Halmazok.. Egész számok A,,,,,,,, számokat egész számoknak nevezzük. ármel két egész szám összege, szorzata, különbsége is egész szám..5. ábra Adóslevél.6. ábra Az adósságok könvelése is megkívánta a negatív számok bevezetését Kínában a Kr. e. II I. században az elsőfokú egenletrendszerek egütthatói között már találunk negatív számokat is. Az indiai matematikusok 5 9 táján már figelembe vették a negatív megoldásokat is. Európában aránlag későn jelentkeztek a negatív számok. A XII XV. századbeli itáliai matematikusok a hián jelölésére kezdték használni. Ebben az időben a virágzó kereskedelem és az egenletek elméletének fejlődése sürgette az új számok bevezetését. Cardano (5 576) olasz matematikus már tekintetbe vette, de fiktív számoknak nevezte őket. Stifel (487? 567) német matematikus, aki a másodfokú egenletek megoldását egszerűsítette, a negatív számokat abszurd számoknak nevezte. Még a francia Viète (54 6) is elvetette a negatív számokat, Descartes (596 65) 67-ben megjelent Geometria című könvében még hamis számoknak hívta, de már minden előítélet nélkül használta őket. (Sain Márton: Matematikatörténeti AC) Az összeadás és a szorzás korábban már említett műveleti tulajdonságai az egész számok körében is érvénben maradnak.. példa Végezzük el az alábbi műveleteket! Figeljünk a műveleti ű sorrendre! a) ( 6) + 7 b) 5 7 + 8 6 c) 8 ( ) 5 + ( 6) ( 4).7. ábra Stifel a) ( 6) + 7 = + 6 + 7 = 6 b) 5 7 + 8 6 = 5 + 8 7 = 9 c) 8 ( ) 5 + ( 6) ( 4) = 8 ( 8) 5 + 64 = = 64 5 + 64 = 5 Az egész számok körében végezhetünk osztást, pl. 4 : = 4 = 8..8. ábra Viète Azt is tudjuk, hog ez nem minden esetben tehető meg, mert pl. a : = már nem egész szám. Ahhoz, hog ezt az osztást is elvégezhessük, bővítenünk kell a számfogalmat.
Algebra, számelmélet 6.. Két tag összegének és különbségének a szorzata a a a a 6.6. ábra Átalakítás 4. példa Eg négzet oldala nagobb, mint egség. Hogan változik a négzet területe, ha két szemközti oldalát egséggel csökkentjük, a másik két szemközti oldalát egséggel növeljük? Legen a négzet oldalaa, a, a >! Ekkor a négzet területe: T = a. Ha eg a > oldalú négzet két szemközti oldalát csökkentjük -vel, a másik kettőt növeljük -vel, akkor olan téglalapot kapunk, amelnek oldalai a és a + egség hosszúak. Ennek területe t = (a )(a + ). Végezzük el a kifejezések szorzását! Ekkor t = a + a a 4 = a 4 = T 4. Tehát a négzet területe 4 területegséggel csökken. A feladat kapcsán eg újabb nevezetes szorzattal ismerkedünk meg, két tag összegének és különbségének a szorzatával. Jelöljük a két tagot a-val és b-vel! (a + b)(a b) = a ab + ba b = a b. Tétel Két tag összegének és különbségének a szorzatát megkapjuk, (a+b)(a b) = ha az első tag négzetéből kivonjuk = a a második tag négzetét. b Röviden: (a + b)(a b) = a b. 5. példa Végezzük el az alábbi műveleteket! a) + a a 5 4 a 4 a b) + bc bc 5 5 5 6.7. ábra A tudás fája a) Két tag összegének és különbségének a szorzatát megkapjuk, ha az első tag négzetéből kivonjuk a második tag négzetét. + a a 5 = 5 = a 5 4 Röviden: + a a a 5 5 = 9 5. 68
Függvének a) Igen, mert minden diákhoz pontosan eg olan hónapot rendelünk, amelben született. b) Nem, hiszen előfordulhat olan, akihez több hónapot is rendelünk, mert például István névnap augusztus -án, -án, szeptember -án és december 6-án is van. Sőt, lehet az osztálnak olan tanulója is, akinek több keresztneve van. Ehhez a tanulóhoz több hónapot is rendelünk. c) Nem, mert lehet olan szék, amelen nem ül senki. Tehát nem minden elemhez rendelünk hozzá..6. ábra oldog szülinapot!. példa Az alábbi + + hozzárendelések függvént adnak-e meg? Ha igen, írjuk le a függvént jelölésekkel! a) Minden pozitív természetes számhoz hozzárendeljük a kétszeresét. b) Minden pozitív természetes számhoz hozzárendeljük a pozitív osztóit. c) Minden pozitív természetes számhoz hozzárendeljük a legkisebb prímosztóját. a) Igen, hiszen minden pozitív egész számnak pontosan eg kétszerese van. A függvén jelölésekkel: g: + +, g(( ) =. b) Nem, mert pl. a 4-hez az -et, a -t és a 4-et hozzá kell rendelni. c) Nem, mert az -hez nem rendelünk semmit. 4. példa A sík pontjainak halmazát jelöljük S-sel. Legen adott az S síkon eg t egenes. Az S pontjaihoz rendeljük hozzá az S pontjait úg, hog minden ponthoz hozzárendeljük a t-re vonatkozó tükörképét. Függvén-e ez a hozzárendelés?.7. ábra Hiánzik valaki? A tengeles tükrözés általános iskolában már tanult hozzárendelési szabálát felhasználva tudjuk, hog igen. Ebben a példában az értelmezési tartomán és az értékkészlet is ponthalmaz, ráadásul a két halmaz egenlő. Ez a hozzárendelés kölcsönösen egértelmű is. 5. példa Fogalmazzuk meg szavakkal az alábbi függvéneket! a) f:, (( ) b) g: +, c) h:, +.8. ábra Jól látom? a) Minden racionális számhoz rendeljük hozzá a számnak és a nála eggel kisebb számnak a szorzatát! b) Minden pozitív egész számhoz rendeljük hozzá a reciprokát! c) Minden valós számhoz rendeljük hozzá az ellentettjénél hárommal nagobb számot!
A függvénfogalom definíciójában két halmaz között teremtünk kapcsolatot. Ezek nemcsak számhalmazok lehetnek, hanem az elemeik lehetnek emberek, pontok, székek, lehet hőmérséklet, idő stb. A hozzárendelési szabált is megadhatjuk többféleképpen: utasítással, képlettel, táblázattal, grafikonnal. Legenen az f: +, f(( ) = 6 6. példa utolsó számjege és legen g: +, f(( ) = 6! Hasonlítsuk össze a két függvént! Mind az f, mind a g függvén értelmezési tartomána a pozitív egész számok halmaza. Mivel a 6 minden pozitív egész kitevőjű hatvána 6-ra végződik, ezért az f függvén minden pozitív egészhez a 6-ot ren- deli, ahogan a g függvén is. Ekkor azt mondjuk, hog a két függvén egenlő. Definíció Két függvén akkor és csakis akkor egenlő, ha érte lmezési tartománuk azonos, és az értelmezési tartomán bár- mel elemére a két függvén helettesítési értéke egenlő. Uganez matematikai jelekkel: Legen f: D f R f, f(( ) és a g: D g R g, g(( ) két függvén! f g D D és D esetén f ) = g ( ) f g f.9. ábra f( ( ) = 6 9 6 8 7 5 4. Az alábbi hozzárendelések közül a) melek függvének; b) melek kölcsönösen egértelműek? Adjuk meg a függvének értelmezési tartománát, értékkészletét, a -höz tartozó helettesítési értékét! f: A g: A h: A i: A p p p p 5, 5, 5, 5,.. ábra. feladat. Az alábbi hozzárendelések közül melek határoznak meg függvént? a) Eg gimnázium minden tanulójához rendeljük hozzá az előző év végi matematikaosztálzatát! b) Minden osztálzathoz rendeljük hozzá azt a diákot, akinek az előző év végi matematika-érdemjege ez az osztálzat! c) A 7-ben megjelent regénekhez rendeljük hozzá a könvet megjelentető kiadót! d) A 7-ben megjelent versekhez rendeljük hozzá a vers költőjét! e) A Föld minden városához rendeljük hozzá a földrajzi szélességüket! f) A Föld minden országához rendeljük hozzá az ország folóit!
Függvének. Fogalmazzuk meg szavakkal az alábbi függvéneket! + + a) f :, f ( )= b) g:, + c) h:, h( )= 5 + + d) i: [ ; [, i( )= e) j:, 7 utolsó számjege, ha > 5 f) k:, k( )= 4+ 5, ha 5 4. Olvassuk el az alábbi matematikai jelekkel leírt kifejezéseket! a) f ( 4, 5)= b) g ( )= c) h 5 = 4 i ( 5)=, 76 5. Írjuk le matematikai jelekkel az alább megadott függvéneket! a) Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. b) Minden egész számhoz hozzárendeljük a háromszorosát. c) Minden pozitív számhoz hozzárendeljük a reciprokánál -gel kisebb számot. d) Minden negatív racionális számhoz hozzárendeljük a köbénél 7-tel nagobb számot. e) Minden egnél nagobb pozitív egész számhoz hozzárendeljük a nála nem nagobb pozitív egészek szorzatát. f) Minden kétjegű pozitív egész számhoz hozzárendeljük az -et, ha a szám prím, és a -t egébként. 5 6.Legen az f :, f ( )= 4 és a g:, g( )=! + Határozzuk meg 4 a) az f és g függvének ; ; ; ; helen vett helettesítési értékeit; b) az f g ( ) szorzat értékét; f () 5 c) az tört értékét; g ( ) d) a 4 5 7 6 f g kifejezés értékét! 7. Egenlők-e az alábbi f és g függvének? 4, ha a) f :, f ( )= + és g:, g( )= 4, ha =, ha, 5 b) f : \, f ( )= és g: \, g( )=, ha <, 5 + + c) f :, f ( )= 5 utolsó számjege g: + {} 5, g( )= 5 { } ( )= d) f : 57 ;,,,, f és g : az egjegű pozitív prímekhez hozzárendeljük a náluk kettővel kisebb számokat
. A koordináta-rendszer I. A továbbiakban a valós számok valamel részhalmazán értelmezett, valós értékű függvénekkel foglalkozunk. Az ilen függvéneket valós függvéneknek nevezzük, ábrázolásuk a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben történhet. (.. ábra) A síkbeli koordinátarendszer lénege, hog a sík pontjai és a rendezett számpárok között kölcsönösen egértelmű hozzárendelést hozunk létre. A koordináta-rendszer két egmásra merőleges tengelből áll, ezek számegenesek, a metszéspontjuk az origó. A egik tengel az vag abszcisszatengel, a másik pedig az vag ordinátatengel. Eg síkbeli ponthoz rendelt rendezett számpár első tagja a pont koordinátája vag abszcisszája, amel a pont tengeltől mért előjeles távolságát adja meg. A második tagja a pont koordinátája vag ordinátája, amel a pont tengeltől való előjeles távolsága. Már általános iskolában is ábrázoltunk függvéneket, elsősorban lineáris függvéneket, koordináta-rendszerben. Most nézzünk néhán példát arra vonatkozólag, hogan lehet ponthalmazokat szemléltetni a koordinátasíkon! második neged P( 4;) harmadik neged O elsô neged negedik neged.. ábra Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer. példa Adott a koordinátasíkon az A(4; 6) és a ( ; 6) pont. Az A pont origóra vett tükörképe legen C, a pont origóra vett tükörképe pedig D pont! Készítsünk ábrát! Milen négszög az ACD négszög? Határozzuk meg a területét! Ha eg pontot tükrözünk az origóra, akkor a koordinátái ellentettjükre változnak. Ez alapján a C( 4; 6), a D(; 6) pont lesz. (.. ábra) Mivel a négszög középpontosan szimmetrikus, ezért paralelogramma. A területét úg számítjuk ki, hog az egik oldalát megszorozzuk a hozzá tartozó magasságával. Ez alapján a területe: T = 6 területegség. ( ;6) O C D.. ábra. példa A(4;6). példa Olvassuk le a.. ábráról az A,, C, D rácspontok koordinátáit! Milen négszöget határoznak meg a pontok? Határozzuk meg a négszög területét! D C Az A,, C, D pontok koordinátái: A( 4; ), (5; ), C(; 4) és D( ; 4). A négszög trapéz, mert az A oldala párhuzamos a CD oldalával, de az már nem igaz, hog paralelogramma, mert a másik két 9 oldala nem párhuzamos. A területe: T = + 5 5= 5 területegség. A O.. ábra. példa
Függvének A(;) ( ;) O C(; ) A (; ).4. ábra Első lépések H A G O E C F.5. ábra Trükkös megoldás. példa Vegük fel a koordinátasíkon az A(; ) pontot! Legen az a pont a koordinátasíkon, amelnek abszcisszája az A pont abszcisszájának ellentettjénél eggel nagobb, ordinátája pedig az A pont ordinátájánál kettővel kisebb! Legen C az a pont, amelet úg kapunk, hog az A pontot tükrözzük az tengelre, és a kapott pont abszcisszáját eggel csökkentjük! Határozzuk meg az AC háromszög területét! A pont abszcisszája vag koordinátája -nél eggel nagobb szám, azaz, míg ordinátája vag koordinátája. Az A pont tengelre vett tükörképe az A (; ) pont, íg C(; ). (.4. ábra) Próbáljuk a lehető legkevesebb számolással, eg üges trükk felhasználásával meghatározni a háromszög területét! Vegük fel a.5. ábrának megfelelően az EFGH téglalapot! A téglalap EF oldala egség, FG oldala 6 egség, íg annak területe 8 területegség. Ebből kiindulva meghatározhatjuk a kérdezett értéket, ha kivonjuk a téglalap területéből a EC, a CFG és a GH derékszögű háromszög területét. Mivel eg derékszögű háromszög területét megkaphatjuk úg, hog két befogójának a szorzatát elosztjuk kettővel, íg 4 TEC = 6 = TCFG = 4 (t.e.), = (t.e.), THA = = (t.e.). Tehát az AC háromszög területe 8 területegség. b) a) P( ;5) 4. példa Határozzuk meg a koordinátasíkon azon pontok halmazát, amelek koordinátáira teljesülnek az alábbi feltételek! a) = b) = és = 5 c) = vag = 5 O.6. ábra 4. a), b) példa 5 a) Ennek a feltételnek azok és csak azok a pontok felelnek meg, amelek az tengelt a (; ) pontban metsző, arra merőleges egenesen vannak. (.6. ábra) b) Mivel a két feltételnek egütt kell teljesülnie, ezért a megoldás a P( ; 5) pont. (.6. ábra) c) Mivel a két feltétel közül legalább az egiknek teljesülnie kell, ezért a keresett ponthalmaz két egenes, amelek a.7. ábrán láthatók. O.7. ábra 4. c) példa 5. példa Adott az alábbi két ponthalmaz: A { }; { }. Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben az A és a halmazt! Szemléltessük a koordinátasíkon az a) A ; b) ( ) ( ) halmazokat! 4
Mivel az A halmaz esetén a keresett pontok koordinátája tetszőleges, és az -nál nem kisebb, ezért ennek a halmaznak az = egenes és az attól pozitív iránban levő félsík felel meg. Hasonló megfontolások alapján a halmaz az = egenes és az attól negatív iránban levő félsík. (.8. ábra,.9. ábra) O A O O.8. ábra A halmaz.9. ábra halmaz.. ábra A a) Két halmaz metszetének definíciója alapján azon pontok halmazát keressük a koordinátasíkon, amelek mindkét halmaznak elemei. A keresett halmaz a.. ábrán látható. A foltonos vonal azt jelöli, hog a határ is hozzátartozik a ponthalmazhoz. b) Az A\\ azon pontok halmaza, melek az A halmaznak elemei, de a halmaznak nem. Ez alapján a.8. ábrán besatírozott részből ki kell venni a.9. ábrán látható síkrészt. Hasonló megfontolások alapján a \A\ halmaz esetén a.9. ábrán besatírozott részből ki kell venni.8.ábrán besatírozott részt. Íg az előző két halmaz uniója a.. ábrán látható síkrész. A szaggatott vonal azt jelöli, hog a határ nem tartozik hozzá a ponthalmazhoz. O.. ábra ( A ) ( A) Ábrázoljuk koordináta-rendszerben a következő pontokat: A(4; 4), ( 5; 7), C(; 8), D( ; ), E(; ), F( 6; )!. Határozzuk meg az előző feladatbeli A, és C pontok által meghatározott háromszög területét!. Vegük fel azon pontokat a koordináta-rendszerben, amelek koordinátáira az alábbiak teljesülnek! Írjuk le matematikai jelekkel a koordináták közötti összefüggéseket! a) Az abszcisszája 5-nél nem nagobb pozitív egész szám, az ordinátája kettővel nagobb az abszcisszájánál. b) Az abszcisszája 5-nél nem nagobb pozitív egész szám, az ordinátája kétszerese az abszcisszájának. c) Az abszcisszája és közé eső, -mal osztható szám, az ordinátája az abszcisszájánál -gel kisebb. d) Az ordinátája 7-nél kisebb, -nél nem kisebb egész szám, az abszcisszája pedig az ordináta felénél eggel nagobb szám.
Függvének 4.Ábrázoljuk azon pontok halmazát a koordinátasíkon, amelek koordinátái teljesítik az alábbi feltételeket! a) = 4 b) = c) = és = 5 d) = vag = 4 e) < < 5 f) 4 g) és h) 4 vag 5. Adott két halmaz: A = {( ; ),, 5} ; = {( ; ),, > }. Ábrázoljuk a koordinátasíkon az alábbi halmazokat! a) A b) A c) A\ d) \A e) A f) A 6. A dott a koordinátasíkon a P(; 5) pont. Tükrözzük a P pontot az = egenesre, íg kapjuk a Q pontot! Ezután a P és a Q pontot is tükrözzük az F(; ) pontra, az íg kapott pontok legenek P és Q. Milen négszög a PQP Q négszög? Határozzuk meg a területét! 7. Eg bolha a koordináta-rendszer origójában ül. Minden ugrása eg egség hosszú, és csak jobbra vag felfelé ugorhat. Hán különböző helre juthat el, ha legfeljebb ugrást tesz meg? 8.Hán különböző helre juthat el legfeljebb ugrással az előző bolha, ha balra illetve lefelé is ugorhat?. Függvének F szemléltetése 4 + 7 5 5 4 7 6 5 4 4 5 6.. ábra Níldiagram Az eddigi példáinkban a két halmaz közötti hozzárendeléseket, függvéneket Venn-diagrammal szemléltettük, elemeik között nilakkal jelöltük a hozzárendelési utasítást. A valós függvéneket más módon is szemléltethetjük. Legen az f :{ 4, }, f ( )= + függvén! Vegünk fel két párhuzamos számegenest (.. ábra)! Az egik szemléltesse az f függvén értelmezési tartománát, a másik számegenes az f függvén értékkészletét! Az értelmezési tartomán minden eleméből (-ből) eg níl vezet az értékkészlet -hez rendelt eleméhez ( f(( )-hez). Az íg kapott ábrát níldiagramnak nevezzük. Az ábrázolás megkönnítése érdekében készítsünk értéktáblázatot: írjuk fel az értelmezési tartomán elemeit és mindegik alá a hozzá rendelt helettesítési értéket! (.. ábra). példa Szemléltessük a, } g :, g függvént níldiagrammal! ( ) + = + Készítsünk értéktáblázatot! 6
4 + 4 5 + 7 5 5 + + 7 A g függvén níldiagrammal való ábrázolása már nem olan könnű, mint az f függvéné, és a.. ábrán kiigazodni is nehéz. Célszerű a níldiagramnál jobb ábrázolási módot keresni. Ha az előző példában a hozzárendelést olan számpárokkal szemléltetjük, ameleknek első eleme a g értelmezési tartománából való ( ), a második eleme az -hez rendelt g(( ), akkor nolc rendezett számpárt kapunk, és ezekhez hozzárendelhetjük (kölcsönösen egértelmű módon) a koordinátasík nolc pontját. (Hol?) 4 + g ( ) = + (Mennit?) Rendezett számpárok ( ; g(( )) 7 4; 7 ; ( ; ) ; (; ) ; A derékszögű koordináta-rendszerben az ehhez a 8 számpárhoz rendelt pontok halmaza a g függvén grafikonja (.. ábra). Definíció Legen f: A függvén, és A, a valós számok halm mazának eg részhalmaza. Ekkor az f függvén grafikonján vag képén azon pontok halmazát értjük a derékszögű koordinátarendszerben, amel pontok első koordinátája az A halmaz eleme: (), a második koordinátája pedig az -hez tartozó függvénérték: f(( ). 4 5 4 5 ; 4 5 ; 7 4 4 5.. ábra Ábrázolás níldiagrammal (Mennit?) n g (Hol?).. ábra Ábrázolás ko or dinátasíkon (Mennit?) n ( ; f(( )) (Hol?).4. ábra Eg tetszőleges f függ- vén grafikonja vag képe. példa Ábrázoljuk az alábbi függvéneket derékszögű koordináta-rendszerben! Hán pontból áll a függvének képe? Öszszeköthetők-e ezek a pontok a grafikonok megrajzolásakor? Rendeljük hozzá minden -nél nem kisebb pozitív egjegű egészhez a) a nála kettővel kisebb számot; b) a legnagobb prím osztóját! (Mennit?) n f Az a) pontban megadott függvén (képe:.5. ábra) matematikai jelekkel: { } { } ( )= f : 456789 ; ; ; ; ; ; ; 4567 ; ; ; ; ; ; ;, f. 4 5 6 7 8 9 (Hol?).5. ábra Az f függvén képe
Függvének (Mennit?) i 4 5 6 7 8 9 (Hol?).6. ábra Az i függvén képe 4 5 6 7 8 9 f(( ) = 4 5 6 7 ( ;f( )) (; ) (; ) (4; ) (5; ) (6; 4) (7; 5) (8; 6) (9; 7) A b) pontban megadott függvén (képe:.6. ábra) matematikai jelekkel: { } { } ( )= legnagobb prím osztója. i: 456789 ; ; ; ; ; ; ; 57 ; ; ;, i 4 5 6 7 8 9 i(( ) 5 7 ( ;i( )) (; ) (; ) (4; ) (5; 5) (6; ) (7; 7) (8; ) (9; ) (Mennit?) n Az f és az i függvén értelmezési tartomána is a {; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9} nolcelemű halmaz, ezért mindkét függvén grafikonja nolc elszigetelt pontból áll. Íg az említett függvének képének megrajzolásakor ezek a pontok nem köthetők össze. [ [ ( ). példa Ábrázoljuk az f f + 4 függvént derékszögű koordináta-rendszerben! 4 5 6 7 (Hol?).7. ábra Az f függvén grafikonf jának néhán pontja (Mennit?) n f 4 5 6 7 (Hol?) Mivel az f függvén értelmezési tartomána végtelen sok elemet tartal- maz, ezért nem tudjuk a grafikon minden pontját kijelölni. A grafikon néhán pontját ábrázolhatjuk. (.7. ábra) Vajon az ábrázolt pontok ösz- szeköthetők-e a grafikon megrajzolásakor? Ha igen, akkor milen vonallal köthetők össze? Jelenlegi ismereteink alapján ezekre a kérdésekre nem tudunk válaszolni, de tapasztalataink alapján elfogadjuk (ezt később igazoljuk), hog a vázolt pontok eg egenesre illeszkednek. A függvén képe eg szakasz, amelhez a ( ;8) hozzá tartozik (tömött karikával jelöljük); a (4;4) pont pedig már nem (üres karikával jelöljük). Az f függvén képének van olan pontja, amel az tengelnek is pontja, ez a pont fontos jellemzője a függvénnek. E pont első koordinátáját a függvén zérushelének nevezzük..8. ábra Az f függvén grafikonjaa Definíció Eg f függvén zérusheleinek nevezzük az értelmezési tartománának mindazon értékeit, amelekre f( ( ) =. (Szemléletesen: a függvén grafikonja és az tengel közös pontjának első koordinátája.) 8
4. példa Adott az f függvén grafikonja (.9. ábra). a) Adjuk meg az f függvén értelmezési tartománát, értékkészletét és zérusheleit! b) f( ) =? Menni a függvén helettesítési értéke -nél? c) Mel valós -re teljesül, hog f(( ) =? Hol veszi fel a függvén a értéket? d) Mel valós -re teljesül, hog f(( ) >? Hol vesz fel a függvén -nél nagobb értéket? a) Az f függvén értelmezési tartomána: azon értékek halmaza, amelekhez értékeket rendel, tehát D f = ] 4; 7]; értékkészlete: azon értékek halmaza, ameleket hozzárendeltünk az -ekhez, íg R f = [ ; 5]; zérushelei (szemléletesen az tengellel való közös pontok első koordinátái, abszcisszái): ;,6; 6. b) Az f függvén = helen vett helettesítési értéke az.9. ábráról leolvasva közelítőleg, matematikai jelekkel f( ). c) Az f(( ) = egenlet megoldásakor keressük az változó azon értékeit, amelekhez az f függvén -t rendel. A keresett értékek tehát: = ; = ; = 5; 4 = 7. (.. ábra) d) Az f(( ) > egenlőtlenség megoldásakor keressük azokat a változó értékeket (-eket), amelekhez az f függvén -nél nagobb értéket ren- del. (Szemléletesen: hol halad az f függvén gafikonja az = egenletű egenes fölött?) A keresett értékek a feladat c) részének megoldása és a.. ábra alapján: 4 < < vag < < 5, ahol. (Mennit?) n 4 (Hol?).9. ábra Az f függvén grafikonja 4 4 5 6 7 f.. ábra Kék szín jelöli a 4. példa d) részének megoldását Ábrázoljuk az alábbi függvéneket derékszögű koordináta-rendszerben! Hán pontból áll a függvének képe? Összeköthetők-e ezek a pontok? Rendeljük hozzá minden -nél nem nagobb pozitív egészhez a) a reciprokának hatszorosát; b) az ellentettjénél -vel kisebb számot!. Adott az f függvén grafikonja (.. ábra). a) Adjuk meg az f függvén értelmezési tartománát, értékkészletét és zérusheleit! b) Mivel egenlő f()? c) Mel valós -re teljesül, hog f( ( ) = 5? d) Mel valós -re teljesül, hog f( ( ) < 5? f 4.. ábra A. feladathoz tartozó f függvén grafikonja
Geometria E C F Definíció Eg háromszög két oldalának felezőpontját össze- kötő ő szakasz a háromszög egik középvonala. (.6. ábra) (Minden háromszögnek három középvonala van.) A.6. ábra Háromszög középvonala Tétel A háromszög bármel középvonala párhuzamos a háromszög harmadik (általa össze nem kötött) oldalával, és hossza ennek az oldalnak a felével egenlő. Az ábra jelöléseivel: EF A és EF = A. A A C F E E.7. ábra Tükrözzük a háromszöget az F pontra! A izonítás: Tükrözzük a háromszöget az adott középvonal egik végpontjára (F-re)! Mivel ez a pont a háromszög egik oldalfelező pontja, íg az AA C négszög eg paralelogramma. (.7. ábra) Az E, az F és az E pont eg egenesbe esik, és a tükrözés távolságtartó tulajdonsága miatt az E is felezőpontja az A oldalnak. Tehát EE középvonala az AA C paralelogrammának. Íg EE A és EE = A. Ezzel a párhuzamosságot igazoltuk. A hosszra vonatkozó állítás pedig azért teljesül, mert EF = EE = A. Vegük észre (a lecke. példája alapján), hog eg háromszög oldalfelező merőlegesei egbeesnek a középvonal-há- romszög magasságvonalaival! Azt is észre vehetjük az. példa ábráján, hog a tükrözésekhez használt segédszakaszok is eg ponton mennek át. Ezek olan nevezetes vonalai a háromszögnek, amilenekkel eddig nem találkoztunk. s a C.8. ábra Háromszög súlvonala A Definíció A háromszög egik csúcsát a szemközti oldal fele- zőpontjával összekötő szakaszt a háromszög súlvonalának nevezzük. (.8. ábra) Minden háromszögnek három súlvonala van. Szokásos jelölése: s a, s b, s c.. példa Mutassuk meg, hog a háromszög bármel két súlvonala harmadolva metszi egmást! (A metszéspont a csúcstól távolabbi harmadolópontba esik.) F K sb P.9. ábra FE KL és FE = KL E L s c C Legenek E és F a háromszög oldalfelező pontjai (.9. ábra), P az s b és az s c súlvonal metszéspontja, K és L pedig a P, illetve a CP szakasz felezőpontjai! Egrészt FE középvonala az AC -nek, íg FE C és FE = C. 6
<. példa Oldjuk meg a 4 4 = egenletet a valós számok halmazán! Az egenlet alaphalmaza a, értelmezési tartomána pedig mindazon valós számok halmaza, amelekre a négzetgökvonás definíciója miatt az 4+ 4 feltétel teljesül. Az 4+ 4= ( ), ezért az 4+ 4 feltétel bármel valós szám esetén fennáll, íg az egenlet értelmezési tartomána. Továbbá az egenlet bal oldalán a négzetgökvonás elvégezhető, íg az = egenlethez jutunk, amel az eredeti egenlettel ekvivalens. Az abszolút érték definíciója alapján:, ha, azaz ; = +, ha <, azaz <. A feladat megoldását két esetre kell bontanunk. Egik esetben az egenlet megoldását a -nél nem kisebb valós számok között, a másik esetben a -nél kisebb valós számok között keressük. I. eset: ha, akkor az egenlet () = alakba írható. Az egenlet megoldására = adódik, ami nem tesz eleget az feltételnek, ezért az eredeti egenletnek sem megoldása. II. eset: ha <, akkor az egenlet () + = alakba írható. Az egenlet megoldására = adódik, ami eleget tesz az feltételnek, a vizsgált tartománba esik. Mivel az () alatti egenlet megoldása során ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért az = az eredeti egenletnek is megoldása. Az I. és a II. eset miatt az eredeti egenlet megoldása =. > 5.5. ábra Nem varázslat + 5.6. ábra Nem bűvésztrükk 4. példa Oldjuk meg a + 7 egenletet az egész számok halmazán! Az egenlet alaphalmaza és értelmezési tartomána az. A felírt egenlet két abszolút értékes kifejezést is tartalmaz. A definíció szerint: +, ha +, azaz ; + =, ha + <, azaz <., ha, azaz ; = +, ha <, azaz <. Az + kifejezés az = -nél, az kifejezés az = -nál vált előjelet. Mivel a kifejezések előjelét uganazon -ek esetén kell ismernünk ahhoz, hog az abszolútérték jeleket el tudjuk tüntetni, ezért az egenletet az = és az = által meghatározott három intervallumon (I. <, II. < és III. ) kell vizsgálnunk. II. I. II I. 5.7. ábra Ahán gerek, anni eset
Statisztika. példa Adjuk meg a fent vizsgált sokaság testmagasság szerinti eloszlását!.5. ábra Eléred?.6. ábra Nem is olan nag a különbség, még te is megnőhetsz!.7. ábra Melikünk átlagos? A vizsgált sokaságban a testmagasságok 54 cm-től 79 cm-ig terjednek, az adatfajták száma (6) a sokaság méretéhez, elemszámához (5) képest nag. Ilenkor az adatokat célszerű tovább csoportosítani. Az adatokat ötös csoportokba oszthatjuk. Ilenkor azt mondjuk, hog a magasságokat 5 cm-es osztálokba soroltuk (az osztálközszélesség 5). Testmagasság (cm) Az intervallumhoz tartozó gakoriság ( f i ) Relatív gakoriság ( g i ) % (5) 55 4 56 6 6 65 4 66 7 4 8 7 75 9 8 76 (8) 6 Σ 5 Az adatok osztálba sorolása az adatok jobb átláthatóságát, könnebb kezelhetőségét teszi lehetővé, uganakkor információvesztéssel jár.. példa Adjuk meg a fent vizsgált sokaság testtömeg szerinti eloszlását! A. példában látottakhoz hasonlóan járunk el, a tömegeket kg-os osztálokba soroljuk (az osztálközszélesség ). Testtömeg (kg) Az intervallumhoz tartozó gakoriság ( f i ) Relatív gakoriság ( g i ) % (4) 44 45 47 4 8 48 5 4 5 5 54 56 7 4 57 59 8 6 6 6 4 8 6 65 4 66 (68) Σ 5