Markov modellek

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Markov modellek 2015.03.19."

Csenge Tóth
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Markov modellek

2 Markov-láncok Markov-tulajdonság: egy folyamat korábbi állapotai a későbbiekre csak a jelen állapoton keresztül gyakorolnak befolyást. Semmi, ami a múltban történt, nem ad előrejelzést a jövőre nézve. Markov-láncok: speciális diszkrét sztochasztikus folyamatok, melyek Markov-tulajdonságúak. Pl. érmedobás: van egy szabályos érménk, ha 10-szer fejet dobtunk, ugyanúgy ½ valószínűséggel dobunk 11-edszer is fejet.

Markov-láncok: speciális diszkrét sztochasztikus folyamatok, melyek Markov-tulajdonságúak. Pl.

3 Időjárás Állapotok: s 1 =napos, s 2 =borús, s 3 =esős Kérdés: mi az esélye, hogy egy napos állapot után {napos, esős} sorozat következzen? Átmenet-valószínűség: (p ij ) annak a valószínűsége, hogy a folyamat egy időperiódus alatt az i állapotból a j-be lép át. Segítségével felírható az átmenet-valószínűségi mátrix. P({s 1,s 1,s 3 } Is 1 }=1*p 11 *p 13 =1*0.8*0.3=0.24

Átmenet-valószínűség: (p ij ) annak a valószínűsége, hogy a folyamat egy időperiódus alatt

4 Részvényárfolyam Ha egy részvény árfolyamáról szeretnénk valamilyen elemzést készíteni, sok esetben elég csak annyit tudnunk, hogy az adott részvény árfolyama a vizsgált napokon nőtt vagy csökkent. Becsülni szeretnénk a következő napi, illetve a hosszú távú változását. 1. Csak a legutolsó változás befolyásolja a következő napi árfolyamot. 2. A legutolsó két nap változása befolyásolja a következő napi árfolyamot.

Becsülni szeretnénk a következő napi, illetve a hosszú távú változását. 1.

5 Részvényárfolyam nap mozgás N C C N N C C N C C N C C C N nap mozgás C N C C N C N N C N C C N C C N C N 2/12 10/12 C 9/17 8/17

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 mozgás C

6 Részvényárfolyam Szükségünk van a kezdeti eloszlásra, valamint az átmenetvalószínűségi mártixra (P). A kezdeti eloszlás: Q(0)=(0,1) (mert a 30. napon csökkent az árfolyam) Q(1)=(9/17, 8/17), azaz 0,47 valószínűséggel csökkenni fog az árfolyam a 31. napon. Ha arra vagyunk kíváncsiak, n nap múlva, mekkora eséllyel fog csökkenni az árfolyam: Q(n)=Q(0)*P n

napon csökkent az árfolyam) Q(1)=(9/17, 8/17), azaz 0,47 valószínűséggel csökkenni fog

7 Csökkenés valószínűsége a következő 1 hétben

8 Részvényárfolyam Az 5. naptól megfigyelhető, hogy a csökkenés valószínűsége 0,6115 körüli értékeket vesz fel. Ennek oka, hogy az átmenet-valószínűségi mátrix ergodikus. (Minden állapot visszatérő aperiodikus, és az állapotok kommunikálnak egymással.)

9 Részvényárfolyam/2 Utolsó két nap mozgásait vesszük figyelembe. Ekkor 4 állapotot és 28 átmenetet vizsgálunk: NN (2 db), NC (10 db), CN (9 db), CC (7 db) NNC (2 db), így az NN-NC átmenet relatív gyakorisága 2/2. CNC (7 db), így a CN-NC átmenet relatív gyakorisága 7/9. Mivel az utolsó két nap csökkent az árfolyam, a kezdeti eloszlás: Q(1)=(0, 0,0, 1)

db) NNC (2 db), így az NN-NC átmenet relatív gyakorisága 2/2.

10 Részvényárfolyam/2 NN NC CN CC NN NC 0 0 3/10 7/10 CN 2/9 7/9 0 0 CC 0 0 6/7 1/7

11 Részvényárfolyam/2 Ugyanúgy járunk el, mint a korábbi feladatnál: Q(1)=(0, 0, , ) Eszerint a csökkenés valószínűsége , ami jóval kisebb, mint abban az esetben, mikor csak az utolsó napi mozgást vettük figyelembe. Az első pár napban itt is nagyobb ingadozások lehetnek (pl. a 2. nap , a 3. nap valószínűséggel csökken az árfolyam).

1429, ami jóval kisebb, mint abban az esetben, mikor csak az utolsó napi mozgást vettük

12 Rejtett Markov modell (HMM) Az állapotokat nem ismerjük (rejtettek), megfigyelések segítségével következtetünk az állapotok egy olyan valószínűsíthető sorozatára, mely a megfigyelt eseményeket okozhatta. Pl. szabadidős tevékenységek alapján következtethetünk időjárásra Hasonlóan az egyszerű Markov modellekhez, átmenet-valószínűségi mátrixok, valamint a megfigyelt adatokra illesztett kezdeti eloszlás segítségével tudjuk vizsgálni a háttérben lévő Markov-lánc fejlődését. Az illesztett eloszlás függ az egyes rejtett állapotoktól, velük együtt változik.

szabadidős tevékenységek alapján következtethetünk időjárásra Hasonlóan az egyszerű Markov modellekhez, átmenet-valószínűségi mátrixok,

13 Beszédfelismerés Beszélt szöveget hallva meg akarjuk határozni a beszédben szereplő szó/fonémasorozatot. Figyelembe kell venni, hogy különböző nyelveknél mások a karakterszekvencia-eloszlások, így különböző valószínűségek is társulnak az egyes karakterátmenetekhez (pl. th ). Felépíthető HMM a nyelvfelismerési problémára is, mely ezekre a különbségekre épít, majd következtet egy ismeretlen dokumentum nyelvére.

Figyelembe kell venni, hogy különböző nyelveknél mások a karakterszekvencia-eloszlások, így különböző

14 Betegség előrehaladása Betegségek előrehaladása leírható azok súlyosságának fokozataival. Sok esetben ismeretlen a betegség kialakulásának ideje, valamint az egyes kontrollok közti időszakokban történő folyamatos változás. Számít a vizsgálatok időpontjainak eloszlása (pl. a betegség egy súlyosabb fázisában gyakrabban szükségesek a kontrollok), azonban nem minden esetben informatívak.

időszakokban történő folyamatos változás. Számít a vizsgálatok időpontjainak eloszlása (pl.

15 Bronchiolitis Obliterans Szindróma (BOS) Tüdőátültetés után leggyakrabban kialakuló tünetegyüttes, mely teljesen tönkreteszi a szervezet által idegennek tekintett beültetett tüdőt. Vizsgálati módszer: FEV 1 (forced expiratory volume in 1 second)

tönkreteszi a szervezet által idegennek tekintett beültetett

16 Kiindulópont BOS-re diszkrét folyamatként tekintünk 3 állapottal: 1:még nem alakult ki (FEV 1 :100%) 2:BOS (FEV 1 :54%) 3:halál Megfigyeléseink az egyes FEV 1 -tesztek Transzplantáltak adatait vizsgáljuk Normális eloszlásúak ismeretlen paraméterekkel (ezek az egyes állapotoktól függnek) Akut események befolyásolják a FEV 1 eredményeket

Transzplantáltak adatait vizsgáljuk Normális eloszlásúak ismeretlen paraméterekkel

17 A modell Kérdés: a transzplantáció után várhatóan mikor jelentkezik a BOS? Kialakulása után mennyi ideig élhetnek a betegek? 3-állapotú modell (átmenet-mátrix) A FEV 1 eredmények normális eloszlást követnek, a paraméterek ismeretlenek és különböznek a BOS 1., valamint 2. állapotáétól. Feltehető, hogy az 1. állapotban a várható érték 100, a szórás 16, a 2. állapotban 54 a várható érték és 18 a szórás. Becsülni szeretnénk a paramétereket (MLE)

3-állapotú modell (átmenet-mátrix) A FEV 1 eredmények normális eloszlást követnek, a paraméterek ismeretlenek

18 Eredmények Az 1. állapotban a mérőbázis 98%, míg a 2. állapotban ez 52%. Ezeket az időközben felmerülő akut események 8%-kal csökkentik. A transzplantáció után átlagosan közel 4 év múlva alakul ki a betegség, mellyel még közel 3 és fél évig élhetnek a betegek.

Hasonló dokumentumok

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R