Tartalomjegyzék. Irodalom

Ìé ÎǑÄÌÇ åë ê ÎàÆ ÆÄ Ì Ã Ê ÍÄ ÊÁÌǑËÁ ÌÍÄ Â ÇÆËǑ Á Ñ Ó ØÓÖ ÖØ Þ Â Ö ÒØ Ð Ù Ô Ø ÄÌ ½

¾ Ãä ÞäÒäÑ Ä Þ ÓÚ Å Ð Ò Ò ØÙ ÓÐ ÓÞ ØÓÑ ÓÔÔÓÒ Ò Ò Ú Ð Ø Ø ÞÖ Ú Ø Ð Øº A szedés az AMS-TEX Járai Zoltán és a szerző által írt magyar változatával készült.

Tartalomjegyzék Áº Előismeretek ½º Ú Þ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º  ÐäÐ Ø ÖÑ ÒÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁº Steinhaus-típusú tételek º ËØ Ò Ù Ø Ø Ð Ò ÐØ Ð ÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º È Ö Ø Ø Ð Ò ÐØ Ð ÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º ÁÁÁº Megoldások korlátossága és folytonossága º Å Ö Øã ÓÖÐ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÖÐ ØÓ Ñ Ö Øã Ñ ÓÐ Ó ÓÐÝØÓÒÓ º º º º º º º º º ½ º Å ÞÙÖ Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å Ö Øã ÓÐÝØÓÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Å Ö Øã Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ Ñ ÓÐ Ó ÓÐÝØÓÒÓ º º º º ½¼º Ö ¹ØÙÐ ÓÒ ÓÐÝØÓÒÓ º º º º º º º º º º º º º º Áκ Differenciálhatóság és analitikusság ½½º ÓÐÝØÓÒÓ ÐÓ Ð Ä Ô ØÞ ØÙÐ ÓÒ º º º º º º º º º ½¾º ÀäÐ Ö¹ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ÓÐ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÃÓÖÐ ØÓ Ú ÐØÓÞ Ñ ÓÐ Ó º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ ½ º «Ö Ò Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½ º Ìä ÞäÖ «Ö Ò Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½ º Ò Ð Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ κ Regularitási tételek sokaságokon ½ º ÄÓ Ð ÐÓ Ð Ö ÙÐ Ö Ø Ø Ø Ð Ó Ó ÓÒ º º º º º º ½½ ÎÁº Regularitási tételek kevesebb változóval ½ º Ñ Ö Øã ÓÐÝØÓÒÓ äþäøø º º º º º º º º º º º º ½ º Ö ¹ØÙÐ ÓÒ ÓÐÝØÓÒÓ äþäøø º º º º º º º º º ¾¼º ÓÐÝØÓÒÓ «Ö Ò Ð Ø äþäøø º º º º º º º º º ÎÁÁº Alkalmazások ½¾ ½ ½ ¾½º Ý Þ Öæ Ð ÐÑ Þ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾¾º Ö Ð Ø¹ ÐÓ ÞÐ ÐÐ ÑÞ º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ¾ º Ï Ö ØÖ ¹ Ð Þ Ñ ¹ Ú ÒÝ ÐÐ ÑÞ º º º º º º º º ½ Irodalom....................... 243

I. Előismeretek Þ ÖØ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ö ÙÐ Ö Ø ØÙÐ ÓÒ Ú Ð Ó Ð Ð¹ ÓÞ º Ý Ö Ø Ó Ð ÐÚ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Ø Ö Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Øä Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ö ÙÐ Ö Ø Ú Ð Ô ÓÐ Ø Ò ÓÖ Ò Ð¹ ÖØ Ò ØÙ Þ ÖØ Ñ Ò Þ Ö ÔÐã Ö Ñ ÒÝ Ñ Ø Ñ ÐÝ Ð Ô¹ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝÓ Å Òã Øã ÞÓØØ Þ Ñ Ó ØÓÖ ÖØ Þ ¹ ÒÝ Ø Ðã ÖØ Ú Ö ÓÞ ã Ð Ð ÐÑ ÒØ Øص Ú Ð Ñ ÒØ Þ Þ Ø Ò Ø Ñ Ò Ð ÖØ Ö Ñ ÒÝ Ñ Øº ËÞ ÑÓ Ð ÐÑ Þ Ø Ø Ö Ý Ðº Ò ¹ ØÙ Þ ÖØ Ñ Ò Ò Ñ Þ Ö ÔÐã Ö Ñ ÒÝ Þ ½º º º º ½¼º ½½º ½¾º ½ º ½ º ½ º ½ º ½ º ¾¼º ¾½º ¾¾º ¾ º Ô Ö Ö Ù Ó Ò Ø Ð Ð ¹ Ø Þ Ò Ô Ö Ö Ù Ó Ò Ý Ö Þ Ø Ð Ò º Ò ØÙ Þ ÖØ Ñ Ð ÒØã Ö Þ Ø Ô Þã À Ö¹Ñ ÖØ ÒÚ Ö Ò Ø Ö ÞØ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞ Ö Ñ ÒÝ Ø Ö Ô ÓÐ Ò Ø Ñ äö äþ ØØ ä Þ Ó Ð ÐÓѺ Þ ÖØ ÒÝ Ð ÒÝ Ò Ñ Ý Þ Ø Ñ äö ãð Ø ÖÚ Þ ØØ äòý¹ Ú Ñ ÒÝ Ú Ð Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ Ó Ö Ñ ÒÝ Ò Ø Ö Ý Ð Øº Ú Þ Ø Ð ÒÝ Ò Ø ÖÚ Þ ØØ äòýú Ú Þ Ø Ñ Ø Ð Ò Ø Ð Ö ÞÐ Ø Ý Þ ÖØ ÓÞº Å Ð Þ ÖæÒ ØæÒØ Ò ÓÖÑ Ò ÝÒ Ñ Ú Ð Ý Þ ÒÝ ØÐ ÓÐÝ ÒÓ Þ Ñ Ö ÞÒÓ Ð Ø Ø Ñ äöö Ð ÑÓ Ø Ñ Ö Ò Ò Ø Ñ äö Ò Ú ÒÒ ÓÐ ÓÞÒ º

½º Ú Þ Ø ½º Ú Þ Ø ½º½º ǑÐØ Ð ÒÓ Ñ ÝÞ Ý Þ Öæ Ô Ð º Å ÒØ Ð Ý¹ Þ Öæ Ô Ð Ø Ø ÒØ Ð Ó Ò Ñ ÖØ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ø Ù Ý¹ Ý ÒÐ Ø Ø ½µ f x yµ f xµ f yµ. ÁØØ Þ Ñ Ö ØÐ Ò Þ f Ú Òݺ ËÞ Ð ÖØ Ð Ñ Ò «Ö Ò Ð Ý ÒÐ ¹ Ø ÒØ Ö Ð Ý ÒÐ Ø Ú Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø º Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ñ ÞØ Þ Ø Þæ ÖØ Ð Ñ Ò Ó Ù ÞÒ ÐÒ ÓÐÝ Ò Ý ÒÐ ¹ Ø Ö Ñ ÐÝ Ò ÓÐÝ Ò Ò Ò Ø Þ Ñ Ð ÓÔ Ö Ñ ÒØ «Ö Ò Ð Ò¹ Ø Ö Ð Ò Ñ Þ Ö Ô ÐÒ º ÓÖÑ Ð Ò Ø ÐÐ Øã Ò Ð Þ Ð äòýú Ø ¼º½º ÒØ ½µ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø ÔÓÒØÓ Ñ ÓÞ ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ Ò¹ Ò Ú ÒÝ ÐÑ ÞÒ Ñ Ñ ÐÝÒ Ð Ñ äþäøø Ñ ÓÐ Ø Ö º Å ÐÐ ÒÙÒ ØÓÚ Þ x y Ú ÐØÓÞ ÞÓÒ x, yµ Ô Ö Ò ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ö Þ Ý ÒÐ ØÒ Ø Ð ÐÒ ÐÐ Þ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ º È Ð ÙÐ Ö Ø Ñ Ò ÞÓ Ø Þ f R R Ñ Ö Øã Ú ÒÝ Ø Ñ ÐÝ Ö ½µ ÒÒ ÐÐ Ñ Ò Ò x, yµ ¼, R¹Ö º ÇÐÝ Ò ÐØ Ø Ð Ø Ñ ÒØ Ñ Ö Øã Ö ¹ØÙÐ ÓÒ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ Ò ¹ Ò ØØ Ú Ý Ý ÔÓÒØ Ò ÓÖÐ ØÓ «Ö Ò Ð Ø Ò Ð Ø Ù Ø º Ö ÙÐ Ö Ø ÐØ Ø Ð Ò ÞÓ Ò Ú ÞÒ º Ý ÒØ Ý ÓØØ ÐÑ ÞØ Ý Ñ ÓØØ ÐÑ Þ Ð Ô Þã ä Þ Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ò Ö Ñ ÓÐ Ø ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ Óй Ø Ø ÖÓÞÞÙ Ñ º Ê Ò Þ Ö ÒØ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ú ÐØÓÞ ä Þ ÓÐÝ Ò Ô Ö Ò Ú Ý Øä Ò µ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ö Þ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ø ÓÐ Ð Ò ÐÚ Ú Òº È Ð ÙÐ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý f R R ٠ݹ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ ÓÖ ÑÔÐ Ø Ñ ÓÒ Ð ÖØ Ó Ý ½µ Ñ Ò Ò x, yµ R R¹Ö Ø Ð Ðº À Þ Ý ÒÐ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ñ Ð ãú ÐÑ Þ Ñ ÐÝÖ Ñ Ò Ø ÓÐ Ð Ò ÐÚ Ú Ò ÓÖ Þæ Ø ØØ Ö¹ Ø ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ý ÒÐ ØÖãÐ Þ Ð Ò ÐØ Ø Ð Ý ÒÐ Ø ÐÒ Ú Þ ÞÓ Ó ÐäÒä Ò Þ Ý ÒÐ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÓÐ ¹ Ú ÒÝØãÐ Ú Ý Ú ÒÝ ØãÐ º ٠ݹ Ý ÒÐ Ø Ý ØÚ ÐØÓÞ Ý ÒÐ Ø Ú ÐØÓÞ Ø ½µ¹ Ò x¹ Þ Ð y¹ò Ð ÐäÐØ º ÇÐÝ Ò Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÒØ f xµ f xµ f xµ f xµ f ¾xµ f xµ ¾ Ú Ý Ô Ð ÙÐ «Ö Ò Ý ÒÐ Ø ÝÚ Ð¹ ØÓÞ Ý ÒÐ Ø Ò Ò Ú Þ Ò º Þ Þ Ý Ú ÐØÓÞ Ð Ø Ú ØÓÖ Ú ÐØÓÞ Þ Ø Ý ÖØ Ó Ý Ò Ò Øä Ú ÐØÓÞ Þ Ý ÒÐ Ø Ò Ñ ÒØ Þ Ñ ¹ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ú ÐØÓÞ Ò Þ Ñ ÐÐ ØÚ Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ú ÐØÓÞ Þ Ñ Ò Ñ Ò ÑÙÑ º Ý ÒØ Øä Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ Ý ÒÐ ØÖãÐ Þ ¹ Ð Ò º Þ Ñ ÐäÒ äþø Ø Ò ÝÓÒ ÞÒÓ Ý ÓÖÐ Ø Òº Æ Ý ÐäÒ ¹ Ú Ò Þ ÝÚ ÐØÓÞ Øä Ú ÐØÓÞ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ö ÞÒ ÐØ Ñ Þ Ö äþäøøº ÝÚ ÐØÓÞ Ý ÒÐ Ø Ð Ô ÓÐ Ø Ò ÃÙÞÑ ½½¼ ÐÐ ØÚ ÃÙÞÑ ÓÞ Û Ö ½½¾ äòýú Ö ÙØ ÐÙÒ º Þ Ý¹ Øä Ú ÐØÓÞ Ý ÒÐ Ø äþäøø Ñ ÐäÒ äþø Ø Ñ Ò Þ Ñ Ø Ú ÐØÓÞ Ö Ð ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝÖ Ð Ö ÙÐ Ö ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ ¹

½º Ú Þ Ø Ó Ö Ð ÑÓÒ ØÙÒ ÖØ Ð Ñ Þ Öæ Ò Ð ÐÑ Þ Ø Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ö º ÌÓÚ Ý Þ Öæ Ô Ð Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ö Ù Ý ÜÔÓÒ Ò Ð Ý ÒÐ Ø ¾µ f x yµ f xµf yµ, Ù Ý ØÚ Òݹ Ý ÒÐ Ø µ f xyµ f xµf yµ, Ù Ý ÐÓ Ö ØÑ Ù Ý ÒÐ Ø µ f xyµ f xµ f yµ. Â Ð Ñ ÖØ Ð Ò Ó Ý Ý ØÐ Ò Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Þ ÑÓ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝØ Ø ÖÑ Ò Ð Øº Þ ÐÝÞ Ø Ô Ð ÙР٠ݹ Ý ÒÐ ØØ Ð Ò Ð Øä Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝØ Ø ÖØ ÐÑ Þ È Ü Ö¹ Ý ÒÐ ØÒ Ð µ f ½ x yµ f ¾ xµ f yµ. ÒØ Ý Þ Öæ ½µß µ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÒØ Ý Þ Öæ Ô Ð Ø Ó Ù ÞÒ ÐÒ º Ê ÞÐ Ø Ú Þ Ð ØÙ Ñ Ø Ð Ð Ø Þ Ð ÐÐ ØÚ Þ Ð ÓÑ Ö ½ äòýú Òº ½º¾º Ý Þ Öæ Ô Ð Ñ Ñ ÓÐ Ó º Þ f x yµ f xµ f yµ ٠ݹ Ý ÒÐ Ø Ý f R R Ñ ÓÐ Ö Ð Ø Ý Ð Ó Ý Ò Ð Ø Ù º y x ÐÝ ØØ Ø Ð Þ f ¾xµ ¾f xµ ÝÚ ÐØÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ô Ù º Þ Ò Ð Ø Ù ÓÐÝ Ò Öã ÐØ Ø Ð Ó Ý Ñ ÒÒ Þ ÝÚ ÐØÓÞ Ý ÒÐ ØÒ Ò Ø Ð Ó Ò Ð Ø Ù Ñ ÓÐ º Þ f xµ c ¼ c ½ x... Ñ ÓÐ Ö ÞØ Ô Ù Ó Ý c ¼ ¾c ½ x c ¾ x ¾... ¾c ¼ ¾c ½ x ¾c ¾ x ¾... Þ ÓÖ Ý äöòý Þ Ø Ò Ý Ñ ÓÐ f xµ cx Ð Ø Ý Ø Ø ÞãÐ c c ½ ÓÒ Ø Ò Ðº À ÐÝ ØØ Ø ÑÙØ Ø Ó Ý Þ Ø ÒÝÐ Ñ ¹ ÓР٠ݹ Ý ÒÐ ØÒ º Ù Ý f x yµ f xµf yµ ÜÔÓÒ Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò Ø Ó Ð Ö º ç Ý Ñ ÒØ ÒØ Ô Ù Þ ÝÚ ÐØÓÞ f ¾xµ f xµ ¾ Ý ÒÐ Ø Ø f R R Ò Ð Ø Ù f xµ c ¼ c ½ x... ÓÖ ÞØ Ó Ý c ¼ ¾c ½ x c ¾ x ¾... c ¾ ¼ ¾c ¼ c ½ x ¾c ¼ c ¾ c ¾ ½µx ¾.... ÁÒÒ Ò c ¼ c ¾ ¼º Ã Ø Ð Øã Ú Òº Þ Ð ã Ó Ý c ¼ ¼ Ñ ãð äú Ø Þ Ó Ý c n ¼ Ñ Ò Ò n¹ö Ý Ó Ý f ¼º Ñ Ó Ó Ý c ¼ ½º Ò Þ Ø Ò c ½ Ø Ø ÞãÐ Ð Ø ¾ n c n n c i c n i. i ¼

½º Ú Þ Ø Ý ÒÐ Ø ãð c c ½ ÐäÐ Ð Ò Ù Ú Ð ÞØ Ô Ù Ó Ý c n c n /n º Ý Þ Ò Ð Ø Ù Ñ ÓÐ Ó f xµ n ¼ cn x n /n ÜÔ cxµ Ð º Í Ý Ò ÞÞ Ð Ñ Þ ÖÖ Ð Ñ Ô Ø Ù ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ø Ù f C C Ñ ÓÐ Ó Ø º Î Ý ÞÖ Ó Ý Þ Þ Ð Ò Ñ Þ Ö Þ ÜÔÓÒ Ò Ð Ú ÒÝ Ú Ð Ô ÓÐ ØÓ Ò Ó Ò Ó Ú ÒÝ µ Ú Þ Ø ¹ Ò ÓÐÝ Ò Ñ Ñ ÐÝ ØÚ ÒÝÓÞ Ð Ð ÔÚ Øã ØÙÐ ÓÒ Ö Ô Ðº ÈÓÒØÓ Ò Þ ÑÓØ Ú ÐØ Ù Ý¹Ø Þ ½º½º ½µß½º½º µ Ý ÒÐ Ø Ú Þ ¹ Ð Ø Ò ØÚ ÒÝ Ú ÒÝ Ú Þ Ø Ò Ð ÔÓÒØ ØÐ Ò Ó Ó Ó Ó Ø ÖÙÐÙ Ú Ó Ù ¹Ø ÖØ Ð Ö ÐÒ º Ä ØäÖØ Ò Ø Ñ ÝÞ Ø Þ Ð ÓÑ Ö ½ äòýú Ò ß ½º Óº Ì Ý Ð ÑÓ Ø Ó Ý Ø Þ Ö «Ö Ò Ð Ø f R R Ñ ÓÐ Ó¹ Ø Ö º Þ f x yµ f xµ f yµ ٠ݹ Ý ÒÐ Ø Ø Ò «Ö Ò ¹ Ð Ù Ñ Ò Ø ÓÐ ÐØ y Þ Ö Òغ Þ Ñ äð Þ Ð ã Ø ÓØ Ó ÓÐ ÐÓÒ ÞØ Ô Ù Ó Ý f x yµ f yµ x, y Rº Å ÒØ «Ö Ò ÐÚ ÑÓ Ø x Þ Ö ÒØ Ñ äð Ñ Ø ÓØ Ó ÓÐ ÐÓÒ ÞØ Ô Ù Ó Ý f x yµ ¼º ÁÒÒ Ò y ¼ ÐÝ ØØ Ø Ð Þ f xµ ¼ «Ö Ò Ð ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ô Ù º ÒÒ Þ Ý ÒÐ ØÒ Ñ Ò Ò Ñ ÓÐ f xµ c ¼ cx Ð ÓÐ c ¼, c R ÓÒ Ø Ò Ó º Î Þ ÐÝ ØØ ØÚ Þ Ö Ø Ú ÒÝ ¹ Ý ÒÐ Ø Ð Ø Ù Ó Ý c ¼ ¼ ÞØ Ô Ù Ó Ý Ø Þ Ö «Ö Ò Ð Ø Ñ ÓÐ Ó ÔÓÒØÓ Ò Þ f xµ cx Ð Ú ÒÝ º Þ Þ Ý Þ Öæ Ô Ð Ð ÑÙØ Ø Þ Ð Ñ Ñ ÓÐ Ó Ñ Ø ¹ ÖÓÞ Ö ÞÒ ÐØ ÐØ Ð ÒÓ Ñ Þ Ö Ð ÒÝ Øº Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ý Ø ¹ Ó Ø Ñ äðò ݹ Ý Ð ÐÑ «Ö Ò ÐÓÔ Ö ØÓÖÖ Ð Ú Ð Ñ Ð Ðã ÐÝ ØØ Ø Ð Ý «Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø ÔÒ º Ê Ò Þ Ö ÒØ Ð ÐÑ ¹ ÐÝ ØØ Ø Ú Ý Þ Ý ÒÐ Ø ÞÓÒÝÓ Þ ÑÑ ØÖ Ò Ð ÞÒ Ð Ð Ó¹ ÒÝ Ó «Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ö Ñ ÒÝ Þº È Ð ÙÐ Þ f x yµ f yµ Ý ÒÐ Ø ãð y ¼ ÐÝ ØØ Ø Ð ÞÓÒÒ Ð ÞØ Ô Ù Ó Ý f xµ c c f ¼µ ÓÒ Ø Ò Ð Ñ Ý Ð ãö Ò æ «Ö Ò Ð Ý ÒРغ Ù Ý ÜÔÓ¹ Ò Ò Ð Ý ÒÐ Ø f x yµ f xµf yµ Ø Ò ÓÒÐ Ò Ô Ù Ó Ý f x yµ f xµf yµ y ¼ ÐÝ ØØ Ø Ð Ó Ý f xµ cf xµ ÓÐ c f ¼µº Î Ý ÞÖ Ó Ý Ñ Ò Ø Ø Ò Þ Ý Þ Ö «Ö Ò Ð Ø Ñ Óй Ó Ù Ý Ò ÞÓ Ñ ÒØ Þ Ò Ð Ø Ù Ñ ÓÐ Ó º ½º º Ý Þ Öæ Ô Ð Ö ÙÐ Ö Ø ØÙÐ ÓÒ Ó º ÀÓ Ý Ò Ô¹ Ø Ù Ñ ÒØ Ô Ð Ù Ý¹ Ý ÒÐ Ø ÐÐ ØÚ Ù Ý ÜÔÓÒ Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ò Ú Ð Ý Ò Ö ÙÐ Ö Ø ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ Ñ ÓÐ Ó¹ Ø Ý ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÒÒ Þ Ó Ý Ñ ÑÙØ Ø Ù Ý Ò Ö ÙÐ Ö ¹ Ø ÐØ Ø Ð ãð Ô Ð ÙÐ ÓÐÝØÓÒÓ Ð Ú Ý Ñ Ö Øã ãð Ú Ð Öã Ö ÙÐ Ö Ø ÐØ Ø Ð äú Ø ÞÒ Ô Ð ÙÐ Ñ ÓÐ Ó «Ö Ò Ð Ø Ú Ý Ò Ð Ø Ù º È Ð ÙÐ Ý Ð Ñ Ó Ý Ñ Ò Ø ÒØ Ø Ò Ñ ¹ ÓÐ Ó Ö ÔÓØØ «Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ãð äú Ø Þ Ó Ý Ñ ÓÐ Ó Ò ¹ Ð Ø Ù Ð Ù ÓÒÒ ½¼º º µº À f R R ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ÓÐ ÓÖ Ù Ý¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ò Ñ Ò Ø ÓÐ ÐØ ÒØ Ö ÐÚ ÔÓÞ Ø Ú Ó Þ a, b ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ð ØØ ÞØ

½º Ú Þ Ø Ô Ù Ó Ý f xµ b aµ b a f x yµ dy b Ú Þ ØÚ Þ u x y Ú ÐØÓÞ Ø ÞØ Ô Ù Ó Ý f xµ ½ x b f uµ du b a x a a f yµ dy. ½ b f yµ dy. b a a Ó ÓÐ Ð «Ö Ò Ð Ø Ý Ô Ù Ó Ý f «Ö Ò Ð Ø º À f Ø Þ Ö «Ö Ò Ð Ø Ö ÖÙÒ äú Ø ÞØ ØÒ ÓÒÐ Ó Ó Ó Ø Ð¹ ÐÑ Þ ØÙÒ Þ Ö Ø Ý ÒÐ Ø ãð x Þ Ö ÒØ «Ö Ò Ð Ð ÔÓØØ f x yµ f xµ Ý ÒÐ ØÖ Ø º Ù Ý ÜÔÓÒ Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ò f ¼ ÓÐÝØÓÒÓ f R R Ñ ÓÐ º À f y ¼ µ ¼ ÓÖ Ú Ð ÞØ ØÙÒ ÓÐÝ Ò a, b äöòý Þ Ø Ø y ¼ ¹ Ò Ñ ÐÝÖ f yµ/f y ¼ µ ½/¾ Ñ Ò Ò y a, b ¹Ö º ÁÒØ Ö ÐÚ ÞØ Ô Ù Ó Ý b b f xµ f yµ dy f x yµ dy, a a Ý b x f uµ du a x f xµ. f yµ dy b a ãð äú Ø Þ Ó Ý f «Ö Ò Ð Ø º ÁØØ ÓÒÐ Ñ ÓÒ ÓÐ Ó Ð¹ ÐÑ Þ Ø Þ Ö Ø Ý ÒÐ Ø ãð x Þ Ö ÒØ «Ö Ò Ð Ð ÔÓØØ f x yµ f xµf yµ Ý ÒÐ ØÖ ÞØ Ô Ù Ó Ý Ñ ÓÐ Ø Þ Ö «Ö Ò¹ Ð Ø Ø º ÅÓ Ø Ú Þ Ð Ù Ù Ý¹ Ý ÒÐ Ø Ý f R R Ñ Ö Øã Ñ Óй غ Ä Ý Ò a, b Ý ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÔÓÞ Ø Ú η Ó Þ Ðº Ä Ý Ò x ¼ R Ø Ø ÞãÐ º ÄÙÞ Ò Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ x ¼ a, x ¼ b ¹Ò Ð Ð η/ Ä Ù ¹Ñ ÖØ æ C ½ ÓÑÔ Ø Ö Þ ÐÑ Þ Ñ ÐÝÖ f C ½ ÓÐÝØÓÒÓ º À x x ¼ < η/ ÓÖ C ½ x ÐÑ Þ Ö Þ C a η/, b η/ й Ñ ÞÒ º Å Ú Ð C \ C ½ xµ C \ C ½ x ¼ µ Ä Ù ¹Ñ ÖØ Ð Ð η/¾ Ò Ñ Ø Ð C¹Øº Ý C ½ x ¼ µ C ½ xµ Ñ Ø Þ Ø Ò Ñ Ö º Ä Ý Ò ε > ¼ Ø Ø ÞãÐ º Å Ú Ð f C ½ Ý ÒÐ Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ú Ò ÓÐÝ Ò δ > ¼ Ñ ÐÝÖ u, u C ½ u u < δ Ø Ò f uµ f u µ < εº Ý x x ¼ < Ñ Ò{η/, δ} ÓÖ ÖÑ ÐÝ y C ½ x ¼ µ C ½ xµ¹ Þ Ð ÞØ Ô Ù Ó Ý f xµ f x ¼ µ f x yµ f x ¼ yµ f yµ f yµ < ε, Þ Þ f ÓÐÝØÓÒÓ x ¼ ¹ Òº Å Ú Ð x ¼ Ø Ø ÞãÐ ÚÓÐØ f Ñ Ò Ò ØØ ÓÐÝØÓÒÓ º Í Ý Ò Þ Ñ Þ Ö Ù Ý ÜÔÓÒ Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ð ÐÑ Þ Ø Ú Þ Ø t x y Ú ÐØÓÞ Ø x ÐÝ ØØ Þ Þ Þ Ú Ú Ð Ò f tµ f t yµf yµ Ý ÒÐ ØÖ Ø Ö Ò Øº

½º Ú Þ Ø Î Ý ÞÖ Ó Ý Þ f xyµ f xµ f yµ Ý ÒÐ ØÒ Ù Ý ÐÓ ¹ Ö ØÑ Ù Ý ÒÐ Ø Ò Ò Ò Ñ f R R Ñ ÓÐ Ñ ÒØ f ¼ Þ y ¼ ÐÝ ØØ Ø Ð äú Ø Þ º Þ f xyµ f xµf yµ Ý ÒÐ Ø Ù Ý ØÚ Òݹ Ý ÒÐ Ø Ø Ò Ú ÒÒ ÓÐÝ Ò f R R Ñ ÓÐ Ó Ñ ÐÝ Ñ Ö Øã Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ñ «Ö Ò Ð Ø Ø º Î Ð Ò Þ x x c x x c Ò x Ú ÒÝ Ñ ÓÐ Ó ÖÑ ÐÝ c R Ø Ò ¼ c ¹Ø Ý Ö Ó Ý ¼ Ñ Ò Ò c R¹Ö º ½º º À Ð ÖØ äøä ÔÖÓ Ð Ñ º À Ð ÖØ Þ ½ ¼¼¹ Æ ÑÞ Ø äþ Å ¹ Ø Ñ Ø ÃÓÒ Ö ÞÙ ÓÒ Ñ ÖØ Ø ØØ Ò Ú Þ Ø äøä ÔÖÓ Ð Ñ ¼ º Óºµ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø ÞØ Ö Þ Ó Ý ½ ÓÐÝØÓÒÓ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÓÔÓÖØ Ä ¹ Ð Ó ÐÑ Ú ÒÝ «Ö Ò Ð Ø Ò ÐØ Ø Ð Þ Ò Ð Ð Ú Þ Ð Ø Ò Þ Ñ Ö Ñ ÒÒÝ Ö ÓÞÞ Ö Øã äþ Ð ÖãÐ ¾ Ú ÓÒ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ Ð Ðã Ú ÐØÓÞ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Þ Ø ¹ Ú Ð ÓÔÓÖØ Ò Ñ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ð Ø ¹ Ø Ý Ó Ý Ò Ð Ú ÒÝ «Ö Ò Ð Ø Ð Ý Ò... º À Ð ÖØ ØÚ Ó Ý ÓÔÓÖعØÙÐ ÓÒ Ý Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ò Þã Ý ÓÐÝØ Ø Þ Ö ÐØ Ð Ò Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Þ Ð Ö ¹ Ø Ö Ð Ø Ö Ú Þ ØÒ ÒÒ Ò Ø Ñ ÐÝ Ø ãð ÐÐ Ôã Ú ÒÝ «Ö Ò Ð Ø Ò ÐØ Ø Ð Þ Ñ ÐÐ ØØ Ú Þ ÐØ º à ÐäÒä Ò Þ Abel Ç ÙÚÖ ½º ĐÓغ ½º ½º º Óºµ ÐØ Ð ÓÐÝ Ó Ð ÐÑ æ Ð Þ ÐØ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø «Ö Ò Ý ÒÐ Ø Ñ Þ ÖÓ ÐÓÑ Ò Ðã ÓÖ ÙÐ Ý ÒÐ Ø äòñ Ù Ò Ò Ñ ÑÙØ Ø Ñ ÒÝ Þ Ö Ø ÐÐ Ôã Ú ÒÝ «Ö Ò Ð Ø ¹ Ò äú Ø ÐÑ ÒÝ Ø ÞÓÒÝÓ Þ ÞØ Ò ¹ ÞÓÒÝ Ø Ó Ú Ö ¹ Þ Ñ Ø Ò äþú ØÐ Ò Ð ÓÞ Ð Ø ÓÞ Ú Þ ØØ Ó Ý Ý 1... inwieweit der Liesche Begriff der kontinuierlichen Transformationsgruppe auch ohne Annahme der Differenzierbarkeit der Funktionen unserer Untersuchung zugänglich ist. 2 es ensteht mithin die Frage, ob nicht etwa durch Einführung geeigneter neuer Verändertlicher und Parameter die Gruppe stets in eine solche übergeführt werden kann, für welche die definierenden Funktionen differenzierbar sind,.... 3 Überhaupt werden wir auf das weite und nicht uninteressante Feld der Funktionalgleichungen geführt, die bisher meist nur unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit der auftretenden Funktionen untersucht worden sind. Insbesondere die von Abel (Werke, Bd. 1, S. 1, 61, 389) mit so vielem Scharfsinn behandelten Funktionalgleichungen, die Differenzengleichungen und andere in der Literatur vorkommende Gleichungen weisen an sich nichts auf, was zur Forderung der Differenzierbarkeit der auftretenden Funktionen zwingt, und bei gewissen Existenzbeweisen in der Variationsrechnung fiel mir direkt die Aufgabe zu, aus dem Bestehen einer Differenzengleichung die Differenzierbarkeit der betrachteten Funktionen beweisen zu müssen. In allen diesen Fällen erhebt sich daher die Frage, inwieweit etwa die Aussagen, die wir im Falle der Annahme differenzierbarer Funktionen machen können, unter geeigneten Modifikationen ohne diese Voraussetzung gültig sind.

½¼ ½º Ú Þ Ø «Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ð ÐÐ Ø ÓÞ Ú Þ ÐØ Ú ÒÝ «Ö Ò ¹ Ð Ø Ø ÐÐ ØØ ÞÓÒÝ Ø Ò º Å Ò Þ Ò Þ Ø Ò Þ ÖØ ÐÑ Ö Ð Ö Ñ ÒÒÝ Ò Ñ Ö Ò ÓÒÐ ÐÐ Ø Ó Ñ ÐÝ ¹ Ø Þ Ö ÔÐã Ú ÒÝ «Ö Ò Ð Ø Ò ÐØ Ø Ð Þ Ú Ð ÞÓÒÝ Ø ØÙÒ ÖÚ ÒÝ Þ Ò ÐØ Ø Ð Þ Ò Ð Ð Ñ Ð Ðã Ñ ¹ Ó Ø Ó Ñ ÐÐ Øغ À Ð ÖØ Ñ Ð ºµ ÞÙØ Ò À Ð ÖØ Þ Å Ò ÓÛ Ò Ý Þ f x yµ f xµ f yµ x, y R n Ú ÒÝ Ý ÒÐãØÐ Ò Ñ ÓÐ Ò ÞÓÒÝÓ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ Ô Ö Ð «Ö Ò Ð Ø Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö Ñ ÒÝ Ø Ñ Ñ ÝÞ Ó Ý ÞÓ¹ ÒÝÓ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ò Ô Ð ÙÐ Þ f x αµ f xµ g xµ, f x βµ f xµ ¼, Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ ÖÒ ÓÐ α, β ÓØØ Ú Ð Þ ÑÓ g Ô ÓØØ Ú Ð Ú ÒÝ Ð Ø ÓÐÝ Ò f Ñ ÓÐ Ñ ÐÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ñ «Ö Ò¹ Ð Ø Ñ ÓÖ g Ò Ð Ø Ù Ú Òݺ Å ÒÝ ÐÚ Ò ÞÓ À Ð ÖØ äøä ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ý Ó ÐÑ ÞÒ Ó Ý Þ¹ Ó Ý Ý ÐÓ Ð Ò Ù Ð Þ ÓÔÓÖØ Ä ¹ ÓÔÓÖØ Ä Ø Ø Ù ÞÓÒ¹ Ò Ó Ý äøä ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ó Ð Ò À Ð ÖØ Ó Ð ÐØ Ð ÒÓ¹ Ò Ó ÐÑ ÞÚ ÓÐÝ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ú Ð Ý ÐÑ Ø Ñ ÐÝ Ø Ñ Ö ÙÐ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÞÓ Ò Ú ÞÒ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ö «Ö Ò¹ Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ñ Ý ÒÐ Ø Ö Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý «Ö Ò Ð Ø ¹ ÐØ Ø Ð Ó Ð ÒÝ ÐØ Ø Ð Ð ÐÝ ØØ Ø Øã ØÐ Ñ ¹ Ð Ðã Ñ Ó Ø Ó ÙØ Òµº Þ ÓÒ ÓÐ Ø À Ð ÖØ Ø Þ Ò Ð Ò Ù Þ ¹ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ú Þ Ø Ö Ú Ö Þ Ñ Ø Ð Ô Ö Ð «Ö Ò ¹ Ð Ý ÒÐ Ø Ð Ô ÓÐ Ø Òº Ä Ð Ö ½ äòýú Ø ÁÁ» ß º Óº À Ð ÖعÔÖÓ Ð Ñ Ð Ô ÓÐ Ø Ò Ð Þ Ð Ü Ò ÖÓÚ ÐØ Ð Þ Ö ÞØ ØØ ½ äòýú غ ½º º ǑÐØ Ð ÒÓ Ñ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ö º ÒØ Ý Þ Öæ Ô Ð Ú Ð Ñ ÒØ À Ð ÖØ äøä ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ó Ð Þ Ð ÐØ Ð ÒÓ Ñ Ø Ù ÐÐ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ö ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ö ½µ Ê ÙÐ Ö Ø Ø Ø Ð Ð ÞÒ Ð Ú Ð ÑÙØ Ù Ñ Ó Ý Ú Òݹ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ò Ñ ÓÐ Ñ ÐÝ Ú Ð Ñ ÐÝ Ý Ò Ö ÙÐ Ö Ø Ð¹ Ø Ø ÐÒ Ð Ø Ø Þ Ô Ð ÙÐ Ñ Ö Øã Ö ¹ØÙÐ ÓÒ Ø º Öã Ö ÙÐ Ö Ø ÐØ Ø Ð Ø Ð Ø Ô Ð ÙÐ ÐÓ Ð Ò ÒØ Ö Ð Ø ÓÐÝØÓÒÓ Ò ÒÝ ÞÓÖ «Ö Ò Ð Ø Ú Ý Ò Ð Ø Ù º ¾µ À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ Öã Ò Ö ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ó Ø Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ Ø ÔÙ Ý ÒÐ ØÖ «Ö Ò Ð Ý ÒÐ ØÖ ÒØ Ö Ð Ý ÒÐ ØÖ Ø¹ Ú ÒÝ ÓÖ Ò Ý ØØ Ø Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÖ Ø º Ú ¹ Þ ØÚ Ú Þ Ú Ý Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø ÐÑ Ð Ø Ò Ô Ð Ñ Þ Ö Ø ÞÒ ÐÚ º

½º Ú Þ Ø ÓÐ ÓÞ ØÓ Þ Þ ÐÐÙ ÞØÖ Ð ÞØ Ú ÐØ Ñ Þ Öغ ¾µ Ð Ô Ò Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ô Ð ØÙÐ ÓÒ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ø Ô ÞØ Ð ØÓ Ø Ð¹ ÐÑ äøð Ø Ø ÞÒ ÐÙÒ Ô Ð ÐÝ ØØ Ø Ø Þ Ý ÒÐ Ø Þ ÑÑ Ø¹ Ö Ø ÒØ Ö ÐØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ø Ý Ø Ó Ñ äð Ø Ð ÐÑ «Ö Ò¹ ÐÓÔ Ö ØÓÖÓ Ð Ø º ËÞ ÑÓ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ð Ó Ð Ð ÓÞ äòýú Ò Ò Ø Ð ÐÙÒ Ô Ð Øº Þ Ð äòýú Øä Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ ¹ Ý ÒÐ Ø Ð Ô ÓÐ ØÓ Ú Þ Øã ÐÐ æ ÒÝ ÓØ Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ Þ Ð ¾ À ÐÐ ÃÙÞÑ ½½½ Ë ØÝ ½ Ø ÓÒ º Ìä Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ ¹ Ý ÒÐ Ø Ð Ô ÓÐ ØÓ ÑÓÒÓ Ö Þ Ð ½ ãú Ò ÓÐ Ú Ð Ñ ÒØ Þ Ð¹ ÓÑ Ö ½ º ãð Ô Ð Ø Ñ Ø Ø Ö Ý ÐÒ Þ Ð Ø Ö ÐÓÑØÙ ÓÑ ÒÝÓ µ Þ Ð¹ Ö ÓÞÝ ½ Ò ÓÖÑ Ñ ÖØ µ Þ Ð¹ Ó Ð ½ ÓÑ ØÖ µ ÓÑ Ö ÐØ Ø Ð Ù Ý¹ Ý ÒÐ Ø µ ¹ ÓÖÒ ¼ äþ Þ Ø Òµ ËÞ ÐÝ ½ ÓÒÚÓÐ Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø µº Ä Ñ ½¼ ½¼ ØØ ÒØã ÓÐ ÓÞ ØÓ Ø ½¾ äø Ø ØØ ÒØã ÓÐ ÓÞ Ø Ø Þ ÕÙ Ø ÓÒ Å Ø Ñ Ø äø Ø Ø Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø ¹ Ð Ô ÓÐ ØÓ ÓÐ ÓÞ ØÓ ÓØØ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ð Òã ÓÐÝØ Ø Ð Ó Ð Ó ¹ Ö Øº ÒÒ Þ ÖØ Ò ã Ø Ñ Þ Ð ã Ð Ô Ð Ó Ð Ð ÓÞ ÐØ ¹ Ð ÒÓ Ö ÙÐ Ö Ø Ø Ø Ð Ø Ó ÙÒ ÞÓÒÝ Ø Ò Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ý Þ Ð Ó ÞØ ÐÝ Ö Øä Ú ÐØÓÞ Ø Ö Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý ÒÐ Ø Ö º Ö ¹ Ñ ÒÝ Ò Ú Ð ÞØ Ò À Ð ÖØ äøä ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ó Ð Ò Ò Ý Ö Þ Ö Þ Ò Ó ÞØ ÐÝ Ø Òº Å Ò Þæ Ø Ñ äö Ò Ð Ø ØÐ Ò Ñ Ò Ò ÓÐ ÓÞ ØÖ Ú Ø ÓÞÒ Ñ ÐÝ Ú Ð Ñ ÐÝ Ô Ð Ý ÒÐ Ø Ö ÙÐ Ö ¹ Ø Ò Ö Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞ º ÒØ Þ ØØ äòýú Ö ä Þ Ó Ð Ð ÓÐ ÓÞ ØÓ Ö Þ ÕÙ Ø ÓÒ Å Ø Ñ Ø äø Ø Ö Þ ÓØØ Ñ Ð ÒØ Ð Ó Ö Ö ÙØ Ð ØÙÒ º Øä Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ø ¹ ÔÙ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö ÙÐ Ö Ø Ö Ñ ÒÝ Ý Ö Þ Ö Ð Ò Þ ÖØ Ñ Ð Ðã Ô Ö Ö Ù Ò Ú Þ Ø Ò ÙØ ÐÙÒ º Å ÐãØØ Ö ÙÐ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ý Ð Þ Ò Ò ÖäÚ Ò ØØ ¹ ÒØ Ñ Ñ ÓÐ Ó Ñ Ø ÖÓÞ Ö ÞÓÐ Ð Ñ Þ Ö Øº ½º º ǑÐØ Ð ÒÓ Ñ Þ Ö Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ñ Ñ Óй Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ö º Ú Þ Øã Ô Ð ÒØ Ø Ñ Þ ÖØ ÑÙØ ØØÙÒ Ò Ð Ø Ù Ñ ÓÐ Ó Ñ Ø ÖÓÞ Ø Þ Ý ØØ Ø Ö ÔÓØØ Ý Ò¹ Ð ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ Ú Ð Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ú Þ Ú Þ Ø Ø «Ö Ò Ð¹ Ý ÒÐ ØÖ º Þ Ñ Ó Ñ Þ Ö ÐäÒä Ò Þ Ð äö Ò ÞÒ Ð ØÓ Ö Ò Þ Ö ÒØ Ñ Ñ ÓÐ Ó Ñ Ø ÖÓÞ Ò Ð ÒÝ ÐÑ Ñ ¹ Ø ÞØÓ Ø º ÌÓÚ Ô Ð Ø Þ Ð äòýú Ò Ø Ð Ð ØÙÒ Ð Ðä¹ Òä Ò º¾º½ º¾º ÔÓÒØÓ Øº «Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ð Ú Þ Ø Ö Ò Þ Ö ÒØ Ø Ó «Ö Ò ÐÓÔ Ö ØÓÖÓ Ð ØäÖØ Òã Ñ äð Ø Ô Ð ÐÝ ØØ Ø ¹ Ø Ú Ð Ñ ÒØ Þ Ý ÒÐ Ø Ô Ð Þ Ñ ØÖ Ø ÞÒ Ð º n h i x, yµf i g i x, yµµ h x, yµ, x, yµ D R ¾, i ¼ Ð Ò Ö Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø¹Ø ÔÙ Ö ÓÐ f ¼, f ½,..., f n Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ¹ ÒÝ È Ð ½ ÓÐ ÓÞ Ø Ý ÐØ Ð ÒÓ Ð ÓÖ ØÑ Ù Ñ Þ ÖØ Ñ ÖØ Øº

½¾ ½º Ú Þ Ø È Ð Ð Ô ÓÒ ÓÐ Ø Þ Ó Ý ÐÝ ØØ Ø Ø Þ ÙØÓÐ Ð Ô Ò Ý Ñ ÑÙØ Ø Ó Ý Ñ Ð Ðã Ò Ú Ð ÞØÓØØ «Ö Ò ÐÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø ¹ Ú Ð Ý Ø ÔÙ ÑÓÒ Ù Þ f ¼ g ¼ x, yµµ f ¼ g ¼ x, yµµ Ø º Ø ÔÙ Ú Ø Ð Ú Ð Þ ä Þ Øä Ø Ñ äð Øã º ÓÖ Ñ Ö ÖÑ ÐÝ t g ¼ x, y ¼ µ ÐÝ ØØ ¹ Ø «Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ö Ñ ÒÝ Þº Æ ÒÝ Ñ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø¹Ø ÔÙ Ö Ð Ø Þ Ð ÓÖ ØÑ Ù Ñ ÓÐ Ñ Þ Öº È Ð ÙÐ Î ÒÞ Ñ Þ Ö Ø ÐÐ ØØ Ñ ÑÐ Ø Ò Ò Ð Þ Ð º¾º ºµº Ñ Ò Ñ Þ Ú ÝÙÒ Ø¹ Ø Ð Ó Ý Ð ÓÖ ØÑ Ù Ñ Þ ÖÖ Ð Ð Ý Ò Ô Ñ ÓÐ Ò Þ ÓÒÒ Ò ÐÑ Ö Ðã Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ò Ý Ö Þ Øº Å ÑÐ Ø Ó Ý ÞÓÒÝÓ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø ÒØ Ö Ð Ý ÒÐ ØÖ Ö ¹ Ù Ð Ø º ÞØ Ñ Þ ÖØ Ò Ñ ÑÙØ Ø Ù ØØ Ð Þ Ð äòýú Ø º½º¾º ÓÒØÓ Ñ Þ Ö ÒØ Ö ÐØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ð ÞÒ Ð Ú Ð Ý Þ Öæ ¹ Ú ÒÝ Ý ÒÐ ØÖ Ö Ù ÐÒ Þ Ý ÒÐ Ø Øº Þ Ð äòýú º½º½ ÞØ Ñ ¹ Þ ÖØ ÑÙØ Ø º ËÞ ÐÝ ½ äòýú Þ ÑÓ Ú ÒÝ Ý ÒÐ ØØ Ð Ó ¹ Ð Ð ÓÞ ãð й ÓÔÓÖØÓ ÓÒº Ú Þ Ð ØÓ Ò ÓÙÖ Ö¹ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÒÓÑ Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ô ØÖ Ð Þ ÒØ Þ Ø Þ Ò ã Þ Ö Ô Øº Ä Ñ äþä ØØ ÒØã Ò Ò ½¼ Ú Ø ÓÞÓØØ ÓÐ ÓÞ ØÓ Øº Æ Ý Ú ÒÝ Ý ÒÐ ØÖ Ñ ÓÐ äþú ØÐ Ò Ð Ñ Ô Ø Þ Ý ÒÐ Ø ãð Ý æöæ ÐÑ ÞÓÒº ÁÐÝ Ò ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ÓÐ Ó Ñ Ô ¹ Ø ÔÓÒØÓ Ø æöæ ÐÑ Þ ÔÓÒØ Ú Ð äþ Ð Ø º È Ð ÙР٠ݹ Ý ÒÐ ØÒ Ð x y ¼ ÐÝ ØØ Ø Ð f ¼µ ¼ Ò Ù Ú Ð f nxµ nf xµ n Nº Þ y x ÐÝ ØØ Ø ÑÙØ Ø Ó Ý f xµ f xµ Ý ÒØ ä Þ Ñ Ò Ò n Z¹Ö Ø Ð Ðº ÅÓ Ø x/n¹ Ø ÐÝ ØØ ØÚ x ÐÝ ØØ Ô Ù Ó Ý f x/nµ f xµ/n ¼ n Zº Ý f rxµ rf xµ r Qº Þ ÑÙØ Ø Ó Ý f ½µ Ñ Ø ÖÓÞÞ f ÖØ Ø Ö ÓÒ Ð ÔÓÒ¹ ØÓ Ò Ú Ð Þ ÑÓ Ø Ö ÓÒ Ð Þ ÑÓ Ð äþ Ð ØÚ ÞØ Ô Ù Ó Ý ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ÓÐ Ó f xµ cx Ð ÓÐ c f ½µº ÌÓÚ Ô Ð Ø Þ Ð äòýú Ò Ø Ð Ð ØÙÒ Ø ÓÒ ¾º Ý Ñ Ñ Þ Ö Ó Ý Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ø Ý ÓÐÝ Ò Ú Òݹ Ý ÒÐ ØÖ Ú Þ Ø Ú Þ Ñ ÐÝÒ Ñ ÓÐ Ñ Ö Ñ Öغ Þ Ò Ð ÒÝ ¹ Ò Ð Ö µ Ñ ÓÒ Ö Ò Þ Ö ÒØ Þ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ø ¹ Ö Ð Ñ Ø ÖÓÞÒ º Ö ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ó Ø Ö Ò Þ Ö ÒØ Ñ Ý ÒÐ Ø Ö ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ð Ô Ù Ý Þ Ñ Ø ÖÓÞ Ø º ËÞ ÑÓ Ô Ð¹ Ø Ø Ð Ð ØÙÒ ÖÖ Þ Þ Ð ÐÐ ØÚ Þ Ð¹ ÓÑ Ö ½ äòýú Òº ÈÙ ÞØ Ò Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ñ Ö Ø Ò Ñ Ñ Ò Ø Þ Ð ØãÚ Ó Ý Ö ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ó Ø äòòý Ò Ñ Ô Ù º È Ð ÙР٠ݹ Ý ÒÐ Ø Ð¹ Ø Ð ÒÓ Ñ ÓÐ äú Ø Þã Öä Þ Ø Ò Ý Ø Ø ÞãÐ B Þ Ø R¹Ò Q Ð ØØ Ý À Ñ Ð¹ Þ Øº Å Ò Ò x Ú Ð Þ Ñ Ý ÖØ ÐÑæ Ò Ð Ö Ø Ñ ÒØ b i Þ Ð Ñ r i Ö ÓÒ Ð Ý ØØ Ø Ð Ú ØØ i r ib i Ú Ð Ò ¹ Ö ÓÑ Ò º ÖÑ ÐÝ f B R Ú ÒÝ Ý ÖØ ÐÑæ Ò Ø Ö ÞØ Øã Þ f xµ i r if b i µ ä Þ Ð Ù Ý¹ Ý ÒÐ Ø Ý Ñ ÓÐ Ú º Î Ý ÞÖ Ó Ý Ñ Ò Ò ÝÓÒ Ý Þ Öæ Ø Ò Ñ Ú Ð Ó äþ¹ Ú ØÐ Ò Ð Ö ÙÐ Ö Ø Ø Ø Ð Ò Ð Ð Ó Ý Ñ ÐÝ Ñ ÓÐ Ó Ñ Ö Øã º Ý ØÓÚ Ñ Þ Ö Ñ ÐÝ Ò ÝÓÒ Ý Ò Ö ÙÐ Ö Ø ÐØ Ú ¹ Ø ÞÒ Ð Þ ÝÒ Ú Þ ØØ ÞØÖ Ñ Þ Ö Ñ ÐÝ Ø ÒÝÐÓ

½º Ú Þ Ø Þ Ñ ÒÝ Þ Øغ Þ Ð ÔäØÐ Ø Ó Ý ÓÐÝØÓÒÓ Ú Ý ÐÓ Ð Ò ÒØ Ö Ð ¹ Ø µ Ñ ÓÐ Ó Ë Û ÖØÞ¹ Ð ÞØÖ Ò Ø ÒØ Øã Þ Ý ÒÐ Ø ÞØÖ äþäøø ÒÒ ÐÐ Ý ÒÐ ØÒ Ø ÒØ Ø㺠À ÓÒÐ ØÖ ä Ð Ñ ÒØ Ñ Ñ ÓÐ Ó Ø Ò ÐØ Ð Ò Øä Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ð ÞØÖ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ «Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ô ØÙÒ º Î Ð Þع Ö Ñ ÓÐ Ó Ö Ð Ö Ð Ó Ý Ñ µ Ú ÒÝ Þ Ø ÖØÓÞ Ö ÙÐ Ö ÞØÖ º Ä Ö ¾ ¾ ¾ ÓÐ ÓÞ Ø Ø ÞÞ Ð Ñ Þ ÖÖ Ð Ô¹ ÓÐ Ø Òº Î Ð Ò ÒÝ Ñ ÝÞ º ǑÐØ Ð ÒÓ ÐÓ Ö Ð Ý Þ Öæ Ñ Þ Ö Ð Ø ÐØ Ð ÒÓ Ö ÙÐ Ö Ø Ø Ø Ð Ø Ú Ð ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Ö ØØ Ö ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ó Ò ÒÝ ÞÓÖ «Ö Ò Ð Ø Ñ «¹ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ö Ò Ñ ÓÐ Ó Ö º Ê Ò Þ Ö ÒØ Øä Ñ Þ ÖÒ Ð Ñ ØÙ Ù Ð Ö ÐÒ Ö ÙÐ Ö Ø Ø Ø Ð Øº ÞÓ Ñ Þ Ö Ñ ÐÝ Ý Ò Ö ÙÐ Ö Ø ÐØ Ø Ð Ø ÞÒ ÐÒ Ö Ò Þ Ö ÒØ ÓÒÝÓÐÙÐØ Ò Ñ Ð ÐÑ Þ Ø Ð ÐØ Ð ÒÓ Ø Òº È Ð ÙÐ ÞØÖ Ñ Þ ÖÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó ÓÞ Ó Ý Ë Û ÖØÞ¹ Ð ÞØÖ äþäøø Ò Ò ÞÓÖÞ Ò ÐÚ º Ë Û ÖØÞ Ð Ø ØÐ Ò Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Þ Ò Ñ Ø Øã Ñ Ð Øã Ñ ÓÒº Å Ú Ð Ø ÞØÖ Ø Ø Ø ÞãÐ Øä Ú ÐØÓÞ C Ú ÒÝ ÐÝ ØØ Ø Ò º Þ ÞØÖ Ñ Þ Ö ÞÒ Ð Ø Ø ÓÐÝ Ò Ý ÒÐ Ø Ö ÓÖÐ ØÓÞÞ Ñ ÐÝ Ò Ò Ò Ø Ð Ñ Þ Ð Ò Ö Ø Ðº ½º º Ìä Ú ÐØÓÞ Ø Ö Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý ÒÐ Ø º ¹ Ð Ò Þ ÖØ ã Ø Ñ ÐØ Ð ÒÓ Ö ÙÐ Ö Ø Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º ËÞ ÑÓ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø¹Ø ÔÙ Ö ÐÝ Ò Ö ÙÐ Ö Ø Ø Ø Ð Ø Ô ÞØ Ð ØÓ Þ Ö ÒØ Ò Ñ Ø Ð ÐÒ º À Ð ÖØ ÐØ Ð ÑÐ Ø ØØ Ð ½º µ ÝÚ ÐØÓÞ ¹ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ñ ÐÐ ØØ Þ ÑÓ Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ø ÝÑ ¹ ÐÝ ØØ ØÚ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ö ÐØ Ý ÒÐ ØÒ Ú Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ñ ¹ Ö Ò Ð Ø Ñ ÓÐ º ÁÐÝ Ò Ô Ð ÙÐ Þ Ðã ÞäÖ Þ Ð ÒÞ ½ ÐØ Ð Ú Þ ÐØ f x f yµµ f xµ f x y f xµµ x, y R, f R R Ý ÒÐ Ø Ñ ÐÝÒ ä Þ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ÓÐ Ø Ö ÞÝ ½ Ø ÖÓÞØ Ñ Ñ ÐÝÒ Ñ ÓÐ Þ x ½ ¾ x ± x µ Ú ÒÝ º À Ð ÖØ äøä ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð ã Ð Ò ÐÐ Ôã ÓÔÓÖØ Ü Ñ Ø Ð Ö Ú ÒÝ Ý ÒРع Ö Ò Þ Ö Ô Ð Þ Ð Ø Ø ÓÓÖ Ò Ø Þ Øµ ÒÝ Ðº Ö Ô Ð ÙÐ Þ Ð ÓÐ ÓÞ Ø Ò Ò ÐØ Ð ÒÓ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ f x yµ h x, f xµ, f yµ, f g ½ x, f xµ, f yµµ, f g ¾ x, f xµ, f yµµ,..., f g x, f xµ, f yµ, f g x, f xµ, f yµµµ, f g x, f xµ, f yµµµ,..., µµ,... µ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ú Ð Ú ÐØÓÞ Ú Ð ÖØ æ f Ñ ÓÐ ÑÓÒÓØÓÒ Ý ÓÒ ÓÐÓÑ Ø Ö Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ò Ñ Ò Ñ Þ Ð Ø Ò Ð¹ Ø Ð ÒÓ ÐÑ Ð ØÖãк ÞÓÒ Ò ÞÓ Ö Øä Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ö Ñ ÐÝ Ò Ð Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ò Ò Ò äòñ Ù Ú Ý ÝÑ ÐÝ ØØ ØÚ ÐØ Ð ÒÓ Ö ÙÐ Ö Ø Ø Ø Ð Ø ÞÓÒÝ Ø ØÙÒ º Þ Ö¹ Ø ã Ø Ñ Ø ÐÝ Ò Ø Ø Ð Ð ÓØ º

½ ½º Ú Þ Ø ÐÙÒ Ð ÐØ Ð ÒÓ Ø Ö Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Øä Ú ÐØÓÞ ½µ H X, Y, f G X, Y µµ,f ¼ G ¼ X, Y µµ,f ½ G ½ X, Y µµ,..., f n G n X, Y µµµ ¼ Ý ÒÐ Ø Ú Þ Ð Ø ÓÐ X, Y µ Ý E ÐÑ Þ Ð Ñ º ÁØØ f f ¼ f ½,..., f n Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Øä Ú ÒÝ Ñ Öغ Ú ÐØÓÞ Ú Òݹ ÖØ Ú ØÓÖÓ º ÒØ Ý ÒÐ Ø Þ x G X, Y µ Ú ÐØÓÞ Ú Þ Ø ¹ Ú Ð f xµ¹ Ø ÞÚ Þ Ý ÒÐ Ø ãð ÐØ Ð Ò Ý Ú Ð Ñ Ú Ð Ý Þ Öæ Ð Ö ÓÞ Ø Ñ ÐÝ Ú Þ Ð Ø Ò Ð Ò Ó Ò Ñ Ð Ðº ËÞ ÑÓ Ø¹ Ò Ñ Ý y G ¼ X, Y µ Ú ÐØÓÞ Ø Ú Þ ØÚ Ð Ö Ø Ó Ý Ý Ñ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ò Ô Þ y Ú ÐØÓÞ Þ Ö Ô Ð Ò Ý Ý ÒÐ Ø Ò Ø Þ ¾µ f xµ h x, y, f ¼ yµ, f ½ g ½ x, yµµ,..., f n g n x, yµµµ, x, yµ D Ð Ö ÓÞ Ø Ù º Å Ú Ð Ð Ò Ò Ð Ó Ò Þ Ý ÒÐ ØÒ Þ Þ ÜÔÐ ¹ Ø Ð Ð Ð Ñ ÐØ Ð Ò ÞØ Þ Ð ÓØ Ó Ù ÞÒ ÐÒ Ò Ñ ÓÒÝÓ¹ Ð Ø Ù Ð Ð Ò Ø Ø Ð Ø ÒØ ÐØ Ð Ò ÐÓ Ð Ò ÐÚ Þ Øã Ø Ð Ø Ó ÐØ Ø Ð Ò Ú Þ Ð Ø Ú Ðº Þ ÙØ Ý ÒÐ Ø Ò f ¼ Þ Ö Ô ÐØ Ø Ý Þ y G ¼ X, Y µ Ú ÐØÓÞ Ú Þ Ø Ð Ð Ò ØæÒ º ÞÓÒ Ò f ¼ Ú Ø Ð Þ Ö Ô Ø Ø Þ Ó ÓÐ ÐÓÒ Þ Ö ÔÐã Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ äþäøøº Å ÒØ ÞØ Ë Ò¹ Ö ½ Ý ÔÖÓ Ð Ñ ÑÙØ Ø Ð ¾½º¾µ Ý Ö Ò f ¼ ¹Ö Ý Ò Ú Ý Ý ÐØ Ð Ò ÑÑ ÐÝ Ò ÐØ Ø ÐØ Ñ ÐÐ Ö Ò º Þ ÓØØ Ú ÒÝ Ö Ð ã¹ ÓÖ Ò Ñ ÐØ Ø Ð Ø Ó ÙÒ Ðã ÖÒ º Ý Þ Öæ Ô Ð ÑÙØ Ø Ó Ý Þ ÐØ Ø Ð Ò Ñ Ý Ø Ðº Ì ÖÑ Þ Ø Ò Ð ÐÐ Ø ÒÒ Ò Ó Ý Þ Ý ÒÐ Ø Ó ÓÐ Ð Ø ÒÝÐ y¹ø Ð Ý Þ Ý ÒÐ Ø Ò Ñ Ý ÝÚ ÐØÓ¹ Þ Ý ÒРغ Þ ÞØÓ Ò Ø Ð Ð ÐØ Þ Ó Ý g i Ñ ØÖ ÜÓ Ö Ò y Ñ Ü Ñ Ð º Ê Ò Þ Ö ÒØ ÐØ Þ Ó Ý D ÒÝ ÐØ ÐÑ Þº ÐÙÒ ÒÒ Ú Þ Ð Ø Ó Ý Ä Ù ¹Ñ Ö Øã ÐÐ ØÚ Ö ¹ ØÙÐ ÓÒ Ñ ÓÐ Ó Ò Ð Ø Ù ¹ ÇÐÝ Ò Ø ÔÙ ÐÐ Ø Ó Ø Þ Ò ¹ ÓÞÙÒ ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Þ ÓØØ Ú ÒÝ Ð Þ Ô Þ f ½, f ¾,..., f n Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ö Ò Ð ÞÒ Ý Ö ÙÐ Ö Ø ØÙÐ ÓÒ¹ Ð ÓÖ Þ f Ú ÒÝ Ö Ò Ð Þ Ý Ö ÙÐ Ö Ø ØÙÐ ÓÒ Ð Ñ ÐÝ Ý Ð Ó º Áµ ÁÁµ ÁÁÁµ Áε ε ÎÁµ Þ Ð Ð Ô Ð ÐÑ Þ ØæÒ Ð Þ ÖæÒ Ñ Ö Øã ãð äú Ø Þ ÓÐÝØÓÒÓ Ö ¹ØÙÐ ÓÒ Ñ ÓÐ Ó ÓÐÝØÓÒÓ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ÓÐ Ó Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ «Ö Ò Ð Ø Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ «Ö Ò Ð Ø Ñ ÓÐ Ó ÓÐÝØÓÒÓ Ò «¹ Ö Ò Ð Ø Ñ Ò Ò p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø Ñ ÓÐ p ½¹ Þ Ö ÓÐݹ ØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø Ú Ø Ð Ò Ó ÞÓÖ «Ö Ò Ð Ø Ñ ÓÐ Ó Ò Ð Ø Ù º

½º Ú Þ Ø À f f ¼ f ½ f n ÓÖ ÒØ Ð Ô Ð Ô Ò Ð Ô Ò ÒØ Ô Ø Ù Ó Ý Ñ Ö Øã ÐÐ ØÚ Ö ¹ØÙÐ ÓÒ Ñ ÓÐ Ó Ò Ð Ø ¹ Ù º À Þ Ò Ñ ÐÐ ÒÒ ÓÖ Øä Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Þ Þ Ý ÒÐ Ø ãð Ø Ø Ò Ó Ý ÓÒÐ Ö Ñ ÒÝØ Ô ÙÒ º ÀÓ Ý Ó Ò Ñ ÖØ Ñ ÖØ Þ Áµß ÎÁµ Ð Ô Ø ÞÒ Ð Ù Ñ ã Ò Þ Ñ ÐÝ Ò Ø ÔÙ ÐØ Ø Ð Ø ÐÐ Ö ÒÙÒ Þ ÓØØ Ú ¹ ÒÝ Ö Ðã ÞäÖ ÑÙØ ØÙÒ Ò ÒÝ Ð ÔÚ Øã ÓÒ ÓÐ ØÓغ ½º º Ð Þ Ù Ñ Þ Öº Þ Ð Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ð Ó ¹ Ð Ð ÓÞ äö Ò Ð Ñ ÖØ ÐØ Ð ÒÓ Ñ Þ Ö Ã ¹Ø Ð Ö Ú Ð Ñ Ú Ð Ô ¹ Ð ØÖ Ñ Ó ÐÑ ÞÚ µ Þ Ö Ô Ð Þ Ð äòýú Ò º¾º¾ º¾º º Þ n ½µ h x, yµf xµ h ¼ x, yµ h i x, y, f i g i x, yµµµ, x, yµ D Ú ÒÝ Ý ÒÐ ØÖ Ð ÐÑ Þ Ø ÓÐ Þ f, f ½,..., f n Ñ Ö ØÐ Ò Ú ¹ ÒÝ Ö Ò Ö Þ X, X ½,..., X n R ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ ÓÒ Ú ÒÒ Ò ÐÚ ÖØ Ú Ð Ñ ÐÝ Z, Z ½,..., Z n R ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ Ò º Ì Ý Ð Ó Ý Y R D X Y ÒÝ ÐØ f ½,..., f n h, h ¼ D R h i D Z i R ÓÐÝØÓÒÓ h x h ¼ x h i x h i i ½, ¾,..., n Ô Ö¹ y Ð Ö Ú ÐØ ÓÐÝØÓÒÓ º Ì Ý Ð ØÓÚ Ó Ý g i Ú ÒÝ Ø Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø º Ä Ý Ò x ¼ X Ø Ý Ð Ó Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò y ¼ Y Ñ ÐÝÖ x ¼, y ¼ µ D h x ¼, y ¼ µ ¼ g i y x ¼, y ¼ µ ¼ i ½, ¾,..., nº ÓÖ f ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø Þ x ¼ Ý äöòý Þ ¹ Ø Òº ÒÒ ÞÓÒÝ Ø Ö Ú Ý ÞÖ Ó Ý Ú Ð Ñ ÐÝ X ¼ ÓÖÐ ØÓ ÒÝ ÐØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ a, b Y ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ X ¼ a, b D x ¼, y ¼ µ X ¼ a, b b a h x, yµ dy ¼ x X ¼º Þ ½µ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ø ÓÐ Ð Ø ÒØ Ö ÐÚ y Þ Ö ÒØ Þ a, b ¹Ò ÞØ Ô Ù Ó Ý b b f xµ h x, yµ dy h ¼ x, yµ dy a a n b a h i x, y, f i g i x, yµµµ dy. g i,x yµ g i x, yµ ÐäÐ Ð Ú Þ Ó ÓÐ ÐÓÒ ÐÐ ÒØ Ö ÐÓ Ò ÐäÒ¹ ÐäÒ Þ u g i,x yµ i ½, ¾,..., n Ú ÐØÓÞ Øº Þ Þ Ø Ò ÐÝ ØØ Ø X ¼ ¹ Ø Þ x ¼ Ý äöòý Þ Ø Ú Ð a, b ¹Ø Ô Þ y ¼ Ý äöòý Þ Ø Ú Ðº ÓÖ ÞØ Ô Ù Ó Ý b b f xµ h x, yµ dy a a n h ¼ x, yµ dy gi x,bµ g i x,aµ h i ( x, g ½ i,x uµ, f i uµµ ) u g ½ i,x uµ du.

½ ½º Ú Þ Ø ãð Þ Ý ÒÐ Ø ãð äú Ø Þ Ó Ý f ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø º Î Ð ¹ Ò Ý I xµ g x,bµ g x,aµ h x, yµ dy Ø ÔÙ Ô Ö Ñ Ø Ö ÒØ Ö Ð ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø X, Y R ÓÖÐ ¹ ØÓ ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ g X a, b Y h X Y R ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ h x g Ô Ö Ð Ö Ú ÐØ ÓÐÝØÓÒÓ º ÀÓ Ý ÞØ Ð Ù Ð Ý Ò x y ½ Y Öä Þ Ø ØØ Ð Ý Ò H x, yµ y y ½ h x, uµ du. H ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø Ý I xµ H x, g x, bµµ H x, g x, aµµ ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø º Î Ý ÞÖ Ó Ý h h ÓÐÝØÓÒÓ Ö Ú Ò Þ Ò º Ý x h x, yµ Ð Ø Ô Ð ÙÐ h x, y, f ¼ yµµ Ð ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø h ¹ Ð ÓÐÝØÓÒÓ ØÐ Ñ Ö ØÐ Òµ f ¼ ¹ Ð Ñ ÐÝ Ö Ú ØÓÖ ÖØ æ Рغ ËÔ Ð Ò h x, yµ ½ j m h j x, yµf j yµ Ð Ø m < ¼¹Ú Ð ØÐ Ñ Ö ØÐ Òµ ÓÐÝØÓÒÓ f j m j < ¼ Ú ÒÝ Ð ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø h j Ú ÒÝ Ðº ÌÓÚ Ú Ý ÞÖ Ó Ý H x, yµf ¼ G ¼ x, yµµf G x, yµµ H ¼ x, yµ n H i x, y, f i G i x, yµµµ Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Þ ½µ Ø ÔÙ Ö Ú Þ Ø Øã Ú Þ x G x, yµ y G ¼ x, yµ Ú ÐØÓÞ Ø Ú Þ ØÚ º Þ Ñ Þ Ö Ñ Ò Ò ØÓÚ Ò Ð Ð ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø ÓÑÔÐ Ü Ú Ý Ö Ú ØÓÖ ÖØ æ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ö Ú ØÓÖ¹Ú ØÓÖ Ú ÒÝ Ö Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ò Ñ ÐÝ Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º ÁÒØ Ö Ð ØÙÒ Ý Ò Ñ Ö Ð æ S Þ ÑÔÐ Ü Ð ØØ I xµ h x, yµ dy g x,sµ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ÒØ Ö ÐÓ ÓÞ ÙØÙÒ º Ì ÖÑ Þ Ø Ò ÐÝ Ò ÒØ Ö ÐÓ Ô ¹ Ö Ñ Ø Ö Þ Ö ÒØ «Ö Ò Ð Ð Þ Ù g h Ñ Ú ÒÝ Ñ ÞØ ØÙ Ù Ó Ý g ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø h Þ x Þ Ö ÒØ Ô Ö ¹ Ð Ö Ú ÐØ Ú Ð Ý ØØ ÓÐÝØÓÒÓ º Þ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÒØ Ð Þ Ù Ñ Þ ÖÒ Ú ØÓÖ¹Ú ØÓÖ Ú ÒÝ Ö ØäÖØ Òã ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø ½½º ¹ Ò Ø Ö Ý Ð Ù º ½º º Å Ö Ò æ Ö Ú ÐØ º ÒØ Ð Þ Ù Ñ Þ Ö Ñ ¹ Ö Ò æ «Ö Ò Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ö ÞÒ Ð Ø Ð ÞÒ Ð¹ Ù Ó Ý Þ I xµ g x,bµ g x,aµ h x, yµ dy

½º Ú Þ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ÒØ Ö Ð Ñ g Ø Ò p ½¹ Þ Ö «Ö Ò Ð Ø h ¹ Ú ÒÝ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø p¹ Ö Ú ÐØ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ô Ö Ð Ò «Ö Ò Ð Ø x Þ Ö Òغ Å Ó ØÖ Ñ Ú Ð ÐØ Ð ÒÓ¹ ½º º ½µ Ò ÑÐ Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ñæ ä Þ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ø ÓÐ Ð Ø p¹ Þ Ö «Ö Ò ÐÒ º ÔÓØØ Ý ÒÐ Ø Þ ÐãÞã ÔÓÒØ ½µ Ø ÔÙ Ø ÖØÓÞ Ý Ð Þ Ù Ñ Þ Ö ÒØ ÑÐ Ø ØØ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ú Ð Ø Ö Ý Ð Ø º ÞØ ØÖ äø Ð ÐÑ ÞÞÙ ½ º ¹ Òº ½º½¼º Ñ ÓÐ Ó ÓÐÝØÓÒÓ º Ð Þ Ù Ñ Þ Ö ÐØ ¹ Ð ÒÓ Ø µ Ð ÞÒ Ð Ø ÖÖ Ó Ý ÐÓ Ð Ò ÒØ Ö Ð Ø Ñ ÓÐ Ó ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÞÓÒÝ Ø Ù º Ý Ñ Ö Øã ãð ÐÓ Ð ÓÖÐ ØÓ ÓØ ØÙ ÙÒ ÞÓÒÝ Ø Ò ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ Ö äú Ø ÞØ Ø Ø Ò º Þ ÚÓÐØ ÝÓÑ ÒÝÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ ÞÓÒÝ Ø Ò º È Ð ÙÐ Þ f x yµ f xµ f yµ ٠ݹ Ý ÒÐ ØÒ Ð Ý f R R Ñ ÓÐ Ñ Ö Øã Ý ÔÓÞ Ø Ú Ä Ù ¹Ñ ÖØ æ K ÐÑ ÞÓÒ ÓÖ ÙØÓÑ Ø Ù Ò ÓÖÐ ØÓ Ý Ñ Ñ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ æ C ÐÑ ÞÓÒ Ñ Ú Ð K n {x K f xµ n} ÐÑ ÞÓ Ñ ÖØ K Ñ ÖØ Þ Ø ÖØ Ñ ÒØ n º ËØ Ò¹ Ù Ý Ð Ñ ÖØ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ C C ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ ÓÖ Ý äöòý Þ Ø Øº Þ f Ú ÒÝ ÓÖÐ ØÓ Þ Ò äöòý Þ Ø Ò Ñ Ú Ð x C C ÓÖ x Ðã ÐÐ Ø Ø x z y z, y C Ð Ò Ñ ãð f xµ f x yµ f yµ, Þ Þ f ÓÖÐ ØÓ Þ ÓÖ Ý ε > ¼ Ù Ö äöòý Þ Ø Òº À ε, ε Ð ØØ ÒØ Ö ÐÙÒ ÞØ Ô Ù Ó Ý ε ε ε x ε ½µ ¾εf xµ f x yµ dy f yµ dy f uµ du f yµ dy. ε ε ε ε x ãð Þ Ý ÒÐ Ø ãð äú Ø Þ Ó Ý f ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÓÖ äþ Ð Ò Ö Ð ÞÒ ÐÚ ½µ¹ Ø Ô Ù Ó Ý «Ö Ò Ð Ø Þ ÓÖ Ý äö¹ ÒÝ Þ Ø Òº ٠ݹ Ý ÒÐ Ø Ø Ò Öä Þ ØÚ y¹ø Ð Ø Ù Ó Ý f Þ y äö Ð Ý Þ Öæ Ò ÓÒ Ø Ò ÔÐÙ Þ Ý ÐØÓÐØ f¹ò Þ ÓÖ äö к Ý Ý Ñ ÓÐ ÓÐÝØÓÒÓ «Ö Ò Ð Ø Ò Ð Ø Ù Ø º Þ ÓÖ äö Ð ÓÖ Ù Ý Ò Þ Ø Ð Ð Ñ Ò Ò Øغ Þ Ñ Þ Ö Ñæ ä ÓÖ Ù Ý ÜÔÓÒ Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò Ñ Ö Øã f R R Ñ ÓÐ Ø ÐÐ Ñ Ø ÖÓÞÒ º Å Þ Ñ Þ Ö Ú ÓÒØÓ Ñ ÒØ ÓÖ Ò ÚÓÐØ ÓÖ Ö Ñ ÞÒ ÐÒ Þ Ò ÓÖ Ñ ÖØ Ò Ñ Ê ÓÒ¹Ñ ÖØ º ÒÒ Ñ Þ ÖÒ Ò ÒÝ À Ö¹Ñ ÖØ ÒÚ Ö Ò ÐÐ ØÚ Ä Ù ¹Ñ ÖØ ÓÚ Ö Ò Ø Ö ÞØ Ú Ð Ô ÓÐ ØÓ Ð ÐÑ Þ Ø Þ º º ¹ Ò Ó Ù Ø Ö Ý ÐÒ º Î Ò Ý Ó Ð ÒÝ ÐÑ Ñ Þ Ö Ñ ÐÝ Ê ÓÒ¹Ñ ÖØ Ø Ò Ñæ ä Ô Ð Ò Ø Ø Ä Ù ¹Ñ ÖØ Ø Ò º Þ Ñ Þ Ö ÄÙÞ Ò Ø Ø Ð Ø ÞÒ Ð Ý ØæÒ Þ äøð Ø Åà ÖÒ Ò¹Ò Ð ½ ¼ Ö¹Ò Ð ¾½ ÓÖ ÙÐ Ðã Ðã ÞäÖº Ý Ô Ð Ø Ñ Ö ÑÙØ ØØÙÒ Þ ½º ÔÓÒØ Òº Ñ Þ Ö Þ ÐØ Ð ÒÓ f xµ h x, y, f ¼ yµ, f ½ g ½ x, yµµ,..., f n g n x, yµµµ

½ ½º Ú Þ Ø Ø Ò Þ Þ Þ ½º º ¾µ Ý ÒÐ ØÖ Ñæ ä Î Ð ÞÙÒ Ú Ð Ñ ÐÝ C ÔÓÞ ¹ Ø Ú Ñ ÖØ æ ÓÑÔ Ø ÐÑ ÞØ Ú Ð ÞÙÒ g i x ¼, Cµ¹Ò ÓÐÝ Ò Ò Ý K i ÓÑÔ Ø Ö Þ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ò f i ÓÐÝØÓÒÓ º À Ñ ØÙ Ù ÑÙØ ØÒ Ó Ý Þ ½µ {y g i x ¼, yµ, g i x, yµ K i, ½ i n } ÐÑ Þ Ó Ñ Ö Ñ ÒÒÝ Ò x Ð äþ Ð Ú Ò x ¼ ¹ ÓÞ ÓÖ ÐÑ Þ ÖÑ ÐÝ y Ð Ñ Ø ÐÝ ØØ ØÚ Þ Ý ÒÐ Ø ÞØ Ô Ù Ó Ý f xµ äþ Ð Ú Ò f x ¼ µ¹ ÓÞº ÞØ Ñ Þ ÖØ Ó Ù Ð ÞÒ ÐÒ Ó Ý Ñ Ö Øã ãð äþú ØÐ Ò Ð ÓÐÝØÓÒÓ Ö äú Ø ÞØ Ò Ð º ¹Øº ÓÒØÓ Ñ Ý Ð Ó Ý Ð Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ñ Ñ Ò ¹ Ò ØØ Ø Ð Ð Ð º ¹Øº Þ Þ ÖØ ÓÒØÓ Ñ ÖØ Ý Ñ ÓÐ Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ «Ö Ò Ð Ø ÓÖ Ö Ú ÐØ Ñ ÐÝ ÙØÓÑ Ø Ù Ò ÓÖ Ð¹ Ú ÒÝ Ð ½ º½¹ ص Ù Ý Ò Ý Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ø Ø Ð Ø ÒØ Ñ Ý Ð Ø Ð ÐÑ ÞÚ ÞØ Ô Ù Ó Ý Ö Ú ÐØ ÓÐÝØÓÒÓ º ÞØ ÓÒ Ó¹ Ð ØÓØ Ó Ý Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ «Ö Ò Ð Ø Ñ ÓÐ Ó ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ½ º ¹ Ò ÓÐ ÓÞÞÙ º Î Ý ÞÖ Ó Ý ÒÒ Ð Ô Ò Ð Ó Ý Ñ ÓÐ ÐÓ Ð Ò ÓÖÐ ØÓ Ú ÐØÓÞ Ú Ð Ú ÐØÓÞ Ø Òµ ÐÐ ØÚ Ó Ý ÐÓ Ð Ò Ä Ô ØÞ¹ ÐØ Ø ÐÒ Ø Þ Ð Ø Ú ØÓÖ Ú Ð¹ ØÓÞ Ø Òµ ÖÖ äú Ø ÞØ Ø Ø Ò Ó Ý ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø º Ý Ö ã ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ò Ñ Ô ÓÐ ØÓ Ö Ø Ú Þ ÐÙÒ º ¹ Òº ¾ º ÔÖÓ Ð Ñ Ì ËÓØØ ÓÓ ¹ Ò ½¾ Å ÞÙÖ ÔÖÓ Ð ¹ Ñ ÞØ Ö Þ Ó Ý Þ¹ Ó Ý Ý Ø Ú ÙÒ ÓÒ Ð Ý Ò Ø Ö Ò Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò äö Ñ ÒØ Ò Ä Ù ¹Ñ Ö Øã ÓÐÝØÓÒÓ º Þ Ý Ñ Ö Øã¹ ãð äú Ø Þ ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÔÙ Ö º º ¹ Ò ÖäÚ Ò Ö ÒØ ÞØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ ÑÙØ ØÚ Ó Ý Þ Ó Ý Ý Ú ÒÝ Ñ Ò Ò äö Ñ ÒØ Ò Ä Ù ¹Ñ Ö Øã Ú Ú Ð Ò Þ ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ñ Ö Øã к ½º½½º ËØ Ò Ù ¹Ø ÔÙ Ø Ø Ð º Å ÒØ Þ ÐãÞã ÔÓÒØ Ò Ð ØØÙ ËØ ¹ Ò Ù Ø Ø Ð ½ ¼ ÞÒÓ Þ äþ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ñ Ö Øã Ñ ÓÐ ¹ Ò Ú Þ Ð Ø Ò Ðº Ø Ø Ð Ý Ñ Ú ÐØÓÞ Ø ÞØ ÐÐ Ø Ó Ý A ½, A ¾ R Ä Ù ¹Ñ Ö Øã ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ æ ÐÑ ÞÓ ÓÖ A ½ A ¾ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð ã ÔÓÒØÓغ ÒÒ Ø Ø ÐÒ Þ ÑÓ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ñ Ö Ø ÝÖ ÞØ R Ñ ØÓÔÓÐÓ Ù Ñ ÖØ Ø ÖÖ Ð ÐÝ ØØ Ø Øã Ñ Ö ÞØ Þ ä Þ Ý ØÚ ÐØÓÞ Ú ÒÝÖ Ö Ð Øãº Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ó Ò Ý Ö Þ Ï Ð ÓÒ¹ ÓÐ Ø Ò ½ Ð ÔÙÐ Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ Þ x Y f ½ x yµf ¾ yµ dy ÓÒÚÓÐ ÓÐÝØÓÒÓ º ãð Þ f i ÐÝ Ö Þ A i ÐÑ Þ Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ Ø ÐÝ ØØ ØÚ äòòý Ò Ñ Ô Ø Ù ËØ Ò Ù Ø Ø Ð Øº Î Ý ÞÖ Þ ÐãÞã ÔÓÒØ Ò Þ ½º½¼º ½µ ÐÑ Þ µ¹ñ ÖØ n f i g i x, yµµf i g i x ¼, yµµ dµ yµ,

½º Ú Þ Ø ÓÐ f i K i ÐÑ Þ Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ º Þ ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Ñ Ö Ñ Ö Øã ãð äú Ø Þ ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÔÙ Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Þ Ò Ú Ò Þ Ý ÐØ Ð ÒÓ ËØ Ò Ù ¹Ø ÔÙ Ø Ø Ð Ø Ø Ñ äö ÞÓÖÓ Ò ä Þ º º ¹ Ò Ðã ÞäÖ Ï Ð Ø Ø Ð Ø ÐØ Ð ÒÓ Ø Ù Ý x Y h f ½ g ½ x, yµµ,..., f n g n x, yµµµ dµ yµ Ð Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÞÓÒÝ ØÚ Ñ ËØ Ò Ù Ø Ø Ð Ø ÐØ Ð ÒÓ Ø¹ Ù ØØãÒ Ð Øä Ú ÐØÓÞ ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝÖ Þ ä Þ ¹ ÐÝ Øغ ËÞ ÑÓ ÓÖ Ö Ñ ÒÝ Ô Ð Ø ÒØ º Þ ÐØ ¹ Ð ÒÓ Ø Ø ÑÔÐ Ø Ñ ÓÒ Þ º º º ½ º ¹Ó Ò ÜÔÐ Ø Ñ ÓÒ Ô º ¹ Ò ¾¾º ¹ Ò ÓØØ Ð ÐÑ Þ Ò Ó Ù Ð ÞÒ ÐÒ º ½º½¾º Ö ¹ Ø Ö º ËÞÓÖÓ Ò Ð Ú Ò Ñ ÖØ Ö ¹ Ø ¹ Ö äþäøø ÇÜØÓ Ý ½ ¾ äòýú Ð Ò Ú Þ Ø º ÒÒ Ð Ô Ò Ú Ö ¹ Ø Ó Ý Ñ ÖØ ÐÑ Ð Ø Ø Ø Ð Ò Ý Ö Þ Þ ÓÒÐ Ø Ø Ð Þ Ö ¹ Ø Ö Ø Ò º ËØ Ò Ù Ø Ø Ð Ú Ð Ò Ð Ø Ø Ð Ö ¹ Ø Ö ¹ Ø Ò È Ö Ø Ø Ð Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ A R Ñ Ó Ø Ö Ö ¹ ØÙÐ ÓÒ ÓÖ A A Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ ÓÖ Ý äöòý Þ Ø Øº ÒÒ Ø Ø ÐÒ ÓÒÐ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ù Ñ ÒØ ËØ Ò Ù Ø Ø Ð Ò Ð º ¹Øº Ö ¹ØÙÐ ÓÒ Ð äú Ø Þ ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÔÙ Ø Ø Ð ÓÒÐ Ñ Ö Øã ãð äú Ø Þ ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÔÙ Ø Ø Ð Þ Þ Ø ½¼º ¹ Ò Ø Ö Ý Ð Ù º ½º½ º ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ÓÐ Ó «Ö Ò Ð Ø º Æ Ñ Ú Ø Ð Ò Þ Ð Ô ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ÓÐ Ó «Ö Ò Ð Ø Ò ÞÓÒÝ ¹ Ø º Å ÒØ Þ ½º½¼ ÔÓÒØ Ò Ð ØØÙ Ð Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ «Ö Ò Ð¹ Ø ÓØ ÞÓÒÝ Ø Ò Þ äú Ø Þ ÐÓ Ð Ä Ô ØÞ¹ØÙÐ ÓÒ ÒÒ¹ ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Ù º Þ ½º Ð Þ Ù Ñ Þ Ö ÐØ Ð ÒÓ Ø Ú ØÓÖ¹Ú ØÓÖ Ú ÒÝ Ö ÞÒÓ Ø ÚÓÐÖ Ð Ñ Ð Øãº Æ ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ ÐÓ Ð Ä Ô ØÞ¹ØÙÐ ÓÒ äþäøø Ð ÐÝ Þ ã ØÙÐ ÓÒ ÓØ Ñ Ó ÙÒ Ú Þ ÐÒ ÀĐÓÐ Ö ÓÐÝØÓÒÓ ÓØ ½¾º µ Ð ÒÝ Ò ÓÖÐ ØÓ Ú ÐØÓÞ Ø ½ º µº Æ ÑÖ Ò ÞÓÒÝÓ ÓÑÔ Ø ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ Ö ÐØ ÓÐÝ Ò Ö ¹ Ñ ÒÝ Ø Ð ÖÒ Ñ Ñ ÐÝ Ð Øä Ý ÓÖÐ Ø ÐÖ Ð Ò ã Ò Öã Ð ½½º ÔÓÒØÓغ Þ Ò Þ Ö Ñ ÒÝ Ò Þ Ð ã Ð ÐÑ Þ Ó ¹ ØØãÞ ¾½º½¾ Ý ÒÐ Ø Ò Ñ ÓÐ ÚÓÐغ ÞÓÒ Ò ÞØ ÓÒ ÓÐÓÑ Ó Ý Þ Ò Ö Ñ ÒÝ Ö Ò Ð Ó ÐÐÙ ÞØÖ Ó Ý Å Ö Ó ÓÒ Ð ¹ Ø ÓÐ ÓÞ Ø Ò Ï Ö ØÖ ¹ Ð Þ Ñ ¹ Ú ÒÝ Ö Ø Ö Þ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö Ñ ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÑÙÒ ÒÝ Ð Ú Þ µ Ñ ¹ Ô Ø ãø ÐØ Ð ÒÓ Ö Ñ ÒÝ Ò Ð ¾ º ¹Øº ½º½ º Ò Ð Ø Ù º Þ ÙØÓÐ Ð Ô Ð ÒÒ ÒÒ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Ú Ø Ð Ò Ó ÞÓÖ «Ö Ò Ð Ø Ñ ÓÐ Ó Ò Ð Ø Ù º ÞÞ Ð Ð Ô Ð Ô ÓÐ Ø Ò Ý Ò Ö Ñ ÒÝ Ú ÒÒ Ð ½ º ¹Øº Î Ý ÞÓÒ¹ Ò ÞÖ Ó Ý Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø ãð Ý Ö Ò Ý «Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø

¾¼ ½º Ú Þ Ø Ô ØÙÒ Ý ÞÓÒÝÓ Ø Ò «Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö ÙÐ Ö Ø ÐÑ ¹ Ð Ø ÞÒ Ð Ø º Ä Ù ÓÒÒ ½¼º º ¹ Ø äþäò «Ö Ò Ð ¹ Ý ÒÐ Ø Ð Ô ÓÐ Ø Ò Ð Ö ½ äòýú Ò Þ ØØ ÖÓ ÐÑ Ø ÁÁ» ß º Óº ÁÐÝ Ò Ñ Þ ÖÖ Ð ÞÓÒÝ Ø ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ äþ Ô ÖØ Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ò Ò Ð Ø Ù Ø Ä ÚÖÙ ËÛ Ø ½¾½ ÓÐ Ó¹ Þ Ø º È Ð ½ ÓÐ ÓÞ Ø Ò ÐØ Ð ÒÓ Ñ Þ ÖØ Ñ ÐÐÝ Ð ä Þ Ð Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ø «Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ö Ù Ð ØÙÒ º Å Þ Ö Ò Ø Ú Ð Ñ ÑÙØ Ø Ó Ý Ñ Ð Ðã ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ Ñ ÓÐ Ó Ò ¹ Ð Ø Ù ÒÝ ÐØ ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ý ÓÐÝ Ò Ò Ý Ö Þ ÐÑ Þ Ò Ñ Ðݹ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Þ Ö Øº ½º½ º Å Ö ÙÐ Ö Ø ØÙÐ ÓÒ Ó º Å ÒØ Ð ØØÙ Þ ½º ÔÓÒØ Áµß ÎÁµ Ð Ô Ø ÖÑ Þ Ø Ð Ô ã Ø Ô ÞÒ Ñ ÐÝ Ø Ú Ð Ñ Ö Øã ãð Ú Ý Ö ¹ØÙÐ ÓÒ Ð Ò ÙÐÚ Ð Ô Þ Ó ØÙÒ Þ Ò Ð Ø Ù º Ì ÖÑ Þ Ø Ò Þ ÑÓ Ñ Ö ÙÐ Ö Ø ØÙÐ ÓÒ Ð Ô¹ Þ Ð Ø㺠ÑÐ Ø Ò Ñ ÖäÚ Ò Ò ÒÝ Øº Þ Ý Þ Öæ Ø Ò Ý Ö Ò ÞÒ Ð ØÓ ÓÒÝÓÐÙÐØ Ý ÒÐ ¹ Ø Ö Ò Ñ ØæÒ ÓÐÝ Ò ÞÒÓ Ò ÐØ Þ Ó Ý Ñ ÓÐ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ÐØ Ø ÐÒ Ø Þ Ð Ø Ý ÔÓÒØ Ò Ú Ý Ý ÔÓÒØ Ú Ð Ñ ÐÝ äöòý Þ Ø Òº Ä Ò Ô Þ Öæ ÞØ ÐØ ÒÒ Ó Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ ÐÝ Ò Ñ ÓÐ ÓÐݹ ØÓÒÓ º Å ÒØ Ñ Ö ÑÐ Ø ØØ Þ f x yµ f xµ f yµ ٠ݹ Ý ÒÐ ØÒ Ð Öä Þ ØÚ y¹ø Ð Ø Ù Ó Ý Ñ ÓÐ y äö Ð ÓÒ Ø Ò ÔÐÙ Þ Ñ ÓÐ ÓÖ äö Ð Ö Þ Ò ÐØÓÐØ º Ý Ù Ý¹ Ý ÒÐ ØÒ Ð Ý Ñ ÓÐ ÓÐݹ ØÓÒÓ Ý ÔÓÒØ Ò ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ Ò Ò Øغ ËÓ Ñ ØÙÐ ÓÒ Ö ÓÒÐ ÐÐ Ø Ø Ð Ðºµ ÅÓ Ø Ò Ò Å Ø ÓÛ ½¾ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Þ Ø Ñ ÓÒ ÓÐ Ó Ø Ù Ý¹Ø ÔÙ f g x, yµµ h x, y, f xµ, f yµµ Ý ÒÐ ØÖ Ñ ÐÝ Ò f Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú Òݺ ÞÓÒ Ò Ñ Ý ÒÐ Ø Ø Ò Ò Ñ Ð Ø Þ ÐÝ Ò ÞÒÓ Ò ÐØ ÒÒ Ó Ý Ñ ÓÐ ÓÐÝØÓÒÓ Ý ÔÓÒØ Òº È Ð ÒØ Ð Ú Ù Þ ÓÐÚ Ý ÐÑ Ø ÖÖ Ó Ý ÞÓ Ø Þ Ý ÔÓÒØ Ò ÓÐÝØÓÒÓ f ¼, ½ R Ú ÒÝ Ø Ñ ÐÝ Þ Ò ÓÖÑ Ð Ô¹ Ý ÒÐ Ø Ø Þ ( ) ( ) y x f xµ ½ xµf f yµ ½ yµf, ¼ < x, y, x y < ½ ½ x ½ y Ý ÒÐ Ø Ø Ð Ø Ò Ñ ÐÝ Ò Ý Þ Öæ Ñ Ø ÖÓÞÒ Ð ÖÖ Å ½¾ غ Þ Ý ÒÐ Ø Ö ÞÐ Ø Ø Ö Ý Ð Ø Ð Þ Ð Ö ÓÞÝ ½ äòýú Òºµ À ÓÒÐ Ø Ù ÞØ ä Þ ÞÞ Ð Ñ ÐÝ Ò Ý¹ Þ Öæ Ò Ô Ù Ñ Ö Øã Ñ ÓÐ Ó Ø ÐØ Ð ÒÓ Ö Ñ ÒÝ Ò Ð ÞÒ ¹ Ð Ú Ð ¾½º ¹ Òº Ý Ö Ò ÞÒ ÐØ ÐØ Ø Ð Þ Ó Ý Ñ ÓÐ ÓÖÐ ØÓ Ð ÐÖãÐ Ú Ý ÐÙÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Ú Ý ÐÓ Ð Ò ÓÖÐ ØÓ º È Ð ÙÐ f R R ٠ݹ Ý ÒÐ Ø Ý Ñ ÓÐ Ñ ÐÝ ÓÖÐ ØÓ ÑÓÒ Ù Ð ÐÖãÐ Ý x ¼ ÔÓÒØ Ý äöòý Þ Ø Ò ÓÖ f xµ xf ½µ Ñ Ò Ò x R¹Ö º Î Ð Ò Ú Ý ÞÖ Ó Ý Ñ Ú Ð f rx syµ rf xµ sf yµ Ñ Ò Ò x, y R r, s Q¹Ö Þ

½º Ú Þ Ø f Ö ÓÒ Ý Q Ð ØØ Ð Ò Ö ÐØ Ö R ¾ ¹Ò º À f xµ xf ½µ Ú Ð Ñ ÐÝ x R¹Ö ÓÖ ½, f ½µµ x, f xµµ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ð Ñ R Ð Øص Ö ÓÒÒ Ý f Ö ÓÒ æöæ R ¾ ¹ Òº ÐÓ Ð ÓÖÐ ØÓ Ò Ð Ý ÒØ Ú Ð Ú Ð ÒÒ ÞÓÒÝ ¹ Ø ÓÞ Ó Ý Ù Ý¹ Ý ÒÐ Ø Ý f R R Ñ ÓÐ Ö f xµ xf ½µ Ñ Ò Ò Øغ À ÞØ Ø Þ Ð Ó Ý f ÓÖÐ ØÓ ÑÓÒ Ù Ð ÐÖãÐ K ÓÒ Ø Ò Ðµ Ý ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ æ Ñ Ö Øã C ÐÑ ÞÓÒ Ñ ÐÝ ÐØ Ø Ð Ý ¹ ÒØ Ú Ú Ð Ò ÞÞ Ð Ó Ý f¹ Ø Ý Ñ Ö Øã Ú ÒÝ Ñ ÓÖ Ð C¹Òµ ÓÖ f x yµ f xµ f yµ ¾K, x, y C Þ Þ f ÓÖÐ ØÓ Ð ÐÖãÐ ¾K¹Ú Ð C C ÐÑ ÞÓÒº ËØ Ò Ù ¹Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ ½º½¼µ Þ ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ ÐÑ Þغ ÁØØ ÐÑÓÒ Ø Ù Ó Ý ÐÝ Ò ÓÖÐ ØÓ Ú Ý ÐÓ Ð ÓÖÐ ØÓ Ð¹ Ø Ø Ð Ý Þ Öæ Ý ÒÐ Ø Ò Ð Ð ÞÒ Ð Ø ÓÒÝÓÐÙÐØ Ý ÒÐ ¹ Ø Ò Ð Ò Ñ ÐÝ Ò ÞÒÓ º È Ð ÒØ Ñ Ø Þ Ò ÓÖÑ ½µ Ð Ô Ý ÒÐ ¹ Ø Ø ÑÐ Ø Ø º ÐÓ Ð Ò ÓÖÐ ØÓ Ñ ÓÐ Ó Ø ÞÞ Ð Þ Ý ÔÓÒØ Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ÓÐ Ó Ø µ ÖÖ Ø ÖÓÞØ Ñ º Ä Ñ ÖÖ Å ½¾ غ ÀÓ Þ Ñ ÓÐ ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÚÓÐØ Ú ÓÒ ÒÒ Þ Ý ÒÐ ØÒ Ñ Ò Ò Ò ÑÒ Ø Ú Ñ ÓÐ ÓÐÝØÓÒÓ ¹ Î Ð Ö ÓÞÝ Å Ø ÐÐ ÒÔ Ð Øº Ñ Ö Ù Ý ÜÔÓÒ Ò ¹ Ð Ý ÒÐ Ø Ò Ú Ð Ú ÐØÓÞ ÓÑÔÐ Ü ÖØ æ Ñ ÓÐ äþäøø Ú ÒÒ ÓÖÐ ØÓ Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ñ Ò Ò Þ f xµ e if½ xµ ä Þ ¹ Ð Ò ÐØ f R C Ú ÒÝ ÓÐ f ½ R R ٠ݹ Ý ÒÐ Ø Ý Ñ ÓÐ Ñ ÓÐ Ù Ý ÜÔÓÒ Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò ÞÓÐ Ø ÖØ Ñ Ò Ò ØØ ½º Ý Ñ ÞÖ Ú Ø Ð Ó Ý Ò ÝÓÒ Þ Ô Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ø Ò ÓÑÔÐ Ü Ñ ÓÐ Ó Ò Ñ «Ö Ò Ð Ø Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ü Ú ÐØÓÞ Ú ¹ ÒÝ Ö Ñ Ò Ð Ø Ù Ñ ÒØ Ø Ú ÐØÓÞ Ú Ð Ú ÒÝ º ÌÖ Ú Ð Ô Ð Ù Ý¹ Ý ÒРغ Ð ÐØ Ð ÒÓ ÓÐÝØÓÒÓ f C C Ñ Óй f zµ cz d z ÓÑÔÐ Ü c, d ÓÒ Ø Ò Ó Ð Ò Ñ «Ö Ò Ð Ø Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ü Ú ÒÝ d ¼º ÒØ Ô Ð Ò Ó ÓÐ Ó Ý ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÒ ÓÐ Ò Ð Ð Ý¹ Ù Þ Ý ÔÓÒØ Ò ÓÐÝØÓÒÓ ÐÓ Ð Ò Ú Ý ÐÓ Ð Ò ÓÖÐ ØÓ Ñ ÓÐ Ó Ú Þ Ð Ø Ø Ò Ñ ÔÖ ÐÙÒ Ñ ÓÑÔÐ Ü «Ö Ò Ð Ø ÓØ ÞÓÒÝ ¹ Ø Ò º ½º½ º Ý ÐØ Ð ÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ º Þ Ø Ö Ý ÐØ Ñ Þ Ö ÞØ Ù¹ ÐÐ Ó Ý Þ ½º º ¾µ Ý ÒÐ Ø Ð ÐØ Ð ÒÓ ÜÔÐ Ø Ý ÒÐ Ø Ð Ø Ú Þ Ð Ø Ò äþôóòø Ó ØÙÑ º À ÐØ Þ Ó Ý f f ¼ f ½ f ¾ f n ÓÖ Þ ½º ÓÓØ ØÖ Ô Ñ Þ Ö Ò Áµß ÎÁµ Ð Ô Ø ÞÒ Ð¹ Ø Ù º ÁØØ Ò Ò Þ Ò Þ f ¼ yµ f yµ Ø Ö Ð Ý Ù Ò Ñ ÓÖÐ ØÓÞÞÙ Þ ÐØ Ð ÒÓ Óغ ÞØ Ó Ý Ó ÓÐ Ð Ø ÒÝÐ äò y¹ø Ð ÞÞ Ð Ó Ù ÞØÓ Ø Ò Ó Ý ÐØ Þ Ó Ý g i Ñ ØÖ ÜÓ Ö Ò Ñ ¹ y Ü Ñ Ð º ÁÐÝ Ò Ñ ÓÒ Þ Ø Ö Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Øä Ú ÐØÓÞ Ý ÒÐ Ø Ð Ð ÔÚ Øã Ö ÙÐ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÞ ÙØÙÒ

¾¾ ½º Ú Þ Ø ½º½ º ÈÖÓ Ð Ñ º Ä Ý Ò X Y Z ÒÝ ÐØ Ö Þ ÐÑ Þ R r ¹Ò R s ¹ Ò R t ¹Ò Ð Ý Ò D ÒÝ ÐØ Ö Þ ÐÑ Þ X Y ¹Ò º Ä Ý Ò f X Z g i D X i ½, ¾,..., nµ h D Z n Z Ú ÒÝ º Ì Ý Ð Ó Ý ½µ f xµ h x, y, f g ½ x, yµµ,..., f g n x, yµµµ, x, yµ D ¾µ h Ò Ð Ø Ù µ g i Ò Ð Ø Ù Ñ Ò Ò x X¹Ö Ð Ø Þ Ý y Ñ ÐÝÖ x, yµ D g i x, yµ Ö Ò r i ½, ¾,..., nµº y Á Þ¹ Ó Ý Ñ Ò Ò f Ñ ÐÝ Ä Ù ¹Ñ Ö Øã Ú Ý Ö ¹ØÙÐ ÓÒ Ò Ð Ø Ù ½º½ º Å ÝÞ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐØÓÞ Ø º ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Þ Ò Ð Ø Ù Þ Ø C Þ Ú Ð ÐÝ ØØ ØÚ Ý Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÙÒ º Ì Ð Ò Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÒØÓ Ñ Ú Ð Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ø Ð Ý Ö Ò «Ö Ò Ð Ý ÒÐ ØÖ ØäÖØ Òã Ú Þ Ú Þ Ø Ð Ö Ñ º ǑÐØ Ð ÒÓ Ò Ú Þ Ð Ø Ù C p ¹ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÐ ½ p Ú Ý p ω ÓÐ C ω Ð ØØ Þ Ò Ð Ø Ù Ú ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ ÖØ Ò ã ω > µº Å ¹ Ú Ð Ò Ñ Öã Ñ ÞÓÖ Ø ÐØ ÒÒ Ó Ý Þ ÓØØ Ú ÒÝ Ñ Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ ÓÐ Ø Ð Ú ÖÙÒ Ö Ñ Ð Ø C p ¹C q ¹ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ú Þ ÐÒ ÐØ Þ Ó Ý Þ ÓØØ Ú ÒÝ C p ¹ Ò Ú ÒÒ ÞØ Ö ÞÞ Ó Ý Þ f Ñ ÓÐ C q ¹ Ò Ú Ò¹ ÁØØ ¼ q ω ½ p ω q pº È Ð ÙÐ Ò ÒÝ Ø Ø Ð Ò ÒÒ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ó Ý f ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ÞØ Ó Ù ÐØ ÒÒ Ó Ý g i Ú ÒÝ Ø Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð¹ Ø ÐÐ ØÚ ÒÒ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ó Ý f ÓÐÝØÓÒÓ ÞØ Ó Ù ÐØ ÒÒ Ó Ý g i Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø º ½º½ º Å ÝÞ º ½µ ÒØ ÐØ Ð ÒÓ ½º½ Ö ÙÐ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ C ¹Ú ÐØÓÞ Ø Ø Þ ÖÞã Ó ÐÑ ÞØ Ñ Â Ö ¾ µ Ö Ø Ð Ý Ú Ð Ñ Ú Ð Ý Ò ÓÖÑ Ò Þ f xµ h x, y, f yµ, f g ½ x, yµµ,..., f g n x, yµµµ Ú ÒÝ Ý ÒÐ ØÖ º ÞØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Þ Ð Â ÒÓ Áº Æ ÑÞ Ø äþ ¹ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø ËÞ ÑÔ Þ ÙÑÓÒ Ð ÓÒØÓ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ð Ô¹ ÓÐ ØÓ Ñ ÓÐ ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ äþäøø Ñ ÖØ ØØ Ð Þ Ð ¾ º Óºµº Þ ÐÑ ÐØ Ø Þ ÒäØ Ú ÞØ ÑÙØ ØØ Ó Ý Þ f yµ Ø ÐØ Ð ÑÔÐ Ø Ñ ÓÒ Ú Þ Ø ØØ X Y Ñ ÞÓÖ Ø Ò Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÐ Òº Ý ÒØ Öã ÓÖÑ Ø Ó Ù Ú Þ ÐÒ º ¾µ ÐÝ ØØ Ó Ý Ñ Ò Ò x X¹ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò y Y Ñ ÐÝÖ x, yµ D g i x, yµ Ö Ò r Ñ Ò Ò ½ i n¹ö Ú Ú Ð Ò Ð ÒÒ ÞØ ÐØ ÒÒ y Ó Ý g i ½ i n Ö Ò r Ñ Ò Ò ØØ D¹Ò Ñ Ò Ò x X¹ Þ Ú Ò y ÓÐÝ Ò y Y Ñ ÐÝÖ x, yµ Dº Î Ð Ò D¹Ø ÐÝ ØØ Ø Ø ÞÞ Ð ÒÝ ÐØ Ö Þ ÐÑ Þ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ò g i y Ö Ò rº

½º Ú Þ Ø ½º¾¼º ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ó ÐÑ ÞÓØØ º Ý Þ Öæ Ô Ð Ð Ñ ÑÙ¹ Ø Ø Ù Ó Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ò Þ Ö ÔÐã ÐØ Ø Ð ãð Ý Ñ Ý Ø Ð ÐØ Ø Ð Ú Þ Ø Ò Ð Ðº Þ ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Ò Ñ Ó Ø Ð Ò ÒØ ÔÖÓ ¹ Ð Ñ Ø Øä Ú ÐØÓÞ Ø Ö Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ö ÙÐ ¹ Ö Ø Ð ÔÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ú ÞÒ º Ý ØØ Ð Þ ÐÐ ÒÔ Ð äö Ð Ø ÖÓÐ ÞØ Ñ ÐÝ Ò Ø ÔÙ Ú ÐØÓÞØ Ø Ó ÔÞ Ð Øã Ð ÐØ Ø Ð Òº Þ ÑÔÐ Ø f xµf yµf x yµ ¼ Ý ÒÐ Ø ÑÙØ Ø Ó Ý ÑÔÐ Ø Ý ÒÐ Ø Ö ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ø Ð ÐÒ Ö Ù¹ Ð Ö Ø Ø Ø Ð Ñ Ò Ò f R R Ú ÒÝ Ñ ÓÐ Ñ ÐÝÖ f xµ ¼ x ½, ¾ º Î Ð Ò x, y ½, ¾ ÓÖ x y ¾, Ý ÞÓÖÞ Ø ÒÙÐÐ º Þ äþäøø Ú ÒÝ äþäøø Ú ÒÒ Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ñ Ö Øã Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ñ «Ö Ò Ð Ø Ø º Ý Ñ Ï Ö ØÖ ¹ Ð Þ Ñ ¹ Ú ÒÝ Ø Ö Ø Ö Þ Ð Ý ÒÐ ØØ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ô Ð Ø Ð Ð Ø ¾ º¾ Ñ ÝÞ Òº Ù Ý ØÚ Òݹ Ý ÒÐ Ø f yzµ f yµf zµ ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Þ Ý ÒÐ Ø Ò Þ ÖØ Ð Ñ Ò ÑÔÐ Ø Ó Ý Ú ÐØÓÞ Ú Þ Ø Ú Ð Ò Ñ ØÙ Ù f xµ... Ð Ö ÓÞÒ ÓÖ Ñ Ø Ð Ð Ö ÙÐ Ö Ø ÐØ Ð Òº Î Ð Ò ØØ Ñ Ò Ò f R R f xµ x c f xµ x c Ò x Ú ÒÝ Ñ ÓÐ c R ¼ c ÒÙÐÐ Ò ÖØ Ò ãµº Þ äþäøø Ú ÒÝ äþäøø Ú ÒÒ Ñ ÐÝ Ñ Ö Øã Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ø º Þ Ó Ý Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø D ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ö Ð ÐØ Þ Ó Ý ÒÝ ÐØ Ø Ò ÐÐ æ ÐØ Ø ÐÒ Ð Ø Þ Ò Ð Ð Ò Þ Ð ÒÒ g i Ð ã Ú ÒÝ «Ö Ò Ð Ø Ö Ð Þ ÐÒ º ÀÓ Ý Þ ÐØ Ø Ð Ò Ñ Ý Ø Ð Ñ ÓÖ Ñ g i Ú ÒÝ Ò ÝÓÒ Þ Ô ÞØ Ù Ý ÜÔÓÒ Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò Ô Ð ÑÙØ Ø º ç Ú ÐØÓÞ Ø Ú Þ ØÚ Þ f xµ f x yµf yµ Ý ÒÐ Ø Ø Ô Ù º ÖÑ ÐÝ ÓÐÝ Ò D ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝÓÒ Ñ ÐÝ Ø ÖØ Ð¹ Ñ ÞÞ ¼, ¼µ ÓÖ Ø D ¼ { x, yµ ¼ < y < x} ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞØ Ö Þ D ¼ Ð Þ ÖØ Ò Þ f ¼µ ½ f xµ ¼ x > ¼ ä Þ Ð Ò ÐØ Ú ÒÝ Ñ Ö Øã Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ÓÐ º À ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò h Ð ã Ú ÒÝ Ò Ò C p ¹ Ò ÓÖ Ñ ¹ ÓÐ Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ú Ò C p ¹ Ò ¼ p ωº ÞØ Þ Ð Ý Þ Öæ Ô Ð ÑÙØ Ø Ä Ý Ò H R R Ý äð äòä Ò Ý ÖØ ÐÑæ ÓÖ Ð¹ Ú ÒÝ f R R Ø ÒØ Ù Ý¹ Ý ÒÐ Ø Ø H f¹ö Þ Þ Ð Ý Ò ½µ H f x yµµ H f xµµ H f yµµ, x, y R. Þ Þ Ý ÒÐ Ø Ú Ú Ð Ò Þ ¾µ f xµ h f yµ, f x yµµ, x, y R,

¾ ½º Ú Þ Ø Ý ÒÐ ØØ Ð ÓÐ h¹ø h z ½, z ¾ µ H ½ H z ¾ µ H z ½ µµ ä Þ Ò Ð z ½, z ¾ Rº Ý f ÓÖ ÓÖ Ñ Ö Øã ÓÐÝØÓÒÓ Ø º Ñ ÓÐ ½µ¹Ò f Ñ Ö Øã ÓÐÝØÓÒÓ Ø º Ñ ÓÐ ¾µ¹Ò º f Ñ Ö Øã ÓÖ H f Ñ Ö Øã Ý Ú Ð Ñ ÐÝ c ÓÒ Ø Ò Ð H f xµµ cx Þ Þ f xµ H ½ cxµ Ñ Ò Ò x R¹Ö º À H ½ Ñ Ö Øã Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ñ «Ö Ò Ð Ø Ø º ÓÖ ¾µ¹Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò Ñ Ö Øã ÓÐÝØÓÒÓ Ø º Ñ ÓÐ Ñ ÐÝ Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ñ «Ö Ò Ð Ø Ø º º Æ ÝÓÒ ÓÒÐ Ô Ð ÑÙØ Ø Ó Ý ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò g i Ð ã Ú ÒÝ Ú Ý Ð Ð Ý µ Ò Ò C p ¹ Ò ¼ p ω ÓÖ Þ f Ñ ÓÐ Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ú Ò C p ¹ Òº Ä Ý Ò G R R Ý äð äòä Ò Ý ÖØ ÐÑæ ÓÖ Ð¹ Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ö Ò Ð Þ äú Ø Þã ØÙÐ ÓÒ Ð A R ÒÙÐÐ Ä Ù ¹Ñ ÖØ æ ÓÖ G ½ Aµ ÒÙÐÐ Ñ ÖØ æº Ä ¹ Ý Ò f R R Ý Ú ÒÝ Ø ÒØ Ù Ý¹ Ý ÒÐ Ø Ø Þ f G Ú ÒÝÖ Þ Þ Ø Ý Ð Ó Ý µ f G X Y µµ f G Xµµ f G Y µµ, X, Y R. Þ x G Xµ y G Y µ ÐÝ ØØ Ø Ð ÞØ Ô Ù Ó Ý Þ Þ Ý ÒÐ Ø Ú Ú Ð Ò Þ µ f xµ f g x, yµµ f yµ, x, y R Ý ÒÐ ØØ Ð ÓÐ g g x, yµ G G ½ xµ G ½ yµµ ä Þ Ð Ú Ò ¹ Ò ÐÚ x, y Rº Ý f ÓÖ ÓÖ Ñ Ö Øã ÓÐÝØÓÒÓ Ø º Ñ ÓÐ µ¹ò Ñ Ö Øã ÓÐÝØÓÒÓ Ø º Ñ ÓÐ µ¹ò º f Ñ Ö Øã ÓÖ f G Ñ Ö Øã Ý Ú Ð Ñ ÐÝ c ÓÒ Ø Ò Ð f G Xµµ cx Þ Þ f xµ cg ½ xµ Ñ Ò Ò x R¹Ö º À G ½ Ñ Ö Øã Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ñ «Ö Ò Ð Ø Ø º ÓÖ µ¹ò Ú Ò Ñ Ö Øã ÓÐÝØÓ¹ ÒÓ Ø º Ñ ÓÐ Ñ ÐÝ Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ñ «Ö Ò Ð Ø Ø º º Î Ý ÞÖ Ó Ý G Xµ X Ô Ð Ø Ò ÞØ Ô Ù Ó Ý f xµ cx ½/ º Ò Þ Ø Ò µ Ý ÒÐ Ø Ò g x, yµ x ½/ y ½/ µ º g Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ R R¹ Ò Ö ÒÝ ÞÓÖ «Ö Ò Ð Ø Ñ Ò Ò x, yµ x ¼ y ÔÓÒØ Òº Å Þ y g ¼, yµ y Ú ÒÝ «Ö Ò Ð¹ Ø Ö Ú ÐØ Ò Ñ ØæÒ Ðº x ¼¹ ÓÞ Ò Ò ÓÐÝ Ò y R Ñ ÐÝÖ g «Ö Ò Ð Ø x, yµ¹ Òº Þ ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý g Ð ã Ú ÒÝ «Ö Ò¹ Ð Ø Ò Ñ Ý Ø Ðº Þ Ô Ð ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Þ ÐØ Ø Ð Ñ Ý Ø Ð Ó Ý Ñ Ò Ò x¹ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò y Ñ ÐÝÖ x, yµ Dº Î Ð Ó Ý g i Ö Ò Ò r¹ò ÐÐ Ð ÒÒ ÞØ Ù Ý ØÚ Òݹ y Ý ÒÐ Ø ãð Ú ÐØÓÞ Ú Þ Ø Ú Ð ÒÝ ÖØ Ð Ý Þ Öæ Ô Ð ÑÙØ Ø f xµ f yµf x/yµ, x R, ¼ y R. ÁØØ x ¼¹ ÓÞ Ò Ò ÓÐÝ Ò y Ñ ÐÝÖ g ¼, yµ ¼ ÓÐ g x, yµ x/yº y Ú Ð ÖØ æ Ñ ÓÐ Ó äþäøø ÓØØ Ú ÒÒ Þ f xµ x c f xµ x c Ò x Ú ÒÝ ÓÐ c R ¼ c ÒÙÐÐ Ò ÖØ Ò ãº Þ Ò Ñ ÐÝ Ñ Ö Øã

½º Ú Þ Ø Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ñ «Ö Ò Ð Ø Ø º Í Ý Ò Þ Þ Ý ÒÐ Ø Ñ Ñ ÒÞ Ò ÐÐ ÒÔ Ð Ø x, y R r Þ y Ý ØÐ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ñ ÒÙÐÐ Þ x/y ÒÝ Ó Ø ÓÓÖ Ò Ø Ò ÒØ ÖØ º ÁØØ Ñ ÓÐ Ó äþäøø Ú ÒÒ Þ f xµ r f i x i µ Ú ÒÝ ÓÐ Ñ Ò Ò f i Ú ÒÝ f i x i µ x i c i Ú Ý f i x i µ x i c i Ò x i Ð º Å Ô Ð ÖÖ Ó Ý g i y Ö Ò r ÐÐ Ð Ý Ò Ë ÒÓÚ¹ Ý ÒÐ Ø f x ½, x ¾ µ f x ½, yµ f y, x ¾ µ. ÒÒ Þ Ý ÒÐ ØÒ Þ ÐØ Ð ÒÓ f R R R Ñ ÓÐ f x ½, x ¾ µ g x ¾ µ g x ½ µ ÓÐ g R R Ø Ø ÞãÐ Ú Òݺ Î Ð Ò ÖÑ ÐÝ ÐÝ Ò Ð f Ñ ÓÐ º ÒÒ ÞÓÒÝ Ø Ö Ó Ý Ñ Ò Ò f Ñ ÓÐ Ðã ÐÐ Ý Ò Ð Ù g¹ø g xµ f x, cµ ä Þ Ð ÓÐ c R Ø Ø ÞãÐ ÓÒ Ø Ò º ½º¾½º ǑØÚ Ø Ð ÐÚ Ý Ý Þ Öæ Ô Ð º ËÞ ÑÓ ÐäÒ äþã ØÖ Ú Ò Ñ ÐÝ Ø Ú Ð Ö Ñ ÒÝ Ò ÓÐÝ Ò Ø Ò ÞÒ Ð Ø Ñ ÐÝ Ò Ð Ø Þ Ð äþú ØÐ Ò Ð Ò Ñ Ð Þ Ð ÐÑ Þ Ó Ð Ó Ð Ð ÓÞ Ö Þغ Ý ÐÝ Ò Ò ÝÓÒ ÓÒØÓ ØÖ äø ÐØ ØÐ Ò Ð Ñ ÐÐ ÑÐ Ø Ò Ò º Ä Ø Þ Ð Þ ½º½ º ½µ Ý ÒÐ Ø Ò Ô Ð Ò Ø ÒØ Ø Ò Ó Ý Ý Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Þ Ö Ô Ð ÒÒ º ÞÓÒ Ò Þ Ñ ÞÓÖ Ø Ò Ñ ÓÐÝ Ò Öã Ñ ÒØ Ñ ÐÝ ÒÒ Ð Ø Þ º À ÓØØ Ý ÐØ Ð ÒÓ Ø Ö Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Øä Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ò Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Þ Øã Þ Ý ÒÐ Ø ãð ÓÖ Ñ ÙØ Ò ÐäÒ äþã Ú ÐØÓÞ Ø Ú Þ ØØ Ò Ñ Ò Ò Ý ÒÐ Ø Òµ Ø ÒØ Ø Ò Ý ÓÐÝ Ò Ú ØÓÖ ÖØ æ Ú ÒÝØ Ñ ÐÝÒ ÐäÒ äþã Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ñ ÒÝ Ò¹ Ø Ð ÐÑ Þ Ø Ù ÖÖ Þ Ý ØÐ Ò Ú ØÓÖ Ú ÐØÓÞ Ú ØÓÖ ÖØ æ Ñ ¹ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝÖ º Þ Ú Ð Ó Ò ÑÙØ Ø Ñ ÐÝ Ò ÓÒØÓ Ó Ý Ú ØÓÖ¹Ú ØÓÖ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ø Ø Ö Ý Ð ÙÒ º Å ÐãØØ Ø Ð ÐØ Ð ÒÓ Ò Ñ Ó¹ ÐÑ ÞÒ Ò ÞØ Þ ØÚ Ø Ð ÐÚ Ø Þ f ½ x yµ f ¾ xµ f yµ, f ½, f ¾, f R R È Ü Ö¹ Ý ÒÐ Ø Ý Þ Öæ Ô Ð Ò ÑÙØ Ø Ù Ðã ÞäÖº ÒØ Ý ÒÐ Ø ãð Þ Ð ÖÓÑ Ý ÒÐ Ø Ø Ô Ù f ½ x ½ µ f ¾ x ½ y ½ µ f y ½ µ, f ¾ x ¾ µ f ½ x ¾ y ¾ µ f y ¾ µ, f x µ f ½ x y µ f ¾ y µ. ÅÓ Ø Þ x x ½, x ¾, x µ y y ½, y ¾, y µ ÐäÐ Ð Þ f xµ f x ½, x ¾, x µ f ½ x ½ µ, f ¾ x ¾ µ, f x µµ ä Þ Ð Ò ÐØ f R R Ú ÒÝ Ð Ø Ø Þ Þ ½µ f xµ h f x y, x ½ y ½, y ¾ µ, f x ¾ y ¾, y, y ½ µµ Ý ÒÐ ØÒ ÓÐ Þ u u ½, u ¾, u µ v v ½, v ¾, v µ ÐäÐ Ð h R R Ú ÒÝØ h u, vµ u ¾ v, v ½ u, u ½ v ¾ µ ä Þ Ò Ð º

¾ ½º Ú Þ Ø Î Ý ÞÖ Ó Ý Þ ½µ Ý ÒÐ Ø Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ò ÐØ Ø Ð Ø Ø Ð ¹ Ø º Ò Ô Ð Ò È Ü Ö¹ Ý ÒÐ Ø Ñ Ð Øã Ò Ô Ð ØÙÐ ÓÒ¹ Ø Ð ÞÒ ÐØÙ º ÞÓÒ Ò Ò Ð ØØÙ ÚÓÐÒ h R µ R Ú ÒÝØ h u ½, u ¾, u, u, u, u µ u ½,¾ u ¾,, u,½ u,, u,½ u,¾ µ ä Þ Ð ÓÐ u i u i,½, u i,¾, u i, µ R i ½, ¾,,,, ÓÖ Þ ¾µ f xµ h f g y µ, x ½ y ½, g y ¾ µµ,f g y ¾ µ, g y µ, y ½ µ,..., f g y ½ µ, y, g y ¾ µµµ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ø ÔØÙ ÚÓÐÒ ÓÐ g Ý Ø Ø ÞãÐ ÓÐÝØÓÒÓ Ò «¹ Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ Ñ ÐÝ R¹ Ø R¹ ÔÞ Ö Ú ÐØ Ò Ñ ØæÒ Ð Ñ Ò¹ Ò Øغ ¾µ Ý ÒÐ Ø Ð Ø Ø Þ Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ ÐØ Ø Ð Ò º Å Ý ÞÞ Ó Ý Þ ÐØ Ø Ð Ó Ý Ñ Ò Ò Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ð ¹ Ý Ò Þ Øã Þ Ý ÒÐ Ø ãð Ò Ñ Ý Ø Ðº Þ Ð Ý Þ Öæ Ô Ð ÑÙØ Ø Þغ Þ f xµ f x yµ f yµ f ¼ x yµf ¼ yµf ¼ x ¾yµ, f, f ¼ R R Ý ÒÐ Ø Ø Ò Þ f, f ¼ Ú ÒÝÔ Ö ÓÐ f xµ cx f ¼ Ø Ø ÞãÐ Þ ½, ¾ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ú Ð ÐØæÒã Ú ÒÝ Ý Ñ ÓÐ º Þ f xµ f x yµ f yµ f ¼ e x y µ f ¼ e x y ¾ µf ¼ yµ, f, f ¼ R R Ý ÒÐ Ø Ø Ò Þ f, f ¼ Ú ÒÝÔ Ö ÓÐ f xµ cx f ¼ xµ x c ¼ Ñ ÐÝ c ¼ R¹Ö Ð ¼ c ¼ Ð ØØ ÒÙÐÐ Ø ÖØÚ µ Ý Ñ ÓÐ º Ú Ð ¹ ÅÓ Ø Ñ Ó ÐÑ ÞÞÙ Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÚ Ø Ð ÐÚ Ø Ñ ÐÝ ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Þ ½º º ½µ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ö Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ö Ù¹ Ð Ö Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÐãÐ Ñ Ò Ò Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝÖ äú Ø Þ Ý ½º º ¾µ Ø ÔÙ ÜÔÐ Ø Ý ÒÐ Ø Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö Ù Ð Ø º ½º¾¾º ǑÐØ Ð ÒÓ ØÚ Ø Ð ÐÚº Ä Ý Ò X i R r i Y i R s i Z i R t i D i X i Y i ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ Ð Ý Ò Þ n i ¹ Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ Þ f i X i Z i ¹ Ô Ú ÒÝ i ½, ¾,..., mµº Ì Ý Ð Ó Ý ½ k i,j m Ý Ø ÖÑ Þ Ø Þ Ñ g i,j D i X ki,j Ý Ú ÒÝ ½ i m ½ j n i º Ä Ý Ò ØÓÚ h i D i Z ki,½ Z ki,ni Z i Ý Ú ÒÝ ½ i mº Ì Ý Ð Ó Ý ½ i m¹ö ÒÒ ÐÐ Þ f i x i µ h i ( xi, y i, f ki,½ g i,½ x i, y i µµ,..., f ki,ni g i,ni x i, y i µµ ), x i, y i µ D i Ú ÒÝ Ý ÒРغ Þ f i Ú ÒÝ Þ Ñ Ö ØÐ Ò Øä Ú ÒÝ ¹ Ñ Öغµ ÓÖ Þ x x ½,..., x m µ ÐäÐ Ð Þ f xµ f ½ x ½ µ,..., f m x m µµ ä Þ Ð Ò ÐØ f Ú ÒÝ Þ Ñ ÐÝ Þ X X ½ X ¾ X m R r r r ½ r m ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞØ Ô Þ Ð Z Z ½ Z ¾ Z m ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ú ÒÒ ÓÐÝ Ò n s Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ ÓÐÝ Ò Y R s D X Y ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ ØÓÚ Ð Ø ÞÒ ÓÐÝ Ò g j D X ½ j nµ h D Z n Z Ú ÒÝ Ó Ý Þ f xµ h ( x, y, f g ½ x, yµµ,..., f g n x, yµµ ), x, yµ D

½º Ú Þ Ø Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ø Ð Ðº h g j Ú ÒÝ Ú Ð ÞØ Ø Ý Ó Ý Þ Ð ÐÐ Ø Ó Ø Ð Ð Ò À h i g i,j i ½,..., m j ½,..., n i Ú ÒÝ C p ¹ Ò Ú ÒÒ ÓÖ h g j Ú ÒÝ C p ¹ Ò Ú ÒÒ ÓÐ ¼ p ωº ÁØØ C ω Ð ØØ Þ Ò Ð Ø Ù Ú ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ ÖØ Ò ãºµ ÌÓÚ g i,j Ú ÒÝ C ½ ¹ Ò Ú ÒÒ Ñ Ò Ò ½ i m¹ö Ñ Ò Ò x i X i ¹ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò y i Ó Ý x i, y i µ D i Ö Ò g i,j y i x i, y i µ r ki,j ½ j n i ÓÖ Ñ Ò Ò x X¹ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò y Y Ó Ý x, yµ D Ö Ò g j x, yµ r ½ j nº À ÓØØ Ò Ñ Ö Ð æ y C i X i ÓÑÔ Ø ÐÑ ÞÓ y i Ú Ð ÞØ Ø Ý Ó Ý g i,j x i, y i µ C ki,j Ø Ð Ð äò ½ i m ½ j n i ÓÖ y Ú Ð ÞØ Ø Ý Ó Ý g j x, yµ C Ø Ð Ð äò ½ j n Ø Ò ÓÐ C C ½ C ¾ C m º ÞÓÒÝ Ø º Ðã ÞäÖ Ú Ð ÞÙÒ s i ½ i m Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ¹ Ø Ñ ÐÝ Ð s i s i r j ½ j mº Ä Ý Ò Y i R s i º Å Ò Ò ½ i, k m Ô ÖÖ Ú Ð ÞÙÒ Ý Ø Ø ÞãÐ Ò Ð Ø Ù gi,k ÞÙ Ñ ÖÞ ¹ Ø Y i Y i ¹Ò C k Ð º ÑÐ ÞØ Ø Ò Ö Ó Ý Ú Ð Ñ ÐÝ Ù Ð Þ Ø Ö Ý ÒÝ ÐØ Ö Þ ÐÑ Þ Ò Ý «Ö Ò Ð Ø Ð Ô Þ Ø Ý Ù Ð Þ Ø Ö ÞÙ Ñ ÖÞ Ò Ò Ú ÞÞ Ö Ú ÐØ Ò Ö Ò Ñ Ò Ò ØØ Ñ Ý ¹ Þ ÔØ Ö Ñ ÒÞ Ú Ðºµ À ½ i m ½ j n i Ú Ð ÞÙÒ Ý p i,j Ô ÖÑÙØ Ø {½, ¾,..., m}¹ò Ñ ÐÝÖ p i,j k i,j µ iº Ò Ð Ù g i,j,k Ú ÒÝØ g i,j,k x i, y i, y i µ g i,j x i, y i µ ä Þ Ð x i, y i, y i µ D i Y i k k i,j º À k k i,j Ð Ý Ò g i,j,k x pi,j kµ, y pi,j kµ, y p µ i,j kµ gp i,j kµ,k y p i,j kµ, y p µ x i,j kµ p i,j kµ, y pi,j kµ, y p µ D i,j kµ p i,j kµ Y p º i,j kµ ÞÞ Ð Ò Ú Ð g i,j,k D pi,j kµ ÐÑ ÞØ X k ¹ Ô Þ º Î Ð Ò Ð¹ Ù g j ¹Ø ÓÐ j n ½ n ¾... n i ½ jº g j x, yµ Ú ÒÝ ÞÓÒ x, yµ Ô ÖÓ D ÐÑ Þ Ò Ú Ò Ò ÐÚ Ñ ÐÝ Ö x k, y k, y k µ D k Y k k ½, ¾,..., m ÓÐ x x ½, x ¾,..., x m µ y y ½, y ¾,..., y m µ y k y k, y k µ k ½, ¾,..., m g j x, yµ ÖØ Ø Ý Ò Ð Ù Ó Ý ÓÓÖ ¹ Ò Ø g i,j,k x pi,j kµ, y pi,j kµ, y p i,j kµ µ k ½, ¾,..., m Ð Ý Ò º Î Ý ÞÖ Ó Ý Ý Ò ÐÚ g j y Ö Ò Þ x, yµ ÔÓÒØ Ò r r i Ö Ò g i,j x i, y i µº y i Î Ð Þ Ð ÐäÐ Ð Ò Ð Ù h Ú ÒÝØ Ý Ó Ý ÓÓÖ Ò Ø Þ x, y, z ½,..., z n µ ÔÓÒØ Ò Ý ÞÞ Ò Ñ h i x i, y i, z i,½,..., z i,n i µ¹ú Ð ½ i m ÓÐ z i,j k i,j¹ ÓÓÖ Ò Ø z n½... n i ½ j Z ½ Z m ¹ Ò ½ j n i º ½º¾ º ã ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ð Ô ÓÐ ØÓ Ö Ñ ÒÝ ä Þ Ó Ð Ð º Ø Ð ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÐ ØÐ Òº ÔÖÓ Ð Ñ Ø Þ ½º ÔÓÒØ Áµß ÎÁµ Ð Ô ¹ Ò Ñ Ð Ðã Ò Ø Ö ÞÖ Ó ÞØ Ø Ù º Þ Áµ ÁÁµ Áε ε Ð Ô Ò Ñ Ð Ðã Ö ÞØ Ø Ð Ò Ñ ÓÐ Ù º ÁÁÁµ Ð Ô Ò Ñ Ð Ðã Ö ÞØ Ò Ñ Ø Ð Ò Ñ ÓÐ Ù ÔÓÒØÓ Ò Ý ÐØ Ð Ò Ø Ð Ðã ÓÑÔ Ø ÐØ ¹ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ ÓÐ Ù Ñ µº ÎÁµ Ð Ô Ð Ô ÓÐ Ø Ò Ò Öã ØÓÚ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ Ú ÒÒ Ö Ñ ÒÝ Ò º Þ Áµ ÁÁµ ÁÁÁµ Áε ε ÎÁµ Ð Ô Ò Ñ Ð Ðã Ö ÞØ Ö Ò Ö ºß º ½¼º ½½º ½ º ½ º ½ º Ô Ö Ö ¹ Ù Ó Ò Ø Ö Ý Ð Ù º ÌÓÚ Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÞ Ô ÓÐ Ö ÙÐ Ö Ø

¾ ½º Ú Þ Ø Ö Ñ ÒÝ Ø Ð Ð Ø Þ º º º ½¾º ½ º Ô Ö Ö Ù Ó Òº Þ Ð ¹ Ò ä Þ Ó Ð Ð Ù Þ Þ Ò Ô Ö Ö Ù Ó ÐØ Ð ÒÓ Ö Ñ ÒÝ Ò Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ äú Ø ÞÑ ÒÝ Øº ½º¾ º Ì Ø Ðº Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ ÐäÐ Ú Ð h ÓÐÝØÓÒÓ g i Ú ¹ ÒÝ Ô ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ò Ä Ù ¹Ñ Ö Øã ÐÐ ØÚ Ö ¹ØÙÐ ÓÒ f Ñ ÓÐ ÓÐÝØÓÒÓ º ÞÓÒÝ Ø º º ÐÐ ØÚ ½¼º¾ Ø Ø Ð äú Ø ÞÑ ÒÝ ÞÓ Ø ÐÓ¹ Ð Ò Ð ÐÑ ÞÞÙ º ½º¾ º Ì Ø Ðº Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ ÐäÐ Ú Ð h g i Ú ÒÝ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¹ Ö Ò Ð Ø f Ñ ÓÐ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ½ p µº ÞÓÒÝ Ø º ½ º¾ ½ º¾ Ø Ø Ð ãð äú Ø Þ º ½º¾ º Ì Ø Ðº Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ ÐäÐ Ú Ð h g i Ú ÒÝ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ò f Ñ ÓÐ Ñ ÐÝ ÐÓ¹ Ð Ò ÓÖÐ ØÓ Ú ÐØÓÞ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ½ p µº ÞÓÒÝ Ø º ½º¾ Ø Ø Ð ãð äú Ø Þ Ó Ý f ÓÐÝØÓÒÓ º ½ º¾ Ø Ø Ð ãð äú Ø Þ Ó Ý f ÐÓ Ð Ò Ä Ô ØÞº Þ ½º¾ Ø Ø Ð ãð äú Ø Þ Ó Ý Þ f Ñ ÓÐ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø º ½º¾ º Ì Ø Ðº Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ ÐäÐ Ú Ð h g i Ú ÒÝ Ñ Ü{¾, p}¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø Ú Ò ÓÐÝ Ò C ÓÑÔ Ø Ö Þ¹ ÐÑ Þ X¹Ò Ó Ý Ñ Ò Ò x X¹ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò y Y Ñ ÐÝÖ ½º½ º µ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ Ñ g i x, yµ C Ø Ð Ð ÓÖ Ñ Ò Ò Ä Ù ¹Ñ Ö Øã ÐÐ ØÚ Ö ¹ØÙÐ ÓÒ f Ñ ÓÐ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ½ p µº Î Ý ÞÖ Ó Ý Ø Ø Ð Ò Þ Ö ÔÐã Þ Øã ÓÑÔ Ø ÐØ Ø ÐØ Ñ ãöþ Þ ØÚ Ø Ð ÐÚº ÞÓÒÝ Ø º Þ ½º¾ ½º¾ ½½º Ø Ø Ð ãð äú Ø Þ º ½º¾ º Ì Ø Ðº Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ ÐäÐ Ú Ð n ¾ t ½ g ½ x, yµ y h Ú ÒÝ p¹ Þ Ö g ¾ Ú ÒÝ Ñ Ü{¾, p}¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «¹ Ö Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ò Ä Ù ¹Ñ Ö Øã ÐÐ ØÚ Ö ¹ØÙÐ ÓÒ f Ñ ÓÐ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ½ p µº ÞÓÒÝ Ø º Þ ÐÐ Ø Þ ½º¾ ½½º ½º¾ Ø Ø Ð äú Ø ÞÑ ÒÝ º ½º¾ º Ì Ø Ðº Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ ÐäÐ Ú Ð Þ ½º½ º ½µ Ú Òݹ Ý ÒÐ Ø Þ Ð Ô Ð Ð f xµ n ( h i x, y, f gi x, yµµ ), ÓÐ h i D Z R t Ú ÒÝ p¹ Þ Ö g i Ú ÒÝ Ñ Ü{¾, p}¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ò Ä Ù ¹Ñ Ö Øã ÐÐ ØÚ Ö ¹ØÙÐ ÓÒ f Ñ ÓÐ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ½ p µº ÞÓÒÝ Ø º Þ Ø Ø Ð Þ ½º¾ ½½º ½º¾ Ø Ø Ð ä Þ Ó Ð Ð º

½º Ú Þ Ø ½º ¼º Ì Ø Ðº Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ ÐäÐ Ú Ð Ø Ý Ð Ó Ý t ½ D a, b a, b Þ Ý ÒÐ Ø Þ Ð Ô Ð Ð ½µ f xµ n c i f g i x, yµµ, x, yµ D, ÓÐ c i R i ½, ¾,..., nµ g i a, b a, b a, b i ½, ¾,..., nµ. Ì Ý Ð ØÓÚ Ó Ý Þ Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð ÐÒ ¾µ g i x, yµ Þ x y äþäøø Ú Ò x, y a, b µ g i Ò Ð Ø Ù Ú Ð Ñ ÐÝ ¼ < A < ½ ÓÒ Ø Ò Ð p g i k x p k x, yµ y Ap p, x, y a, b p ½, ¾,... µ Ñ Ò Ò x a, b ¹Ö i ½, ¾,..., n¹ö Þ a, b ¹Ò a, b ¹ Ú Ð y g i x, yµ Ð Ô Þ Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Þ g i Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ t g i x, tµ Ð Ô Þ Þ y g i x, yµ Ð Ô Þ ÒÚ ÖÞ Ø Þ Ö ÓÐÝØÓ¹ ÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø Þ ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Òº ÓÖ Ñ Ò Ò f Ñ ÓÐ Ñ ÐÝ Ä Ù ¹Ñ Ö Øã Ú Ý Ö ¹ØÙÐ ÓÒ Ò Ð Ø Ù º ÞÓÒÝ Ø º Þ Ø Ø Ð Þ ½º¾ Þ ½ º¾ Ø Ø Ð Ø Ó Ð Ð ä Þ º ½º ½º Ê ÙÐ Ö Ø Ø Ø Ð Ó Ó ÓÒº ÓÑ ØÖ Ú Ý Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Þ ÖÑ Þ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ö Þ Ý ÒÐ Ø Ø ÖÑ Þ Ø ÖØ Ð¹ Ñ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ý «Ö Ò Ð Ø Ó º ºß½ º Ô Ö Ö Ù¹ Ó Ò Þ Ö ÔÐã Ø Ø Ð Ò Ý Ö Þ ÐØ Ð ÒÓ Ò ÑÐ Ò Ö Ý ÒÐ Ø Ú ØÓÖ¹ Ú ØÓÖ Ñ ÓÐ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÐÓ Ð ÐÐ æº Î Ö Ø Ó Ý Þ Ö ¹ Ñ ÒÝ Ö Þ ØÚ Øã «Ö Ò Ð Ø Ó Ó Ö º ÐÓ Ð ÐÐ æ Ö Ñ ÒÝ Ò Ð Þ ÑÑ ÓÒ ÓØ Ò Ñ Ó ÓÞ ÐÓ Ð ÐÐ æ Ö Ñ ÒÝ ÞÓÒÝ Ø Ø ÒÝ ÐÒ º Ó Ó Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö Ñ ÒÝ Ø Ö Ý Ð ½ º Ô Ö Ö Ù Ò ØäÖØ Ò º àö Ñ Þ Ð ÔÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ó ÐÑ ÞÒ «Ö Ò Ð Ø Ó Ó Ö ½º ¾º ÈÖÓ Ð Ñ º Ä Ý Ò X Y Z Ò Ð Ø Ù Ó Ó Ð Ý Ò D Þ X Y ÒÝ ÐØ Ö Þ ÐÑ Þ º Ä Ý Ò f X Z g i D X i ½, ¾,..., nµ h D Z n Z Ú ÒÝ º Ì Ý Ð Ó Ý ½µ f xµ h x, y, f g ½ x, yµµ,..., f g n x, yµµµ, x, yµ D ¾µ h Ò Ð Ø Ù µ g i Ò Ð Ø Ù Ñ Ò Ò x ¼ X¹ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò y ¼ Ñ ÐÝÖ x ¼, y ¼ µ D y g i x ¼, yµ ÞÙ Ñ ÖÞ Þ y ¼ ¹ Ò i ½, ¾,..., nº Á Þ¹ Ó Ý Ñ Ò Ò f Ñ ÓÐ Ñ ÐÝ Ä Ù ¹Ñ Ö Øã Ú Ý Ö ¹ØÙÐ ¹ ÓÒ Ò Ð Ø Ù

¼ ½º Ú Þ Ø Ì ÖÑ Þ Ø Ò ØØ Ñ Ó ÐÑ Þ Ø C p ¹ÔÖÓ Ð Ñ C p ßC q ¹ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÐÝ ØØ ÞØ Ð ÖØ Ó Ý Þ X Y Z Ó Ó C p ¹ Ó Ó º ½º º Ó Ó Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö Ñ ÒÝ ä Þ Ó Ð Ð º ÁØØ Ø Ð Ú Ð Þ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò Ñ Ñ Öغ Í Ý Ò Ý Ñ ÒØ Þ ½º½ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÞØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Þ ½º ÔÓÒØ Áµß ÎÁµ Ð Ô Ò Ñ Ð Ðã Ò Ø Ö ÞÖ Ó ÞØ Ø Ù º Þ Áµ ÁÁµ Áε ε Ð Ô Ò Ñ Ð Ðã Ö Þ Ø Ð Ñ ÓÐ äòòý Ò äú Ø Þ º ½¼º ½ º ½ º Ô Ö Ö Ù Ó Ö Ñ ¹ ÒÝ ãð Ð ÐØ ÒÒ Ó Ý Þ Ö ÔÐã Ó Ó C ¹ µº ÁÁÁµ Ð Ô Ø X ÓÑÔ Ø Ø Ò Ñ ÓÐ Ù º À X Ò Ñ ÓÑÔ Ø ØÓÚ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ ÔÙÒ Ö Ñ ÒÝ Øº Ö Ñ ÒÝ Ò Þ Ð Ø Ø Ð Ò ä Þ Þ¹ Øã ½º º Ì Ø Ðº Þ ½º ¾ ÔÖÓ Ð Ñ ÐäÐ Ú Ð X Y Z C ¹ Ó Ó h ÓÐÝØÓÒÓ g i Ú ÒÝ Ô ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ò Ä Ù ¹Ñ Ö Øã ÐÐ ØÚ Ö ¹ØÙÐ ÓÒ f Ñ ÓÐ ÓÐݹ ØÓÒÓ º ÞÓÒÝ Ø º ½ º½ ÐÐ ØÚ ½ º¾ Ø Ø Ð äú Ø ÞÑ ÒÝ ÞÓ Ø ÐÓ Ð Ò Ð ÐÑ ÞÞÙ º ½º º Ì Ø Ðº Þ ½º ¾ ÔÖÓ Ð Ñ ÐäÐ Ú Ð X Y Z C ¹ Ó Ó h g i Ú ÒÝ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ «Ö Ò Ð Ø f Ñ ÓÐ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ½ p µº ÞÓÒÝ Ø º ½ º ½ º Ø Ø Ð ãð äú Ø Þ º ½º º Ì Ø Ðº Þ ½º ¾ ÔÖÓ Ð Ñ ÐäÐ Ú Ð X Y Z C ¹ Ó Ó h g i Ú ÒÝ Ñ Ü{¾, p}¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð ¹ Ø Ú Ò ÓÐÝ Ò C ÓÑÔ Ø Ö Þ ÐÑ Þ X¹Ò Ó Ý Ñ Ò Ò x ¼ X¹ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò y ¼ Y Ñ ÐÝÖ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ µ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ g i x ¼, y ¼ µ C i ½,..., nµ Ø Ð Ð ÓÖ Ñ Ò Ò Ä Ù ¹Ñ Ö Øã ÐÐ ØÚ Ö ¹ ØÙÐ ÓÒ f Ñ ÓÐ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ½ p µº ÞÓÒÝ Ø º Þ ½º ½º ½ º Ø Ø Ð äú Ø ÞÑ ÒÝ º ½º º Ì Ø Ðº Þ ½º ¾ ÔÖÓ Ð Ñ ÐäÐ Ú Ð X Y Z C ¹ Ó Ó X ÓÑÔ Ø h g i Ô C ¹ Ú ÒÝ ÓÖ Ñ Ò Ò Ä Ù ¹ Ñ Ö Øã ÐÐ ØÚ Ö ¹ØÙÐ ÓÒ f Ñ ÓÐ C ¹ Ò Ú Òº ÞÓÒÝ Ø º Þ ÐãÞã Ø Ø Ð äú Ø ÞÑ ÒÝ º ½º º Ì Ø Ðº Þ ½º ¾ ÔÖÓ Ð Ñ ÐäÐ Ú Ð X Y Z C ¹ Ó Ó n ¾ Ñ Zµ ½ g ½ x, yµ y h Ú ÒÝ p¹ Þ Ö g ¾ ¹ Ú ÒÝ Ñ Ü{¾, p}¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ò Ä Ù ¹ Ñ Ö Øã ÐÐ ØÚ Ö ¹ØÙÐ ÓÒ f Ñ ÓÐ p¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò «Ö Ò¹ Ð Ø ½ p µº ÞÓÒÝ Ø º Þ ÐÐ Ø Þ ½º ½ º ½º Ø Ø Ð äú Ø ÞÑ ÒÝ º