1. gyakorlat Egyenletes és egyenletesen változó mozgás egyenletes mozgás egyenletesen változó mozgás gyorsulás a = 0 a(t) = a = állandó sebesség v(t) = v = állandó v(t) = v(0) + a t pályakoordináta s(t) = s(0) + v t s(t) = s(0) + v(0) t + a 2 t 1. példa Egy gépkocsi a 0-ás kilométerkőtől álló helyzetből indulva, állandó a gyorsulással halad Δt ideig. v(0) = 0 m s a = 5 m s Δt = 4[s] a) Hol lesz a gépkocsi, és mekkora lesz a sebessége Δt idő elteltével? A gépkocsi egyenletesen változó mozgást végez. Gyorsulása állandó. A gépkocsi pályakoordinátája az idő függvényében: = 0 + 0 4 + 5 2 4 = 40[m] Sebessége az idő függvényében: v(δt) = v(0) + a Δt = 0 + 5 4 = 20 m s b) Mennyi idő alatt tesz meg 10 métert? Ismét felírjuk a gépkocsi pályakoordinátáját az idő függvényében: behelyettesítve: 10 = 0 + 0 Δt + 5 2 (Δt) Δt = 10 2 5 Δt = 2[s]
2. példa Egy állandó 12 sebességgel haladó autóbusz éppen akkor előz meg egy álló autót, amikor az 1,4 gyorsulással elindul. v = 12 m s a ó = 1,4 m s a) Mennyi idővel az indulás után előzi meg az autó a buszt? Keressük azt az időpillanatot, amikor az autó és a busz pályakoordinátája azonos lesz. s(0) legyen az autó kezdeti helyzete: 0 [m]. A busz egyenletes mozgást végez, gyorsulása 0. Pályakoordinátája az idő függvényében: s (Δt) = s(0) + v(0) Δt = 0 + 12 Δt Az autó egyenletesen változó mozgást végez, gyorsulása állandó. Pályakoordinátája az idő függvényében: s ó (Δt) = s(0) + v(0) Δt + a 2 (Δt) = 0 + 0 Δt + 1,4 2 (Δt) A két egyenletet egymással egyenlővé téve, egyszerűsítve, majd átrendezve kapjuk, hogy: 12 Δt = 0,7 (Δt) 0 = Δt (0,7 Δt 12) 0 = 0,7 Δt 12 Δt = 12 0,7 = 17,14[s] b) Mennyi lesz az előzés pillanatában az autó sebessége? A gépkocsi egyenletesen változó mozgást végez, gyorsulása állandó. Sebessége az idő függvényében: v(δt) = v(0) + a Δt = 0 + 1,4 17,14 24 m s c) Mennyi utat tesz meg az autó az előzésig? Az autó pályakoordinátájának egyenletébe visszaírva Δt-t kapjuk a megtett távolságot: s ó (Δt) = s(0) + v(0) Δt + a 2 (Δt) = 0 + 0 17,14 + 1,4 2 17,14 = 205,65[m]
3. példa A Föld felszínétől 200[m] magasságban, 0[m/s] nagyságú kezdősebességgel függőlegesen lefelé leejtünk egy követ. A közegellenállástól eltekintünk. h = 200[m] v = 0 m s a) Milyen magasan lesz a kő a Föld felszínétől 3[s] múlva? A kő egyenletesen változó mozgást végez, gyorsulása állandó. A kőre a Föld gravitációs ereje hat, így a kő gyorsulásának mértéke megegyezik a gravitációs gyorsulással: g = 9,81 Számítsuk ki mennyi utat tesz meg 3[s] alatt: = 0 + 0 3 + 9,81 2 3 = 44,145[m] és vonjuk ki ezt a távolságot a kiindulási magasságból: h(δt) = h(0) s(δt) = 200 44,145 = 155,86[m] b) Mennyi idő alatt ér földet a kő, és mekkora ekkor sebességének nagysága? Számítsuk ki mennyi idő alatt tesz meg 200[m]-t: 200 = 0 + 0 Δt + 9,81 2 (Δt) Δt = 2 200 9,81 = 6,39[s] Ezt az értéket felhasználva kapjuk meg a kő sebességét: v(δt) = v(0) + a Δt = 0 + 9,81 6,39 = 62,69 m s
4. példa 300[m] magasságból, 10[m/s] nagyságú kezdősebességgel függőlegesen lefelé leejtünk egy követ. A közegellenállástól eltekintünk. Mekkora gyorsulással kell elindulnia a tőle vízszintesen 100[m]-re álló teherautónak ahhoz, hogy a kő éppen a platójára essen? h = 300[m] v = 10 m s d = 100[m] Számítsuk ki mennyi idő alatt teszi meg a kő a 300[m]-t: Δt, = 300 = 0 + 10 Δt + 9,81 2 (Δt) 0 = 9,81 2 (Δt) + 10 Δt 300 10 ± 10 4 9,81 2 ( 300) 2 9,81 2 A teherautónak ennyi idő alatt kell megtennie a 100[m]-t: = 6,87[s] 100 = 0 + 0 6,87 + a 2 6,87 a = 100 2 6,87 = 4,24 m s
Egyenletes és egyenletesen változó körmozgás A pálya kör alakú, a mozgást szögmennyiségekkel jellemezzük. A pályamenti mennyiségekből a sugárral való osztással kapjuk a hozzájuk tartozó szögmennyiségeket. egyenletes mozgás egyenletesen változó mozgás szöggyorsulás ε = 0 ε(t) = ε = állandó rad s szögsebesség ω(t) = ω = állandó ω(t) = ω(0) + ε t rad s szögkoordináta φ(t) = φ(0) + ω t φ(t) = φ(0) + ω(0) t + ε 2 t [rad] A radián a sugárnyi hosszúságú ívhosszhoz tartozó középponti szög. 360 = 2 R π 1 = = [rad] 1[rad] = 57 Számológéppel átváltható, figyeljünk a DEG és RAD állapotra! 5. példa Egy r sugarú körpályán egyidejűleg elindul P és Q anyagi pont. P egyenletesen gyorsuló, Q egyenletesen lassuló körmozgást végez. v (0) = 4 m s v (0) = 10 m s r = 3[m] ε = 3 rad s ε = 2 rad s a) Mennyi idő múlva éri utol P a Q pontot? φ (t) = φ (t) ω (0) = v (0) r ω (0) = v (0) r = 4 3 rad s = 10 3 rad s φ (t) = φ (0) + ω (0) t + ε 2 t = 0 + 4 3 t + 3 2 t φ (t) = φ (0) + ω (0) t + ε 2 t = π 2 + 10 3 t 2 2 t 4 3 t + 3 2 t = π 2 + 10 t t 3 5 2 t 2 t π = 0 => t = 1,29[s] 2
b) Mennyi szöget fut be az indulástól az utólérésig a P pont? φ (t) = φ (0) + ω (0) t + ε 2 t = 0 + 4 3 1,29 + 3 2 1,29 = 4,22 [rad] = 241,79 c) Mekkora az utólérés pillanatában a pontok szögsebessége? ω (0) = ω (0) + ε t = 4 3 ω (0) = ω (0) + ε t = 10 3 d) Mekkora az utólérés pillanatában a P pont gyorsulása? a = v a é = ε r = 3 3 = 9 m s r = (ω r) r a = a é + a + 3 1,29 = 5,2 rad s 2 1,29 = 0,75 rad s = ω r = 5,2 3 = 81,12 m s = 9 + 81,12 = 81,62 m s