Lieáris egyeletredszerek Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetei doces
Li. egyeletredszerek /2 Lieáris egyeletredszerek áltláos lkj Áltláos (részletes) lk: egyelet iseretle:,, Jelölések: 2 2 2,, 2 2 2,,
Li. egyeletredszerek /3 Li. egyeletredszerek áltláos lkj (folyt.) Tööre lk: Jelölések: együtthtóátri, Töör lk: 2 2 A A
Hoogé és ihoogé egyeletredszerek Hoogé egyeletredszer: Az A = lieáris egyeletredszert hoogéek evezzük, h = o. Ihoogé egyeletredszer: Az A = lieáris egyeletredszert ihoogéek evezzük, h o. Megjegyzések: Az A = o hoogé lieáris egyeletredszer idig egoldhtó, z = o egoldásvektort triviális egoldásk evezzük. Az A = lieáris egyeletredszert kozisztesek evezzük, h egoldhtó, ikozisztesek, h e oldhtó eg. Li. egyeletredszerek /4
A egoldhtóság feltétele (állítások) Lieáris egyeletredszerek egoldhtóságák szükséges és elégséges feltétele:. Az A = li. egyeletredszer egoldhtó vektor előáll z A együtthtóátri oszlopvektorik lieáris koiációjávl. 2. Az A = li. egyeletredszer egoldhtó r (A) = r ([A,]), hol [A,] z egyeletredszer kiővített átri: A,. ( ) Li. egyeletredszerek /5
Li. egyeletredszer egoldás Li. egyeletredszer egoldás : Tegyük fel, hogy z A = li. egyeletredszer egoldhtó, zz r (A) = r ([A,]) = k. Jelölje B k z A együtthtóátri k d li. függetle oszlopvektoráól felépülő átriot, továá R (-k) z A együtthtóátri rdék -k d oszlopvektoráól felépülő átriot. A egfelelő ideű iseretleek lkossák z B és R vektorokt. Ekkor: B B + R R = Li. egyeletredszerek /6
Li. egyeletredszer egoldás (folyt.) Mivel B oszlopvektori z A együtthtóátri oszlopvektorik egy iális li. függetle részhlzát képezik, így z R oszlopvektori és vektor előállk B oszlopvektorik lieáris koiációjávl. Ezért v oly D átri és d vektor, elyekre: R = BD és = Bd, hol: D átri z R oszlopvektorik B oszlopvektorir votkozó koordiátáit trtlzz, d vektor vektork B oszlopvektorir votkozó koordiátáit trtlzz. Így: B B + BD R = Bd, eől: B( B + D R d) = o. Li. egyeletredszerek /7
Li. egyeletredszer egoldó képlete Ie, ivel B oszlopvektori li. függetleek: B + D R d = o, zz: B = d D R egoldó képlet B : kötött iseretleek vektor R : szd iseretleek vektor A szd iseretleek száát z egyeletredszer szdsági fokák hívjuk. Li. egyeletredszerek /8
Megoldásvektorok szá Hoogé li. egyeletredszer egoldásvektorik száár votkozó állítások:. Az A = o hoogé li. egyeletredszerek csk triviális egoldás v r(a) =, hol z iseretleek szá. 2. Az A = o hoogé li. egyeletredszerek v triviálistól külööző egoldás is r(a) <, hol z iseretleek szá. Megjegyzés: ee z esete z egyeletredszerek végtele sok egoldásvektor v. Li. egyeletredszerek /9
Hoogé-ihoogé egyeletredszer-pár Hoogé-ihoogé egyeletredszer egoldáshlzi közötti kpcsolt: Tekitsük z A = o és A = hoogé-ihoogé egyeletredszer-párt. Jelölje M 0 hoogé egyeletredszer egoldáshlzát, M z ihoogé egyeletredszer egoldáshlzát, 0 z ihoogé egyeletredszer egy rögzített egoldásvektorát. Ekkor: M = M 0 +{ 0 }. Li. egyeletredszerek /0
Lieáris egyeletredszerek: összefogllás Megoldásvektorok szá Nics egoldás (Az e. r. e oldhtó eg.) d. egoldásvektor (Az e.r. egyértelűe egoldhtó.) Hoogé li. e.r. A = o ------- r(a) = M 0 = {o} Ihoogé li. e.r. A = r(a) < r([a,]) M = r(a) = r([a,]) = M = { 0 } Végtele sok egoldásvektor r(a) < M 0 r(a) = r([a,]) < M = M 0 +{ 0 } Li. egyeletredszerek /
A Crer-szály Tekitsük z A = li. egyeletredszert, hol z A együtthtóátri égyzetes: A = [ 2 ]. Legye D = det(a), D = det([ 2 ]), D 2 = det([ ]), D = det([ 2 ]). Ekkor: D k = D k, k =,,. Li. egyeletredszerek /2
A Crer-szály következéyei Következéyek:. H D0, kkor z egyeletredszer egyértelűe egoldhtó és egoldásvektor k-dik kopoese: k = D k / D, k =,,. 2. H D=0 és vlely k-r D k 0, kkor z egyeletredszer e oldhtó eg. 3. H D=D = =D = 0 és r(a) = r([a,]), kkor z egyeletredszerek végtele sok egoldásvektor v. (Ee z esete egoldásvektorok előállításár Crer-szály e lkls.) Li. egyeletredszerek /3
A Crer-szály következéyei (folyt.) 4. Az A = o hoogé li. egyeletredszerek csk triviális egoldás v D0. 5. Az A = o hoogé li. egyeletredszerek létezik triviálistól külööző egoldás is D=0. (Ee z esete z egyeletredszerek végtele sok egoldásvektor v, de ezeket Crer-szállyl e tudjuk előállíti.) Li. egyeletredszerek /4