IGITÁLIS THNIK I r. Pıdör álint MF KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet 4. LİÁS 4. LİÁS. Logikai üggvények kanonikus algebrai alakjai, diszjunktív és konjunktív normálalakok 2. Logikai üggvények egyszerősítése. Logikai üggvények graikus ábrázolása 4. Logikai üggvények minimalizálási módszerei. 28/29 tanév. élév 2 FÜGGVÉNYK KNONIKUS LKJI kombinációs hálózatok tervezésénél célszerő az algebrai alakból kiindulni. Mivel egy logikai üggvénynek több algebrai alakja is lehet, a tervezés kiindulási alapja célszerően a logikai üggvény valamelyik kanonikus vagy normál alakja. diszjunktív kanonikus (extendes sum-o-product, SOP) alak konjunktív tagok azaz mintermek összegébıl áll. konjunktív kanonikus alak (extended product-osum, POS)diszjunktív tényezık azaz maxtermek szorzatából áll. MINTRMK ÉS MXTRMK mintermek és maxtermek (üggvényoperátorok) melletti indexet bináris alakba átírva, és minden bináris helyértékhez egy változót rendelve, ponált, vagy negált ormában, az operátor elírható. m 5 5 = (5 = bin ) M 2 4 = +++ (2 = bin ) 4 -VÁLTOZÓS FÜGGVÉNY: MINTRMK ÉS MXTRMK ISZJUNKTÍV KNONIKUS LK, MINTRM 5 logikai szorzatok logikai összegeként (ÉS-VGY) képzett algebrai alak, ahol minden szorzat tagban az összes üggetlen változó szerepel ponált vagy negált alakban, a diszjunktív kanonikus alak. F() = + + + F() = m 2 + m + m 4 + m 6 F = Σ (2,,4,6) 6
ISZJUNKTÍV KONJUNKTÍV KNONIKUS LK F() = + + + F() = m + m + m 5 + m 7 üggvény negáltja azokat a mintermeket tartalmazza, melyeket a üggvény nem tartalmaz (ez csak a teljesen határozott logikai üggvényekre igaz!). zután a e Morgan tétel alapján el lehet végezni KONJUNKTÍV KNONIKUS LK, MXTRM logikai összegek logikai szorzataként (VGY-ÉS) képzett algebrai alak, ahol minden összeg tényezıben az összes üggetlen változó szerepel ponált vagy negált alakban, a konjunktív kanonikus alak. F() = F() = ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) az átalakítást! 7 8 F() = M 7 M 6 M 2 M MINTRMK ÉS MXTRMK KPSOLT redeti üggvény, diszjunktív normálalak F() = m 2 + m + m 4 + m 6 Negált üggvény, diszjunktív normálalak (index i) F() = m + m + m 5 + m 7 redeti üggvény, konjunktív normálalak (index I) F() = M 7 M 6 M 2 M 9 ISZJUNKTÍV KNONIKUS LK üggvény értékei legyenek x i (az x i lehetséges értékei vagy. gy n-változós logikai üggvény diszjunktív kanonikus alakja (a mintermek m i n, és k = 2 n -) F(,,...) = x m n + x m n +... + x k m k n = Σ x i m i n k i = diszjunktív kanonikus alaknál azokat a tagokat kell igyelembe venni, ahol a üggvény értéke. KONJUNKTÍV KNONIKUS LK gy n-változós logikai üggvény konjunktív kanonikus alakja (a maxtermek M i n, a többi jelölés változatlan) F(,,...) = (x + M k n )(x + M k- n )... (x k + M n ) k = (x i + M k-i n ) i = teljes konjunktív normálalaknál azokat a tagokat MINTRMK ÉS MXTRMK KPSOLT Minden minterm egy maxterm inverze, és ordítva, minden maxterm egy minterm inverze. k = 2 n - jelöléssel m i n = M k-i n és M i n = m k-i n mintermek és maxtermek indexei, i és 2 n --i egymás komplemensei. ináris alakjukban az és számjegyek el vannak cserélve. Összegük páronként 2 n -, mely binárisan csupa -est kell igyelembe venni ahol a üggvény értéke. 2 tartalmaz.
MINTRMK ÉS MXTRMK z n-változós üggvények összes mintermjeinek összege a logikai értéket, összes maxtermjeinek szorzata pedig a logikai értéket adja adja k (k = 2 n -) Σ m n i = és M n k-i = i = i = k LOGIKI FÜGGVÉNYK MGÁS diszjunktív és konjunktív kanonikus alakok a Σ, Π mőveletjellel és az indexekkel adhatók meg. (,,) = + + (,,) = Σ (, 4, 7) (,,) = Π (, 2, 4, 5, 7) mlékeztetı: a diszjunktív alakból hiányzik a,2,,5, és 6 index, ezek komplemensei szerepelnek 4 a konjunktív normálalakban. NM TLJSN HTÁROZOTT LOGIKI FÜGGVÉNY F - - Nem teljesen határozott logikai üggvény esetén F() = + + + + ( ) + () F = Σ ((, 2,, 8) + (4, 6)) 5 GRFIKUS ÁRÁZOLÁS logikai üggvény értékei az igazságtáblázat alapján graikusan is szemléltethetık. mintermek és maxtermek táblázatba oglalhatók. Fontos speciális üggvénytáblázatok az ún. Karnaugh-táblázatok. z ilyen ábrázolási mód korlátozott üggetlen változó szám esetén igen szemléletes, és az ún. üggvényminimalizáláskor jól elhasználható. 6 MINTRM ÉS MXTRM TÁLÁZTOK n = 4 Minterm táblázat n = 4 esetén. 2 8 Minden négyzet megelel egy-egy indexelt 9 mintermnek vagy maxtermnek. 5 7 5 4 6 4 2 7 n = 4 MINTRM ÉS MXTRM TÁLÁZTOK 5 5 7 4 2 8 9 4 6 2 Maxterm táblázat n = 4 esetén. maxterm táblázat. sor. eleme 5, a minterm táblázatban pedig, melyek egymás komplemensei, összegük 2 n - = 2 - = 5. ( 8
MINTRM ÉS MXTRM TÁLÁZTOK MINTRMTÁLÁZT n = 5 5 4 6 7 2 2 2 7 6 8 9 5 4 26 27 2 22 8 9 2 24 25 29 28 maxterm táblázat. sor. eleme 5, a minterm táblázatban pedig, melyek egymás Példa: m 5 9 tábla két elén az indexek közötti különbség súlyának megelelıen 6. komplemensei, összegük 2 n - = 2 - = 5. 9 2 LOGIKI FÜGGVÉNY GYSZRŐSÍTÉS: MINIMLIZÁLÁS Logikai hálózat tervének gazdaságossága:. Felhasznált kapuk számának csökkentése; 2. Összekötetések számának csökkentése;. Kapukat megvalósító építıelem-ajták optimális kiválasztása.. pontbeli eladat megoldására nincs általános módszer, az. és 2. pontbeli eladatokra adhatók használható eljárások. z optimalizálás (minimalizálás) mint a kapubementek számának csökkentése (minimalizálása) is megogalmazható. 2 Minimalizálás Valamikor régen a kombinációs hálózatot megvalósító kapuáramkörök bemenetszámát kellett csökkenteni az alkatrészek számának csökkentése céljából. Ma tulajdonképpen sebesség-növelési és megbízhatósági célból kell a (logikai) hálózatot minimalizálni. legkevesebb hibát az az alkatrész tudja okozni, amelyik nincs is beépítve. (Idézet r. Tóth Mihály székesehérvári ıiskolai tanártól.) 22 Z F(,,) ÉS-VGY KPUS RLIZÁLÁS & & & & F() = + + + z ÉS kapuk bementeire értelemszerően az egyes ponált vagy negált változók PÉL LOGIKI FÜGGVÉNY LGRI MINIMLIZÁLÁSÁR F() = + + + mintermek m 2 + m + m 4 + m 6 = ( + ) + ( + ) = + z összevonható mintermek egy helyértékben térnek el egymástól: () és (), illetve () és () z az összevonások és a minimalizálás kulcsa! kerülnek. 2 24
GYSZRŐSÍTTT FÜGGVÉNY ÉS-VGY KPUS RLIZÁLÁS o o & & F(,,) = + 25 SZOMSZÉOS MINTRMK, MINIMLIZÁLÁS Szomszédos mintermek: egy logikai változó ponált illetve negált, a többi azonos. minimalizálás menete:. szomszédos mintermeket összevonják, a megelelı változó kiesik. 2. z új alakban az esetleges szomszédos termeket megint összevonják.. z eljárást addig olytatják míg olyan szorzatok összegét kapjuk, melyekbıl már egy változó sem hagyható el. z így kapott szorzatok, termek a prímimplikáns-ok. 26 MINIMLIZÁLÁS, PRÍMIMPLIKÁNSOK logikai üggvény minimalizált (diszjunktív) alakja tehát prímimplikáns-ok összege. F() = + + + F() = + itt a prímimplikánsok és MINIMLIZÁLÁS KONJUNKTÍV LKN Hasonló gondolatmenet érvényes a üggvények konjunktív vagy maxtermes alakjára is. Két szomszédos maxterm szintén összevonható egyetlen összeggé, mely nem tartalmazza a két maxtermet megkülönböztetı változót. ( + + )( + + ) = ( + ( + ))( + ( + )) logikai üggvényt egyszerősítı eljárások célja a prímimplikánsok megkeresése. gy üggvénynek = + ( + )( + ) + ( + ) = + több ekvivalens legegyszerőbb alakja is lehet! 27 28 FÜGGVÉNYMINIMLIZÁLÁSI LJÁRÁSOK. Graikus (táblázatos) minimalizálás: Karnaughtáblázat alapján. 2. Számjegyes minimalizálás (Quine-Mcluskeymódszer.. gzakt algebrai, számítógépre adaptálható algoritmusok, pl. irredundás leedésialgoritmus csoport. 4. Heurisztikus algoritmikusok (pl. PRSTO vagy SPRSSO márkanevő algoritmusok. Részletesen tárgyaljuk a graikus minimalizálás módszerét és alkalmazását. számjegyes Karnaugh tábla (K tábla) Nem más, mint az igazságtábla célszerő, táblázatos elrendezése. táblázat peremezés általában az -es Hamming-távolságú, ún. Gray-kódot használják. Karnaugh tábla minden egyes cellája egyegy meghatározott változó-kombinációhoz tartozó üggvényértéket tartalmaz. Ha a változók súlyozása rögzített, akkor a K tábla celláihoz indexek rendelhetık hozzá. n változó esetén a cellák száma 2 n minimalizálást csak röviden érintjük. 29
GRY-KÓ, HMMING-TÁVOLSÁG Gray-kód 2n számú n-bites bites kódszavak olyan sorrendben, hogy bármelyik két szomszédos kódszó csak egyetlen bitben különbözik. z áll az elsı és utolsó kódszóra is (ciklikusság). Ha n =, a kódszavak sorrendje a K tábla peremén: -ITS GRY-KÓ 2 HMMING TÁVOLSÁG Két kódszó Hamming távolságát úgy határozzák meg, hogy a két kódszó azonos helyen álló elemeit összehasonlítják, és megállapítják hány helyen áll különbözı bit. z így kapott szám a Hamming távolság. Gray kód bármely két szomszédos kódszava csak egy bitben különbözik. Példa: változós Karnaugh tábla változók súlyozása és a cellaindexek () 2 6 7 4 5 (4) (2) () () (2) (6) (4) szomszédos sorok és oszlopok Hamming távolsága. legalsó és a legelsı sorok is szomszédosak. balszélsı és a jobbszélsı oszlopok is szomszédosak, bár itt, a változós K táblánál ez triviális. Nem lesz triviális az oszlopok szomszédossága pl. a 4 változós tábláknál. z 5 és több változós K táblákon a szomszédosság még komplexebb. 4 SZOMSZÉOSSÁG -VÁLTOZÓS KRNUGH TÁLÁN változók súlyozása és a cellaindexek () 2 6 7 4 5 (4) (2) () () (2) (6) (4) 5 PÉL: FÜGGVÉNYÁRÁZOLÁS ÉS MINIMLIZÁLÁS K-TÁLÁN F jelölt szomszédos cellák (színkód jelöli) összevonhatók, így a legegyszerőbb diszjunktív alak: F = + z összevonás után maradó két tag a két prímimplikáns. 6
szomszédosság elınyei és a mintermek összevonhatósága szomszédos cellák csak ugyanannak az egy változónak a ponált és negált értékében különböznek. X (valami) + X (valami) = (X +X) (valami) = (valami) = (valami) K tábla sorainak és oszlopainak szomszédossága nagyon könnyen elismerhetıvé teszi az ilyen összevonási lehetıségeket. 7 Z ÖSSZVONÁS SZÁLYI KRNUGH TÁLÁN. szomszédos cellák összevonhatók, ezek a termek az egyik változót negált, illetve ponált ormában is tartalmazzák. 2. Összevonhatók a diagram átellenes szélén lévı cellák is (ciklikusság).. 2, 4, 8... 2 n, azaz 2 egész számú hatványainak megelelı szomszédos (területileg összeüggı) cella összevonható. 8 Négyváltozós Karnaugh tábla 2 4 5 7 6 () (4) 2 5 4 (2) 8 9 () () () (2) kkor, és csak akkor ha 8; 4; 2; ; (8) kkor, és csak akkor ha 8; 4; 2; ; K tábla peremezése a változók binárisértékkombinációival vagy az oldalt elhelyezett vonalakkal Karnaugh tábla a Venn diagram általánosítása (kiterjesztése) 9 4 adható meg. Példa az összevonásokra Két-két szomszédos cella, vagy két-két szomszédos hurok mindig összevonható. z összevont hurkok cellaszáma mindig 2-nek egész hatványa kell, hogy legyen. + = (+) = + = = += (+) = 4 Négyváltozós Karnaugh tábla és leedések (példák) 2 + = 4 (,,5,7,2 5 ) =, = 4 ( 4,5,9,,2,, ) = 2 5 + kanonikus minimalizált alakok 42
MINIMLIZÁLÁS KONJUNKTÍV LKN (+)(+)(+)(+) 4 K-TÁL: SUM-OF-PROUTS 2 5 + = 4 ( 4,5, 9,,2,, ) = Realizálás: kétszintő ÉS-VGY, illetve kétszintő NN-NN hálózat 44 K-TÁL: PROUT-OF-SUMS Realizálás: kétszintő VGY-ÉS, illetve kétszintő NOR-NOR hálózat 45 Négyváltozós Karnaugh tábla és leedések (további példák) = 4 (, 2, 5, 7,8,,, ) = 5 + 4 + _ = 4 (, 5, 8, ) = 4 46 SZOMSZÉOSSÁGI VISZONYOK 47 NM TLJSN HTÁROZOTT LOGIKI FÜGGVÉNY F - - F = Σ ((,2,,7) + (4,6)) Optimális leedés két 4-es hurok: F = + - Itt a közömbös üggvényértékeket -nek - tekintjük. 48
NM TLJSN HTÁROZOTT LOGIKI FÜGGVÉNY z összevonás során a nem rögzített üggvényértéket tetszılegesen választhatjuk -nek vagy -nak, attól üggıen, hogy melyik választás adja a legkedvezıbb megoldást. minimalizálási eljárások lgebrai szempontból a szomszédosság absztrakt algebrai megogalmazása az egyik cél.) másik probléma a K táblán megogalmazvaaz optimális leedés megtalálása. üggvény ugyanis általában többéleképpen is leedhetı maximális mérető hurkokkal. 49 5 Kombinációs hálózatok kétszintő (pl. ÉS-VGY) megvalósítása (diszjunktív) kanonikus alak közvetlenül ilyen kétszintő megoldást ad (ÉS kapukkal realizált mintermek összegét, vagyis VGY kapcsolatát). minimalizálás összevonásai egyszerőbb, de ugyancsak kétszintő ÉS VGY hálózatra vezetek. Ma egyik általános tervezési elv a párhuzamosítás. Nagy rendszereknél is! Mindent, amit lehet, szimultán módon hajtunk végre az egymást követı, egymásra épülı olyamatok helyett. (Mai szuperszámító-gépek.) Kombinációs hálózatok kétszintő (pl. ÉS-VGY) megvalósítása mőködési sebesség ma kritikus kérdés, ezért a szintek számát lehetıleg nem szabad növelni! Minden kapu-áramkörnek véges mőködési ideje (propagation delay) van, és sorbakötött kapuknál ezek összeadódnak.) További ontos kérdés a dinamikus viselkedés, az ún. hazárdok, és azok kiküdzöbölése. 5 52 kétszintő ÉS VGY hálózat tipikus képe (példa) 2.szint Sok ÉS kapu a 2. szinten Mindegyik szükség szerinti számú bemenettel kimeneti VGY kapu átalakítható de Morgan azonosság alapján.szint gyetlen VGY kapu az. szinten, annyi bemenettel, ahány ÉS kapu van + + =.. = '+'+'' = Sum 5 (, 8-5, 9, 2, 27),,,, 6, 8, 4, 2, 5 54
Homogén NN hálózat GRFIKUS MINIMLIZÁLÁS 5 VGY NNÁL TÖ VÁLTOZÓVL Öt változó esetén a minimalizálás két négyváltozós Karnaugh táblával, hat változónál pedig négy négyváltozós táblával végezhetı el. négy tábla páronkénti áttekintése már elég bonyolult. zért hat vagy ennél több változó esetén a Karnaugh táblás minimalizálási eljárás nem elınyös. = '+'+'' 55 56 ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY ÁRÁ- ZOLÁS ÉS GYSZRŐSÍTÉS = = ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY GYSZRŐSÍTÉS () = = F() = Prímiplikáns: 5 Σ (,4,5,,,4,6,2,2,24,25,26,27,) 57 58 ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY GYSZRŐSÍTÉS (2) = = ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY GYSZRŐSÍTÉS () = = Prímiplikáns: 59 6 Prímiplikáns:
ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY GYSZRŐSÍTÉS (4) = = ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY GYSZRŐSÍTÉS (5) = = Prímiplikáns: 6 Prímiplikáns: 62 ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY MINIMLIZÁLT LKJ minimalizált üggvény öt prímimplikánst tartalmaz: F() = + + + + z eredeti alakban az elvi logikai rajzon a szükséges kapubemenetek száma 4 x 5 + 4 = 84, míg a minimalizált üggvénynél 5 x + 5 = 2. Kapuk: 5 db bemenető ÉS, db 5 bemenető VGY, 5 db INVRTR. Tokok (TTL 74-es sorozat): db HX INV, 2 db x4 bemenető NN, db x8 bemenető NN. 6 ÖTVÁLTOZÓS GYFÜGGİ KRNUGH TÁL Öt változónál a két négyváltozós tábla a peremezés megváltoztatásával egybeüggıvé tehetı a szomszédossági viszonyok könnyebb elismerése céljából. szomszédosságnál a üggıleges tengelyre vett tükrözési szimmetria is számít. 64 GYFÜGGİ KRNUGH TÁL 2 6 7 5 4 GYFÜGGİ K-TÁL 2 6 7 5 4 8 9 4 5 24 25 27 26 29 2 28 6 7 9 8 22 2 2 2 8 9 4 5 24 25 27 26 29 2 28 6 7 9 8 22 2 2 2 szomszédosságnál a üggıleges tengelyre vett tükrözési szimmetria is számít, pl. 9 () és () szomszédosak. 65 () szomszédai (a különbségek, (-)2, 4, (-)8, 6 azaz 2 hatványai megelelı elıjellel). 66
GYFÜGGİ KRNUGH TÁL 2 6 7 5 4 GYFÜGGİ KRNUGH TÁL 2 6 7 5 4 8 9 4 5 24 25 27 26 29 2 28 6 7 9 8 22 2 2 2 8 9 4 5 24 25 27 26 29 2 28 6 7 9 8 22 2 2 2 9 a szimmetriatengelyre vonatkoztatott tükrözés miatt szomszédja a -nak. 67 (baloldali) él tábla szélei érintkeznek (a belsı is!) így adódik helyesen a 2 mint szomszéd. 68 GYFÜGGİ KRNUGH TÁL SZOMSZÉOSSÁGI VISZONYOK 2 6 7 5 4 8 9 4 5 24 25 27 26 29 2 28 6 7 9 8 22 2 2 2 69 7 ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY SÍK TRÍTTT KRNUGH TÁLÁN módszert a már ismert és elızıleg két négyváltozós Karnaugh tábla segítségével minimalizált, kanonikus alakjával adott üggvénnyel illusztráljuk: F() = 5 Σ (,4,5,,,4,6,2,2,24,25,26,27,) 7 MINIMLIZÁLÁS SÍKLI K-TÁLÁN Könnyen elismerhetı az 5 négyes hurok Redundáns prímimplikáns F() = + + + + 72
HT VÁLTOZÓ KRNUGH TÁLÁKON KRNUGH TÁL HT VÁLTOZÓR Hat változó esetében a üggvény ábrázolásához négy négyváltozós Karnaugh tábla szükséges. hat változóból kettınek az értékét kell rögzítettnek venni egy-egy táblán. 7 74 SZOMSZÉOSSÁGI VISZONYOK KRNUGH MP FOR 6-VRILS 75 Three dimensional arrangement o 6 variable K map 76 HT VÁLTOZÓS MINIMLIZÁLÁS MINIMLIZÁLÁS HT VÁLTOZÓR 77 F(,,,,) = Σ6 (,2,6,9,4,8,2,2,25,27,2,4,4,49,5,55,57,6,62) 78