A Grunwald-Wang tétel bizonyítása a Galois-kohomológia eszközeivel

Átírás

1 A Grunwald-Wang tétel bizonyítása a Galois-kohomológia eszközeivel Szakdolgozat Cziszter Kálmán Matematikus szak Témavezető: Szamuely Tamás MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2008

2 Tartalomjegyzék Előszó 3 1. Az étale algebrák Galois-elmélete Galois kategóriák Étale algebrák A fibrum funktor Leszállás (descent) A Galois algebrák struktúrája Csoportbővítések és a kohomológia alapjai A Galois-algebrák osztályozása A Galois-algebrák paraméterezése A körosztási bővítések Kummer-elmélet Albert féle eset A Hochschild-Serre egzakt sorozat A transzgresszió A ciklikus eset Tate csavarás A csavart norma Paraméterezés Artin-Schreier-Witt elmélet A Grunwald-Wang tétel Az approximációs lemma Lokális gyökvonás A bizonyítás Hivatkozások 79 2

3 Előszó A Grunwald-Wang tétel az előírt lokális viselkedésű Galois-bővítések konstrukciójára ad eljárást. Maga a feladat rokona a Noether által felvetett inverz Galois-problémának, amikor egy adott k alaptestnek keressük egy előírt G csoportú L k Galois-bővítését. Teljes általánosságban ez a probléma mindmáig megoldatlan, azt azonban régóta tudni lehet, hogy abeli G csoport esetén mindig van megoldás. Hasse tette fel ezután azt a kérdést, hogy vajon ebben az abeli esetben tudunk-e olyan L k bővítést is szerkeszteni, amelynek a lokális viseledése is részben elő van írva. Ez utóbbi fogalom alatt azt kell érteni, hogy a k alaptesten adottak valamely v 1,..., v r értékelések; ezek L-re is kiterjeszthetőek, és ha L-et teljessé tesszük (más néven lokalizáljuk) ezen értékelések topológiái szerint, azzal r darab különböző testbővítést kapunk; ezek együttesét nevezzük L k lokális viselkedésének: L k telítés L 1 K 1 L 2 K 2 A feladat megoldhatóságára Grunwald adott először bizonyítást 1933-ban, amit Whaples finonímitott 1942-ben. Ez az eredmény a híres Brauer-Hasse- Noether tétel bizonyításába is beépült. Ez utóbbi szerencsére nem veszítette el az érvényét, amikor Wang 1950-ben hibát talált a korábbi bizonyításokban, egyszerű ellenpéldát mutatott, és körülhatárolta azokat a kivételes eseteket, amikor a szerkesztés nem végezhető el. Mindezen bizonyítások rendkívül bonyolultak voltak, és nagyszámú, nem is tisztán csak algebrai előismerten alapultak. Egy Alberttől származó ötletből kiindulva sokan próbáltak elemi algebrai bizonyítást adni a Grunwald-Wang tételre, ez azonban először csak a Lorenz-Roquette szerzőpárosnak sikerült. Az ő cikkük képezi a jelen dolgozat alapját. (lásd [15]; a probléma történetéről lásd még [21] 5.3. fejezetét). A mi kontribúciónk elsősorban abban áll, hogy ezt az új bizonyítást újrafogalmaztuk a Galois-kohomológia elméleti keretei közt, rámutatva ezzel a Lorenz és Roquette által véghez vitt számítások hátterében meghúzódó mélyebb okokra. (Az 5 Tételhez fűzött megjegyzésünkben hasonlítjuk össze részletesen az ő eredményüket az általunk elérttel.) A csoportkohomológiai technikának az alkalmazását itt az teszi lehetővé, hogy a k test feletti Galois G-algebrák izomorfia-típusait a H 1 (k, G) kohomológia-csoport klasszifikálja. A Galois-algebrák Hasse-tól származó fogalma, mint az a struktúratételükből kiderül, a Galois-bővítések egyenes általánosításának tekinthető, és ezért érdemes az előírt tulajdonságú L k bővítést inkább az ő körükben keresni. 3 L r K r

4 Az ezen L k bővítés konstrukciójához vezető eljárást magát két fő részre tagolhatjuk: 1) a k feletti Galois G-algebrák paraméterezése során egy topologikus csoport, például k /k n egyes elemeiből egy adott eljárással előállítjuk az összes szóba jöhető algebrát. Például [25] p. 2-6 leírja, hogy a k feletti Z/4Z csoportú bővítések mindegyike k( a + b c) alakban áll elő úgy, hogy az a, b, c, u k elemek kielégítik az a 2 cb 2 = cu 2 egyenletet; vagyis az algebráknak ezen halmazát az ilyen (a, b, c, u) számnégyeseket paraméterezik. 2) Ezután a paraméterek halmazának topológiai tulajdonságait kihasználva, egyszerű approximációs eljárás révén állítjuk elő azt a paramétert, ami a minden előírt kritériumnak megfelelő L k Galois-bővítést meghatározza a paraméterezésben. A fő nehézség, és egyben a Galois-kohomológiai technikák alkalmazásának a fő terepe ez a paraméterezési eljárás. A véges abeli G csoport esete könnyen visszavezethető arra, amikor G prímhatvány rendű ciklikus. Ez utóbbi viszont számos alesetre oszlik, amelyek felosztását az áttekinthetőség kedvéért itt bocsájtjuk előre. Legyen tehát G = Z/nZ, ahol n = p ν, p prím és ν N; az esetszétválasztás a következő: 1. ha p char(k) (a) ha µ n k : klasszikus Kummer-elmélet (b) ha µ n k, i. ν = 1: Albert féle eset ii. p > 2 vagy ν 2: Lorenz és Roquette iii. p = 2 és ν > 2: speciális eset 2. ha p = char(k) (a) ha ν = 1: Artin-Schreier elmélet (b) különben: Witt-vektorok esete Az összes felsorolt eset prototípusa, és egyben kiindulópontja a klasszikus Kummer-elmélet. Ez ugyanis a p char(k) feltétel mellett tetszőleges k alaptestre megad egy k /k n = H 1 (k, µ n ) izomorfizmust. Csakhogy általában H 1 (k, µ n ) = H 1 (k, Z/nZ), márpedig a k feletti Z/nZ csoportú Galois-algebrák izomorfia-típusait ez utóbbi csoporttal állítottuk bijekcióba. Az 1a esetben viszont teljesül ez a másik izomorfizmus 4

5 is a H 1 csoportok között, ezért ekkor a Kummer-izomorfizmus maga adja meg a keresett paraméterezést: minden ilyen algebra k[ n a] alakban áll elő, ahol az a k Kummer-paraméter n-edik hatványok erejéig egyértelmű. A dolgozat nagyobbik része azt az esetet vizsgálja, amikor k-ban nincs benne minden n-edik egységgyök. Albert észrevétele vetette fel annak a lehetőségét, hogy ezt is megpróbáljuk visszavezetni a klasszikus Kummerelméletre. Ha ugyanis k = k(ζ) a hiányzó egységgyökökkel való bővítés, akkor a k feletti algebrákból k feletti algebrákat előállító L L k k hozzárendelés, az úgynevezett bázisextenzió, amelynek a kohomológia-csoportok szintjén a Res : H 1 (k, Z/nZ) H 1 (k, Z/nZ) homomorfizmus felel meg a az 1(b)i feltételek mellett történetesen izomorfizmus lesz. Általában viszont Res sem nem injektív, sem nem szürjektív. Az eltérés fokát ettől a két kívánatos tulajdonságtól a Hochschild-Serre féle egzakt sorozat alábbi szakaszán tudjuk lemérni: H 1 (g, Z/nZ) Inf H 1 (k, Z/nZ) Res H 1 (k, Z/nZ) g T r H 2 (g, Z/nZ) ahol g = Gal(k k) a körosztási bővítés Galois-csoportja. A fő feladatunk itt egy olyan kritérium keresésében állt, amellyel fel lehet ismerni Im(Res) elemeit, vagyis azokat a k feletti Galois-algebrákat, amelyek k felettiek bázisextenzióiból származnak. Ehhez a sor egzaktsága folytán a T r-vel jelölt transzgressziós homomorfimus magját kellett behatárolnunk. Ezt az tette lehetővé, hogy sikerült a transzgressziós leképezésre (illetve annak egy származékára) egy egyszerű explicit előállítás találnunk (lásd 4). A következő technikai nehézséget az okozta, hogy a µ n = Z/nZ csoportizomorfizmus nem Gal(k)-ekvivariáns. Ezért nem lehet közvetlenül kapcsolatba hozni a Kummer-izomorfizmusban szereplő H 1 (k, µ n ) csoportot a k feletti Galois Z/nZ-algebrákkal bijekcióba állított H 1 (k, Z/nZ) csoporttal. A megoldást erre az ún. Tate-csavarás jelentette, amelynek a révén Gal(k) hatását módosíthatjuk úgy, hogy az szükséges ekvivariancia-feltételek teljesüljenek. Ennek eredményeként az alábbi izomorfizmust kaptuk: H 1 (k, Z/nZ) g = k /k n ( 1) g ahol a jobb oldalon k -nak a csavart hatás szerint g-invariáns osztályai állnak. Ez utóbbi csoportban egy kitüntetett részcsoportot alkotnak a csavart hatás szerint képzett normák, amelyekről kimutatjuk, hogy pontosan Im(Res) elemeinek felelnek meg. Dolgozatunk egyik fő eredményét képviseli 5

6 a 5 Tétel, amelynek következtében arra jutunk, hogy minden k feletti Z/nZ csoportú Galois-algebra előáll k [ n a] g alakban, ahol a egy alkalmas b k elem csavart normája. Ezzel lényegében a klasszikus Kummer-elmélet természetes általánosítást kaptuk az egységgyökök nélküli esetre. A fenti gondolatmenet azonban csak bizonyos megszorításokkal érvényes, amelyek a g = Gal(k k) csoportra vonatkoznak. Problémák csak akkor jelentkeznek, ha p = 2 és ν > 2, de akkor sem mindig. Ezek a Wang féle kivételes esetek, amelyek jelentkezésének pontos feltételei ismertek ugyan, ám a fő forrásunkat képező [15] cikk is nyitva hagyja a kérdést, hogy ezek vajon levezethetőek-e elemi eszközökkel. Az anomáliak olyankor jelentkeznek, amikor g tartalmaz ún. kivételes automorfizmust, ami µ n -en a komplex konjugálás módjára, invertálással hat. A helyzetet ráadásul tovább bonyolítja, hogy a kivételesség kérdését a k alaptest és a K i telítések esetén egymástól részben függetlenül kell vizsgálni. Az esetfelosztásunkban az 1(b)iii alatt megadott feltétel ugyan a szükségesnél kissé tágabbra vonja a kört ezen kivételes esetek körül (hiszen előző gondolatmenetünk apró módosításokkal pl. az olyan k testekre is kiterjeszthető lenne, amelyek tartalmaznak egy primitív 4-ik egységgyököt) mégis úgy láttuk, hogy az 1(b)iii eset összes alesetének tárgyalása csak együtt volna kellőképp áttekinthető. Habár ebbe az irányba számos előrelépést tettünk, az időbeli és terjedelmi korlátok elejét vették annak, hogy mindezt a jelen szakdolgozat keretei közt ismertessük. Ezzel szemben a moduláris esetre vonatkozó Artin-Schreier-Witt elméletet sikerült kidolgoznunk. Itt a Witt-vektoroknak a szakirodalomban legelterjedtebb konstrukciója helyett Witt eredeti ötletére alapoztunk, ami jóval tömörebb tárgyalást tett lehetővé (ez [13]-ban a gyakorlatok közt található meg). Végül a lokális testek néhány topológiai alaptulajdonságának átismétlése után, maga a bizonyítás már valóban egyszerűen adódik majd. Tárgyalásunk során arra törekedtünk, hogy részletesen kifejtsünk minden olyan előismeretet, ami túlmegy az egyetemi törzsanyagon, hiszen ezek elsajátítását is munkánk szerves részének tekintettük. A teljes 1. fejezet lényegében ilyen bevezető jellegű háttérismereteket tartalmaz, de ezen kívül is akadnak még olyan részek, amelyek kevésbé tarthatnak számot a téma közeli ismerőinek az érdeklődésére. Számukra az 1.5, 2.5, 2.8-9, 3.3. fejezetek is elegendőek lehetnek a dolgozat lényegének az áttekintéséhez. 6

7 Köszönetnyilvánítás Mindenekelőtt szüleimnek tartozom hálával, amiért megteremtették a lehetőségét, hogy a matematikus szakra járhassak. Szakmai téren legtöbbet témavezetőmnek, Szamuely Tamásnak köszönhetem. A modern Galois-elméletről tartott előadásai, amelyek elindítottak ezen az úton, a reveláció erejével hatottak rám. Mindaz a rendkívüli türelem és odafigyelés, amivel a jelen dolgozat létrejöttét végigkísérte a legmélyebb hála érzését ébreszti bennem. Őszinte hálával gondolok Philippe Gille-re, akivel alkalmam nyílt két héten át együtt dolgozni ezen a témán. Számos fontos meglátás ennek a közös munkának az eredménye, miként a tőle elsajátított szemléletmód is nagyban befolyásolta az itt előadottakat. Köszönet illeti az Eötvös József Collegiumot, az École Normale Supérieure-t, a Francia Nagykövetséget és a Magyar Ösztöndíj Bizottságot, amiért a kiutazást lehetővé tették a számomra. Végül tanáraimnak, Pelikán Józsefnek, Pálfy Péter Pálnak és Fried Ervinnek mondok köszönetet, akiktől az alapokat tanultam, és akik elültették bennem az algebra iránti lelkesedést. 7

8 1. Az étale algebrák Galois-elmélete A jelen fejezetben áttekintjük a Galois-elmélet Grothendieck féle újrafogalmazását. Ebben a véges szeparábilis bővítések szerepét az ún. étale algebrák töltik be, amelyek bevezetésének fő motivációja az, hogy szemben a testbővítésekkel a legfontosabb kategoriális műveletekre, pl. a direkt és a tenzori szorzásra nézve zárt kategóriát alkotnak. A Galois-bővítések szerepét viszont a Galois G-algebrák veszik át, amelyeknek fő sajátossága, hogy rendelkeznek ún. "normálbázissal". Ezekre végül struktúratételt adunk, amelynek értelmébeny a Galois G-algebrák Galois-bővítésekből állnak elő az indukálás művelete útján. Szemben a klasszikus elmélettel, amelyben az L k bővítés köztes testei és a Gal(L k) csoport részcsoportjainak között létesítünk Galois-kapcsolatot, a Grothendick féle felépítésben a k fölötti étale-algebrák és az alább definiálandó Γ = Gal(k s k) csoport hatása alatt álló véges halmazok kategóriája között létesítünk egy ekvivalenciát az itt X-el és M-el jelölt adjungált funktorpár révén. Mindezen témákat csak felszínesen tudjuk érinteni, amennyire ezt a későbbiek megértése szükségessé teszi; a részletek megtalálhatók a jelen fejezet fő forrásait képező [26] 1.5, [30] 6.2 vagy [12] 18 monográfiákban Galois kategóriák Kiindulópontunk a véges halmazok és a köztük menő függvények kategóriája; ezt jelölje S. Ha X, Y Ob(S), akkor a X Y diszjunkt unió, illetve a X Y direkt szorzat két S S S típusú funktor, továbbá az X-ből Y -ba menő függvények Hom(X, Y ) halmazának a képzése egy S op S S típusú (első változójában kontravariáns) funktor. Ezek persze S morfizmusain is értelmezve vannak, ti. ha f : A B és g : C D halmaz-függvények, akkor f g : A C B D f g : A C B D f g : Hom(D, A) Hom(C, B) (a, c) (f(a), g(c)) { f(x) ha x A x g(x) ha x C φ f φ g Mivel az aritmetika alapműveleteit, az összeadást, a szorzást és a hatványozást pontosan a véges halmazokon értelmezett fenti három művelet révén 8

9 vezettük be, ezért minden különösebb bizonyítás nélkül evidens kell legyen az, hogy és asszociatív, kommutatív, egységelemes művelet, és hogy: (A B) C = (A C) (B C) Hom(A, B) Hom(A, C) = Hom(A, B C) Hom(B, A) Hom(C, A) = Hom(B C, A) Hom(A, Hom(B, C)) = Hom(A B, C) A véges halmazok kategóriájából konstruáljuk meg a véges Γ-halmazok kategóriáját, ahol Γ egy csoport, amiről egyenlőre feltesszük, hogy véges. Ennek az új kategóriának az objektumai a φ : Γ Aut(X) tipusú csoporthomomorfizmusok tetszőleges X Ob(S)-re, vagy másképp a Γ X X csoporthatások. Ezen csoporthatások írásmódjában, valahányszor a félreértés veszélye nélkül megtehető, a nehézkes φ(σ)(x) kifejezést a σ x rövidítéssel helyettesítjük. A Γ-halmazok kategóriájának morfizmusai pedig olyan f : X Y függvények, amelyek Γ-ekvivariánsak, azaz teljesítik az f(σ x) = σ f(x) feltételt. Ezt a konstrukciót megfogalmazhatjuk úgy is, hogy ha Γ-t olyan egyobjektumú kategóriának tekintjük, amelyben a csoportelemek a morfizmusok, akkor voltaképp a Γ S típusú funktorok kategoriáját hoztuk létre; itt a Γ S funktorok közti természetes izomorfizmusok a morfizmusok, amelyekről könnyen ellenőrizhető, hogy nem egyebek, mint épp a Γ-ekvivariáns függvények. Ennek az absztrakt megfogalmazásnak a fő előnye az, hogy minden erőfeszítés és bizonyítás nélkül kitűnik belőle: az S-en értelmezett műveletek, és műveleti szabályaik automatikusan öröklődnek a Γ-halmazok kategóriájára. És az is könnyen leolvasható róla, hogy az X és Y halmazokon megadott Γ-hatás hogyan terjed ki az összetételeikre: (x, y) X Y σ (x, y) = (σ x, σ y) x y X Y σ (x y) = (σ x) (σ y) f Hom(X, Y ), x X (σ f)(x) = σ f(σ 1 x) Ezt a konstrukciót kiterjeszthetjük arra az esetre is, amikor Γ nem véges, hanem ún. provéges csoport, ami alatt a következőt értjük. Γ véges faktorainak a halmaza legyen {G i : i I}; az ezek közt menő f i,j : G i G j csoporthomorfizmusok közül vegyük azokat, amelyek kompatibilisek a π i : Γ G i 9

10 kanonikus leképezésekkel, vagyis amelyekre π j = f i,j π i ; ezek kategóriát alkotnak, amit jelöljünk C(Γ)-val. A Γ csoportot akkor nevezzük provégesnek, ha a C(Γ) teljes egészében meghatározza őt, azaz ha bármely más Γ csoportra, amelyre C(Γ ) = C(Γ), teljesül az, hogy Γ = Γ. Ezek után egy Γ Aut(X) hatást folytonosnak fogunk nevezni, ha átvezethető valamelyik G i véges faktoron, azaz ha előáll π i : Γ G i és valamely φ : G i Aut(X) kompozíciójaként. (Ugyanis könnyen ellenőrizhető, hogy a ker(π i ) normálosztók teljesítik egy topológia zárt halmazainak axiómáit, és az így kapott topológiára nézve Γ topologikus csoport lesz; ha pedig X-en a diszkrét topológiát vesszük, azzal a Γ X X hatás folytonos.) A folytonosság ekvivalens jellemzése tehát az, hogy létezik olyan K Γ véges indexű normálosztó, amelyre X K = X. (Itt és továbbiakban az X K jelölés a K-hatás fixpontjainak a halmazára vonatkozik.) Provéges Γ esetén csak ezeket a folytonos Γ-hatásokat vesszük fel a Γ-halmazok kategóriájába; ezzel lényegében a G i -halmazok kategóriáit egyetlen közös kategóriába "csomagoljuk össze". (Ennek eszköze a projektív limes-képzés, vö. 3. rész, bevezető). A Galois-elmélet központi felismerése az, hogy a Γ-halmazok, bármilyen egyszerűnek is tűnjenek, sokkalta bonyolultabb algebrai (és topológiai) struktúrákkal "egyenértékűek". Egyenértékűség alatt itt az alábbit kell érteni: 1.1. Definíció. A A és B kategóriák ekvivalensek, hogyha létezik egy olyan F : A B és G : B A funktorpár, amelyre F G = 1 A GF = 1 B Ha B helyett itt B op szerepel, akkor anti-ekvivalenciáról, ha pedig emellett még A = B is teljesül, akkor dualitásról beszélünk. Az (anti-)ekvivalencia fogalma voltaképp a Galois-kapcsolat általánosítása. Az A és B részbenrendezett halmazokat ugyanis tekinthetjük olyan kategóriáknak, amelyekben bármelyik Hom(X, Y ) halmaz vagy üres, vagy pontosan egy eleme van, amit az X Y szimbólum jelöl. Ekkor F és G funktorialitása annyit tesz, hogy ezek rendezéstartó leképezések, az F G = id és GF = id feltételek pedig épp azt jelentik, hogy az (F, G) pár Galoiskapcsolat. Az alábbi definíció Grothendiecktől származik: 1.2. Definíció. Egy C kategóriát Galois-kategóriának nevezünk, ha (anti-) ekvivalens valamely (pro-) véges Γ csoport halmazainak a kategóriájával. 10

11 1.2. Étale algebrák A klasszikus Galois-elmélet keretéül szolgáló véges szeparábilis testbővítések azzal a fogyatékossággal bírnak, hogy nem zártak az alapvető kategoriális műveletre, például a direkt vagy a tenzori szorzatra nézve. Ez teszi indokolttá az alábbi általánosításukat: 1.3. Definíció. Egy k test feletti A algebrát étale algebrának nevezzük, ha véges sok véges szeparábilis L i k testbővítésből áll elő direkt összegként: A = L 1... L n Tehát az étale algebrák osztálya definíció szerint zárt a direkt szorzásra nézve. A továbbiakban belátjuk, hogy a tenzori szorzásra nézve is. (Emlékeztetőül: két k-algebra tenzori szorzatát úgy képezzük, hogy a k-modulusként vett tenzori szorzatukban bevezetünk egy szorzást az (a b)(c d) = (ac bd) definícióval, majd az így kapott gyűrűbe k-t az a 1 = 1 a, a k alakú elemek részgyűrűjeként ágyazzuk be.) Az alábbi lemma forrása [16] p : 1.1. Lemma. Egy L k véges testbővítés akkor és csakis akkor szeparábilis, ha tetszőleges K k testbővítésre L k K mint K-algebra étale. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy L k nem szeparábilis. Ez csak úgy lehet, ha a k alaptest nem perfekt, amiért is a karakterisztikája p > 0; létezik továbbá olyan α L amelynek a minimálpolinomja x q a valamely q = p s prímhatványra és a k testelemre. Tekintsük ekkor a K = L speciális esetet, és vegyük a β = 1 α α 1 L k L elemet. Mivel p-karakterisztikában a p-edik hatványozás homomorfizmus, azt látjuk, hogy: β q = (1 α) q (α 1) q = a(1 1) a(1 1) = 0 ahol az a 1 = a(1 1) átalakításra az jogosít fel bennünket, hogy a k feletti tenzorszorzás k-bilineáris és a k; de ugyanezen az alapon azt is látjuk, hogy β 0 mivel α / k. Következésképp β egy nem-nulla nilpotens. Ilyesmi viszont egy étale algebrában nem fordulhat elő, hiszen az, mint testek direkt szorzata, féligegyszerű gyűrű, és ezért radikálmentes. Ezzel beláttuk, hogy ha tetszőleges K k testbővítésre L k K étale algebra, akkor L k szükségképp szeparábilis. A megfordításhoz tegyük fel, hogy L k véges szeparábilis. Ekkor a primitív elem tétele értelmében létezik olyan α L amelyre L = k(α); ha tehát 11

12 α minimálpolinomja az f k[x] irreducibilis polinom, akkor L = k[x]/(f), vagyis másképp fogalmazva az alábbi sor a gyűrűk kategóriájában egzakt: 0 (f) k[x] L 0 Alkalmazzuk erre a sorra a _ k K funktort, amiről köztudott, hogy jobbegzakt. Ezzel az alábbi egzakt sort kapjuk: (f) k K k[x] k K L k K 0 Itt K k k[x] = K[x], ugyanis a n i=1 a i p i n i=1 a ip i szabállyal megadott függvény (ahol a i K és p i k[x]) nyilván szürjektív és a magja 0. Ezen izomorfizmus explicit alakjából az is látszik, hogy az f által k[x]-ban generált főideálnak az f által K[x]-ben generált főideál fog megfelelni; csakhogy míg k fölött f irreducibilis volt, a bővebb K test felett már egy vagy több irreducibilis faktora bomlik: f = f 1...f s, ahol az f i K[x] polinomok szintén szeparábilisek (hiszen ha f-nek nincs többszörös gyöke a k algebrai lezártban, akkor az f i f osztóknak sem lehet). Tehát (f) k K = (f 1...f s ) = s i=1(f i ). Mindezt visszahelyettesítve az előző egzakt sorba azt kapjuk, hogy L k K = K[x]/ s i=1 (f i ) Mivel az f i K[x] polinomok irreducibilisek, így (f i, f j ) = 1 ha i j; ezért az euklideszi algoritmus mindig megoldja az xf i + yf j = 1 egyenletet, azaz az (f i ) főideálok páronként koprímek. Következésképp alkalmazható rájuk a gyűrűk esetére általánosított kínai maradék tétel (lásd pl. [13] Theorem 2.1.), amelynek értelmében ha az a 1,..., a s ideálok egy A gyűrűben koprímek, akkor A/ s i=1 a i = s i=1 A/a i. Ezzel a következő előállítást kapjuk: L k K = s K[x]/(f i ) i=1 Itt az f i -k szeparabilitása miatt mindegyik direkt összeadandó K-nak véges szeparábilis testbővítése, ezért L k K mint K feletti algebra étale Definíció. Azt az eljárást, amikor egy k test feletti A algebrából és a K k testbővítésből létrehozzuk az A k K gyűrűt, és az a 1 a beágyazás révén K feletti algebrának tekintjük azt, bázisextenziónak nevezzük. 12

13 A bázisextenzió tehát annyiban több az egyszerű tenzori szorzásnál, hogy k feletti A k K algebrát át is értelmezzük a bővebb K test feletti algebrává. Válasszuk most K szerepére k s -et. (Emlékeztetőül, a k s -el jelölt szeparábilis lezárt a k egy rögzített k algebrai lezártján belül mindazon elemek halmaza, amelyek k feletti minimálpolinomja szeparábilis; ez nyilván k-nak részteste). Ezzel néhány azonnali következmény adódik Következmény. Egy véges dimenziós, féligegyszerű, kommutatív A gyűrű akkor és csak akkor étale algebra k felett, ha A k k s étale algebra k s felett. Bizonyítás. Tekintve, hogy k s egyetlen szeparábilis bővítése önmaga, ezért egy k s feletti étale algebra voltaképp egy k s... k s alakú gyűrű, amelyben az összeadás és a szorzás koordinátánként végzendő. Az állítás ezért úgy is fogalmazható, hogy a mondott tulajdonságú A algebra pontosan akkor étale, ha az A k k s elemei mint mátrixok szimultán diagonalizálhatók. Ha A véges dimenziós féligegyszerű gyűrű, akkor a Wedderburn-Artin tétel értelmében k különféle K i véges testbővítései feletti teljes mátrixgyűrűk direkt szorzata: A = M n1 (K 1 )... M nr (K r ). Mivel A kommutatív, de n 2 esetén M n (K) már nem az, így A = K 1... K r. A tenzorszorzat disztributivitása miatt A k k s mint k s pontosan akkor lesz étale k s felett, ha az K i k k s algebrák külön-külön is azok. Ez viszont az előző lemma értelmében pontosan akkor teljesül, ha mindegyik K i k testbővítés véges szeparábilis, ami viszont definíció szerint ekvivalens azzal, hogy A étale. Ha továbbá a K i k testbővítés minimálpolinomja f, akkor f szeparabilitása miatt ez k helyett már k s felett is csupa különböző lineáris faktorra bomlik: f = (x α 1 )...(x α s ), ahol α i k s. Így a kínai maradék tételből adódó felbontás szerint K i k k s = k s (α 1 )... k s (α s ) ahol persze mind a dim(k i k) darab direkt összeadandó izomorf k s -el Következmény. Ha M és N két k feletti étale algebra, akkor M k N is k is az. Bizonyítás. A tenzori szorzat asszociativitása és disztributivitás a miatt: (M k N) k k s = M k (k s... k }{{} s ) = (k s... k s )... (k s... k s ) }{{} dim k (N) dim k (M) dim k (N) így az előző következmény "csak akkor" iránya szerint M k N étale k-algebra. 13

14 1.3. A fibrum funktor Egyik fő célkitűzésünk annak belátása lesz, hogy az étale algebrák Galoiskategóriát alkotnak. Ehhez meg fogunk konstruálni az 1.1 definíció szerint egy funktor-párt a k feletti étale algebrák és a véges Γ-halmazok között, ahol Γ = Gal(k s k) provéges csoport. A pár első tagja az alábbi: 1.5. Definíció. A k feletti étale algebrákon értelmezett X(L) := Hom k (L, k s ) hozzárendelést a fibrum-funktornak nevezzük. A Hom k jelölésben az alsó index azt jelzi, hogy a k-algebra homomorfizmusok halmazáról van szó; a funktorialitás és a kovariancia triviális. Az X(L) halmaznak teljesen konkrét jelentés is tulajdonítható: pl. abban az egyszerű esetben, amikor L k egy véges szeparábilis bővítés, X(L) tekinthető e bővítés f k[x] minimálpolinomjának a k algebrai lezártban található gyökei halmazának. Tekintsünk ugyanis egy φ Hom k (L, k s ) k-algebra homomorfizmust; ez a Schur-lemma miatt szükségképp beágyazás. A primitív elem tétel miatt L előáll k(α) alakban, ahol α L olyan elem, amelyre f(α) = 0. Ekkor φ k-algebra homomorfizmus volta miatt f(φ(α)) = φ(f(α)) = φ(0) = 0, tehát φ(α) a f polinomnak egy k-n beli gyöke. Továbbá mivel α egymagában generálja L-et k felett, ezért φ(α) teljesen meghatározza φ-t. És viszont φ(α) értéke az f polinom bármelyik k-beli gyöke lehet, így X(L) valóban bijekcióban áll e gyökök halmazával. (Ha pedig L összetett étale-algebra, az X alább igazolandó additivitása révén X(L)-et úgy tekinthetjük mint az egyes direkt összeadandókhoz tartozó gyökhalmazok unióját.) Ebből nyilvánvaló, hogy X a véges halmazok kategóriájába képez. Ezen túlmenően az is könnyen látható, hogy X a véges Γ-halmazok kategóriájába képez, ahol Γ = Gal(k s k). Ha ugyanis φ végigfut Hom k (L, k s ) elemein, akkor a φ σφ szabállyal definiált függvény láthatólag injektív, hiszen σφ = σφ implikálja azt, hogy φ = φ ; de egy véges halmazból önmagába képező injektív függvény szükségképp bijektív tehát a fenti szabály révén Γ permutációkkal hat az X(L) véges halmazon. Ha továbbá L az L i k testekkel az L 1 L 2... L s alakba írható, akkor legyen M = L 1 L 2...L s k ezen testek komopozituma; mivel ekkor Gal(k s M) elemei már mindegyik φ X(L) beágyazást szükségképp fixen hagyják, ezért a Γ provéges csoport hatása az X(L) halmazon definíció szerint folytonos. Végül az is triviális, hogy tetszőleges f : L 1 L 2 k-algebra homomorfizmus 14

15 képe a fibrum-funktornál, azaz f egyúttal Γ-ekvivariáns; ugyanis definíció szerint f (σφ) = (σφ)f = σ(φf) = σ(f φ), tetszőleges σ Γ és φ X(L) elemekre. Ezzel beláttuk az alábbi tényt: 1.4. Állítás. A X hozzárendelés egy kontravariáns funktor, ami a k feletti étale-algebrák kategóriájából a Γ-halmazok kategóriájába képez Állítás. A fibrum-funktor additív és multiplikatív abban az értelemben, hogy ha L 1 és L 2 két tetszőleges k feletti étale algebra, akkor: X(L 1 L 2 ) = X(L 1 ) X(L 2 ) X(L 1 k L 2 ) = X(L 1 ) X(L 2 ) Bizonyítás. i) Mivel az L 1, L 2 étale-algebrák maguk is véges szeparábilis testbővítések direkt szorzatai, ezért indukció révén feltehető, hogy L 1 és L 2 már eleve véges szeparábilis testbővítés. Ekkor mivel az L 1 L 2 gyűrűben a szorzás is koordinátánként végzendő, az (a, 0) és (0, b) nem-nulla elemek nullosztók lesznek. Ezért bármely φ Hom k (L 1 L 2, k s ) homomorfizmusnál φ(a, 0)φ(0, b) = φ(0) = 0; csakhogy a k s testben már nincsenek nullosztók, ezért e két tényező közül vagy az egyik, vagy a másik szükségképp 0. Ha mondjuk φ(0, b) = 0, és c L 2 tetszőleges másik elem, akkor ennek c = b(b 1 c) előállításából φ multiplikativitása miatt az következik, hogy φ(0, c) = 0. Tehát φ az L 2 -beli elemeken konstans 0, ezért teljességgel meghatározza őt a φ 1 = φ L1 megszorítása. A másik esetben viszont analóg módon a φ 2 = φ L2 megszorításról mondható el ugyanez. Ezzel bijekcióba állítottuk Hom k (L 1 L 2 ) és Hom k (L 1 ) Hom k (L 2 ) elemeit. ii) Tekintsük az φ : L 1 k s és a ψ : L 2 k s k-algebra homomorfizmusokat; ezek φ ψ : L 1 L 2 k s k s tenzori szorzatát komponálva a k s -beli szorzásnak, mint bilineáris függvénynek megfelelő k s k s k s homomorfizmussal egy π : L 1 L 2 k s k-algebra homomorfizmus kapunk, amelyre: π(a b) = φ(a)ψ(b) A fordított irányban, ha π adott, akkor φ és ψ az alábbi definíciókkal nyerhető vissza: φ(a) = π(a 1) ψ(b) = π(1 b) Mivel az L 1 k L 2 gyűrű szorzási szabálya szerint (a 1)(1 b) = a b, azonnal látható, hogy a fenti két megfeleltetés egymás inverze; a Γ-ekvivariancia itt is triviális. 15

16 1.6. Következmény. Ha L étale k -algebra és k k s a k szeparábilis bővítése, akkor Hom k (L k k, k s ) = Hom k (L, k s ) Bizonyítás. Egyfelől nyilvánvaló, hogy ha A egy algebra k felett, akkor k felett is az, és ha φ egy k -algebra homomorfizmus, akkor k-algebra homomorfizmus is; ezért Hom k (A, k s ) Hom k (A, k s ) Legyen most A = L k k és komponáljuk ezt a beágyazást az iménti állításban leírt Hom k (A, k s ) = Hom k (L, k s ) Hom k (k, k s ) izomorfizmussal. Ez utóbbi izomorfizmusról láttuk, hogy a π (φ, ψ) szabállyal adható meg, ahol φ(a) = π(a 1) és ψ(b) = π(1 b) minden a L és b k esetén. Mármost a π : A k s típusú k-homomorfizmus akkor lesz csak k -homomorfizmus is egyben, ha azt az A-n belüli, k -el izomorf részalgebrát, ami az (1 b) alakú elemekből áll, identikusan képezi k k s -re, vagyis ha π(1 b) = b minden b k -re. De ekkor ψ = id, így a fenti kompozíciónál Hom k (A, k s ) pontosan a Hom k (L, k s ) {id} halmazra képződik. Az állítás ebből következik. Tekintsük most itt a k = k s speciális esetet; az állítás ekkor lényegében azt mondja ki, hogy az X fibrum-funktor felbontható egy kompozícióra: a k s fölé való báziskiterjesztésre, majd ezt követően a k s feletti étale-algebrák fibrum-funktorára. Ebből továbbá egy újabb ekvivalens jellemzést adhatunk az étale algebrákra. Tudjuk ugyanis, hogy ha L = k(α) egy véges bővítés, ahol α minimálpolinomja f k[x], akkor X(L) elemszáma f k-beli különböző gyökeinek a számával azonos. Ez viszont csak akkor egyezik meg f fokszámával, ha f-nek nincs többszörös gyöke, azaz ha szeparábilis különben pedig kevesebb annál. Mármost L-nek, mint k feletti vektortérnek a dimenzióját az f minimálpolinom foka adja meg, ezért tetszőleges véges testbővítésre teljesül az, hogy: dim k (L) Hom k (L, k) Hom k (L, k s ) Itt egyenlőség akkor teljesül, ha L szeparábilis, mert az f minimálpolinom k-beli gyökei csak ekkor mind különbözők és k s -beliek. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy ez a jelenség általában is karakterizálja az étale-algebrákat: 1.7. Állítás. A k feletti véges dimenziós, féligegyszerű, kommutatív L algebra akkor és csak akkor étale, ha X(L) = dim k (L). 16

17 Bizonyítás. Láttuk, hogy a felsorolt tulajdonságokkal rendelkező algebra L = L 1... L n alakú, ahol mindegyik L i k véges bővítés. A 1.5 Állítás szerint X(L) = X(L 1 )... X(L n ). A bevezetőben említettek szerint az L i testekre külön-külön teljesül az, hogy X(L i ) dim k (L i ), ahol egyenlőség csak akkor áll, ha L i szeparábilis. Az ezekből összegzéssel kapott X(L) dim k (L) egyenlőtlenség tehát csak akkor teljesülhet egyenlőséggel, ha mindegyik L i szeparábilis. A megfordításhoz abból indulunk ki, hogy ha L étale, akkor az 1.5 Állítás Következménye szerint X(L) = Hom ks (L k k s, k s ); tudjuk viszont, hogy L k k s = k s... k s, ahol k s pontosan dim k (L) példányban szerepel. Ezért a Hom ks funktor additivitását felhasználva arra jutunk, hogy: X(L) = Hom ks (k s, k s )... Hom ks (k s, k s ) Itt persze Hom ks (k s, k s ) = {id}, ezért X(L) elemszáma annyi, mint a tagok száma ebben a diszjunkt unióban, vagyis éppen dim k (L) Leszállás (descent) Számos algebrai konstrukció van, amit mindig egy k alaptest felett definiálunk: ilyenek például a vektorterek, euklideszi terek, asszociatív algebrák, projektív geometriák, a legkülönfélébb algebrai varietások, stb. Természetes a kérdés, hogy ezen objektumok mely tulajdonságai múlnak a k alaptesten, és melyek magán a konstrukción? E kérdés megválaszolására a bevett heurisztika az, hogy más k testek felett is elvégezzük ugyanazt a konstrukciót lehetőleg úgy, hogy az eredmény minél egyszerűbb legyen, majd a k feletti prototipikus objektumok tulajdonságait megpróbáljuk visszavetíteni az eredeti k feletti esetre; ezt a heurisztikát hívják leszállásnak. A mi esetünkben a lehető legegyszerűbb étale-algebrák a k s felettiek; továbbá az L L k k s bázisextenzióval minden étale-algebrának megfeleltethető egy ilyen; a leszállás kérdése itt tehát az, hogy erről az L k k s k s -algebráról milyen információk olvashatók le az eredeti L-re nézve? Az alábbiakban erre az a válasz fog adódni, hogy ez a bázisextenzióval nyert k s - algebra, ha önmagában még nem is, de a Γ = Gal(k s k) csoport rajta adott hatásával együtt már izomorfizmus erejéig teljesen meghatározza a kiinduló L-et. Γ hatásának megértéséhez a kínai maradék tételből kapott L k k s = k s (α 1 )... k s (α r ) felbontásból kell kiindulunk, ahol az α i k s elemek az 17

18 L = L 1... L s direkt felbontásban szereplő véges szeparábilis testbővítések minimálpolinomjainak a gyökei. Γ itt külön-külön hat az egyes k s -el izomorf tagokon. De mivel Γ bármelyik α i -t csak valamelyik α j -be viheti át, ezért hatása egyenértékű azzal, mintha k s -nek ezeket az izomorf példányait egymás közt permutálná. Mégsem mondhatjuk azonban, hogy Γ hatása kimerülne a (k s ) r vektortér báziselemeinek a permutálásában, hiszen ahhoz a skaláris szorzásnak minden σ Γ és a k s esetén teljesítenie kellene σ (av) = a(σ v) linearitási feltételt. Mivel azonban σ bármelyik v = (a 1,..., a r ) vektort a σ v = (σ a 1,..., σ a r ) vektorba viszi, ezért itt a linearitás helyett csak az alábbi gyengébb tulajdonság teljesül: 1.6. Definíció. Ha L k egy testbővítés és V egy L feletti vektortér, akkor a Γ = Gal(L k) csoport egy V feletti folytonos hatását szemilineárisnak nevezzük, amennyiben minden σ Γ, v V és a L esetén: σ (av) = σ(a)(σ v) Másrészt a k s -algebraként tekintett k s k L-en Γ a σ (a v) = σ(a) v szabály szerint hat. Ezért aztán (k s k L) Γ = L. Ebből sejthető, hogy a ks -re való báziskiterjesztésnek a Γ szerinti fixpontképzés az inverze ; ezt mondja ki a Speiser-lemma, amelyet [12] 18 nyomán igazolunk. (Egy modernebb bizonyítás található [9]-ban). Kiindulópontunk az alábbi klasszikus eredmény (lásd pl. [13] 6.4.): 1.8. Lemma (Artin). Ha G csoport, k test, akkor a χ i : G k csoporthomomorfizmusok (az ún. karakterek) lineárisan függetlenek k felett. Bizonyítás. Tegyük fel indirekt, hogy n 0 minimális olyan szám, amelyre minden x G esetén teljesül az alábbi k-beli együtthatós összefüggés: a 1 χ 1 (x) + a 2 χ 2 (x)... + a n χ n (x) = 0 Mivel ezek a karakterek különbözőek, létezik z G amelyre χ 1 (z) χ 2 (z). Így a fenti összefüggésben x helyére xz-t írva, a karakterek multiplikativitását, és k elemeinek invertálhatóságát felhasználva azt kapjuk, hogy: χ 2 (x) a 1 χ 1 (x) + a 2 χ 1 (z)... + a χ n (x) n χ 1 (z) = 0 Ezt a két összefüggést kivonva egymásból egy rövidebb, de a z-re tett feltétel miatt még mindig nem triviális összefüggést kapunk, ami ellentmondás. 18

19 1.9. Lemma (Dedekind). Az L k véges szeparábilis bővítésnek legyen a 1,..., a r egy bázisa és Gal(L k) = {σ 1,..., σ r }. Ekkor az alábbi mátrix invertálható: σ 1 (a 1 )... σ 1 (α r ) D =..... σ r (a 1 )... σ r (α r ) Bizonyítás. Minden j = 1,..., r számra tekintsük a σ i σ i (α j ) szabállyal definiált χ j : Γ L karaktert. Ha a fenti mátrix oszlopai közt létezne egy L-lineáris összefüggés, akkor ezek a karakterek összefüggők lennének, ez viszont az előző lemma szerint lehetetlen Lemma (Speiser). Ha Γ = Gal(k s k) a k s feletti V vektortéren szemilineárisan hat, akkor az a v av leképezés egy k s k V Γ V izomorfizmus. Bizonyítás. Vegyünk egy tetszőleges v V vektort. Γ folytonosan, azaz valamely véges Gal(L k) faktorán keresztül hat, melynek elemei σ 1,..., σ r és σ 1 = id. Képezzük ezekkel az F = (σ 1 v... σ r v) mátrixot. Az előző lemmában szereplő D-vel kapott F D mátrix j-edik oszlopa u j = r i=1 (σ i v)σ i (a j ). A szemilinearitás miatt u j = r i=1 σ i (a j v), ezért u j V Γ, minden j = 1,..., r esetén. Dedekind lemmája szerint képezhetjük az (F D)D 1 szorzatot, amiből az látszik, hogy mindegyik σ i v V vektor, így speciálisan σ 1 v = v is előáll r j=1 c ju j alakban a D 1 megfelelő oszlopából vett c j L együtthatókkal. Ez azonban nem más, mint a r j=1 c j u j elem képe az a v av leképezésnél; ez a leképezés tehát szürjektív. Az injektivitáshoz tegyük fel indirekten, hogy e leképezés magja nem üres. Ez azt jelenti, hogy léteznek olyan v 1,..., v s V Γ vektorok, amelyek L felett lineárisan függetlenek, de valamely b 1,..., b s k s nem-nulla együtthatókkal már a s i=1 b iv i = 0 összefüggésben állnak. Alkalmazva erre a σ 1,..., σ r csoportelemek hatását, a szemilinearitás és a v i vektorok Γ-invarianciája miatt azt kapjuk, hogy minden j = 1,..., r indexre s i=1 σ j(b i )v i = 0. Ezt az r darab egyenletet összegezve, a kapott összefüggésben az egyes v i vektorok a c i = r j=1 σ j(b i ) együtthatókkal fognak szerepelni. Ezek láthatólag Γ- invariánsak, ezért minden i-re c i L, és így c i = 0 hiszen a feltevés szerint a v 1,..., v s vektorok L-lineárisan már függetlenek voltak. Ekkor viszont a χ i : σ j σ j (b i ) karakterek L-lineárisan összefüggőek lennének, ami pedig Artin lemmája szerint lehetetlen. Ezzel megtettünk az előkészületeket ahhoz, hogy megadjuk az X fibrumfunktor M inverzét, és az étale algebrák antiekvivalenciáját a Γ-halmazokkal: 19

20 1.7. Definíció. Minden X véges Γ-halmazhoz rendeljük hozzá a Hom(X, k s ) halmazt, ami a k s -ből örökölt műveltekkel egy k s -algebra, és amelyen Γ a szokásos (σ f)(x) = σ f(σ 1 c) képlet szerint hat. Az M(X) = Hom(X, k s ) Γ hozzárendelést leszállási funktornak hívjuk. 1. Tétel (A Galois elmélet főtétele, I. rész). A leszállási és a fibrum-funktor kategoriális antiekvivalenciát létesít a k test feletti étale-algebrák és a véges Γ-halmazok között, ahol Γ = Gal(k s k). Bizonyítás. Az 1.5 Állítás Következménye szerint X az L L k k s = A és az A Hom ks (A, k s ) funktorok kompozíciójára bomlik; definíció szerint M is az X Hom(X, k s ) = A és az A A Γ funktorok kompozíciójaként adódik. Így a tételbeli antiekvivalencia is felbomlik az L A ekvivalencia és az A X antiekvivalencia kompozíciójára. Egyfelől igazoltuk, hogy vektortérként tekintve (L k k s ) Γ = L illetve hogy L Γ k k s = L. De az algebrák tenzori szorzata nem több, mint az alapul szolgáló vektorterek tenzori szorzata, amelyet utólag látunk el egy kompatibilis szorzási művelettel tehát e két állítás az algebrák esetére is automatikusan kiterjed. Így a 1.1 definícióból közvetlenül következik, hogy a k feletti étale algebrák kategóriája ekvivalens a szemilineáris Γ-hatással ellátott k s feletti étale algebrák kategóriájával. Másfelől minden k s feletti A étale algebra k s... k s szerkezetű, így izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározza a dimenziója; az 1.7 Állítás szerint viszont X(A) = dim ks (A), ezért M(X(A)) = A. Azt kell tehát csak ellenőrizni, hogy Γ hatása A-n illetve X(A)-n kölcsönösen meghatározzák egymást. Ehhez idézzük fel, hogy az A felbontásában szereplő k s példányok igazából k s (α i ) alakban álltak elő, ahol az α i k s elemek az eredeti L = L 1... L n algebra komponenseihez tartozó minimálpolinom gyökei. Mivel az X(A) fibrum elemei azonosíthatók ezekkel a gyökökkel, amiket a Γ egymás közt permutál, ezért elég arra hivatkoznunk, hogy bármelyik σ Γ relatív test-automorfizmust teljes egészében meghatározza az α i elemek nála felvett képei. Minden L étale k-algebra esetén létezik tehát egy Φ L : L = M(X(L)) izomorfizmus; ennek explicit alakját is leolvashatjuk. Ha ugyanis vektortérnek tekintenénk az A = (k s ) r algebrát, akkor az X(A) véges halmaz helyett az A duális teret kapnánk; ezért Φ A az A = A izomorfizmus analógiájára értelmezhető minden a A és f Hom k (A, k s ) esetén a Φ a (f) = f(a) képlettel. A Ψ Y : Y = X(M(Y )) izomorfizmus leírása ezzel teljesen analóg. 20

21 1.5. A Galois algebrák struktúrája A véges szeparábilis bővítések között az N k Galois-bővítést az tünteti ki, hogy a G = Gal(N k) csoport a k alaptesten kívül semmit sem hagy fixen, azaz N G = k. A klasszikus esetben ez implikálja azt, hogy dim k (N) = G (vö. [13] 6.1.8). Az étale algebrák körében ez már nem igaz. (Gondoljunk pl. az M = (k s ) n étale algebrára, amin az S n szimmetrikus csoport a báziselemek permutációjával hat; itt csak k s 1 marad fixen, miközben S n = n! és dim(m) = n). A jelen fejezetben viszont megmutatjuk, hogy azok az étale algebrák, amelyek egyszerre teljesítik mindkét fenti feltételt, a Galois bővítéseknél ugyan kissé még mindig általánosabb struktúra-osztályt alkotnak, ám azokból egy egyszerű művelet, az indukálás útján származtathatóak Definíció. Ha a k feletti M étale algebrán adott egy G Aut k (M) csoporthatás, akkor M-et k feletti G-algebrának nevezzük. Ha továbbá ez a csoporthatás az M G = k és a dim k (M) = G feltételeket is teljesíti, akkor M-et Galois G-algebrának nevezzük. A Galois-algebrákat a nekik megfeleltetett véges Γ-halmazokkal fogjuk jellemezni. Tudjuk, hogy ha h : M N étale k-algebrák homomorfizmusa, akkor X(h) egy Γ-ekvivariáns X(N) X(M) függvény lesz. Ezt az M = N speciális esetre alkalmazva egy Aut k (M) = Aut Γ (X(M)) csoportizomorfizmust kapunk: a h : M M k-automorfizmusnak megfeleltetett X(h) függvény az f X(M) fibrumokat az f f h szabály szerint, Γ-ekvivariáns módon permutálja, vagyis teljesül az alábbi szabály: ( σ f) τ = σ (f τ ) σ Γ, τ G E két csoporthatás eltérő jelölése azt hangsúlyozza ki, hogy míg Γ balról, G jobbról hat a fibrumokon (ti. az f σ f ill. az f f τ definícióval). A Γ-ekvivarianciából azonnal következik, hogy ha x, y X(M) azonos Γ-orbithoz tartozik, akkor x és y G-orbitja is izomorf lesz; ha ugyanis az x G-orbitját egyes τ i G elemekkel az {x τ 1,..., x τr } halmaz teszi ki, akkor bármely σ Γ, amelynél y = σ x, ezt a halmazt egy olyan, azonos elemszámú halmazba viszi, amelyben a Γ-ekvivariancia miatt az összes y τ elemnek elő kell fordulnia, tetszőleges τ G-re. Ha ugyanezt x és y szerepét felcserélve is elismételjük, máris beláttuk, hogy σ Γ nem csak x-et viszi y-ba, hanem x G-orbitját is y G-orbitjába. Ezt az észrevételt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy Γ az X(M)-en belüli G-orbitok halmazán is hat, amelyet X/G-vel jelölünk. Speciálisan minden G-orbit része egy Γ-orbitnak. 21

22 1.11. Lemma. Ha L egy k feletti G-algebra, akkor a Φ : L = M(X(L)) kanonikus izomorfizmusnál: 1) x k akkor és csak akkor, ha Φ x konstans 2) x L G akkor és csak akkor, ha Φ x a G-orbitokon konstans Bizonyítás. Emlékeztetőül Φ tetszőleges x L elemhez a Φ x (f) = f(x) függvényt rendeli, ahol f a Hom k (L, k s ) halmazon fut végig. Φ izomorfizmus voltából mindenekelőtt az következik, hogy ha valamely x, y L elemekre minden f-nél f(x) = f(y), akkor függvényként Φ x = Φ y, és így x = y. Ha most x k, akkor minden f-re definíció szerint f(x) = x, tehát Φ x valóban konstans. Megfordítva, ha minden f-re az f(x) = y érték ugyanaz, akkor szükségképp y k, mert különben f-et komponálhatnánk k s egy olyan k-automorfizmusával, ami y-t nem hagyja fixen. Ekkor viszont minden f-re f(x) = f(y), amiért x = y, tehát x k. Végül x L G azt jelenti, hogy minden τ G esetén τ(x) = x; ez viszont ekvivalens azzal, hogy minden f X(L) esetén f(τ(x)) = f(x). Definíció szerint f τ = f τ, így az x L G feltétel azzal ekvivalens, hogy Φ x konstans az X(L)-beli G-orbitokon Állítás. A k feletti G-algebrák körében az L G = k feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha G tranzitíven hat az X(L) véges Γ-halmazon. Bizonyítás. Ha X(L)-ben egyetlen G-orbit van, és x L G, akkor a Lemma 2. pontja szerint Φ x konstans ezen az egy orbiton, vagyis az egész X(L)-en, így a Lemma 1. pontja szerint x k. A megfordításhoz azt igazoljuk, hogy ha legalább két G-orbit van X(L)- ben, akkor létezik olyan Ψ Hom(X(L), k s ) Γ függvény, ami a G-orbitokon konstans, de egészében nem konstans; ennek ugyanis a Φ izomorfizmusnál egy olyan x L elem felel meg, amire a Lemma szerint x L G de x / k. Ha Γ-nak egynél több orbitja van, azaz létezik X(L) = X 1 X 2 felbontás kisebb Γ-halmazokra, akkor legyen Ψ(f) = 1, ha f X 1, és Ψ(f) = 0 ha f X 2. Ez a Ψ nyilvánvalóan Γ-invariáns, és mivel minden G-orbit része egy Γ-orbitnak, ezért a G-orbitokon konstans; de egészében nem konstans. Feltehetjük tehát, hogy Γ hatása tranzitív. Tekintsünk most egy Y G- orbitot; láttuk, hogy Γ az X/G halmazon is hat, ezért Y stabilizátora egy Γ részcsoport. Feltevés szerint Y X, de Γ mégis tranzitíven hat X-en, ezért Γ. Így a klasszikus Galois-elmélet szerint ks k, azaz választhatunk egy a ks \k elemet. Legyen továbbá f Y tetszőleges; mivel feltevés szerint X bármely eleme előáll σ f alakban alkalmas σ Γ 22

23 elemmel, ezért a Ψ( σ f) = σ(a) definícióval megadott függvény a teljes X-en értelmezett. Ezen túl láthatólag Γ-invariáns is, és a / k miatt nem konstans X-en, miközben Y -on valamint annak Γ szerinti képeiként előálló többi G- orbiton már konstans. Ha G tranzitívan hat X-en, akkor minden x X elem G x stabilizátora konjugált egymással, és Lagrange tétele miatt X = G : G x. Tekintve, hogy X(L) = dim k (L) ezért a dim k (L) = G feltétel egyidejű teljesülése kikényszeríti, hogy minden stabilizátor triviális legyen. Az olyan Γ-halmazokat, amin adott egy hűséges G-hatás, Γ feletti G-torzoroknak nevezzük, kategóriájukat pedig T or Γ (G) jelöli (lásd 1.19); a k feletti Galois G-algebrák kategóriáját pedig Gal k (G) (a morfizmusok mindkét esetben a G-ekvivariáns homomorfizmusok). Ezekkel a jelölésekkel tehát az alábbi eredményre jutottunk: Következmény (A Galois elmélet főtétele, II. rész). Az X és M funktorpár kategoriális antiekvivalenciát létesít Gal k (G) és T or Γ (G) között. Cayley tétele voltaképp azt mondja ki, hogy bármely G csoport, pontosabban annak alaphalmaza egy G-torzor; ez tehát majdnem ugyanaz, mint a G csoport maga, a különbség pusztán az, hogy nincs egységeleme. Ugyanígy ha H G egy részcsoport, akkor a H szerinti (jobboldali) mellékosztályok H-torzorok. Pontosabban szólva bármely X H-torzor és Hσ mellékosztály között megadható egy H-ekvivariáns izomorfizmus; ehhez válasszunk egy tetszőleges x 0 X elemet, és írjuk elő, hogy φ(x 0 ) = σ; a H-hűség miatt minden x X egyértelműen írható x = τ x 0 alakba egy τ H elemmel, ezért a H-ekvivariancia következtében φ(x) = στ máris adott. Ez a φ : X Hσ H-izomorfizmus viszont nem egyértelmű, hiszen annyi különböző módon adható meg, ahányféleképp a σ reprezentáns megválasztható. Ezért az Y = Hom H (X, G) halmaz elemszáma is pontosan G lesz; mivel továbbá bármely másik σ G által meghatározott H-ekvivariáns X G beágyazás egy G-beli elemmel való szorzás útján átvihető az iménti φ-be, ezért Y szintén tranzitív, sőt hűséges G-halmaz, azaz G-torzor. (A Hom H (X, Hσ i ) részhalmazok formájában ez [G : H] darab X-el izomorf H-torzort tartalmaz; de nem a diszjunkt úniójuk, hisz az csak egy H-halmaz volna.) Ezzel a konstrukcióval végeredményben minden H-torzornak kanonikus módon megfeleltettünk egy G-torzort, amelyet az X-ből indukált G-torzornak nevezünk. A fenti antiekvivalenciánál mármost X az M(X) Galois H-algebrának, az 23

24 indukált Y pedig az M(Y ) Galois G-algebrának felel meg; M definíciójára tekintettel meggondolható, hogy e két algebra kapcsolata az alábbiakban áll: 1.9. Definíció. Legyen N egy k feletti Galois H-algebra, és G H egy bővebb csoport; értelmezzük a Hom H (G, N) halmazt az N-ből örökölt műveletekkel k feletti algebraként; ennek tetszőleges f elemén definiáljuk továbbá σ G hatását a (σ f)(τ) = f(τσ) képlettel; az így kapott Galois G-algebrát az N-ből indukált G-algebrának nevezünk és Ind G H (N)-el jelöljük. Tehát k-algebraként Ind G H (N) = N... N, ahol [G : H] darab N- példány szerepel; itt tehát inkább az az érdekes, ahogy G elemei ezeket az N-példányokat különféle N N automorfizmusok révén egymásra képezik. Ez a konstrukció izomorfizmus erejéig egyértelmű is. Ugyanis az X = X(N) H-torzorból indukált Y G-torzor az X = Hom H (X, H) Hom H (X, G) kanonikus beágyazással együtt adott, amit jelöljünk φ-vel; ha most Y egy másik G-torzor egy ψ : X Y beágyazással, akkor azonnal látszik, hogy az Im(φ) Y halmazon értelmezett ψ φ 1 függvény G-ekvivariáns módon csak egyfeléképp terjeszthető ki a teljes Y -ra. Mivel pedig elemi megfontolásból az (X, M) antiekvivalenciánál a monomorfizmusoknak epimorfizmusok felelnek meg, és viszont máris megkaptuk az alábbi univerzális tulajdonságot: Lemma. Ha H G csoportok, L Galois G-algebra és N Galois H- algebra a k test felett, amelyek közt van egy szürjektív, H-ekvivariáns L N homomorfizmus, akkor L = Ind G H (N), és ez az izomorfizmus egyértelmű. Ezek alapján már könnyű lesz belátni a Galois-algebrák struktúrájának alábbi jellemzését (lásd [15] A.5, [12] 18.18): 2. Tétel (Struktúratétel). Az L k feletti Galois G-algebrának legyen e L egy primitív idempotense. Legyen H G az e stabilizátora valamint N = el. Ekkor N k Galois testbővítés, amelynek a csoportja H, és L = Ind G HN Bizonyítás. Az e G-orbitja álljon az e = e 1,..., e r primitív idempotensekből; ezek összege, u = e e r tehát G-invariáns, így az L G = k feltétel szerint u k; másrészt u maga is idempotens és u 0, így a k testben csak az lehet, hogy u = 1. Következésképp L = e 1 L... e r L. A Wedderburn-Artin tétel következtében itt mindegyik e i L test. 24

25 Tekintsünk most egy a N H elemet; legyen σ 1,..., σ n a G : H (baloldali) mellékosztályok reprezentáns-rendszere, és a képei ezeknél a = a 1,..., a n ; ekkor a v = a a n összeg szintén G-invariáns, így az L G = k feltétel miatt v k. Viszont ev = a, hiszen ha i j akkor e i e j = 0, márpedig G\H elemei H definíciója szerint az a e 1 L elemet csak egy másik e i L komponensbe képezhetik. Ezzel beláttuk, hogy N H = k; ezért a klasszikus elmélet szerint N k egy H csoportú Galois-bővítés. Végül az e-vel való szorzás egy szürjektív L N k-algebra homomorfizmus, ami láthatólag H-ekvivariáns is, ezért az L = Ind G HN izomorfizmust az előző lemma állítja elő Definíció. A fenti állításban az L k Galois G-algebra dekompozíciócsoportjának nevezzük az e primitív idempotens stabilitizátorát. Az alábbi állítás révén az indukálás és a bázisextenzió műveletei között létesítünk kapcsolatot: Lemma. Legyen s k egy Galois G-algebra, K egy k-t tartalmazó test, és S = s k K az efölé vett bázisextenzió. Ekkor S dekompozíciócsoportja része s dekompozíciócsoportjának. Bizonyítás. Alkalmazzuk s k esetére a Galois-algebrák struktúratételét (lásd 2): eszerint létezik egy h G csoportú l k Galois testbővítés, amellyel s = Ind G h (l). Analóg módon S K is valamely H G csoportú L K Galoisbővítésből áll elő indukálással. Tekintsük ezen algebrák diagramját (itt minden nyíl beágyazás): Ind G h (l) Φ Ind G H (L) l L k A felső sorban Φ-vel jelöltük az s S beágyazást. A struktúratételből tudjuk, hogy létezik olyan u s és v S primitív idempotens, amellyel l = us és L = vs. Ekkor v képei a σ i G elemeknél szintén S primitív idempotensei, és a dim K (S) = G feltétel miatt, S-nek nincsen más primitív idempotense ezeken kívül. Φ(u) is idempotens, de ő már nem feltétlenül primitív; mindenesetre mindenesetre előáll primitívek összegeként, azaz 25 K