban marad. Ha a két összetevő frekvenciája különbözik, az eredő rezgés nem lesz harmonikus, de racionális frekvenciaarányok esetén a mozgás periodikus marad. Lebegés: amikor a két rezgés frekvenciája csak kicsit tér el egymástól. Ekkor a két rezgés egy ideig erősíti, majd gyengíti egymást, és ez a folyamat periodikusan ismétlődik. 10.9. Egymásra merőleges rezgések összetétele Azonos frekvenciájú esetben, ha a fáziskülönbség zérus vagy π, akkor a pálya egyenes, és az eredő rezgés harmonikus. Más fázisviszonyok mellett a pálya ellipszis. Ennek speciális eseteként π/2 fáziskülönbség és azonos amplitúdó mellett visszakapjuk kiindulási mozgásunkat az egyenletes körmozgást. Ha a rezgések frekvenciája különböző, különleges rezgésformák is létrejönnek. Ha a frekvenciák aránya racionális szám, akkor a mozgás periodikus lesz, a pálya pedig zárt görbe. Ezeket a görbéket Lissajous-görbéknek nevezzük. Ha a frekvenciák aránya nem racionális szám, akkor a görbe sohasem záródik, a mozgás nem lesz periodikus. 10.10. Csillapított rezgések Csillapodó rezgőmozgásról akkor beszélünk, ha a testre a rugó által kifejtett visszatérítő erőn kívül más fékező jellegű erő is hat. A rezgőmozgás csillapodását két fontos fékezőhatás okozza, a súrlódás és a közegellenállás. A rugóra függesztett test esetén a közegellenállás fékez, a kocsinál a súrlódás játszik nagyobb szerepet. A kitérés-idő grafikonon a súrlódásos csillapítás alkalmával a csökkenő amplitúdók egyenesre illeszkednek, míg közegellenállás esetében exponenciális az amplitúdók csökkenése. 10.11. Kényszerrezgések Mechanika összefoglaló BalaTom 18
Ahhoz, hogy a csillapodó rezgés ne szűnjön meg, gondoskodni kell az elvesző mechanikai energia pótlásáról. A szabad rezgés a csillapító tényezők hatására előbb utóbb megáll. Ahhoz, hogy a rezgésállapotot fenntartsuk, periodikusan energiát kell közölnünk a rendszerrel. Ha egy testre az egyensúlyi helyzetbe visszatérítő erőn, és a fékező erőn kívül egy periodikusan változó külső erő is hat, kényszerrezgésről beszélünk. A kényszerrezgés amplitúdója és fáziseltérése függ a gerjesztő frekvenciától. A fáziseltérés a növekvő frekvenciával nő. Az amplitúdó a növekvő frekvenciával egyre jobban nő, felvesz egy maximális értéket, majd csökkenni kezd. Kis csillapítás esetén a maximális amplitúdó igen nagy lehet. Kényszerrezgés során a maximális amplitúdó akkor jön létre, ha a kényszerítő frekvencia a rezgő test szabad rezgésének frekvenciájához közel esik. Ekkor azt mondjuk, hogy a kényszerítő hatás és a test rezonancia helyzetébe kerültek. A jelenséget rezonanciának nevezzük. 10.12. A matematikai inga mozgása Hosszú, vékony fonálra akasszunk egy kis testet, majd függőleges egyensúlyi helyzetéből kimozdítva engedjük el. A test egy köríven két szélső helyzete között periodikus mozgást, ingamozgást végez. Ha a test kisméretű a fonál hosszához képest, a fonál tömege pedig elhanyagolható az ingatest tömegéhez viszonyítva, akkor matematikai vagy fonálingáról beszélünk. Kis kitérésekre (5 ) az inga mozgása jó közelítéssel harmonikus rezgőmozgásnak tekinthető, ahol a rezgésidő független az amplitúdótól. A lengésidő független a tömegtől. A lengésidő a fonál hosszának négyzetgyökével egyenesen arányos. T = 2π l g Mivel a lengésidő függ a nehézségi gyorsulástól, így a lengésidő mérésével nehézségi gyorsulás értéket határozhatunk meg egy adott földrajzi helyen. Az inga mozgását dinamikai szempontból vizsgálva megállapíthatjuk, hogy az inga mozgása síkmozgás. A rá ható erők mind abban a síkban találhatók, amelyet az egyensúlyi és a kitérített helyzete meghatároz. Ha egy ingánál a lengési sík megváltozását észleljük, akkor bizonyosak lehetünk, hogy a vizsgálódási rendszerünk nem Inerciarendszer, nincs nyugalomban. (Foucault 1851 Párizs Pantheon) 10.13. A fizikai és a torziós inga Mechanika összefoglaló BalaTom 19
Azokat az ingákat, amelyek nem tesznek eleget a matematikai inga feltételeinek, fizikai ingáknak nevezzük. A fizikai ingák lengésideje: T = 2π θ mgs ahol a θ a rendszer forgástengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka, s pedig a súlypont és a felfüggesztési pont távolsága. Milyen hosszúságú matematikai inga tud együtt lengeni egy adott fizikai ingával? A fizikai inga redukált hossza l *. θ = ml 2 és s=l: l = θ ms A torziós ingánál a testet egy vékony drótszálra függesztjük fel, majd a drótot elcsavarva a tárgyat forgási rezgésbe hozzuk. Az elcsavarodó drótszálban olyan deformáció okozta rugalmas erők lépnek fel, amelyek a rendszert az egyensúlyi állapot irányába mozgatják. Mivel a fellépő forgatónyomaték egyenesen arányos az elcsavarodás szögével, a jelenség dinamikai szempontból teljesen hasonló a harmonikus rezgőmozgásnál megismertekhez. Eötvös Loránd torziós ingája (nehézségi gyorsulás apró változásai, tehetetlen és a súlyos tömeg egyenlősége)! 10.14. Nehézségi gyorsulás mérése fonálingával (l, T mérése és számítás! max 5% hiba!) 11. Mechanikai hullámok 11.1. A mechanikai hullám fogalma, fajtái 11.2. A hullámmozgást leíró fizikai mennyiségek 11.3. Hullámok visszaverődése rugalmas pontsoron 11.4. Hullámok találkozása, interferencia 11.5. Állóhullámok rugalmas pontsoron 11.6. Felületi és térbeli hullámok 11.7. Felületi hullámok interferenciája 11.8. Felületi hullámok visszaverődése 11.9. Felületi hullámok törése 11.10. Hullámok elhajlása, a Huygens-Fresnel-elv 11.11. A hang keletkezése, jellemzői 11.12. A hang hullámtulajdonságai 11.13. Húrok és sípok által keltett hangok 11.14. A Doppler-effektus Mechanika összefoglaló BalaTom 20