Mester Gyula 2003 Intelligens robotok és rendszerek

Átírás

1 Mester Gyula 003 Intelligens robotok és rendszerek

2 Robotmanipulátorok kinematikája Robotmanipulátorok dinamikája Robotmanipulátorok szabad mozgásának hagyományos irányítása Robotmanipulátorok adaptív irányítása Mester Gyula 003 Intelligens robotok és rendszerek

3 Robotmanipulátorok geometriai modellje A robot helyzetmeghatározása Direkt kinematikai feladat Inverz kinematikai feladat Robotmanipulátorok pályatervezése Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

4 . A robotmanipulátorok geometriai modellje.. Robotcsuklók... Robotszegmensek..3. Kinematikai pár..4. Kinematikai lánc..5. Robotmanipulátorok alapkonfigurációi..6. Az alapkonfigurációk munkaterei a. A TTT struktúra munkatere b. Az RTT struktúra munkatere c. Az RRT struktúra munkatere d. Az RRR struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

5 .. Robotcsuklók A robotmanipulátor mint mechanizmus n számú szegmensből áll melyeket -szabadságfokú csuklók kapcsolnak össze. A merev test mozgása műszaki szempontból a mozgástengelyek (x,y,z) menti elmozdulásból és e tengelyek körüli elfordulásból áll. Ez persze vonatkozik a robotmanipulátorok mozgására is amely felosztható haladó -és forgó ( rotációs ) mozgásra. Így tehát az -szabadságfokú robotcsuklók felosztása a következő: rotációs csukló, transzlációs csukló. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

6 A rotációs csuklók lehetővé teszik az egyik szegmens forgó mozgását a másik szegmens körül, R szimbólummal jelöljük és sematikusan hengerrel ábrázoljuk. l z l q.. ábra A rotációs csukló vázlata Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

7 A transzlációs csuklók lehetővé teszik az egyik szegmens haladó mozgását a másik szegmenshez viszonyítva, T szimbólummal jelöljük és sematikusan hasábbal ábrázoljuk. l l z l l q z q.. ábra A transzlációs csukló vázlata Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

8 Az.3 ábrán a 6-szabadságfokú PUMA típusú robototmanipulátort mutatjuk be. Az.4 ábrán pedig a PUMA robotmanipulátor vázlata látható. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

9 q q 3 q q 5 q 6.3. ábra A PUMA robotmanipulátor q 4 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

10 .4. ábra A PUMA robotmanipulátor vázlata Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

11 ... Robotszegmensek A robotmanipulátor szegmense merev test, amely kinematikai- és dinamikai paraméterekkel rendelkezik. A kinematikai paraméterek a szegmens hossza és a robotcsukló-tengelyek egymással között bezárt szöge. A dinamikai paraméterek közé tartozik a szegmens tömege, és tehetetlenségi nyomatéka. A kinematikai paramétereket a Denavit-Hartenberg féle eljárás szerint határozzuk meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

12 q i- q i i-szegmens (i-) - csukló i-csukló.5. ábra Robotszegmens Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

13 ..3. Kinematikai pár A kinematikai pár két egymás mellett lévő szegmensből és a szegmenseket összekötő csuklóból áll. A továbbiakban csak -szabadságfokú kinematikai párokat vizsgálunk (rotáció vagy transzláció). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

14 ..4. Kinematikai lánc A kinematikai lánc n számú kinematikai párból áll. A kinematikai láncok struktúrális szempontból csoportosíhatók: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

15 egyszerû összetett Kinematikai lánc - felosztása - nyitott zárt.6. ábra Kinematikai láncok felosztása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

16 Az egyszerű kinematikai láncnál egyik szegmens sem kapcsolódik több mint két kinematikai párhoz. Az összetett kinematikai láncnál legalább egy szegmens több mint két kinematikai párhoz tartozik. A nyitott kinematikai lánc legalább egy szegmense csak egy kinematikai párhoz tartozik. A zárt kinematikai láncnál minden szegmens két kinematikai párhoz tartozik. A kinematikai láncok típusai az.7. ábrán láthatók. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

17 z l l q egyszerű, nyitott kinematikai lánc összetett, nyitott kinematikai lánc.7.a. ábra Kinematikai lánc típusok Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

18 z l l q egyszerű, zárt kinematikai lánc összetett, zárt kinematikai lánc.7.b. ábra Kinematikai lánc típusok Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

19 A mechanizmusok elmélete szempontjából a robotmanipulátorok aktív mechanizmusai l általános esetben összetett és változó struktúrájú kinematikai láncok []. q Egy ipari robot kinematikai láncának szerelés közben változó struktúráját a ábrákon mutatjuk be. z l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

20 Vizsgáljunk meg egy 6-szabadságfokú PUMA típusú robotmanipulátort. l z l q A munkadarab megfogása előtt a robotmanipulátor kinematikai lánca egyszerű és nyitott:.8. ábra A szerelő robot a munkadarab megfogása előtt Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

21 A munkadarab szállítása közben a robot-manipulátor kinematikai struktúrája nem változik, de a kinematikai lánc utolsó tagjának ( a megfogó-effektor és a munkadarab együttesen ) a tömege és tehetetlenségi nyomatéka változik, ami persze kihat a szemlélt rendszer dinamikájának változására: l z q.9. ábra A munkadarab szállítása l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

22 A munkadarab szerelésénél pedig (.9. ábra) megváltozik a robotmanipulátor kinematikai struktúrája is, mivel az, egyszerű és zárt kinematikai struktúrájú lesz: l z q.0. ábra A munkadarab szerelése l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

23 ..5. Robotmanipulátorok alapkonfigurációi A robotmanipulátorok alapkonfigurációja alatt egy három csuklós, tehát 3 - szabadságfokú kinematikai láncot értünk. Az alapkonfigurációhoz csatlakozik az effektor. Az alapkonfiguráció feladata az effektor pozícionálása a munkatérben. A legtöbb használatban lévő robotmanipulátor rendelkezik ilyen alapkonfigurációval. Mivel a robotcsuklók rotációsak és transzlációsak lehetnek, így az alapkonfigurációk esetében a.0. ábra szerinti kombinációk jelentkezhetnek. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

24 Robotmanipulátorok alapkonfigurációi Struktúra vázlat Struktúra vázlat No. RRR 5 TRR RRT 6 TTR 3 RTT 7 TRT 4 RTR 8 TTT.. ábra A robotmanipulátorok lehetséges alapkonfigurációinak bemutatása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

25 Fontos kihangsúlyozni azt is, hogy a robotmanipulátor alapkonfigurációk kinematikai paramétereitől függően az.. ábra egy-egy eseténél több kombináció is lehetséges. z z l q z 0 q l q 3 Ez például a SCARA (Selective Compliant Articulated Robot for Assembly) RRT struktúrájú szerelő robotmanipulátor esetében szemléletesen bemutatható (.. ábra)... ábra A SCARA szerelőrobot alapkonfigurációja q z Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

26 ..6. Az alapkonfigurációk munkaterei A robotmanipulátor alapkonfigurációjának a munkatere alatt azt a bejárható térnagyságot értjük, amelynek minden pontjában eljuthat a harmadik szegmens végső pontja. A továbbiakban a 4 leginkább használt alapkonfiguráció munkaterét vizsgáljuk [7]: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

27 a. A TTT struktúra munkatere A TTT struktúra 3 transzlációs csuklóval rendelkezik. Három haladó mozgást valósít meg egy Descartes féle derékszögű koordinátarendszerben. A.3. ábrán látható a TTT alapkonfiguráció munkatere, amely hasáb alakú. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

28 z a y o x.3. ábra A TTT struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

29 b. Az RTT struktúra munkatere Az RTT struktúra transzlációs és rotációs csuklóval rendelkezik (az első csukló rotációs a másik kettő pedig transzlációs). Két haladó és egy forgó mozgást valósít meg. A.4. ábrán látható az RTT alapkonfiguráció hengergyűrű alakú munkatere. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

30 z b y o x.4. ábra Az RTT struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

31 c. Az RRT struktúra munkatere Az RRT struktúra rotációs és transzlációs csuklóval rendelkezik (az első két csukló rotációs a harmadik pedig transzlációs). Két forgó és egy haladó mozgást valósít meg. Az.5. ábrán látható az RRT alapkonfiguráció üreges gömb alakú munkatere. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

32 z c y o x.5. ábra Az RRT struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

33 d. Az RRR struktúra munkatere Az RRR struktúra 3 rotációs csuklóval rendelkezik három forgás Az.6. ábrán látható az RRR alapkonfiguráció munkatere, amely gömb alakú. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

34 Z d y o x.6. ábra Az RRR struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

35 Ha feltételezzük, hogy a fent említett alapkonfigurációk paraméterei azonosak, tehát: - az elmozdulások maximális hossza l, - a maximális rotáció nagysága ± 80º és - a rotációt végző szegmensek hossza l, akkor megállapítható, hogy az RRR struktúra munkatere a legnagyobb. Itt viszont azt is meg kell említeni, hogy a pozícionálási hiba nagyobb azoknál a robotmanipulátoroknál amelyek rotációs csuklókkal rendelkeznek (mivel a rotációs csuklóknál a pozicionálási hibák szuperponálódnak). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

36 Az ipari alkalmazásban mégis a rotációs csuklókkal rendelkező robotmanipulátorok vannak többségben, egyrészt a szervomotor forgómozgása, másrészt a robotirányítás könnyedsége miatt. Ugyanis a transzlációs csuklóknál a szervomotor forgómozgását át kell alakítani haladó mozgássá, ami a robotmanipulátoroknál kotyogást és mechanikai veszteségeket idéz elő. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

37 .. A robot helyzetmeghatározása... Bevezetés Az effektor pozicionálása Az effektor orientációja... Csuklókoordináták..3. Világkoordináták..4. A direkt kinematikai feladat..5. Az inverz kinematikai feladat..6. Redundancia Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

38 ... Bevezetés A robotirányítás legegyszerűbb feladata az effektor helyzetmeghatározása a munkatérben. Figyeljük tehát azt a feladatot amikor egy munkadarabot helyezünk át az -es helyzetből a -es helyzetbe (.7. ábra). Először az effektort pozícionálni kell a munkadarab közelébe, majd a munkadarab megfogása céljából el kell végezni az effektor orientációját is ( -es helyzet). A robot helyzetét a munkatérben tehát az effektor pozíciójával és orientációjával határozzuk meg [3]. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

39 z l l q.7. ábra A munkadarab áthelyezése Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

40 A következő lépés a munkadarab z megfogása l és áthelyezése (-es helyzet). Itt új pozíciót és orientációt szükséges definiálni. l Amikor a munkadarab a -es helyzetbe kerül, az effektor kinyílik így a munkadarab a végső helyzetébe q jut. A robot pozícionálása a szerelőrobotok legegyszerűbb feladata. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

41 Az effektor pozicionálása z l A robotmanipulátor pozícionálása l alatt az effektor világkoordináták (x,y,z) szerinti elhelyezését értjük a munkatérben. q A pozícionálási feladat elvégzésére 3 szabadságfokra, vagyis a robot alapkonfigurációjára van szükség. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

42 Az effektor orientációja z l A robotmanipulátor orientációjal alatt az effektornak a 3 térbeli szög (ψ, θ, ϕ) szerinti elhelyezését értjük a munkatérben. q A orientációs feladat elvégzésére tehát további 3 szabadságfokra van szükség. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

43 Az ipari robotmanipulátorokat leginkább 4, 5 és 6 szabadságfokú struktúrával gyártják. A 4 - szabadságfokú robotmanipulátor, l 3 szabadságfokkal el tudja végezni a pozicionálást (x, y, z), a 4. szabadságfokkal q pedig egy szög szerinti orientációt (ψ), tehát a robot képes elvégezni egyszerűbb térbeli manipulációs feladatokat (munkadarab szállítás, présgépek kiszolgálása stb.). z l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

44 Az 5 - szabadságfokú robotmanipulátor 3 szabadságfokkal el tudja végezniz a l pozicionálást (x, y, z), a 4. és 5. szabadságfokokkal pedig szög szerinti orientációt l (ψ, θ), tehát a robotmanipulátor összetettebb térbeli manipulációs feladatokat képes elvégezni q (folyadék-szállítás, egyszerűbb szerelési munkálatok, hegesztés stb.). Az és szög szerinti orientáció-feladat különbsége a.8. és.9. ábrákon látható [4]. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

45 z z l l.8. ábra Az szögű orientáció-feladat q z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

46 z z l l.9. ábra A szögű orientáció-feladat q z z' z' Ψ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

47 A 6- szabadságfokú robotmanipulátor munka közben elvégzi a komplett z l pozicionálást (x,y,z) és komplett orientációt (ψ,θ,ϕ), így teljesíti az l összetett térbeli manipulációs feladatokat (összetett szerelés és szállítás, stb.). A robot pozicionálási feladatát elvileg megoldhatjuk: csuklókoordinátákban és világkoordinátákban. z q z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

48 ... Csuklókoordináták A robotmanipulátor csuklókoordinátája skaláris érték, amely a kinematikai pár egyik szegmensének a relatív helyzetét határozza meg a másik szegmenshez viszonyítva []. A rotációs csuklónál a csuklókoordináta megegyezik a csukló elforgatási szögével, a transzlációs csuklónál a csuklókoordináta pedig megegyezik a csukló tengelye mentén történő elmozdulással. Robotmanipulátorok csuklókoordinátáit a következőképpen jelöljük: qi i =,,...,n Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

49 Robotmanipulátorok csuklókoordinátáit a következőképpen jelöljük: qi i =,,...,n a csuklókoordináták vektora pedig: q = q q M q n (.) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

50 Minden csuklókoordináta bizonyos határok között változhat: q i min q i q i max Megállapítható, hogy a rotációs csuklók pozícionálása esetében egyidőben változik az effektor orientációja is, így az effektor orientációját később csak korrigálni kell (ez persze a transzlációs csuklókról nem mondható el). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

51 q 3 q 4 z l q l q 6 q 5 q z q.0. ábra Robotmanipulátorok csuklókoordinátái z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

52 ..3. Világkoordináták A világkoordináták meghatározzák a robotmanipulátor effektorjának a pozícióját és orientációját egy nyugvó Descartes féle derékszögű koordinátarendszerben. Az effektor pozíciója három, Descartes féle derékszögű koordinátával írható le: x, y, z. A vonatkoztató nyugvó koordinátarendszer a robotmanipulátor platformjához van rögzítve (a leíráshoz lehet hengeres-koordinátákat is alkalmazni). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

53 Az effektor orientációja a módosított Euler szögekkel írható le: ψ,θ,ϕ. Ezek a szögek meghatározzák az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer szögelfordulását a robotmanipulátor platformjához van rögzített vonatkoztató álló koordinátarendszerhez képest. x y = z Ψ θ ϕ s (.) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

54 A módosított Euler szögeket a hajózásból vették át és az Euler szögekhez képest abban különböznek, hogy a harmadik forgatás az x tengely körül történik (az Euler szögeknél pedig újból a z tengely körül!). A módosított Euler szögek elnevezései: ψ - csavarási szög (ROLL) θ - billentési szög (PITCH) ϕ - forgatási szög (YAW) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

55 z n ψ csavarász Roll l O n θ l billentés Pitch q xn ϕ forgatás Yaw y n.. ábra Robotmanipulátorok ROLL, PITCH és YAW szögei z' z Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

56 A csavarási szög ψ, az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszernek a nyugvó koordinátarendszer z tengelye körüli z szögelfordulását határozza meg. A billentési szög θ az új helyzetbe került y tengely körüli szögelfordulást adja. z A forgatási szög ϕ pedig a két előbbi szögelfordulás után új helyzetbe került x tengely körüli szögelfordulását határozza meg []. l l q z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

57 A világkoordináták s vektorának komponensei: Az effektor kiválasztott szerszámközéppontjának z l TCP (Tool Center Point) három x, y és z Descartes féle koordinátája a robotmanipulátor l platformjához rögzített vonatkoztató álló koordinátarendszerhez viszonyítva, és a z ψ, θ, ϕ szögek, amelyek meghatározzák az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer szögelfordulását a vonatkoztató nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva. z' q Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

58 z q i ϕ l z l x z'.. ábra Robotmanipulátorok effektorának világkoordinátái x n z n o n ψ θ y n o y x z z q y Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

59 A világkoordináták s vektorának általános esetben m koordinátája van. Legtöbbször m=6. Bizonyos típusú robotmanipulátoroknál elegendő kisebb számú világkoordináta használata, így például az effektor pozicionálására (orientáció nélkül) elegendő: m = 3 világkoordináta, tehát a világkoordináták vektora ez esetben: [ x y z] T s = (.3) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

60 ..4. Direkt kinematikai feladat A világkoordináták s vektorának meghatározása a csuklókoordináták q vektorának ismeretében a direkt kinematikai feladat [], amely a következő módon irható le: (.4) s = f(q) ahol a: qi (i =,...n) robotmanipulátor csuklókoordinátái, si (i =,...m) - világkoordináták, f: - nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény amely leképezi a csuklókoordinátákat világkoordinátákká. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

61 A következő ábrán bemutatjuk a direkt kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúráját. A q csuklókoordináták minden vektorértékének egyértelmű s világkoordináta érték felel meg. Az.3. fejezetben a direkt kinematikai feladattal foglalkozunk. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

62 z l l q Transzformáció: csuklókoordinátákból világkoordinátákba z q s.3. ábra A direkt kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

63 ..5. Inverz kinematikai feladat A csuklókoordináták q vektorának meghatározása a világkoordináták s vektorának ismeretében az inverz kinematikai feladat [], amely a következő módon irható le: (.5) q = f -(s) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

64 Az s világkoordináták visszatranszformálása a q csuklókoordinátákba nem egyértelműen meghatározott feladat. A számítás nagymértékben függ a robotmanipulátor geometriájától és gyakran több megoldást eredményez. Az.4. fejezetben az inverz kinematikai feladattal foglalkozunk. A következő ábrán bemutatjuk az inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúráját. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

65 z l l s Transzformáció: világkoordinátákból csuklókoordinátákba z q q.4. ábra Az inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

66 Az inverz kinematikai feladat, mivel nagyszámú nemlineáris (a csuklókoordináták és a világkoordináták közötti összefüggés nemlineáris) trigonometriai egyenlet megoldását feltételezi, sokkal összetettebb mint a direkt kinematikai feladat. Akkor l alkalmazzuk, amikor a robotmanipulátor feladatnál azeffektor pályája világkoordinátákban van megadva és így z szükséges meghatározni a csuklókoordinátákat is. A direkt- és inverz kinematikai feladat koordinátatranszformáció struktúráját szemléltető módon az.5. ábrán mutatjuk be: z' z l q Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

67 Inverz kinematikai feladat z ϕ x n z n ψ s θ y n Tool-Center-Point ( TCP) f - l z l q q q q 3 q 4 q 6 q 5 q x y f z világkoordináták vektora csuklókoordináták vektora T T s= x, y, z, ψ, θ, ϕ q= q, q, q3, q4, q5, q6 Direkt kinematikai feladat z'.5. ábra A direkt és inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

68 ..6. Redundancia A robotmanipulátort nemredundánsnak tekintjük, ha a világkoordináták vektordimenziója m megegyezik a robotmanipulátor szabadságfok számával n. Ha az: n > m akkor a robotmanipulátor redundáns vagy túlhatározott, vagyis az effektor adott helyzetéhez viszonyítva, a csuklókoordináták q szempontjából többféle megoldás is létezik. Ha pedig: n < m akkor a robotmanipulátor nem tudja elvégezni az előírt feladatot. A könyv további részében csak a nemredundáns robotmanipulátorokkal foglalkozunk l z' z z l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

69 .3. DIREKT KINEMATIKAI FELADAT.3.. Bevezetés.3.. Homogén koordináta-transzformációk.3.3. Denavit-Hartenberg transzformációs mátrix.3.4. Az effektor orientációja Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

70 .3.. Bevezetés Ahogy már elmondtuk a világkoordináták s vektorának meghatározása a csuklókoordináták q vektorának ismeretében a direkt kinematikai feladat. Egyszerű manipulációs feladatoknál a csuklókoordinátákat közvetlenül lehet megadni. Szemléljük tehát a.6. ábra szerinti robotmanipulátort: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

71 .6. ábra Feladatmeghatározás csuklókoordináták közvetlen megadásával Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

72 Első lépésben az effektor a munkadarabot az A helyzetből az AB pálya mentén a B helyzetbe szállítja, ez idő alatt a q csuklókoordináta π/-vel változik. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

73 A következő lépésben a munkadarabot vízszintes helyzetbe hozzuk, így a q4 csuklókoordináta változik π/-vel. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

74 A harmadik lépésben a BC pálya mentén a munkadarab a C helyzetbe kerül és a q csuklókoordináta -π/-vel változik, de egyidőben változik a q csuklókoordináta miután l hosszal leengedi a munkadarabot. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

75 Így ha a csuklókoordináták q változása ismert akkor a direkt kinematikai feladat megoldásával meghatározhatjuk az s világkoordinátákat, vagyis az effektor térbeli mozgását [4]. A továbbiakban vizsgáljuk meg, hogyan lehet felírni a világkoordináták és a csuklókoordináták közötti összefüggést, így e célból célszerű bevezetni a: homogén transzformációs mátrixot. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

76 .3.. Homogén koordináta-transzformációk Homogén transzformációs mátrixok alatt olyan 4x4 típusú mátrixokat értünk, amelyek tartalmazzák a két kiválasztott derékszögű koordinátarendszer közötti: rotációt és a két koordinátarendszer origójának a távolságát. Használatuk azért célszerű mert lehetővé teszik különböző koordinátarendszerek viszonyának kompakt vektorleírását []. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

77 Először ismerkedjünk meg a két koordináta-rendszer közötti rotációs mátrixszal. Tekintsük tehát a következő két: nyugvó Ox o y o z o alapkoordinátarendszert, amely a robotmanipulátor alapjához van kötve, és mozgó O n xyz koordinátarendszert, az O n origóval, amely a robotmanipulátor effektorjához kötődik, egységvektorai e, e és e 3 (.7. ábra szerint). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

78 Legyen az álló Ox o y o z o a referencia koordinátarendszer. Az O n origó helyzetét a referencia koordinátarendszer-ben a k helyzetvektorral adjuk meg. zo z On e 3 e e y k x O yo x0.7. ábra Nyugvó és mozgó koordinátarendszerek Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

79 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája A mozgó koordinátarendszer orientációja a nyugvóhoz viszonyítva leírható a következő R rotációs mátrixszal: rotációs mátrix x x x 3 Tehát a rotációs mátrix elemei tulajdonképpen az e,e és e 3 egységvektoroknak az x o, y o, z o referencia koordinátákra számított vetületeivel egyeznek meg [8]. = z z z y y y e e e e e e e e e 3 3 R

80 Ismerve a p helyzetvektort, amely meghatározza a P pont helyzetét a mozgó koordinátarendszerben, az.8. ábra szerint határozzuk meg a P pont helyzetét a referencia Ox o y o z o koordinátarendszerben: zo z On e 3 e y O k e x P yo x0.8. ábra A helyzetvektorok Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

81 ahol: r a P pont helyzetvektora a nyugvó Ox o y o z o referencia koordinátarendszerben, p - a P pont helyzetvektora a mozgó koordinátarendszerben, k -az O n origó helyzetvektora az nyugvó Ox o y o z o referencia koordinátarendszerben, R - a két koordinátarendszer rotációs mátrixa. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

82 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Az (.7) kifejezésben az r helyzetvektort úgy írjuk fel, hogy a p vektort balról megszorozzuk a R rotációs mátrixszal és az eredményhez hozzáadjuk a k vektort, az On origó helyzetvektorát. Az (.7)-es reláció skaláris alakja tehát a következő: (.8) + = z y x 3 3z z z 3y y y 3x x x z y x k k k p p p e e e e e e e e e r r r

83 A kompakt felírás céljából állítsuk fel az nyugvó és mozgó koordinátarendszerek közötti 4x4 típusú homogén transzformációs mátrixot a következő alakban: (.9) vagyis: (.0) H H = = R 000 e e e 0 x y z e e e k x y z 0 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája e e e 3x 3y 3z 0 e e e 4x 4y 4z

84 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Így az (.7)-es reláció kompakt alakban írható fel: (.) r = Hp Az. vektoregyenlet skaláris alakja így a következő: (.) = p p p k e e e k e e e k e e e r r r 3 z 3z z z y 3y y y x 3x x x z y x

85 A homogén mátrix-transzformáció bevezetésének három jelentősége van: Megadja a mozgó koordinátarendszer orientációját a nyugvó koordinátarendszerhez képest. Megadja a mozgó koordinátarendszer origójának a pozícióját a nyugvó koordinátarendszer origójához képest. Ha egy adott pont koordinátáit ismerjük a mozgó koordinátarendszerben, akkor a homogén mátrixtranszformáció segítségével felírhatjuk ugyanennek a pontnak a koordinátáit a nyugvó koordinátarendszerben is [4]. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

86 Tehát két (vagy több) koordinátarendszer esetében, az (.7) reláció szerinti szukcesszív szorzási és összeadási műveletek helyett a kiválasztott pont r helyzetvektorát az (.) reláció szerinti homogén transzformációs mátrix segítségével fejezzük ki (homogén transzformációs mátrix szorzása a p vektorral), amely eljárás: gyorsabb számításokat eredményez, és használata elterjedt a robotmanipulátor kinematikai modelljének felállításánál. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

87 .3.3. Denavit-Hartenberg transzformációs mátrix A csuklókoordináták transzformálása világkoordinátákba a Denavit-Hartenberg féle transzformációs mátrixszal történik. Denavit és Hartenberg ezt az eljárást 955-ben publikálta és ezért nevezték el együttesen Denavit-Hartenberg módszernek. Az eljárás lényege az, hogy egy koordinátarendszer két haladó és két forgó mozgással egy másikba átvihető. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

88 A robotmanipulátoroknál használt Denavit- Hartenberg paraméterek: d és a távolságok és α szög. A Denavit-Hartenberg eljárás szerint [5] az i-edik és i+-edik robotcsuklókra egy-egy derékszögű koordinátarendszert ültetünk, a csukló tengelyének iránya a z tengely és a két egymást követő koordinátarendszert a következő irányszabályok szerint határozzuk meg: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

89 Az i+-es robotcsuklón megválasztjuk az O i x i y i z i koordinátarend szert a következő módon: -Az i tengely az i+-edik csukló irányában fekszik, -az x i tengely a két szemlélt csukló (i-edik és i+-edik) tengelyének közös normálisába esik és az i-edik csuklótól az i+-edik csukló felé mutat, -az y tengely kielégíti a következő feltételt: x i y i = z i - jobbcsavar irányú. ( i-) csukló i-csukló (i+) csukló q i- q i q i+ z i- O i- ( i-) szegmens a i- d i z i- y i- Oi-.9. ábra A derékszögű koordinátarendszerek helyzete Denavit-Hartenberg eljárás szerint x i- i szegmens a i y i α i O i z i x i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

90 Az i-edik robotcsuklón megválasztjuk az O i- x i- y i- z i- koordinátarendszert a következő módon: a z i- tengely az i-edik csukló irányában fekszik, az x i- tengely az i--edik és i-edik csuklók tengelyének közös normálisába esik és az i--edik csuklótól a i-edik csukló felé mutat, az y i- tengely kielégíti a következő feltételt: x i- x y i- =z i- - jobbcsavar irányú. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

91 d i : - minden csuklótengelynek két normálisa van (a i- és a i ) és a normálisok közötti az i-edik csukló tengelye mentén mért távolság a d i, a i : az i-edik és i+-edik csukló-tengelyek közös normálisának a hossza, α i : - az i-edik csukló és az i+-edik csukló tengelye közötti jobbcsavar irányú szög az a i -re merőleges síkban. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

92 A q i csuklókoordináta, rotációs csukló esetében az x i- és x i tengelyek között bezárt jobbcsavar irányú szög nagysága, amely zérus, ha a tengelyek egyirányúak vagy párhuzamosak egymással. A Denavit-Hartenberg eljárás szerint felvitt két szomszédos derékszögű koordinátarendszer O i - x i- y i- z i- és O i x i y i z i két haladó és két forgó mozgással egymásba átvihető a következő lépések szerint: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

93 Először qi elfordulás z i- körül: x i- párhuzamos lesz x i -vel. (.30. ábra): Zglob i- Zglob i Zglob i+ Segment i- Segment i α i a i z i O i d i z i- y i x i qi z i- y i- a i- Oi- x i- O i-.30. ábra Az Oi-xi-yi-zi- koordinátarendszer qi forgatása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

94 Az így elvégzett forgatás a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az.30. ábráról): (.3) D(q i ) = cosq sin q 0 0 i i sin q cosq 0 0 i i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

95 Másodszor következzék di transzláció a z i- mentén, a z i- és xi metszéspontjáig (.3. ábra), így az x i- egybeesik az x i -vel: ( i-) csukló i-csukló (i+) csukló q i- q i q i+ α i ( i-) szegmens i szegmens z i- a i z i y i- x i- O i d i y i x i z i- a i- O i- O i-.3. ábra Az elforgatott O i- x i- y i- z i- koordinátarendszer d i transzlációja Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

96 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Az így elvégzett transzláció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az.3. ábráról): (.4) D(d i ) = d i

97 Harmadszor következzék a i transzláció x i mentén az O i origóig (.3. ábra), így a koordinátarendszerek metszéspontja fedésbe kerül. ( i-) csukló i-csukló (i+) csukló q i- q i q i+ α i ( i-) szegmens i szegmens a i z i- z i d i O i y i- x i- x y i i z i- a i- O i- O i-.3. ábra Az elforgatott és elmozdult O i- x i- y i- z i- koordinátarendszer ai transzlációja Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

98 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Az így elvégzett transzláció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az.3. ábráról): (.5) D(a i ) = a 0 0 i

99 Negyedszer α i jobbcsavar irányú elfordulás az x i körül: hogy a z és y tengelyek is fedésbe kerüljenek (.33. ábra). ( i-) csukló i-csukló (i+) csukló q i- q i q i+ ( i-) szegmens i szegmens a i α i z, i z i- d i O i x, i x i- y, i y i- z i- a i- O i- O i-.33. ábra A koordinátarendszer α i forgatása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

100 Az így elvégzett rotáció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az.33. ábráról): (.6) D(α i ) = cosα sin α 0 i i 0 sin α cosα 0 i i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

101 A fenti négy mozzanat a következő alakú Denavit Hartenberg transzformációs mátrixban foglalható össze: (.7) i- D i = D(q i ) D(d i ) D(a i ) D(α i ) Behelyettesítve (.3), (.4), (.5) és (.6) mátrixokat a (.7)-be, elvégezve a mátrixszorzást megkapjuk a következő alakú Denavit Hartenberg féle transzformációs mátrixot a két egymást követő rotációs csuklóra rögzített koordinátarendszer esetén: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

102 (.8) i- D i = cosq sin q 0 0 i i sin q cosq i i sin α cosα cosα 0 i i i sin q i cosq sin α i cosα 0 sin α i i i a a i i cosq sin q d i i i Transzlációs csuklók esetében a koordinátarendszereket úgy választjuk meg, hogy a i = 0, a d i hossz q i lesz, ami pedig a rotációs csuklónál a q i forgásszög, az most θ i paraméter lesz, vagyis: a i = 0 d i = q i q i = θ i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

103 Így a Denavit Hartenberg féle transzformációs mátrix a transzlációs csuklók esetén: (.9) i- D i = cosθ sin θ 0 0 i i sin θ cosθ i i sin α cosα cosα 0 i i sin θ i cosθ sin α i cosα 0 sin α i i i 0 0 q i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

104 Miután tehát minden egymást követő koordinátarendszer esetében (a fenti eljárás szerint) meghatároztuk a Denavit Hartenberg (D-H) féle transzformációs-mátrixot, akkor a robotmanipulátor platformjához kötött álló koordinátarendszer és az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer közötti D-H féle homogén transzformációsmátrixot, a két egymást követő koordinátarendszerek DH mátrixainak szorzata adja. (.0) 0 T n = 0 D D D 3... n D n n D n Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

105 A robotmanipulátor csuklók összes D-H mátrixának összeszorzásával ismét egy 4x4 es mátrixot kapunk, amely az effektor TCP pontjának a pozícióját és az effektor orientációját adja meg. Ugyanis a o T n mátrix első három sora és oszlopa a robotmanipulátor platformhoz kötött álló és az effektorhoz kötött mozgó koordináta-rendszerek közötti rotaciós mátrixot, míg a o T n mátrix negyedik oszlopa a az effektor TCP pontjának a nyugvó koordinátarendszerben lévő koordinátáit határozza meg Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

106 Amikor a robotmanipulátor-csuklóknál rögzítjük a megfelelő koordináta-rendszereket és meghatározzuk a D-H paramétereket: α i, a i, d i, (i =,,...,n), akkor a homogén transzformációs-mátrixok (.8) csak a csuklókoordináták qi függvényeivé válnak. Tehát ha a robotmanipulátornál meghatározzuk a mátrix numerikus alakját, akkor abból kiolvashatjuk a három módosított Euler szöget és az effektor TCP szerszámközéppontjának a pozícióját, így tulajdonképpen meghatározzuk a robotmanipulátor világkoordinátáit []. (.) 0 T n = 0 0 R n 0 x y z Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája 0

107 Megállapítható tehát, hogy ily módon azzal, hogy - a három módosított Euler szöget és az effektor TCP pontjának a pozícióját meghatároztuk, a direkt kinematikai feladatot megoldottuk. A o T n mátrix meghatározása tehát a csuklókoordináták vektorának ismeretében, a direkt kinematikai feladat megoldásának az alapja. Megjegyezhető, hogy a módosított Euler szögek kiszámítása a mátrixból nem függ a robotmanipulátor típusától! Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

108 .3.4. Az effektor orientációja Robotmanipulátor effektorának az orientációját a robotplatformhoz kötött nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva, a módosított Euler szögekkel ψ, θ, ϕ határozzuk meg []. A továbbiakban vizsgáljuk a következő két koordinátarendszer közötti rotációt: Ox o y o z o nyugvó alapkoordinátarendszer, amely a robotmanipulátor platformjához van kötve, és O n x n y n z n mozgó koordinátarendszer az O n origóval, amely a robotmanipulátor effektorához kötődik. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

109 A mozgó koordinátarendszer orientációja az nyugvóhoz viszonyítva leírható a következő rotációs mátrixszal 0 R n : (.) 0 R n = e e e x y z Az 0 R n rotációs mátrix leképezi a mozgó koordinátarendszer koordinátáit a nyugvóba. A mozgó koordinátarendszer rotációja az nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva bemutatható a következő három rotációval: e e e x y z e e e 3x 3y 3z Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

110 A mozgó O n x n y n z n koordinátarendszer első rotációja a csavarási ψ szög szerint, amely az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszernek az álló koordinátarendszer z tengelye körüli szögelfordulását határozza meg (.34. ábra). Ψ O n z=z' Ψ Ψ x x' y.34. ábra A mozgó koordinátarendszer Rotációja a csavarási ψ szög szerint y' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

111 Az így elvégzett rotációnak, az.34. ábráról közvetlenül leolvasva, a következő formájú rotációs mátrix R(ψ) felel meg: (.3) R( ψ) = cosψ sin ψ 0 sin ψ cosψ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

112 Az új helyzetbe került mozgó koordinátarendszer Onx n' y n' z n' második rotációja a θ billentési szög szerint, amely az y' tengely körüli szögelfordulást határozza meg (.35. ábra). z' Θ z" On Θ Θ y'=y" x" x'.35. ábra A mozgó koordinátarendszer második rotációja a billentési szög θ szerint Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

113 Az így elvégzett rotációnak az.35. ábráról közvetlenül leolvasva a következő formájú rotációs mátrix R(θ) felel meg: (.4) R(θ) = cosθ 0 sin θ 0 0 sin θ 0 cosθ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

114 Az új helyzetbe került mozgó O n x n'' y n'' z n'' koordinátarendszer harmadik rotációja a forgatási szög ϕ szerint, amely az x'' tengely körüli szögelfordulást határozza meg (.36. ábra). z"' z" ϕ y'" ϕ O n y" ϕ x''=x'".36. ábra A mozgó koordinátarendszer harmadik rotációja a forgatási ϕ szög szerint Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

115 Az így elvégzett rotációnak az.36. ábráról közvetlenül leolvasva, a következő formájú rotációs mátrix R(ϕ) felel meg: (.5) R(ϕ) = A fent elvégzett három rotáció együttesen az.37. ábrán van bemutatva. A három felsorolt rotációnak megfelel a következő transzformációs mátrixszorzat: (.6) o R n cosϕ sin ϕ 0 sin ϕ cosϕ ( ψ) R( θ) ( ϕ) = R R Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

116 A felírt rotációs mátrixokat (.3), (.4) és (.5) behelyettesítve a (.6)-ba következik: (.7) o R n = cosψ sin ψ 0 sin ψ cosψ 0 0 cosθ 0 0 sin θ 0 0 sin θ 0 0 cosθ 0 0 cosϕ sin ϕ 0 sin ϕ cosϕ A mátrix szorzásokat elvégezve, felírható: (.8) o R n = cosψ cosθ sinψ cosθ sinθ cosψ sinθ sinϕ sinψ cosϕ sinψ sinθ sinϕ + cosψ cosϕ cosθ sinϕ cosψ sinθ cosϕ + sinψ sinϕ sinψ sinθ cosϕ cosψ sinϕ cosθ cosϕ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

117 z''' ϕ z" Θ z, z' Ψ 3 O n y''' x x' Ψ Θ 3 ϕ Ψ y Θ y', y" 3 ϕ x", x'".37. ábra Módosított Euler szögek. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

118 (.9) e e e x y z e e e x y z e e e 3x 3y 3z = cosψ cosθ sin ψ cosθ sin θ cosψsin θsin ϕ sin ψ cosϕ sin ψ sin θsin ϕ + cosψccosϕ cosθsin ϕ cosψsin θcosϕ + sin ψsin ϕ sin ψsin θcosϕ cosψsin ϕ cosθcosϕ A (.9) mátrixegyenlet egyes elemeit egyenlővé téve, felírható: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

119 (.30) ex = cosψcosθ (.3) ey = sinψcosθ (.3) ez = -sinθ (.33) ex = cosψsinθsinϕ-sinψcosϕ (.34) ey = sinψsinθsinϕ +cosψcosϕ (.35) ez = cosθsinϕ (.36) e3x = cosψsinθcosϕ +sinψsinϕ (.37) e3y = sinψsinθcosϕ- cosψsinϕ (.38) e3z = cosθcosϕ Így 9 egyenletből álló egyenletrendszert kaptunk, amely 3 ismeretlent tartalmaz ψ, θ és ϕ, mivel a mátrix ortogonális, ezek az egyenletek nem függetlenek egymástól. A ψ, θ és ϕ szögeket a következő módon határozhatjuk meg []: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

120 a. Szorozzuk meg az (.30) egyenlet mindkét oldalát sinψ-vel és az (.3) egyenlet mindkét oldalát cosψ-vel, majd felírható a következő kivonási művelet: (.39) exsinψ - eycosψ = 0 ahonnan kiszámítható a ψ szög nagysága: (.40) ψ = arctg + kπ e e y x Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

121 b. Szorozzuk meg az (.30) egyenlet mindkét oldalát cosψ-vel és az (.3) egyenlet mindkét oldalát sinψ-vel, majd az összeadási művelet felírható: (.4) excosψ + eysinψ = cosθ Az (.4) egyenlet az (.3) egyenlettel együtt lehetővé teszi a θ szög kiszámítását: e z (.4) θ = arctg + kπ x e cos ψ + e y sin ψ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

122 c. Szorozzuk meg az (.35) egyenlet mindkét oldalát cosϕ-vel és (.38) egyenlet mindkét oldalát sinϕ-vel, így a kivonási művelet felírható: (.43) e cosϕ e sinϕ = z 3z z (.44) ϕ = arctg + kπ e e 3z 0 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

123 A ψ, θ és ϕ szögeket többféle módon határozhatjuk meg. A szögek számításánál numerikus problémák jelentkezhetnek, ha az (.40), (.4) és (.44) relációkban a nevezők kis értékűek. Ez megfelelő numerikus eljárással kiküszöbölhető. Az egyetlen szinguláris eset akkor jelentkezik, ha a θ = ± π/, vagyis: e x =e y = e z = e 3z = 0. Ekkor az (.40) egyenlet nem oldható meg, ezért a ψ szög értéket tetszőlegesen választjuk meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

124 Az ilyen ψ szög ismeretében a ϕ szöget a következő módon számítjuk ki: ex (.45) ϕ = arctg ψ + kπ ha a θ = -kπ/ e y ϕ = arctg e e x y + ψ + kπ ha a θ = kπ/ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

125 Az (.40), (.4), (.44) és (.45) relációkban a k értéket úgy határozzuk meg, hogy figyelembe vesszük a direkt kinematikai feladat megoldásánál a világkoordináták két pont közötti minimális változását (mivel a robotmanilpulátor folyamatos mozgásának a világkoordináták folyamatos változása felel meg). A robotmanipulátor effektorának orientáció meghatározását a ψ, θ és ϕ szögek kiszámításával [az (.40), (.4) és (.44) relációkból], befejezettnek tekintjük. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

126 Összegezés: Az effektor TCP szerszámközéppontjának: Descartes féle derékszögű koordinátáinak (pozicionálás) és a három módosított Euler-féle szögeinek (orientáció) meghatározásával a direkt kinematikai feladatot teljességben megoldottnak tekintjük. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

127 .4. INVERZ KINEMATIKAI FELADAT.4.. Bevezetés.4.. Az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása.4.3. Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása.4.4. A Jacobi-mátrix meghatározása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

128 .4. Bevezetés A csuklókoordináták q vektorának meghatározása a világkoordináták s vektorának ismeretében az inverz kinematikai feladat amely a következő módon írható le: (.46) q = f - (s) Akkor alkalmazzuk, amikor a robotmanipulátor feladatnál az effektor pályája világkoordinátákban van megadva, és nekünk a robotvezérléshez a csuklókoordinátákra van szükségünk. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

129 Amikor tehát ismerjük az effektor TCP pontjának a világkoordinátáit (x,y,z) és az orientációját (ψ, θ és ϕ), akkor tulajdonképpen meghatároztuk a homogén mátrixtranszformációt a nyugvó- és mozgó koordinátarendszerek között, így az inverz kinematikai feladat felírható: (.47) q = f - ( o T n ) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

130 Az inverz kinematikai feladat, mivel nagyszámú nemlineáris (a csuklókoordináták és a világkoordináták közötti összefüggés nemlineáris) trigonometriai egyenlet megoldását feltételezi, sokkal összetettebb, mint a direkt kinematikai feladat. Az s világkoordináták visszatranszformálása a q csuklókoordinátákba nem egyértelműen meghatározott feladat. A számítás nagymértékben függ a robotmanipulátor geometriájától és gyakran több megoldást eredményez. Több esetben a dekompozíciós módszer vezet eredményre. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

131 Az inverz kinematikai feladatot két módon oldhatjuk meg: a. Analitikus és b. Numerikus eljárások alkalmazásával. Az analitikus eljárás esetében a megoldást zárt analitikus formában kapjuk meg minden robotmanipulátor konfigurációra külön-külön. Numerikus eljárások esetében a numerikus analízis ismert módszereit alkalmazzuk. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

132 .4.. Az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása Az inverz nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény f - amely leképezi a világkoordinátákat csuklókoordinátákká egy összetett n változós függvény, így az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása összetett feladat. Az iparban használt legtöbb robotmanipulátornál létezik analitikus megoldás az inverz kinematikai problémára. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

133 Az analitikus megoldásnak az előnyei a numerikus eljárásokhoz viszonyítva a következők: a. Megkapjuk az összes megoldást. b. Pontos eredményeket kapunk (numerikus hibák nélkül). c. Kevesebb numerikus számítással használható, így megfelel a valós idejű számításoknál. d. Felismerhetővé teszi a szingularitásokat. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

134 Az analitikus megoldás fő hátránya az, hogy nem írható fel tetszőleges robotkonfigurációra. Oldjuk meg az.36. ábrán látható négy szabadságfokú hengeres robotmanipulátor esetében az inverz kinematikai feladatot analitikus eljárással. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

135 l 3 q 3 l 4 q c q 4 z l q z c o y c x c y x.36. ábra. A hengeres robotmanipulátor vázlata. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

136 A világkoordináták és a csuklókoordináták közötti összefüggés felírható a következőképpen: (.48) ahol: s = x [, y z ϕ] T c c, c, x y ϕ=q4 a világkoordináták vektora xc, yc, zc az effektor súlypontkoordinátái, ϕ - Euler szög, li szegmenshossz. c c = = ( l + l + q ) 3 4 ( l ) 3 + l4 + q3 sin q z = q + c l 4 cosq Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

137 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Az analitikus megoldást tehát felírhatjuk a következő módon: (.49) Így meghatároztuk a világkoordinátáknak megfelelő csuklókoordinátákat. ( ) = ϕ + = = = c c 3 c c c q l l y x q l z q x y arctg q

138 .4.3. Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása Az inverz nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény f - amely leképezi a világkoordinátákat csuklókoordinátákká egy összetett n változós függvény, így az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása összetett feladat. Az iparban használt legtöbb robotmanipulátornál létezik analitikus megoldás az inverz kinematikai problémára. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

139 Az inverz kinematikai feladatok megoldásánál a numerikus matematika eljárásait használjuk fel. (.50) q = f - (s,q o ) A legelterjedtebb a Newton módszer használata. Deriváljuk a robotmanipulátor világ- és csuklókoordinátái közötti összefüggést: (.5) s = f ( q) s& = f q q& Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

140 Ahol az un. nxn dimenziós Jacobi-mátrix: (.5) J ( q) = f q Így az.5. kifejezés felírható: (.53) s & = J( q)q& Az (.53) reláció a világkoordináták sebességvektora és a csuklókoordináták sebességvektora közötti összefüggést határozza meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

141 Ha ismerjük a világkoordináták sebességvektorát, akkor a csuklókoordináták sebességvektora a következő módon számítható ki: (.54) q& = J ( q)s& Mivel a nemredundáns robotmanipulátoroknál a Jacobi-mátrix kvadratikus, az inverz mátrixa meghatározható. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

142 .4.4. A Jacobi-mátrix meghatározása Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása megköveteli a Jacobi-mátrix és az inverz Jacobimátrix ismeretét. A Jacobi-mátrix összeköti: a világkoordináták és a csuklókoordináták sebességvektorait, az effektorra ható erőket és a terhelő erőkből adódó csuklónyomatékokat. A Jacobi-mátrixnak nagy jelentősége van a robotmanipulátor pályatervezésénél. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

143 A Jacobi-mátrix függ a világkoordináták vektorának a típusától és meghatározható két almátrix segítségével: Az egyik almátrix a Descartes féle koordinátáknak felel meg JD: (.55) x& & y z& = J D q& J D R 3xn Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

144 A másik almátrix az effektor szögsebesség-vektor vetületeinek felel meg Jω: (.56) Így a Jacobi-mátrixot felírhatjuk a következő módon: (.57) ω ω ω J x y z = = J ω q& J J D ω J ω 3xn R Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

145 A Jacobi-mátrix meghatározását az.36 ábrán látható hengeres robotmanipulátor példájánál mutatjuk be. Deriváljuk a világkoordináták és a csuklókoordináták közötti (.48) összefüggést: (.58) ( l ) 3 + l4 + q3 q& sin q q& 3 cosq & c = + x C. ( l ) 3 + l4 + q3 q& cosq q& 3 sin q y & = + z& C ϕ & = = q& q& 4 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

146 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája A fenti kifejezéseket a következő alakban is felírhatjuk: (.59) ( ) ( ) = ϕ C C C q q q q sin q 0 cosq q l l 0 cosq 0 sin q q l l z y x & & & & & & & &

147 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Összehasonlítva az (.53) és (.59) kifejezéseket a Jacobi-mátrix alakja a kővetkező: (.60) ( ) ( ) sin q 0 cosq q l l 0 cosq 0 sin q q l l J (q)=

148 .5. A robotmanipulátorok pályatervezése.5.. Bevezetés.5.. Pályatervezés világkoordinátákban.5.3. Pályatervezés csuklókoordinátákban Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

149 .5. Bevezetés Robotmanipulátorok pályatervezésének kettős célja lehet: Az effektor mozgását meghatározó pontok pozíciójának a megadása. Az adott pontok közötti pálya-meghatározás. A pályatervezési feladat a robotmanipulátor munkafolyamatától függ. A pályatervezési feladatot skalárértékű időfüggvények tervezési feladatára vezetjük vissza és elvégezhetjük: Csuklókoordinátákban és Világkoordinátákban. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

150 A robotirányítási algoritmusok a pálya ismerete mellett megkövetelik a pálya menti sebességek, gyorsulások, szögsebességek és szöggyorsulások ismeretét is. A pályatervezési feladatot elvégezhetjük: Off-line vagyis a robotmanipulátor tanítási fázisában és On-line, valós időben. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

151 .5.. Pályatervezés világkoordinátákban Két adott pont (A és B) közötti pályatervezés világkoordinátákban τ idő alatt elvégezhető a következő módon: (.6) s(t) A B A = s + λ(t)( s s ) 0 t τ ahol az integrálási folyamat közben szükséges az inverz kinematikai feladat megoldása. Az (.6) kifejezésben a λ(t) függvény az effektor sebesség-törvényszerűségét határozza meg, amely különböző típusú lehet (háromszög-, trapéz-, parabola-, ciklois- stb. alakú). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

152 Amikor sikeresen elvégeztük a pályatervezést a világkoordinátákban, akkor meg kell oldani a pályatervezést csuklókoordinátákban is. E feladat három módon oldható meg: a. Az inverz kinematikai feladat megoldásával. b. Az (.54) reláció segítségével és c. Az (.53) reláció felhasználásával. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

153 Deriváljuk az (.53) kifejezést: (.6) ahonnan: && s = Jq&& + J q q& (.63) q && J && s q & = J q Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

154 .5.. Pályatervezés csuklókoordinátákban Amikor a pályatervezést csuklókoordinátákban szükséges elvégezni akkor következő kifejezést használjuk: (.64) q(t) A B A = q + λ(t)( q q ) 0 t τ ahol a qa és qb a csuklókoordináták megfelelő vektorai. Fontos kihangsúlyozni, hogy a csuklókoordináták lineáris változása nem biztosítja a világkoordináták lineáris változását is. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

155 Bevezetés Robotmechanizmus matematikai modellje Robotmanipulátorok hajtásai Robotmanipulátorok számítógépes dinamikai modellezése Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

156 . Bevezetés Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

157 A robotmanipulátor dinamikai mozgásegyenletei a csuklókoordináták és deriváltjaik, valamint a meghajtónyomatékok/erők között teremtenek kapcsolatot. A robotmanipulátorok dinamikai modellje két részből áll: a robotmanipulátor mechanizmusának- és a csuklókat meghajtó aktuátoroknak (szervomotor+hajtómű) modelljéből. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

158 Ahogy javul a robotmanipulátorok dinamikája, úgy nő a dinamikai vizsgálat a jelentősége is. A robotmanipulátor dinamikai modelljét felhasználjuk: robotmechanizmusok- és a robotirányítási rendszerek tervezésénél, valamint az aktuátorok optimális megválasztásánál. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

159 Kezdetben a robotdinamika elmélete és ipari alkalmazása külön-külön fejlődött. A robotmanipulátor dinamikai modelljének alkalmazását a számítástechnika gyors fejlődése (mint hardver mint szoftver szempontból) tette lehetővé. A robotmanipulátor dinamikai modelljének fejlesztése felosztható: a. a szemlélt feladat, b. az alkalmazott mechanikai eljárások és c. a számítógépes program implementációja alapján. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

160 A vizsgált feladattól függően a következő két esetet különböztethetjük meg: direkt dinamikai feladat és inverz dinamikai feladat. A direkt dinamikai feladatnál a robotmanipulátor mozgásának ismeretében a meghajtónyomatékokat és erőket határozzuk meg. Az inverz dinamikai feladat esetében pedig a robotmanipulátor mozgását határozzuk meg a meghajtónyomatékok és erők ismeretében. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

161 A mechanikai módszerek szempontjából az alkalmazott eljárások három csoportba oszthatók fel: Newton-Euler módszer (a robotikában elterjedt ennek a Luh-Walker-Paul féle változata). Lagrange-féle másodfajú egyenletek és az Appel-egyenletek használata. A számítógépes program implementációjától függően három eljárást különbőztetünk meg: numerikus, szimbolikus, és numerikus-szimbolikus eljárásokat. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

162 A korszerű robotirányítási rendszereknél a mintavételezési frekvencia legalább: khz így a robotirányítási törvények kiszámítására maximum: ms idő áll a rendelkezésünkre. Más oldalról nézve a robotmodellezési eljárás igen összetett, így az egyetlen kiút az, hogy a modellezési eljárásokat automatizáljuk. Ez a feladat persze általános érvényességű algoritmusokat feltételez [5]. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

163 A dinamikai modellezésnél a legkorszerűbb eljárás a szimbolikus modellezési technika használata, itt ugyanis a dinamikai modell magas szintű programnyelvben való generálásával a bemenő változókat szimbolikus váltózóknak tekintjük. Az így kapott modellek egyszerűbb struktúrájúak mint a többi eljárás alkalmazásánál kapottak, ami persze feltétel a valós időben történő modellgenerálás szempontjából. A szimbolikus modellezési technika alkalmazásának esetében figyelembe vesszük a robotmanipulátor struktúráját, és ezzel kiküszöböljük a kevésbé fontos numerikus számításokat. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

164 A következő fejezetekben a robotmanipulátor: direkt dinamikai feladatával foglalkozunk, Newton-Euler módszer és Lagrange-féle másodfajú egyenletek alkalmazásával. A robotmanipulátor kinematikai paramétereit a: Denavit-Hartenberg eljárás szerint határozzuk meg. Az aktuátoroknál pedig: egyenáramú szervomotorokat használunk fel. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

165 . Robotmechanizmus matematikai modellje.. Robotmanipulátor rekurzív dinamikai modellje a. Erő meghatározás b. Nyomaték meghatározás.3.. Rekurzív dinamikai modell a szegmensek koordinátarendszerében.3.4. Lagrange-féle robotdinamikai modellezés.3.5. Robotdinamikai modell vizsgálata Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

166 A robotmechanizmusok matematikai modellezésénél a következő feltevésekből indulunk ki: a kinematikai lánc egyszerű és nyitott, a robotmechanizmus szegmensei merev testek, amelyek -szabadságfokú csuklókkal vannak összekötve egymással, a robotcsuklók rotációsak (R) vagy transzlációsak (T), a robotcsuklók független hajtással rendelkeznek, a robotmanipulátor geometriai paramétereit a Denavit-Hartenberg eljárás szerint határozzuk meg, a csillapítási hatásoktól és a robotplatform rezgésétől eltekintünk. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

167 A továbbiakban az n- szabadságfokú robotmanipulátor dinamikai modelljét vizsgáljuk. Mindegyik csukló külön hajtású, tehát külön aktuátorral rendelkezik. Az i-edik csukló mozgását qi csuklókoordinátával írjuk le. A rotációs csuklók lehetővé teszik az egyik szegmens forgó mozgását a másik szegmens körül, a transzlációs csuklók pedig lehetővé teszik az egyik szegmens haladó mozgását a másik szegmenshez viszonyítva. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

168 A továbbiakban robotmanipulátor: direkt dinamikai feladatával foglalkozunk, tehát a meghajtónyomaték vagy erő meghatározásával: Newton-Euler módszer- (a robotikában elterjedt ennek a Luh-Walker-Paul féle változata) és Lagrange-féle másodfajú egyenletek alkalmazásával. A robotdinamikai modell felállítása céljából először a tömegpont összetett mozgásának kinematikai leírása, a sebességek és a gyorsulások meghatározása szükséges. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

169 .. Robotmanipulátor rekurzív dinamikai modellje A robotmanipulátor rekurzív kinematikai modelljének a levezetésénél a koordináta-rendszereket a Denavit- Hartenberg eljárás szerint választjuk. Robotmanipulátorok rekurzív dinamikai modelljét a Newton-Euler féle eljárás alkalmazásával írjuk fel. Nézzük meg a.. ábrát, ahol PUMA típusú robotmanipulá-tor látható. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

170 f ( x, y, z ) i i- i- i- c i o i- s i n i * p i o i i+ p i- fx (, y, z ) q& i i i p i n i+ z 0 o 0 y 0 x 0.. ábra Robotcsuklók erő- és nyomatékhatásai Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

171 Vezessük be a következő jelöléseket (a vektorokat a vonatkozási rendszerben adjuk meg) : mi - az i-edik szegmens tömege, Ji- az i-edik szegmens tehetetlenségi tenzora a vonatkozási rendszerben a tömegközéppontra számítva, Fi- tehetetlenségi és gravitációs erő, amely az i-edik szegmensre hat a tömegközéppontban, Ni- tehetetlenségi nyomaték, amely az i-edik szegmensre hat a tömegközéppontban, fi- erő amellyel az i-edik szegmens hat az (i-)- ik szegmensre, Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

172 ni- nyomaték amellyel az i-edik szegmens hat az (i-)-ik szegmensre, - i-edik aktuátort terhelő nyomaték (erő). τ i Mivel a robotmanipulátor 0-adik szegmensére (a robotmanipulátor alapja amely a platformra van helyezve): v o = 0, ω o = 0, és figyelembe véve a gravitációs térhatást: a o = g, (g=9.806 m/s) következik, hogy a rekurzív kinematikai relációk segítségével, az első szegmenstől haladva az utolsóig, a robotmanipulátor komplett kinematikai láncának összes kinematikai mennyiségét meghatározhatjuk. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

173 A.. ábrán a robotmanipulátor i-edik szegmensére ható erők és nyomatékok láthatók, amelyek []. A levezetett kinematikai relációk alapján (a kinematikai levezetéseket nem részletezzük, lásd a szakirodalmat) a Newton-Euler eljárást alkalmazva felírhatjuk a következő erő- és nyomatékegyenleteket: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

174 a. Erő-meghatározás Az inerciális és gravitációs erőket, amelyek a tömegközéppontban hatnak meghatározhatjuk a következő módon: (.) az erőket pedig, amelyekkel az i-edik szegmens hat az (i-)-ik szegmensre: (.) F i i = m = fi + a i i f + F i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

175 b. Nyomaték-meghatározás Az Euler-féle dinamikai egyenletek alapján felírhatjuk a tehetetlenségi nyomatékot amely az i-edik szegmens tömegközéppontjára hat: (.3) (.4) N = i i d ( J ω ) i i dt N = J ω& + ω i i i ( J ω ) i i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

176 ahol a tehetetlenségi tenzor: J xx = I xx + m i ( s + s ) iy iz (.5) J J yy zz = = I I yy zz + + m m i i ( s ) ix + siz ( s + s ) ix iy J xy = I xy m s i ix s iy J J xz yz = = I I xz yz m s i m s i ix iy s s iz iz Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

177 A nyomaték, amelyel az i-edik szegmens hat az (i- )-edik szegmensre, a következőképpen számítható ki: (.6) i i+ i i+ ( p ) i + si Fi N i n = n + p f + + A (.) és (.6) rekurzív formájú relációkat egy n szabadságfokú robotmanipulátor esetében, felhasználhatjuk a robotszegmensre ható erők és nyomatékok meghatározására. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

178 Mivel a robotmanipulátornál a munkadarab tömegének és tehetetlenségi nyomatékának a dinamikai hatását is figyelembe kell venni, ez legegyszerűbben úgy oldható meg, hogy az erő és nyomaték helyettesíthető a munkadarab erő- és nyomatékhatásával. Ha az i-edik robotcsukló rotációs (R), akkor rotációt valósít meg a koordinátarendszerben a tengely körül. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

179 Tehát, az i-edik csukló meghajtónyomatéka egyenlő kell hogy legyen az vetületeinek az összegével a z i tengelyre számítva. Ha az i- edik robotcsukló transzlációs (T), akkor haladó mozgást valósít meg a Oi x i y i z i koordinátarendszerben a z i tengely mentén. Tehát, az i- edik csuklót meghajtó erő egyenlő kell hogy legyen az f i vetületeinek az összegével a z i tengelyre számítva. A fenti megállapítások alapján az aktuátort terhelő nyomatékok (erők) a következő módon határozhatók meg []: (.7) T T τ = ξ n z + ξ f z i = n,..., i ( ) i i i i i i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

180 A kinematikai és a dinamikai számítások esetében a robotmanipulátor mozgását meghatározó vektor-egyenletek tehát rekurzív egyenletrendszert alkotnak. A rekurzív kinematikai egyenletek lehetővé teszik a robotszegmensek kinematikai mennyiségeinek a rekurzív kiszámítását a robotmanipulátor alapjához kötött vonatkozási koordinátarendszerből kiindulva az effektorig haladva. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

181 A Newton-Euler féle rekurzív egyenletek (.) és (.6) segítségével pedig meghatározhatjuk az erőket és a nyomatékokat az effektortól kiindulva a robotmanipulátor platformjáig (a vonatkozásai rendszerig) haladva. A rekurzív kinematikai egyenletek tehát lehetővé teszik a robotszegmensek kinematikai mennyiségeinek v a kiszámítását a i, ai, ω i, ω i robotmanipulátor alapjához kötött vonatkozási koordinátarendszerből kiindulva az effektorig haladva i =,...,n. ( ) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

182 A rekurzív dinamikai egyenletek pedig lehetővé teszik a robotszegmensek dinamikai mennyiségeinek ( fi, n i ) a kiszámítását, amelyeket a robotcsuklókon a poziciónálási vagy erőirányítási feladat elvégzése miatt teljesítményelektronikával meg kell valósítani, éspedig az effektortól kiindulva a robotmanipulátor platformjáig (a vonatkozásai rendszerig) haladva a. ábra szerint ( i= n,, ). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

183 Kinematikai számítások z 0 n n+ f n+ q i Dinamikai számítások O 0 y 0 x 0. ábra A kinematikai és dinamikai mennyiségek számítási módja Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

184 ... Rekurzív dinamikai modell a szegmensek koordinátarendszerében Az előző fejezetekben levezetett rekurzív dinamikai egyenletek hátránya az, hogy a tehetetlenségi mátrix és a szegmensek geometriai paraméterei a vonatkozási koordinátarendszerben vannak megadva, ezek a mennyiségek a robotmanipulátor mozgása közben állandóan változnak. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

185 Luh-Walker-Paul [0] javítottak a bemutatott rekurzív eljáráson úgy, hogy a mozgásegyenletek számításánál áttértek a kinematikai és dinamikai mennyiségek: sebességek, gyorsulások, tehetetlenségi mátrixok, a szegmens tömegközéppontjának a helyzetvektora, erők, nyomatékok számitásánál a vonatkozási rendszer helyett a szegmensre helyezett koordináta-rendszerekre. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

186 Íly módon a következő célokat valósították meg: a számítások leegyszerűsödtek, megkönnyíteték a robotirányítási algoritmusok valós időben (real time) való megvalósítását (online), a meghajtónyomatékok számításának az ideje a Luh-Walker-Paul féle eljárás alkalmazása esetében egyenesen arányos a robotcsuklók számával, és nem függ a robotkonfiguráció helyzetétől mozgás közben. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

187 R i Legyen az i 3x3 rendű rotációs mátrix, amely a vektorokat az Oix iyizikoordináta-rendszerből leképezi a koordinátarendszerbe. O i x i y i i i Az R i mátrix a DH féle Di mátrixnak a bal felső almátrixa: z i (.8) i R = cosq sin q 0 i i sin q cosq sin α i i coα i i coα i sin q i cossq cosα sin α i i i sin α i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

188 Mivel a: (.9) i így következik: (.0) R T i i = R i i R = cosq i sin q i cosα sin q i sin α i sin q cosq i i cos q coα i i sin α i 0 sin α i cosα i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

189 Tehát a vonatkozási rendszerben történő számítása helyett, a kinematikai és dinamikai mennyiségek ezentúl számítjuk a robotsz(.) egmenshez kötött i-ik Oix koordinátarendszerben. Az aktuátort terhelő nyomaték/erő relációk új alakjai tehát: (.) τ ahol a: i ( )( i ) T ( i ) ( i ) T ( i ξ R n R z ) + R f R i z o ξ i = i o i i o o i z = ( 0,0, ) T o i y i z i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

190 A mozgások kezdőfeltételeinek standard alakja a gravitációs gyorsulás figyelembe vételével: ω a o o = = g ω& ahol a: g = 9.806m s. x o,g = y v,g o z = T 0 Számitógépes feldolgozási szempontból nézve, így megkaptuk a rekurzív kinematikai és dinamikai egyenleteket, amelyek lehetővé teszik a robotszegmensek kinematikai és dinamikai mennyiségeinek a szegmensekhez kötött koordinátarendszerekben való számítását. ; Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

191 A fenti eljárás a robotmanipulátor számítógépes modellezése szempontjából ma a leghatásosabb és legkorszerűbb []. Tehát, a robotmanipulátor strukturájának a leírására, a szegmensek kinematikai paramétereit a Denavit-Hartenberg eljárással adjuk meg, a szegmensek tömegét és tehetetlenségi nyomatékait pedig a szegmens tömegközéppontjában felállított (lokális) koordinátarendszerben határozzuk meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

192 ..3. Lagrange-féle robotdinamikai modellezés Robotmanipulátor dinamikájának a meghatározására előnyös a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletek alkalmazása: (.) d dt T q& i T q i + Π q i = τ =,...,n ahol: T a robotmanipulátor rendszer kinetikus energiája, Π - a robotmanipulátor rendszer potenciális energiája, τi csuklónyomaték/erő, qi - csuklókoordináta. i i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

193 A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletek alkalmazását a.3. ábra szerinti - szabadságfokú robotmanipulátor dinamikai modellezésénél mutatjuk be. Vizsgáljunk tehát egy - szabadságfokú, rotációs csuklóból álló robotmanipulátort. Ha a robotmanipulátor a vízszintes síkban mozog, akkor a SCARA tipúsu robot első két szegmensével, ha pedig a függőleges síkban mozog, akkor a PUMA típúsu robot második és harmadik szegmensével egyezik meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

194 Y m 3 l c q c l c c o q m m o X Z, z 0, z z z 3, z 4 c c X J, l, m J, l, m.3. ábra A - szabadságfokú, rotációs csuklóból álló robotmanipulátor Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

195 Robotmanipulátor adatok: q és q - a robotcsuklók koordinátái, mm - a -es számú csukló aktuátorának a tömege, m3 - a munkadarab tömege. Robotszegmens adatok: első szegmens l a szegmens hossza, lc a szegmens tömegközéppontjának a távolsága az -es csukló középpontjától, m a szegmens tömege, J a szegmens tehetetlenségi nyomatéka a szegmens tömegközéppontra számítva, második szegmens l az szegmens hossza, lc a szegmens tömegközéppontjának a távolsága a -es csukló középpontjától, m a szegmens tömege, J a szegmens tehetetlenségi nyomatéka a szegmens tömegközéppontra számítva, Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

196 A robotmanipulátor kinetikus energiája a következő részekből áll: az -es robotszegmens kinetikus energiája: (.3) T = & + Jq mvc a -es robotcsukló aktuátorának kinetikus energiája: (.5) T 3 = m mv 0 a -es robotszegmens kinetikus energiája: (.4) T = J (q& + q& ) + m v m3 tömegű munkadarab kinetikus energiája: (.6) T = 4 m 3v 0 c Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

197 A vizsgált mechanikai rendszer kinetikus energiájának a felírására: (.7) (.8) v v v v T = T + T + T3 + T4 szügséges meghatározni a tömegpontok abszolút sebességeit a robotcsuklók szögsebességeinek a függvényében: = l q& c c 0 = lq& c = lq& + llcq& (q& + q& )cosq + lc (q& + q& ) 0 = lq& + lq& (q& + q& )cosq + l (q& + q& ) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

198 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája Így a robotmanipulátor kinetikus energiája: (.9) [ ] [ ] [ ] 3 m c c c ) q (q l )cosq q (q q l q l m q l m ) q (q l )cosq q (q q l l q l m ) q (q J q m l q J T & & & & & & & & & & & & & & & & & =

199 A robotmanipulátor potenciális energiája a következő részekből áll: az -es robotszegmens potenciális energiája: (.0) a -es robotcsukló aktuátorának potenciális energiája: (.) Π Π = mglc sin q 3 = m mgl sin q az -es robotszegmens potenciális energiája: Π (.) m3 tömegű munkadarab potenciális energiája: Π (.3) [ l sin q + l sin(q q )] = + m g c [ l sin q + l sin(q q )] 4 = + m3g Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

200 Így a szemlélt robotmanipulátor potenciális energiája: (.4) Π = m gl c sin q + m g [ l sin q + l sin(q + q )] c + + m m gl sin q + m g 3 [ l sin q + l sin(q + q )] Behelyesítve a T és kifejezéseket a Lagrange-féle másodfajú egyenletekbe: (.5) d dt T q& i T q i + Π q i = τ i i =, Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

201 felírhatjuk a robotmanipulátor mátrix alakú mozgásegyenleteit: H(q) q&& + C(q,q)q & & + g(q) = τ ahol az egyes mátrixok elemei: (.7) H(q) = H(q) H(q),, H(q) H(q),, Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

202 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája (.8) (.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). l m l m J H(q), ) cos(q l l l m ) cos(q l l l m J H(q), ) cos(q l l l m ) cos(q l l l m J H(q), l m ) cos(q l l l l m ) cos(q l l l l m m l J J H(q) 3 c, 3 c c, 3 c c, m 3 c c c, + + = = = = =,,,, C(q,q) C(q,q) C(q,q) C(q,q) ), ( & & & & &q C q

203 (.30) C(q, q) &, = l ( m l + m l ) c 3 q& sin(q ), C(q, q) &, = l ( m l + m l ) c 3 q& sin(q ), C(q, q) &, = l ( m l + m l ) c 3 q& sin(q ), C(q, q) &, = 0. (.3) g( q) = g g (q) (q) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

204 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája (.3) (.33) a robotmanipulátor mozgásegyenletei tehát: ) q cos(q gl m ) q cos(q gl m (q) g )) q cos(q l ) cos(q g(l m ) cos(q gl m )) q cos(q l ) cos(q g(l m ) cos(q m gl (q) g 3 c 3 m c c = = = = = = τ τ q q q q q q τ q q q && && && & & &

205 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája ( ) ( ) ) l cosq l (l m ) cosq l l (l m J l m ) cos(q l l l l m ) cos(q l l l l m m l J J 3 c c m 3 c c c ( ) ( ) ( ) c 3 c 3 c q q 0 ) sin(q q m l l m l ) sin(q q m l l m - l ) sin(q q m l l m l & & & & & τ τ = c m c c )) q cos(q l ) cos(q m g(l ) q cos(q m gl ) q cos(q gl m ) cos(q gl m )) q cos(q l ) cos(q g(l m ) cos(q m gl (.34)

206 Ha a szemlélt.3. ábra szerinti robotmanipulátor a vízszintes síkban mozog, akkor a struktúrája megegyezik a SCARA robot első szabadságfokával, n=, így a gravitációs erőhatások vektora zérus, g(q)=0. Az i-edik csukló meghajtónyomatéka biztositja a csukló körüli mozgást gyorsulással, amely persze függ a robotmanipulátor i-edik csuklójára ható tehetetlenségi nyomatékától. E tehetetlenségi nyomaték összetett függvénye a pillanatnyi csuklókoordinátáknak az i-edik csuklótól számítva. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

207 Az i-edik csukló súlyponti tengelyére vett tehetetlenségi nyomatéka mellett (J,J) az i-edik csukló mozgására még kihatnak a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok, amelyek a többi, i-edik csukló utáni csuklók mozgásától adódnak. A centrifugális tehetetlenségi nyomatékok ugyancsak összetett függvényei a robotmanipulátor pillanatnyi koordinátáinak. Összehasonlítva a.6 és.34 kifejezéseket, megállapítható, hogy a robotmanipulátor tehetetlenségi mátrixa H(q): Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

208 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 3 c 3 c c 3 c c m 3 c c c m l l m J ) cos(q l l l m ) cos(q l l l m J ) cos(q l l l m ) cos(q l l l m J l m ) cos(q l l l l m ) cos(q l l l l m m l J J H(q) (.35)

209 Az i-edik csukló mozgására kihatnak még a csuklómozgásoktól létrejövő nyomatékok: az ugynevezett Coriolis-féle és centrifugális nyomatékok, amelyek egyenesen arányosak a szögsebességek szorzatával. Feladatunknál a Coriolis és centrifugális nyomatékok vektora: (.36) C( q, &q ) = l l ( m l + m l ) q& sin(q ) - l ( m l + m l ) q& c 3 c 3 sin(q ) ( m l + m l ) q& sin(q ) 0 c 3 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

210 A Coriolis-féle és centrifugális nyomatékok egyenesen arányosak tehát a csuklók szögsebességével, így csak nagy szögsebességek esetén jelentősek, a csukló mozgása kezdeténél és a mozgás végénél nincs igazi kihatásuk a robotmanipulátor dinamikájára. Nagy szögsebességek esetén viszont jelentősen kihatnak a pozicionálás és a pályakövetés pontosságára. Az i-edik csukló körüli nyomatékra kihat még a gravitációs nyomaték is, amely általános esetben ugyancsak összetett függvénye a robotmanipulátor csuklókoordinátáinak, és változik az i-edik csukló mozgása közben: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

211 (.37) g( q) = mgl c cos(q ) + m m gl c g(l cos(q cos(q + q ) + l c ) + m cos(q 3 gl + q cos(q )) + m + q m ) gl cos(q ) + + m 3 g(l cos(q ) + l cos(q + q )) Megállapítható tehát, hogy a tehetetlenségi mátrix H(q), a C (q,q)q & & és a g(q) vektorok a robotmanipulátor összes koordinátáinak összetett függvényei. Mindegyik csukló mozgása erősen csatolt az összes többi robotcsukló mozgásával, így egy aktuátor meghajtónyomatéka tulajdonképpen kihat az összes többi csukló mozgására. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

212 meghajtónyomatékával egyezzik meg, ha pedig az aktuátor hajtóművet is tartalmaz, akkor a hajtómű kimenő nyomatékával egyezik meg. A hajtómű a szervomotor szögsebességét a csukló felé a hajtóműáttétel értékével leosztja, a meghajónyomatékot a csukló felé pedig a hajtóműáttétel értékével felszorozza [5]. A robotirányítás vizsgálatánál a robotmehanizmus rugalmasságát a rugalmas robotcsuklókkal vesszük figyelembe. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

213 ..4 Robotdinamikai modell vizsgálata Ha a robotmanipulátor nyomatékegyenleteit, (.7) vagy (.), felírjuk az n számú robotcsuklóra, akkor megkapjuk a szemlélt mechanikai rendszer dinamikai modelljét, amely n számú skaláris nemlíneáris másodrendű differenciálegyenletből áll, ezeknek mátrix alakja a következő : (.38) τ = H( q) q& + h( q,q& ) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

214 ahol: τ = ( τ, τ τ ) T n - meghajtónyomatékok/erők n x dimenziós vektora H( q) - nxn dimenziós tehetetlenségi mátrix, amely a robotmanipulátor q csuklókoordinátáinak függvénye, q = ( q ) T,q,... q n - a csuklókoordináták nx dimenziós oszlopvektora, T h( q,q& ) = q& C( q) q& + g( q) - nx dimenziós oszlopvektor C( q,q) - a Coriolis és centrifugális nyomatékok nxnxn (háromdimenziós) mátrixa g( q) - a gravitaciós erőhatások nx dimenziós oszlopvektora.,... Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

215 A (.38) relációt felírhatjuk a következő módon is: (.39) T τ ( ) q&& + q& C( q) q + g( q) = H q & A robotmanipulátor dinamikai modellje tehát n számú nemlineáris másodrendű differenciálegyenletből áll, amely persze nem függ az alkalmazott modellfejlesztési eljárástól. Az i-edik csukló meghajtónyomatéka a mozgó robotmechanizmus i-edik csuklóra számított tehetetlenségi nyomatéktól függően szöggyorsulással mozgatja a csuklót. E tehetetlenségi nyomaték a robotmanipulátor i-edik csuklótól számított összes csuklóinak pillanatnyi koordinátáitól függ. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

216 Az i-edik csukló mozgására, a súlyponti tengelyre számított tehetetlenségi ( nyomatékok ) T τ = H q q&& + q& C( qmellett, ) q& + g( qkihatnak ) még a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok is, amelyek a többi (mozgó) csuklóktól adódnak (az i-edik csukló után). A centrifugális tehetetlenségi nyomatékok ugyancsak a pillanatnyi csuklókoordináták összetett függvényei. Az i-edik csukló mozgására kihatnak még a csuklómozgásoktól létrejövő nyomatékok, az úgynevezett Coriolis-féle és centrifugális nyomatékok, amelyek egyenesen arányosak a szögsebességek szorzatá-val. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

217 Az i-edik csukló körüli nyomatékra kihat még a gravitációs nyomaték is, amely általános esetben ugyancsak összetett függvénye a robotmanipulátor csuklókoordinátáinak. H( q) ( ) T q,q& = q& C( q) q& + g( q) Így a tehetetlenségi mátrix h és a vektor tulajdonképpen nagyon összetett nemlineáris függvényei a robotmanipulátor összes koordinátáinak. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

218 A fenti tények alapján megállapítható, hogy a robotmanipulátor minden csuklójának a mozgása erősen csatolt az összes többi csukló mozgásával, és egy aktuátor meghajtó nyomatéka tulajdonképpen kihat a többi csukló mozgására is. Közvetlen hajtás esetében (direct drive) az aktuátor meghajtó nyomatéka a szervomotor meghajtónyomatékával egyezik meg, ha pedig az aktuátor hajtóművet is tartalmaz, akkor a hajtómű kimenő nyomatékával egyezik meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

219 El kell mondani azt is, hogy a (.38) dinamikai modell tulajdonképpen a robotmechanizmus dinamikáját írja le nem véve figyelembe az aktuátor dinamikáját is. A komplett dinamikai modell felírása érdekében figyelembe kell tehát venni az aktuátor matematikai modelljét is. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

220 .3 A robotmanipulátorok hajtásai.3. Robotaktuátorok.3.. A robotmanipulátor és aktuátor együttes modellje Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

221 .3. Robotaktuátorok A robotmanipulátor csuklómeghajtásaira három típusú: elektromechanikai, elektrohidraulikus és elektropneumatikus aktuátort alkalmazunk. A korszerű robotmanipulátoroknál nő az elektromechanikus meghajtások használata (különösen a 00 kg terheléshatárig). Mint meghajtómotor egyenáramú állandó mágnesű szervomotorok dominálnak, melyek könnyen szabályozhatók. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

222 A szervorendszer vázlata a.4. ábrán látható. i R u L Nq, Nq& robotcsukló q, q&.4. ábra A szervorendszer vázlata τ N Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

223 A szervohajtás magába foglalja a szervomotort, fordulatszámszabályozót, szervoszabályozót és a hajtóművet. A szervomotor tengelyén helyezkedik el a tahógenerátor és a motorfék. A fordulatszámszabályozást a szabályozó kimeneténél az u feszültség szabályozásával valósítjuk meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

224 Megállapítható tehát, hogy az u feszültség a szabályozott jellemző, a feszültség változtatásával tulajdonképpen a robotmanipulátort irányítjuk []. Feltételezzük tehát, hogy a szervomotor kimenő tengelye közvetlenül a hajtóműhöz, a hajtómű kimenő tengelye pedig a csuklóhoz kötődik. A szervomotor áramkör (hurok) egyenlete felírható a következő módon: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

225 u L R di R dt + R i R + c E Nq& u szabályozó feszültség nx dimenziós vektora a rotor bemeneténél [V], LR rotorköri induktivitás nx dimenziós vektora [H], ir rotoráram nx dimenziós vektora [ma], R rotorköri ellenállás nxn dimenziós mátrixa[], ce a belső feszültség együtthatójának nxn dimenziós mátrixa[v/s-], q& = - a reduktor kimenő tengelye szögsebességének az nx dimenziós vektora [s-], N a hajtóműáttétel nxn dimenziós mátrixa. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

226 A rotor mátrix alakú másodrendű differenciálegyenlete, vagyis a: meghajtónyomaték, tehetetlenségi erők nyomatéka, csillapítási nyomaték és a külső terhelő nyomaték dinamikai egyensúlya az aktuátor kimenő tengelyén (a csukló felé): (.4) J q&&+ B q& + τ = m Nτ m Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

227 ahol: J a rotor és a hajtómű fogaskerekeinek tehetetlenségi nyomatékának nxn dimenziójú mátrixa [kgm], Bm a viszkózus súrlódástényező nxn dimenziójú mátrixa [Nm/s-], τ - a robotcsukló terhelőnyomatékának nx dimenziós vektora [Nm], τm - a szervomotor meghajtónyomatékának nx dimenziós vektora [Nm]. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

228 Az aktuátor matematikai modelljét felírhatjuk állapotegyenlet alakban is. Válasszuk ki az állapotváltózok 3x oszlopdimenziós vektorát: (.44) így a (.38) és (.4) relációk felírhatók a következő mátrix alakban []: (.45) i &x = i q q& i i i i Ri x & = A x + b N(u ) + f i i i τ i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

229 ahol a: A i 3x3-as rendszermátrix, b i 3x-es bemeneti oszlopvektor, f i 3x-es bemeneti oszlopvektor, N(u i ) telítés jellegű nemlinearitás, a feszültség ugyanis limitált a következő módon: (.46) N(u i u ) = u i u mi mi za za za u u u i mi i u u i u mi u mi mi Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

230 ami tulajdonképpen azt jelenti, hogy a bemenő feszültségamplitúdó nem lépheti át a (.7) ábra szerinti umi maximális értéket. N(u i ) u mi u i -u mi.7. ábra A szervomotor telítés jellegű nemlinearitása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

231 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája Az u feszültség a szabályozó jellemző, a feszültség változtatásával tulajdonképpen a robotmanipulátort irányítjuk. A mátrixokat és az oszlopvektorokat felírhatjuk a következő módon: (.47) = = = 0 J 0, L 0 0, L R L N c 0 J N c J B E M m f b A

232 Az aktuátor állapotegyenlet alakban felírt matematikai modellje tehát harmadrendű nemlineáris differenciál-egyenletrendszer, állandó együtthatókkal és telítés jellegű nemlinearitással. Az egyszerűbb modell felállítása céljából elhanyagoljuk: Így az állapotváltozók: (.48) - a rotor induktivitását - a csillapító hatásokat x i = q q& ( L 0) ( k 0) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája i i

233 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája és az aktuátor állapotegyenlete másodrendűvé válik a következő rendszermátrixokkal: (.49) Megjegyzés: Az elektromechanikus aktuátor állapotegyenlete megfelel a hidraulikus aktuátorok állapotegyenleteinek is, csak a rendszermátrixoknál más fizikai mennyiségekről van szó. = = = J 0, JR N c 0, J R N c c 0 0 i M i E M i f b A

234 .3. A robotmanipulátor és aktuátorok együttes modellje A robotmanipulátor mechanizmusának (.38) és az aktuátorok (.40) és (.4) dinamikai modelljei alapján felírható a szemlélt rendszer együttes modellje. Az egyszerűbb megoldás céljából elhanyagoljuk a robot induktivitását (L=0) és így kifejezhetjük a rotoráramot: (.50) i = R (u c & E Nq) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

235 Behelyettesítve a (.50) és (.38) relációkat a (.43) megkapjuk a robotmanipulátor mechanizmusának és az aktuátorok együttes dinamikai modelljét, amely n számú nemlineáris másodrendű differenciálegyenletekből áll és mátrix alakban a következőképpen írhatjuk fel: (.5) [ H(q) + J] q&& + C(q,q)q & & + Bq& + g(q) = τ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

236 ahol a: (.5) B τ = = B m Nc m + R Nc bevezetve a következő jelöléseket: (.53) M(q) = H(q) + J (.54) h(q, q) & = C(q, q)q & & + Bq& + g(q) a.80 egyenletet, vagyis a robotmanipulátor mechanizmusának és az aktuátorok együttes dinamikai modelljét felírhatjuk egyszerűbb alakban: (.55) && u m R c E N M(q) q + h(q,q) & = τ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

237 .4 Robotmanipulátorok számítógépes dinamikai modellezése Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

238 A robotmanipulátor dinamikai modelljének az alkalmazását a számítástechnika gyors fejlődése (mint hardver mint szoftver szempontból) tette lehetővé. A robotmanipulátor dinamikai modelljét felhasználjuk a robotmechanizmus és a robotirányítási rendszerek tervezésénél, valamint az aktuátorok optimális megválasztásánál. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

239 A dinamikai modellezésnél a legkorszerűbb eljárás a szimbolikus modellezési technika használata, itt ugyanis a dinamikai modell magas szintű programnyelvben való generálásával a bemenő változókat szimbolikus váltózóknak tekintjük. A dinamikai modellezésnél az alapfeladat a csuklók (.38) relációk szerinti meghajtónyomatákainak τ meghatározása (direkt dinamikai feladat). Feltétlenül szükséges tehát a H(q) tehetetlenségi mátrix és a h(q, q& ) vektor meghatározása. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

240 A robotmanipulátor kinematikai paramétereit (a i, d i, α i, θ i, ), a Denavit-Hartenberg eljárás szerint határozzuk meg. A szegmensek dinamikai paramétereit is megadjuk (a szegmensek tömege és tehetetlenségi nyomatéka). A számítógépes program automatikusan generálja a robotmanipulátor dinamikai modelljét és meghatározza a következő mennyiségeket [9]: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

241 homogén transzformációs-mátrix ( direkt kinematikai feladat ), Jacobi-mátrix, robotcsuklók pozíciója, robotcsuklók meghajtónyomatékai, a Coriolis és centrifugális nyomatékok vektora, a gravitációs erővektor, q& h(q, ) vektor. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

242 A robotmanipulátor struktúráját egyszerűen tudjuk változtatni, a bemenő robotmanipulátor adatok változásával, az eljárás többi része automatikus, egészen a meghajtónyomatékok meghatározásáig. Persze szükségünk van eléggé általános számítási algoritmusra. A direkt dinamikai feladat csuklónyomatékok meghatározásának az algoritmusát a következő ábrán mutatjuk be: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

243 START Bemenet A robotmanipulátor kinematikai és dinamikai paramétereinek megadása H(q) tehetetlenségi mátrix meghatározása h(q,q) vektor meghatározása Coriolis, centrifugális és gravitációs hatások t meghajtónyomaték meghatározása Kimenet.8.ábra A direkt dinamikai feladat megoldásának algoritmusa END Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

244 A szimbolikus módszer segítségével két programot generálunk: off-line programot a nyomatékok, tömegek, és tehetetlenségi tenzorok átszámítására leképzéssel, a szegmensek tömegközéppontjából a lokális koordinátarendszerekre a Denavit- Hartenberg konvenció szerint, on-line programot, a Newton-Euler eljárás szerint, a csuklókoordináták és deriváltjaik felhasználásával a meghajtónyomatékok/erők meghatározására. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

245 Az off-line program az inicializáció alatt csak egyszer végzi el a számításokat, így az on-line programfutatás időtartalma lecsökken. A dinamikai modell számítógépes generálására a világon több szoftvercsomagot fejlesztettek ki. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

246 Robotmanipulátorok szabad mozgásának hagyományos irányányítása Bevezetés Decentralizált PD robotirányítás Modellreferens dinamikus robotirányítás A kiszámított nyomatékok módszere A dinamikus irányítás tervezése Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

247 3.. Bevezetés Ebben a fejezetben a robotmanipulátor szabad, kényszerek nélküli, mozgásirányítását tárgyaljuk. Ez esetben a robotmanipulátor effektora a munkadarabbal szabadon halad a célpont felé, és nem vesszük figyelembe azt az esetet, amikor a célponthoz érve kontaktusba kerül a környezettel (mert ez már kényszermozgás). Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

248 Így tehát a robotmanipulátor szabad mozgásának a pályakövetési feladatával foglalkozunk (tracking control) és nem vesszük figyelembe a irányítás megvalósítása szempontjából fontos teljesítményelektronikát [5]. Az ipari robotok irányítási feladatát elvileg három hierarchikus szinten oldhatjuk meg: Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

249 Stratégiai szint - feladata az effektor pályatervezése s világkoordinátákban. Taktikai szint - feladata a csuklókoordináták meghatározására világkoordináták ismeretében koordinátatranszformáció (az inverz kinematikai feladat megoldása). Végrehajtó szint irányítási feladata a robotcsuklók pozícionálásának a megvalósítása. (az inverz kinematikai feladat megoldása után). Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

250 A robotmanipulátorok legalább végrehajtó szintű irányítással rendelkeznek (irányítás csuklókoordinátákban), a többségük pedig taktikai szinttel is (csuklókoordináták meghatározására világkoordináták ismeretében), a fejlődés pedig arra mutat, hogy a cél a stratégiai szint bevezetése. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

251 Az elvégzendő feladattól függően az operátor (robotkezelő) a megfelelő programozási nyelv segítségével kommunikál az irányítási rendszerrel, meghatározza a manipulációs feladatot, és a stratégiai szinten ekkor megtervezi az effektor mozgását világkoordinátákban. Ez megoldható a: vagy a: feladat elvégzése előtt (off-line), feladat elvégzése közben (on-line). Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

252 A világ- és csuklókoordináták és deriváltjaik közötti ismert összefüggés (a direkt kinematikai feladat): (3.) ahol a: s = f ( q d ) d s & = J & d q d & s = Jq&& + d d J& q& J = J( q d ) Jacobi-féle mátrix az függvény parciális deriváltja, amely összeköti az s világkoordináták deriváltjait a q csuklókoordináták deriváltjaival. d f ( q d ) Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

253 A taktikai irányítási szint, a robotmanipulátor inverz kinematikai modellje alapján a referens világkoordinátákat átszámítja referens csuklókoordinátákká : (3.) q d A robotmanipulátor irányítás hierarchikus blokkvázlata a 3.. ábrán látható: = f (s & d = J s& d q q& d d ) = J (s && Jq & & d ) Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

254 Stratégiai irányítás Pályatervezés s d s& d & s& d Inverz kinematika Taktikai irányítás J f J J& q d q& d q& & d Végrehajtó irányítás Direkt dinamikai feladat τ Robotmanipulátor q q& q& & Visszacsatolás 3.. ábra A robotirányítás hierarchikus blokkvázlata Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

255 A végrehajtó szintű irányítás az érzékelők adatai alapján: a robotcsukló pozíciója, szögsebessége és szöggyorsulása realizálja a pályakövetést (a feladatot a taktikai szinttől kapja), és egyben megvalósul az effektor pályakövetése is, vagyis az operátor részéről meghatározott feladat. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

256 Az ipari robotmanipulátorok használatánál a robotcsuklók szimultán mozgása közben nemcsak a pont-pont effektorirányítást követeljük meg (A feladat), hanem a kontinuális pályakövetést is (B feladat). Persze a B feladat sokkal összetettebb az A feladatnál. Vizsgáljuk a továbbiakban a robotirányítást végrehajtó szinten. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

257 3.. DECENTRALIZÁLT PD ROBOTIRÁNYÍTÁS A robotmanipulátorok hagyományos irányítása magába foglalja a decentralizált PD irányítást, vagyis visszacsatolásos szervoirányítást (feedback control), ahol az érzékelők adatai alapján, a csuklók pillanatnyi pozíciójáról és szögsebességéről minden aktuátorra különkülön PD szabályozót alkalmazunk. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

258 (3.3) ahol: Tehát a decentralizált PD irányítást csuklókoordinátákban valósítjuk meg: τ k (q q) + k (q& q) & τ a meghajtó csuklónyomatékok vektora, kp a pozícióerősítés diagonális mátrixa, kv a sebességerősítés diagonális mátrixa, qd a tervezett (desired) csuklókoordináták vektora, q a valós mért csuklókoordináták vektora, a tervezett (desired) csuklósebességek vektora, q& = p d a valós mért csuklósebességek vektora. v d Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

259 A robotmanipulátor decentralizált PD irányításának blokkvázlata a 3.. ábrán látható: q d + - k p k p (q d -q) q q& d + τ = k p (q d q) + k v (q& q) & d Robot q, q&, q& & q& + k v - k (q& -q) & v d 3.. ábra A robotirányítás decentralizált PD irányításának blokkvázlata Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

260 A decentralizált szervoirányítás működése leolvasható a 3.. ábráról. Az érzékelő megadja a q i csuklópozíció és sebesség pillanatnyi valós értékeit, ezeket az ábra szerint visszacsatoljuk, és a csuklópozíció q d és sebesség tervezett (desired) értékeivel összehasonlítva a különbséget k p pozícióerősítéssel és k v sebességerősítéssel megszorozva kialakítjuk a meghajtó csuklónyomatékot τ. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

261 A robotmanipulátor decentralizált PD irányításának két lényeges hátránya van: a. A robotmanipulátor decentralizált PD irányítása csak egyszerűbb kinematikai struktúráknál és kisebb sebességeknél alkalmazható, nem ad elfogadható pályakövetési eredményeket a korszerű robotmanipulátoroknál, melyeknél a dinamikai csatolások, munkasebességek és a pontossági követelmények kifejezettek. Ezek az összetettebb feladatok dinamikus irányítási eljárások alkalmazásával oldhatók meg. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

262 b. A robotmanipulátor részvétele a technológiai folyamatokban igényli az effektor helyzetének (pozíció + orientáció) világkoordinátákban való megadását, az irányítási rendszer pedig ezután automatikusan átszámolja a megfelelő csuklókoordinátákat. A korszerű robotmanipulátorok irányítási rendszerei lehetővé teszik az effektor világkoordinátáinak közvetlen megadását és a világkoordináták transzformálását csuklókoordinátákba. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

263 3.3. MODELLREFERENS DINAMIKUS ROBOTIRÁNYÍTÁS Azokat az irányítási eljárásokat, amelyek a robotmanipulátorok irányításánál figyelembe veszik a: dinamikai csatolásokat és a nagy sebességi és pontossági követelményeket dinamikus robotirányításoknak nevezzük. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

264 A modellreferens dinamikus irányítás (feedforward control) figyelembe veszi: a robotmanipulátor dinamikáját, a szemlélt rendszer komplett dinamikai modelljét számítva, figyelembe véve a tervezett csuklókoordinátákat, és a robotmanipulátor decentralizált PD szervoirányítását. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

265 A tervezett (desired) csuklókoordinátákból q di deriválással kiszámítjuk a robotcsuklók tervezett sebességeit és gyorsulásait. Így a robotrendszer dinamikájának modellje alapján (.67) meghatározzuk a tervezett (referensnominális) meghajtónyomatékokat τ d, melyeket meg kell valósítani a robotcsuklókon, hogy a csuklók a tervezett (nem valós) pálya szerint mozogjanak: (3.4) τ d ( q d,q& d,q&& d ) = H( q d ) q&& d + h( q d, q& d ) Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

266 A referens meghajtónyomaték τ d, a csuklók szimultán mozgásának dinamikai nyomatéka, magába foglalja a robotcsuklók dinamikai csatolását és kompenzálja a szemlélt robotmanipulátor dinamikáját (amely a csuklókoordináták, sebességek és gyorsulások rendkívül összetett függvénye), de csak a tervezett referens pálya mentén. Nagyon fontos megjegyezni, hogy a modellreferens dinamikus robotirányítás alkalmazásával a robotcsuklók közötti valós dinamikai csatolás nincs kompenzálva! Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

267 A fenti megállapítások alapján a modellreferens dinamikus robotirányítás meghajtónyomatéka a következőképpen írható fel: (3.5) τ = τ ( q,q&,q&& d d d d ) + k p ( q d q) + k ( q& v d q& ) ahol: τ - meghajtó csuklónyomatékok vektora, τ d - tervezett (referens-nominális) modellreferens meghajtónyoma-tékok vektora, melyet a robot dinamikai modellje és a tervezett (nem valós) koordináták és deriváltjaik szerint számítunk, k p - a pozícióerősítés diagonális mátrixa, - a sebességerősítés diagonális mátrixa, k v Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

268 q d q q& d q& - a tervezett (desired) csuklókoordináták vektora, - a valós (mért) csuklókoordináták vektora, - a tervezett (desired) csuklósebességek vektora, - a valós (mért) csuklósebességek vektora. A robotmanipulátor modellreferens dinamikus végrehajtó szintű irányításának blokkvázlata a 3.3. ábrán látható: Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

269 - q d q& & d q& d Robot, q d q& d, q& & d τ d = τ + ( d q, d q&, d q& ) d k p k p (q d -q) + τ Robot q, q&, q& & q q& - + k v k (q& -q) & v d 3.3. ábra A robotirányítás modellreferens dinamikus végrehajtó szintű irányításának blokkvázlata Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

270 A modellreferens dinamikus végrehajtó szintű irányítás működése leolvasható a 3.3. ábráról. A tervezett (referens-nominális) modellreferens meghajtónyomatékot τ d, melyet a robot dinamikai modellje és a tervezett (nem valós) koordináták és deriváltjaik szerint számítunk, összeadjuk a decentralizált PD szabályzó meghajtónyomatékával. A robotmanipulátor modellreferens dinamikus stratégiai/taktikai szintű irányítása megköveteli az inverz kinematikai feladat megoldását, és a blokkvázlata a 3.4. ábrán látható: Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

271 Stratégiai irányítás Taktikai irányítás - Pályatervezés s d & s& d s& d Inverz kinematika f J -, J J - q d q& & d q& d Robot, q d q& d, q& & d τ d = τ + q q& q& d ( d, d, - d ) k p + k v k p (q d -q) + k (q& -q) & v d τ Robot q, q&, q& & q q& 3.4. ábra A robotirányítás modellreferens dinamikus stratégiai/taktikai szintű irányításának blokkvázlata Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

272 A robotirányítás modellreferens dinamikus irányítása megköveteli: a robotmanipulátor paramétereinek pontos ismeretét, ami persze nem mindig lehetséges, így a modellreferens dinamikus irányítás alkalmazása még a robotcsuklók referens dinamikai csatolások kompenzációjánál sem eléggé hatásos. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

273 hogy on-line számítsuk a robotmanipulátor komplett dinamikáját a tervezett (referens) koordinátákkal számítva, amely feladat összetett struktúrájú robotmanipulátor esetében időigényes, az off-line számításoknál pedig (a robotmanipulátor előre ismert mozgására) szükség van nagy kapacitású adattárolóegységre. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

274 3.4. A KISZÁMÍTOTT NYOMATÉKOK MÓDSZERE A kiszámított nyomatékok módszere (computed torque control) a dinamikus robotirányítás másik elterjedt eljárása, a meghajtó robotcsuklónyomatékok on-line számításán alapszik a következő reláció szerint: (3.6) τ = H( q) q& * + h( q, q& ) ahol a robotcsukló gyorsulásának a vektora: (3.7) q& * = q&& + k (q q) + k (q& q) & d p d v d Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

275 ahol: H(q) nxn dimenziós tehetetlenségi mátrix, amely a robotmanipulátor valós csuklókoordinátáinak (q) a függvénye, h(q,) a centrifugális, Coriolis-féle és gravitációs nyomatékok vektora, amely a valós csuklókoordinátáinak q és sebességeinek a függvénye, k p - a pozícióerősítés diagonális mátrixa, kv - a sebességerősítés diagonális mátrixa, q d - a tervezett (desired) csuklókoordináták vektora, qa - valós (mért) csuklókoordináták vektora, q& - a tervezett (desired) csuklósebességek vektora, q& d - a valós (mért) csuklósebességek vektora. & - a tervezett (desired) csuklógyorsulások vektora q& d Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

276 Az eljárásnak az alapötlete a robotmanipulátor dinamikai modelljének a közvetlen beiktatása az robotirányítás törvényébe (3.6). A kiszámított nyomatékok módszerénél, a robotirányítási rendszer az érzékelőkről kapott adatok alapján, amelyek a valós csuklókoordinátákra q és sebességekre vonatkoznak, kiszámítja a H(q) mátrixot és h(q,) vektort, valamint a (3.6) irányítási törvény szerint a meghajtó csuklónyomatékot. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

277 A kiszámított nyomatékok módszere (a merev robotmanipulátor esetében) biztosítja a Coriolisféle, centrifugális és a gravitációs nyomatékok kompenzálását, a visszacsatolás erősítései a robotmanipulátor mozgása közben, közvetlenül változnak a tehetetlenségi mátrix H(q) változásával, a tervezett pályák menti késések kompenzálása miatt, a tervezett - referens csuklógyorsulással, az irányítási törvénybe bevittünk egy előkompenzációs jelet. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

278 A robotmanipulátor a kiszámított nyomatékok módszerének irányítási blokkvázlata a 3.5. ábrán látható: - q d q& & d q& d + k p k p (q d -q) + q& & * Robot q, q&, q& & * τ Robot q, q&, q& & q q& + k v - k (q& -q) & v d 3.5. ábra A kiszámított nyomatékok végrehajtó szintű irányításának blokkvázlata Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

279 A kiszámított nyomatékok dinamikus stratégiai/taktikai szintű irányítása ugyancsak megköveteli az inverz kinematikai feladat megoldását. Blokkvázlata a 3.6. ábrán látható. A kiszámított nyomatékok irányítási módszere megköveteli a robotmanipulátor paramétereinek pontos ismeretét, ami persze nem mindig lehetséges, mivel mindig léteznek struktúrális és nemstruktúrális határozatlanságok, vagyis nem modellezett robotdinamikai hatások (pl. rugalmasság) és hogy online számítjuk a robotmanipulátor komplett dinamikáját a tervezett (referens) koordináták figyelembevételével. Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

280 Az ilyen feladat összetett struktúrájú robot esetében igen időigényes, az off-line számításoknál pedig (a robotmanipulátor előre ismert mozgására) szükség van nagy kapacitású adattárolóegységre. Stratégiai irányítás Taktikai irányítás - Pályatervezés s d & s& d s& d Inverz kinematika f J -, J J - q d q& & d q& d + k p + k v - k p (q d -q) + k (q& -q) & v d q& & * Robot q, q&, q& & * τ Robot q, q&, q& & q q& 3.6. ábra A kiszámított nyomatékok stratégiai/taktikai szintű irányításának blokkvázlata Mester Gyula 003 Hagyományos robotirányítás

281 Robotmanipulátorok adaptív pozícióirányítása Kétcsuklós rugalmas robotmanipulátor adaptív pozícióirányítása Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

282 4.. Robotmanipulátorok adaptív pozícióirányítása 4... Bevezetés 4... Merev robotmanipulátorok önhangoló adaptív pozícióirányítása csuklókoordinátákban Stabilitásvizsgálat Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

283 4... Bevezetés A robotmanipulátorok pályakövetési feladatainál a hagyományos dinamikus irányítástörvények tehát két csoportra oszthatók [4]: modellreferens dinamikus robotirányítás kiszámított nyomatékok módszere Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

284 Az első módszer a modellreferens dinamikus robotirányítás (feedforward control) amely figyelembe veszi a szemlélt rendszer tervezett csuklókoordinátáival (desired) számított komplett dinamikai modelljét és a robotmanipulátor decentralizált (3.5) PD szervoirányítását (feedback control). A referens meghajtónyomaték τd, a csuklók szimultán mozgásának dinamikai nyomatéka, magába foglalja a robotcsuklók dinamikai csatolását és kompenzálja a szemlélt robotmanipulátor dinamikáját de csak a tervezett referens pálya mentén. A modellreferens dinamikus robotirányítás alkalmazásával, a robotcsuklók közötti valós dinamikai csatolás nincs kompenzálva! Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

285 A második módszer a kiszámított nyomatékok módszere (computed torque control), amely a csuklónyomatékok on-line számításán alapszik. A kiszámított nyomatékok módszerénél, a robotirányítási rendszer az érzékelőkről kapott adatok alapján, amelyek a valós csuklókoordinátákra q és sebességekre vonatkoznak, kiszámítja a H(q) mátrixot és h(q,) vektort, valamint a (3.6) irányítási törvény szerint a meghajtó csuklónyomatékot. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

286 A visszacsatolás erősítései a robotmanipulátor mozgása közben, közvetlenül változnak a tehetetlenségi mátrix H(q) változásával. A tervezett pályák menti késések kompenzálása miatt, az irányítási törvénybe a tervezett referens csuklógyorsulással, bevittünk egy előkompenzációs jelet. A kiszámított nyomatékok módszere (a merev robotmanipulátor esetében) biztosítja a Coriolisféle, centrifugális és gravitációs nyomatékok kompenzálását. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

287 A modellreferens dinamikus robotirányítás és a kiszámított nyomatékok irányítási módszere: csak a merev robotstrukturára vonatkozik, megköveteli a robotmanipulátor matematikai modelljének és a robotmanipulátor paramétereinek pontos ismeretét, ami persze nem mindig lehetséges, mivel mindig léteznek struktúrális és nem struktúrális határozatlanságok, vagyis nem modellezett robotdinamikai hatások (pl. rugalmasság), Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

288 hogy on-line számítjuk a robotmanipulátor komplett dinamikáját a tervezett (referens) koordináták figyelembevételével. Az ilyen feladat összetett struktúrájú robotmanipulátor esetében igen időigényes, az off-line számításoknál pedig (a robotmanipulátor előre ismert mozgására) szükség van nagy kapacitású adattárolóegységre. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

289 A hagyományos robotirányítások problémái nagy részben kiküszöbölhetők adaptív irányítástechnika bevezetésével, amely két fő csoportra osztható: Modellreferenciás és Önhangoló adaptív irányításra. Az adaptív irányítási algoritmusok alkalmazásánál: nincs szükség a robotparaméterek ismeretére, viszont ismernünk kell a robotmanipulátor matematikai modelljét. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

290 Az adaptív koncepció különböző módon alkalmazható a robotmanipulátorok irányításánál és ma is attraktív kutatási terület jelent [] [6]. Az adaptív robotirányítási kutatások 980-as évek óta aktuálisak. Az adaptív eljárások fejlesztésének figyelemre méltó eredményeit a következő szerzők publikációi prezentálják: Slotine & Li [], [], és [3], Seraji, [4] Niemeyer and Slotine [5], Dessaint et al. [6], Craig. [7], Lantos [8], Mester[5] [6]. Rugalmas csuklójú robotmanipulátorok adaptív irányításával a következő publikációk foglalkoznak: [ 6 ], [ 3 ], [ 5] és [6]. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

291 4... Merev robotmanipulátorok önhangoló adaptív pozícióirányítása csuklókoordinátákban Írjuk fel tehát a merev robotmanipulátor matematikai modelljét: q& & (4.) H(q) + C(q, ) + g(q) = τ Arimoto szerint (985.), a merev robot matematikai modellje felírható a következő módosított alakban: Y(q, q,q & & q& q&,q& (4.) p=τ r r ) Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

292 ahol a: Y(q, q,q & &,q& r r )- regreszor mátrix amely a merev robotmodell alapján írható fel, p az ismeretlen robotparaméterek (a geometriai, tömeg- és tehetetlenségi nyomatékok kiválasztott szorzatösszegei) m dimenziós oszlopvektora, q& r - "referens sebesség": (4.3) q& r = q& d Λ(q q d ) q&& = q&& Λ(q& q& ) r d d Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

293 Jelöljük: s = q& q& r (4.4) Az adaptív irányítási törvényt a következő módon írjuk fel: ˆ (4.5) τ = H(q)q&& r + C(q,q)q & & r + ˆ ahol a: pˆ - becsült paraméterek vektora, (4.6) ˆ g(q) k D s Y(q, q, & q& r, q&& r )pˆ = H ˆ (q) q&& + C ˆ (q, q)q & & + r r g(q) ˆ Az ajánlott adaptív csuklókoordinátás merev robotmanipulátor pozícióirányítási blokkvázlata a 4.. ábrán látható: Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

294 z q& l q,q&, q& d d d q& r q&& r = q& d = q&& d Λ(q q Λ(q& q& d d ) ) q& r,q& r q& r + k D l p& T ˆ = ΓY (q, q,q & && )(q& q& ) r r pˆ Y(q, q,q&& ) pˆ r & + ROBOT q q, q& q m & q m 4.. ábra. Adaptív merev robotmanipulátor pozícióirányításának blokkvázlata. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

295 ˆ ˆ A H(q), C(q,q), & g(q) ˆ mátrixokat és vektorokat a H(q), C(q,q), & g(q) mátrixokból és vektorokból kapjuk, ha az ismeretlen p paramétervektort a paraméter-becslési adaptációs törvény alapján kiszámított pˆ vektorral helyettesítjük. A regreszor mátrix felírásánál csak a referens gyorsulás vektorát q& & d kell ismernünk, nem pedig a valós gyorsulás vektorát q& &! Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

296 4..3. Stabilitásvizsgálat Válasszuk a stabilitásvizsgálathoz megfelelő Ljapunov-függvény következő alakját: (4.7) Ahol a: Γ szimmetrikus, pozitív definit erősítési átlós mátrix. (4.8) V(t) = T ~ ~ [ s Hs p Γ p] T + p ~ = pˆ p Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

297 Írjuk fel a Ljapunov-függvény idő szerinti deriváltját: (4.9) Fejezzük ki a H (4.0) V(t) & [ ] T T T s Hs& s Hs & p ~ = + + Γl p ~ & q& & Hq&& tagot a (4.) szerint: = τ Cq& g z l q A (4.4) alapján felírható: (4.) Hs& = H(q&& q&& r ) Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

298 a (4.) kifejezésbe behelyettesítjük a z (4.0): l (4.) H s& = τ Cq& g l Hq& r és a (4.) kifejezést behelyettesítjük a (4.9): q (4.3) & [ ] [ ] T T T s τ - Cq& g Hq&& r s H(q)s & p ~ V(t) = + + Γ p ~ & Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

299 Helyettesítjük a (4.3) relációban a τ helyett a (4.5) z l irányítástörvényt és későbbi átrendezések miatt egészítsük ki a jobb oldalt taggal: (4.4) V(t) & T = s r r D r r r Γ [ ˆ ˆ ] q [ ] T ˆ & ~ T Hq&& + Cq& + g k s + Cq& Cq& Cq& g Hq&& + s Hs + p ~ p & Rendezzük át a (4.4) a következőképpen: (4.5) & [ ] T s Hq ˆ T T && Hq&& Cq ˆ & Cq& g k s Cq& r r r r D r Cq& g [ s Hs & ] p ~ V(t) = + + ˆ Γ p ~ & l Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

300 Bevezetve a következő jelöléseket: (4.6) ~ H = Hˆ H ~ C = Cˆ C ~ g = gˆ g a (4.7) felírható: (4.8) & [ ] [ ] T ~ ~ T T s Hq&& Cq& ~ r r g k Ds Cs s H(q)s & p ~ V(t) = Γ p ~ & Figyelembe véve, hogy: (4.9) ~ ~ Y ~ p = Hq&& + Cq& + r r ~ g Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

301 (4.0) Rendezzük tovább a fenti kifejezést: (4.) Mivel a kifejezés nulla, a (4. reláció egyszerűsödik: (4.) További rendezés után: (4.3) T V(t) & = s ~ D [ Yp ~ ] [ ] T T T k s s Cs s H(q)s & p ~ + + Γ p& & [ ] [ ] T s Yp ~ T k s s H& T D C s p ~ V(t) = + + Γ p ~ & & T T T s k s s Yp~ p~ V(t) = + + Γ p~ & D ( Γ p Y s) ~ & T + T T V & (t) = s k s + p ~ + D Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

302 Mivel a valós p paraméterek az adaptációs folyamat alatt nem változnak, válasszuk az adaptációs törvényt: (4.4) ahonnan következik, hogy: (4.5) p& ˆ = ΓY V& tehát a rendszer stabil. T (q,q,q & & T r = s k s D,q& r )s 0 Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

303 4.. Kétcsuklós rugalmas robotmanipulátor adaptív pozícióirányítása 4... Bevezetés 4... Rugalmas csuklójú-merev szegmensű robotmanipulátor dinamikai modellje Rugalmas csuklójú-merev szegmensű robotmanipulátor önhangoló adaptív pozícióirányítása csuklókoordinátákban Az adaptív irányító hardver megoldása Szimulációs eredmények I eset: A Slotine&Lee adaptív merev robotirányító alkalmazása II eset: A módosított Slotine&Lee adaptív rugalmas robotirányító alkalmazása III eset Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

304 4.. Bevezetés Robotmanipulátorok rugalmassága adódik: a robotcsuklók rugalmasságtól és a robotmechanizmus szegmenseinek a rugalmasságtól. A robotmanipulátorok csuklórugalmassága a mechanikai rezgések, ezáltal a pontatlan pályakövetés fő forrása. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

305 A robotkutatási eredmények szerint, ha az irányítási törvény nem kompenzálja a csuklórugalmasságot, akkor az ilyen irányítástörvény alkalmazása a valós ipari robotmanipulátorra instabil viselkedést okozhat. Tehát, az irányítási algoritmusnak nemcsak az a feladata, hogy a robotmanipulátor struktúrájának nemlineáris viselkedését és a teher tömegének és tehetetlenségi nyomatékának az állandó változását kompenzálja, hanem a rugalmas csuklók rezonanciális effektusait is szükséges kompenzálni. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

306 E fejezetben két rugalmas csuklójú négyszabadságfokú robotmanipulátor adaptív pozícióirányítását tárgyaljuk [5], Slotine & Li által publikált irányítási algoritmus módosítása alapján. Az adaptív irányítási törvény három részből áll: az első rész robotmodellen alapuló dinamikus irányítási tag (feedforward control), a második rész decentralizált PD szervoirányítás (feedback control), a harmadik rész a csuklórugalmasság kompenzálására szolgál. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

307 A továbbiakban felírjuk a rugalmas csuklójú robotmanipulátor dinamikai modelljét, majd bemutatjuk az adaptív pozícióirányítási algoritmust csuklókoordinátákban. Az irányítási törvény hatásosságát kétszabadságfokú SCARA típusú rugalmas robotmanipulátor szimulációs eredményei bizonyítják. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

308 4... Rugalmas csuklójú merev szegmensű robotmanipulátor dinamikai modellje Vizsgáljunk egy: rugalmas csuklójú, merev szegmensű, n szabadságfokú robotmanipulátort (4.. ábra) állandó mágnesű szinkronmotoros meghajtással [0]. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

309 4.. ábra Rugalmas csuklójú-merev szegmensű robotmanipulátor. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

310 A robotmanipulátor dinamikai modellje mátrix alakban felirható a következő módon: (4.6.a) H(q) q&& + (4.6.b) C(q,q)q & & + Vq& + g(q) = c(t)(n q m q) && & J mq m + k amq m + N c(t)(n q m q) = τ m ahol a: Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

311 q R n csuklókoordináták nx dimenziós oszlopvektora, q m R n - szervomotor koordináták nx dimenziós oszlopvektora, H(q) szimmetrikus és pozitív definit nxn dimenziós tehetetlenségi mátrix, J m szervomotor rotorjainak nxn dimenziós tehetetlenségi mátrixa, C(q, q& ) q& - a Coriolis-féle és centrifugális hatások nx dimenziós oszlopvektora, Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

312 V viszkózus csillapítás nx dimenziós oszlopvektora, g(q) a gravitációs hatások nx dimenziós oszlopvektora, k am a szervomotor csillapítási tényezőinek nxn dimenziós átlós mátrixa, c(t) a hajtómű változó merevségének nxn dimenziós átlós mátrixa, N a hajtómű áttételének nxn dimenziós átlós mátrixa, τ m a meghajtónyomaték nx dimenziós oszlopvektora. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

313 A (4.6.a) mátrixegyenletnek a bal oldala leírja a merev robot dinamikáját. Ebben az egyenletben a rugalmas csukló nyomatéka tulajdonképpen a merev robot meghajtó nyomatéka. A (4.6.b) mátrixegyenlet a szervomotor dinamikáját írja le. Ebben az egyenletben a rugalmas csukló nyomatéka a szervomotor terhelő nyomatékával egyenlő. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

314 4..3. Rugalmas csuklójú merev szegmensű robotmanipulátor önhangoló adaptív pozícióirányítása csuklókoordinátákban A rugalmas csuklójú robotmanipulátor önhangoló adaptív pozícióirányításánál csuklókoordinátákban ismerni kell a merev robot matematikai modelljét, viszont a robotparaméterek ismeretére nincs szükség Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

315 Írjuk fel tehát a merev robotmanipulátor matematikai modelljét: (4.7) H(q) q& & +h(q,)= τ Arimoto szerint (985.) a merev robot matematikai modellje felírható a következő módosított alakban: (4.8) Y(q, q,q & &,q& ) p=τ r r ahol a: Y(q, q,q & &,q& r r ) - regreszor mátrix amely a merev robotmodell alapján írható fel, p az ismeretlen robotparaméterek (a geometriai, tömeg- és tehetetlenségi nyomatékok kiválasztott szorzatösszegei) m dimenziós oszlopvektora, Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

316 A rugalmas csuklójú robotmanipulátor önhangoló adaptív pozícióirányításánál csuklókoordinátákban írjuk fel az irányítási törvényt a módosított Slotine & Li eljárás szerint a következő alakban: (4.9) τ = τ + τ + FF PD A (4.9) adaptív irányítási törvény tehát három részből áll: τ e Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

317 az első rész adaptív jellegű merev robotmodellen alapuló dinamikus irányítási tag (feedforward control): z l τ = Y(q,q,q & &,q&& )pˆ FF a második rész decentralizált PD l szervorányítás (feedback control): τ & & PD q = k D(q qr ) = k D(q q) + k Dλ(qd a harmadik rész a szervomotor rotorjának és a csukló szögsebességétől függő lineáris korrekciós rész amely a csuklórugalmasság kompenzálására szolgál [5]: τ e = k e r r & d & ( q& N q& m ) q) Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

318 Az adaptív irányítási törvény tehát a következő formájú: (4.30) τ = Y(q,q,q & & r,q&& r )pˆ k D (q& q& r l ) k z e l q ( q& N q& m ) Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

319 ahol a: pˆ z - becsült paraméter vektor, l Y(q, q, & q&, q&& )pˆ = H ˆ (q) q&& + C(q, ˆ q)q & & + r r r l r g(q) ˆ q q& r - "referens sebesség": (4.3) q& q&& r r = = q& q&& d d Λ(q Λ(q& q q& d d ) ) Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

320 Írjuk fel a paraméterbecslés on-line működő adaptációs törvényét a következő módon: (4.3) p& ˆ = ΓY T (q,q,q & & r,q&& r )(q& q& r ) Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

321 ahol a: Γ=diag(g, g, g 3 ) szimmetrikus, pozitív definit erősítési átlós mátrix, q& d q d, - tervezett (referens) csuklókoordináták és deriváltjaik, q& q, - valós (mért) csuklókoordináták és deriváltjaik, k d, λ, k e erősítési átlós mátrixok. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

322 A (4.3) paraméterbecslés adaptációs törvény segítségével on-line változtatjuk az adaptív irányítástörvényt. A Hˆ (q), C(q,q), ˆ & g(q) ˆ mátrixokat és vektorokat a H(q), C(q,q), & g(q) mátrixokból és vektorokból kapjuk ha az ismeretlen p paramétervektort a paraméterbecslési adaptációs törvény alapján kiszámított vektorral helyettesítjük. Fontos kiemelni, hogy a regreszor mátrix Y = Y(q,q,q & & felírásánál csak a referens gyorsulás vektorát kell ismernünk, nem pedig a valós gyorsulás vektorát q& &! q& & d r,q& r ) Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

323 q& q,q&, q& d d d q& r q&& r = q& = q&& d d Λ(q q Λ(q& q& d d ) ) & q r,q& r q& r + k D p& T ˆ = ΓY (q, q,q & && )(q& q& ) r r pˆ Y(q, q,q&& ) pˆ r & + ROBOT q, q& q m & q m Csuklórugalmasság kompenzálása k e + N 4.. ábra. Adaptív rugalmas csuklójú robotmanipulátor pozícióirányításának blokkvázlata.. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

324 4..4. Az adaptív irányító hardver megoldása Az adaptív irányító hardver struktúrájának a vázlata (4.3.) ábrán látható. Az adaptív pozíció irányító a DSP 5600 digitális processzorral van megoldva. Ez a megoldás gazdaságos és a szükséges számítások szempontjából kivitelezhető. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

325 5600 XTAL ROM RAM ADDRESS BUS DATA BUS EPLD D/A EPLD D/A A B A B JOINT JOINT τm τm i* i* d d 0 /κt 0 /κt i* i* q q θm θm jθm jθ e /3 m e /3 i* a i* b i* c i* a i* b i* c i b CURRENT CURRENT i b REGULATORS i REGULATORS c ic CRPWM T CRPWM -T 6 T -T INVERTER Τ Τ3 Τ5 Τ Τ3 Τ5 m m INVERTER m m A B A B 4.3. ábra. Az adaptív irányító hardver megoldásának vázlata Τ4 Τ6 Τ Τ4 Τ6 Τ θ θ θ SM m SM 3 3 R GEAR Rm R GEAR R, R, R m, R m : RESOLVERS θ m Rm Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

326 4..5. Szimulációs eredmények Az ajánlott adaptív irányítási törvény hatásosságát, kétcsuklós négyszabadságfokú (4.4. ábra szerinti) SCARA típusú alapstruktúrájú rugalmas robotmanipulátor szimulációjával bizonyítjuk. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

327 4.4. ábra Kétcsuklós négyszabadságfokú SCARA típusú rugalmas robotmanipulátor vázlata.. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

328 Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás = c c c c c c c c c c τ τ sinq q l l m ) q (q sinq q l l m q q I l m I ) cosq l l (l m I ) cosq l l (l m I I ) l cosq l l (l m m l & & & & && && A vizsgált robotmanipulátor merev mechanizmusának dinamikai modellje a következő: (4.33)

329 Válasszuk meg a következő robotparamétereket: (4.34) Így a x3 dimenziós regreszor mátrixot a (4.33) modell alapján felírhatjuk: (4.35) Y(q,q,q & & r,q && r ) = p p p && q 0 r 3 = = = I I (q && m r + I l l + m + m l c l c + 0.5q && r 0.5(q && c r + m )cosq cosq (l (q& + q& + l r r c ) + 0.5q& q& sinq r )q& ) sinq && q r && q r + && q r Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

330 A fenti mátrix regreszor elemei: (4.36) Y = && q r Y = (q && r + 0.5q && r )cosq (q& r + 0.5q& r )q& sin q Y 3 = && q r Y = 0 Y = 0.5(q && r cosq + q& r q& sin q ) Y 3 = && q r + && q r Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

331 A paraméterbecslési adaptációs törvény: (4.37) pˆ & = ΓY T (q,q,q & & r,q&& r )(q& q& r ) Esetünkben: (4.38) ˆ&p = pˆ & pˆ & pˆ & 3 Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

332 A megfelelő szimmetrikus, pozitív definit erősítési átlós mátrix: g (4.39) Γ = 0 0 (4.40) pˆ & pˆ & pˆ & 3 g = 0 0 g 0 0 g g Y Y Y g Y Y Y 3 q& q& q& q& r r Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

333 (4.4) pˆ & pˆ & pˆ & 3 = g = g = g 33 && q r (q& q& [(&& q + 0.5q && ) cosq ( q& + 0.5q& ) q& sinq ] + 0.5(q && ) cosq sinq )(q& q& [&& q (q& q& ) + (q && + && q )(q& q& )] r r r r r r + q& r r q& r r r r r ) (q& q& r ) + Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

334 A szimulációs paraméterek a következők: szimulációs idő: s, paraméterbecslési periódus: erősítések: T= s, (000 Hz), kd(0,0), Λ (,), ke(70,70), Γ(0,0,0). A robotcsuklómozgás szimulációja a modifikált trapéz alakú csukló-szögsebességeknek és a következő robotmanipulátor paramétereknek felel meg: Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

335 Robotmanipulátor adatok: q és q - a robotcsuklók koordinátái, m3=0.5 kg - a munkadarab tömege. Robotszegmens adatok: első szegmens l=0.6 m a szegmens hossza, lc=0.3 m a szegmens tömegközéppontjának a távolsága az -es csukló középpontjától, m= kg a szegmens tömege, J =0.36 kgm a szegmens tehetetlenségi nyomatéka a szegmens tömegközéppontra számítva, Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

336 Robotszegmens adatok: első szegmens =0.6 m a szegmens hossza, c=0.3 m a szegmens tömegközéppontjának a távolsága az -es csukló középpontjától, m= kg a szegmens tömege, J =0.36 kgm a szegmens tehetetlenségi nyomatéka a szegmens tömegközéppontra számítva, Hajtóműadatok (mindkét csuklón) c(t)=*08 N/m a hajtómű változó merevsége, N=7 a hajtómű áttétele, A hajtóműmerevség időbeni változása: 3%, Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

337 szervomotorok (mindkét csuklón) rotorok tehetetlenségi nyomatéka: Jm=Jm=0.08 kgm, csillapítási tényező: kam= kam=0. Nms/rad. A szimuláció alatt a csuklókoordináták referens kezdő és végértékei a következők: = q=0 q= rad, q=-0.5 q=.5 rad. A csuklósebességek és csuklógyorsulások maximális értékei: q& = q& =3 rad/s, q& =0 rad/s, q& & = rad/s. & A szimulációs eredmények az ábrákon láthatók. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

338 I eset: A Slotine&Lee adaptív merev robotirányító alkalmazása A Slotine&Lee adaptív merev robotirányítási irányító alkalmazása a rugalmas csuklójú és merev szegmensű robotmanipulátornál az irányított rendszer instabil viselkedéshez vezet. A szimulációs eredmények ez esetben a 4.5 és 4.6 ábrákon láthatók. A mellékelt diagramokról leolvasható a csukló pályakövetési hibájának (4.5. ábra) és a pˆ becsült robotparaméter (4.6. ábra) instabilitása. 3 Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

339 ábra Adaptív merev robotirányító alkalmazása rugalmas csuklójú robotra a csukló pályakövetési hibája. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

340 4.6. ábra Adaptív merev robotirányító alkalmazása rugalmas csuklójú robotra p 3 paraméterbecslés. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

341 II eset: A módosított Slotine&Lee adaptív rugalmas robotirányító alkalmazása Alkalmazzuk a módosított Slotine&Lee adaptív robotirányítót (4.30 és 4.3) a rugalmas csuklójú és merev szegmensű robotmanipulátornál. A referens és valós csuklópályakövetési diagramok a ábrákon láthatók. A referens és valós szögsebesség és szöggyorsulási diagramok a ábrákon láthatók. Az esztimált becsült robotparaméterek a 4.5, a két csukló meghajtónyomatéka pedig a 4.7 és 4.8 ábrákon láthatók. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

342 4.7. ábra. Az -es számú csukló referens és valós koordinátája.. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

343 4.8. ábra. A -es számú csukló referens és valós koordinátája. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

344 4.9.ábra Az -es számú csukló koordinátahibája q-qd.[rad] Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

345 4.0. ábra A -es számú csukló koordinátahibája q-qd [rad] ] Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

346 4..ábra Az -es számú csukló referens és valós szögsebessége. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

347 4.. ábra A -es számú csukló referens és valós szögsebessége. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

348 4.3. ábra Az -es számú csukló referens és valós szöggyorsulása. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

349 4.4. ábra A -es számú csukló referens és valós szöggyorsulása. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

350 4.5. ábra A p, p és p 3 becsült paraméterek változása. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

351 4.6. ábra Az -es számú számú csukló meghajtónyomatéka. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

352 4.7. ábra A -es számú csukló meghajtónyomatéka. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

353 III eset Ha a munkadarab tömege m3= kg, a hajtóműmerevség időbeni változása pedig 0%, az elvégzett szimuláció után megkapjuk a következő diagramokat: Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

354 4.8.ábra Az -es számú csukló koordinátahibája q-qd. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

355 4.9.ábra A -es számú csukló koordinátahibája q-qd Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

356 4.0. ábra Az -es számú csukló meghajtónyomatéka. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás

357 Bemutattuk a két csuklóból álló szabadon mozgó, rugalmas csuklójú, négyszabadságfokú robotmanipulátor önhangoló adaptív irányítását csuklókoordinátákban. Az irányítási törvény kompenzálja a csuklórugalmassági hatásokat. A szimulációs eredmények verifikálják az irányítási algoritmus alkalmazását. Mester Gyula 003 Adaptív robotirányítás