IV Az elektosztatka alaptövénye felület töltéseloszlás esetén Az előző paagafusban láttuk, hogy a töltések a vezető felületén helyezkednek el, gyakolatlag kétdmenzós vagy más szóval felület töltéseloszlást alkotva (Temészetesen atom méetekben ez a kép má nem tatható: pl a többletelektonok zöme a fémnek a vákuummal, vagy a levegővel éntkező hatáfelületének egy gen vékony, de mégscsak véges zónájában található Ez azonban a makoszkopkus elektodnamka leíás szempontjából olyan ks távolság, hogy a gyakolatban a kétdmenzós töltéseloszlás teljesen elfogadható közelítés) Felület töltéseloszlás esetén d σ lm, A A da bevezethetjük a σ felület töltéssűűséget vagys a felületegysége eső töltést, am a téfogat töltéssűűséggel analóg fogalom A következőkben szeetnénk az elektosztatka alaptövényet megfogalmazn felület töltéseloszlások esetée (egyelőe továbba s vákuumban) Ee azon túl, hogy felület töltéseloszlások gyakan fodulnak elő azét s édemes sot keíten, met az elektosztatka alaptövénye lyen esetben nagyon egyszeűek E célból vezessük be egy V() vektoté felület foássűűségét az alább fomában felület dvegenca V n () V n (), valamnt a felület övénysűűségét a felület otácó V t () V t () alakban (() és () aa a két téféle utal, amelyeket a felület választ szét Az n és t ndexek a vektoté nomáls lletve tangencáls komponensét jelentk Ennek észletesebb magyaázatát lásd kcst később Ekko az elektosztatka alaptövényenek analóg megfogalmazása a következők: Az elektosztatka Téfogat töltéseloszlás Felület töltéseloszlás alaptövénye esetében esetében alaptövény dvd ρ D n () D n () σ alaptövény ote E t () E t () Szavakkal kfejezve az alaptövény felület töltéseloszlása azt mondja k, hogy a D A ( ) n ( ) n A ( ) ( ) ( ) n ( ) B
4 Ába té felület foássűűsége egyenlő a felület töltéssűűséggel, a alaptövény szent pedg a felület övénysűűség zéus E tételek belátásához tekntsük az 4 és 4 ábát A t ( ) ( ) B 4 Ába A jelen esetben poztív előjelű töltésfelhő (de pesze lehetne negatív s) egy felületen (de nem feltétlenül egy vezető felületén!), helyezkedk el A lényeg az, hogy valahogy létejött ez a kétdmenzós töltéseloszlás, aká úgy, hogy például a töltéseket odaenyveztük a felülethez A töltött felület válassza el az () el és () vel jelölt téfeleket egymástól, és a felület nomálvektoa mutasson az () től a () felé Ezek után az alaptövény felület alakját az alaptövény globáls fomájából kndulva lehet D da bzonyítan A töltés most felület töltés legyen, és helyezkedjen el egy B felületen, vagys (Felhívjuk a fgyelmet, hogy tt a da nem vekto, csak a felületelem nagysága) Tehát ezt a a B felületen elhelyezkedő töltést ölel köül a zát A felület Most σ da B zsugoítsuk á az A felületet mndkét oldalól a B felülete Az A felület ekko lényegében két olyan A() és A() felületből áll, amelyek majdnem mndenben megegyeznek, mután ázsugoítottuk őket a B e Ezután ugyans mndkettő nagysága B, csak míg az A() az () es téfélben van, és ezét felületelemenek ánya a hely nomálvektoal mndg ellentétes, addg az A() esetében, amely a () es téfélben van, a felületelemek a hely nomálvektoal azonos ányúak (A felületelemek ányát ugyans az szabja meg, hogy A() és A() együtt egy zát felületet alkot, és lyenko a felület ánya defnícó szent mndg kfelé mutat) Tehát az ábán s alkalmazott jelölésenkkel da() dan, da() dan és így D()dA() D n ()da, D()dA() D n ()da A D da A() D da Tekntettel aa, hogy a teljes zát A felület két észe bontható, ezét A() A D da B ( D n ()da) B ( D n ()da)
A zsugoítás után ugyans A() A() B Ezek után az alaptövény globáls alakja felület töltéseloszlás esetén: B (D n () D n ())da σda Mvel ez az összefüggés, tetszés szent B felülete gaz, ebből következk, hogy nem csak az ntegálok, hanem az ntegandusok s megegyeznek, tehát D n () D n () σ, Am nem más, mnt az alaptövény lokáls alakja felület töltéseloszlás esetén A alaptövény felület töltéseloszlása évényes alakját ugyancsak a globáls E d G alakból kndulva vezethetjük le: A zát göbét vegyük fel úgy, hogy odafelé a felület felett, de annak közvetlen közelében haladjon a () téfélben, majd vsszafelé a felület alatt az () téfélben, de smét a felülethez gen közel, valamnt közvetlenül az odaút alatt Vagys d() dt, d() dt és így E()d() E t ()dt, E()d() E t ()dt Itt dt mndenütt az odaút ányába mutató a felülethez képest tangencáls egységvekto A zát göbement ntegál két észe osztható, az odaút és vsszaút szent: E d Mvel az oda és vsszaút tulajdonképpen majdnem ugyanazon a H göbén töténk, ezét felíható, hogy Mután ez az ntegál tetszés szent H göbée zéus, ebből az következk, hogy maga az ntegandus s nulla: E t () E t (), am nem más, mnt a alaptövény lokáls alakja felület töltéseloszlás esetén E d E d G G() G() E d (E () E t ())dt G H B t IV3 Az elektoszatka alaptövénye vezető felülete Ha az elektosztatka felület töltéseloszlásoka évényes alaptövényet ee az esete akajuk alkalmazn, akko abból ndulhatunk k, hogy a vezető belsejében nncs elektomos té, tehát ott mnd E, mnd D nulla Ha tehát a töltött felületünk egy vezető közeg () felülete, amely vákuummal () éntkezk, akko tudható, hogy E() és D() Az ebből adódó egyenleteket összehasonlító táblázatos fomában közöljük: Az elektosztatka alaptövénye Általános felület töltéseloszlás esetében Vezető felület esetén ():vezető, ():vákuum
alaptövény D n () D n () σ D n () σ alaptövény E t () E t () E t () Vagys szavakban összegezve: az elektosztatkus té a vezető felületée mndg meőleges (met a tangencáls komponense ), a D té nomál komponense pedg (am vákuum estén maga a D vekto abszolút étéke) a felület egy pontján egyenlő az ugyanezen pontban méhető σ felület töltéssűűséggel IV4 A felület töltéssűűség függése a göbület sugától súcshatás Kísélet: elektomos Segne keék, gyetyaláng elfújása elektomos széllel A csúcshatás azon alapszk, hogy a vezető élen, lletve csúcsan sokkal nagyobb a töltéssűűség, és az ε E() σ összefüggés matt, tt a lokáls téeősség s sokkal nagyobb A nagy téeősség onzálja a levegő molekulát, a töltött levegő pedg mozgásba jön az elektomos té hatásáa Ez az elektomos szél Mvel magyaázhatjuk, hogy a csúcsokon vagys ahol a felület göbület sugaa gen kcs nagyobb a töltéssűűség, mnt a felület kevésbé göbült észen? Hogy ezt megétsük, képzeljük el a következő kíséletet Egy sugaú nagy vezető gömböt kössünk össze (ugyancsak vezetővel) egy ksebb sugaú gömbbel A endszet töltsük fel, és vzsgáljuk meg a két gömbön kalakuló σ és σ töltéssűűségek aányát Ha a gömbök egymástól vszonylag távol vannak, akko az sugaú gömb felszínén a potencált elsősoban az ott elhelyezkedő töltés fogja megszabn Az sugaú gömb potencáltee a gömbön kívül ugyanolyan, mnt a pontszeű töltés ϕ 4πε potencáltee (III paagafus), ezét Ugyanlyen alapon Vszont a két gömb ekvpotencáls, mvel vezetővel vannak összekötve, vagys ϕ ϕ Ezét ϕ 4πε σ, 4 π Tekntetbe véve, hogy egy gömbön a felület töltéssűűség a két gömb felület töltéssűűségenek aányáa azt kapjuk, hogy vagys, mnél ksebb egy gömb sugaa, annál nagyobb ajta a σ felület töltéssűűség, és következésképpen a téeő s σ, σ
V Kapactás, kondenzátook V A kapactás fogalma Tekntsünk két vezető (mondjuk fém) daabot, melyek egymás közelében helyezkednek el V Ába (Az egymás közelében pesze elatív fogalom Egyészt azt étjük alatta, hogy a vezetődaabok átlagos távolsága a vezetődaabok geometa méetenek a nagyságendjébe esk Lásd a fent V ábát Másészt pedg feltételezzük, hogy egyéb vezetődaabok lletve töltések nncsenek a közelben, másszóval elég távol vannak ahhoz, hogy a hatásuk elhanyagolható legyen, és így ne zavajanak Az ábán ezekhez a kevéssé zavaó töltésekhez vezető, vagy onnan knduló eővonalakat szaggatottan ajzoltuk) Az egyk vezetőn ezt fogjuk a továbbakban a kondenzáto poztív fegyvezetének teknten helyezkedjen el töltés, a másk vezetőn pedg A kondenzáto fegyvezete között méhető feszültséget mndg úgy fogjuk számítan, hogy a téeősség göbement ntegálját a poztív fegyvezettől ndulva a negatív fegyvezetg eljutva számítjuk (Így jutunk poztív feszültség étékhez) U KONDENZÁTO E d Elektosztatkában a feszültség az úttól független, a kondenzáto lemeze pedg ekvpotencálsak, ezét a fent módon számított feszültség az egész kondenzátoa évényes adat Ezt fogjuk a kondenzáto feszültségének teknten ( ) ( ) A kondenzáto töltésének pedg a poztív fegyvezeten lévő töltést tekntjük
Ha a kondenzátoa sze anny töltést vszünk fel akko ezekből kétszeanny eővonal ndul k (az elektosztatka I alaptövénye ételében) Ha ugyanaól a helyől kétszeanny eővonal ndul k, akko kétszees lesz az eővonalak sűűsége s, azaz a téeősség mndenütt a kétszeesée nő Ebből pedg az következk, hogy a feszültség s kétszees, mvel a göbement ntegálban E mndenütt dupla akkoa Vagys a U k feszültség aányos a kondenzátoon lévő töltéssel: A k aányosság tényező ecpokát vel jelöljük, és kapactásnak hívjuk Ha az egyenletet a explct fomáa endezzük, akko Ez azt jelent, hogy mnél nagyobb a kondenzáto kapactása, egy adott feszültségen U annál több töltést tud táoln A dolgot ahhoz hasonlíthatjuk, hogy egy víztáolónak annál nagyobb a táolókapactása, mnél több vzet tud befogadn egy adott magasság mellett ( Pesze a víztáolónál az összes beléje féő vzet tekntk nkább am még nem csap túl a táoló peemén, és nem a magasságegysége eső táolóképességet A kondenzáto kapactásán vszont nem a bele tölthető legnagyobb töltést étk ahol má pl átütne a kondenzáto, hanem e helyett a feszültségegysége jutó táolt töltésmennységet ) V Síkkondenzáto, gömb és hengekondenzáto kapactása Amnt aól az előző paagafusban má volt szó, bámely két vezető daab képezhet egy kondenzátot A kondenzáto kapactása egyészt attól fog függen, hogy mekkoák a fegyvezetek, és ezeknek mlyen a geometa elendezése, másészt attól, hogy mlyen szgetelő anyag, vagy anyagok, töltk k a fegyvezetek között teet Egyelőe fel fogjuk tételezn, hogy a fegyvezetek vákuumban vannak Ekko a kondenzáto kapactása egyedül a geometájától függ A sokféle elképzelhető geometa között van háom nevezetes eset, amt meg fogunk vzsgáln: a síkkondenzáto, a gömbkondenzáto és végül a hengekondenzáto Síkkondenzáto A síkkondenzátot vázlatosan a V ába mutatja V Ába
Lényegében két egymással páhuzamos A felületű vezető lemezből áll, melyek egymástól mét távolsága d Lényeges, hogy a d távolság aánylag kcs legyen a kondenzáto több méetéhez képest Ekko ugyans az elektomos eőté a kondenzáto belsejében nagyjából homogén Igaz ugyan, hogy a kondenzáto lemezek szélenél a té gyengül, met az eővonalak egy észe kívüle keül, de az a teület, ahol ez jelentős gyengülést okoz egye ksebb, ahogy d t csökkentjük A levezetésnél tehát azzal a közelítéssel fogunk éln, hogy az elektomos eőté homogén a kondenzáto lemeze között Lássuk akko a levezetést! Egy kondenzáto kapactása a ajta lévő töltés osztva a kondenzáto feszültségével: U Feltételezzük, hogy a töltések homogén σ felület töltéssűűséggel oszlanak el a fegyvezetek felületén, tehát a kondenzáto töltése A σ Továbbá má láttuk, hogy egy vezető felületén az elektosztatka I alaptövénye szent Az elektomos eltolás vektoa pedg vákuumban felíható, mnt a vákuum ε σ D pemttvtásának és az elektomos téeősségnek a szozata: D ε E Tehát síkkondenzáto esetén íható, hogy A ε E A kondenzáto feszültségét homogén té esetén egyszeűen felíhatjuk, mnt az E téeősség és a d távolság szozatát: U E d Mvel U E d E d E d E d, KONDENZÁTO met az E és d vektook egymással páhuzamosak (lyen utat választunk), és ezét a skalászozatuk egyenlő a nagyságak szozatával, az E pedg független a helytől (homogén té), és ezét az ntegáljel elé kemelhető Vsszatéve a síkkondenzáto kapactásáa: a töltése és a feszültsége kapott A ε E A ε U E d d összefüggéseket helyetesítsük be a kapactás kfejezésébe Vagys aa a eedménye jutottunk, hogy a síkkondenzáto kapactása aányos a fegyvezetek felületével, és fodítva aányos a lemezek egymástól mét távolságával Ezt az eedményt egy olyan kísélettel lehet szemléltetn (V3 Ába), ahol a kondenzáto egyk fegyvezete egy elektoszkóp lemezéhez, a másk fegyvezete pedg ennek az elektoszkópnak a házához van kötve (am földelve van)
V3 Ába Az elektoszkóp lemezéhez kötött kondenzáto fegyvezetée megdözsölt üvegúddal poztív töltést vszünk, és ezután az elektoszkóp kté Ha most a kondenzáto fegyvezetet közelítjük egymáshoz, akko az elektoszkóp lemeze összébb esnek, ha vszont távolítjuk egymástól a fegyvezeteket, akko az elektoszkóp lemeze s távolodnak egymástól Ezt úgy ntepetálhatjuk, hogy a kondenzáto U feszültsége nő, ha a fegyvezetet távolítjuk egymástól (met lyenko a kapactása csökken, a töltése vszont nem változk, tehát a feszültségnek nőne kell a U/ fomula ételmében), és ezt a megnövekedett feszültséget jelz az elektoszkóp Itt álljunk meg egy szóa Azt mondtuk és helyesen hogy az elektoszkóp a ajta lévő töltést mé, és feszültségméésől pedg nem szóltunk Valóban, a lemezek között taszítóeő a ajtuk lévő töltéstől függ a oulomb tövény ételmében Mét mondjuk akko mégs azt, hogy a fent kíséletben az elektoszkóp a kondenzáto feszültségét mé? Nos, tt nncs ellentmondás, met az elektoszkóp mndkettőt mé Mvel az elektoszkóp házát földeljük, ezét az elektoszkóp s egy kondenzáto Mnél nagyobb ezen a kondenzátoon az elektomos töltés, annál nagyobb ajta az elektomos U ELEKTOSZKÓP ELEKTOSZKÓP ELEKTOSZKÓP feszültség s az összefüggés ételmében Mvel az elektoszkóp kapactása állandó, ezét az elektoszkóp feszültsége aányos lesz a ajta lévő töltéssel Az elektoszkóp tehát feszültségméő műsze s, csak a méőlemezenek kvezetését és a házát páhuzamosan kell kötn a méendő feszültséggel (mnt mnden feszültségméő műsze esetében) Jelen kíséletünkben a kondenzáto fegyvezetevel kötöttük páhuzamosan, tehát az elektoszkóp így valóban a kondenzáto feszültségét fogja mén (amellett, hogy a saját magán lévő töltést továbba s mé, csakhogy ez a töltés most aányos a kondenzáto feszültségével) Nagyon záójelesen még azt s megjegyezzük, hogy amko feszültséget méünk az elektoszkóppal egy kondenzátoon, akko az elektoszkóp általában nem teknthető deáls sztatka feszültségméő műszenek Az elektoszkóp kapactása ugyans hozzáadódk a méendő kondenzáto kapactásához, és ezét az elektoszkóp bektatásával a feszültség egy kcst csökken Ez a hatás annál ksebb, mnél ksebb az
elektoszkóp kapactása Egy deáls elektoszkóp feszültségméő kapactása tehát zéus Gömbkondenzáto Tekntsünk most két koncentkus gömbfelületet, mnt kondenzátot V4 Ába Legyen például a belső gömb poztív, a külső pedg negatív töltésű A belső gömbből nduló eővonalak, a külső gömbön végződnek Ez most nem homogén té, hszen az eővonalak ánya sem azonos a legtöbb helyen, és a téeősség nagysága s csökken, ahogy belső gömbtől távolodunk Ilyen téel azonban má találkoztunk, hszen a pontszeű töltés tee s gömbszmmetkus té A gömb felületén kívül nem tudjuk megállapítan, hogy az elektomos teet egy pontszeű töltés, avagy egy vezető gömb felületén eloszló töltés hozza léte (Pesze a gömb felületén belüle menve má nagy a különbség: pontszeű töltés esetén a téeő egye nő az ogóhoz közeledve, gömb esetén vszont a gömbön belül zéus a téeő) Szóval a gömbön kívül a téeősség és a potencál s úgy változk, mnt pontszeű töltés esetén: E e 4πε ϕ( ) ahol a gömb középpontjától mét távolság Ezek szent ha a belső gömb sugaa, a külső gömbé pedg, akko akko a potencáljuk ϕ ( ) és ϕ( ) 4πε A két gömb között feszültség ezek szent: 4πε Feladatok, kédések: ) hasonlítsuk össze ezt a fomulát a síkkondenzátoa kapott képlettel! Mt kapunk eedményül, ha a két gömbfelület nagyon közel van egymáshoz? és, 4πε U ϕ( ) ϕ( ), 4 πε ahonnan a gömbkondenzáto kapactása: 4πε U
) Mt kapunk eedményül, ha a másodk gömb sugaa gen nagy, vagy másodk gömb egyáltalán nncs s jelen? Hengekondenzáto Két L hosszúságú koncentkus hengeből álló kondenzáto kapactása πε L, ln( / ) ahol és a belső és a külső henge ádusza V5 Ába Ezt a fomulát úgy vezethetjük le, ha az elektosztatka I alaptövényée támaszkodva felíjuk az elektomos téeősséget mnt a hely függvényét egy olyan hosszúkás hengekondenzátoban, amelynek töltése : a töltésbõl klépõ eõvonalak száma E annak az sugaú hengenek ( < < ) a felülete ahol az E t kédezzük Ezután a kondenzáto U feszültségét kell kszámoln, fgyelembevéve, hogy az elektomos té mndg adáls ányú a hengekondenzátoban Ha tehát adáls utat választunk a feszültség kszámításához, akko gaz, hogy U E d E d, KONDENZÁTO és így Magát a levezetést nem közöljük, de kéjük az olvasót, hogy gondoljon utána V3 Kondenzátook soos és páhuzamos kapcsolása Páhuzamos kapcsolás Páhuzamos kapcsolásól akko beszélünk, ha két vagy több áamkö elem, jelen esetben kondenzáto, ugyanazt a két pontot köt össze Ekko valamenny elemen ugyanaz az U feszültség van Ilyenko logkus kédés, hogy a páhuzamosan kapcsolt elemeket lehetséges e egyetlen eedővel helyettesíten, amely ekvvalens módon vselkedk, és mekkoa ez az eedő? Például háom páhuzamosan kapcsolt kondenzáto esetén az a feladat, hogy mekkoa annak ez eedő kondenzátonak a kapactása, amely mnden feszültségen ugyananny töltést táol, mnt a háom kondenzáto együttesen? E d,
V6 Ába EEDŐ EEDŐ EEDŐ 3 U 3 3 EEDŐ U U U U Ennek a kondenzátonak a kapactása tehát Vagy általában n daab páhuzamosan kapcsolt kondenzáto esetén: EEDŐ 3 EEDŐ n Soos kapcsolás Mnt láttuk kondenzátook páhuzamos kapcsolása esetén a feszültség azonos mnden kondenzátoon, met ugyanazt a két pontot kötk össze Kondenzátook soos kapcsolásánál mnden kondenzátoon ugyanaz a töltés jelenk meg, met elágazás nélkül egymás után vannak kötve Ekko ugyans az első kondenzáto poztív fegyvezetée felvtt töltés az elektomos megosztás évén ugyanazt a töltést jelenít meg valamenny kondenzátoon V7 Ába A kondenzátookon eső feszültség öszeadódk, tehát vagy általában U EEDŐ U U EEDŐ, U 3 3 EEDŐ 3 n EEDŐ,
V4 Kondenzáto és elektosztatkus té enegája Kondenzáto enegája Egy feltöltött kondenzáto enegáját úgy hatáozhatjuk meg, hogy megméjük: ksütése közben az elektomos té mekkoa munkát végez Ez a munkavégző képesség a kondenzáto enegája Amko d töltés megy át a poztív fegyvezetől a negatív dw U d fegyvezete, ekko a d töltésen a té által végzett munka most az átvtt töltést jelent (Tehát az átvtt töltés a folyamat kezdetén, mután pedg ksütöttük a kondenzátot az átvtt töltés a kondenzáto kezdet teljes töltésével egyenlő, amt al jelölünk) A kondenzátoon maadó töltés a kondenzáto feszültsége pedg A kondenzáto teljes ksütése soán végzett munka: Tehát a kondenzáto enegája: U U Az eedményt (és az ½ es szozótényezőt) szemléletesen úgy s ételmezhetjük, hogy a kondenzáto feszültsége a ksütés közben a ajta lévő töltéssel aányban lneásan csökken nulláa Az átlagos feszültség pedg ennek következtében a kezdet és végső feszültség számtan átlaga: A végzett munka pedg W dw, U U ÁTLAG d U U ÁTLAG U Olvasmány: az előjel és a potencáls enega A kondenzáto enegáját megadó fomulát úgy s le lehet vezetn, hogy val nem az átvtt töltést, hanem a kondenzátoon lévő töltést jelöljük A ksütés soán végzett munka ekko azonban dw U( d) kcst más Ugyans ha ksütésől van szó, akko a kondenzáto töltése csökken, tehát d negatív A té által végzett dw munka vszont poztív, met a poztív töltés egy ks észét (am d ként andó ebben az esetben, hszen így lesz poztív) vsszük át a poztív fegyvezetől a negatív fegyvezete A ksütésnél végzett munka evvel a jelöléssel: W dw U( d) U d d
Mnt látható ez a levezetés talán egyszeűbb, de a d előjelének megétése több fgyelmet gényel Az előjel mnt látható fontos dolog, és akámlyen egyszeű, mégs alaposan oda kell fgyeln, nehogy elhbázzuk Gyakolásul ajánlott, hogy a kondenzáto enegáját most a feltöltéseko végzett munkából kndulva vezessük le Segítség: a feltöltésko az elektomos eőté munkája negatív, valamlyen, a feltöltést végző eő munkája pedg poztív A feltöltött kondenzáto enegája temészetesen poztív Tehát a kondenzáto enegája vagy a feltöltést végző eő munkájával egyenlő, vagy pedg az elektomos eő munkájának a mínusz szeesével Ez az előjel konvencó onnan adódk, hogy az enega az nem munka, hanem munkavégző képesség Ha tehát a té munkát végez, akko annyval csökken a munkavégző képessége amenny munkát végzett A té enegájának a változása tehát az általa végzett E POT W munkának a mínusz szeese: Tulajdonképpen má az első levezetésnél használtuk a fent összefüggést, amko azt mondtuk, hogy a kondenzáto enegája az a munka amt a feltöltött kondenzáto eőtee végez a ksütés soán: A ksütött kondenzáto enegáját nullának tekntve kapjuk a kndulásul használt fomulát: E POT E POT ( ) EPOT () EPOT ( ksütött kond ) EPOT ( töltött kond ) W E POT ( töltött kond ) W Az elektosztatka té enegája Azt szeetnénk bebzonyítan, hogy az elektosztatkus té enegasűűsége a té egy pontjában ρ( enega) E D A levezetést az egyszeűség kedvéét egy síkkondenzáto lemeze között feszülő homogén elektomos tée végezzük el, és még azt s feltételezzük, hogy a kondenzáto lemeze között vákuum van Belátható azonban (bá ennek bzonyítását tt nem közöljük), hogy az eedmény nem csak ee a specáls esete, hanem általában s gaz Tekntsünk tehát egy feltöltött síkkondenzátot, amelyben a homogén elektomos téeősség E Ekko a kondenzáto feszültsége: U E d E d, ahol d a kondenzáto lemezenek a távolsága (Az ntegálás tt a homogén té matt szozássá egyszeűsödk) A kondenzáto enegája mnt láttuk: E POT U E fomulában a feszültsége helyettesítsük be, hogy UEd, valamnt a síkkondenzáto ε kapactását A Ezután azt kapjuk, hogy d ε A E POT ( E d ) ( E ε E)( A d ) ( E D) V d ahol V a kondenzáto téfogata Innen má egyszeű feladat az enegasűűség kfejezése: EPOT ρ( enega) E D, V am nem más, mnt a bzonyítan kívánt fomulának a síkkondenzáto esetée évényes alakja
VI Dpólusmomentum Dpólus és töltésendsze potencáltee m n Egy töltésendsze momentumán az alább kfejezést étjük: vagys a töltéseket súlyozzuk a hozzájuk tatozó helyvektookkal Az azonos nagyságú de ellentétes előjelű és töltésekből álló töltésendszet dpólusnak nevezzük Ennek a töltésendszenek a momentuma a dpólusmomentum, amt p vel jelölünk: p ( ) Tehát a dpólusmomentum vektoa a negatív töltésből a poztív felé mutat (Mét? Indokoljuk! Használjuk ehhez a mellékelt ábát s) z x 6 Ába A dpólusmomentum nagysága pedg a töltésnek és a töltéseket elválasztó távolságnak a szozata A továbbakban azt szeetnénk belátn, hogy tetszés szent töltésendsze eőtee messzől nézve olyan, mnt egy dpólus tee Ezt a kédést azét édemes megvzsgáln, met a szgetelőanyagok molekulákból állnak, amelyekben a töltés eloszlása meglehetősen bonyolult s lehet Ha vszont tetszés szent töltésendsze a távolból nézve dpólussal helyettesíthető, akko makoszkopkus méések szempontjából a szgetelő anyagokat úgy teknthetjük, mntha egyszeű dpólusokból állnának(a molekulás méetekhez képest ugyans távolól vzsgáljuk ezeket a töltéseloszlásokat) Elsőnek egy egyszeű dpólus teét vzsgáljuk meg, és ne s az eőteét, hanem a potencálteét számoljuk k Az eőté ugyans ebből a potencáltéből gadensképzéssel leszámaztatható, vszont a potencáltéel egyszeűbb számoln, mvel az z y P x y
skaláté Tehát tekntsük az alább ábát, ahol a dpólus potencálját a dpólustól aánylag távol lévő helyvektoú P pontban kívánjuk kszámítan A dpólusól tudjuk, hogy a koodnátaendszeünk ogója közelében helyezkedk el Jelölje és a poztív és negatív töltés helyvektoát, és pedg ugyanezen töltéseknek a P ponttól mét távolságát 6 Ába A P pontban mét potencál a és töltés által e pontban létehozott ϕ és ϕ ϕ ϕ ϕ 4πε 4πε potencálok összege (III): Ez eddg mnden közelítés nélkül pecíz eedmény Vszont eddg még nem használtuk k, hogy és sokkal ksebb, mnt, vagy, vagy aká Ezek a elácók annak a következménye, hogy a P pont sokkal messzebb van az ogótól, mnt a dpólus Elsőnek most póbáljuk meg at közelíten ennek fgyelembevételével Ha a P ponttal, mnt középponttal egy sugaú köt ajzolunk ez temészetesen a P ponttól távolsága metsz az helyvektot 63 Ába A közelítésünk abban fog álln, hogy az vekto meőleges vetülete az vektoon közelítőleg egyenlő al, tekntve, hogy és ks szöget zá be, és lyenko a köív és az e meőleges egyenes egymáshoz közel esk A vetületet mnt tudjuk skalászozattal számíthatjuk, tehát: Az ába szent, azaz, és így
A másodk átalakítást azét hajtottuk vége, hogy az ecpokában egy tovább közelítést tegyünk: Hasonló megfontolásokkal Ha ezt a két közelítést behelyettesítjük a dpólus potencál kfejezésébe, akko a következő eedményt kapjuk: vagys a dpólus potencálteét az alább kfejezéssel közelíthetjük: ahol p ( ), a dpólusmomentum Ezek után nézzük meg egy tetszés szent töltésendsze potencálteét Itt s fel fogjuk tételezn azonban, hogy a töltések az ogóhoz aánylag közel, a P pont pedg ahol a töltésendsze potencálteét vzsgáljuk az ogótól távol helyezkedk el A dpólus potencálteének számításához hasonló megfontolásokat és elhanyagolásokat alkalmazva: Ha most azt s feltételezzük, hogy egy elektomosan semleges molekuláól van szó, akko Σ Továbbá smét felhasználjuk, hogy egy töltésendsze momentuma m Σ, és így egy semleges töltésendsze potencálja az pontban: Látható tehát, hogy a töltésendsze ugyanolyan potencálteet hoz léte mnt egyetlen pm dpólusmomentumú dpólus Vagys lyen alapon mndenfajta töltéseloszlással endelkező molekulát bátan helyettesíthetünk egyetlen dpólussal ) ( )], ( [ 4 4 3 πε πε ϕ ϕ ϕ, 4 3 p πε ϕ ( ) 4 4 3 πε πε ϕ ϕ 4 3 m πε ϕ