Mester Gyula 003 Intelligens robotok és rendszerek
Robotmanipulátorok kinematikája Robotmanipulátorok dinamikája Robotmanipulátorok szabad mozgásának hagyományos irányítása Robotmanipulátorok adaptív irányítása Mester Gyula 003 Intelligens robotok és rendszerek
Robotmanipulátorok geometriai modellje A robot helyzetmeghatározása Direkt kinematikai feladat Inverz kinematikai feladat Robotmanipulátorok pályatervezése Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
. A robotmanipulátorok geometriai modellje.. Robotcsuklók... Robotszegmensek..3. Kinematikai pár..4. Kinematikai lánc..5. Robotmanipulátorok alapkonfigurációi..6. Az alapkonfigurációk munkaterei a. A TTT struktúra munkatere b. Az RTT struktúra munkatere c. Az RRT struktúra munkatere d. Az RRR struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.. Robotcsuklók A robotmanipulátor mint mechanizmus n számú szegmensből áll melyeket -szabadságfokú csuklók kapcsolnak össze. A merev test mozgása műszaki szempontból a mozgástengelyek (x,y,z) menti elmozdulásból és e tengelyek körüli elfordulásból áll. Ez persze vonatkozik a robotmanipulátorok mozgására is amely felosztható haladó -és forgó ( rotációs ) mozgásra. Így tehát az -szabadságfokú robotcsuklók felosztása a következő: rotációs csukló, transzlációs csukló. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A rotációs csuklók lehetővé teszik az egyik szegmens forgó mozgását a másik szegmens körül, R szimbólummal jelöljük és sematikusan hengerrel ábrázoljuk. l z l q.. ábra A rotációs csukló vázlata Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A transzlációs csuklók lehetővé teszik az egyik szegmens haladó mozgását a másik szegmenshez viszonyítva, T szimbólummal jelöljük és sematikusan hasábbal ábrázoljuk. l l z l l q z q.. ábra A transzlációs csukló vázlata Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az.3 ábrán a 6-szabadságfokú PUMA típusú robototmanipulátort mutatjuk be. Az.4 ábrán pedig a PUMA robotmanipulátor vázlata látható. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
q q 3 q q 5 q 6.3. ábra A PUMA robotmanipulátor q 4 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.4. ábra A PUMA robotmanipulátor vázlata Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
... Robotszegmensek A robotmanipulátor szegmense merev test, amely kinematikai- és dinamikai paraméterekkel rendelkezik. A kinematikai paraméterek a szegmens hossza és a robotcsukló-tengelyek egymással között bezárt szöge. A dinamikai paraméterek közé tartozik a szegmens tömege, és tehetetlenségi nyomatéka. A kinematikai paramétereket a Denavit-Hartenberg féle eljárás szerint határozzuk meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
q i- q i i-szegmens (i-) - csukló i-csukló.5. ábra Robotszegmens Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
..3. Kinematikai pár A kinematikai pár két egymás mellett lévő szegmensből és a szegmenseket összekötő csuklóból áll. A továbbiakban csak -szabadságfokú kinematikai párokat vizsgálunk (rotáció vagy transzláció). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
..4. Kinematikai lánc A kinematikai lánc n számú kinematikai párból áll. A kinematikai láncok struktúrális szempontból csoportosíhatók: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
egyszerû összetett Kinematikai lánc - felosztása - nyitott zárt.6. ábra Kinematikai láncok felosztása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az egyszerű kinematikai láncnál egyik szegmens sem kapcsolódik több mint két kinematikai párhoz. Az összetett kinematikai láncnál legalább egy szegmens több mint két kinematikai párhoz tartozik. A nyitott kinematikai lánc legalább egy szegmense csak egy kinematikai párhoz tartozik. A zárt kinematikai láncnál minden szegmens két kinematikai párhoz tartozik. A kinematikai láncok típusai az.7. ábrán láthatók. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z l l q egyszerű, nyitott kinematikai lánc összetett, nyitott kinematikai lánc.7.a. ábra Kinematikai lánc típusok Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z l l q egyszerű, zárt kinematikai lánc összetett, zárt kinematikai lánc.7.b. ábra Kinematikai lánc típusok Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A mechanizmusok elmélete szempontjából a robotmanipulátorok aktív mechanizmusai l általános esetben összetett és változó struktúrájú kinematikai láncok []. q Egy ipari robot kinematikai láncának szerelés közben változó struktúráját a.8.-.0. ábrákon mutatjuk be. z l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Vizsgáljunk meg egy 6-szabadságfokú PUMA típusú robotmanipulátort. l z l q A munkadarab megfogása előtt a robotmanipulátor kinematikai lánca egyszerű és nyitott:.8. ábra A szerelő robot a munkadarab megfogása előtt Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A munkadarab szállítása közben a robot-manipulátor kinematikai struktúrája nem változik, de a kinematikai lánc utolsó tagjának ( a megfogó-effektor és a munkadarab együttesen ) a tömege és tehetetlenségi nyomatéka változik, ami persze kihat a szemlélt rendszer dinamikájának változására: l z q.9. ábra A munkadarab szállítása l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A munkadarab szerelésénél pedig (.9. ábra) megváltozik a robotmanipulátor kinematikai struktúrája is, mivel az, egyszerű és zárt kinematikai struktúrájú lesz: l z q.0. ábra A munkadarab szerelése l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
..5. Robotmanipulátorok alapkonfigurációi A robotmanipulátorok alapkonfigurációja alatt egy három csuklós, tehát 3 - szabadságfokú kinematikai láncot értünk. Az alapkonfigurációhoz csatlakozik az effektor. Az alapkonfiguráció feladata az effektor pozícionálása a munkatérben. A legtöbb használatban lévő robotmanipulátor rendelkezik ilyen alapkonfigurációval. Mivel a robotcsuklók rotációsak és transzlációsak lehetnek, így az alapkonfigurációk esetében a.0. ábra szerinti kombinációk jelentkezhetnek. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Robotmanipulátorok alapkonfigurációi Struktúra vázlat Struktúra vázlat No. RRR 5 TRR RRT 6 TTR 3 RTT 7 TRT 4 RTR 8 TTT.. ábra A robotmanipulátorok lehetséges alapkonfigurációinak bemutatása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Fontos kihangsúlyozni azt is, hogy a robotmanipulátor alapkonfigurációk kinematikai paramétereitől függően az.. ábra egy-egy eseténél több kombináció is lehetséges. z z l q z 0 q l q 3 Ez például a SCARA (Selective Compliant Articulated Robot for Assembly) RRT struktúrájú szerelő robotmanipulátor esetében szemléletesen bemutatható (.. ábra)... ábra A SCARA szerelőrobot alapkonfigurációja q z Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
..6. Az alapkonfigurációk munkaterei A robotmanipulátor alapkonfigurációjának a munkatere alatt azt a bejárható térnagyságot értjük, amelynek minden pontjában eljuthat a harmadik szegmens végső pontja. A továbbiakban a 4 leginkább használt alapkonfiguráció munkaterét vizsgáljuk [7]: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
a. A TTT struktúra munkatere A TTT struktúra 3 transzlációs csuklóval rendelkezik. Három haladó mozgást valósít meg egy Descartes féle derékszögű koordinátarendszerben. A.3. ábrán látható a TTT alapkonfiguráció munkatere, amely hasáb alakú. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z a y o x.3. ábra A TTT struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
b. Az RTT struktúra munkatere Az RTT struktúra transzlációs és rotációs csuklóval rendelkezik (az első csukló rotációs a másik kettő pedig transzlációs). Két haladó és egy forgó mozgást valósít meg. A.4. ábrán látható az RTT alapkonfiguráció hengergyűrű alakú munkatere. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z b y o x.4. ábra Az RTT struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
c. Az RRT struktúra munkatere Az RRT struktúra rotációs és transzlációs csuklóval rendelkezik (az első két csukló rotációs a harmadik pedig transzlációs). Két forgó és egy haladó mozgást valósít meg. Az.5. ábrán látható az RRT alapkonfiguráció üreges gömb alakú munkatere. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z c y o x.5. ábra Az RRT struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
d. Az RRR struktúra munkatere Az RRR struktúra 3 rotációs csuklóval rendelkezik három forgás Az.6. ábrán látható az RRR alapkonfiguráció munkatere, amely gömb alakú. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Z d y o x.6. ábra Az RRR struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Ha feltételezzük, hogy a fent említett alapkonfigurációk paraméterei azonosak, tehát: - az elmozdulások maximális hossza l, - a maximális rotáció nagysága ± 80º és - a rotációt végző szegmensek hossza l, akkor megállapítható, hogy az RRR struktúra munkatere a legnagyobb. Itt viszont azt is meg kell említeni, hogy a pozícionálási hiba nagyobb azoknál a robotmanipulátoroknál amelyek rotációs csuklókkal rendelkeznek (mivel a rotációs csuklóknál a pozicionálási hibák szuperponálódnak). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az ipari alkalmazásban mégis a rotációs csuklókkal rendelkező robotmanipulátorok vannak többségben, egyrészt a szervomotor forgómozgása, másrészt a robotirányítás könnyedsége miatt. Ugyanis a transzlációs csuklóknál a szervomotor forgómozgását át kell alakítani haladó mozgássá, ami a robotmanipulátoroknál kotyogást és mechanikai veszteségeket idéz elő. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.. A robot helyzetmeghatározása... Bevezetés Az effektor pozicionálása Az effektor orientációja... Csuklókoordináták..3. Világkoordináták..4. A direkt kinematikai feladat..5. Az inverz kinematikai feladat..6. Redundancia Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
... Bevezetés A robotirányítás legegyszerűbb feladata az effektor helyzetmeghatározása a munkatérben. Figyeljük tehát azt a feladatot amikor egy munkadarabot helyezünk át az -es helyzetből a -es helyzetbe (.7. ábra). Először az effektort pozícionálni kell a munkadarab közelébe, majd a munkadarab megfogása céljából el kell végezni az effektor orientációját is ( -es helyzet). A robot helyzetét a munkatérben tehát az effektor pozíciójával és orientációjával határozzuk meg [3]. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z l l q.7. ábra A munkadarab áthelyezése Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A következő lépés a munkadarab z megfogása l és áthelyezése (-es helyzet). Itt új pozíciót és orientációt szükséges definiálni. l Amikor a munkadarab a -es helyzetbe kerül, az effektor kinyílik így a munkadarab a végső helyzetébe q jut. A robot pozícionálása a szerelőrobotok legegyszerűbb feladata. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az effektor pozicionálása z l A robotmanipulátor pozícionálása l alatt az effektor világkoordináták (x,y,z) szerinti elhelyezését értjük a munkatérben. q A pozícionálási feladat elvégzésére 3 szabadságfokra, vagyis a robot alapkonfigurációjára van szükség. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az effektor orientációja z l A robotmanipulátor orientációjal alatt az effektornak a 3 térbeli szög (ψ, θ, ϕ) szerinti elhelyezését értjük a munkatérben. q A orientációs feladat elvégzésére tehát további 3 szabadságfokra van szükség. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az ipari robotmanipulátorokat leginkább 4, 5 és 6 szabadságfokú struktúrával gyártják. A 4 - szabadságfokú robotmanipulátor, l 3 szabadságfokkal el tudja végezni a pozicionálást (x, y, z), a 4. szabadságfokkal q pedig egy szög szerinti orientációt (ψ), tehát a robot képes elvégezni egyszerűbb térbeli manipulációs feladatokat (munkadarab szállítás, présgépek kiszolgálása stb.). z l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az 5 - szabadságfokú robotmanipulátor 3 szabadságfokkal el tudja végezniz a l pozicionálást (x, y, z), a 4. és 5. szabadságfokokkal pedig szög szerinti orientációt l (ψ, θ), tehát a robotmanipulátor összetettebb térbeli manipulációs feladatokat képes elvégezni q (folyadék-szállítás, egyszerűbb szerelési munkálatok, hegesztés stb.). Az és szög szerinti orientáció-feladat különbsége a.8. és.9. ábrákon látható [4]. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z z l l.8. ábra Az szögű orientáció-feladat q z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z z l l.9. ábra A szögű orientáció-feladat q z z' z' Ψ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A 6- szabadságfokú robotmanipulátor munka közben elvégzi a komplett z l pozicionálást (x,y,z) és komplett orientációt (ψ,θ,ϕ), így teljesíti az l összetett térbeli manipulációs feladatokat (összetett szerelés és szállítás, stb.). A robot pozicionálási feladatát elvileg megoldhatjuk: csuklókoordinátákban és világkoordinátákban. z q z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
... Csuklókoordináták A robotmanipulátor csuklókoordinátája skaláris érték, amely a kinematikai pár egyik szegmensének a relatív helyzetét határozza meg a másik szegmenshez viszonyítva []. A rotációs csuklónál a csuklókoordináta megegyezik a csukló elforgatási szögével, a transzlációs csuklónál a csuklókoordináta pedig megegyezik a csukló tengelye mentén történő elmozdulással. Robotmanipulátorok csuklókoordinátáit a következőképpen jelöljük: qi i =,,...,n Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Robotmanipulátorok csuklókoordinátáit a következőképpen jelöljük: qi i =,,...,n a csuklókoordináták vektora pedig: q = q q M q n (.) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Minden csuklókoordináta bizonyos határok között változhat: q i min q i q i max Megállapítható, hogy a rotációs csuklók pozícionálása esetében egyidőben változik az effektor orientációja is, így az effektor orientációját később csak korrigálni kell (ez persze a transzlációs csuklókról nem mondható el). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
q 3 q 4 z l q l q 6 q 5 q z q.0. ábra Robotmanipulátorok csuklókoordinátái z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
..3. Világkoordináták A világkoordináták meghatározzák a robotmanipulátor effektorjának a pozícióját és orientációját egy nyugvó Descartes féle derékszögű koordinátarendszerben. Az effektor pozíciója három, Descartes féle derékszögű koordinátával írható le: x, y, z. A vonatkoztató nyugvó koordinátarendszer a robotmanipulátor platformjához van rögzítve (a leíráshoz lehet hengeres-koordinátákat is alkalmazni). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az effektor orientációja a módosított Euler szögekkel írható le: ψ,θ,ϕ. Ezek a szögek meghatározzák az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer szögelfordulását a robotmanipulátor platformjához van rögzített vonatkoztató álló koordinátarendszerhez képest. x y = z Ψ θ ϕ s (.) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A módosított Euler szögeket a hajózásból vették át és az Euler szögekhez képest abban különböznek, hogy a harmadik forgatás az x tengely körül történik (az Euler szögeknél pedig újból a z tengely körül!). A módosított Euler szögek elnevezései: ψ - csavarási szög (ROLL) θ - billentési szög (PITCH) ϕ - forgatási szög (YAW) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z n ψ csavarász Roll l O n θ l billentés Pitch q xn ϕ forgatás Yaw y n.. ábra Robotmanipulátorok ROLL, PITCH és YAW szögei z' z Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A csavarási szög ψ, az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszernek a nyugvó koordinátarendszer z tengelye körüli z szögelfordulását határozza meg. A billentési szög θ az új helyzetbe került y tengely körüli szögelfordulást adja. z A forgatási szög ϕ pedig a két előbbi szögelfordulás után új helyzetbe került x tengely körüli szögelfordulását határozza meg []. l l q z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A világkoordináták s vektorának komponensei: Az effektor kiválasztott szerszámközéppontjának z l TCP (Tool Center Point) három x, y és z Descartes féle koordinátája a robotmanipulátor l platformjához rögzített vonatkoztató álló koordinátarendszerhez viszonyítva, és a z ψ, θ, ϕ szögek, amelyek meghatározzák az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer szögelfordulását a vonatkoztató nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva. z' q Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z q i ϕ l z l x z'.. ábra Robotmanipulátorok effektorának világkoordinátái x n z n o n ψ θ y n o y x z z q y Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A világkoordináták s vektorának általános esetben m koordinátája van. Legtöbbször m=6. Bizonyos típusú robotmanipulátoroknál elegendő kisebb számú világkoordináta használata, így például az effektor pozicionálására (orientáció nélkül) elegendő: m = 3 világkoordináta, tehát a világkoordináták vektora ez esetben: [ x y z] T s = (.3) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
..4. Direkt kinematikai feladat A világkoordináták s vektorának meghatározása a csuklókoordináták q vektorának ismeretében a direkt kinematikai feladat [], amely a következő módon irható le: (.4) s = f(q) ahol a: qi (i =,...n) robotmanipulátor csuklókoordinátái, si (i =,...m) - világkoordináták, f: - nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény amely leképezi a csuklókoordinátákat világkoordinátákká. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A következő ábrán bemutatjuk a direkt kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúráját. A q csuklókoordináták minden vektorértékének egyértelmű s világkoordináta érték felel meg. Az.3. fejezetben a direkt kinematikai feladattal foglalkozunk. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z l l q Transzformáció: csuklókoordinátákból világkoordinátákba z q s.3. ábra A direkt kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
..5. Inverz kinematikai feladat A csuklókoordináták q vektorának meghatározása a világkoordináták s vektorának ismeretében az inverz kinematikai feladat [], amely a következő módon irható le: (.5) q = f -(s) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az s világkoordináták visszatranszformálása a q csuklókoordinátákba nem egyértelműen meghatározott feladat. A számítás nagymértékben függ a robotmanipulátor geometriájától és gyakran több megoldást eredményez. Az.4. fejezetben az inverz kinematikai feladattal foglalkozunk. A következő ábrán bemutatjuk az inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúráját. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z l l s Transzformáció: világkoordinátákból csuklókoordinátákba z q q.4. ábra Az inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az inverz kinematikai feladat, mivel nagyszámú nemlineáris (a csuklókoordináták és a világkoordináták közötti összefüggés nemlineáris) trigonometriai egyenlet megoldását feltételezi, sokkal összetettebb mint a direkt kinematikai feladat. Akkor l alkalmazzuk, amikor a robotmanipulátor feladatnál azeffektor pályája világkoordinátákban van megadva és így z szükséges meghatározni a csuklókoordinátákat is. A direkt- és inverz kinematikai feladat koordinátatranszformáció struktúráját szemléltető módon az.5. ábrán mutatjuk be: z' z l q Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Inverz kinematikai feladat z ϕ x n z n ψ s θ y n Tool-Center-Point ( TCP) f - l z l q q q q 3 q 4 q 6 q 5 q x y f z világkoordináták vektora csuklókoordináták vektora T T s= x, y, z, ψ, θ, ϕ q= q, q, q3, q4, q5, q6 Direkt kinematikai feladat z'.5. ábra A direkt és inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
..6. Redundancia A robotmanipulátort nemredundánsnak tekintjük, ha a világkoordináták vektordimenziója m megegyezik a robotmanipulátor szabadságfok számával n. Ha az: n > m akkor a robotmanipulátor redundáns vagy túlhatározott, vagyis az effektor adott helyzetéhez viszonyítva, a csuklókoordináták q szempontjából többféle megoldás is létezik. Ha pedig: n < m akkor a robotmanipulátor nem tudja elvégezni az előírt feladatot. A könyv további részében csak a nemredundáns robotmanipulátorokkal foglalkozunk l z' z z l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.3. DIREKT KINEMATIKAI FELADAT.3.. Bevezetés.3.. Homogén koordináta-transzformációk.3.3. Denavit-Hartenberg transzformációs mátrix.3.4. Az effektor orientációja Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.3.. Bevezetés Ahogy már elmondtuk a világkoordináták s vektorának meghatározása a csuklókoordináták q vektorának ismeretében a direkt kinematikai feladat. Egyszerű manipulációs feladatoknál a csuklókoordinátákat közvetlenül lehet megadni. Szemléljük tehát a.6. ábra szerinti robotmanipulátort: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.6. ábra Feladatmeghatározás csuklókoordináták közvetlen megadásával Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Első lépésben az effektor a munkadarabot az A helyzetből az AB pálya mentén a B helyzetbe szállítja, ez idő alatt a q csuklókoordináta π/-vel változik. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A következő lépésben a munkadarabot vízszintes helyzetbe hozzuk, így a q4 csuklókoordináta változik π/-vel. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A harmadik lépésben a BC pálya mentén a munkadarab a C helyzetbe kerül és a q csuklókoordináta -π/-vel változik, de egyidőben változik a q csuklókoordináta miután l hosszal leengedi a munkadarabot. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Így ha a csuklókoordináták q változása ismert akkor a direkt kinematikai feladat megoldásával meghatározhatjuk az s világkoordinátákat, vagyis az effektor térbeli mozgását [4]. A továbbiakban vizsgáljuk meg, hogyan lehet felírni a világkoordináták és a csuklókoordináták közötti összefüggést, így e célból célszerű bevezetni a: homogén transzformációs mátrixot. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.3.. Homogén koordináta-transzformációk Homogén transzformációs mátrixok alatt olyan 4x4 típusú mátrixokat értünk, amelyek tartalmazzák a két kiválasztott derékszögű koordinátarendszer közötti: rotációt és a két koordinátarendszer origójának a távolságát. Használatuk azért célszerű mert lehetővé teszik különböző koordinátarendszerek viszonyának kompakt vektorleírását []. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Először ismerkedjünk meg a két koordináta-rendszer közötti rotációs mátrixszal. Tekintsük tehát a következő két: nyugvó Ox o y o z o alapkoordinátarendszert, amely a robotmanipulátor alapjához van kötve, és mozgó O n xyz koordinátarendszert, az O n origóval, amely a robotmanipulátor effektorjához kötődik, egységvektorai e, e és e 3 (.7. ábra szerint). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Legyen az álló Ox o y o z o a referencia koordinátarendszer. Az O n origó helyzetét a referencia koordinátarendszer-ben a k helyzetvektorral adjuk meg. zo z On e 3 e e y k x O yo x0.7. ábra Nyugvó és mozgó koordinátarendszerek Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája A mozgó koordinátarendszer orientációja a nyugvóhoz viszonyítva leírható a következő R rotációs mátrixszal: rotációs mátrix x x x 3 Tehát a rotációs mátrix elemei tulajdonképpen az e,e és e 3 egységvektoroknak az x o, y o, z o referencia koordinátákra számított vetületeivel egyeznek meg [8]. = z z z y y y e e e e e e e e e 3 3 R
Ismerve a p helyzetvektort, amely meghatározza a P pont helyzetét a mozgó koordinátarendszerben, az.8. ábra szerint határozzuk meg a P pont helyzetét a referencia Ox o y o z o koordinátarendszerben: zo z On e 3 e y O k e x P yo x0.8. ábra A helyzetvektorok Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
ahol: r a P pont helyzetvektora a nyugvó Ox o y o z o referencia koordinátarendszerben, p - a P pont helyzetvektora a mozgó koordinátarendszerben, k -az O n origó helyzetvektora az nyugvó Ox o y o z o referencia koordinátarendszerben, R - a két koordinátarendszer rotációs mátrixa. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Az (.7) kifejezésben az r helyzetvektort úgy írjuk fel, hogy a p vektort balról megszorozzuk a R rotációs mátrixszal és az eredményhez hozzáadjuk a k vektort, az On origó helyzetvektorát. Az (.7)-es reláció skaláris alakja tehát a következő: (.8) + = z y x 3 3z z z 3y y y 3x x x z y x k k k p p p e e e e e e e e e r r r
A kompakt felírás céljából állítsuk fel az nyugvó és mozgó koordinátarendszerek közötti 4x4 típusú homogén transzformációs mátrixot a következő alakban: (.9) vagyis: (.0) H H = = R 000 e e e 0 x y z e e e k x y z 0 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája e e e 3x 3y 3z 0 e e e 4x 4y 4z
Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Így az (.7)-es reláció kompakt alakban írható fel: (.) r = Hp Az. vektoregyenlet skaláris alakja így a következő: (.) = p p p 0 0 0 k e e e k e e e k e e e r r r 3 z 3z z z y 3y y y x 3x x x z y x
A homogén mátrix-transzformáció bevezetésének három jelentősége van: Megadja a mozgó koordinátarendszer orientációját a nyugvó koordinátarendszerhez képest. Megadja a mozgó koordinátarendszer origójának a pozícióját a nyugvó koordinátarendszer origójához képest. Ha egy adott pont koordinátáit ismerjük a mozgó koordinátarendszerben, akkor a homogén mátrixtranszformáció segítségével felírhatjuk ugyanennek a pontnak a koordinátáit a nyugvó koordinátarendszerben is [4]. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Tehát két (vagy több) koordinátarendszer esetében, az (.7) reláció szerinti szukcesszív szorzási és összeadási műveletek helyett a kiválasztott pont r helyzetvektorát az (.) reláció szerinti homogén transzformációs mátrix segítségével fejezzük ki (homogén transzformációs mátrix szorzása a p vektorral), amely eljárás: gyorsabb számításokat eredményez, és használata elterjedt a robotmanipulátor kinematikai modelljének felállításánál. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.3.3. Denavit-Hartenberg transzformációs mátrix A csuklókoordináták transzformálása világkoordinátákba a Denavit-Hartenberg féle transzformációs mátrixszal történik. Denavit és Hartenberg ezt az eljárást 955-ben publikálta és ezért nevezték el együttesen Denavit-Hartenberg módszernek. Az eljárás lényege az, hogy egy koordinátarendszer két haladó és két forgó mozgással egy másikba átvihető. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A robotmanipulátoroknál használt Denavit- Hartenberg paraméterek: d és a távolságok és α szög. A Denavit-Hartenberg eljárás szerint [5] az i-edik és i+-edik robotcsuklókra egy-egy derékszögű koordinátarendszert ültetünk, a csukló tengelyének iránya a z tengely és a két egymást követő koordinátarendszert a következő irányszabályok szerint határozzuk meg: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az i+-es robotcsuklón megválasztjuk az O i x i y i z i koordinátarend szert a következő módon: -Az i tengely az i+-edik csukló irányában fekszik, -az x i tengely a két szemlélt csukló (i-edik és i+-edik) tengelyének közös normálisába esik és az i-edik csuklótól az i+-edik csukló felé mutat, -az y tengely kielégíti a következő feltételt: x i y i = z i - jobbcsavar irányú. ( i-) csukló i-csukló (i+) csukló q i- q i q i+ z i- O i- ( i-) szegmens a i- d i z i- y i- Oi-.9. ábra A derékszögű koordinátarendszerek helyzete Denavit-Hartenberg eljárás szerint x i- i szegmens a i y i α i O i z i x i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az i-edik robotcsuklón megválasztjuk az O i- x i- y i- z i- koordinátarendszert a következő módon: a z i- tengely az i-edik csukló irányában fekszik, az x i- tengely az i--edik és i-edik csuklók tengelyének közös normálisába esik és az i--edik csuklótól a i-edik csukló felé mutat, az y i- tengely kielégíti a következő feltételt: x i- x y i- =z i- - jobbcsavar irányú. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
d i : - minden csuklótengelynek két normálisa van (a i- és a i ) és a normálisok közötti az i-edik csukló tengelye mentén mért távolság a d i, a i : az i-edik és i+-edik csukló-tengelyek közös normálisának a hossza, α i : - az i-edik csukló és az i+-edik csukló tengelye közötti jobbcsavar irányú szög az a i -re merőleges síkban. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A q i csuklókoordináta, rotációs csukló esetében az x i- és x i tengelyek között bezárt jobbcsavar irányú szög nagysága, amely zérus, ha a tengelyek egyirányúak vagy párhuzamosak egymással. A Denavit-Hartenberg eljárás szerint felvitt két szomszédos derékszögű koordinátarendszer O i - x i- y i- z i- és O i x i y i z i két haladó és két forgó mozgással egymásba átvihető a következő lépések szerint: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Először qi elfordulás z i- körül: x i- párhuzamos lesz x i -vel. (.30. ábra): Zglob i- Zglob i Zglob i+ Segment i- Segment i α i a i z i O i d i z i- y i x i qi z i- y i- a i- Oi- x i- O i-.30. ábra Az Oi-xi-yi-zi- koordinátarendszer qi forgatása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az így elvégzett forgatás a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az.30. ábráról): (.3) D(q i ) = cosq sin q 0 0 i i sin q cosq 0 0 i i 0 0 0 0 0 0 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Másodszor következzék di transzláció a z i- mentén, a z i- és xi metszéspontjáig (.3. ábra), így az x i- egybeesik az x i -vel: ( i-) csukló i-csukló (i+) csukló q i- q i q i+ α i ( i-) szegmens i szegmens z i- a i z i y i- x i- O i d i y i x i z i- a i- O i- O i-.3. ábra Az elforgatott O i- x i- y i- z i- koordinátarendszer d i transzlációja Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Az így elvégzett transzláció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az.3. ábráról): (.4) D(d i ) = 0 0 0 d 0 0 0 0 0 0 0 0 i
Harmadszor következzék a i transzláció x i mentén az O i origóig (.3. ábra), így a koordinátarendszerek metszéspontja fedésbe kerül. ( i-) csukló i-csukló (i+) csukló q i- q i q i+ α i ( i-) szegmens i szegmens a i z i- z i d i O i y i- x i- x y i i z i- a i- O i- O i-.3. ábra Az elforgatott és elmozdult O i- x i- y i- z i- koordinátarendszer ai transzlációja Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Az így elvégzett transzláció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az.3. ábráról): (.5) D(a i ) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 i
Negyedszer α i jobbcsavar irányú elfordulás az x i körül: hogy a z és y tengelyek is fedésbe kerüljenek (.33. ábra). ( i-) csukló i-csukló (i+) csukló q i- q i q i+ ( i-) szegmens i szegmens a i α i z, i z i- d i O i x, i x i- y, i y i- z i- a i- O i- O i-.33. ábra A koordinátarendszer α i forgatása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az így elvégzett rotáció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az.33. ábráról): (.6) D(α i ) = 0 0 0 0 cosα sin α 0 i i 0 sin α cosα 0 i i 0 0 0 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A fenti négy mozzanat a következő alakú Denavit Hartenberg transzformációs mátrixban foglalható össze: (.7) i- D i = D(q i ) D(d i ) D(a i ) D(α i ) Behelyettesítve (.3), (.4), (.5) és (.6) mátrixokat a (.7)-be, elvégezve a mátrixszorzást megkapjuk a következő alakú Denavit Hartenberg féle transzformációs mátrixot a két egymást követő rotációs csuklóra rögzített koordinátarendszer esetén: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
(.8) i- D i = cosq sin q 0 0 i i sin q cosq i i sin α cosα cosα 0 i i i sin q i cosq sin α i cosα 0 sin α i i i a a i i cosq sin q d i i i Transzlációs csuklók esetében a koordinátarendszereket úgy választjuk meg, hogy a i = 0, a d i hossz q i lesz, ami pedig a rotációs csuklónál a q i forgásszög, az most θ i paraméter lesz, vagyis: a i = 0 d i = q i q i = θ i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Így a Denavit Hartenberg féle transzformációs mátrix a transzlációs csuklók esetén: (.9) i- D i = cosθ sin θ 0 0 i i sin θ cosθ i i sin α cosα cosα 0 i i sin θ i cosθ sin α i cosα 0 sin α i i i 0 0 q i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Miután tehát minden egymást követő koordinátarendszer esetében (a fenti eljárás szerint) meghatároztuk a Denavit Hartenberg (D-H) féle transzformációs-mátrixot, akkor a robotmanipulátor platformjához kötött álló koordinátarendszer és az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer közötti D-H féle homogén transzformációsmátrixot, a két egymást követő koordinátarendszerek DH mátrixainak szorzata adja. (.0) 0 T n = 0 D D D 3... n D n n D n Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A robotmanipulátor csuklók összes D-H mátrixának összeszorzásával ismét egy 4x4 es mátrixot kapunk, amely az effektor TCP pontjának a pozícióját és az effektor orientációját adja meg. Ugyanis a o T n mátrix első három sora és oszlopa a robotmanipulátor platformhoz kötött álló és az effektorhoz kötött mozgó koordináta-rendszerek közötti rotaciós mátrixot, míg a o T n mátrix negyedik oszlopa a az effektor TCP pontjának a nyugvó koordinátarendszerben lévő koordinátáit határozza meg Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Amikor a robotmanipulátor-csuklóknál rögzítjük a megfelelő koordináta-rendszereket és meghatározzuk a D-H paramétereket: α i, a i, d i, (i =,,...,n), akkor a homogén transzformációs-mátrixok (.8) csak a csuklókoordináták qi függvényeivé válnak. Tehát ha a robotmanipulátornál meghatározzuk a mátrix numerikus alakját, akkor abból kiolvashatjuk a három módosított Euler szöget és az effektor TCP szerszámközéppontjának a pozícióját, így tulajdonképpen meghatározzuk a robotmanipulátor világkoordinátáit []. (.) 0 T n = 0 0 R n 0 x y z Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája 0
Megállapítható tehát, hogy ily módon azzal, hogy - a három módosított Euler szöget és az effektor TCP pontjának a pozícióját meghatároztuk, a direkt kinematikai feladatot megoldottuk. A o T n mátrix meghatározása tehát a csuklókoordináták vektorának ismeretében, a direkt kinematikai feladat megoldásának az alapja. Megjegyezhető, hogy a módosított Euler szögek kiszámítása a mátrixból nem függ a robotmanipulátor típusától! Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.3.4. Az effektor orientációja Robotmanipulátor effektorának az orientációját a robotplatformhoz kötött nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva, a módosított Euler szögekkel ψ, θ, ϕ határozzuk meg []. A továbbiakban vizsgáljuk a következő két koordinátarendszer közötti rotációt: Ox o y o z o nyugvó alapkoordinátarendszer, amely a robotmanipulátor platformjához van kötve, és O n x n y n z n mozgó koordinátarendszer az O n origóval, amely a robotmanipulátor effektorához kötődik. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A mozgó koordinátarendszer orientációja az nyugvóhoz viszonyítva leírható a következő rotációs mátrixszal 0 R n : (.) 0 R n = e e e x y z Az 0 R n rotációs mátrix leképezi a mozgó koordinátarendszer koordinátáit a nyugvóba. A mozgó koordinátarendszer rotációja az nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva bemutatható a következő három rotációval: e e e x y z e e e 3x 3y 3z Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A mozgó O n x n y n z n koordinátarendszer első rotációja a csavarási ψ szög szerint, amely az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszernek az álló koordinátarendszer z tengelye körüli szögelfordulását határozza meg (.34. ábra). Ψ O n z=z' Ψ Ψ x x' y.34. ábra A mozgó koordinátarendszer Rotációja a csavarási ψ szög szerint y' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az így elvégzett rotációnak, az.34. ábráról közvetlenül leolvasva, a következő formájú rotációs mátrix R(ψ) felel meg: (.3) R( ψ) = cosψ sin ψ 0 sin ψ cosψ 0 0 0 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az új helyzetbe került mozgó koordinátarendszer Onx n' y n' z n' második rotációja a θ billentési szög szerint, amely az y' tengely körüli szögelfordulást határozza meg (.35. ábra). z' Θ z" On Θ Θ y'=y" x" x'.35. ábra A mozgó koordinátarendszer második rotációja a billentési szög θ szerint Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az így elvégzett rotációnak az.35. ábráról közvetlenül leolvasva a következő formájú rotációs mátrix R(θ) felel meg: (.4) R(θ) = cosθ 0 sin θ 0 0 sin θ 0 cosθ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az új helyzetbe került mozgó O n x n'' y n'' z n'' koordinátarendszer harmadik rotációja a forgatási szög ϕ szerint, amely az x'' tengely körüli szögelfordulást határozza meg (.36. ábra). z"' z" ϕ y'" ϕ O n y" ϕ x''=x'".36. ábra A mozgó koordinátarendszer harmadik rotációja a forgatási ϕ szög szerint Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az így elvégzett rotációnak az.36. ábráról közvetlenül leolvasva, a következő formájú rotációs mátrix R(ϕ) felel meg: (.5) R(ϕ) = A fent elvégzett három rotáció együttesen az.37. ábrán van bemutatva. A három felsorolt rotációnak megfelel a következő transzformációs mátrixszorzat: (.6) o R n 0 0 0 cosϕ sin ϕ 0 sin ϕ cosϕ ( ψ) R( θ) ( ϕ) = R R Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A felírt rotációs mátrixokat (.3), (.4) és (.5) behelyettesítve a (.6)-ba következik: (.7) o R n = cosψ sin ψ 0 sin ψ cosψ 0 0 cosθ 0 0 sin θ 0 0 sin θ 0 0 cosθ 0 0 cosϕ sin ϕ 0 sin ϕ cosϕ A mátrix szorzásokat elvégezve, felírható: (.8) o R n = cosψ cosθ sinψ cosθ sinθ cosψ sinθ sinϕ sinψ cosϕ sinψ sinθ sinϕ + cosψ cosϕ cosθ sinϕ cosψ sinθ cosϕ + sinψ sinϕ sinψ sinθ cosϕ cosψ sinϕ cosθ cosϕ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
z''' ϕ z" Θ z, z' Ψ 3 O n y''' x x' Ψ Θ 3 ϕ Ψ y Θ y', y" 3 ϕ x", x'".37. ábra Módosított Euler szögek. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
(.9) e e e x y z e e e x y z e e e 3x 3y 3z = cosψ cosθ sin ψ cosθ sin θ cosψsin θsin ϕ sin ψ cosϕ sin ψ sin θsin ϕ + cosψccosϕ cosθsin ϕ cosψsin θcosϕ + sin ψsin ϕ sin ψsin θcosϕ cosψsin ϕ cosθcosϕ A (.9) mátrixegyenlet egyes elemeit egyenlővé téve, felírható: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
(.30) ex = cosψcosθ (.3) ey = sinψcosθ (.3) ez = -sinθ (.33) ex = cosψsinθsinϕ-sinψcosϕ (.34) ey = sinψsinθsinϕ +cosψcosϕ (.35) ez = cosθsinϕ (.36) e3x = cosψsinθcosϕ +sinψsinϕ (.37) e3y = sinψsinθcosϕ- cosψsinϕ (.38) e3z = cosθcosϕ Így 9 egyenletből álló egyenletrendszert kaptunk, amely 3 ismeretlent tartalmaz ψ, θ és ϕ, mivel a mátrix ortogonális, ezek az egyenletek nem függetlenek egymástól. A ψ, θ és ϕ szögeket a következő módon határozhatjuk meg []: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
a. Szorozzuk meg az (.30) egyenlet mindkét oldalát sinψ-vel és az (.3) egyenlet mindkét oldalát cosψ-vel, majd felírható a következő kivonási művelet: (.39) exsinψ - eycosψ = 0 ahonnan kiszámítható a ψ szög nagysága: (.40) ψ = arctg + kπ e e y x Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
b. Szorozzuk meg az (.30) egyenlet mindkét oldalát cosψ-vel és az (.3) egyenlet mindkét oldalát sinψ-vel, majd az összeadási művelet felírható: (.4) excosψ + eysinψ = cosθ Az (.4) egyenlet az (.3) egyenlettel együtt lehetővé teszi a θ szög kiszámítását: e z (.4) θ = arctg + kπ x e cos ψ + e y sin ψ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
c. Szorozzuk meg az (.35) egyenlet mindkét oldalát cosϕ-vel és (.38) egyenlet mindkét oldalát sinϕ-vel, így a kivonási művelet felírható: (.43) e cosϕ e sinϕ = z 3z z (.44) ϕ = arctg + kπ e e 3z 0 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A ψ, θ és ϕ szögeket többféle módon határozhatjuk meg. A szögek számításánál numerikus problémák jelentkezhetnek, ha az (.40), (.4) és (.44) relációkban a nevezők kis értékűek. Ez megfelelő numerikus eljárással kiküszöbölhető. Az egyetlen szinguláris eset akkor jelentkezik, ha a θ = ± π/, vagyis: e x =e y = e z = e 3z = 0. Ekkor az (.40) egyenlet nem oldható meg, ezért a ψ szög értéket tetszőlegesen választjuk meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az ilyen ψ szög ismeretében a ϕ szöget a következő módon számítjuk ki: ex (.45) ϕ = arctg ψ + kπ ha a θ = -kπ/ e y ϕ = arctg e e x y + ψ + kπ ha a θ = kπ/ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az (.40), (.4), (.44) és (.45) relációkban a k értéket úgy határozzuk meg, hogy figyelembe vesszük a direkt kinematikai feladat megoldásánál a világkoordináták két pont közötti minimális változását (mivel a robotmanilpulátor folyamatos mozgásának a világkoordináták folyamatos változása felel meg). A robotmanipulátor effektorának orientáció meghatározását a ψ, θ és ϕ szögek kiszámításával [az (.40), (.4) és (.44) relációkból], befejezettnek tekintjük. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Összegezés: Az effektor TCP szerszámközéppontjának: Descartes féle derékszögű koordinátáinak (pozicionálás) és a három módosított Euler-féle szögeinek (orientáció) meghatározásával a direkt kinematikai feladatot teljességben megoldottnak tekintjük. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.4. INVERZ KINEMATIKAI FELADAT.4.. Bevezetés.4.. Az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása.4.3. Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása.4.4. A Jacobi-mátrix meghatározása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.4. Bevezetés A csuklókoordináták q vektorának meghatározása a világkoordináták s vektorának ismeretében az inverz kinematikai feladat amely a következő módon írható le: (.46) q = f - (s) Akkor alkalmazzuk, amikor a robotmanipulátor feladatnál az effektor pályája világkoordinátákban van megadva, és nekünk a robotvezérléshez a csuklókoordinátákra van szükségünk. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Amikor tehát ismerjük az effektor TCP pontjának a világkoordinátáit (x,y,z) és az orientációját (ψ, θ és ϕ), akkor tulajdonképpen meghatároztuk a homogén mátrixtranszformációt a nyugvó- és mozgó koordinátarendszerek között, így az inverz kinematikai feladat felírható: (.47) q = f - ( o T n ) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az inverz kinematikai feladat, mivel nagyszámú nemlineáris (a csuklókoordináták és a világkoordináták közötti összefüggés nemlineáris) trigonometriai egyenlet megoldását feltételezi, sokkal összetettebb, mint a direkt kinematikai feladat. Az s világkoordináták visszatranszformálása a q csuklókoordinátákba nem egyértelműen meghatározott feladat. A számítás nagymértékben függ a robotmanipulátor geometriájától és gyakran több megoldást eredményez. Több esetben a dekompozíciós módszer vezet eredményre. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az inverz kinematikai feladatot két módon oldhatjuk meg: a. Analitikus és b. Numerikus eljárások alkalmazásával. Az analitikus eljárás esetében a megoldást zárt analitikus formában kapjuk meg minden robotmanipulátor konfigurációra külön-külön. Numerikus eljárások esetében a numerikus analízis ismert módszereit alkalmazzuk. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.4.. Az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása Az inverz nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény f - amely leképezi a világkoordinátákat csuklókoordinátákká egy összetett n változós függvény, így az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása összetett feladat. Az iparban használt legtöbb robotmanipulátornál létezik analitikus megoldás az inverz kinematikai problémára. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az analitikus megoldásnak az előnyei a numerikus eljárásokhoz viszonyítva a következők: a. Megkapjuk az összes megoldást. b. Pontos eredményeket kapunk (numerikus hibák nélkül). c. Kevesebb numerikus számítással használható, így megfelel a valós idejű számításoknál. d. Felismerhetővé teszi a szingularitásokat. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az analitikus megoldás fő hátránya az, hogy nem írható fel tetszőleges robotkonfigurációra. Oldjuk meg az.36. ábrán látható négy szabadságfokú hengeres robotmanipulátor esetében az inverz kinematikai feladatot analitikus eljárással. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
l 3 q 3 l 4 q c q 4 z l q z c o y c x c y x.36. ábra. A hengeres robotmanipulátor vázlata. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A világkoordináták és a csuklókoordináták közötti összefüggés felírható a következőképpen: (.48) ahol: s = x [, y z ϕ] T c c, c, x y ϕ=q4 a világkoordináták vektora xc, yc, zc az effektor súlypontkoordinátái, ϕ - Euler szög, li szegmenshossz. c c = = ( l + l + q ) 3 4 ( l ) 3 + l4 + q3 sin q z = q + c l 4 cosq Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Az analitikus megoldást tehát felírhatjuk a következő módon: (.49) Így meghatároztuk a világkoordinátáknak megfelelő csuklókoordinátákat. ( ) = ϕ + = = = 4 4 3 0.5 c c 3 c c c q l l y x q l z q x y arctg q
.4.3. Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása Az inverz nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény f - amely leképezi a világkoordinátákat csuklókoordinátákká egy összetett n változós függvény, így az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása összetett feladat. Az iparban használt legtöbb robotmanipulátornál létezik analitikus megoldás az inverz kinematikai problémára. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Az inverz kinematikai feladatok megoldásánál a numerikus matematika eljárásait használjuk fel. (.50) q = f - (s,q o ) A legelterjedtebb a Newton módszer használata. Deriváljuk a robotmanipulátor világ- és csuklókoordinátái közötti összefüggést: (.5) s = f ( q) s& = f q q& Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Ahol az un. nxn dimenziós Jacobi-mátrix: (.5) J ( q) = f q Így az.5. kifejezés felírható: (.53) s & = J( q)q& Az (.53) reláció a világkoordináták sebességvektora és a csuklókoordináták sebességvektora közötti összefüggést határozza meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Ha ismerjük a világkoordináták sebességvektorát, akkor a csuklókoordináták sebességvektora a következő módon számítható ki: (.54) q& = J ( q)s& Mivel a nemredundáns robotmanipulátoroknál a Jacobi-mátrix kvadratikus, az inverz mátrixa meghatározható. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.4.4. A Jacobi-mátrix meghatározása Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása megköveteli a Jacobi-mátrix és az inverz Jacobimátrix ismeretét. A Jacobi-mátrix összeköti: a világkoordináták és a csuklókoordináták sebességvektorait, az effektorra ható erőket és a terhelő erőkből adódó csuklónyomatékokat. A Jacobi-mátrixnak nagy jelentősége van a robotmanipulátor pályatervezésénél. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A Jacobi-mátrix függ a világkoordináták vektorának a típusától és meghatározható két almátrix segítségével: Az egyik almátrix a Descartes féle koordinátáknak felel meg JD: (.55) x& & y z& = J D q& J D R 3xn Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A másik almátrix az effektor szögsebesség-vektor vetületeinek felel meg Jω: (.56) Így a Jacobi-mátrixot felírhatjuk a következő módon: (.57) ω ω ω J x y z = = J ω q& J J D ω J ω 3xn R Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A Jacobi-mátrix meghatározását az.36 ábrán látható hengeres robotmanipulátor példájánál mutatjuk be. Deriváljuk a világkoordináták és a csuklókoordináták közötti (.48) összefüggést: (.58) ( l ) 3 + l4 + q3 q& sin q q& 3 cosq & c = + x C. ( l ) 3 + l4 + q3 q& cosq q& 3 sin q y & = + z& C ϕ & = = q& q& 4 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája A fenti kifejezéseket a következő alakban is felírhatjuk: (.59) ( ) ( ) + + + + = ϕ 4 3 3 4 3 3 4 3 C C C q q q q 0 0 0 0 0 0 0 sin q 0 cosq q l l 0 cosq 0 sin q q l l z y x & & & & & & & &
Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Összehasonlítva az (.53) és (.59) kifejezéseket a Jacobi-mátrix alakja a kővetkező: (.60) ( ) ( ) + + + + 0 0 0 0 0 0 0 sin q 0 cosq q l l 0 cosq 0 sin q q l l 3 4 3 3 4 3 J (q)=
.5. A robotmanipulátorok pályatervezése.5.. Bevezetés.5.. Pályatervezés világkoordinátákban.5.3. Pályatervezés csuklókoordinátákban Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.5. Bevezetés Robotmanipulátorok pályatervezésének kettős célja lehet: Az effektor mozgását meghatározó pontok pozíciójának a megadása. Az adott pontok közötti pálya-meghatározás. A pályatervezési feladat a robotmanipulátor munkafolyamatától függ. A pályatervezési feladatot skalárértékű időfüggvények tervezési feladatára vezetjük vissza és elvégezhetjük: Csuklókoordinátákban és Világkoordinátákban. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
A robotirányítási algoritmusok a pálya ismerete mellett megkövetelik a pálya menti sebességek, gyorsulások, szögsebességek és szöggyorsulások ismeretét is. A pályatervezési feladatot elvégezhetjük: Off-line vagyis a robotmanipulátor tanítási fázisában és On-line, valós időben. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.5.. Pályatervezés világkoordinátákban Két adott pont (A és B) közötti pályatervezés világkoordinátákban τ idő alatt elvégezhető a következő módon: (.6) s(t) A B A = s + λ(t)( s s ) 0 t τ ahol az integrálási folyamat közben szükséges az inverz kinematikai feladat megoldása. Az (.6) kifejezésben a λ(t) függvény az effektor sebesség-törvényszerűségét határozza meg, amely különböző típusú lehet (háromszög-, trapéz-, parabola-, ciklois- stb. alakú). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Amikor sikeresen elvégeztük a pályatervezést a világkoordinátákban, akkor meg kell oldani a pályatervezést csuklókoordinátákban is. E feladat három módon oldható meg: a. Az inverz kinematikai feladat megoldásával. b. Az (.54) reláció segítségével és c. Az (.53) reláció felhasználásával. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Deriváljuk az (.53) kifejezést: (.6) ahonnan: && s = Jq&& + J q q& (.63) q && J && s q & = J q Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
.5.. Pályatervezés csuklókoordinátákban Amikor a pályatervezést csuklókoordinátákban szükséges elvégezni akkor következő kifejezést használjuk: (.64) q(t) A B A = q + λ(t)( q q ) 0 t τ ahol a qa és qb a csuklókoordináták megfelelő vektorai. Fontos kihangsúlyozni, hogy a csuklókoordináták lineáris változása nem biztosítja a világkoordináták lineáris változását is. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája
Bevezetés Robotmechanizmus matematikai modellje Robotmanipulátorok hajtásai Robotmanipulátorok számítógépes dinamikai modellezése Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája