0852. MODUL GEOMETRII ISMÉTLÉS Geometrii szerkesztések ismétlése KÉSZÍTETTE: PUSZTI JULINN
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 2 MODULLEÍRÁS modul célj Időkeret jánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok képességfejlesztés fókuszi JÁNLÁS lpszerkesztések átismétlése, lklmzás egyszerű, vegyes szerkesztési feldtokbn. 4 ór 8. évfolym 0573, 0632, 0633, 0664, 0681, 0722, 0752, 0753, 0881, 0882, 0883, 9. évfolym 7, 8. modulok. Geometrii lpfoglmk, lpszerkesztések, foglmk közötti összefüggések, lpszerkesztések lklmzás, Induktív, deduktív következtetés: logikus gondolkodás, rendszerezés háromszögek, négyszögek csoportosítás Mértni eszközök gykorlott hsznált Beszédkészség: geometrii foglmk szbtos hsznált, definíciók, tuljdonságok, állítások, állítások tgdásánk precíz megfoglmzás Esztétiki: igényesség z ábrák, szerkesztések küllkjábn is. tnulók négyes csoportokbn ülnek, egymássl megvitthtják tpsztltikt, segíthetnek egymásnk. z lpszerkesztéseket mindenkinek el kell végeznie, de gyorsbbn hldókr is gondoljunk z óri feldtlpok nehezebb feldványivl. Számukr Feldtgyűjteményben is tlálhtunk összetettebb, gondolkodttóbb, nehezebb szerkesztéseket. Mindhárom ór rendszerező, z euklideszi geometrii szerkesztésekben vló eligzodást, jártsság megszerzését szolgálj. tnulócsoportok z egyes szerkesztéseket megbeszélhetik, többféle szerkesztési menetet is jvsolhtnk. Mi lehetőségek közül Feldolgozás menetében csk egyet szerepeltetünk, természetesen más szerkesztési menetek is elfogdhtók. tnulóknk csk sorrend sorszámozását kell vázltrjzokon jelölniük; z ügyesebb gyerekektől szerkesztési menet pontokb fogllt leírását is kérhetjük. TÁMOGTÓ RENDSZER Feldtlpok, Feldtgyűjtemény, mértni eszközök, írásvetítő fóliák ÉRTÉKELÉS Folymtos szóbeli értékelés, hiányosságok pótlásár, hibák jvítttásár is kiterjedően. Mtemtik 8. évfolym
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 3 MODULVÁZLT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszközök, Feldtok I. lpszerkesztések ismétlése 1. lpszerkesztések: szkszfelezés, szögfelezés, merőleges szerkesztés rendszerezés, kombintivitás, nlógiás gondolkodás 1. Feldtlp, 1. tnári melléklet: Ellenőrző fóli z 1. feldtlp 7. feldtához 2. Háromszögszerkesztések; felmérő feldtlp pontosság, önértékelés 2. Feldtlp, 2. tnári melléklet: Ellenőrző fóliák 2. Feldtlphoz, 2 oldl 3. Háromszögszerkesztések lpesetei II. Háromszögszerkesztések 1. háromszögek nevezetes vonlivl, pontjivl kpcsoltos tudnivlók 2. Háromszögek nevezetes vonlivl, pontjivl kpcsoltos szerkesztések mértni eszközök hsznált, szerkesztés, esztétiki érzék, áttekintő készség 3. Feldtlp 4. Feldtlp Mtemtik 8. évfolym
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 4 III. Négyszögszerkesztések 1. négyszögek tuljdonsági rendszerezés, kombintivitás 0851. modul 2. tnári melléklet: négyszögdefiníciókártyák, 2. Négyszög lpszerkesztések, vegyes szerkesztési feldtok tudott ismeretek lklmzás, igényesség 5. Feldtlp IV. Vegyes szerkesztési feldtok 1. Négyszögek szerkeszthetősége rendszerezés, kombintivitás 4. tnári melléklet: négyszögek szerkeszthetősége, fóli 6. Feldtlp 2. Szbályos sokszögek szerkesztése tnult ismeretek lklmzás, 7. Feldtlp 1. 3. lpszerkesztések lklmzás vegyes szerkesztési feldtokbn tnult ismeretek lklmzás, 7. Feldtlp 2.,3.,4.; 3. tnári melléklet: Ellenőrző fóli 7. feldtlp 4. feldtához Mtemtik 8. évfolym
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 5 FELDOLGOZÁS MENETE I. lpszerkesztések ismétlése 1. lpszerkesztések: szkszfelezés, szögfelezés, merőleges szerkesztés TUDNIVLÓ: z euklideszi szerkesztés zt jelenti, hogy szerkesztéshez csk körző és egyenes vonlzó hsznált megengedett. z euklideszi szerkesztés lehetőségei: 1. Két pont összekötő egyenesét megrjzolhtjuk vonlzóvl. 2. Két dott pont távolságát körzőnyílásb vehetjük. 3. dott pont körül dott körzőnyílássl kört rjzolhtunk. 4. Két metsző egyenes metszéspontját megkereshetjük. 5. H egy kör és egy egyenes metszi egymást, kkor mindkét metszéspontjukt megkereshetjük. 6. H két kör metszi egymást, kkor mindkét metszéspontjukt megkereshetjük. házi feldt z 1. feldtlp 1-5. feldt volt. z ellenőrzés kis csoportbn htékonybb, minth frontálisn dolgoznánk, mivel így minden tnuló megmutthtj többieknek tudását, z esetleges hibákt együtt kijvíthtják. tnulók 4 fős csoportokbn ülnek, összehsonlítják megoldásikt, megbeszélik z 5. kérdésre dndó válszikt, mjd kijelölik szóvivőt. csoportokon belüli ellenőrzések után tnár z 5. feldt kérdéseire sorbn egyegy csoport szóvivőjétől kér válszt. 6. feldtot egyéni munkánk djuk. Olvssák el, gondolkozznk, próbálkozznk, kinek sikerült megtlálni szerkesztés módját, jöjjön ki táblához és mutss be többieknek! Mindenki végezze el füzetében szerkesztést! Ezután feldjuk csoportmunkár z 1. feldtlp 7. feldtát, csoporton belül mindenki más szöget szerkesszen! z ellenőrzés írásvetítő fóli segítségével történhet (1. tnári melléklet). 1. tnári melléklet lásd modul eszközei közt! 1. FELDTLP 1. Rjzolj egy B szkszt! Szerkeszd meg felező merőlegesét! B
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 6 2. Rjzolj 78 -os szöget, szerkeszd meg szögfelezőjét! α = 78 3. Végy fel egy egyenest, dj meg rjt egy pontot! Szerkessz z egyenes dott pontjáb merőlegest! e P 4. Végy fel egy egyenest, jelölj ki rjt kívül egy P pontot! Szerkessz z egyenesre P pontból merőlegest! P e 5. Válszolj következő kérdésekre szóbn: Hogyn kell szkszt felezni? Mi mgyrázt nnk, hogy így kell? z egyenlőszárú háromszög szimmetritengelye felezi z lpot. Hogyn kell szöget felezni? Mi mgyrázt nnk, hogy így kell? z egyenlőszárú háromszög szimmetritengelye felezi szárk áltl bezárt szöget. Mi közös szkszfelező és szögfelező szerkesztésében? Mindkét esetben z egyenlőszárú háromszög szimmetritengelyének tuljdonságit lklmzzuk. Hogyn kell egyenes dott pontjáb merőlegest szerkeszteni? Miért így kell? z egyenlőszárú háromszög szimmetritengelye felezi z lpot és merőleges rá. Hogyn kell egyenesre egy dott külső pontból merőlegest szerkeszteni? Miért így kell? z egyenlőszárú háromszög szimmetritengelye merőleges z lpr.
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 7 6. Szerkessz dott e egyenessel párhuzmos egyenest, rjt kívül dott P ponton át! Lill így oldott meg feldtot. Tláld ki, hogyn szerkesztett! H rájöttél, végezd el te is ugynígy párhuzmos szerkesztését füzetedbe! P C Lill P középpontú tetszőleges sugrú körrel elmetszette z e egyenest (), mjd -ból szintén tetszőleges sugrú körrel kijelölte z egyenesen B-t, ezután P és B oldlkkl prlelogrmmát szerkesztett (PBC). 7. Szerkessz 60º-os, 120º-os, 30º-os, 15º-os szögeket! Milyen szögeket lehet még így 60º-os szög felezésével illetve többszörözésével szerkeszteni? 7. feldt megoldás: 1. tnári melléklet írásvetítő fóli 8. Rjzolj kört! Végy fel körvonlon egy P pontot! Szerkeszd meg kör P ponthoz trtozó érintőjét! P ponthoz trtozó sugárr merőleges szerkesztése 2. Háromszögszerkesztések; felmérő feldtlp 2. Feldtlp megoldás előtt rjzoljunk táblár egy háromszöget! gyerekek közreműködésével jelöljük be csúcsokt, oldlkt, szögeket szokásos módon! mintpéld segítségével felelevenítjük, hogy minden szerkesztés első lépése vázltrjz készítése, mely megoldott feldt elképzelt képét ábrázolj. vázltrjzot betűzzük, z dtokt színezzük, szerkesztés lépéseit beszámozzuk, jobb csoportok le is írhtják szerkesztés menetét. Feldtlp 1-3. feldtit felmérésnek szánjuk, ezért önálló munkát kérünk. Megmondjuk gyerekeknek, hogy sját munkájukt fogják segítségünkkel ellenőrizni és értékelni. z értékelés célj, hogy következő szerkesztési órákon tudásuknk megfelelő nehézségű feldtokon dolgozhssnk, tudásuknk megfelelő tempóbn. Célként gyors, hibátln, szép szerkesztést jelöljük meg. zt kérjük, hogy ki mind három szerkesztést elvégezte, jelentkezzen, hogy megmondjuk neki, mennyi idő ltt készült el. Ezt tnuló feljegyzi füzetébe, és h vn még idő, tovább dolgozht z 4. feldttl. feldtok megoldásár és ellenőrzésére 20 percnél többet nem szánunk. H mindenki teljesítette minimumot remélhetően így lesz, írásvetítő segítségével (2. tnári melléklet) feldtonként ellenőrizzük szerkesztés helyességét. 2. tnári melléklet lásd modul eszközei közt! B e
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 8 tnulók fólián megdott pontszámok lpján tnári közreműködéssel értékelik munkájukt. gyerekek így kpott egyéni eredményeit tnár mgánk regisztrálj. tpsztltok lpján differenciálhtunk következő órákon. Háromszögek szerkesztése háromszögek csúcsink, oldlink, szögeinek szokásos jelölése: szerkesztési feldtok mindegyikéhez készíts vázltrjzot, betűzve z oldlkt, szögeket; színezd z ismert dtokt; számozd szerkesztés tervezett lépéseit! füzetedbe dolgozz! B β c α γ b C
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 9 Mintfeldt Szerkessz háromszöget, melynek dott két oldl és egy szöge! = 3,8 cm; c = 5 cm; γ = 90º Megoldás első változt: Megoldás második változt: Vázlt: Vázlt: 3 c 1 szerkesztés menete: 1. egy félegyenesre z oldlt felmérjük, 2. z oldl egyik végpontjáb merőlegest szerkesztünk, 3. z oldl másik végpontjából c sugrú körrel elmetsszük merőlegest. Ez lesz háromszög hrmdik csúcspontj. Szerkesztés lépésről lépésre: 1. 2 γ c szerkesztés menete: 1. egy félegyenesre nnk végpontjábn derékszöget szerkesztünk, 2. egyik szárár felmérjük z oldlt, 3. z oldl másik végpontjából c sugrú körrel elmetsszük derékszög másik szárát. Ez lesz háromszög hrmdik csúcspontj. Szerkesztés lépésről lépésre: 1. 3 2 1 γ 2. 2. 3. 3. Kész háromszög: Kész háromszög:
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 10 2. FELDTLP 1. Szerkessz olyn háromszöget, melynek dott három oldl: c b 3 2 c b 1 Értékelés: vázltrjz színezve, jó szerkesztésmenet: szerkesztés: összesen: 1 pont 1 pont 2 pont 2. Szerkessz háromszöget, melynek dott két oldl és áltluk közbezárt szöge! b 3 4 b 2 γ γ 1 Értékelés: vázltrjz: szögmásolás: háromszög: összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 3 pont
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 11 3. Szerkessz háromszöget egy oldlból és két szögből! szögeket is szerkeszd! c = 7 cm; α = 30º; β = 120º α 1 c 2 β 3 Értékelés: vázltrjz: két szögszerkesztés: összesen: 1 pont 2 pont 3 pont 4. Szerkeszd meg z 1-3. feldtok háromszögeinek egy-egy mgsságát! Értékelés: szerkesztések hibátln megoldásáért elérhető: 8 pont ki 12 perc ltt elkészült, kp: +1 pontot ki 10 perc ltt elkészült, kp: +2 pontot ki 9 perc ltt elkészült, kp: +3 pontot ki 8 percnél rövidebb idő ltt elkészült, kp: +4 pontot Elérhető: 12 pont gyerekek így értékelhetik munkájukt: 11-12 pont: gyorsn és jól dolgozom 9-10 pont: jól dolgozom, de ehhez időre vn szükségem, vgy gyorsn dolgozom, de tévedek 8 pont: még gykorolnom kell 8 pont ltt: segítségre vn szükségem z eredmények ismeretében gyerekekkel megbeszéljük következő ór csoportbeosztását: négyfős csoportokt zonos tudásszinten állókból lkítjuk ki: zok kerüljenek egy csoportb, kik gyorsn, jól tudnk szerkeszteni, vlmint zok, kik több segítséget igényelnek. 3. Háromszögszerkesztések lpesetei Vizsgáljuk meg 2. feldtlp 1. feldtánk megszerkesztett háromszögeit! tnulók hsonlítsák össze sját háromszögüket más tnulókéivl! Megállpíthtják, hogy ezek háromszögek egybevágók. Ugynígy járjunk el 2., 3. feldtbeli háromszögekkel is! Megállpíthtjuk, hogy háromszögek ugynzzl három egymástól független dttl egyértelműen megszerkeszthetőek, vgyis, h több háromszöget szerkesztünk ezekkel z dtokkl, kkor zok egybevágók lesznek. feldtlp háromszög szerkesztésének lpeseteit muttt be. Foglljuk össze háromszögek szerkesztésének ezeket z lpeseteit! Elolvsttjuk munkfüzetben Tudnivlót.
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 12 TUDNIVLÓ: háromszög egyértelműen megszerkeszthető, h 1. dott 3 oldl 2. dott 2 oldl és közbezárt szög 3. dott 1 oldl és rjt fekvő 2 szög 4. dott 2 oldl és ngyobbikkl szemben fekvő szög. Házi feldtot dhtunk z előző, 0851 modul Feldtgyűjteményének példáiból, vgy e modul Feldtgyűjteményének 1-3 példáiból, illetve, kinél szükséges, ttól kérjük z óri szerkesztések jvítását. II. Háromszögszerkesztések 1. háromszögek nevezetes vonlivl, pontjivl kpcsoltos tudnivlók gyerekek z előző órán megbeszélt csoportbeosztás szerint ülnek. házi feldt ellenőrzése csoportokon belül történik: csoporttgok egymás megoldásit megnézik, megbeszélik, és h vlmit nem értenek, tnári segítséget kérnek. Ezen z órán sok szép feldt kerül sorr, könnyebbtől nehezebbekig. 3. feldtlppl felelevenítjük háromszög nevezetes vonlivl kpcsoltos ismereteiket (1-3. feldtok). Új nygként (4. feldt), gyorsbbn hldó osztályokbn fogllkozhtunk súlyvonlll is. 9. évfolymon bővebben tnulják, de egy már ismert foglomr építve. 3. FELDTLP 1. Szerkessz háromszöget, melynek oldli: 3,4 cm; 4,5 cm; 5 cm! Szerkeszd meg minden oldl felező merőlegesét! Milyen tuljdonságú pontok z oldlk felező merőlegeseinek pontji? Milyen tuljdonságú felező merőlegesek metszéspontj? Rjzold meg háromszög köré írhtó kört! B oldl felező merőlegesének pontji egyenlő távolságbn vnnk -tól és B-től, BC oldl felező merőlegesének pontji egyenlő távolságbn vnnk B-től és C-től, következésképpen e két felező merőleges metszéspontj egyenlő távolságbn vn háromszög mindhárom csúcspontjától, tehát háromszög köré írt kör középpontj. Természetesen hrmdik oldl felező merőlegese is átmegy középponton. f c F c f K f b F b K B F C
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 13 2. Szerkessz háromszöget, melynek oldli: 3,4 cm; 4,5 cm; 5 cm! Szerkeszd meg minden szögének szögfelezőjét! Milyen tuljdonságú pontok szögfelező pontji? Milyen tuljdonságú szögfelező metszéspontj? Rjzold meg háromszögbe írhtó kört! z α szög szögfelezőjének pontji egyenlő távolságbn vnnk háromszög B és C oldlegyeneseitől, β szög szögfelezőjének pontji egyenlő távolságbn vnnk háromszög B és BC oldlegyeneseitől, vgyis e két szögfelező metszéspontj egyenlő távolságbn vn háromszög mindhárom oldlától tehát háromszög beírt körének középpontj. kör sugrát úgy kpjuk meg, hogy középpontból merőlegest bocsátunk vlmelyik oldlr. f γ α f β B β K f α γ C K 3. Szerkessz háromszöget, melynek oldli: 3,4 cm; 4,5 cm; 5 cm! Szerkeszd meg háromszög mgsságpontját! (Mgsság: csúcsból szemközti oldlr bocsátott merőleges.) háromszögek minden oldlához trtozik egy mgsság. mgsságvonlk metszéspontj háromszög mgsságpontj. c M c m b M b M b m m c B Új ismeretként gyorsbbn hldó (heti 4 órábn tnuló) osztályokbn bevezethetjük súlyvonl, súlypont foglmát. Megmondhtjuk, hogy vn még egy nevezetes vonl háromszögeknek (középiskolábn bővebben tnulják mjd), súlyvonlnk hívják, mivel, h háromszöget bármely csúcspontjábn felfüggesztve egyensúlyi állpotb kerül, kkor ez vonl csúcson átvezető függőleges irány. súlyvonl háromszög csúcspontját szemközti oldl felezőpontjávl köti össze. Krtonppírból el is készíthetünk bemuttásr egy modellt, behúzv súlyvonlkt, megmuttv, hogy ezek 1 pontbn tlálkoznk, ezt nevezzük súlypontnk. súlypontjábn felfüggesztett háromszög bármely helyzetben nyuglombn vn. (Vékony kötőtűre felszúrv modellháromszöget, be tudjuk muttni z egyensúlyi helyzeteket, zt is, hogy h nem súlypontbn függesztjük fel, kkor nem mrd nyuglombn, hnem elfordul.) 4. Szerkessz háromszöget, melynek oldli: 3,4 cm; 4,5 cm; 5 cm! Szerkeszd meg háromszög súlypontját! (Súlyvonl: háromszög csúcspontját szemközti oldl felezőpontjávl köti össze.) M C
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 14 S c c S s b b S b s s c TUDNIVLÓ: B S C háromszögek nevezetes vonli: Metszéspontjik: oldlfelező merőleges köréírt kör középpontj szögfelező beírt kör középpontj mgsságvonl: egy csúcsból szemközti oldlr bocsátott merőleges szksz súlyvonl: egy csúcsot szemközti oldl felezőpontjávl összekötő szksz 2. Háromszögek nevezetes vonlivl, pontjivl kpcsoltos szerkesztések 4. feldtlp z lpszerkesztésekről vlmint nevezetes vonlkról és pontokról tnultk együttes gykorlásár lklms. z 1-2. feldtot, vlmint 3. feldttól kezdve z ) pontokt mindenki, z ügyesebbek 3. feldttól kezdve feldtok többi pontjit is oldják meg! Ez zt jelenti, hogy lssbbn hldóknk 6 szerkesztés jut, de ez se legyen kötelező. z fontos, hogy mit megoldnk, zt biztonsággl értsék és tudják. z ügyesebbeknek 12 feldt jutott. Hldjnk sorbn, vitssák meg szerkesztés mikéntjét, és nem bj, h mrd házi feldtnk is vlmennyi. gyerekek csoportmunkábn, önállón dolgoznk. Járjunk körbe, h szükséges, segítsünk leginkább nehezebben hldó csoportoknk, de jobbkt hgyjuk önállón küzdeni, csk ellenőrizni, bízttni menjünk néh od hozzájuk. H vlmelyik feldtnál különös néhézséget tpsztlunk, szerkesszük meg együtt táblánál! Ez z ór nem könnyű sem gyereknek, sem tnárnk, de h jól sikerül megszervezni, és gyerekek jól tudnk csoportbn, kretívn együttműködni, kkor ngyon hsznos lesz. Házi feldtnk z órán meg nem oldott feldtok közül, vgy Feldtgyűjtemény 1 7. feldtiból válogthtunk. 4. FELDTLP mgsságpont súlypont Szerkessz háromszöget megdott dtokból, mjd végezd el kért szerkesztést! 1. = 3 cm; b = 4,5 cm; γ = 45º. Szerkeszd meg háromszög köré írhtó kört! z oldlfelező merőlegesek metszéspontj dj kör középpontját. 2. = 4,5 cm; b = 4,5 cm; γ = 60º. Szerkeszd meg háromszögbe írhtó kört!
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 15 szögfelezők metszéspontj dj kör középpontját. Sugr középpontból bármely oldlr bocsátott merőleges szksz hossz. 3. Szerkeszd meg következő háromszögek mgsságpontját: ) = 4 cm; b = 5 cm; c = 6 cm Háromszögön belül b) = 5 cm; b = 3,5 cm; c = 2,5 cm Háromszögön kívül c) Hol vn derékszögű háromszögek mgsságpontj? derékszögű csúcspont. 4. = 5 cm; c = 4 cm; γ = 45º. Szerkeszd meg súlypontot! Két megoldás lehetséges, mert kisebbik oldlll szemközti szög dott! 5. dott egy háromszög B = 4,5 cm-es oldl és m c = 2 cm-es mgsság. ) Szerkeszd meg háromszög lehetséges C csúcsink helyét! z B oldlll párhuzmos, tőle 2 cm-re hldó egyenesek. b) Szerkessz fenti dtokkl, közös B oldlll, hegyesszögű, derékszögű és tompszögű háromszögeket! Dolgozhtsz z ) feldt ábráján! tomp hegyes tomp hegyes.. tomp. 6. Szerkessz háromszöget két oldlból és egy mgsságból: ) b = 5,5 cm; c = 6 cm; m c = 5 cm Párhuzmos szerkesztés c-vel b) b = 5,5 cm; c = 6 cm; m = 3,5 cm merőleges állítás egyenesére 7. Szerkessz olyn háromszöget, melynek dti: ) = 5 cm; m = 3,5 cm; β = 50º Párhuzmos szerkesztés -vl b) = 4,5 cm; m c = 3 cm; γ = 75º Párhuzmos szerkesztés c egyenesével 1. B C 5 6 b c 1 B m c c b 7 5 β B 6 C m 2 4 3 2 4 3
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 16 III. Négyszögszerkesztések 1. négyszögek tuljdonsági házi feldt ellenőrzése után bemelegítésként rövid Ki vgyok én? játékkl ismételjük át speciális négyszögek tuljdonságit. Ennek során egy tnulót kihívunk tábl elé, többieknek pedig felmuttunk egy négyszögdefinícó-kártyát 0851 2. tnári melléklet-éből vgy tnuló hát mögött felírjuk táblár négyszög nevét. főszereplő egy-egy osztálytársánk felteszi kérdést, hogy Ki vgyok én?, kérdezett pedig egy igz állítást mond z dott négyszögről. H z osztály úgy ítéli, hogy kérdezett hmist állít, hngosn mondjon egy előre megbeszélt szót: pl. Hmis!, vgy más, gyerekeknek tetsző játékos megjegyzést! De ne engedjük félrevezetni kérdezőt! H sikerült négyszög nevét kitlálni, játék új gyerekkel, új négyszöggel folyttódik. 2. Négyszög lpszerkesztések, vegyes szerkesztési feldtok négyszögek tuljdonságink megbeszélése után z 5. feldtlppl dolgozunk. tnulók itt is tudásszintjük szerint kilkított négyes csoportokbn ülnek. Csoporton belül párokbn dolgoznk, önállón. feldtok ) és b) pontjin szbdon osztozv, minden pár egyik tgj csk z egyiket, másik tgj csk másikt szerkeszti meg; mjd páron belül megbeszélik egymás munkáját; végül ellenőrzik is megoldásikt csoporton belüli másik pár hsonló megoldásivl összevetve. gyorsbbn hldó csoportok párji ezután áttérhetnek c) és d) pontok megoldásár ( 3. feldttól kezdve), ugynilyen munkrend szerint. H szükséges, kérhetnek tnári segítséget. feldtokt sorbn egymás után oldják meg, egyet sem kihgyv! gyengébb csoportok tnulóitól 4-5 szerkesztést párjukkl együtt 8-10 szerkesztéssel vló fogllkozást elvárhtunk, de lényegesebb, hogy zt, mit megoldottk, értsék és tudják. jobbknk 8 szerkesztés (16 szerkesztési feldt)áll rendelkezésére, de tőlük sem várjuk minden feldt megoldását, hiszen egy-egy problém megvittás időigényes, viszont ngyon hsznos. meg nem oldott feldtokkl otthon is fogllkozhtnk. Hívjuk fel gyerekek figyelmét rr, hogy mindig készítsenek vázltrjzot, zon betűzzék csúcsokt, oldlkt, színezzék z dtokt, mjd tervezzék meg szerkesztés menetét! pirossl közölt szerkesztési menet legtöbb feldt esetében csk egyike lehetséges és egyránt helyes szerkesztési meneteknek. 5. FELDTLP Minden szerkesztés előtt vedd fel z dtokt; készíts vázltrjzot, jelöld rjt számozássl szerkesztés menetét! 1. Szerkessz négyzetet, h dott ) = 3,4 cm b) átlój = 5,2 cm z átló felező merőlegesére metszéspontból mindkét oldlr felmérjük z átló felét. 2. Szerkessz tégllpot, h ) = 34 mm; b = 5,2 cm b) b = 3,8 cm; átlój = 7 cm b fölé egyenlőszárú háromszöget szerkeszteni átló/2 szárrl.
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 17 3. Szerkessz rombuszt, h dott ) = 6 cm; α = 130º Szögmérővel 130º-os szöget rjzolunk, szárir rámérjük z oldlt, tükrözéssel megszerkesztjük negyedik csúcsot. b) = 6 cm; átlój = 3 cm z átló mindkét prtjár oldlll egyenlőszárú háromszögeket szerkesztünk. c) e = 4,7 cm; f = 83 mm z e átló felező merőlegesére metszéspontból mindkét oldlr felmérjük f átló felét. d) C átló = 7 cm; α = 71º α szög felezőjére átlót felmérni, átló felező merőlegesével α szárit elmetszeni. 4. Szerkessz prlelogrmmát, h ) dott két oldl és egy szöge szög szárir (csúcs: ) rámérjük z oldlkt (végpontjik: B és D), és BD felezőpontjár középpontos tükrözéssel megszerkesztjük negyedik csúcsot. b) dott két oldl és egy átló két oldlll és z átlóvl háromszöget szerkesztünk, mjd z átló felezőpontjár középpontos tükrözéssel megszerkesztjük negyedik csúcsot. c) = 29 mm; m = 5 cm; α = 75º párhuzmosszerkesztés -vl d) = 63 mm; b = 40 mm; m b = 3,5 cm párhuzmosszerkesztés b-vel 5. Szerkessz deltoidot, h ) két oldl 3 cm és 4 cm, szimmetriátlój 5 cm két oldlll és z átlóvl háromszöget szerkesztünk, mjd z átlór tükrözéssel megszerkesztjük negyedik csúcsot. b) két oldl 3 cm és 4 cm, nemszimmetri-átlój 5 cm z átló egyik prtjár oldlll, másik prtjár b oldlll egyenlőszárú háromszögeket szerkesztünk. c) B = 6 cm; C szimmetriátló = 4,5 cm; DB = 40º DB felezőjére átlót felmérni, B oldlll DB szárit elmetszeni kpott deltoid konkáv lesz. d) D = 5,3 cm; DB nem-szimmetriátló = 3,5 cm; CD = 100º DB fölé egyenlőszárú -et szerkeszteni D szárrl, DB felező merőlegesét D szárr D csúcsbn felmért CD másik szárávl elmetszeni z ór során tnár folymtosn figyeli csoportok hldását, figyeli, hogy ki miben szorul segítségre. Házi feldtnk dhtjuk zokt feldtokt, melyeket z órán csoporttárs oldott meg. djuk mégegyszeri, otthoni megoldásr zokt feldtokt, melyeknél segítséget igényeltek.lehet z óri tpsztltok lpján Feldtgyűjteményből vgy z órán kevésbé sikeres, ill. sorr nem került szerkesztésekből is válogtni. IV. Vegyes szerkesztési feldtok 1. Négyszögek szerkeszthetősége házi feldt ellenőrzése után 4. tnári melléklet négyszöggráf-fóliájánk segítségével megbeszéljük, hogy z egyes speciális négyszögek hány dtból szerkeszthetőek. Természetesen ezek egymástól független dtok kell, legyenek! 4. tnári melléklet lásd modul eszközei közt!
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 18 megbeszélés után oldjuk meg z 6. feldtlpot! Ügyesebb gyerekeknek djuk csoportmunkár, csk végén legyen frontális ellenőrzés, kevésbé önálló tnulókkl együtt oldjuk meg. 6. FELDTLP következő táblázt hsznos tudnivlókt rejt. hrmdik oszlopbn egy-egy mondt első részét olvshtod. kettőspont után következik mondt befejező része, de ezt Neked kell leírnod! táblázt kitöltésekor gondolj négyszögek tuljdonságir! Segíthet táblázt ltt láthtó négyszögháló. z egyes négyszögfjták megszerkesztéséhez szükséges dtok szám Áltlános négyszög: Trpéz: Derékszögű trpéz: Húrtrpéz: Prlelogrmm: Deltoid: Tégllp: Rombusz: Négyzet: 5 mert átlójávl 2 háromszögre bonthtó, de z átlór illeszkedő oldl két háromszögnek: közös ( 2 3 1 = 5 dt); 4 z áltlános négyszög 5 dtából 1 dt: z lpok párhuzmosság; 3 trpéz 4 dtából 1 dt: derékszög; 3 trpéz 4 dtából 1 dt: tengelyes szimmetri tuljdonság; 3 trpéz 4 dtából 1 dt: középpontos szimmetri, vgy szárk párhuzmosság; 3 z áltlános négyszög 5 dtából 2 dt: 1 dt szimmetriátló és 1 dt z átlómerőlegesség, vgy 2-2 szomszédos oldl egyenlősége; 2 húrtrpéz 3 dtából 1 dt: másik tengelyes szimmetri, vgy száron fekvő szögek egyenlősége, vgy prlelogrmm 3 dtából 1 dt: középpontos szimmetri; 2 deltoid 3 dtából 1 dt: másik szimmetriátló; 1 rombusz 2 dtából 1 dt: z oldlfelezőkre vontkozó tengelyes szimmetri, vgy tégllp 2 dtából 1 dt: z átlókr vontkozó tengelyes szimmetri. 5 4 3 3 3 3 2 2 1
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 19 2. Szbályos sokszögek szerkesztése 7. FELDTLP 1. Hány dt szükséges szbályos sokszögek megszerkesztésehez? 1 dt egyértelműen meghtározz szbályos sokszöget, mivel középponti egyenlőszárú háromszögek minden szögét ismerjük, elegendő vgy szbályos sokszög oldlát ( középponti egyenlőszárú háromszög lpját), vgy köré írhtó kör sugrát ( középponti egyenlőszárú háromszög szárát) megdni. ) Szerkessz szbályos htszöget, h köré írhtó kör sugr r = 2,5 cm! kör dott pontjából sugárrl elmetszeni kört; metszésbe leszúrv újr; ismételni 5-ször. b) 7 cm átmérőjű körbe szerkessz szbályos nyolcszöget! r = 3,5 cm kör átmérőjére középpontbn merőlegest állítni 2 átmérő kimetsz 4 csúcsot; z átmérők áltl bezárt 4 derékszöget felezni szögfelezők kimetszik köztes 4 csúcsot. c) Szerkessz szbályos háromszöget 5 cm sugrú körbe! z ) megoldás menetét követni; mjd minden második metszéspontot összekötni. 3. lpszerkesztések lklmzás vegyes szerkesztési feldtokbn 2. Figyeld z ábr jelöléseit, és szerkessz trpézt, h: ) = 65 mm; b = 4 cm; d = 32 mm; α = 60º oldl, 60º-os szög, d szár, párhuzmos -vl, b szár b) szimmetrikus, és = 65 mm; d = b = 3,5 cm; m = 2,5 cm párhuzmosszerkesztés -vl, szárkkl kimetszeni D és C-t c) derékszögű (α = 90 ), és = 53 mm; c = 2 cm; C átló = 4 cm c-re D-ben merőlegest állítni, ezt C-ből C átlóvl elmetszeni, kpott -n keresztül c-vel párhuzmost szerkeszteni, erre -ból -t rámérni d) = 71 mm; c = 39 mm; d = 4,3 cm; C átló = 57 mm c fölé d és C oldlkkl háromszöget szerkeszteni, kpott -n keresztül c-vel párhuzmost szerkeszteni, erre -ból -t rámérni 3. Figyeld z ábr jelöléseit, és szerkessz prlelogrmmát, h: ) B = 4,5 cm, C = 7,5 cm, BD szög = 60º B, B végpontjáb 120, -ból C-vel elmetszeni. b) C = 6 cm, BD = 4 cm és z áltluk bezárt szög 60º B 60 -os szög, szárit meghosszbbítni csúcson túl (60 -bn metsző egyenesek), metszéspontból egyik egyenesre kétfelé C/2-t, metszéspontból másik egyenesre kétfelé BD/2-t felmérni. 4. Szerkessz háromszöget, melynek két oldl és egy szöge következő: = 5 cm; c = 3,8 cm; γ = 45º. d D D α c m. C b B C
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 20 3 c 1 2 γ H két oldl és kisebbikkel szemközti szög dott, szerkesztés nem egyértelmű: két megoldás lehetséges. (Két nem egybevágó háromszög.) 4. feldt megoldás: 3. tnári melléklet írásvetítő fóli 3. tnári melléklet lásd modul eszközei közt!
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 21 FELDTGYŰJTEMÉNY háromszögek csúcsink, oldlink, szögeinek szokásos jelölése: szerkesztési feldtok mindegyikéhez készíts vázltrjzot, betűzve z oldlkt, szögeket; színezd z ismert dtokt; számozd szerkesztés tervezett lépéseit! füzetedbe dolgozz! B β c α γ b C 1. Szerkessz háromszöget megdott dtokból! ) b) b c b γ α α ) α-t lemásolni (csúcs: ); szárir rámérni c-t és b-t ( metszéspontok B és C csúcsok) b) α-t lemásolni (csúcs: ); egyik szárár rámérni b-t (metszéspont: C csúcs); C-be másolni ugynezen szárr z ( csúcs felé nyíló) γ-t; α és γ másik szárink metszéspontj B csúcs. 2. Szerkessz háromszöget megdott dtokból! ) = 54 mm; b = 3,4 cm; γ = 120º γ -t megszerkeszteni (C csúcs); szárir rámérni b-t és -t ( és B csúcsok) b) = 4,2 cm; b = 0,62 dm; α + β = 150º γ = 180º (α + β) = 180º 150º = 30º; innen megoldás zonos z ) pont-belivel 3. ) Egy háromszög dti következők: = 3 cm; β = 40º; γ = 110º. Vedd fel z dtokt (szögmérőt is hsználj), és szerkessz! z szksz végpontjib (B és C) felmérni β-t és γ-t; ezek másik szárink metszéspontj. b) Egy háromszög leghosszbb oldl 6,5 cm és szögeinek rány 1 : 2 : 3. Szerkessz! 180º : (1 + 2 + 3) = 30º; háromszög szögei: 30º; 60º; 90º. megdott, leghosszbb oldl végpontjib szerkeszteni 30º-os és 60º-os szögeket; másik szárik metszéspontj lesz (leghosszbb oldlll szemközti) 90º-os szög csúcs. 4. Szerkessz háromszöget, h ez egy ) szbályos háromszög, és mgsság 3 cm; egymástól 3 cm-re párhuzmosok; z egyiknek egy pontjáb () 60º-os szöget szerkeszteni; szögszár és másik egyenes metszéspontj C; -ból C-vel z egyenest elmetszeni: B. b) egyenlőszárú háromszög, mgsság 3 cm és szárszöge 45º; 45º-os szöget szerkeszteni (csúcs: C); szögfelezőt szerkeszteni és C-től rámérni 3 cm-t; e pontbn merőlegest állítni szögfelezőre; merőleges és szögszárk metszéspontji: ; B. c) egyenlőszárú háromszög, mgsság 3 cm és z lpon fekvő szöge 45º!
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 22 egymástól 3 cm-re párhuzmosok; z egyiknek egy pontjáb () 45º-os szöget szerkeszteni; szögszár és másik egyenes metszése C; C-ből C-vel z lp egyenesére visszmetszeni: B. 5. = 5,5 cm; b = 4,8 cm; γ = 75º. Szerkeszd meg háromszög mgsságpontját! Háromszög: γ -t megszerkeszteni (C csúcs); szárir rámérni b-t és -t ( és B csúcsok) Mgsságpont: merőlegesszerkesztések csúcsokból szemközti oldlkr; metszéspontjuk. 6. Szerkessz háromszöget, h egyik oldl = 45 mm, z oldlhoz trtozó mgsság m = 3 cm és β szöge: ) β = 75º; z szksztól ( BC szksz) 45 mm-re párhuzmos szerkesztése; B-be b) β = 90º; megszerkeszteni β-t (mindhárom esetben szerkeszthető); β szögszár és c) β = 120º párhuzmos egyenes metszéspontj ; -t és C-t összekötni. 7. Egy háromszög oldl 4 cm, rjt lévő két szög: β = 60º és γ = 30º. Szerkeszd meg, mjd tükrözd: Háromszög: z szksz végpontjib β és γ megszerkesztése; metszésük. ) z oldlár, deltoid (húrdeltoid) b) b oldlár, egyenlőoldlú háromszög c) c oldlár, 120º-os szárszögű egyenlőszárú háromszög d) z oldl felezőpontjár! tégllp Milyen sokszöget lkot z eredeti és tükrözött háromszög? 8. Szerkessz szbályos htszöget, h egy oldl = 3,3 cm! r = 3,3 cm kör dott pontjából r-rel metszeni kört; metszésbe leszúrv újr; ismételni 5. 9. Szerkessz egyenlőszárú háromszögekből szbályos nyolcszöget! háromszögek szári 2,5 cm-esek. 45º-os szöget szerkeszteni (csúcs: K); K köré r = 2,5 cm kört írni; szögszárkkl vló metszéspontok távolságávl mindig z új metszésbe leszúrv még 7 körbemetszeni kört. Szomszédos metszéspontokt összekötni nyolcszögoldlk és háromszögek lpji; metszéspontokhoz trtozó sugrkt behúzni z egyenlőszárú háromszögek szári. 10. Szerkessz BCD prlelogrmmát következő dtokból: ) B = 5,2 cm; BC = 2,5 cm és C = 5,7 cm C átló fölé zonos körüljárássl háromszögeket szerkeszteni, melyeknek másik két oldl BC és C. körívmetszések z C egyik oldlán B, másik oldlán D csúcsot dják. b) B = 3 cm; BD = 3 cm; DB szög = 60º 60º-os rombusz B felvétele; -b 60º-os szög szerkesztése; B-ből BD-vel elmetszeni másik szögszárt (D); BD másik oldlár háromszöget szerkeszteni B és D (szintén 3 cm) oldlkkl (C). c) B = 2 cm; C = 4 cm; CB szög = 90º B felvétele; -b merőlegest állítni; rámérni C-t (C); C-n át B-vel párhuzmos szerkesztése; C-ből B-vel átellenes oldlon elmetszeni párhuzmost B-vel (D). 11. Szerkessz deltoidot, h = 35 mm, b = 5,6 cm, két oldl áltl bezárt szög pedig derékszög! felvétele; egyik végpontjáb merőlegest állítni; rámérni b-t; és b másik végpontjin át tengelyt fektetni; erre tükrözni derékszögű csúcsot; képét összekötni és b végpontjivl. 12. Egy trpéz egyik lpj: B = 6 cm; egyik szár: D = 2,5 cm; egyik átlój: C = 4,2 cm és z csúcsnál lévő szöge 75º. Szerkeszd meg!
0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 23 CD szöget (105º ) felvenni, egyik szárár D-t felmérni, -ból másik szögszárt C-vel elmetszeni C csúcs, kpott DC lppl -n át párhuzmost szerkeszteni, erre -ból B-t rámérni B csúcs. 13. Szimmetrikus trpéz két lpj 8 cm és 4 cm, vn 60º-os szöge. Szerkeszd meg, mjd tükrözd hosszbb lpjár! Milyen sokszöget kptál? 8 cm-es lp; egyik végpontjáb 60º-os szög szerkesztése 4 cm-es körzőnyílássl; másik végpontjáb 60º-os szög szerkesztése 4 cm-es körzőnyílássl; két metszés összekötése z lp végpontjivl és egymássl. hosszbb lpr tükrözéssel szbályos htszöget kpunk.