3D-s számíógépes geomeia és alakzaekonskció 3. Felülemeszések páhzamosan elol és lekeekíő felüleek hp://cg.ii.bme.h/poal/noe/3 hps://www.ik.bme.h/kepzes/agak/viiiav8 D. Váa Tamás D. ali Pée BME Villamosménöki és Infomaikai Ka Iáníásechnika és Infomaika Tanszék

Taalom I. Felülemeszések alkalmazások köeelmének algebai mószeek iszké mószeek göbeköeés II. Páhzamosan elol göbék és felüleek alkalmazások önmeszések algebai mószeek közelíő mószeek III. Lekeekíő felüleek algebai mószeek göülő gömb paameiks appoimáció 3D-s számíógépes geomeia

Felüle-felüle meszések Alkalmazások halmazműeleek konúok szinonalak szile onalak lekeekíő felüleek Köeelmének aomaiks ponos haékon megbízhaó Felülemeszések 3

Felüle-felüle meszések Felülemeszések 4

Felüle-felüle meszések 3 Felülemeszési poblémák sokféle epezenáció kombinációja implici & implici: F z F z implici & paameiks: F z paameiks & paameiks: ps a meszésgöbe öbb aabból állha szingláis eseek: csp csúcspon elágazás éinőleges felüleek pici hkok önmeszés Algoimsok iek speciális eseek algebai feloszásos sbiision : nem kell kezőpon -: szingláis ponok kis hkok göbeköeés acing : eplici göbék -: kezőpon beállíás lépésáolság Ké henge meszése Felülemeszések 5

Felüle-felüle meszések 4 Meszésgöbe eplici algebai fomában. implici. paameiks beheleesíés Fz Fz { i i } göbeappoimációk: { i i } {F i i z i } HENGER : R ÍK : [ A B Cz D ] a b c ELLIPZI : a b c a b c R F koneziók i paameiks implici: minig leheséges implici konezió acionális polinomból: Fz bonoll algeba magas fokszám n X m felüle - implici foma: nm ké hamafokú meszésgöbéje algebailag: **9*934 fokú! ii implici paameiks: álalánosan nem leheséges lineáis és másofokú - OK egébkén csak speciális eseekben Felülemeszések 6

Kiéő Dpin álalános ósz felüleek cclies Implici epezenáció Paameiks epezenáció Alkalmazás álozó sgaú lekeekíésekhez Implici és paameiks 7

Ujjgakola* - meszések Egenes - paabola meszés e: p: s Q sr s [] A B C P P P [] P C P Felaa: P : P e: 3 p: : P : 3?? P Beheleesíés án másofokú egenle -e?? 3???? Meszések 8

9 Meszések Ujjgakola - meszések Egenes - paabola meszés [] : [] : p C B A s s s e P P P R Q Felaa: 3 : 3 : 3 : : : p e P P P C P P P 7 3 3 7 3 3 4 Beheleesíés án másofokú egenle -e

Felüle-felüle meszések 5 Ieaí feloszás bkoló églaesek - ieaí finomíás kone bok min-ma ag oienál églaesek hízlal íek fa acs & hízlal gömblapok számíásigén: i bok számíás ii meszési esz iii az algoims konegenciájának sebessége poblémák: szingláis ponok kis hkok ponalanság Felülemeszések Fa ac

Felüle-felüle meszések 6 Diszké mószeek i implici & szabafomájú felüle péla: páhzamos síkmeszeek aapí cellázás séáló négzeek ii ács & ács iii felüle & öonalas paaméeonalak Poblémás eseek poblémák: szingláis ponok kis hkok ponalanság Felülemeszések

Felüle-felüle meszések 7 Meszésgöbe köeése kezőponok keesése eminálás - önmagába zál ag kié a széle pon szekencia: s N T N lépéshossz megköése: konsans ag aapí hamaik felüle meszésgöbée kénszeíés: Newon-Raphson ieáció oleancia ezéel poblémák: kezőpon N... i i si i i i si i p s N N s hielen iánálás aapí lépéshossz! ponalanság s N... p s Felülemeszések

Ofsze göbék Ofsze: páhzamosan elol ag nomális iánú elolás hízlalás ag zsgoíás Alkalmazások NC megmnkálás zsebmaás felüleek asagsággal cső-felüleek ezégöbéből lekeekíő felüleek Ofsze göbék 3

Ofsze göbék Göbék álalános egenle: N N ponos ofsze göbe egenes kö PH göbék önmeszés közelíés szegmensenkén iszké ponsooza lsq appoimáció h h szegmens szám nöelés fokszám nöelés algebai egenle PH göbék & & & Ofsze göbék & N h h 4h κi 5 i i 4

5 Ofsze göbék Ofsze göbék 3 Algebai egenle álalános egenle: göbülei sgá göbüle: Bkoló göbe egenlee Kiéő: eliminálásáal algebai egenle: N an sin cos & & τ τ γ τ τ τ κ κ κ ρ ρ υ ξ υ ξ υ ξ τ & &

6 Ofsze göbék Ööfokú PH göbe Kiéő PH : ] [ w w s N T σ σ Eplici ofsze: ööfokú PH göbe Első eiál : negefokú polinom Egség nomál eko acionális polinom n9 Konskció: másofokú Bézie ismeelenek: { i i } i a Bézie konollponoka meg lehe haáozni eg nemlineáis egenle-ensze segíségéel... 5 4 4 c c c c c c c B n w B B B B B B i i i i

Ofsze Felüle egenle 3D álalános egenle: s s N az ofsze felüle nomálisa páhzamos a göbülei ellipszoi elolóik: ρ ρ ρ ρ göbe algoimsok álalánosíása Összee D konúok elolása önmeszések konká sakok haékon nlog n algoims Voonoi iagam Ofsze 7

Lekeekíő felüleek Éles élek hele lekeekíő felüleek: sima kapcsolóás eszéikai köeelmének anagminőség NC megmnkálás Él-lekeekíés & csúcs-lekeekíés Lekeekíő algoimsok: algebai göülő gömb paameiks Lekeekíő felüleek 8

9 Lekeekíő felüleek Lekeekíő felüleek...... 3 3 3 3 3 cons F cons F cons F F F i C B A i i i i λ λ λ λ Illszáció D-ben Liming mószee: i háom egenes implici fomában ii égponi megköések eljesülnek elség állíhaó 3 F

Lekeekíő felüleek Lekeekíő felüleek 3 3D álalánosíás Implici lekeekíő felüleek ké implici felüle: szozafelüle: lineáis kombináció λ elségi énező: lekeekíő felüle az F ágófelüle segíségéel:... F H G z z H z G z z H z G z z H z G λ λ λ λ z G z H z F

Lekeekíő felüleek 4 Göülő gömb lekeekíés: éini a ké szomszéos felülee ponhámas háom összeenel göbén geincgöbe: cλ haágöbe: q λ λ λ q λ p s λ λ a középpon méani hele az ofsze-felüleek meszésonala nomálekook alapján göbeköeés minaéelezés söpő sík: k minen köí Bézie alakban acionális másofokú ao: { b λk b λk b π felüle: -imenziós hosszani göbeappoimáció λ λ w λ } k k q λ cλ q λ N N s R b b b cλ p R s Lekeekíő felüleek

Ujjgakola* - lekeekíés Feléel: T C T C R T R C Felaa: T R : : R R R :? :? C : 5?? R R C Összes megolás /- száma:? Lekeekíések

Ujjgakola - lekeekíés Feléel: C T C R T T R C Felaa: R : : R R R : : 5 49 R T R C C : ± 49 4 Összes megolás /- száma: 8 Lekeekíések 3

Lekeekíő felüleek 5 Göülő gömb lekeekíés fol.: nagon inií mósze haágöbék és a köíek aomaiksan aónak egszeű lekeekíések: henge ósz csak G csalakozás a felüleekhez! álozó sgaú lekeekíés: λ c λ q λ q λ Paameiks lekeekíő felüleek: R acionális közelíés kiálhaó hama- nege ag ööfokú polinomiális göbeíek soozaa illeszés - páhzamosan 5 8 imenziós göbék hosszani appoimációja G is leheséges göbüle ööklőik szabaon álaszhaó haágöbék b b b b 3 h h Negefokú í G kapcsolóás Konollpoligon sooza b 4 Lekeekíő felüleek 4