Galjorkin módszerek Spektrális módszer

Galorin módszere Spetrális módszer Előadó: Szépszó Gabriella szepszo.g@met.hu 07. otóber 6.

Véges ülönbséges módszer Legyen a vizsgálandó függvény egy egyváltozós függvény: f=f) A 0 L intervallumon vizsgálódun Osszu fel az intervallumot J darab hosszúságú részre Így a függvényünet az = pontoban özelítü, ahol =0,,,, J http://nimbus.elte.hu/~numelo

http://nimbus.elte.hu/~numelo 3

Galorin módszer Íru fel f)-et a övetező alaban: f ) a 0 a cos b sin L L ahol a L f )cos L L 0 d =0,,,... b L f )sin L L 0 d =,,... http://nimbus.elte.hu/~numelo 6

Természetesen a gyaorlatban nem tudu a épletben szereplő összegzést a végtelenig folytatni, meg ell állnun valamilyen véges K érténél Minél nagyobb ez a K érté, annál pontosabban tudu özelíteni a függvényt és ezáltal pontosabb lesz a megoldás is), de annál nagyobb a számításigény is ézzün erre ét példát!. példa: legyen f ) 0 Számítsu i a és b értéeit! 0 L / L / L a 0 a 0,,3... b cos ),,3... http://nimbus.elte.hu/~numelo 7

K növelésével nő a pontosság: http://nimbus.elte.hu/~numelo 8

K növelésével nő a pontosság: oszcilláció http://nimbus.elte.hu/~numelo 8

http://nimbus.elte.hu/~numelo 9. példa: Legyen Kiszámítva a és b értéeit: L L L L f / 0 / 0 sin ),3,4,5... cos cos ) cos 4,3... 0 4 / / 0 b a a a

K növelésével nő a pontosság: http://nimbus.elte.hu/~numelo 0

K növelésével nő a pontosság: oszcilláció http://nimbus.elte.hu/~numelo 0

Tehát az ismeretlen változóat valamilyen függvényrendszer elemeine segítségével íru fel Galorin módszere Két módszercsalád: spetrális és véges elem módszer Feladat: az együttható meghatározása Megegyzése: Széles örben elteredt módszer elsősorban globális problémá megoldására nincs pólus-probléma, szférius harmoniuso) DE: létezne orlátos tartományú regionális) alalmazáso is pl. biperiodius teles harmonius függvénye a biperiodicitás úabb megoldandó problémát vet fel erről ésőbb) http://nimbus.elte.hu/~numelo

Mi a pólus-probléma? Véges differencia módszer szélesség-hosszúság rácson Meridiáno onvergenciáa a pólusoon Evidisztáns szélesség-hosszúság rács esetén is időlépcső a stabilitáshoz Szférius harmoniuso szférius sorfetés: f, ) f l Y, l0 ml ortogonális rendszert alotna l m m l http://nimbus.elte.hu/~numelo

Teintsü az Lu)=f) egyenletet, ahol L: differenciál operátor f): ényszer tag Keressü u)-et a övetező alaban: u u ) u ) A ) bázis) függvénye ismerte, a feladat az u -től nem függő) együttható meghatározása Kell még valamilyen feltétel, hogy az u -et meghatározhassu u ) http://nimbus.elte.hu/~numelo 3

Teintsü az Lu)=f) egyenletet, ahol L: differenciál operátor f): ényszer tag Keressü u)-et a övetező alaban: Ismeretlen együttható Keresett függvény u u ) u u ) ) Ismert bázisfüggvénye A ) bázis) függvénye ismerte, a feladat az u -től nem függő) együttható meghatározása Kell még valamilyen feltétel, hogy az u -et meghatározhassu http://nimbus.elte.hu/~numelo 3

http://nimbus.elte.hu/~numelo 4 A Galorin módszere esetében megövetelü a özelítési hiba e ) ortogonalitását a bázisfüggvényere: Ahol e vagyis a hiba): b a i i d e,, 0 ) ) ) ) ) f u L e u L u L e

http://nimbus.elte.hu/~numelo 4 A Galorin módszere esetében megövetelü a özelítési hiba e ) ortogonalitását a bázisfüggvényere: Ahol e vagyis a hiba): b a i i d e,, 0 ) ) ) ) ) f u L e u L u L e hiba bázisfüggvény

http://nimbus.elte.hu/~numelo 5 db egyenletből álló rendszert apun db ismeretlenre u ) b a b a i i b a i b a i d f d u L d f u L d e 0 ) ) ) ) 0 ) ) ) 0 )

http://nimbus.elte.hu/~numelo 5 db egyenletből álló rendszert apun db ismeretlenre u ) b a b a i i b a i b a i d f d u L d f u L d e 0 ) ) ) ) 0 ) ) ) 0 ) ismeretlen ismert

Bázisfüggvénye Spetrális módszer A bázisfüggvénye magu is ortogonális rendszert alotna globális bázisfüggvénye A feladat geometriáától és a határfeltételetől függő választás Téglalap alaú tartományon, periodius határfeltétellel Fourier sorfetés Legendre függvénye a szélességi örötől való függésre Véges elem módszer A bázisfüggvénye egy is tartománytól elteintve nulla értéűe loális bázisfüggvénye Ahol értéü nem nulla, alacsonyrendű polinomoat alalmazun Pl. alap függvénye alap függvény ) + ) http://nimbus.elte.hu/~numelo 6

Példa spetrális módszerre Legyen L u) f L d d ) 0 HF Valamint legyen u0) u ) 0 sin ),, Az együttható arányosa a ényszer Fourier transzformáltával http://nimbus.elte.hu/~numelo 7

Példa véges elem módszerre Legyen: L u) f ) 0 HF L d d u ) u ) Valamint legyen u0) u ) 0 "alap" fv. alap függvény ) + ) http://nimbus.elte.hu/~numelo 8

http://nimbus.elte.hu/~numelo 9 A ) függvénye alaa: ha ha ha ha ) ) ) ) ) 0 ) 0 ) ) + ) alap függvény HF

http://nimbus.elte.hu/~numelo 0 A ) függvénye -szerinti deriválta: i i i i f u u u ha ha ha ha d d ) ) ) 0 ) 0 6 4 i i i i i i f f f u u u Véges ülönbséges ala a véges elem pontosabb) HF

Fázishiba D lineáris adveciós egyenlet: c t 0 Fourier bázisfüggvénye: A térbeli és időbeli deriválta:,t a t Az együtthatóra vonatozó egyenlet: da dt t Tehát a fázissebesség megegyezi a folytonos feladatbeli fázissebességgel nincs fázishiba i a t e i c i a 0 ; e http://nimbus.elte.hu/~numelo i t da dt ict t a t e t e i

http://nimbus.elte.hu/~numelo D lineáris adveciós egyenlet: Leapfrog séma + Fourier bázisfüggvénye: eumann-módszer alalmazása: Stabilitási feltétel: Stabilitás 0 c t 0 n n n i c t, 0 t c t c i i c t t c t c véges ülönbséges esetnél szigorúbb feltétel

Többdimenziós eset Barotróp örvényességi egyenlet: t ) 0 ahol az áramfüggvény. Teintsün biperiodius mezőet, valamint a övetező ortogonális bázisfüggvényeet teles harmonius függvénye: mn, y) e i m nly ) és l L L y http://nimbus.elte.hu/~numelo 3

Eor a függvény a övetező módon özelíthető:, y, t) C t) e mm n ahol C mn t) spetrális együttható M mn im e inly Legyen M mi R i nl y Eor, y, t C t M M e imr http://nimbus.elte.hu/~numelo 4

Íru fel az egyenlet ülönböző tagait: t illl M C H M M ihc L e imr MM H e C ihr M e imr C L e ilr Ezeet ell behelyettesíteni az eredeti egyenletbe nagyon bonyolult alaot apun! http://nimbus.elte.hu/~numelo 5

Ezeet ell behelyettesíteni az eredeti egyenletbe nagyon bonyolult alaot apun! dc dt M imc MM M H M H ) M H ) H M MM H ) C M H C H A obb oldali tag ülönböző hullámo ölcsönhatását íra le a nemlineáris adveciós tag ifetésével) Transzformációs módszer lásd ésőbb) http://nimbus.elte.hu/~numelo 6

A spetrális módszer előnyei: A derivált meghatározása a K csonítási értéig telesen pontos és egyszerű hiszen analitiusan deriválható függvényeet ell deriválnun, pl. sin, cos) Egy megfelelően sima függvény esetében a megoldandó egyenlete száma lényegesen evesebb, mint a véges ülönbséges módszer esetén Ugyanaor: Egyes művelete pl. ét függvény szorzata) bonyolulttá válhatna vagy számítási igényü nő meg Ilyen eseteben célszerű a számításoat a spetrális tér helyett a fiziai térben azaz a rácsponti térben) végezni A meteorológiában a spetrális módszer alalmazása azora a műveletere szorítozi, ahol térbeli azon belül is a horizontális) deriválta iszámítására van szüség http://nimbus.elte.hu/~numelo 7

Transzformációs módszer A spetrális modelleben a spetrál-technia alalmazása a horizontális differenciál operátoro iszámítására és az azoal végzett lineáris műveletere orlátozódi Minden egyéb számítás pl. fiziai parametrizáció, nemlineáris dinamia) továbbra is a rácsponti térben történi A ét tér özött transzformációs módszer segítségével teremtene apcsolatot http://nimbus.elte.hu/~numelo 8

Mi a spetrális tér? A rácsponti térben a változó rácspontbeli értéeit tárolá A spetrális modelleben az állapothatározóat a választott bázisfüggvény-rendszer szerint sorba feti Azaz a spetráltérben a ülönböző hullámszámhoz tartozó spetrális együtthatóat tárolá Mivel a ét tér özött minden időlépésben szüséges az áttérés, ezért lényeges a transzformációs módszer hatéonysága http://nimbus.elte.hu/~numelo 9

Eze alapán egy spetrális modell végrehatásána fő lépései:. Számításo a spetrális térben: lineáris operátoro alalmazása a spetrális állapotvetorra pl. differenciál-operátoro számítása, szemi-implicit séma). A horizontális deriváltaal iegészített állapotvetor inverz transzformációa a spetrális térből a rácsponti térbe, pl. inverz gyors-fourier transzformáció inverz FFT) alalmazásával 3. emlineáris tago, fiziai parametrizáció iszámítása a rácsponti térben, szemi-lagrange séma, időbeli léptetés 4. Diret transzformáció, pl. gyors-fourier transzformáció diret FFT) alalmazásával: sorfetés alalmazása az állapotváltozóra ismétlés az ú időlépcsőre http://nimbus.elte.hu/~numelo 30

A spetrális módszer alalmazása: definiálni ell egy rácsot transform grid ) a nemlineáris tagoat ebben a rácsponti térben ezeli a deriváltaat a spetrális térben számítá A spetrális modellt általában a csonítási hullámszámmal pl. ECMWF: T799, lásd ésőbb), vagy a apcsolódó rács a transform grid ) rácstávolságával ellemzi ALADI: 8m) Ez utóbbi rácstávolság) szemléletesebb számunra, de a spetrális és a véges ülönbséges módszere orret összehasonlítása az lenne, ha a még leírható legisebb elenség méretét adnán meg http://nimbus.elte.hu/~numelo 3

Csonítás Csonítás n? Kis n értée nagy hullámhosszo agy n értée is hullámhosszo Minél nagyobb értée, annál pontosabban határozhatu meg a eresett mennyiségeet, de annál nagyobb a számításigény is ompromisszum A csonítással elveszhet információ a rácsponti és a spetrális tér özötti transzformációnál http://nimbus.elte.hu/~numelo 3

Globális modellenél: M=? =? m és n özötti apcsolat háromszög, rombusz alaú szélességi örö rövidülése ) M m Q, ) C Y, mm n m mn m, n földrazi hosszúság Trianguláris csonítás m)=m pl. T799) Romboidális csonítás m)= m +M http://nimbus.elte.hu/~numelo 33

Korlátos tartományú regionális) modellenél: M=? =? m és n özötti apcsolat elliptius, téglalap alaú M, y, t) C t) e mm n mn im e inly n M m vadratius rács lineáris rács M Megegyzés: téglalap alaú csonításnál telesen pontos a spetrális és a rácsponti tér özötti transzformáció http://nimbus.elte.hu/~numelo 34

Aliasing nem-lineáris instabilitás) Adott egy felbontású rács Ez legobb esetben egy hullámhosszú hullámot tud leírni Az előreelzés során megelenne olyan hullámo is, amelye -nél rövidebbe, energiáu a rendszerhez adódi Tehát a -nél isebb hullámhosszú hullámo zaént elenne meg... http://nimbus.elte.hu/~numelo 35

Ha vanna nem-lineáris tago is: Q M im inly, y) Q e e mn Q, ), ) m n y Q y Eor M-nél -nél) nagyobb hullámszámra is eletezi információ Eze a hullámo zaént elenne meg tehát és energiáu hatással van az amúgy ól leírt hullámo energiáára főént a legrövidebb hullámonál ooz gondot Philips ísérlete 957): stabilitási ritériumot ielégítő időlépcső, mégis instabil modellísérlet http://nimbus.elte.hu/~numelo 36

Teintsü a [0,] intervallumot és ezen alalmazzun rácsfelbontást A rácsponto száma: J = / + Ezzel a felbontással a leírható legrövidebb hullám hullámszáma: K = J )/ = / Ahhoz, hogy a spetrális tér és a rácsponti tér özött ne veszítsün információt a csonítási hullámszám M) és a rácsponto száma özött szüséges: http://nimbus.elte.hu/~numelo 37

Teintsü a [0,] intervallumot és ezen alalmazzun rácsfelbontást 0 A rácsponto száma: J = / + Ezzel a felbontással a leírható legrövidebb hullám hullámszáma: K = J )/ = / Ahhoz, hogy a spetrális tér és a rácsponti tér özött ne veszítsün információt a csonítási hullámszám M) és a rácsponto száma özött szüséges: http://nimbus.elte.hu/~numelo 37

Teintsü a [0,] intervallumot és ezen alalmazzun rácsfelbontást A rácsponto száma: J = / + Ezzel a felbontással a leírható legrövidebb hullám hullámszáma: K = J )/ = / 0 0.. /+). Ahhoz, hogy a spetrális tér és a rácsponti tér özött ne veszítsün információt a csonítási hullámszám M) és a rácsponto száma özött szüséges: http://nimbus.elte.hu/~numelo 37

Teintsü a [0,] intervallumot és ezen alalmazzun rácsfelbontást A rácsponto száma: J = / + Ezzel a felbontással a leírható legrövidebb hullám hullámszáma: K = J )/ = / Ahhoz, hogy a spetrális tér és a rácsponti tér özött ne veszítsün információt a csonítási hullámszám M) és a rácsponto száma özött szüséges: 0 0.. /+). 0 http://nimbus.elte.hu/~numelo 37

Teintsü a [0,] intervallumot és ezen alalmazzun rácsfelbontást A rácsponto száma: J = / + Ezzel a felbontással a leírható legrövidebb hullám hullámszáma: K = J )/ = / 0 0.. /+). Ahhoz, hogy a spetrális tér és a rácsponti tér özött ne veszítsün információt a csonítási hullámszám M) és a rácsponto J M száma özött szüséges: 0 http://nimbus.elte.hu/~numelo 37

http://nimbus.elte.hu/~numelo 38 A nem-lineáris szorzato miatt megelenne + ) > K hullámszámú hullámo Energiáu a spetrumban szimmetriusan elhelyezedő hullámo energiáához adódi hozzá: / / / ~ K Csonítás megválasztása: az energiatöbblet ne oozzon változást a rácsfelbontás által még leírt hullámoon, azaz M M J M M K K / ~

A spetrális módszernél a nem-lineáris instabilitás önnyen iüszöbölhető, ha M+ rácspont helyett több pontot definiálun adott számú hullámhoz túlcsonítás): J K 4)3M 4)3 A szemi-lagrange ezelés esetében nincs gond az adveciós tagoal, nem is ell túlcsonítani használható a lineáris rács, azaz a rácsponto száma étszerese a hullámo számána Vanna egyéb olyan numerius sémá is, amelye csillapítá a rövidhullámoat http://nimbus.elte.hu/~numelo 39

éhány szó a felbontásról A horizontális felbontásna onzisztensne ell lennie a vertiális felbontással és a fiziai parametrizációal Hozzá ell igazítani Az adatasszimilációs rendszert A verifiációs módszereet A csatolást A produtumoat Az ensemble rendszert ézzü meg ezt az EMCWF operatív modelléne IFS) példáán http://nimbus.elte.hu/~numelo 40

Az IFS legutóbbi horizontális felbontás növelése http://nimbus.elte.hu/~numelo 4

Az IFS legutóbbi horizontális felbontás növelése Mindettő igaz! Hogy lehet? http://nimbus.elte.hu/~numelo 4

Spetrális reprezentáció Az IFS modellben alalmazott spetrális reprezentáció Legendre-polinomoal és trianguláris csonítással: SMAX Q, ) C Y, n0 nmn m, n m, n SMAX a spetrális csonítás elenleg 79) Hozzá tartozó rácsponto száma J): Lineáris rács: Kvadratius rács: Köbös rács: J J J M 3M 4M legrövidebb hullám rácsponttal legrövidebb hullám 3 rácsponttal legrövidebb hullám 4 rácsponttal http://nimbus.elte.hu/~numelo 4

IFS rácstörténelem 999-ig vadratius rács: TQ3 szűri a vadratius tagoból eredő nem-lineáris instabilitást aliasing) Szemi-Lagrange séma bevezetésével áttérés lineáris rácsra: TL39 a SL séma ezeli a legmaránsabb nem-lináris tagot) ugyanannyi rácspont, több hullám incs információvesztés a spetrális-rácsponti transzformáció özött 06-ig lineáris rács TL79) http://nimbus.elte.hu/~numelo 43

06-tól öbös-otahedrális rács: TCo79 Szűri a öbös nem-lineáris tagoból eredő instabilitást A spetrális csonítás hullámszáma változatlan a fiziai tér rácsfelbontása lett nagyobb Az ú otahedrális ráccsal evesebb rácspont Rácsponto száma szintre: TL79:,4 millió pont TC79: 8,5 millió pont TCo79: 79*4+0)*80 ~6,57 millió pont http://nimbus.elte.hu/~numelo 44

Gibbs oszcilláció Simább függvény esetében már isebb K értére is viszonylag pontos özelítést apun Az erős gradiensű helye özelében oszcillációt tapasztalun ún. Gibbs oszcilláció) Az oszcilláció erőssége függ magától a folytonos függvénytől Különösen zavaró olyan függvénye esetében, ahol erős gradiense léphetne fel, de fiziai ooból a függvény értééne mindig pozitívna ell maradnia pl. domborzat) http://nimbus.elte.hu/~numelo 45

Összefoglalás: előnyö, hátrányo A hidro-termodinamiai egyenletrendszerben szereplő deriválta pontosan analitiusan) számolható A nem-lineáris tagonál az aliasing nem-lineáris instabilitás) megfelelő túlcsonítással elerülhető A spetrális együttható száma isebb, mint a rácsponto száma gazdaságosabb tárolás) A globális modellenél nincs pólus probléma A szemi-implicit séma Helmholtz-egyenleténe megoldása triviális a spetrális módszernél incs fázishiba http://nimbus.elte.hu/~numelo 46

DE: A sémá bonyolulta lehetne A művelete száma a felbontás növeedésével gyorsabban növeszi, mint a rácsponti esetben A transzformációs módszer nélül a nemlineáris tago iszámolása nagyon öltséges Globális modelle esetében örvényesség- és divergenciaegyenlet a pólusonál a szélirány elvesztése miatt) Erős gradiensű tagonál oszcilláció, illetve nem reális értée ehézség orlátos tartományú esetben szférius harmoniuso nem alalmazható) http://nimbus.elte.hu/~numelo 47

Korlátos tartományú eset: Fourier-függvénye alalmazása esetén övetelmény: periodiusság A meteorológiai mező általában nem periodiusa egy orlátos tartomány felett Megoldás: iteresztési E) zóna, ahol a nagysáláú információat tesszü periodiussá E zóna: periodiusság I zóna: relaáció C zóna http://nimbus.elte.hu/~numelo 48