KARSZTFEJLŐDÉS VII. Szmbathely, 2002. pp. 73-86. A KARSZTOS LEPUSZTULÁS SEBESSÉGÉNEK KISZÁMÍTÁSA EGY TÖRMELÉKES OLDÓDÁSI ZÓNA ADAT AINAKFELHASZNÁLÁSÁVAL PÉNTEK KÁLMÁN 1 - VERESS MÁRTON 2 1 Berzsenyi Dániel Főiskla, Matematika Tanszék pentek@fs2.bdtf.hu, 2 Berzsenyi Dániel Főiskla, Természetföldrajzi Tanszék vmartn@fs2.bdtf.hu 9700 Szmbathely, Kárlyi Gáspár tér 4. Abstract: By using the mathematical mdel f the hrizntical karstiflcatin we determine the relcity f the denudatin the /cnrst area. W e culd get at the value f the denudatin velcity as 5.6 10' 1 m"ryear, ifwe tk int accunt /OOO hurslyear slutinal perid. l. Bevezetés A karsztsadó mészkő térszínek karszts lepusztulásának mrflógiai mdelljét VERESS M., míg matematikai mdelljét PÉNTEK K. hzta létre (VERESS M.-PÉNTEK K. 1990, 1994, 1996 és PÉNTEK K. 1998). Amdell finmítását PÉNTEK K. (2001) végezte el, aki a krábbi leírás lényeges elemeit megtarttta, visznt a tvábbfejlesztett matematikai megfgalmazás pntsabban illeszkedik a jelenség mrflógiai mdelljéhez. A finmíttt mdell alkalmas visznylag kis számú, terepi munkával meghatárzható paraméter ismeretében az adtt karszts térszín lepusztulási sebességének meghatárzására. A karszts felszín lepusztulási sebességét több kutató is vizsgálta. Így például BÖGLI, A. (1961) a karrasztalk mérésével, CUCCHI, F. FORT, F.- MARINETTI, E. (1996) a közethe épített fémcsapk magasságának újramérésével, TRUDGILL, S. T. (1975, 1985), KASHIMA, N. et. al (1996) a vizsgált területre kihelyezett mészkő tabletták súlyának újramérésével határzták meg az adtt terület denudációs sebességét. zambó L. (1986) és ZAMBÓ L.- FELVIN L. (2000) a talaj-hatás mérésével közvetett módszert adtt a karszts pusztulás sebességének becslésére. Az alábbiakban bemutatjuk azt a módszert, amelynek segítségével PÉNTEK K. (2001) dlgzatában nyert összefiiggésekből kiindulva ténylegesen elvégezhető a karszts denudáció sebességének kiszámítása. Így tehát jelen dlgzat PÉNTEK K. (2001) munkája szerves flytatásának tekinthető, 73
s az tt bevezetett jelöléseket használjuk az egyes fizikai mennyiségek megnevezésére. E dlgzat önálló érthetősége érdekében aznban tömören öszszefglaljuk jelen mndandónk megértéséhez szükséges legfntsabb előzményeket. 2. A gemrflógiai és a matematikai mdell A gemrflógiai mdell kezdeti feltétele egy talajréteggel fedett, repedezett mészkő összlet. A talajn átszivárgó csapadékvíz széndixiddal feldúsulva hatl be a mészkő repedezett felső tartmányába, ahl tvább haladva lefelé ldással szélesíti a repedéseket, miközben telítődik. E flyamat eredményeként a kőzet felső tartmányából kifejlődik az adtt térszíme jellemző vastagságú törmelékdarabkból álló zóna. Ezen törmelékes zóna flyamatsan eltlódik lefelé, s ez a térszín alacsnyadását eredményezi, ugyanis a zóna felső részén az agresszív ldószer hatására a törmelékdarabkák felldódnak. Ezáltal a közethe szivárgó víz telítődési határa a szálban álló közethe lefelé tlódik el, ezért a zóna alulról a szálkőzetből pótlódik. E vázlatsan ismertetett gemrflógiai mdell matematikai leírása srán a karszts ldás NERNST, W. (1904) által felállíttt (I). differenciálegyenletet alkalmaztuk. Itt m = a mészkő ldásnak kitett felületéről eltávztt tömeg, t = a mészkő ldásának időtartama, kk = kémiai ldás sebességi állandója, kr = határrétegben végbemenő sebességi állandója, s = az ldódó mészkő anyagtranszprt felülete, ce a felldtt kalciumkarbnát egyensúlyi kncentrációja és végül C az ldat aktuális kalciumkarbnát kncentrációj a. A matematikai mdellben a törmelékes ldódási zónát szabálys kckarácsban elhelyezkedő gömb alakú mészkő törmelékdarabkákból építettük fel, amelyek a kőzet tényleges töredezettségére jellemző a átmérővel rendelkeznek, s n számú hrizntális rétegben helyezkednek el. Feltételezzük, hgy ha d vastagságú a törmelékes ldódási zóna, akkr a lefelé haladó ldószer a (2) (O~ x~ d) 74
lineáris függvény szerint telítődik, ahl x jelenti a zóna felső határától mért mélységet. Pntsabban szólva a (2) alakú függvényt az egyes hrizntális gömbrétegek határán ugró (3) C(x)=2k-l C 2n e (Ck -1) a ~x< k a, l~ k $n) alakú lépcsős függvénnyel közelítjük. Alulról felfelé haladva az egyes rétegekben levő R n, Rn-l,..., R 1 sugarú törmelék gömbök ldódási flyamatát a következő alakú egyenletekkel írhatjuk le: _1_. Ce!1t = Rn- Rn-t +_!_.R;- R;_1 2n p kk 85 VD 2 v, _2_. ce /1{ = Rn-l -Rn-2 +_!_. RLl -R;_2 (4) 2n p kk 85 VD 2 v A fenti n számú összefüggésekben p = a mészkő sűrűsége, 11t= tiszta ldódási szakasz időtartama, D = diffúziós állandó és v= az áramló ldószer kinematikai viszkzitási tényezője. A matematikai mdell részletei, a (4) alatti összefüggések részletes levezetése PÉNTEK K. (2001) dlgzatában megtal álható. 3. A törmelékgömbök sugarainak meghatárzása A tvábbiakban a (4) összefüggésekből kiindulva meghatárzzuk az ideális törmelékes ldódási zóna egyes rétegeiben található törmelékgömbök R n, R,._ 1, R,._ 2,..., R 1, R 0 sugarát. Ehhez első lépésként képezzük rendre a (4) alatti egyenletekből az első, majd az első kettő, ezután az első hárm,..., végül az első n szám ú, vagyis az összes egyenlet összegét. Ekkr a következő frmulákat nyerjük: 75
1+3+... +(2n-1). Ce flt= Rn -R0 +_!_ R~ -R;. 2n p kk 85 VD 2 v Mst használjuk fel, hgy az elsők darab páratlan szám összege!?, ezzel az (5) összefüggések alakja: (6) f_. Ce flt= Rn -Rn-1 +_!_.R~ -RL~ 2n p kk 85 VD 2 v ' ~-Ce flt= Rn -Rn-2 +_!_ R~ -RLz 2n p kk 85 VD 2 v ' Válasszuk szét ezután a (6) egyenletekben a jbb ldaln a megegyező indexek szerint a törmelékgömbök sugarait tartalmazó tagkat. Ekkr nyerjük a (7) 76
összefüggéseket. Mivel R 0 = O a teljesen felldódtt törmelékgömb sugara, így a (7) utlsó frmalájajbb ldalán a másdik zárójelben szereplő menynyiség O. Vnjuk ki ezután rendre a (7) utlsó összefüggéséből az elsőt, az utlsó összefüggésből a másdikat,..., végül az utlsóból az utlsó előttit. Ekkr az (8) összesen n-1 szamu összefüggést nyerjük. Láthatjuk, hgy a (8) alatti egyenletek mindegyike az egyes törmelékgömbök sugarait határzza meg egy-egy másdfkú algebrai egyenlet által. Ezen egyenleteket az ismeretlen törmelékgömbök sugarának csökkenő hatványai szerint elrendezve kaphatjuk rendre a következő összefüggéseket: (9) Bár ezen n-1 számú másdfkú algebrai egyenlet algebrailag megldható, s ebből R n-l, Rn_ 2,..., R 1 sugarak meghatárzhatók, aznban az együtthatókat megvizsgálva megállapíthatjuk, hgy 77
(10) 8 l ----:==>>- 85 VD2v kk' így jó közelítéssel eltekinthetünk az ismeretlenek lineáris tagjaitól a (9) öszszefuggésekben. Ekkr tehát a (ll) egyenleteket nyerhetjük, amelyekből rendre a törmelékgömbök sugámégyzetei a (7) utlsó frmuláját is felhasználva a fentivel analóg elhanyaglással: (12) 2 85 VD 2 v n 2 -(n-1) 2 C RI = ' e' /11. 8 2n p Mst pedig az utlsó összefiiggésnek az elsővel, az utlsó előttinek az elsővel,..., végül a másdiknak az elsővel való elsztásakr az egyes sugárnégyzeteknek a legalsó gömbréteg sugámégyzetéhez való visznyát nyerhetjük: 78
R 2 l R 2 n R 2 2 (13) R 2 n = n2 -(n-1) 2 n2-02 = n 2 -(n-2) 2 n2-02 Ezen (13) alatti összefiiggésekböl pedig négyzetgyök vnása, majd az Rn = a értékkel történő megszrzással megkaphatjuk az ideális törmelékes 2 ldási zóna egyes rétegeiben található törmelékgömbök sugarait felülről lefelé haladva: (14) és R 0 =O. Példaként tekintsünk egy lyan ideális törmelékes ldási zónát, amelynek vastagsága d = l m, a legalsó rétegben található gömbök átméröje a= 0,1 m, s így a rétegek száma d= n a alapján n= l O. Ekkr a (14) összefiiggések alapján az egyes rétegekben levő törmelékgömbök sugarai az I. táblázatban találhatók. A táblázat adataiból pedig már megszerkeszthetjük az R = R(x) fiiggvény grafiknját, amelyet az l. ábrán láthatunk. A karszts térszínek mrfmetriai vizsgálatánál alapvető jelentőséggel bír a lepusztulás becslése, illetve sebességének meghatárzása. A denudációs sebesség kiszámításának fő prblémáját a törmelékzónát képező karsztsdás esetén az jelenti, hgy nem ismelj ük a tönnelékes zónába be- 79
lépő és felül még agresszív, majd lefelé szivárgva az ldás flytán flyamatsan telítődő C= C(x) függvényt, amelynek egyik lehetséges lineáris megközelítését a (2) frmulában találhatjuk l. táblázat. Tab/e l. Ideális törme/ékes ldási zóna törmelék gömbjeinek sugara a zónafelső határától való mélységfiiggvényében Jn this ens e (theratical/y) the radi us f spherica/s shape pieces f the slutin zne depend n frm the dept h x[m] R(x)fm] 0,1 2,15 10'2 0,2 2,98 10'2 0,3 3,56 10'2 0,4 3,99 10 2 0,5 4,32 10'' 0,6 4,58 10'1 0,7 4,77 10' 0,8 4,89 10' 0,9 4,97 10'' 1,0 5,00 10'' Megjegyzés: lll d=/ m, a=o.i m, n=/0 Nticed: Here is d=/ m. a=o.i m, h=! O R [cn~ 5 4 3 2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 [cm] l. ábra: Az l. táblázat adataiból szerkeszte/1 elméleti R=R(x) függvény grajiknja Fi g. l. The diagram f the functin R=R(x) which was creat ed frm the data f the Tab/e J. 80
A 3. fejezetben bemutattt számításainkat felhasználva aznban a C= C( x) fiiggvény explicit alakjának ismerete nélkül is kiszámíthatjuk a denudációs sebességet. Ehhez csupán a törmelékes ldódási zóna gemetriai jellemzőit kell meghatárzni a vizsgált karszts terület természetes, vagy mesterséges vertikális feltárulásánál A karszts térszín denudációs sebessége mdellünk alapján a (15) összefüggéssei határzható meg (PÉNTEK K. 2001). A (15) frmulában szereplő paramétereket az alábbi típuskba srlhatjuk: a) A törmelékes ldási zóna gemetriai jellemzői: d = a törmelékes zóna vastagsága, a= a törmelékdarabk átlags átmérője a törmelékes zóna alján. b) A mészkő kémiai ldásánakjellemzői : Ce= a felldtt mészkő egyensúlyi kncentrációja az ldószerben, kk = a mészkő kémiai ldásának sebességi állandója. c) Aszivárgó-áramló ldószer hidrdinamikai jellemzői: D= az áramló ldószer diffúziós állandója, v = az áramló ldószer kinematikai viszkzitási tényezője. 4. Mintavétel és az adatfeldlgzás módszere Vizsgáljuk mst meg stjában a (15) frmulában szereplő paramétertípuskat, hgy milyen módszerrel tudjuk értéküket meghatárzni, illetve kielégítő pntssággal becsülni. A törmelékes zóna több feltárulását is tanulmányzhatjuk az E 71 rszágút útbevágásainál (Hrvátrszág, Plitvicei-tavaktól északra). Az útbevágás által feltárt egyik törmelékes zónát - amely gemrflógiai helyzete rniatt környezetéből törmelék anyagt nem kaphat - mintáztuk meg. (Földrajzi krdinátáiq> =44 59' 55,4"; A.= 15 45' 42,8"; magassága h= 308m.) Az összletek a következők fentrőllefelé haladva: l. talaj, 2. mállási maradék, 3. mállási maradék törmelékkel, 4. tömbökre különült kőzet mállási maradék nélkül, 5. szálkőzet Ezen összletek közüla törmelékes zóna d vastagságával a 3. alatt szereplő réteg vastagsága aznsítható. Az ezen zónából vett mintasrzat feldlgzásával ábrázlhatjuk a zóna felső határától mért x mélység függvényében az tt található törmelékdarabk átlags átmérőjének felét, vagyis a gömbnek tekintett törmelékdarabk kiátlaglt sugarát. E suga- 81
rakat összevetve a ( 14) összefiiggésekben mért sugarakkal az a pararnéter megadható. R(cm] 10 5 l / l 1/ :, / / / / --- ------- ----- 30 50 100 140 x~m] 2. ábra: A hrvátrszági felmérés adataiból szerkeszte/1 R=R(x) fggvény grafiknja Fi g. 2. The diagram f the jimctin R=R(x) which was cnsturt ed frm the data f the creatin measurements A mintavétel módszere az alábbi vlt: felülrő l lefelé haladva 20 centiméterenként véletlenszerűen kb. 30-40 db törmelékdarabt emeltünk ki. A minták anyagát a következő módn dlgztuk fel: megmértük az egyes törmelékdarabk átmérőjét hárm, párnként egymásra merőleges, a törmelék alakjára jellemző irányban. Ezen átmérők átlagát képezve meghatárztuk a törmelékzóna adtt mélységében a képzeletben gömb alakúra transzfrmált törmelékdarab átmérőjét, majd ezt felezve nyertük a megfelelő törmelékgömb sugarát. E sugár értékét ábrázltuk a zóna felső határától mért mélység fiiggvényében. Így nyertük a 2. ábrán szereplő fiiggvényt, amelyből látható, hgy elméleti mdellünk alkalmazható és keresett paramétereink értéke: d = 1,25 m, a = 0,08 m. A mészkő ldása kémiai flyamatát vizsgálva DUBLJANSZKIJ J. V (1987) szerint a kőzet felületéről leldtt mészkő ldatban levő egyensúlyi kncentrációja meghatárzható a 82
(16) képlet alapján, ha Ac= -7,58 10-3 ~g, Be= 3,92 k~ és T jelenti az m K m ldat abszlút hőmérsékletét. A T= 283 0 K = l 0 C értékkel számlva az ldat egyensúlyi kncentrációjára a (17) kg ce = 1,77486-3 m érték adódik. A mészkő karszts ldása (l) alatti differenciálegyenletében fellépő kémiai ldás sebességi állandóját DUBUANSZKIJ, J. V. (1987), RICKARD, D. - SJÖBERG, E. L. (1983, 1984) alapján a (18) frmulával határzhatjuk meg, ahl sm 4 J e'sr'=8314 J Ax=5,36 10 -, Ex=5,41 10-, s ml ml K A fenti T = 283 K = 10 C értéknél a kémiai ldás sebességére nézve a (19) kx = 5,53749 10-5 m s értéket nyerjük. A karszts ldás hidrdinamikai jellemzőit vizsgálva szintén DUBL.JANSZKIJ, J. V. (1987) és RICKARD, D. - SJÖBERG, E. L. (1983, 1984) nymán a diffúziós állandót kiszámíthatjuk a (20) - E D= A e R' T 2 J képlettel, ha A 0 = 2,37 10-3 m, E 0= 3,72 10 4 -. A szkáss T= s m 1 283 0 K = 10 C hőmérsékleten dlgzva a diffúziós állandóra a 2 (21) D= 3,22346 10-10 m s 83
értéket kaphatjuk Az áramló ldat kinematikai viszkzitásáhz DUBLJANSZKJJ, J. V. (1987), valamint RICKARD, D. - SJÖBERG, E. L. (1983, 1984) eredményeit felhasználva (22) 2 frmulát használhatjuk, ahl Av = 2,59 l - 9 m, Ev = 1,46 l 0 4 _J_, s s ml válasszuk a rendszerre jellemző T= 283 K = l 0 C hőmérsékletet. Ekkr 2 (23) v = 1,28288 l - 6 m s adja meg a karszts ldást megvalósító ldat kinematikai viszkzitási tényezőjét. Megemlítjük, hgy a (18), (20) és (22) összefiiggések az Arrhenius egyenletek, tvábbá R' az egyetemes gázállandó és p = 2700 k~ a mészkő m sűrűsége. A fentiekben kiszámíttt értékeket a (15) frmulába helyettesítve már könnyen kiszámíthatjuk vizsgált helyszínen a denudáció sebességének számértékét, amelyre (24) c= 136 10-8 m= 4 897 10-2 mrn, s ' h adódik. E sebesség aznban flyamats karszts ldással (ldódási időtartam) száml, nha a flyamat az ldószer hiányában leáll. Ha aznban krábbi módszerünknek megfelelően éves visznylatban megállapítunk a csapadékadatk tanulmányzása alapján egy, az adtt területen reális (25) h 7]= 1000-, ' ev az ldási időtartamnak a teljes év hsszáhz visznyíttt arányssági tényezőjét, akkr megkaphatjuk annak a karszts térszínnek a lepusztulási sebes- 84
ségét, ahnnan a törmelékes zónát mintáztuk és a törmelékdarabk méreteit meghatárztuk. A denudációs sebesség értéke a fentiek alapján: (26) c =7] c=56 10_ 3 mm '7 ' ' ' ev ami más szavakkal azt jelenti, hgy nagyjából 180 év alatt süllyed a vizsgált terület l mm értéket. Megjegyezzük, hgy a fentiekben bemutattt számpéldánk eredményében tvábbra is jelentős méretű biznytalanság rejtőzik. Figyeljük meg ugyanis, hgy kis területen belül is kmly inhmgenitásk tapasztalhatók a törmelékdarabk mélység szerinti elsztásában, illetve a törmelékes ldási zóna vastagsága is helyről helyre váltzhat. Szeszélyesebb csapadékelszlás, nagybb, vagy kisebb mennyiségű hó lvadása is jelentős beflyásló tényező a karsztsdó aktív és inaktív időszakk meghatárzásakr. 5. Eredmények Dlgzatunkat egy lyan mdellre alapztuk, amely lényegében megragadja és matematikailag is kiszámíthatóvá teszi a karszts térszínek denudációs sebességét (PÉNTEK K. 2001). A jelen dlgzatban bemutattt részletes numerikus példa tanúsága szerint jó megközelítése a valóságnak egy lyan telítődési fiiggvény elfgadása, amely (2) frmulában található. Természetesen nem kizárt, hgy egy nem lineáris fiiggvénnyel jellemezhető telítődési fiiggvénnyel egy adtt másik karszts térszín lepusztulási flyamata pntsabban leírható. Számításaink eredményeként azt találtuk, hgy a vizsgált területen a karszts denudáció sebessége l OOO óra/ év ldódási időtartamt feltételezve 5,6 10-3 rnm/év, ami aztjelenti, hgy e sebesség nagyságrendjét tekintve jó egyezést mutat a bevezetésben említett szerzők más módszerrel nyert sebességi adataival Matematikai mdellünk kidlgzása srán mindvégig igyekeztünk lehetőség szerint egyszerűségre törekedni, éppen a felhasználói ldal számára elősegítendő a könnyebb alkalmazhatóságt. Kívánats törekvésünk a jövőben, hgy dlgzatunkban ismertetett matematikai mdellünket minél több karszts területen kipróbáljuk, s így lehetőségünk legyen megbiznysdni annak eredményes használhatóságáról 85
IRODALOM BÖGLL A. (1961): Karrentische, ein Beitrag zur Karstmrphlgie - Zeitschrift ftir Gemrphlgie. 5. p. 185-193. CUCCHL F.-FORT, F.-MARINEITL E. (1996): Surface degradatin f carbnate rcks in the karst f Trieste (Classical Karst, Italy). - In: FORNÓS, I. J.-GINÉS, A. (szerk.): Karren Landfrms, p. 41-51, Universitat de les Illes Balears, Palma de Mallrca DUBLJANSZKIJ, J. V. (1987): Tereticseszkje mdelirvanije dinamiki frmirvanija gidrtermkarsztvüh plsztyej - Metdi i izucsenyija gelgicseszkih javlenyij, Nvszibirszk p. 97-111. KASHIMA, N.-URUSHIBARA-YOSHINO, K. (1996): Karren develpment. Slutinal ersin measurements by the limestne-tablet methd in Shikku Island, Suthwest Japan- In: FORNÓS, I. J. - GINÉS, A. (szerk.): Karren Landfrms, p. 65-73, Universitat de les Illes Balears, Palma de Mallrca NERNST, W. (1904): Terie der Reaktinsgeschwindigkeit in hetergenen Systemen II.- Zeitschrift für Physikalische Chemie. 47. p. 52-55. PÉNTEK, K. (1988): Néhány karszts flyamat matematikai leírása - Ph.D. disszertáció. JATE, TTK PÉNTEK K. (2001): Karsztsadó mészkő térszínek lepusztulásának matematikai mdellje - Karsztfejlődés VI. BDF Természetföldrajzi Tanszék, Szmbathely, p. 13-25. RICKARD, D.-SJÖBERG, E. L. (1983): Mixed kinetic cntrl f calcite disslutin rates - American Jurnal f Science, Vl. 283. p. 815-830. RICKARD, D.-SJÖBERG, E. L. (1984): Temperature dependence f calcite disslutin kinetics between l and 62 C at ph 2,7 t 8,4 in aqueus slutins - Gechimica et Csmchimica Acta. Vl. 48. p. 485-493. TRUDGILL, S. T. (1985): Limestne gemrphlgy- Lgman, New Yrk VERESS M.-PÉNTEK K. (1990): Kísérlet a karszts felszínek denudációjának kvantitatív leírására - Karszt és Barlang I. p. 19-27. VERESS M.-PÉNTEK K. (1994): Néhány karszts flyamat leírása a fizikai-kémiai hidrdinamika alapján - BDTF Tudmánys Közleményei IX. Természettudmányk IV. Szmbathely, p. 19-42. VERESS M.-PÉNTEK K. (1996): Theretical mdel f surface karstic prcesses - Zeitschrift ftir Gemrphlgie 40. 4. p. 461-476. ZAMBÓ L. (1986): A talaj-hatás jelentősége a karszt krróziós fejlődésében - Kandidátusi disszertáció, MT A Könyvtár, Kézirat zambó L.-FELVIN L. (2000): Relatinshipp f sil effect in karst crrsin and karren develpment - Annales Szegediensis (megjelenés alatt) 86