Alkalmazott előjelszabályok Az igénybevételi ábrák témakörhöz az alábbi előjelszabályokat használjuk valamennyi feladat esetén. A kényszererők számításánál a következő a szabály: Az erők iránya a pozitív x és y irányokba pozitív ellenkező irányban negatív. Ha az erő vagy a koncentrált nyomaték az adott tengely körül az óramutató járásával ellentétes irányban forgat a nyomatékot pozitívnak értelmezzük. Ellentétes forgató hatás esetén a nyomaték negatív értelmű. Az egyensúlyi egyenletek megoldásánál az eredmény negatív előjele azt jelenti, hogy a valós hatás az általunk felvett iránnyal ellentétes. Az igénybevételi ábrák rajzolásánál az alábbi előjelszabályt alkalmazzuk. Ez a hajlító nyomatékok esetén megegyezik azzal, hogy a nyomatéki metszékek mindig a húzott oldalon vannak. Az e betű a szakasz elejét a v betű a szakasz végét jelenti. dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 1
A balról (alulról) számított nyomaték akkor pozitív, ha az óramutató járásával megegyezően forgat. A jobbról (fölülről) számított nyomaték akkor pozitív, ha az óramutató járásával ellentétesen forgat. A balról számított nyíróerő akkor pozitív, ha fölfelé mutat. Az alulról számított nyíróerő akkor pozitív, ha balra mutat. A normálerő akkor pozitív, ha a vizsgált keresztmetszetből kifelé mutat. dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 2
1. feladat Rajzolja meg a tartó igénybevételi ábráit! Az erők N-ban, a hosszak m-ben, a nyomatékok Nm-ben értendők. adatok: F = 800 N a = 4 m b = 4 m Első lépésként alkossuk meg a számítási modellt, ami azt jelenti, hogy a vizsgált tartóra ( merev testre ) felrajzoljuk az összes lehetséges erőhatást. Ezen erők hatására a merev test egyensúlyban van, vagyis felírhatjuk rá az egyensúlyi egyenleteket. X = 0 B x = 0 Y = 0 A y 800 + B y = 0 M B = 0 A y 8 + 800 4 = 0 B x = 0 A y = 400 B y = 400 dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 3
2. feladat Az erők N-ban, a hosszak m-ben, a nyomatékok Nm-ben értendők. adatok: F = 800 N a = 2 m b = 6 m X = 0 B x = 0 Y = 0 A y 800 + B y = 0 M B = 0 A y 8 + 800 6 = 0 B x = 0 A y = 600 B y = 200 A balról számított nyomaték: 600 2 = 1200 A jobbról számított nyomaték: 200 6 = 1200 dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 4
3. feladat Az erők N-ban, a hosszak m-ben, a nyomatékok Nm-ben értendők. adatok: M = 800 N a = 4 m b = 4 m X = 0 B x = 0 Y = 0 A y + B y = 0 M B = 0 A y 8 800 = 0 B x = 0 A y = 100 B y = 100 A balról számított nyomaték: 100 4 = 400 A jobbról számított nyomaték: 100 4 = +400 Ahol a koncentrált nyomaték elhelyezkedik, a nyomatéki függvényben a nyomaték nagyságának megfelelő ugrás van. dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 5
4. feladat Az erők N-ban, a hosszak m-ben, a nyomatékok Nm-ben értendők. adatok: M = 800 N a = 2 m b = 6 m X = 0 B x = 0 Y = 0 A y + B y = 0 M B = 0 A y 8 800 = 0 B x = 0 A y = 100 B y = 100 A balról számított nyomaték: 100 2 = 200 100 2 + 800 = 600 A jobbról számított nyomaték: 100 6 = +600 100 6 800 = 200 Mindkét oldalról számított nyomatéki metszékek azonosak. Ahol a koncentrált nyomaték elhelyezkedik, a nyomatéki függvényben a nyomaték nagyságának megfelelő ugrás van. dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 6
5. feladat Az erők N-ban, a hosszak m-ben, a nyomatékok Nm-ben, a megoszló terhelés intenzitása N/m-ben értendők. adatok: P = 100 N/m a = 8 m A számítási modell kialakításakor a megoszló erőrendszert koncentrált erővel helyettesítjük. X = 0 B x = 0 Y = 0 A y 800 + B y = 0 M B = 0 A y 8 + 800 4 = 0 B x = 0 A y = 400 B y = 400 Az igénybevételi függvények megrajzolásának első szakaszában úgy járunk el, mintha nem lenne megoszló erőrendszer, hanem csak a helyettesítő koncentrált erő. dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 7
A második lépésben módosítjuk a nyomatéki és nyíróerő ábra azon szakaszait, ahol a valóságban megoszló terhelés van. A nyíróerő nem egyetlen pontban ugrik, hanem a megoszló terhelés teljes szakaszán egyenletesen változik. Ez azt jelenti, hogy a nyíróerő ezen a szakaszon lineárisan változik. Az egyenes meredeksége az intenzitással arányos. A nyomatéki függvény azon szakaszon, ahol a megoszló erőrendszer helyezkedik el, másodfokú parabolává változik. Ez a parabola mindig berajzolható egy háromszögbe. A nyomatéki függvénynek ott lesz helyi minimuma vagy maximuma ( helyi szélsőértéke ), ahol a nyíróerő függvény zérus értékű. A másodfokú parabola megrajzolásának technikája a jegyzetben megtalálható. dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 8
6. feladat Az erők N-ban, a hosszak m-ben, a nyomatékok Nm-ben, a megoszló terhelés intenzitása N/m-ben értendők. adatok: P = 200 N/m a = 4 m b = 4 m X = 0 B x = 0 Y = 0 A y 800 + B y = 0 M B = 0 A y 8 + 800 6 = 0 B x = 0 A y = 600 B y = 200 dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 9
Nézzük meg, hogyan lehet kiszámítani egy adott keresztmetszetben a nyomaték értékét. Az x távolság által definiált keresztmetszetben a nyomaték értéke balról: Ha x = 2 +600 x p x x 2 = M x M x=2 = +600 2 p 2 x 2 = 800 A helyi szélsőérték ( jelen feladatban a maximális nyomaték ) számítása. Helyi szélsőérték ott van, ahol a nyíróerő függvény zérus értékű. 600 p x = 0 x = 600 200 = 3 M x=3 = +600 3 p 3 3 2 = 900 dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 10
7. feladat Az erők N-ban, a hosszak m-ben, a nyomatékok Nm-ben, a megoszló terhelés intenzitása N/m-ben értendők. adatok: P = 500 N/m a = 2 m b = 4 m c = 4 m A megoszló terhelés helyettesítésekor ügyelni kell arra, hogy a helyettesítendő megoszló terhelés homogén legyen, azaz ne legyen közben semmilyen zavaró tényező ( koncentrált erő, koncentrált nyomaték ). A jelen feladatban ez azt jelenti, hogy a megoszló terhelést két szakaszra bontjuk a zavaró terhelésnél ( koncentrált nyomaték ). X = 0 B x + 300 = 0 Y = 0 A y 2000 2000 + B y = 0 M B = 0 A y 10 + 2000 6 2000 + 200 2 = 0 B x = 300 A y = 1400 B y = 2600 dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 11
8. feladat Az erők N-ban, a hosszak m-ben, a nyomatékok Nm-ben értendők. adatok: F = 400 N a = 5 m b = 3 m Számítási modell: X = 0 A x = 0 Y = 0 A y 400 = 0 M A = 0 M A 400 3 = 0 A x = 0 A y = 400 M A = 1200 Igénybevételi függvények: dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 12
9. feladat Az erők N-ban, a hosszak m-ben, a nyomatékok Nmben értendők. adatok: F 1 = 100 N F 2 = 200 N F 3 = 400 N a = 2 m b = 2 m c = 3 m d = 2 m Számítási modell: X = 0 A x + 400 = 0 Y = 0 100 + A y + 200 = 0 M A = 0 M A 400 2 + 100 3 + 200 2 = 0 A x = 400 A y = 100 M A = 100 Igénybevételi függvények: A nyomatéki ábra metszékei: balról: 100 3 = 300 jobbról: 200 2 = 400 alulról: 100 100 + 400 2 = 700 dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 13
10. feladat Az erők N-ban, a hosszak m-ben, a nyomatékok Nm-ben értendők. adatok: F 1 = 1000 N F 2 = 200 N F 3 = 2000 N a = 2 m b = 3 m c = 3 m d = 2 m e = 5 m Számítási modell: X = 0 A x + 200 = 0 Y = 0 A y 1000 2000 + B y = 0 M A = 0 1000 2 2000 8 + B y 10 = 0 A x = 200 A y = 1200 B y = 1800 dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 14
Igénybevételi függvények: A nyomatéki ábra metszékei: balról: 1200 2 = 2400 1200 5 1000 3 = 3000 jobbról: 1800 2 = 3600 1800 5 2000 3 = 3000 dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 15
11. feladat Az erők N-ban, a hosszak m-ben, a nyomatékok Nm-ben értendők. adatok: F 1 = 1000 N F 2 = 4000 N a = 2 m b = 3 m c = 5 m d = 2 m e = 5 m Számítási modell: X = 0 A x 4000 = 0 Y = 0 A y 1000 + B y = 0 M A = 0 1000 2 4000 2 + B y 10 = 0 A x = 4000 A y = 0 B y = 1000 dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 16
Igénybevételi függvények: dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 17
12. feladat Az erők N-ban, a hosszak m-ben, a nyomatékok Nm-ben értendők. adatok: F 1 = 200 N F 2 = 100 N F 3 = 300 N a = 2 m b = 3 m c = 3 m d = 4 m Számítási modell: X = 0 A x 300 = 0 Y = 0 200 + A y 1000 = 0 M A = 0 M A + 300 4 + 200 2 100 3 = 0 A x = 300 A y = 300 M A = 1300 Igénybevételi függvények: dr. Galambosi Frigyes[Ide írhatja a szöveget] Oldal 18