SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 4. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, eg. ts.) IV. eőadás. Közeítő megodások, energiaevek:.4. Ritz-módszer,.4.. Lineáris aroimáció (esőfokú közeítés) Tekintsük ismét a húzott-nomott rúd feadatot, és keressük a feadat közeítő megodását az aábbi aakban:. Eenőrizzük, hog ezen u C C kinematikaiag ehetséges-e. Emékeztető: Kinematikaiag ehetséges emozás mező: az az u C C fetéteezett megodás u emozás mező, ame fotonos, eegendően sokszor differenciáható és kieégíti a kinematikai eremfetétet. Ezen definíció aaján az eső feadatra tejesünie ke az aábbi egenetnek. A kinematikai eremfetéte: u, azaz C C C. Azaz az u C C egenet csak akkor tejesü, ha C, azaz a kinematikaiag ehetséges emozás a következő aakú: u C. A deriváhatóság fetétee C is tejesü, tehát megáaíthatjuk, hog az d u C aakú közeítő emozás kinematikaiag ehetséges. Az u C kéeteket beheettesítve az C d u AE d u fd Fu d aakvátozási energia küső erők virtuáis munkája funkcionába, u C AE C d C f d F C a kifejezést kajuk. Egvátozós függvén szésőértéke: Szükséges fetéte: a függvén eső derivátja az adott heen nua egen.
Eégséges fetéte: a függvén második derivátjának eőjee nem vátozhat (ez mindig tejesüni fog). Azaz akkor esz a otenciáis energiának szésőértéke, ha min C d AECd fd F dc A kijeöt integráást evégezve és az ismereten aramétert kifejezve: AEC d f d F AEC f F / : / : AE f F f F C AE AE AE f F u C AE u f F f f F u AE AE AE u C AE AE AE f F f F u u u. ábra: Emozás függvén ábrázoása egzakt és közeítő megodás esetén N F f N F N F f F f f N N AE F F f d N F N F f N F Ha összevetjük a közeítő megodásokat a megfeeő egzakt megodásokka akkor vaóban mind a két esetben éneges etérés mutatkozik. A közeítő megodás minősítéséhez definiánunk ke a hiba fogamát. A megodás hibája: az egzakt és a közeítő megodás közötti küönbség. def e u u, egzakt
aho e a hiba, ame -nek a függvéne. Gakorati számításokhoz a hiba energia normáját szokás akamazni, ame tuajdonkéen a hibafüggvénbő számot aakvátozási energia ( ) második variáció négzetgöke. d de e : AE u d AE u u E d d aho, a norma jee, és a norma je E indee az energia fogaomra uta. A hiba ineáris aroimáció esetén: def e u u = egzakt f F f F f f f e AE AE AE AE AE Ezen hiba függvént megvizsgáva átható, hog a hiba zérustó küönböző f megoszó erő esetén jeentkezik, de a rúd végén heettesítésné az emozás hibája zérus. Megáaítható, hog a rúd végei az emozás kiértékeése szemontjábó otimáis ontok. A hiba függvén derivátja az aakvátozás hibáját adja: de f f f d AE AE AE A rúd közeén az heettesítésné az aakvátozás hibája zérus, azaz az aakvátozásbó számot rúderő ebben a ontban ontos. A feadatban a rúderő otimáis kiértékeési hee a rúd feező ontja. Az energia norma szerint értemezett hiba: 3 3 3 3 f f f f e : AE E A E AE 3 AE 4 4 4AE A végeseem rogramok a megodás hibáját szintén energia normában adják meg. Fevetődik a kérdés, hog hogan vátozik a megodás ontossága az aroimáció fokszámának növeésekor? A következő édában az emozást kvadratikus függvénne közeítjük..4.. Kvadratikus aroimáció Tekintsük ismét a húzott-nomott rúd feadatot, és keressük a feadat közeítő megodását az aábbi aakban:. Eenőrizzük, hog ezen u C C C u C C C megodás kinematikaiag ehetséges-e. A kinematikai eremfetéte:. fetéteezett u C C C C csak akkor tejesü, ha C, azaz u C C
A deriváhatóság fetétee C C d kinematikaiag ehetséges. u C C aakja is tejesü, tehát az emozás u C C d C C kéeteket beheettesítve az u AE d u fd Fu d aakvátozási energia küső erők virtuáis munkája funkcionába, a u AE C C d C C fd F C C C, C kifejezést kajuk. Kétvátozós függvén szésőértéke: Minimum fetéteei: C, C min., ha C, C AE C C d fd F C AE C C d fd F C A kijeöt integráásokat evégezve: AEC d AEC d f d F AEC d 4AEC d f d F Átaakításokat végezve, AEC AE C f F / : 3 4 3 f AE C AE C F / : 3 3 vaamint az ismereten aramétereket kifejezve: AEC AEC f F 4 f AEC AEC F 3 3 az. egenetbő kivonva a. egenetet.
f AEC f C Visszaheettesítve az. egenetbe. 3 6 AE f f F f F C. AE AE A közeítő megodás: f f F Az emozás: u AE AE N F f f A rúderő: Ha összevetjük ezen közeítő megodásokat az egzakt megodásokka,akkor átható, f F f, A E AE u f F f N AE AE f F f, d A E AE hog megegeznek. Amint azt a két küönböző aroimáció akamazásáná áttuk (ásd következő ábrák) a közeítő megodás ontossága növeésének egik ehetséges útja az aroimáció fokának növeése. A továbbiakban eg másik utat tanumánozunk, amikor is a tartománt résztartománokra bontjuk, és ezeken a résztartománokon az ismereten emozás mezőt küön-küön okáisan közeítjük. Ezt abban a reménben tesszük, hog a számítás ontossága a résztartománok számának növeéséve szintén növehető. A résztartománokat véges méretű eemeknek, tömören végeseemeknek fogjuk nevezni. A résztartománok (eemek) határain edig csomóontokat jeöünk ki és az aroimációt a közeítendő mező csomóonti értékein keresztü fejezzük ki. A javasot módszer eőne, hog können rogramozható és íg bonout szerkezetek nagontosságú eemzésére níik ehetőség. Az egzakt, kvadratikus emozást és a ineáris közeítő emozást, vaamint a megfeeő rúderő megodásokat a következő ábrák szemétetik. u u egzakt u ineáris. ábra: Emozások
N N egzakt N ineáris. ábra: Rúderők F.4.3. Pédák virtuáis munka meghatározására az u emozás mező függvénében k W f u d F u f F W f u d F u k F f f F k W f u d F u f k W f u d F u F
f F k W f u d F u f F W f u d F u k f F W f u d F u k f F W f u d F u k.4.4. Pédák Ritz-módszer és ineáris, majd kvadratikus aroimáció akamazására, vaamint az esőfokú közeítéshez tartozó hiba energianormájának számítására. éda: Megodás ineáris aroimációva: f F Tekintsük ismét a húzott-nomott rúd feadatot, és keressük a feadat közeítő megodását az aábbi aakban:. Eenőrizzük, hog ezen u C C kinematikaiag ehetséges-e. u C C fetéteezett megodás
A kinematikai eremfetéte: u, azaz C C C. Azaz az u C C egenet csak akkor tejesü, ha C, azaz a kinematikaiag ehetséges emozás a következő aakú: u C. A deriváhatóság fetétee C is tejesü, tehát megáaíthatjuk, hog az d u C aakú közeítő emozás kinematikaiag ehetséges. Az u C kéeteket beheettesítve az C d u AE d u fd Fu d aakvátozási energia küső erők virtuáis munkája funkcionába, u C AE C d C f d F C a kifejezést kajuk. Egvátozós függvén szésőértéke: Szükséges fetéte: a függvén eső derivátja az adott heen nua egen. Azaz akkor esz a otenciáis energiának szésőértéke, ha min C d AECd fd F dc A kijeöt integráást evégezve és az ismereten aramétert kifejezve: AEC d f d F AEC f F / : / : AE f F f F f C F AE AE AE AE f u C F AE f N AE F d Egzakt megodás (I. eőadás anag aaján): f u C C (beheettesítve) AE f F f u, A E AE
vaamint: f N A E AE C d A E (beheettesítve) f F f N AE AE f F f d AE AE Ha összevetjük a közeítő megodásokat a megfeeő egzakt megodásokka akkor vaóban mind a két esetben éneges etérés mutatkozik. A hiba ineáris aroimáció esetén: def e u u = egzakt f F f F f f F f F f f f e AE AE AE AE AE AE AE AE AE AE AE A hiba függvén derivátja az aakvátozás hibáját adja: de f f d AE AE Az energia norma szerint értemezett hiba: 3 f f f e : AE d E AE AE 4AE Megodás kvadratikus aroimáció: Keressük a feadat közeítő megodását az aábbi aakban:. Eenőrizzük, hog ezen u C C C u C C C megodás kinematikaiag ehetséges-e. A kinematikai eremfetéte:. fetéteezett u C C C C csak akkor tejesü, ha C, azaz u C C A deriváhatóság fetétee C C d kinematikaiag ehetséges. u C C aakja is tejesü, tehát az emozás u C C d C C kéeteket beheettesítve az u AE d u fd Fu d aakvátozási energia küső erők virtuáis munkája funkcionába,
a u AE C C d C C fd F C C C, C kifejezést kajuk. Kétvátozós függvén szésőértéke: Minimum fetéteei: C, C min., ha C, C AE C C d fd F C AE C C d fd F C A kijeöt integráásokat evégezve: AEC d AEC d f d F AEC d 4AEC d f d F Átaakításokat végezve, AEC AE C f F / : 3 4 3 f AE C AE C F / : 3 3 vaamint az ismereten aramétereket kifejezve: AEC AEC f F az. egenetbő kivonva a. egenetet. 4 f AEC AEC F 3 3 f AEC f C Visszaheettesítve az. egenetbe. 3 6 AE F f C. AE A közeítő megodás: F f f Az emozás: u AE AE f A rúderő: N F f AE Ha összevetjük ezen közeítő megodásokat az egzakt megodásokka,akkor átható, hog megegeznek: f F f A E AE u
f F f N AE AE f F f d AE AE