Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2017. sz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 2. A logikai m veletek tulajdonságai, ítéletlogikai tételek Állítás 1 (A (B C)) ((A B) C), (A (B C)) ((A B) C) (asszociativitás); 2 (A B) (B A), (A B) (B A) (kommutativitás); 3 (A (B C)) ((A B) (A C)), (A (B C)) ((A B) (A C)) (disztributivitás); 4 ( (A B)) ( A B), ( (A B)) ( A B) (De Morgan); 5 ((A B) A) B; 6 ((A B) (B C)) (A C) (szillogizmus); 7 ((A B) (B A)) (A B). 8 (A B) ( B A) (a kontrapozíció tétele);
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 3. A logikai m veletek tulajdonságai, ítéletlogikai tételek Bizonyítás (példa) 1 A (B C) (A B) C (a logikai vagy asszociativitása) A B C B C A (B C) A B (A B) C (A (B C)) ((A B) C) i i i i i i i i i i h i i i i i i h i i i i i i h i i i i i i i h h i i i h i i h i h i i i i i i h h h i i i i h h h h h h h i
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 4. Kvantorok Kvantorok egzisztenciális kvantor: létezik, van olyan. univerzális kvantor: bármely, minden. Példa V (x): x veréb. M(x): x madár. Minden veréb madár. Van olyan madár, ami veréb. Minden veréb madár, de nem minden madár veréb. ( x(v (x) M(x))) ( x(m(x) V (x))). x(v (x) M(x)). x(m(x) V (x)).
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 5. Formulák A formulák predikátumokból és logikai jelekb l alkotott mondatok. (Formulák) A predikátumok a legegyszer bb, ún. elemi formulák. Ha A, B két formula, akkor A, (A B), (A B), (A B), (A B) is formulák. Ha A egy formula és x egy változó, akkor ( xa) és ( xa) is formulák. Példa Minden veréb madár, de nem minden madár veréb. ( x(v (x) M(x))) ( x(m(x) V (x))). Ez egy formula. Ha nem okoz félreértést, a zárójelek elhagyhatóak.
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 6. Zárt/nyitott formulák Ha A egy formula és x egy változó, akkor ( xa) és ( xa) formulákban az x változó minden el fordulása az A formulában a kvantor hatáskörében van. Ha egy formulában a változó adott el fordulása egy kvantor hatáskörében van, akkor az el fordulás kötött, egyébként szabad. Ha egy formulában a változónak van szabad el fordulása, akkor a változó szabad változó, egyébként kötött változó. Ha egy formulának van szabad változója, akkor nyitott formula, egyébként zárt formula. Példa Gy(x, y): x gyereke y -nak. y Gy(x, y): x-nek létezik szül je.
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 7. Zárt/nyitott formulák Példa E(x): x egy egyenes. P(x): x egy pont. I (x, y): x illeszkedik y -ra. E(x), P(x), I (x, y) (elemi) nyitott formulák. A(x, y) legyen E(x) P(y) I (x, y). Az x egyenes illeszkedik az y pontra. B(x, y) legyen P(x) P(y) (x = y). Az x és y pontok különböz ek. C(x) legyen y (E(x) P(y) I (x, y)). Van olyan y pont, ami illeszkedik az x egyenesre. Itt x szabad, y kötött változó. D() legyen x (E(x) y (E(x) P(y) I (x, y))). Minden x egyenes esetén van olyan y pont, ami illeszkedik az x egyenesre. Itt x, y kötött változó.
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 8. Halmazok Halmazelméletben az alapvet fogalmak predikátumok, nem deniáljuk ket: A halmaz (rendszer, osztály, összesség,...) elemeinek gondolati burka. x A, ha az x eleme az A halmaznak. A halmazok alapvet tulajdonságai axiómák, nem bizonyítjuk ket. Példa: Meghatározottsági axióma Egy halmazt az elemei egyértelm en meghatároznak. Két halmaz pontosan akkor egyenl, ha ugyanazok az elemeik. Egy halmaznak egy elem csak egyszer lehet eleme.
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 9. Halmazok Részhalmazok Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak: A B, ha x(x A x B). Ha A B-nek, de A B, akkor A valódi részhalmaza B-nek: A B. A részhalmazok tulajdonságai: Állítás (Biz. HF) 1 A A A (reexivitás). 2 A, B, C (A B B C) A C (tranzitivitás). 3 A, B (A B B A) A = B (antiszimmetria). Halmazok egyenl sége egy további tulajdonságot is teljesít: 3'. A, B A = B B = A (szimmetria).
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 10. Halmazok A halmaz és F(x) formula esetén {x A : F(x)} = {x A F(x)} halmaz elemei pontosan azon elemei A-nak, melyre F(x) igaz. Példa {z C : Im(z) = 0}: valós számok halmaza. {z C n Z + : z n = 1}: komplex egységgyökök halmaza.
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 11. Halmazok Speciális halmazok Üres halmaz Annak a halmaznak, melynek nincs eleme a jele:. A meghatározottsági axióma alapján ez egyértelm. A A halmaz A Halmaz megadása elemei felsorolásával. Annak a halmaznak, melynek csak az a elem az eleme a jelölése: {a}. Annak a halmaznak, melynek pontosan az a és b az elemei a jelölése: {a, b},... Speciálisan = {}, illetve, ha a = b, akkor {a} = {a, b} = {b}.
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 12. M veletek halmazokkal Az A és B halmazok uniója: A B az a halmaz, mely pontosan az A és a B elemeit tartalmazza. Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok (halmazrendszer). Ekkor A = {A : A A} = A AA az a halmaz, mely az A összes elemének elemét tartalmazza: A = {x A A : x A}. Speciálisan: A B = {A, B}. Példa {a, b, c} {b, c, d} = {a, b, c, d} {z C : 0 < arg(z) π } 2 {z C : π 2 = {z C : Im(z) > 0} < arg(z) < π} =
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 13. M veletek halmazokkal(az unió tulajdonságai) Állítás 1 A = A 2 A (B C) = (A B) C (asszociativitás) 3 A B = B A (kommutativitás) 4 A A = A (idempotencia) 5 A B A B = B Bizonyítás 1. x A (x A) (x ) x A. 2. x (A (B C)) (x A) (x (B C)) (x A) ((x B) (x C)) ((x A) (x B)) (x C) (x (A B)) (x C) x ((A B) C) 3-as, 4-es hasonló. 5. : A B A B B, de B A B mindig teljesül, így A B = B. : Ha A B = B, akkor A minden eleme eleme B-nek.
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 14. M veletek halmazokkal Az A és B halmazok metszete: A B az a halmaz, mely pontosan az A és a B közös elemeit tartalmazza: A B = {x A : x B}. Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok (halmazrendszer). Ekkor A = {A : A A} = A AA a következ halmaz: A = {x A A : x A}. Speciálisan: A B = {A, B}. Példa {a, b, c} {b, c, d} = {b, c}. Ha E n = {z C : z n = 1} az n-edik egységgyökök halmaza, akkor E 2 E 4 = E 2 E 6 E 8 = E 2 E n E m = E (n,m) n=1e n = E 1 = {1}
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 15. M veletek halmazokkal Ha A B =, akkor A és B diszjunktak. Ha A egy halmazrendszer, és A =, akkor A diszjunkt, illetve A elemei diszjunktak. Ha A egy halmazrendszer, és A bármely két eleme diszjunkt, akkor A elemei páronként diszjunktak. Példa Az {1, 2} és {3, 4} halmazok diszjunktak. Az {1, 2}, {2, 3} és {1, 3} halmazok diszjunktak, de nem páronként diszjunktak. Az {1, 2}, {3, 4} és {5, 6} halmazok páronként diszjunktak.
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 16. M veletek halmazokkal A metszet tulajdonságai Állítás (Biz. HF) 1 A = 2 A (B C) = (A B) C (asszociativitás) 3 A B = B A (kommutativitás) 4 A A = A (idempotencia) 5 A B A B = A
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 17. M veletek halmazokkal Az unió és metszet disztributivitási tulajdonságai: Állítás 1 A (B C) = (A B) (A C) 2 A (B C) = (A B) (A C) Bizonyítás 1 x A (B C) x A x B C x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) (x A B) (x A C) x (A B) (A C) 2 HF. hasonló
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 18. Különbség, komplementer Az A és B halmazok különbsége az A \ B = {x A : x B}. Egy rögzített X alaphalmaz és A X részhalmaz esetén az A halmaz komplementere az A = A = X \ A. Állítás A \ B = A B Bizonyítás x A \ B x A x B x A x B x A B
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 19. Komplementer tulajdonságai Állítás (Biz. HF) Legyen X az alaphalmaz. 1 A = A; 2 = X ; 3 X = ; 4 A A = ; 5 A A = X ; 6 A B B A; 7 A B = A B; 8 A B = A B. A 7. és 8. összefüggések az ún. de Morgan szabályok.
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 20. Komplementer tulajdonságai Bizonyítás(Példa).. x A B (x A B) (x A x B) (x A) (x B) (x A) (x B) x A B
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 21. Szimmetrikus dierencia Az A és B halmazok szimmetrikus dierenciája az A B = (A \ B) (B \ A). Állítás(Biz. HF) A B = (A B) \ (A B)
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 22. Hatványhalmaz Ha A egy halmaz, akkor azt a halmazrendszert, melynek elemei pontosan az A halmaz részhalmazai az A hatványhalmazának mondjuk, és 2 A -val jelöljük. A =, 2 = { } A = {a}, 2 {a} = {, {a}} A = {a, b}, 2 {a,b} = {, {a}, {b}, {a, b}} Állítás (Biz. kés bb) 2 A = 2 A
Relációk Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 23. Relációk A relációk a függvényfogalom általánosításai; hagyományos függvények pontos deniálása; többérték függvények kapcsolatot ír le =, <,, oszthatóság,...
Relációk Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 24. Rendezett pár Adott x y és (x, y) rendezett pár esetén számít a sorrend: {x, y} = {y, x} (x, y) (y, x). Az (x, y) rendezett párt a {{x}, {x, y}} halmazzal deniáljuk. Az (x, y) rendezett pár esetén a x az els, az y a második koordináta. Az X, Y halmazok Descartes-szorzatán (direkt szorzatán) az X Y = {(x, y) : x X, y Y } rendezett párokból álló halmazt értjük.
Relációk Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 25. Binér relációk Adott X, Y halmazok esetén az R X Y halmazokat binér (kétváltozós) relációknak nevezzük. Ha R binér reláció, akkor gyakran (x, y) R helyett xry -t írunk. Példa 1. I X = {(x, x) X X : x X } az egyenl ség reláció. 2. {(x, y) Z Z : x y} az osztója reláció. 3. F halmazrendszer esetén az {(X, Y ) F F : X Y } a tartalmazás reláció. 4. Adott f : R R függvény esetén a függvény grakonja {(x, f (x)) R R : x R}. Ha valamely X, Y halmazokra R X Y, akkor azt mondjuk, hogy R reláció X és Y között. Ha X = Y, akkor azt mondjuk, hogy R X -beli reláció (homogén binér reláció).
Relációk Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 26. Relációk értelmezési tartománya, értékkészlete Ha R reláció X és Y között (R X Y ) és X X, Y Y, akkor R reláció X és Y között is! Az R X Y reláció értelmezési tartománya a értékkészlete Példa dmn(r) = {x X y Y : (x, y) R}, rng(r) = {y Y x X : (x, y) R}. 1. Ha R = {(x, 1/x 2 ) : x R}, akkor dmn(r) = {x R : x 0}, rng(r) = {x R : x > 0}. 2. Ha R = {(1/x 2, x) : x R}, akkor dmn(r) = {x R : x > 0}, rng(r) = {x R : x 0}.
Relációk Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 27. Relációk kitejesztése, lesz kítése, inverze Egy R binér relációt az S binér reláció kiterjesztésének, illetve S-et az R lesz kítésének (megszorításának) nevezzük, ha S R. Ha A egy halmaz, akkor az R reláció A-ra való lesz kítése (az A-ra való megszorítása) az Példa R A = {(x, y) R : x A}. Legyen R = {(x, x 2 ) R R : x R}, S = {( x, x) R R : x R}. Ekkor R az S kiterjesztése, S az R lesz kítése, S = R R + 0 (ahol R + 0 a nemnegatív valós számok halmaza).