Probabilisztikus modellek. Nagy Dávid

Átírás

1 Probabilisztikus modellek Nagy Dávid Statisztikai tanulás az idegrendszerben, 2017

2 házi feladatok tdk

3 valószínűségi kalkulus

4 jelölések

5 jelölések valószínűségi változók megfázás köhögés valószínűség valószínűségi változók lehetséges értékei

6 jelölések M K P

7 jelölések M K P m k 0.01 m k 0.04 m k m k 0.095

8 jelölések M K P m k 0.01 m k 0.04 m k m k P (m ^ k) =P (m, k) = 0.04 P (M,K) =

9 jelölések M K P P (M,K) = m k 0.01 m k 0.04 m k m k P (m ^ k) =P (m, k) = 0.04 P (M = m, K = k) =P (m, k) 6= P (M,K)

10 M K P m k 0.01 m k 0.04 m k m k 0.095

11 P (M,K) m k m k m k m k

12 P (M,K) m k m k m k m k

13 P (M,K) probability mass function az igazságtáblázatot függvényként reprezentáljuk m k m k m k m k

14 valószínűségszámítás ö összegszabály s szorzatszabály

15 összegszabály P (k) =P (k, m)+p (k, m) P( köhögök ) P( köhögök és meg vagyok fázva ) vagy P( köhögök és nem vagyok megfázva ) P (x) = X y 0 2Y P (x, y 0 ) marginális valószínűség, vagy -szabály

16 összegszabály M K P m k 0.01 m k 0.04 m k m k M P m 0.05 m 0.95

17 szorzatszabály P (m, k) =P (m)p (k m) P( meg vagyok fázva és köhögök ) P( meg vagyok fázva ) és P( köhögök ha meg vagyok fázva ) P (x, y) =P (x y)p (y) lánc-szabály, és -szabály

18 szorzatszabály P (m, k) = P (m))p (k m)

19 szorzatszabály P (m, k) P (m) = )P P (k m)

20 szorzatszabály P (m, k) P (m) = )P P (k m)

21 szorzatszabály P (m, k) P (m) = )P P (k m) M K P m k 0.01 m k 0.04 m k m k } X P ( ) =1 P (m, k)+p (m, k) const =1 const = P (m)

22 valószínűségszámítás P (X, Y ) probabilisztikus modell P (x) = X y 0 2Y P (x, y 0 ) P (x, y) =P (x y)p (y) feltételes valószínűség Bayes szabály P (x, y) P (y) P (y x)p (x) P (y) = P (x y) = P (x y)

23 valószínűségszámítás P (A, B, C, D, E, F, G, H, I) teljes modell P (D, G H, I) = = P (D, G, H, I) P (H, I) P P A,B,C,E,F A,B,C,E,F,D,G (feltételes valószínűség) P (A, B, C, D, E, F, G, H, I) P (A, B, C, D, E, F, G, H, I)

24 mintavételezés egy adott probabilisztikus modellhez készíthető* mintavételező gép kimenetei (minták) lehetséges világok a lehetséges világok relatív gyakoriságai tartanak a valószínűségeikhez különböző trükökkel lehet mintát venni külön a változókból (marginális eloszlásból) vagy a feltételes eloszlásokból is P (M,K) = M K P m k 0.01 m k 0.04 m k m k nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög

25

26

27 probléma Mi a valószínűsége hogy egy véletlenszerűen választott ember pontosan 1.7 m magas? P (X =1.7) = 0 P (X = ) = 0 pmf(x) x

28 probléma Mi a valószínűsége hogy egy véletlenszerűen választott ember pontosan 1.7 m magas? P (X =1.7) = 0 P (X = ) = 0 pdf(x) probability density function Z b a pdf(x) dx = P (a <x<b) sűrűségfüggvény x

29

30

31 mit jelölünk P-vel? Mindent. pmf pdf pdf(x) = X i pmf(x i ) (x x i )

32 valószínűségszámítás P (X, Y ) probabilisztikus modell P (x) = X y 0 2Y P (x, y 0 ) P (x, y) =P (x y)p (y)

33 valószínűségszámítás P (X, Y ) probabilisztikus modell P (x) = Z Y P (x, y) dy P (x, y) =P (x y)p (y) X! Z dy y

34 valószínűségszámítás P (X, Y ) probabilisztikus modell P (x) = Z Y P (x, y) dy P (x, y) =P (x y)p (y) feltételes valószínűség Bayes szabály P (x, y) P (y) P (y x)p (x) P (y) = P (x y) = P (x y)

35 összefoglalás ismerjük a valószínűségi kalkulus két szabályát, a szorzatszabályt és az összegszabályt tudjuk mit jelent mintákat venni egy eloszlásból ezeket ki tudjuk terjeszteni folytonosan sok értékű változókra a valószínűségszámításban már mindent* tudunk, most már csak kényelmi** fogalmakat vezetünk be * : azért nem mindent, mert ha (a valós számokhoz hasonlóan) más matematikai objektumokra is ki szeretnénk terjeszteni (pl val. változók amelyeknek a lehetséges értékei is valószínűségi eloszlások vagy végtelen sok val. változó), az nem mindig triviális. mértékelmélet ** : néha a kényelmi megoldások teszik lehetővé hogy praktikusan is ki lehessen számolni valamit, ne csak elméletben (exponenciális komplexitás)

36 függetlenség x? y p(x, y) =p(x)p(y) p(x y) =p(x) ha megtudjuk hogy y, az semmit nem változtat x valószínűségén az előbb 4-est dobtunk. Mit fogunk most dobni? P (d 1 d 2 )P (d 2 )=P (d 1 )P (d 2 ) az előbb 4-es dobtunk, most dobunk mégegyet, mi lesz a kettő összege? P (d 1 + d 2 d 2 )P (d 2 ) 6= P (d 1 + d 2 )P (d 2 )

37 feltételes függetlenség x? y z p(x, y z) =p(x z)p(y z) p(x y, z) =p(x z) ha már tudjuk hogy z, és megtudjuk hogy y, az semmit nem változtat x valószínűségén a kérdés hogy kapok-e vastapsot a koncert után. Ha tudjuk hogy általában jól zongorázom az változtat ezen a valószínűségen? z 6? t Ha tudjuk hogy jól sikerült a koncert, akkor számít hogy egyébként általában is jól zongorázom? z? t k a függetlenség és a feltételes függetlenség nem implikálják egymást, erre majd látunk több példát

38 irányított grafikus modellek

39 P (X 1,X 2,X 3,X 4 )= =P (X 1 X 2,X 3,X 4 ) P (X 2 X 3,X 4 ) P (X 3 X 4 ) P (X 4 ) X 3? X 4 X 2? X 4 X 3 X 1? X 3,X 4 X 2 = P (X 1 X 2 ) P (X 2 X 3 )P (X 3 )P (X 4 ) X4 X3 X2 P (X 1,X 2,...,X n )= ny i P (X i P arent(x i )) X1

40 grafikus modellek az eloszlás faktorizálódik a gráf szerint a gráf az eloszlás függetlenségi struktúráját kódolja a függetlenségi relációk leolvashatóak a gráfról hogyan? X4 X3 P (X 1,X 2,X 3,X 4 )= = P (X 1 X 2 ) P (X 2 X 3 )P (X 3 )P (X 4 ) X2 P (X 1,X 2,...,X n )= ny i P (X i P arent(x i )) X1

41 hatásterjedés Nehéz Intell. ZH pont Felv. pont ZH jegy

42 hatásterjedés Nehéz tud terjedni hatás? ZH pont

43 hatásterjedés Nehéz igen ZH pont

44 hatásterjedés Nehéz ZH pont tud terjedni hatás? ZH jegy

45 hatásterjedés Nehéz ZH pont igen ZH jegy

46 hatásterjedés Nehéz ZH pont tud terjedni hatás? megfigyelt változó ZH jegy

47 hatásterjedés Nehéz ZH pont nem ZH jegy

48 hatásterjedés Nehéz Intell. ZH pont Felv. pont tud terjedni hatás? ZH jegy

49 hatásterjedés Nehéz Intell. ZH pont Felv. pont igen ZH jegy

50 hatásterjedés Nehéz Intell. ZH pont Felv. pont tud terjedni hatás? ZH jegy

51 hatásterjedés Nehéz Intell. ZH pont Felv. pont nem ZH jegy

52 hatásterjedés Nehéz Intell. tud terjedni hatás? ZH pont Felv. pont ZH jegy

53 hatásterjedés Nehéz Intell. nem ZH pont Felv. pont ZH jegy

54 hatásterjedés Nehéz Intell. tud terjedni hatás? ZH pont Felv. pont ZH jegy

55 hatásterjedés (explaining away) Nehéz Intell. igen ZH pont Felv. pont ZH jegy

56 hatásterjedés Nehéz Intell. tud terjedni hatás? ZH pont Felv. pont ZH jegy

57 hatásterjedés Nehéz Intell. igen ZH pont Felv. pont ZH jegy

58 d-szeparáció tétel az előbbi kis gráfokból összekombinálható az összes lehetséges függőségi reláció azt akarjuk leolvasni hogy u és v változók függetlenek-e különböző m megfigyelések mellett u és v között minden lehetséges útra ellenőrizzük hogy blokkolva van-e, feltéve hogy megfigyeljük m-et ha minden út blokkolva van, akkor függetlenek (feltéve m)

59 v v u v m m m u u u m v d-szeparáció m u v u v m m u v d

60 v m u nem juthat át hatás

61 Markov takaró Y 8Y : X? Y MB(X) szülők X gyerekek gyerekek szülei

62

63

64

65 MB( ) =

66 MB( ) =

67 grafikus modell építés µ µ int int P (I) =N (I µ int, int) Nehéz Intell. P (N) =N (N µ, ) Z max ZH pont Felv. pont házi feladat P (Z) = Binomial(Z Z max, sig(i N)) ZH jegy

68 I N

69

70

71 irányítatlan grafikus modellek

72 összefoglalás tudjuk mit jelent a függetlenség probabilisztikus modellekben az irányított grafikus modellek az eloszlás függetlenségi struktúráját jelenítik meg a gráf a teljes eloszlás egy faktorizációját adja meg, amelynek segítségével kevesebb számmal is meg lehet adni az eloszlást ezt kihasználva hatékonyabb inferencia algoritmusokat lehet kitalálni a gráfról a függetlenségi relációkat a d-szeparáció tétel alapján le tudjuk olvasni a grafikus modell abban is segít hogy egy intuitívan ismert rendszerből probabilisztikus modellt tudjunk felírni

73 bayes-i inferencia

74 mi az amit megfigyelünk? inferencia fotonok becsapódása levegő gyors rezgései hőmérséklet ingadozása bizonyos molekulák mire vagyunk kíváncsiak? milyen tárgyak vannak körülöttem milyen messze kik vannak körülöttem mire gondolnak mik a fizika törvényei

75 f

76 f }generatív folyamat

77 f }generatív folyamat f

78 f } generatív folyamat inverz inferencia } f -1

79 P (o h) P (h o)

80 P (o h) ha ilyen lenne a világ akkor mit figyelnénk meg? P (h o)

81 P (o h) ha ilyen lenne a világ akkor mit figyelnénk meg? P (h o) ha ezt figyeljük meg akkor milyen a világ?

82 forward probability generatív irány prediktív irány szimulátor P (o h) ha ilyen lenne a világ akkor mit figyelnénk meg? P (h o) ha ezt figyeljük meg akkor milyen a világ?

83 forward probability generatív irány prediktív irány szimulátor P (o h) ha ilyen lenne a világ akkor mit figyelnénk meg? inverse probability Bayes-i inferencia modell inverzió P (h o) ha ezt figyeljük meg akkor milyen a világ?

84 P (o h) P (h o) = P (o h)p (h) P (o)

85 P (h o) = P (o h)p (h) P (o) } prior

86 P (h o) = P (o h)p (h) } } likelihood P (o) prior

87 }posterior P (h o) = P (o h)p (h) } } likelihood P (o) prior

88 }posterior P (h o) = P (o h)p (h) } } likelihood P (o) prior } evidence

89 }posterior P (h o) = } } likelihood prior P (o h)p (h) R P (o h)p (h)dh

90 posterior }prior P (h o) / P (o h)p (h) } } likelihood

91 megfordítottuk a generatív modellt posterior }prior P (h o) / P (o h)p (h) } } likelihood

92 megfordítottuk a generatív modellt posterior }prior P (h o) / P (o h)p (h) } } likelihood miért kell a prior?

93 betegség f tünet f -1 betegség

94 miért köhögök? P (illness symptom) / P (symptom illness)p (illness)

95 miért köhögök? megfázás tüdőrák kéztörés P (illness symptom) / P (symptom illness)p (illness)

96 megfázás tüdőrák kéztörés P (illness symptom) / P (symptom illness)p (illness) megfázás milyen gyakori a tüdőrák? kéztörés

97 megfázás tüdőrák kéztörés megfázás tüdőrák kéztörés P (illness symptom) / P (symptom illness)p (illness) megfázás ha tüdőrák kéztörés lenne a betegség attól köhögnék?

98 megfázás tüdőrák kéztörés megfázás tüdőrák kéztörés megfázás tüdőrák kéztörés P (illness symptom) / P (symptom illness)p (illness) valószínűleg megfáztam

99

100

101

102

103

104

105

106 f = b P XY Z Y X

107 f = b P XY nem injektív Z Y X

108 f = b P XY nem injektív f 1 nem egyértelmű Z Y X

109 hipotézis tér: minden lehetséges 3D drótváz

110 hipotézis tér: minden lehetséges 3D drótváz image data hipotézisek amelyekre magas a prior

111 hipotézis tér: minden lehetséges 3D drótváz image data hipotézisek amelyekre magas a prior hipotézisek amelyekre nem 0 a likelihood

112 hipotézis tér: minden lehetséges 3D drótváz image data posterior hipotézisek amelyekre magas a prior hipotézisek amelyekre nem 0 a likelihood

113 [Kulkarni et al 2014]

114 színek

115 szén v. hó hány foton?

116

117

118 megvilágítás elnyelési görbe (anyag) spektrális eloszlás

119 megvilágítás elnyelési görbe (anyag) látósejtek érzékenysége spektrális eloszlás 3 szám

120 megvilágítás elnyelési görbe (anyag) látósejtek érzékenysége spektrális eloszlás 3 szám anyag?

121

122

123

124 beszédfelismerés

125

126 mondatok értelmezése

127 történet 1 Egy férfi bement egy étterembe és rendelt egy hamburgert. Mikor a hamburgert kihozták, látta hogy szénné van égve. A férfi dühösen kirohant anélkül, hogy fizetett vagy borravalót hagyott volna.

128 történet 1 Egy férfi bement egy étterembe és rendelt egy hamburgert. Mikor a hamburgert kihozták, látta hogy szénné van égve. A férfi dühösen kirohant anélkül, hogy fizetett vagy borravalót hagyott volna. történet 2 Egy férfi bement egy étterembe és rendelt egy hamburgert. Mikor a hamburgert kihozták, nagyon elégedett volt vele és mielőtt elhagyta az éttermet nagy borravalót hagyott a pincérnek.

129 történet 1 Egy férfi bement egy étterembe és rendelt egy hamburgert. Mikor a hamburgert kihozták, látta hogy szénné van égve. A férfi dühösen kirohant anélkül, hogy fizetett vagy borravalót hagyott volna. történet 2 Egy férfi bement egy étterembe és rendelt egy hamburgert. Mikor a hamburgert kihozták, nagyon elégedett volt vele és mielőtt elhagyta az éttermet nagy borravalót hagyott a pincérnek. Megette a férfi a hamburgert?

130 - Elnézést, kártyával lehet fizetni? - Persze

131 - Elnézést, kártyával lehet fizetni? - Persze - Egy ászból és királyból tud visszaadni?

132 - Elnézést, kártyával lehet fizetni? - Persze - Egy ászból és királyból tud visszaadni? humor = téves inferencia felfedezése? [Hurley et al 2011]

133 a látótér határai nem látszanak csak középen látunk élesen (fovea) vakfolt a szakkádoktól nem rázkódik a világ

134 aszimptotikus bizonyosság a paraméter posterior végtelen adat esetén a valódi paraméterérték körüli delta eloszláshoz konvergál

135 aszimptotikus konszenzus a különböző priorokból induló posteriorok közötti különbség az adat növekedésével eltűnik

136 összefoglalás ami érdekel az általában közvetlenül nem megfigyelhető a rejtett állapotok kikövetkeztetésében segít a tapasztalatokat generáló folyamat ismerete ennek megfordítása a likelihood: melyek azok a rejtett állapotok amelyek összeegyeztethetőek a megfigyelésekkel? de ez még nem elég, kell prior is hogy feloldja az empirikus aluldetermináltság problémáját a kettő szorzata a posterior, ami megadja jelenlegi tudásunkat a nem megfigyelt változók értékeinek plauzibilitásáról

137 közelítő inferencia az adat és egy adott hipotézistér mellett a posterior eloszlások a legtöbb amit tudunk mondani viszont ezt sokszor nehéz vagy lehetetlen egzaktul kiszámolni, ezért közelítésekre kényszerülünk pontbecslések sztochasztikus közelítő módszerek (Monte Carlo) mintavételezés aszimptotikusan (végtelen sok ideig futtatva) egzaktak

138 Monte Carlo n=50 n=1000 n=10 e. n=1 mil

139 közelítő inferencia az adat és egy adott hipotézistér mellett a posterior eloszlások a legtöbb amit tudunk mondani viszont ezt sokszor nehéz vagy lehetetlen egzaktul kiszámolni, ezért közelítésekre kényszerülünk pontbecslések sztochasztikus közelítő módszerek (Monte Carlo) mintavételezés aszimptotikusan (végtelen sok ideig futtatva) egzaktak determinisztikus közelítő módszerek pl: variációs Bayes nem kell végtelen sok idő, de sosem egzakt eredmény

140 Variational Bayes

141 pontbecslések eloszlás egy szám

142 MAP becslés posterior * 0.7 * 0.5

143 várható érték E[X] = Z X xp(x) dx

144 variancia Var[X] =E[(X E[X]) 2 ]

145 kovariancia Cov[X, Y ]=E[(X E[X])(Y E[Y ])]

146 korreláció Corr[X, Y ]= Cov[X, Y ] Var[X] Var[Y ]

147 1. házi feladat Készíts generatív valószínűségi modellt, ami autógyártók éves bevételének jóslására használható (más témát is választhatsz). válaszd ki a fontos változókat a változók közötti függetlenségi viszonyok alapján rajzolj grafikus modellt válassz diszkrét vagy folytonos eloszlásokat a szükséges marginálisok és kondicionálisok formájául ( en.wikipedia.org/wiki/list_of_probability_distributions) gondolkodj el rajta, hogy mik azok a feltételezések, amiket beleépítettél a modellbe, de sejthetően nem egyeznek a valósággal

148 2. házi feladat x2 és x5 között terjedhet hatás? hogyan lehetne x1 és x4-et függetlenné tenni?

149 referenciák [Kulkarni et al 2014] Kulkarni, Tejas D., et al. "Inverse graphics with probabilistic CAD models." arxiv preprint arxiv: (2014). [Hurley et al 2011] Hurley, Matthew M., Daniel Clement Dennett, and Reginald B. Adams. Inside jokes: Using humor to reverseengineer the mind. MIT press, McGurk effect (video)