Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat eredménye: 0-49 elégtelen, 50-61 elégséges, 6-73 közepes, 74-85 jó, 86-100 jeles. Javítókulcs ELMÉLET 1 1. Írja fel két vektor skaláris szorzatát! Hogyan számoljuk ki ezt az értéket, ha a két vektort koordinátáival adjuk meg?. Definiálja a mátrix rangjának fogalmát! 3. Mit mondhatunk az a n = q n sorozat konvergenciájáról és határértékéről? 4. Milyen q-ra vonatkozó feltételek mellett konvergens a k=0 q k végtelen sor és mennyi az összege? 5. Definiálja az f kétváltozós valós függvény P 0 (x 0,y 0 ) pontbeli x-szerinti parciális deriváltját! 6. Milyen típusú az y + f (x)y = g(x) differenciálegyenlet? 7. Mit nevezünk fának és erdőnek a gráfelméletben? 8. Mit nevezünk félcsoportnak? Mondjon példát egységelemes félcsoportra, amelyik nem csoport! 1 A definíciók és a tételek leírását a megoldásban nem tüntetjük fel, ezek az előírt jegyzetekben megtalálhatók. képlettel
9. Az alábbi állítások közül döntse el, hogy melyek igazak és melyek hamisak? 3 Válaszát a mellékelt kis négyzetben jelölje I/N-nel! a) Két komplex szám összegének abszolútértéke megegyezik az abszolútértékeik összegével. N pont b) A komplex számok halmaza a szorzással csoportot alkot. N pont c) x y(pxy Pyx) tagadása a x y( Pxy Pyx) formula. N pont d) Van olyan ϕ lineáris transzformáció, amelynek nincs sajátvektora. I pont e) Ha p q logikai értéke 1 úgy, hogy q logikai értéke 1, akkor p logikai értéke 1. N pont f) Ha egy f egyváltozós valós függvény az [a,b] zárt intervallumban folytonos, akkor f integrálható is az [a,b]-n. I pont g) Van olyan α, hogy a n=0 1 alakú numerikus sor divergens. I nα pont h) A másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása előáll két lineárisan független partikulális megoldás lineáris kombinációjaként. I pont 3 Válaszát csak indoklással fogadjuk el!
FELADATOK 1. Adott az a T (1;1;1) T, b T (;3;4), c T (;4;3), d T (4;5;6) vektorrendszer. a) Van-e olyan lineáris kombinációja a, b és c vektoroknak, amely előállítja a d vektort? Amennyiben van, állítsa elő, ha pedig nincs, akkor indokolja, miért nincs! 4 I 6 pont Megoldandó az x 1 a + x b + x 3 c = d vektori egyenlet, amely egy háromismeretlenes egyenletrendszernek felel meg: x 1 + x + x 3 = 4 x 1 + 3x + 4x 3 = 5 x 1 + 4x + 3x 3 = 6 Az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van az egyes ismeretlenekre: x 1 =, x = 1és x 3 = 0. A keresett lineáris kombináció: a + b = d. b) Határozza meg annak a mátrixnak a rangját, amelyiknek oszlopai rendre az a, b, c és d vektorok 5. Az előző feladatban egy olyan háromismeretlenes egyenletrendszert oldottunk meg, amelyiknek az együtthatómátrixa a, b és c oszlopvektorokból áll. Mivel az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van, az együttható-mátrix rangja és a kibővített mátrix rangja meg kell, hogy egyezzen, valamint ez a közös rang azonos az ismeretlenek számával, ami 3, a kibővített mátrix rangja 3. c) Írja fel azokat a vektorokat, amelyek az a és a b vektorokra merőlegesek és hosszuk egység! a b = i j + k a b = 6, tehát e a b,1 = ( 6 ; 4 6 ; 6 ), e a b, = ( 6 ; 4 ; ) 6 6 6 pont d) Írja fel az a és a b vektorok által kifeszített azon sík egyenletét, amely átmegy az origón. x y + z = 0 4 Válaszát(I/N) írja be az üres négyzetbe! 5 A fent megadott vektoroknak megfelelő oszlopvektorok.
e) Igazolja, hogy az előző pontban megadott sík pontjai vektorteret alkotnak és határozza meg e vektortér egy bázisát! 5 pont A vektorok közötti összeadás valamint a skalárral való szorzás elvárt tulajdonságai nyilván teljesülnek, mivel a sík pontjaihoz tartozó vektorok halmaza az R 3 -nak egy részhalmaza. Azt kell csupán belátni, hogy ez a halmaz zárt az adott műveletekkel. Ha két, a síkhoz tartozó pont helyvektorát összeadjuk, akkor, mivel a sík egyenletét mindkét vektor kielégíti, az összegvektort behelyettesítve az egyenlet bal oldalába, 0-t kapunk, tehát az összegvektor a sík egy pontjának helyvektora. Hasonlóképpen behelyettesítve egy vektor számszorosát az egyenlet bal oldalába, az eredmény megint 0 lesz, tehát tetszőleges vektor számszorosa is a sík egy pontjának helyvektora. Egy bázis két olyan lineárisan független vektorból áll, amelyek mindegyikének (x, y, z) koordinátáira igaz, hogy x y + z = 0. Ilyen például a (b 1, b ), ahol b 1 = (1;0; 1), b = (0;1;).. Legyen az f : R \ {0} R +, f (x) = x e 1 x. a) Vizsgálja a függvényt monotonitás szempontjából. 5 pont ( Megoldás: f (x) = e 1 x (x + 1) f 1 ) = 0 x ], 1 [ 1 ] 1,0[ ]0, [ f (x) 0 + + f (x) min.hely b) Írja fel a függvénygörbe érintőjének egyenletét az x = 1 pontban. 4 pont Megoldás: f (1) = 3 e, f (1) = 1 e. Az egyenes egyenlete: y 1 e = 3 (x 1) e c) Igazolja, hogy a ], 0[ intervallumon az f függvény görbéje konvex. f (x) = e 1 x x + x + 1 x > 0 A megadott intervallumban a függvény második deriváltja mindenütt értelmezett és pozitív, tehát a függvény az adott intervallumon konvex. d) Döntse el, hogy az f -függvény bijektív-e vagy sem! Indokolja állítását! Nem bijektív, mert az f függvény az f ( 1 ) értéket kivéve minden pozitív valós értéket legalább kétszer
vesz fel a ],0[ intervallumban. 3. f : R R ; f (x;y) = sinxcosy a) Határozza meg f parciális deriváltjait és az α = 45 -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P 0 ( π 6 ; π 6 ) pontban! 4 pont b) Írja fel a z = f (x;y) felület P 0 -hoz tartozó érintősíkjának egyenletét! c) Számítsa ki f kettős integrálját { a T = (x;y) R 0 x π, 0 y π } tartományon! 4 pont a) f x(x;y) = cosxcosy, f x(p 0 ) = 3 4, f y(x;y) = sinxsiny, f y(p 0 ) = 1 4 f α(p 0 ) = f x(p 0 )cosα + f y(p 0 )sinα = 4 0,3536 3 b) z 0 = 4, n(3; 1; 4) és S : 3x y 4z = π 3 3 0,6848 c) π ( π ) π f (x;y)dt = sinxcosydx dy = [ cosxcosy] π 0 dy = T 0 0 0 π 0 cosydy = [siny] π 0 = 4. a) Van-e olyan fagráf, amelyiknek van nyílt Euler sétája? 6 I pont Van, olyan fagráf felel meg, amelyiknek minden pontja másodfokú kivéve kettőt, amelyek elsőfokúak. Az utak mind ilyen fagráfok. b) Legyen egy 7 csúcsú fagráf Prüfer kódja (1346). Határozza meg a gráf elsőfokú pontjait! A gráf kódja alapján felírjuk az éleket: (1,5),(,1),(3,),(4,3),(6,4),(6,7). Az elsőfokú pontok azok, akik csak egyetlen egyszer szerepelnek a felírt élek végpontjaként, ilyenek az 5-ös és a 7-es cimkéjű pont. 6 A választ ne felejtse el indokolni!
5. A = {a,b,c}. a) Igazolja, hogy a (P(A); ) algebrai struktúra egyégelemes félcsoport! Vizsgálja meg, hogy csoport-e? Döntését indokolja! 4 pont Az unió művelete kétváltozós asszociatív művelet a P(A) halmazon. Az X /0 = X, ha X P(A) miatt a félcsoport egységeleme az /0. Mivel két halmaznak uniója csak akkor /0, ha mindkét halmaz /0, így egyetlen nem üres halmaznak sincs inverze a P(A)-ban, azaz a struktúra nem csoport. b) Háló-e a (P(A);, ) algebra? Miért igen/nem? I pont Mivel a műveletek kommututatívak, asszociatívak és igaz rájuk az abszorpció, a struktúra háló.