Akkor én most bölcsész vagyok?! Avagy: híd, amit matematikának hívunk

Akkor én most bölcsész vagyok?! Avagy: híd, amit matematikának hívunk Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Egyetemi tavasz Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 1 / 18

Irodalom Dante, Isteni színjáték (1307-1321) L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 2 / 18

Irodalom Dante, Isteni színjáték (1307-1321) 3 könyv, 100 ének: Pokol, Purgatórium, Paradicsom (62. ének) L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 2 / 18

Irodalom Dante, Isteni színjáték (1307-1321) 3 könyv, 100 ének: Pokol, Purgatórium, Paradicsom (62. ének) ahová egykori szerelme, Beatrice kíséri", kiemelkedő pontja a műnek. L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 2 / 18

Irodalom Dante, Isteni színjáték (1307-1321) 3 könyv, 100 ének: Pokol, Purgatórium, Paradicsom (62. ének) ahová egykori szerelme, Beatrice kíséri", kiemelkedő pontja a műnek. Kassák Lajos, A ló meghal a madarak kirepülnek (1922.) L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 2 / 18

Irodalom Dante, Isteni színjáték (1307-1321) 3 könyv, 100 ének: Pokol, Purgatórium, Paradicsom (62. ének) ahová egykori szerelme, Beatrice kíséri", kiemelkedő pontja a műnek. Kassák Lajos, A ló meghal a madarak kirepülnek (1922.) 510 sor, 317. sorban hangulati tetőpont: mindenki tudta már nem lehet messze isten órája". L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 2 / 18

Zene Kodály Zoltán, Psalmus Hungaricus (magyar zsoltár) (1923.) L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 3 / 18

Zene Kodály Zoltán, Psalmus Hungaricus (magyar zsoltár) (1923.) 395 ütem, 245-től indul lényegi mondanivaló: Istenbe vessed bizalmad" L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 3 / 18

Zene Kodály Zoltán, Psalmus Hungaricus (magyar zsoltár) (1923.) 395 ütem, 245-től indul lényegi mondanivaló: Istenbe vessed bizalmad" Bartók Béla, Cantata Profana, A kilenc csodaszarvas (1930.) L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 3 / 18

Zene Kodály Zoltán, Psalmus Hungaricus (magyar zsoltár) (1923.) 395 ütem, 245-től indul lényegi mondanivaló: Istenbe vessed bizalmad" Bartók Béla, Cantata Profana, A kilenc csodaszarvas (1930.) 122 = 99 + 23 sor, melyekben pl. a 122 soros rész 76. sorában egy érzelmi-zenei csúcspont. L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 3 / 18

Nyulak L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 4 / 18

Nyulak Hány pár nyúl lesz n hónap múlva, ha feltételezzük, hogy az első hónapban csak egyetlen újszülött nyúl-pár van, az újszülött nyúl-párok két hónap alatt válnak termékennyé, minden termékeny nyúl-pár minden hónapban egy újabb párt szül, és a nyulak örökké élnek? L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 4 / 18

Nyulak Hány pár nyúl lesz n hónap múlva, ha feltételezzük, hogy az első hónapban csak egyetlen újszülött nyúl-pár van, az újszülött nyúl-párok két hónap alatt válnak termékennyé, minden termékeny nyúl-pár minden hónapban egy újabb párt szül, és a nyulak örökké élnek? Fibonacci-sorozat: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 4 / 18

Egy, a számtalan érdekes tulajdonság közül F 1 := 1, F 2 := 1, F n := F n 1 + F n 2, (n > 2) L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 5 / 18

Egy, a számtalan érdekes tulajdonság közül F 1 := 1, F 2 := 1, F n := F n 1 + F n 2, (n > 2) F n+1 F n : 1, 2, 1, 5, 1, 666, 1, 6, 1, 625, 1, 615, 1, 619,... L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 5 / 18

Egy, a számtalan érdekes tulajdonság közül F 1 := 1, F 2 := 1, F n := F n 1 + F n 2, (n > 2) F n+1 F n : 1, 2, 1, 5, 1, 666, 1, 6, 1, 625, 1, 615, 1, 619,... F n+1 lim =? n F n L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 5 / 18

Egy, a számtalan érdekes tulajdonság közül F 1 := 1, F 2 := 1, F n := F n 1 + F n 2, (n > 2) F n+1 F n : 1, 2, 1, 5, 1, 666, 1, 6, 1, 625, 1, 615, 1, 619,... F n+1 lim =? n F n F n+1 F n + F n 1 F n 1 lim n = lim n = 1 + lim n = F n F n F n 1 1 1 + x = 1 + F n x x = 1 + 5 2 lim n F n 1 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 5 / 18

Nevezetes arány Aranymetszés: L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 6 / 18

Nevezetes arány Aranymetszés: a b + 1 a = a b a b = Φ b a + b a = a b L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 6 / 18

Nevezetes arány Aranymetszés: a b + 1 a = a b a b = Φ b Φ = Φ + 1 Φ Φ2 Φ 1 = 0 a + b a = a b L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 6 / 18

Nevezetes arány Aranymetszés: a b + 1 a = a b a b = Φ b Φ = Φ + 1 Φ Φ2 Φ 1 = 0 a + b a = a b Φ = 1 + 5 2 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 6 / 18

Hogy is van ez akkor? Az aranyarány: 1 + 5 2 = 1, 618 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 7 / 18

Hogy is van ez akkor? Dante: 100 62 = 1, 619 Kassák: 510 = 1, 608 317 Kodály: 395 = 1, 612 245 Bartók: 122 76 = 1, 605 Az aranyarány: 1 + 5 2 = 1, 618 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 7 / 18

Képzőművészet, építészet Leonardo da Vinci, La Gioconda (it., gondtalan) (1503-1519) L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 8 / 18

Képzőművészet, építészet Leonardo da Vinci, La Gioconda (it., gondtalan) (1503-1519) Athén, Parthenon (Kr.e. 448-438) L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 8 / 18

További hírességek L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 9 / 18

Beethoven, 1770-1827 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 10 / 18

Beethoven, 1770-1827 VII. szimfónia (1813.) L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 10 / 18

Beethoven, 1770-1827 VII. szimfónia (1813.) A mű erejét, nagyszerűségét, egészét a ritmus határozza meg. A ritmus, mely a zene legősibb eleme. Kezdetben vala a ritmus."- mondta Wagner." L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 10 / 18

Beethoven, 1770-1827 VII. szimfónia (1813.) A mű erejét, nagyszerűségét, egészét a ritmus határozza meg. A ritmus, mely a zene legősibb eleme. Kezdetben vala a ritmus."- mondta Wagner." zene L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 10 / 18

Beethoven, 1770-1827 VII. szimfónia (1813.) A mű erejét, nagyszerűségét, egészét a ritmus határozza meg. A ritmus, mely a zene legősibb eleme. Kezdetben vala a ritmus."- mondta Wagner." zene hangok L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 10 / 18

Beethoven, 1770-1827 VII. szimfónia (1813.) A mű erejét, nagyszerűségét, egészét a ritmus határozza meg. A ritmus, mely a zene legősibb eleme. Kezdetben vala a ritmus."- mondta Wagner." zene hangok frekvencia/hullámhossz (λ) L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 10 / 18

Beethoven, 1770-1827 VII. szimfónia (1813.) A mű erejét, nagyszerűségét, egészét a ritmus határozza meg. A ritmus, mely a zene legősibb eleme. Kezdetben vala a ritmus."- mondta Wagner." zene hangok frekvencia/hullámhossz (λ) felhangjai(harmonikusok):λ/n n=1 1 n Harmonikus sor L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 10 / 18

Beethoven, 1770-1827 VII. szimfónia (1813.) A mű erejét, nagyszerűségét, egészét a ritmus határozza meg. A ritmus, mely a zene legősibb eleme. Kezdetben vala a ritmus."- mondta Wagner." zene hangok frekvencia/hullámhossz (λ) felhangjai(harmonikusok):λ/n n=1 1 n Harmonikus sor Végtelen sok nagyon kicsi szám összege vajon kicsi, vagy nagyon kicsi? L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 10 / 18

Becsüljünk Legyen H n = n 1 k=1 k L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 11 / 18

Becsüljünk Legyen H n = n 1 k=1 k A zöld téglalapok segítségével: H n 1 = n k=2 1 n k < 1 dt = ln n 1 t L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 11 / 18

Becsüljünk Legyen H n = n 1 k=1 k A zöld téglalapok segítségével: H n 1 = n k=2 a piros téglalapok segítségével: 1 n k < 1 dt = ln n 1 t H n 1 n 1 n = 1 n k > 1 dt = ln n 1 t k=1 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 11 / 18

Becslésünk eredménye ln n + 1 n < H n < ln n + 1 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 12 / 18

Becslésünk eredménye ln n + 1 n < H n < ln n + 1 n A harmonikus sor divergens. (Korlátlanul nagy az összeg.) L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 12 / 18

Ismerős A mértani sorozat: q n L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 13 / 18

Ismerős A mértani sorozat: q n általános vagy középiskola: s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = qn 1 q 1 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 13 / 18

Ismerős A mértani sorozat: q n általános vagy középiskola: s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = qn 1 q 1 nálunk: lim n s n = 1, ha q < 1 1 q L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 13 / 18

Ismerős A mértani sorozat: q n általános vagy középiskola: s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = qn 1 q 1 nálunk: lim n s n = 1 1 q, ha q < 1 q n = 1 1 q n=0 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 13 / 18

Ismerős A mértani sorozat: q n általános vagy középiskola: s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = qn 1 q 1 nálunk: lim n s n = 1 1 q, ha q < 1 q n = 1 1 q n=0 Például, ha 0 < x < 1 és 0 < y < 1, akkor n=0 (xy)n = 1 1 xy. L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 13 / 18

Játsszunk I = 1 1 0 0 1 1 xy L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 14 / 18

Játsszunk I = 1 1 0 0 1 1 xy A mértani sor segít: I = 1 1 0 0 n=0 (xy)n L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 14 / 18

Játsszunk I = 1 1 0 0 1 1 xy A mértani sor segít: I = 1 1 0 0 n=0 (xy)n I = n=1 1 n 2 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 14 / 18

Játsszunk I = 1 1 0 0 1 1 xy A mértani sor segít: I = 1 1 0 0 n=0 (xy)n I = n=1 1 n 2 Vajon ez is nagyon nagy? L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 14 / 18

Meglepő és szép L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 15 / 18

Meglepő és szép u = y + x 2, v = y x, 2 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 15 / 18

Meglepő és szép u = y + x 2, v = y x, 1 xy = 2 1 1 u 2 + v 2 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 15 / 18

Meglepő és szép u = y + x 2, v = y x, 1 xy = 2 1 1 u 2 + v 2 I = 4 1/2 0 4 1 1/2 ( ) u dv 0 1 u 2 + v 2 du+ ( ) 1 u dv 0 1 u 2 + v 2 du L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 15 / 18

Eredmény I = π2 6 L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 16 / 18

Eredmény I = π2 6 Ez aztán a meglepetés! n=1 1 n 2 = π2 6 1734., Leonhard Euler(1707. április 15.-1783. szeptember 18.) L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 16 / 18

Végtelen sorok L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 17 / 18

Köszönöm a figyelmet! L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20. 18 / 18