Hálóatok /27 3. HÁLÓZATOK 2 3. Hálóatok defnícója 2 3.2 Hálóatok repreentácó, mplementácó 3 3.3 Hálóat analís 3.3. Egyenletrendser és megoldása 2 3.3.2 Jelfolyam gráf ekvvalens átalakítása, fokoatos egyserűsítése 3 3.3.3 A Mason formula 3 3.4 Hálóat sntés, neveetes struktúrák 6 3.4. A transveráls struktúra, all-ero modell 7 3.4.2 A AR struktúra, all-pole modell 8 3.4.3 ARMA rendserek drekt struktúrá (D0, D, D2) 9 3.4.4 Kaskádstruktúra 2 3.4.5 Párhuamos struktúra 24 3.4.6 Lagrange-féle nterpolácó struktúra 25 3.4.7 Frekvenca-mntavételeő struktúra 26 haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 2/27 3. Hálóatok 3. Hálóatok defnícója A hálóat fogalmát a legtömörebben a alábbak sernt alapohatjuk meg: Hálóat elemkéslet össekötés sabály aa, egy hálóat-típus adott, ha adott egy elemhalma és a eeken értelmeett össekötés sabályok rendsere. A hálóat-ostályon a elemhalma elemeből a össekapcsolás sabályok sernt létrejöhető struktúrák halmaát értjük. Korább tanulmányokból smertként hvatkohatunk a Krchoff-féle hálóatokra vagy például a jelfolyam hálóatokra. A továbbakban csak jelfolyam hálóatokról les só. Jelfolyam hálóat defnícója: Elemkéslet: nput-output dobook (jelfeldolgoó rendserek, ahogy a előő fejeetben erről só volt) Össekötés sabály: kmenetet kmenettel nem sabad össekötn. A jelfolyam hálóatok halmaán belül defnáljuk a dskrétdejű lneárs hálóatok ostályát: Dskrétdejű lneárs hálóat defnícója: Elemkéslet: elem alkatrések és mnden olyan dobo, am dskrétdejű hálóattal létrehoható (rekurív sabály) Elem alkatrések: össeadó, soró (konstanssal), késleltető (órajelny) Össekötés sabály: kmenetet kmenettel nem sabad össekötn. Ebben a kurusban hálóatok alatt (ha adott esetben másként nem hangsúlyouk) dskrétdejű, lneárs, jelfolyam hálóatokat értünk. A előő fejeetben tárgyalt rendser-fogalom és een fejeet hálóat-fogalma köött kapcsolatot lletően a alább két megjegyést tehetjük: egyrést a hálóatok nput-output rendserek össekapcsolásaval jönnek létre, másrést a hálóatok nput- és a output-pontjak köt nput-output rendsert honak létre, rendsereket hálóatokkal mplementálunk, valósítunk meg (általában elembb rendserek felhasnálásával), haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 3/27 tehát a rendser és hálóat fogalmunk egymást rekurívan feltételeő, egymást kölcsönösen magában foglaló fogalom. 3.2 Hálóatok repreentácó, mplementácó A hálóatokat különböő módon írhatjuk le. éhány fontosabb műfaj : blokkdagram, áramkör raj jelfolyam gráf egyenletrendser algortmus, utasítássoroat, program kód A továbbakban a hálóatok repreentácójának, leírásának (formáls defnícójának, elv mplementácójának) a alább ábrán össefoglalt különböő lehetőséget, módseret tekntjük át. hálóatok leírása grafkus repreentácó algebra repreentácó algortmkus repreentácó blokk dagram vagy elv kapcsolás raj jelfolyam gráf dfferenca egyenletrendser (állapot egyenlet) vagy a Z-transformált Algebra egyenletrendser (operátor tartomány) folyamat ábra vagy DSP program kódja hardver softver abstrakt Hálóatok mplementácója A továbbakban een különböő hálóatleírásokra és ekvvalens átsámításara néünk példákat. A dskrét dejű lneárs hálóatokat felépítő elem alkatrések ábrát, gráfjat és egyenletet a haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 4/27 alább tábláatban foglaltuk össe: Elem Össeadó soró (erősítő) késleltető x n y n n x n C y n x n T y n Gráf x n n x n C y n x n Z - y n y n Egyenlet n x n y n y n c x n y n x n Egy hálóat elemenek doboa és a össeköttetése lerajolhatóak, ekkor kapjuk a hálóat blokkdagramját. Tekntsük példaként a alább, ( két késleltetőt, öt sorót és négy össeadót tartalmaó) hálóatot: haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 5/27 a 0 T -b a T -b 2 a 2 A adott elemkésletből felépíthető blokkdagramok trváls módon átírhatóak jelfolyam gráffá. Jelfolyam gráf, melyre a követkeő állítások gaak: Irányított gráf: csomópontok és rányított élek (ágak) halmaa A gráf paramétere a rányított ágak ágátvtele (jelöletlen ágátvtel egységny) A gráf csomópontjaho tartoó értékek a gráf váltoó A gráf csomópontja össegek a befutó ágak kmenő értéket A él bemenő értéke a él knduló csomópontjáho tartoó váltoó értéke A él kmenő értéke a bemenő él ágátvtelserese A példaként lerajoltuk a fent, blokk dagrammal adott hálóat gráfját: A nem jelölt átvtelű ágak egységny átvtellel értendőek. haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 6/27 A fent példa alapján nylvánvaló, hogy mnden blokkdagrammal adott jelfolyam hálóat (melyeknek nput-output doboa transferfüggvénnyel jellemehetőek, aa lneárs és nvaráns rendserek) leírható jelfolyam gráffal s, lletve mnden jelfolyam gráf átrajolható blokk dagrammá. A blokk dagramban sereplő dobook (jelátvívő) tulajdonsága és a össeköttetésekkel létrejövő kényserek egyenletekkel s kfejehetőek. Példaként veessük be at a adhoc egyenletrendsert, melynek váltoó a x n bemenet-, a y n kmenet- és a késleltetők bemeneten és kmeneten fellépő w0 n, w n, w2 n jelek: x n w0 n a 0 y n T -b a T w n -b 2 a 2 w2 n A blokkdagram alapján felírható egyenletrendser: w0 n x n b w n b 2 w2 n y n a 0 w0 n a w n a 2 w2 n w2 n w n- w n w0 n- A fent dőtartomány egyenlet egy a x n, w n, w2 n, y n sámsoroatokra vonatkoó - dfferenca egyenlet rendser. A egyenletek Z-transformálásával kapjuk a operátortartománybel algebra egyenleteket: haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 7/27 W0() X() b W() b 2 W2() Y() a 0 W0() a W() a 2 W2() W2() - W() W() - W0() Gyakran valamlyen jelfeldolgoó processoron mplementáljuk a hálóatot. Egy a fent típusú dfferenca egyenlet sernt működést megvalósító általános célú dgtáls jelfeldolgoó processor valós dejű jelfeldolgoást megvalósító (at mplementáló) programja tpkusan két résből áll: A start után egyser végrehajtandó SETUP program résből A processálás cklus órajelének megfelelő dőítés sernt végtelen cklusban vérehajtott TIT (tmer nterrup routn) program résből áll. START SETUP: - konstansok ncalálása - váltoóknak helyfoglalás - IDLE TIT: - bemenet olvasása - belső váltoók újrasámítása, felülírása - kmenet írása A példánkban fentebb blokkdagrammal, jelfolyam gráffal és egyenletrendserrel s megadott hálóat DSP kódja egy képeletbel pseudo nyelven a követkeő lehet: haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 8/27 SETUP: processor és hardver platform függő kedet beállítások - váltoók sámára memóra helyfoglalások: X, Y, W0, W, W2 - együtthatók sámára helyfoglalás és értékadás: MB(-b ), MB2(-b 2 ), A0, A, A2. LOOP: IDLE B LOOP ; várakoás nterruptra TIT: ; tmer nterrupt keelő eljárás I PORTAD, X ; ADC -> x(n) LD X, A ; load accumulator x(n) -> ACC MAC MB,W,A ; multplay&accumulate ACC-b *w(n) -> ACC MAC MB2,W2,A ; multplay&accumulate ACC-b 2 *w2(n) -> ACC ST A, W0 ; store accumulator ACC -> w0(n) LD #0, A ; ero accumulator MAC A0, W0, A ; multplay&accumulate ACCa 0 *w0(n) -> ACC MAC A, W, A ; multplay&accumulate ACCa *w(n) -> ACC MAC A2, W2, A ; multplay&accumulate ACCa 2 *w2(n) -> ACC ST A, Y ; store accumulator ACC -> y(n) OUT Y, PORTDA ; y(n) -> DAC DELAY W ; mnta öregítés követkeő cklusho W -> W2 DELAY W0 ; mnta öregítés követkeő cklusho W0 -> W RET ; vssatérés a LOOP cklusba A eddg példában a hálóat különböő leírásat, lehetséges mplementácót a alább sorrendben nétük végg: Blokkdagram Egyenletrendser DSP kód Jelfolyamgráf Egy másk példaként nduljunk k egy másk hálóatnak DSP kóddal megadott haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 9/27 mplementácójából. SETUP: processor es hardver platform függő kedet beállítások - váltoók sámára memóra helyfoglalások: X, Y, W, W2 - együtthatók sámára helyfoglalás és értékadás: MB(-b ), MB2(-b 2 ), A0, A, A2. LOOP: IDLE B LOOP ; várakoás nterruptra TIT: ; tmer nterrupt keelő eljárás I PORTAD, X ; ADC -> x(n) LD W, A ; load accumulator w(n) -> ACC MAC A0, X, A ; multplay&accumulate ACCa 0 *x(n) -> ACC ST A, Y ; store accumulator ACC -> y(n) OUT Y, PORTDA ; y(n) -> DAC LD W2, A ; load accumulator w2(n) -> ACC MAC A, X, A ; multplay&accumulate ACCa *x(n) -> ACC MAC MB,Y,A ; multplay&accumulate ACC-b *y(n) -> ACC ST A, W ; store accumulator ACC -> w(n) LD #0, A ; ero accumulator MAC A2, X, A ; multplay&accumulate ACCa 2 *x(n) -> ACC MAC MB2, Y, A ; multplay&accumulate ACC-b 2 *y(n) -> ACC ST A, W2 ; store accumulator ACC -> w2(n) RET ; vssatérés a LOOP cklusba A DSP kód alapjám felírhatjuk a hálóat egyenletrendserét: y n w n a 0 x n w n w2 n a x n b y n w2 n a 2 x n b 2 y n A egyenletrendser alapján felrajolható a hálóat blokkdagramja: haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 0/27 x n a 0 w n y n T a w n -b T w2 n a 2 w2 n -b 2 A egyenletrendser és/vagy a blokkdagram alapján felrajolható a hálóat jelfolyam gráfja: A másodk hálóat példája kapcsán a hálóat különböő leírás módjat alább út mentén jártuk be: DSP kód Egyenletrendser Blokkdagram Jelfolyamgráf haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok /27 A két példa tanulságanak általánosításaként megállapíthatjuk, hogy a hálóatokat grafkus, algebra és algortmkus repreentácókkal egyaránt leírhatjuk a különböő leírásokat egymásba átalakíthatjuk. Egy hálóat különböő repreentácó egymásba kölcsönösen átsámíthatóak. Blokkdagram DSP kód Jelfolyam gráf Egyenletrendser Valamely repreentácóval adott hálóatnak bármely más repreentácóval való leírása, mplementácója előállítható. A hálóatnak mndg egy célserű repreentácójával dolgounk. A továbbakban hálóat alatt at a struktúrát értjük, mely akár blokkdagrammal, akár jelfolyam gráffal, akár egyenletrendserrel, akár folyamatábrával, akár DSP kóddal megadható, leírható, mplementálható. A hálóatok kapcsán alapvetően három feladatot fogalmahatunk meg: Modell (mplementácó) váltás: a hálóat egyk elv leírás lehetőségéről áttérünk ugyan annak a hálóatnak egy más leírására, más modelljére, más mplementácójára. Hálóat analís: adott a hálóat valamely teljes leírása. Meghatároandó, hogy a hálóat adott be- és kmenet pontja köött a hálóat mlyen átvtel tulajdonságú (mlyen transfer függvényű) rendsert ho létre. Adott a struktúra, kérdeük a funkcót. Hálóat sntés: Adott egy megvalósítandó transferfüggvény, meghatároandó a adott elemkéslet és össekapcsolás sabály felhasnálásával a a hálóat, mely a adott transferfüggvényű rendsert létrehoa, mplementálja. Adott funkcóho keresünk a at megvalósító hálóatot. A eddgekben a első feladatra nétünk több példát. A továbbakban a analís és sntés feladat megoldás módserenek elv alapjat tekntjük át. 3.3 Hálóat analís A hálóat analísnek sok lehetséges koncepcójú módsere köül a alább két alapvetö és haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 2/27 egyben nagyon különböő megköelítését emeljük k: egyenletrendser felírása és megoldása jelfolyamgráf felírása és megoldása 3.3. Egyenletrendser és megoldása A első helyen említett módser kösmert és alapvető, tt csak egy adhoc példaval llustráljuk. A fentebb példában adott hálóat által létrehoott rendser H() transferfüggvényét a alábbak sernt határohatjuk meg: Felírjuk a hálóat egyenletrendserét a operátortartományban, majd elmnáljuk a állapotváltoókat, és kfejeük a H() Y() / X() hányadost. A egyenletrendser: () ( ) X() b W ( ) b W ( ), W0 2 2 W ( ) W0 (, W2 ( ) W (, Y( ) a0w 0 ( ) aw ( ) a2w2 ( (2) ) (3) ) (4) ) Egy út a megoldásho: 2 (2,4) ( ) W ( ). Et és (2)-t behelyettesítve ()-be és (4)-be, W2 0-2 W0 ( ) X() b W0 ( ) b2 W0 ( ) X() és W0 ( ) - 2 2 ( b b ) 2 Y( ) a0w 0 ( ) a W0 ( ) a2 W0 ( ) ( Y( ) ) W 0 ( ) 2 a0 a a2 A két egyenletet össevetve: 2 Y() a0 a a2 H( ). -2 X() b b 2. Adott hálóatra felírható egyenletek adhoc módsere mellett vannak sstematkus módserek s. Itt most csak megemlítjük a egyébként kösmert állapotváltoós egyenletek módserét. A állapotvátook a hálóat tárolónak kmenet értéke, melyeket a w(n) vektorban foglalhatunk össe. Ekkor a tárolók bemenetén a w(n) értékek lesnek, aa a követkeő órajelre beíródó állapot váltoó értékek. A bemenet és a kmenet jeleket a x(n) és y(n) vektorokban össefogva mndg felírhatjuk a alább alakú állapotváltoós egyenletrendsert: w(n) A w(n) B x(n) y(n) C w(n) D x(n) ahol A, B, C, D a megfelelő együttható mátrxok. haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 3/27 A továbbakban résletesebben smertetjük a hálóat analís feladatának, a gráfelmélet meggondolásokon alapuló, és a Mason-formula néven smeretes, különösen hatékony módserét. 3.3.2 Jelfolyam gráf ekvvalens átalakítása, fokoatos egyserűsítése Adott forrás- és nyelő-csomópont köött átvtel sempontjából két gráf ekvvalens, ha ugyanat a transferfüggvényt valósítják meg, aa kívülről nem megkülönbötethetőek. Két csomópont köött átvtel sempontjából a gráf egyserűsítése a belső csomópontokat és éleket már nem tartalmaó, ekvvalens gráf meghatároását jelent. Ekvvalens gráfokat kapunk, ha résgráfokat ekvvalens résgráfokkal helyettesítünk. Résgráfok neveetes ekvvalencá: lánc-csomópont ellmnálása: párhuamos ágak össevonása Y-V átalakítások: önhurok megsüntetése: eveetes hbák, félreértések: 3.3.3 A Mason formula A hálóat analísnek egy másk hatékony módsere a, amkor a hálóat jelfolyam gráfjának a grafkus analíse (hurkok, drekt utak) alapján írjuk fel a létrejövő H() transferfüggvényt. Ehhe defnáljunk néhány egyserű fogalmat! Forrás csomópont: A jelfolyam gráf aon csomópontja, amelybe nem fut él. yelő csomópont: A jelfolyam gráf aon csomópontja, amelykből nem ndul él. Lánc csomópont: A jelfolyam gráf aon csomópontja, amelyből csak egy ág megy k és csak egy megy be. Hurok: A jelfolyam gráfnak a a össefüggő résgráfja, amely csak lánccsomópontokból áll. Hurokátvtel: A hurokban lévő ágak átvtelenek sorata. Különböő hurkok: Két hurok különböő, ha legalább egy ágban különbönek. haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 4/27 Független hurok pár: Két hurok független hurok pár, ha köös csomópontjuk sncs. Független hurok -es: darab különböő hurok független -est alkot, ha köülük bármely kettőt kválastva független hurok párt kapunk. Független hurok -es átvtele: A független hurok -esben levő hurokátvtelek sorata. Gráf determnánsa: 2 () (2) ( ) L L......... L, Ahol a gráfban lévő különböő hurkok sáma, ( ) ha > 0, akkor hol L a -edk hurokátvtelek, k a gráfban lévő független hurok k-asok sáma, k 2 L a -edk f-ggetlen hurok k-as átvtele. ( k ) Drekt út: A a résgráf, mely egy forrás és egy nyelő csomóponton kívül csak lánc csomópontokat tartalma. Drektátvtel: A drekt útban lévő ágak átvtelenek sorata. Különböő drekt utak: Két drekt út különböő, ha legalább egy ágban különbönek. Drekt út maradék gráfja: A drekt útho tartoó csomópontok és a eekbe és ből futó élek törlésével kapott maradék gráf. Drekt út aldetermnánsa: A drekt útho tartoó maradék gráf determnánsa. Een előkésítés után már megfogalmahatjuk a Mason formula állítását: Mason formula: A jelfolyam gráffal megadott hálóat adott forrás és adott nyelő pontja által megvalósított rendser transferfüggvénye: haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 5/27 H ( ) D ( ) ( ) ( ), ahol a teljes jelfolyam gráf determnánsa, D -k a hálóatban lévő különböő drekt utak átvtele. : a -edk drekt út aldetermnánsa Példa: Határouk meg a Mason formulával a alább hálóat átvtel függvényét! L ( ) b, L ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 ) b 2 2 L L b b D a, D a, D 0 2. Mvel független hurkok nncsenek a gráfban: a 3 2 2 2 2.. Bármely drekt utat levonva a gráfból, hurokmentes résgráfot kapunk:,,2,3 (mvel hurokmentes gráfoknak egy a aldetermnánsa). Ebből 2 a0 a a2 H( ), am pontosan megegyek a első pontban kapott eredménnyel. 2 b b 2 A jelfolyam gráfokkal és így hálóatokkal s kapcsolatban veessük be a alább defnícókat: Ksámíthatóság: Egy hálóat ksámítható ha nem tartalma késleltetés mentes hurkot. Rekurív hálóató: Egy hálóatot rekurívnak neveük, ha gráfja tartalma hurkot. Ha nem tartalma hurkot, akkor non-rekurívnak neveük. Transponált gráf: Egy gráf transponált gráfját a gráf mnden éle rányának megfordításával kapjuk. Transponált hálóat: A transponált gráfho tartoó hálóat. haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 6/27 A előő pont példában bemutatott hálóatok egymásnak transponáltja. Ekvvalens hálóat: Aonos transfer függvényeket megvalósító hálóatok. A Mason formula fontos követkeményeként a alább alapvető megállapításokat tehetjük: Egy hálóat gráfjában a hurkokat és a drekt utakat felsmerve követlenül felírhatóak a hálóat által megvalósított transferfüggvények. Hurokmentes hálóat determnánsa egységny,. Dskrét dejű, lneárs hálóat (össeadóból, soróból és késleltetőből felépíthető) determnánsa, drekt átvtele (és termésetesen aldetermnánsa s) - nek (legfeljebb) polnomja lehet. Dskrét dejű, lneárs, ksámolható hálóattal megvalósított rendser H() transferfüggvénye legfeljebb raconáls tört lehet, aa össeadóból, soróból és késleltetőből felépíthető hálóattal legfeljebb ARMA rendser valósítható meg. onrekurív hálóat mndg FIR (MA) rendsert valósít meg. ARMA rendser pólusa a hálóat determnánsának gyöke. Pólust létrehon csak rekurív hálóattal lehet. ARMA rendser stabltását a hálóat determnánsa határoa meg (stabl a hálóat, ha determnánsának gyöke a egységkörön belül vannak). Egy hálóat és transponáltja ekvvalensek, aonos transfer függvény valósítanak meg. 3.4 Hálóat sntés, neveetes struktúrák A hálóatsntés feladatát úgy fogjuk fel, hogy egy adott H() transferfüggvényt megvalósító hálóatot kell meghatáron. Mnt a sntés feladatok általában, úgy e a feladat s többféle módon oldható meg. Különböő struktúrájú hálóatokkal lehet ugyan at a nput-output rendsert megvalósítan. A sntés feladata megoldásának tehát két lépése van: - struktúrát válastunk, - a kválastott struktúrát méreteük, aa a paraméteret (a benne lévő sorók együtthatót) meghatárouk A alábbakban a neveetes struktúrákat mutatjuk be. Egy nput-output transfer függvényt megvalósító hálóat struktúra akkor kanonkus, ha mnmáls sámú () késleltetőt tartalma (am egyenlő a transfer függvény foksámával). haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 7/27 Drekt struktúráknak aokat neveük, melyek soró aonosak a rendser polnom/polnom alakú transferfüggvényének együtthatóval. 3.4. A transveráls struktúra, all-ero modell A -ed fokú transveráls struktúrának at a hálóatot neveük, melyben a bemenet mnták egy -tagú késleltető láncba lépnek be, a mndenkor kmenet pedg a késleltetett mnták adott együtthatókkal súlyoott össege: y n a 0 x n a x n... a x n Een hálóat tulajdonsága: - nonrekurív hálóat, struktúrálsan stabl, FIR rendsert valósít meg - mpulus válas soroata a együtthatók a 0, a,... a soroatának véges tartójú soroata - drekt konvolúcós struktúrának s nevek, a bemenet x n, soroatot a tárolt együtthatók a n, soroatával konvolválva adja a kmenet y n, soroatot: 0, ha n < 0 n > y n x n *h n, ahol h n a n, ha 0 n - a transfer függvény: H( ) A( ) a0 a... a, mely MA rendsert valósít meg, csak nem-trváls érusa vannak, all-ero modell. - mnden FIR (MA) sűrő megvalósítható transveáls struktúrával - mnden non-rekurív hálóatho létek ekvvalens transveráls struktúra - drekt, kanonkus struktúra A transponált transveráls struktúra: haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 8/27 E egy másk, lehetséges sabályos struktúra FIR sűrők mplementálására. 3.4.2 A AR struktúra, all-pole modell Een struktúránál a kmenet mnták íródnak egy -elemű késleltető láncba, és a mndenkor kmenet a aktuáls bemenet és a korább kmenetek b, 2,... súlyokkal vett össege különbségeként adódk: y n a 0 x n b y n b 2 y n2... b y n A hálóat által megvalósított transfer függvény: a0 ( ) B( ) b H a 0... b - Tulajdonsága: - rekurív hálóat, IIR rendsert valósít meg - stabltása a b,... b együtthatóktól függ - csak nem-trváls pólusa vannak, all-pole modell. - mnden AR sűrő, aa mnden neveő polnom megvalósítható eel a struktúrával haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 9/27 - drekt, kanonkus struktúra - een struktúrából s sármatatható ekvvalens transponált struktúra 3.4.3 ARMA rendserek drekt struktúrá (D0, D, D2) Legyen H() polnom/polnom alakban megadva (és a általánosság megsorítása nélkül tegyük fel, hogy a sámláló és a neveő polnom aonos foksámú): a0 a H( ) b... a... b -. A drekt struktúrákban a hálóatban lévő soró együtthatók mnt látn fogjuk megegyenek a polnom együtthatókkal. D0 struktúra: A raconáls H() törtfüggvény mndg felírható egy MA és egy AR rendser sorataként, aa egy, a sámlálót megvalósító transferáls és egy, a neveőt megvalósító AR hálóat láncba kapcsolásával: H() A( ), B( ). A D0 struktúra nem kanonkus, drekt struktúra. Mnden ARMA rendserhe egyértelműen létek D0 struktúrájú realácós lehetőség. haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 20/27 D struktúra A sámlálót és a neveőt megvalósító réshálóatok sorrendjét felcserelve, majd a aonos tartalmú, párhuamosan létrejövő késleltető láncokat egy lánccá össevonva kapjuk a alább jelfolyam gráffal ll. blokkdagrammal megadott hálóatot, melyet D struktúrának neveünk: A hálóat átvtel függvényét, gyakorlásképpen határouk meg a Mason formulával: sámú hurkot tartalma a gráf: L b L 2 b 2 2 M L b A "ölddel jelölt ág" mnden huroknak ága, eért nncsenek független hurokpárok: b b 2 2... b. db. drekt út van: D a 0 D 2 a M D a Mvel van olyan ág, mely mnden drekt útban és hurokban serepel, így mnden ut törlése után maradó résgráf hurokmentes:,... haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 2/27 haloat veró: 204. márcus 27. - b b a a a D...... ) ( ) ( ) ( ) ( H 0. Tehát a D struktúra bármely ARMA rendserhe egyértelműen léteő drekt és kanonkus struktúra. D2 struktúra A D2 struktúra a D hálóat transponáltja, így ugyanaok gaak rá, mnt amt a D kapcsán megállapítottunk. 3.4.4 Kaskádstruktúra Tegyük föl, hogy H() sámlálója és neveője aonos foksámú (). Ekkor H() felírható elsőfokú alaptag sorataként: H A B p p j j ( ) ( ) ( )...... ( ) ( ) a a a b b a a j 0 0 0,
Hálóatok 22/27 ahol a0 a0, Vagys H( ) H ( ), ahol H ( ) a 0 p j. Mnden H () realálható pl. D struktúrával: Megjegyések: Ha több érus lenne, mnt pólus, akkor les olyan dobo, amely csak érust tartalma: Ha több pólus lenne, mnt érus, akkor les olyan dobo, amely csak pólust tartalma: E kanonkus struktúra, mert e s mnmáls sámú késleltetőt tartalma. Aonban nem drekt struktúra, mert nem a a 0, a,..., a és b, b 2,..., b együtthatók serepelnek benne, hanem a p pólusok és érusok. A kaskádstruktúra nem egyértelmű, mert nagyon sokféleképpen lehet a egyes alaptagokban megvalósított érusokat és pólusokat össepárosítan, a alaptagok többféle sorrendben össekapcsolhatók és a a 0 erősítés többféleképpen sétostható a a 0 -kre. A ekvvalens transferfüggvényű lehetséges megoldások köül kválastható a egyéb sempontok (éeékenység, dnamka, aj, stb.) sernt optmalált váltoat. Adaptív rendsereknél gen előnyös megvalósítás, mert a pólusok és érusok a együtthatók. Eáltal könnyen kében lehet tartan, hogy a pólusok a egységkörön belül maradjanak. haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 23/27 Valós rendsereknél a komplex gyökök konjugált párjakkal lépnek fel. Ahho, hogy a megvalósítás során ne kelljen komplex együtthatókkal sámoln, konjugált-komplex gyökpárokat két elsőfokú alaptag helyett egy másodfokú alaptaggal valósítsuk meg (bquad): H (II) () a * ( ) ( ) * ( p ) ( p ) 2 Re 2 2 { } 2 2 { p } p 0 a0. 2 Re Ennek pl. a D struktúrával történő megvalósítása: Veessük be a követkeő jelöléseket: jϕ p re, ϕ 2πf p T, d e jϑ, ϑ 2πf T, és rajoljuk fel a póls-érus elrendeés segítségével a másodfokú alaptag ampltúdókaraktrstkáját! 2 2d cos 2πf T d ahol A0. Ilyen típusú karakterstkák sorataként áll elő a 2 2p cos 2πf T p hálóat teljes sűrőkarakterstkája. p haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 24/27 3.4.5 Párhuamos struktúra A H() raconáls törtfüggvény nemcsak hányados, vagy sorat alakban, hanem össeg alakban s felírható. Ehhe a parcáls törtekre felbontás módserével juthatunk (a egyserűség kedvéért feltessük, hogy a pólusok egyseresek): M a0 a... am r H ( ) -, ha M <. b... b p Így a hálóatot egy-egy pólust megvalósító alaptagok párhuamos kapcsolásával építjük fel. Ekkor, tehát Y() H ()X(), r ahol H ( ). p A egyenletet jelfolyam gráffal felrajolva kapjuk a párhuamos struktúrát: A párhuamos struktúra kanonkus, aa mnmáls késleltető sámú. Együttható a pólusokkal és a hoájuk tartoó reduumokkal vannak kapcsolatban. Konjugált-komplex póluspárok esetén ahho, hogy valós együtthatókkal (és jelekkel) dolgohassunk, másodfokú alaptagokat kell alkalman. Legyen p x p jy p és r x r jy r. Továbbá haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 25/27 r r r r * * ( r p r p ) a * * 0 * 2 2 2 p 2 p 2 Re p p 2 Re p p Mvel r p * * r r 2x, r * x x y y j r p p r r r p p ( yr x p xr y p ) és ( y x x y ) r p x x y y j együttható: a 0 2x r és a 2(x r x p y r y p ). r p r p a, a fent másodfokú alaptagnak már valósak a Ha j2 f p T p e π ( p ), akkor a fent másodfokú alaptag egy f p frekvencájú csllapítatlan oscllátor, egyébként a stabl (egységkörön belül) pólusokho csllapított (exponencálsan lecsengő) oscllátorok tartonak. Et a struktúrát reonátoros struktúrának s nevek, a bemenet sámsoroat, egydejűleg gerjest a pólusokho tartoó reonátorokat, a kmenet a gerjestett reonátorok jelenek össege. 3.4.6 Lagrange-féle nterpolácó struktúra Induljunk k a követkeő nterpolácós feladatból: Keressük meg at a H() függvény, mely a komplex sík darab, adott, 2,... pontjaban adott h, h 2,... h értékeket ves fel, aa h H( ),, 2,.... Ktűött feladatunk megoldása a úgyneveett Lagrange-féle nterpolácós képlettel adott függvény: H() P() H ahol P() ( ), ( /), H ( ) P h ( )( /), P () k k ( /) k haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 26/27 P() - nek -ed fokú polnomja, melynek gyöke,, 2,.... P () - nek (-)-ed fokú polnomja, gyöke k -k, k, 2,.... kvéve t. k. P ( ) egy sám, a P () polnom, nél felvett értéke, H () nek elsőfokú törtfüggvénye, melynek nél van pólusa. Eek után nylvánvaló, hogy P()H () nek (-)-ed fokú polnomjával egyenlő, melynek értéke nél h és a több k k nterpolácós pont felett pedg nulla (tt vannak a he tartoó gyöktényeővel történt egyserűsítés után maradó érusa) és P() s egy (-)-ed fokú polnom, mely a eredet nterpolácós feladat megoldása. P() H () H 2 ()... H () A Lagrange struktúra, tehát egy -ed fokú FIR sűrő (akár transveráls, akár kaskád struktúrában realálva) és egy sntén -ed fokú párhuamos struktúrában realálható ARMA sűrő kaskád eredője, mely ekvvalens egy (-)-ed fokú FIR sűrővel.. E a struktúra nylvánvalóan nem kanonkus, tovább érdekessége, hogy rekurív hálóattal valósít meg FIR sűrőt. 3.4.7 Frekvenca-mntavételeő struktúra A előő pontban megsmert Lagrange nterpolácót és struktúrát alkalmauk arra a specáls esetre, amkor a nterpolácós pontokat a komplex sík -ed rendű egység gyökenek válastjuk: k e j k 2π/, k 0,,... (-). Ekkor a h k H( k ) H ( e j k 2π/ ), k 0,,... (-) értékek egyenlők a H(f) H(e j 2πfT ) frekvenca karakterstka f k k F/, k 0,,... (-) frekvencák felett haloat veró: 204. márcus 27.
Hálóatok 27/27 értékevel: h k H( k ) H ( e j 2π k F/ T ) H(f k ) H k, k 0,,... (-) Ekkor a P() FIR sűrő a -ed fokú P() ( - ) fésű sűrő (érusa a egység-gyökök), a parallel kapcsolódó H k () sűrők pedg komplex sík egységkörén a f k k F/ frekvencáknál pólussal rendelkeő vesteségmentes reonátorok, melyeknek előre csatoló együtthatóval állíthatóak be a sűrő átvtelének, adott frekvencás H k komplex értéke: ( ) ( ) k k 0 j2π H e h k Ugyans a Lagrange nterpolácós formulába helyettesítve kapjuk: H() P() ahol P() H k ( ) - k 0 H P ( ), - - k j2π - ( k /) e / ( - ), k 0 k k H ( )( /) k k k k 0, P () k k ( /) k haloat veró: 204. márcus 27.