Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA

Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA Kijelentő mondatokhoz, melyeket nagy betűkkel jelölünk, interpretáció (egy függvény) segítségével igazságértéket rendelünk (I,H). Szintaxisból (nyelvtani szabályok, kapcsolódási sorrend) és szemantikából (tartalom, jelentés, kiértékelési szabályok) áll. Szintaxis: - jelkészlet: ábécé nagybetűi, görög ábécé kisbetűi, összekötők ( Egy összekötő lehet infix, prefix, postfix - formulaképzés szabályai: atomi formula egy ítéletváltozó (A, B) * az atomi formulák formulák * Ha formula, akkor is formula * az előző kettő véges sokszor alkalmazható Szemantika: A jelkészlet elemeit értelmezzük. A betűk az ún. ítéletváltozók. Nevüket az indokolja, hogy a köznapi nyelv kijelentő mondatainak, kijelentéseinek felelnek meg. A klasszikus logikában csak olyan kijelentésekre gondolunk, amelyek igaz vagy hamis volta egyértelműen eldönthető. Ezáltal egyfajta ítéletet képviselnek e mondatok. Változók pedig azért, mert az eredeti kijelentés tartalmától függetlenül, csakis annak igazságértékeit vehetik fel: az igaz, vagy a hamis értékek valamelyikét. Az igazságértékek tehát az ítéletváltozók lehetséges értékei, jelöljük ezek a halmazát I-vel. I csak a klasszikus logikában kételemű halmaz. Azt a függvényt, amely a betűkkel jelölt változókhoz hozzárendeli a lehetséges igazságértékek valamelyikét, interpretációnak hívjuk. (Az interpretációk az igazságtábla atomokat tartalmazó oszlopaiban találhatók, ezen oszlopok minden egyes sora egy interpretáció.) Praktikus, ha az I és H betűt kiemeljük a betűk közül, és rögzítjük igazságértéküket - ezáltal e betűk nem ítéletváltozók, hanem ítéletkonstansok lesznek. Az I betű igazságértéke minden interpretációban legyen igaz, a H betű igazságértéke minden interpretációban legyen hamis. A többi ítéletváltozó esetében az igazságérték az interpretációtól függ. A zárójelek értelmezése és használata a matematikában szokásos módon történik: lényegében a műveletek kiértékelési sorrendjét tudjuk általuk meghatározni. A,, jelek az igazságértékeken értelmezett műveleteknek felelnek meg. E műveletek közül csak az egy-, és kétváltozós műveletek közül néhánynak van gyakorlati jelentősége. A műveletek definícióját szokás kiértékelésnek, kiértékelési szabálynak is nevezni. A kiértékelés az igazságtábla eredménynek megfelelő oszlopában van. Egy kis elmélet (ismétlés): Disztributív szabály: (A B) C (A B) (A C) (A B) C (A B) (A C) De Morgan azonosságok: (A B) A B (A B) A B Elnyelési szabály: A (A B) A A (A B) A Implikáció: A B A B Tautológia: a kifejezés minden interpretációban igaz. Kontradikció: a kifejezés minden interpretációban hamis. Konjunktív normál forma (KNF): (α1 α2 αn) (β1 β2 βk) (γ1 γ2 γl) Diszjunktív normál forma (DNF): (α1 α2 αn) (β1 β2 βk) (γ1 γ2 γl) Modus ponens: (α, α β) =0 β (α, α β) =0 β 1

Kiértékelések 1.) Add meg az ((A B) C) (A B) formula kiértékelését minden interpretációban! A B C ((A B) C) (A B) I I I I I H H H I I H I H I H H I H I I I I I I I H H I H I I I H I I I I H H H H I H I H I H H H H I H H I H I H H H H H I H I 2.) Add meg az (A B) (A B) formula kiértékelését minden interpretációban! A B (A B) (A B) I I I H H I H H H I H I I H H H H I H H 3.) Add meg az (A B) (A B) formula kiértékelését minden interpretációban! A B (A B) (A B) I I I I H I H H I I H I I I H H H I I H 4.) Add meg a ((A B) A) ((A B) A) formula kiértékelését minden interpretációban! A B ( (A B) A) ((A B) A) sorrend 3. 1. 2. 6. 4. 5. I I H I I I I I I H H H I I I I H I I I H I I H H H I I H I H H 2

5.) Add meg a (( B C) (A B)) ( A) formula kiértékelését minden interpretációban! A B C (( B C) (A B)) ( A) sorrend 1. 2. 4. 3. 6. 5. I I I H I I I H H I I H H I I I H H I H I I I I H H H I H H I H H H I H H I I H I I H I I H I H H I I H I I H H I I I I H I I H H H I H H H I I 6.) Add meg az [(A (B C)) ((B D) A)] formula kiértékelését minden interpretációban! A B C D [(A (B C)) ((B D) A)] sorrend 2. 1. 5. 3. 4. I I I I I I I I I I I I H I I H H H I I H I I I I I I I I H H I I H H H I H I I I I I I I I H I H I I I I I I H H I H H H I I I H H H H H H I I H I I I I I H I H H I I H I I H H H H I H I I I H I H H I H H I I H H H H H I I I I H I H H H I H I I H I H H H H I I H H I H H H H H I H H I H 7.) Add meg az [(A (B C)) (B D) A] ( C D) formula kiértékelését minden interpretációban! Az előző feladatban láthattuk, hogy egy ilyen, négyváltozós mondat kiértékelése igazságtáblával már összetett feladat. Nézzük meg, hogyan állhatunk még neki! A fenti mondat csak akkor hamis, ha az implikáció első fele igaz, második pedig hamis. A második rész szintén egy implikáció, tehát akkor igaz, ha D hamis, C pedig igaz, tehát C hamis. A nagy implikáció első felének három tagja éssel van összekötve, tehát ahhoz, hogy igaz legyen, mindháromnak igaznak kell lennie: A igaz. Az első tagnak, implikációnak, is igaznak kell lennie. Mivel A igaz, (B C)-nek is igaznak kell lennie. Mivel C hamis, B-nek igaznak kell lennie. De ha B igaz és D hamis, a második implikáció hamis, nem lehet a nagy implikáció első fele igaz. Tehát a mondat nem lehet hamis!, a mondat minden interpretációban igaz! (Természetesen igazságtáblával is bebizonyíthatjuk!) 3

8.) Add meg {[(A B) C] [D (C B)]} (D B) formula kiértékelését minden interpretációban! Ahhoz, hogy hamis legyen, { } igaz, (D B) hamis. Ehhez (D B) igaz, azaz D igaz, B hamis. { } igaz, akkor a benne levő és mindkét tagja igaz, a második implikáció akkor igaz (mivel D igaz), ha (C B) is igaz. B hamis, ezért C-nek is hamisnak kell lennie. Az első implikációt nézve, mivel C hamis, (A B)-nek is hamisnak kell lennie. B hamis, ezért A igaz. Tehát a formula csak akkor hamis, ha A=I; B=H; C=H; D=I. Igazságtáblával: A B C D {[(A B) C] [D (C B)]} (D B) sorrend 1. 2. 5. 4. 3. 8. 7. 6. I I I I I I I I I I I H I I I H I I I I I I I H I I H I I H H I I I I H I I H H I H H I I I I H I H I I H I H H H I H I I H I H H I I I H I I H I H H I H I I I I H H I I H H H H I I I I I I H H I I I I I I I I I I H H I I H I I I I I I I H H I H I I H H I I I I H H I H H I H H I I I I H H H I I I I H H H I H I H H I H I I I I H I I H H H H I I H H I I I H I H H H H I H H I I I I H 9.) Add meg {[(A B) B] C} (A B) formula kiértékelését minden interpretációban! Ahhoz, hogy hamis legyen az implikáció, (A B)-nek hamisnak, {..}-nak igaznak kell lennie. (A B)-nek igaznak kell lennie, tehát A és B is igaz. Mivel A és B is igaz, [(A B) B] is igaz, C-nek is annak kell lennie, hogy a nagy implikáció hamis legyen. Tehát a formula csak akkor hamis, ha mindhárom változó igaz. A B C {[(A B) B] C} (A B) sorrend 1. 2. 3. 6. 5. 4. I I I I I I H H I I I H I I H I H I I H I I H I I I H I H H I H I I I H H I I I I I I I H H I H I I H I I H H H I H H I I I H H H H H H I I I H 4

10.) Add meg a [(A B) (B C)] [(A C) B] formula kiértékelését minden interpretációban! A B C [(A B) (B C)] [(A C) B] sorrend 1. 3. 2. 6. 4. 5. I I I I I I I I I I I H I I I I I I I H I I I I H I H I H H I H H I I H H I I I I I I I I H I H I I I I H I H H I H H I I I H H H H H H H I H I 5

Bizonyítsuk a következő ekvivalenciákat! 11.) De Morgan-azonosságok a.) A B I I H I H I H I H I H I I H I H H I H I b.) A B I I H I H I H H I H H I H I H H H I H I 12.) Disztributív szabályok a.) A A B C A I I I I I I I I I I H I I I I H I H I I I H I I I H H H H H H H H I I H I H H H H I H H I H H H H H I H I H H H H H H H H H H H 13.) b.) A A B C A I I I I I I I I I I H I H I I I I H I I H I I I I H H I H I I I H I I I I I I I H I H H H I H H H H I H H H H I H H H H H H H H A B I I I I I H H H H I I I H H I I 6

14.) A B I I H H I I H I I H H I H H I H H H H I Ha alkalmazzuk a de Morgan- és az implikációra való azonosságot, szintén beláthatjuk az ekvivalenciát. 15.) A B I I I I I I I H I I H H H I H I I I H H H H I I 16.) A B sorrend 1. 4. 3. 2. 5. 7. 6. I I I H H I H H H I H I I I H I I H H I I I I H H I I H H H H I H H H H 17.) A B C sorrend 3. 2. 1. 7. 4. 6. 5. I I I I I I I I I I I I H I I H I I I I I H I I I I I I I I I H H H H H H I H H H I I I I H I I I I H I H I I H I I I I H H I I H H I H H I H H H I H H I H H H Ha alkalmazzuk az implikációra való azonosságot és a disztributív szabályokat, szintén beláthatjuk az ekvivalenciát. 7

18.) A B C sorrend 3. 1. 2. 4. 6. 5. I I I H I I H H H I I H H H I H H H I H I H H I H H H I H H H H I H H H H I I H I I H H H H I H I H H H I I H H I I H H I I H H H H I H H I I I Ha alkalmazzuk a de Morgan-azonosságot és a disztributív szabályt, szintén megmutathatjuk az ekvivalenciát. 19.) (A B) (A B) ((A B) A) ((A B) A) A B (A B) (A B) ( (A B) A) ((A B) A) sorrend 1. 3. 2. 6. 4. 5. 9. 7. 8. I I I I H H I I I I I I H H I I H H I I I I H I I I H I I H I I H H H I I H I I H I H H 20.) A B C sorrend 3. 4. 2. 1. 5. 7. 6. I I I H I I I I I I I I H H I I I I I I I H I H I H I I I I I H H H I H H I I I H I I I I I I I I I H I H I I I I I I I H H I I H H I H H I H H H I H H H H H H 8

Formalizálás 21.) A világon nincs jó és rossz. Egy dolog van, a hatalom, és azt a gyöngék nem tudják megszerezni. J: a világon van jó R: a világon van rossz H: egydolog van, hatalom G: a gyöngék nem tudják megszerezni J R 22.) Van egy pont, egy végső pont, amikor a rendszerünk ellenünk fordul, amikor a szabályok már nem szolgálnak minket, hanem megbéklyóznak, és a rosszak kezébe adnak fegyvert. R: a rendszerünk ellenünk fordul S:a szabályok szolgálnak minket M: a szabályok megbéklyóznak F: a rosszak kezébe adnak fegyvert. Van egy pont, egy végső pont, amikor R ( S M) F. 23.) Ha itt lennél velem, és fognád a két kezem, nem engednélek L: ha itt lennél velem F: fognád a két kezem E: elengednélek L 24.) megfogyva bár, de törve nem, él nemzet e hazán M: megfogyva él nemzet e hazán T: törve él nemzet e hazán M 25.) Háború nélkül nincs béke. 26.) Csak akkor nem vagy magányos az életben, ha jó ügyet védesz. J: jó ügyet védesz M: magányos vagy az életben J 9

27.) Nos, ha legelső vagy, (...) akkor nem vagy az egyetlen; ha pedig az egyetlen vagy, nem vagy a legelső. L: legelső vagy E: egyetlen vagy (L ) 28.) Az unalom öl, vagy ha nem, hát megnyomorítja áldozatait, vagy ha azt sem, akkor piócaként szívja a vérüket, és sápadtan, bárgyún hagyja búslakodni őket. Ö: az unalom öl M: megnyomorítja áldozatait P: piócaként szívja a vérünket B: sápadtan, bárgyún hagyja búslakodni őket 29.) Választás nélkül nincs szabadság. Szabadság nélkül nincs igaz szerelem. V:választás S: szabadság SZ: szerelem 30.) Matematika nélkül ma már nincs filozófia; filozófia nélkül nincs költészet, irodalom. I: irodalom K: költészet F: filozófia M: matematika ((K *) Formalizáljuk a következő mondatokat! Ödön vagy Jakab otthon van, de nincs otthon mind a kettő. megoldás: [(Ödön othon van) (Jakab otthon van)] [(Ödön otthon van) (Jakab otthon van)] Ha nem esik az eső, de süt a nap, vagy a szél fúj, akkor elindulunk és szerencsésen megérkezünk; vagy megváltozik az idő, és tábort verünk, vagy visszafordulunk. megoldás: [( (esik az eső) ((süt a nap) (fúj a szél))) ((elindulunk) (szerencsésen megérkezünk))] ((megváltozik az idő) ((tábort verünk) (visszafordulunk))) Szivárványt csak akkor láthatunk, ha a nap is süt, és az eső is esik, és nincsen dél. megoldás: (szivárványt látok) ((süt a nap) (esik az eső) (dél van)) 10

Következtetési sémák Def.: Modellelméleti vagy szemantikus következményfogalom: Azt mondjuk, hogy az {α1, α2,,αn} formulahalmaz következménye a β formula, ha minden olyan interpretációban, amelyben az α1, α2, αn formulák igazak, β is igaz. 31.) Bizonyítsd a modus ponens helyességét! Ahol igaz, I I I I I I H H H H H I I H I H H I H H 32.) Bizonyítsd a modus tollens helyességét! I I I H H I H H H H H I I H I H H I I I 33.) Bizonyítsd a hipotetikus szillogizmus helyességét! I I I I I I I I I H I H H H I H I H H I I I H H H H I H H I I I I I I H I H I H H I H H I I I I I H H H I I I I 34.) Bizonyítsd a modus tollendo ponens / diszjunktív szillogizmus helyességét! I I I H I I H I I I H I I H H H H H H H 11

35.) Bizonyítsd az indirekt bizonyítás helyességét! I I I I I I H I H I H I H H H H H I H H 36.) Helyes-e ez a következtetési séma? I I I I I I I I I H I H H H I H I H H I I I H H H H I H H I I I I I I H I H I H H I H H I I I I I H H H I I I I 37.) Helyes-e a következtetés? Ma olvasni vagy kirándulni fogok. Nem olvasok. Tehát kirándulok. Ez helyes következtetési séma (34. feladat). 38.) Helyes-e a következtetés? Matematika nélkül ma már nincs filozófia; filozófia nélkül nincs költészet, irodalom. Tehát matematika nélkül nincs költészet. Ez helyes következtetési séma (33. feladat) 39.) Helyes-e a következtetés? Ha lázas vagyok, fájnak a kezeim. Nem fájnak a kezeim. Tehát nem vagyok lázas. L F I I I H H I H H H H H I I H I H H I I I 12

40.) Helyes-e a következtetés? Ma csirkét vagy disznót eszünk. Ha csirkét eszünk, fehérbort iszunk. Ha disznót eszünk, vörösbort iszunk. Tehát ma vörös vagy fehérbort iszunk. CS D F V I I I I I I I I I I I I I H I I I I H I I I H I I H H H I I I I H H I H H H H H I H I I I I I I I I I H I H I I I I I I I H H I I H H H I I I H H H I H H H I H H I I I I I I I I I H I I H I I I H H I H I H I I I I I I I H I H H I I I H H H H H I I H H I H I I H H I H H H I H I I H H H I H H I H I I H H H H H H I H I H 13

Konjunktív normál forma Ezeknél a feladatoknál a de Morgan-azonosságokat, disztributív szabályokat és az implikációra vonatkozó azonosságot használjuk. A következő feladatokban hozzunk konjunktív normál formára! 41.) 42.) 43.) 44.) 45.) 46.) 47.) ( ( 14

48.) 49.) 50.) 15

Rezolúció A konjunktív normál formát és a következtetési sémát fogjuk használni. Előadáson bizonyítottuk, hogy akkor és csak akkor igaz, ha tautológia. Ha ez tautológia, akkor ennek tagadása kontradikció. Tehát azt bizonyítjuk, hogy kontradikció, azaz sohasem igaz. 51.) Adott {P1, P1 Q1, Q1 Q2}=AB (formulahalmaz) Kérdés: Q2 következmény-e? Megoldás: {P1, P1 Q1, Q1 Q2 } a feltételek halmaza, mindegyiket KNF-re kell hozni: AB={ P1, P1 Q1, Q1 Q2} W= Q2, tagadása: Q2 (tagadás indirekt feltevés) Fentiek értelmében azt kell belátni, hogy az AB { Q3 }formulahalmaz elemeinek nincsen modellje, nincsen olyan interpretáció, amelyben igaz lehetne. P1 (nullklóz) P1 Q1 P1 Q1 Q2 Q1 Q2 52.) Példa: Igazoljuk, hogy az alábbi ϕ formula tautológia! ϕ=[(a B) [(C A) (C B)]] Megoldás: ϕ akkor és csak akkor tautológia, ha ϕ kielégíthetetlen ϕ-t KNF-re írjuk át. ϕ = [(A B) [(C A) (C B)]] ( A B) (C A) ( C) ( B) C B A B B C A C B 16

54.) Bizonyítsd rezolúcióval, hogy a formula tautológia! (A B) (A B) Tagadjuk le az állítást, majd hozzuk KNF-re, ezután levezethetjük a rezolúciót. 55.) Bizonyítsd rezolúcióval, hogy a formula kontradikció! (A B) (A B) Hozzuk KNF-re, majd vezessük le a kontradikciót! 56.) Bizonyítsd rezolúcióval a következtetés helyességét! - A kertben kutya, macska, vagy rigó lakhat, de egyikük biztosan. - Rigó és macska nem lakik egy kertben. - A kertben négylábú biztos lakik. - A kertben lakik rigó. Következmény: A kertben kutya és rigó lakik. Hozzuk KNF-re! 57.) Bizonyítsd rezolúcióval a következtetés helyességét! - Ha barackot eszek, nem iszok kávét. - Ha kávét iszok, mindig eszek süteményt vagy fagyit. - Ma ettem barackot vagy fagyit. - Ha eszek barackot, eszek sütit. - Ma ittam kávét. K Következmény: ma kávét ittam fagyival. 17

F K 58.) Bizonyítsd rezolúcióval a következtetés helyességét! 59.) Bizonyítsd be rezolúcióval, hogy a következő formula tautológia! 60.) Bizonyítsd rezolúcióval a következtetés helyességét! Az elmélet és egyéb feladatok forrásai: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/logika1.pdf https://wiki.itk.ppke.hu/twiki/pub/ppke/diszkretmatematikaii/szig_logika_mo.pdf 18