Racionális függvényrendszerek alkalmazása a jelfeldolgozásban

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Numerikus Analízis Tanszék Racionális függvényrendszerek alkalmazása a jelfeldolgozásban Doktori értekezés Lócsi Levente Témavezető: Schipp Ferenc, professor emeritus, DSc Budapest, 204 Doktori iskola: Az iskola vezetője: Doktori program: A program vezetője: ELTE Informatika Doktori Iskola Benczúr András, egyetemi tanár, DSc Numerikus és szimbolikus számítások Járai Antal, professor emeritus, DSc

2 Racionális függvényrendszerek alkalmazása a jelfeldolgozásban Lócsi Levente 204

3 Előszó Szeretnék köszönetet mondani mindazoknak, akik nélkül ez az doktori értekezés nem jöhetett volna létre. Elsősorban köszönöm Schipp Ferenc Tanár úrnak, témavezetőmnek, hogy az eltelt években sok remek ötlettel és bölcs tanáccsal látott el, hogy mindvégig motivált, buzdított és segített. Hálás vagyok feleségemnek, Zsófinak, továbbá szüleimnek, amiért olyan családi hátteret jelentettek számomra, amely mellett nyugodtan folytathattam doktoranduszi és tanársegédi kutatómunkámat és egyéb feladataimat is. Köszönöm az ELTE Informatikai Kar, illetve a Numerikus Analízis Tanszék munkatársainak, kollégáimnak, hogy befogadtak, támogattak és bármikor fordulhattam hozzájuk kérdéseimmel. Külön köszönöm Chripkó Ágnesnek és Kovács Péternek a dolgozat alapos átolvasásában nyújtott segítségét. Köszönet illeti az Eötvös József Collegiumot, ahol egyetemi éveim után doktoranduszként is helyet kaptam. Több kutatási eredmény a 324-es szoba barátságos falai között látta meg a napvilágot. Köszönetet mondok az Informatikai Műhelynek, valamint vezetőjének, Csörnyei Zoltán Tanár úrnak is, aki már legalább 4 éve folyamatosan a védésemet várja... Budapest, 204. július 2.

4 Tartalomjegyzék. Bevezetés 4.. A kutatási téma bemutatása Történeti áttekintés, motiváció A kutatás eredményei Az értekezés felépítése Racionális függvények és függvényrendszerek Blaschke-függvények Blaschke-szorzatok Elemi racionális függvények Malmquist Takenaka-rendszerek Szorzatrendszerek Kiegészítés Diszkretizációs tulajdonságok vizsgálata Az argumentum-függvény Nem egyenletes felosztások Az osztópontok gyorsabb kiszámítása Racionális FFT algoritmusok Újabb ortogonális rendszerek Egy inverz probléma megoldása Bevezetés, motiváció A probléma megfogalmazása Reciprok Blaschke-függvények Megengedett halmazok és a megoldások paraméterei Összefoglalás

5 Tartalomjegyzék Nyitott kérdések Optimalizációs algoritmusok Bevezetés, motiváció Nelder és Mead eredeti módszere Szerkesztések hiperbolikus síkon és térben A hiperbolikus szimplex algoritmus Néhány alapvető tulajdonság Összefoglalás További kutatási lehetőségek Alkalmazás: EKG görbék analízise Az EKG görbékről és azok feldolgozásáról A racionális modell alkalmazása A paraméterek közelítése Mérési eredmények Összefoglalás Kitekintés Összefoglalás 00 A. Számítások, bizonyítások i A.. Blaschke-függvények tulajdonságairól i A.2. Blaschke-szorzatok kompozícióiról iv A.3. A Malmquist Takenaka-rendszerek ortonormáltságáról..... vi A.4. A Φ rendszer szerinti együtthatókról vii A.5. Az argumentum-függvényről ix A.6. Racionális Dirichlet-magfüggvényekről xii A.7. A reciprok Blaschke-paraméterről xvi A.8. A konjugált függvényről xvii B. Matlab programok használata xix B.. Racionális függvények és rendszerek xix B.2. Racionális FFT algoritmusok xxii B.3. Egy kis hiperbolikus geometria xxiv B.4. Egy EKG-szegmens közelítése xxv

6 . fejezet Bevezetés Legelső fejezetünkben röviden bemutatjuk a kutatás témáját, motivációját, elhelyezzük azt a nemzetközi és szűkebb környezetünk, kapcsolódó kutatócsoportok kutatási irányvonalainak kontextusában, tömören összefoglaljuk önálló kutatási eredményeinket, valamint ismertetjük a disszertáció felépítését, szerkezetét. Értekezésünk témája komplex racionális függvényrendszerek tanulmányozása, illetve ezek alkalmazási lehetőségeinek vizsgálata a digitális jelfeldolgozás területén, különös tekintettel EKG görbék analízisére. A doktori értekezés mögött álló kutatómunkát 2008-tól az ELTE Informatika Doktori Iskola ösztöndíjas doktoranduszaként, majd 20-től az ELTE Informatikai Kar Numerikus Analízis Tanszékének tanársegédjeként végeztem Schipp Ferenc professzor úr témavezetésével... A kutatási téma bemutatása Komplex racionális függvényeken egyszerű tört alakjában felírható, komplex változós, komplex értékű függvényeket értünk. Jelfeldolgozás szempontjából ezeknek a komplex egységkörön felvett értékeit vizsgáljuk, majd vetjük össze a feldolgozni kívánt jellel. Matematikai szempontból pedig érdekes kérdés többek között az ezekből képzett ortogonális rendszerek, a gyors feldolgozást lehetővé tevő FFT-szerű algoritmusok vizsgálata, kidolgozása. Az EKG görbék, avagy ElektroKardioGramok az emberi szív működése során bekövetkező elektromos változásokat rögzítik. Ezek vizsgálata igen elter- 4

7 .2. Történeti áttekintés, motiváció 5 jedt eszköz az orvosok kezében különféle betegségek diagnosztizálása céljából. Manapság a hagyományos papír alapú megoldáson túl, vagy ahelyett sokszor digitális formában tárolják és továbbítják az EKG felvételeket. Ezek hatékony és megbízható feldolgozása: tömörítése, zajszűrése, szegmentálása, elemzése egyre gyakoribb és igen összetett feladat. Komplex racionális függvények, illetve függvényrendszerek EKG görbék esetében való felhasználási lehetőségeinek alaposabb vizsgálatát az utóbbi évtizedek racionális approximációval kapcsolatos matematikai eredményei, és a jelfeldolgozásban történő egyre intenzívebb alkalmazása mellett az a tény is motiválja, hogy már egyszerű racionális függvények képe is nagyon hasonlít az EKG jellegzetes részeihez. Néhány paraméter megfelelő megválasztásával pedig egy-egy EKG-szegmenst nagyon jól közelítő függvényt kaphatunk. Természetesen a paraméterek jó megválasztásához bizonyos optimalizációs algoritmusokra van szükségünk. Ezek vizsgálata, megfelelő algoritmusok keresése, továbbfejlesztése is kutatásunk egyik iránya. Mindezeken túl a digitális jelfeldolgozásban történő alkalmazás megköveteli a folytonos esetekben, analitikus módon definiált függvények egyfajta diszkretizációját, ezek további, speciális diszkretizációs lehetőségei és tulajdonságai is vizsgálatunk tárgyát képezik..2. Történeti áttekintés, motiváció Kutatásunk több előzményre épít. Ebben a szakaszban röviden áttekintjük ezek történetét: approximáció racionális függvényekkel, nemlineáris optimalizáció, EKG jelek feldolgozása, valamint a közvetlen kutatási előzmények tanszékünkön. Matematikai eredmények tekintetében a XX. században vált egyre elterjedtebbé az immár hagyományosnak mondható trigonometrikus rendszer mellett újabb függvénycsaládok, valamint ortogonális rendszerek konstruálása, és ezek approximációs tulajdonságainak vizsgálata. Megemlíthetjük a Haar Alfréd által 90-ben konstruált és azóta róla elnevezett rendszer mintájára származtatott, ma waveleteknek, avagy hullámkáknak nevezett függvényrendszerekkel kapcsolatos vizsgálatokat is. Kiemelendő a belga Ingrid Daubechies munkássága [, 2], illetve nélkülözhetetlen ötletek fűződnek Gábor Dénes nevéhez is

8 6. Bevezetés [23]. A számítógépes jelfeldolgozásban pedig azóta is fontos szerepet játszanak a többek között Rademacher, Walsh és Paley által kidolgozott, illetve vizsgált diadikus, csupán az és értékeket felvevő függvények, rendszerek [62]. Ezek mellett azonban, a polinomokkal való megközelítések által motiválva megjelentek valós racionális törtfüggvények approximációs tulajdonságaival kapcsolatos kérdések, eredmények is. Bár vizsgálatuk nehézkesebb hiszen nem alkotnak lineáris teret, kiderült, hogy bizonyos esetekben jobbak, mint a polinomok, adott függvények magasabb rendű approximációja kivitelezhető segítségükkel [45, 60]. A valós racionális függvények mellett pedig komplex változós, komplex értékű racionális függvények vizsgálata is egyre elterjedtebbé vált. Megjelentek kapcsolódó függvényterek kiemelendő Hardy és Bergman neve 2 [3], valamint fontos szerepet játszó függvények, ortogonális függvényrendszerek: később mi is részletesebben tárgyaljuk majd a Blaschke, valamint Malmquist és Takenaka nevéhez 3 fűződő osztályokat [46, 73]. Mérnökök ma már elterjedten alkalmazzák ezeket, illetve speciális változataikat, valamint feltárásra várnak további matematikai tulajdonságaik, általánosításaik is [26, 47]. Racionális függvények jó approximációs tulajdonságai és sikeres alkalmazásai motivációt adnak arra, hogy megvizsgáljuk felhasználási lehetőségeiket további területeken is; és kapcsolódó matematikai problémákat is elemezzünk. Összetett optimalizációs feladatok sokszor megfogalmazhatók valamely általában nemlineáris, sok valós változós, valós értékű függvény (lokális vagy globális) minimuma(i) meghatározásának feladataként. Mi is egy ilyen problémával szembesültünk. Az ilyen általános optimalizációs feladatok megoldására szolgáló algoritmusok kutatása, kidolgozása és vizsgálata is az előző évszázad derekán vette kezdetét. Nyilván a számítógépek megjelenése tette lehetővé ilyen számítások kivitelezését, illetve egymással kölcsönhatásban fejlődtek az algoritmusok, a hardverek, valamint jelentek meg egyre nagyobb számítási kapacitást igénylő feladatok, problémák. Teljes nevükön: Hans Rademacher, Joseph Leonard Walsh és Raymond Edward Alan Christopher Paley. 2 Godfrey Harold Hardy és Stefan Bergman. 3 Wilhelm Johann Eugen Blaschke, F. Malmquist, Satoru Takenaka.

9 .2. Történeti áttekintés, motiváció 7 A Nelder és Mead 4 által 965-ben publikált [5] algoritmus 5 volt az, amivel először sikerült az általunk keresett paraméterek optimális értékeire jó közelítést kapnunk azok a priori becslése nélkül. Ezen algoritmus története önmagában is érdekes. Ugyanis az eltelt közel 50 évben rendkívül elterjedtté vált különféle természettudományos és mérnöki számításokban, az eredeti publikáció több ezer hivatkozást számlál, viszont matematikailag igen kevés ismert az algoritmus konvergenciájával kapcsolatban. Pár év híján a XXI. századig kellett várni, hogy egy-két nagyon speciális pozitív, illetve néhány negatív matematikai eredmény is napvilágot lásson [32, 48]. Ezen algoritmus alkalmazása, tulajdonságainak vizsgálata, továbbfejlesztése szintén adott kihívásokat; valamint aktívan kutatott terület nemzetközi szinten napjainkban is. Az EKG, avagy elektrokardiogram orvosi vizsgálatokra való alkalmazhatóságának kidolgozásáért 924-ben Willem Einthoven fiziológiai és orvostudományi Nobel-díjat kapott, és az azóta persze sokat tökéletesített eljárás ma is fontos eszköz az orvosok kezében diagnosztikai célokból. Egyre több ismeret halmozódott fel a különféle betegségek, kórképek EKG-ben való tükröződéséről is, immár az elektrokardiográfia tudományának jelentős szakirodalma van. Kezdetben papíron rögzítették a szív működése által generált, a bőrfelületen mért elektromos jeleket. Ez mind a mai napig fennmaradt, viszont emellett egyre gyakrabban digitális formában rögzítik és dolgozzák fel az EKG jeleket. Az elmúlt évtizedekben jelentőssé vált az ilyen témájú tudományos munkák száma. Elérhetővé váltak adatbázisok is, amelyek szoros orvosi együttműködés nélkül is hozzáférhetővé teszik különféle egészséges, vagy bizonyos betegségekre jellemző EKG jelek letöltését, digitális vizsgálatát [2]. (Persze ezeket a személyi azonosítást lehetővé tevő metaadatoktól előzetesen gondosan megfosztották.) Ortogonális polinomok, spline függvények, a Fourier-analízis módszerei, waveletek, Gábor-transzformáltak, digitális szűrők stb. mind-mind felmerültek és vizsgálatok tárgyát képezték, képezik []. Ma már a kimondottan orvosi jelek feldolgozása és analízise egy jelentős ága a digitális jelfeldolgozás széles területének. Mi kutatómunkánkban arra vállalkoztunk, hogy lehetőségeinkhez mérten 4 John Ashworth Nelder és Roger Mead. 5 Érdekesség, hogy a gyors Fourier-transzformáció első meghatározó publikációja szintén ebben az évben született.

10 8. Bevezetés minél alaposabban feltárjuk komplex racionális függvények, illetve függvényrendszerek alkalmazási lehetőségeit az EKG jelek feldolgozásában. A jelen értekezésben bemutatásra kerülő kutatómunkának több közvetlen előzménye is volt. Egyrészt ide sorolhatjuk az ELTE Informatikai Kar Numerikus Analízis Tanszékének EKG jelek tömörítésével kapcsolatos (bizonyos mobil eszközök szempontjából fontos) vizsgálatait, melyek több a tanszék által gondozott téma bevonását is lehetővé tették. Másrészt pedig ilyen a SZTAKI Rendszer és Irányításelméleti Kutatólaboratóriumával való kapcsolatunk is, 6 ahol az elmúlt években sikerrel alkalmazták a szóban forgó racionális rendszereket különféle irányításelméleti problémák, mérnöki feladatok vizsgálatában, megoldásában [5, 8, 70]; napjainkban is kutatásaik tárgyát képezik [63]. Valamint e rendszerek matematikai tulajdonságait is többen vizsgálták [52, 53]. A fent említett közvetlen előzményekben Schipp tanár úr fontos szerepet játszott, és témavezetése alatt elkészített diplomamunkám sikeres megvédése után doktoranduszának fogadott..3. A kutatás eredményei Az elért és publikált kutatási eredmények a szóban forgó racionális rendszerekkel, azok paramétereinek optimalizálásával, a felhasznált algoritmus hiperbolikus változatával és az alkalmazások szempontjából fontos diszkretizációs tulajdonságokkal kapcsolatosak. Ezekhez szorosan kötődve különféle Matlab eszköztárakat implementáltunk. Az alábbiakban néhány bekezdésben kifejtjük az egyes eredményeket. Racionális rendszerek az EKG-feldolgozásban Sikeresen alkalmaztuk a Nelder Mead-féle szimplex algoritmust az EKG jelek feldolgozásában (egyelőre) kutatási jelleggel használt komplex racionális ortogonális rendszerek (Malmquist Takenaka-rendszerek) paramétereinek automatikus detektálására, optimalizálására. 6 A szerzőnek is alkalma volt 2009 augusztusában a nevezett kutatócsoport munkájába egy rövid ideig közvetlenül bekapcsolódni.

11 .3. A kutatás eredményei 9 Az eredmény értékét jelzi, hogy korábban nem állt rendelkezésünkre olyan számítógépes eljárás, amely a priori ismeretek nélkül elfogadható közelítést adott a lehető legjobb paraméterekre. Munkánk először az Acta Universitatis Sapientiae, Mathematica folyóiratban jelent meg Approximating poles of complex rational functions címmel [35], majd később említésre, hivatkozásra és felhasználásra került a [6, 7, 44] írásokban, továbbá részét képezi a [29, 30] művekben dokumentált Matlab eszköztárnak is. Hiperbolikus Nelder Mead-algoritmus Az eredeti Nelder Mead-algoritmus az n-dimenziós euklideszi térben vett szimplex csúcsait figyelve, annak geometriai transzformációi által dolgozik. A mi problémánk a komplex egységkörlemezen volt értelmezve, amely egyúttal a Bolyai Lobacsevszkij-féle hiperbolikus geometria Poincaré-féle körmodelljét is adja. Ez az egybeesés adta az ötletet a Nelder Mead-algoritmus hiperbolikus változatának kidolgozására, amelyben tehát a hiperbolikus síkon, illetve térben vett geometriai transzformációkkal dolgozunk. (Egyébként a használt racionális függvények, különösképp a Blaschke-függvények ebben a vonatkozásban is fontos szerepet játszanak.) Elkészítettük a hiperbolikus Nelder Mead-algoritmus működő változatát 2 és 3 dimenzióban. Az implementáció Matlab-ban történt. Ez az algoritmus ilyen formában korábban nem volt ismert, a szakirodalomban sem került említésre. A megvalósításán túlmenően az eredeti algoritmus néhány bizonyított tulajdonságát is átültettük a hiperbolikus változatra. Ezen munka önállóan a [42] publikációban, illetve a [6, 7] írások részeként is megjelent, valamint több nemzetközi konferencián bemutatásra került. Diszkretizációval kapcsolatos eredmények A vizsgált racionális rendszereket folytonos esetben definiáltuk, azonban az alkalmazások szempontjából fontos kérdés a megfelelő diszkretizációs eljárások konstruálása és számítása. Míg a hagyományos trigonometrikus rendszer egy egyenletes felosztás mentén ad megfelelő diszkretizációs alappontokat (melyeken a rendszer diszkrét módon ortogonális, és FFT-szerű gyors algoritmusok

12 0. Bevezetés adhatók a transzformáltak számítására), addig ezen általánosabb rendszerek esetében nem egyenletes felosztások vizsgálandók. Az elmélet áttekintése után a felosztás pontjainak numerikus számítására a naiv lineáris módszernél egy jóval hatékonyabb módszert dolgoztunk ki az osztópontok szekvenciális számítására, azoknak egy ügyes sorrendjét véve, valamint az eljárást a Newton-módszerrel is ötvözve. Egy másik munkánkban az FFT-szerű konstrukciókat is megvizsgáltuk, Matlab implementációkat adva a szemléltetésre és a konkrét megvalósításra. E munka kihasználja az újabb Matlab verziók által már nyelvi konstrukciók szintjén megvalósítható objektumorientált lehetőségeket is. Diszkretizációval kapcsolatos munkáink a következők. A [36] dolgozatban az ilyen diszkretizációk egyfajta magyarázó leírását adtuk (alkalmazási példával EKG görbék esetén), az említett hatékonyabb számítást pedig a [38] műben publikáltuk. A diszkretizációval kapcsolatos néhány újabb ortogonális rendszert írtunk le a [39] műben. Az FFT-szerű konstrukciók implementációját pedig [40] rögzíti. Egy inverz probléma megoldása Blaschke-szorzatok kompozíciói lehetővé teszik szorzatrendszerek, és így FFT algoritmusok szerkesztését. Ehhez szorosan kapcsolódóan felmerült a kérdés, hogy hogyan adhatunk meg Blaschke-szorzatokat úgy, hogy azok kompozíciója bizonyos előnyös tulajdonságokkal rendelkezzen; esetünkben például azzal, hogy a kompozíció zérushelyei megadott helyekre (esetleg EKG jelek feldolgozásánál tapasztalt optimális helyekre) essenek. Kidolgoztuk ezen probléma megoldását a legegyszerűbb nem triviális esetben, kettő darab kéttényezős Blaschke-szorzatot tekintve. Beláttuk, hogy nem minden komplex egységkörbeli pontnégyeshez található megfelelő kompozíció, viszont megengedett pontnégyesek esetén végtelen sok megoldás van. A probléma tárgyalása közben bevezetésre kerültek a reciprok Blaschke-függvények is. Bizonyítottuk ezek létezését és egyértelműségét. Eredményeinket a [4] írásban publikáltuk.

13 .4. Az értekezés felépítése További munkák Megemlítjük néhány az értekezés témájához lazábban kapcsolódó további kisebb munkánkat is. Az Eötvös Konferencia kiadványköteteiben 2 alkalommal jelent meg a témához kapcsolódó tudományos ismeretterjesztő jellegű írásunk. A kutatómunkánkkal kapcsolatban több posztert is készítettünk. Bécsben töltött félévem alatt, a Numerikus Harmonikus Analízis kutatócsoport vendégeként összeállítottam komplex függvények színes ábrázolását bemutató honlapomat, valamint az ottani kutatásokhoz kapcsolódva alkalmaztam azt Gábor-transzformáltak vizualizálása esetén is, melyet szintén egy poszter mutat be. Nemrég az ELTE Eötvös József Collegium Informatikai Műhelyének 0 éves jubileuma alkalmából is összefoglaltuk kutatómunkánkat [43]..4. Az értekezés felépítése A következő bekezdésekben ismertetjük a disszertáció szerkezetét, röviden bemutatjuk az egyes fejezetek tartalmát. A 2. fejezetben megadjuk a tárgyalt komplex racionális függvények és függvényrendszerek definícióját, bemutatjuk azok alapvető tulajdonságait, a kapcsolódó tételeket, eredményeket, további konstrukciókat. Így szóba kerülnek a Blaschke-függvények, Blaschke-szorzatok, szorzatrendszerek, egyszerű racionális függvények, Malmquist Takenaka-rendszerek. A 3. fejezetben áttekintjük Blaschke-függvények és -szorzatok argumentumfüggvényéhez és az ezek segítségével megadható nem egyenletes felosztásokhoz kapcsolódó ismereteket. Ismertetjük algoritmusunkat a felosztás osztópontjainak gyorsabb kiszámítására, megadjuk az FFT racionális szorzatrendszereken alkalmazható változatát, valamint újabb ortogonális rendszereket konstruálunk Malmquist Takenaka-rendszerek Dirichlet-féle magfüggvényének szeletei által. A 2. és 3. fejezetet (és a függelék kapcsolódó részeit) igyekeztünk úgy elkészíteni, hogy azokat a tárgyalt témakörökkel ismerkedők is haszonnal forgathassák. A következő, 4. fejezet célja, hogy a Blaschke-szorzatok kompozíciójával, illetve reciprok Blaschke-függvényekkel kapcsolatban kidolgozott eredménye-

14 2. Bevezetés inket összefoglalja. Egy függvénykompozíció zérushelyeiből kívánunk a komponált függvények zérushelyeire következtetni, tehát egy inverz probléma megoldásáról van szó. A Nelder Mead-féle optimalizációs algoritmussal kapcsolatos munkánkat az 5. fejezet tárgyalja. Az algoritmus bemutatása után sor kerül a Blaschkefüggvények hiperbolikus geometriai vonatkozásainak áttekintésére, végül az algoritmus hiperbolikus változatának megadására. Tárgyaljuk az euklideszi esetről átültethető tételeket is. A 6. fejezetben az alkalmazási lehetőségeket vizsgáljuk meg EKG görbék esetén. Ismertetjük EKG jelek alapvető tulajdonságait, a kapcsolódó jelfeldolgozási problémákat, megoldási lehetőségeket. Bemutatjuk racionális függvényrendszerek alkalmazási lehetőségeit, a Nelder Mead-módszer működését ezen feladat esetében, kifejtjük releváns tapasztalatainkat, mérési eredményeinket, példáinkat. Az utolsó, 7. fejezetben összefoglaljuk az elmondottakat. Az A. függelék néhány számítást, bizonyítást tartalmaz a dolgozatban felvonultatott matematikai állításokat alátámasztandó. A B. függelékben pedig jó pár Matlab programunk alkalmazására adunk példát néhány egyszerűbb feladat megoldásán keresztül.

15 2. fejezet Racionális függvények és függvényrendszerek Ebben a fejezetben bemutatjuk a kutatómunka matematikai alapjait képező komplex racionális függvényeket, függvényrendszereket, valamint a kapcsolódó alapvető tételeket, eredményeket. Szóba kerülnek a Blaschke-függvények, Blaschke-szorzatok, elemi komplex racionális függvények, Malmquist Takenaka-rendszerek. Szorzatrendszerek képzését is áttekintjük. A későbbi fejezetekben mindvégig felhasználjuk az itt ismertetésre kerülő függvényeket, jelöléseket. Jelölje N := {, 2, 3,... } a természetes számok halmazát, valamint legyen N 0 := { 0 } N. Az egész, a valós és komplex számok halmazát a szokásos módon jelölje rendre Z, R és C. Legyen továbbá D := { z C : z < } a nyílt komplex egységkörlemez, avagy diszk, T := { z C : z = } a komplex egységkör, avagy tórusz, valamint D := C \ (D T), a komplex számsík zárt egységkörlemezen kívüli tartománya. A 2.. ábra szemlélteti ez utóbbi számhalmazokat. Az imaginárius egységet i jelöli, valamely z C valós, illetve képzetes részét pedig Re z, illetve Im z. A tárgyalandó függvények a diszk algebra elemei, amely a D T-n folytonos, valamint D-n differenciálható C C típusú függvények halmaza, jelölje A. Jelfeldolgozás szempontjából az A-beli függvényeknek a T-n felvett értékeit vizsgáljuk mint folytonos, 2π szerint periodikus R C függvényeket, illetve gyakran elkülönítjük a függvényértékek valós és képzetes részét is. A [0, 2π) intervallum és T között a t e it hozzárendelés létesít bijekciót. 3

16 4 2. Racionális függvények és függvényrendszerek Im T i a a D Re D 2.. ábra. A komplex számsík és részei. Vezessük be továbbá a.,. : A A C, f, g = 2π 2π 0 f(e it ) g(e it ) dt = T f(z) g(z) dz skaláris szorzatot, melyben tehát a T-n vett szorzatintegrált számítjuk. 2.. Blaschke-függvények Legyenek a D, valamint ε T paraméterek, és vezessük be a Blaschkeféle A-beli függvényeket az alábbi hozzárendelési szabállyal: B a,ε (z) := ε z a az. Egyes témakörökben a fent definiált kétparaméteres függvényosztály helyett kielégítő az egyparaméteres Blaschke-függvények tárgyalása is. Ekkor a ε paramétert -nek tekintjük, és egyszerűen a B a jelölést alkalmazzuk. Két paraméter esetén pedig szokásos a B a rövidített jelölés is, ahol a = (a, ε) D T. A Blaschke-függvények sok szempontból igen szép tulajdonságokkal rendelkeznek. Vegyük sorra előbb legalapvetőbb jellemzőiket: Az a = 0 értéket választva B a (z) = z, tehát az identikus leképezést kapjuk vissza. Illetve B a,ε (z) = ε z, ami egy origó körüli elforgatásnak felel meg. A B a,ε függvény zérushelye z = a. (Tehát ε-tól független.)

17 2.. Blaschke-függvények 5 A B a,ε függvénynek elsőrendű pólusa van a z = /a helyen, ami az a paraméternek az egységkörre való inverzió által létesített képe. (Tehát szintén nem függ az ε paramétertől.) Ezeket a helyeket a komplex számsíkon szintén szemlélteti a 2.. ábra. Így látható, hogy B a,ε egyetlen pólusa D -ban van, tehát valóban A-beli függvényekről van szó. Később amennyiben nem ad okot félreértésre alkalmanként a függvények paraméterére magára is inverzpólus -ként, vagy még rövidebben pólus - ként hivatkozunk. A Blaschke-függvények invertálhatók, inverzük szintén Blaschkefüggvény. Méghozzá B a = B a, illetve B a,ε = B εa,ε. Egy Blaschke-függvény egyaránt D D, valamint T T bijekció. Két Blaschke-függvény kompozíciója is Blaschke-függvény, mégpedig B a2,ε 2 B a,ε = B a2,ε 2 (B a,ε (.)) = B a,ε, ahol a kompozíció paramétereit az a = B ε a,ε (a 2 ) és ε = B a a 2,ε 2 (ε ) formulák adják meg. Sajnos két egyparaméteres Blaschke-függvény kompozíciója nem egyparaméteres Blaschke-függvény: egy (nem -gyel egyenlő) szorzót kapunk. Az invertálhatóság és a komponálhatóság alapján kijelenthetjük, hogy a Blaschke-függvények csoportot alkotnak a függvénykompozíció műveletére nézve. Ezt a csoportot Blaschke-csoportnak hívjuk. Az egységelem természetesen B 0,, az identikus leképezés. Ezek a tulajdonságok viszonylag könnyen levezethetők a definícióból, azonban a teljesség kedvéért az A.. függelékben mi is ismertetjük e számításokat. A 2.2. ábrán 4 példát láthatunk Blaschke-függvényekre, különböző paraméterek mellett. Egy-egy Blaschke-függvényről két ábrát mutatunk. A felső képek a D-n felvett értékeket szemléltetik; méghozzá a komplex függvényértékek abszolút értékét kvázi-koncentrikus szintvonalak (körök), argumentumát pedig különféle árnyalatú, a szintén jelölt zérushelyből induló vonalak mutatják. Az alsó képek pedig a T-n felvett értékeket szemléltetik; méghozzá a tóruszt a [0, 2π) intervallumnak megfeleltetve, pirossal a komplex függvényértékek valós részét, kékkel pedig a képzetes részét. A képek [40] programcsomagjának Feltűnhet, hogy a Blaschke-függvények segítenek abban is, hogy velük kapcsolatos különféle konstrukciók paramétereit megadjuk. Ennek egy még meglepőbb megnyilvánulását ismertetjük majd a 4. fejezetben.

18 6 2. Racionális függvények és függvényrendszerek (a) a = 0, ε = (b) a = 3 4, ε = (c) a = i, ε =. (d) a = i, ε = i ábra. Példák Blaschke-függvényekre. plotd, illetve plott parancsai segítségével készültek. 2 Megfigyelhetjük, hogy az a paraméter tényleg a zérushelyet adja, az ε paraméter pedig a függvényértékek egyfajta elforgatását jelenti. Az a = 0 választás mellett az identikus leképezést kapjuk vissza, az egységkörön pedig ennek megfelelően a szinusz és koszinusz függvények jelennek meg. 3 Ha viszont a paramétert elmozdítjuk az origóból, és egyre közelebb visszük az egységkör valamely pontjához, akkor azon a részen az argumentumok gyorsabb, a túlsó oldalon pedig lassabb változását figyelhetjük meg: az említett trigonometrikus függvények egyfajta transzformált változatait, általánosításait kapjuk. A Blaschke-függvények nélkülözhetetlen szerepet játszanak a további szakaszokban bevezetésre kerülő rendszerekben. Kiderült továbbá az is, hogy a 2 A plotd rutin a Matlab rendszer contour parancsának kétszeri alkalmazásával dolgozik. A módszer egy apró szépséghibája a 2π és 0 fázisok közötti nem létező ugrás megjelenése. 3 Az Euler-féle összefüggés alapján ugyanis: exp it = cos t + i sin t.

19 2.2. Blaschke-szorzatok 7 Blaschke-függvények segítségével felírható a Bolyai Lobacsevszkij-féle hiperbolikus geometriai Poincaré-féle körmodelljének (avagy D-nek) minden iránytartó egybevágósági transzformációja. Egyúttal hiperbolikus metrika is megadható felhasználásukkal, sőt lényegében ezek az egyetlen ilyen racionális komplex függvények. Ezekre az 5. fejezetben még kitérünk. A Blaschke-függvények az M(z) = az+b (ad bc) alakú Möbius-féle leképezéseknek egy részhalmazát cz+d jelentik és speciális 2 2-es mátrixosztályokkal is azonosíthatók Blaschke-szorzatok Egy Blaschke-szorzat nem más, mint néhány (véges számú) Blaschkefüggvény szorzata, azaz adott n N 0 és a,..., a n D paraméterek esetén n A a,...,a n (z) := B ak (z) k= (z C). Felmerülhet, hogy az egyparaméteres Blaschke-függvények helyett kétparaméteres Blaschke-függvények szorzatát tekintsük. Bizonyos körülmények között szükség is van erre, azonban könnyű látni, hogy a produktumban egyszerűen az ε,..., ε n T tényezők szorzata jelenne meg, ami szintén T-beli. Ekkor a Blaschke-függvények esetében ismertetettekkel analóg jelöléseket alkalmazhatunk. Egy n-tényezős, avagy n-edrendű Blaschke-szorzat alapvető tulajdonságai a következők: Az üres szorzatot természetesen a konstans függvénynek tekintjük. Az a k = 0 (k =,..., n) választással a z n hatványfüggvényeket kapjuk vissza. Az A := A a,...,a n függvény zérushelyei az a,..., a n D pontok, vagyis multiplicitással számolva n zérushelye van. Ha valamely paraméterérték ismétlődik, akkor többszörös zérushelyről van szó. Az A függvény (elsőrendű) pólusai az /a,..., /a n D pontok. Ha valamely paraméterérték megint csak ismétlődik, akkor magasabb rendű pólusról van szó. Így A A. (Persze, ha valamely a k = 0, akkor nincs neki megfelelő pólus a komplex számsíkon.)

20 8 2. Racionális függvények és függvényrendszerek A Blaschke-szorzatok nem invertálható függvények. (Kivéve, ha n =.) Adott w T esetén az A(z) = w egyenletnek mindig n különböző T- beli gyöke van. Ezen állítás az argumentum-függvénnyel áll szoros összefüggésben, a 3. fejezetben visszatérünk rá. Ezért szokás egy n-edrendű Blaschke-szorzatot n-rétű (kétrétű, háromrétű, négyrétű stb.) leképezésnek is nevezni. Ha z D, akkor A(z) D; és megfordítva is: ha A(z) D, akkor z D. Ugyanez D helyett T-vel is elmondható. Nyilvánvalóan Blaschke-szorzatok szorzata ismét egy Blaschke-szorzat, méghozzá egy n-edrendű és egy m-edrendű Blaschke-szorzat szorzata egy n + m tényezős Blaschke-szorzat. Blaschke-szorzatok kompozíciója ismét egy Blaschke-szorzat, méghozzá egy n-edrendű és egy m-edrendű Blaschke-szorzat kompozíciója egy n m tényezős Blaschke-szorzat. Az iménti két állítás alapján kijelenthetjük, hogy a véges Blaschkeszorzatok halmaza zárt a szorzás és a kompozíció műveleteire nézve. A fenti tulajdonságok közül még a kompozícióval kapcsolatban szükséges egy rövid levezetés, ezt az A.2. függelékben közöljük. A 2.3. ábrán 4 példát láthatunk Blaschke-szorzatokra különböző paraméterek mellett, a 2.2. ábrával egyező módszerrel. Megfigyelhetjük, hogy az a = a 2 = 0 választás mellett a z 2 függvényt kapjuk vissza, illetve ennek megfelelően a trigonometrikus függvények dilatáltjait. A többszörös gyökök esetére is látunk 2 példát. Továbbá az argumentumok gyorsabb és lassabb változása is a Blaschke-függvények esetében elmondottakkal analóg. További, speciális alakú Blaschke-szorzatokat tárgyalunk a 2.5. részben, illetve láthatunk a 2.6. ábrán a 26. oldalon, valamint a 4. fejezetben (lásd a 4.. ábrát az 52. oldalon). Approximációelméleti szempontból Blaschke-szorzatok legfontosabb tulajdonsága, hogy az a, a 2,... D paramétersorozat mellett a B a, B a2,... függvények kumulatív szorzatai azaz a ( n k= B ak : n N) függvények teljes rendszert alkotnak az egységkörön definiált Hilbert-térben akkor és csak akkor, ha + k= ( a k ) = +.

21 2.3. Elemi racionális függvények (a) a = a 2 = (b) a = 2, a 2 = (c) a = a 2 = 2 i (d) a,2,3 = 3 5, 4 5 i, i 2.3. ábra. Példák Blaschke-szorzatokra. A fenti összefüggést Blaschke-féle feltételnek is nevezik. Speciálisan például a konstans nulla sorozat választása által adódó trigonometrikus rendszer is teljes rendszer. A fenti tétel bizonyítását nem közöljük, pusztán utalunk a [45] könyvre. Viszont jelfeldolgozás szempontjából igen biztató az állítás: ennek alapján is remélhetjük, hogy Blaschke-szorzatok segítségével jó közelítését kaphatjuk különféle többek közt akár EKG jeleknek Elemi racionális függvények Legyenek újfent a n D (n =,..., m) paraméterek, m N, valamint m n = i n χ(a i = a n ) pedig az a n paraméter multiplicitása, azaz, hogy hányszor fordult elő eddig az adott paraméterérték. Tekintsük a következő egysze-

22 20 2. Racionális függvények és függvényrendszerek (a) Lineárisan független rendszer a 2 5 i, 2 5 i, 4 5 i, 4 5 i, 4 5 i paraméterekkel (b) Malmquist Takenaka rendszer, melyet a bal oldali rendszerből képeztünk ábra. Példák racionális függvényrendszerekre. rű avagy elemi komplex racionális függvényekből álló rendszert: ϕ n (z) := ( a n z) mn (z C; m N; n =,..., m). Megfigyelhetjük, hogy ϕ n -nek m n -edrendű pólusa van az /a n D helyen, Φ := (ϕ n : n =,..., m) A, továbbá Φ egy lineárisan független rendszer. Például az a, a, b, b D paraméterekkel a következő függvényeket nyerjük: ϕ (z) = az, ϕ 2(z) = ( az) 2, ϕ 3(z) = bz, ϕ 4(z) = ( bz) 2. Hangfeldolgozási terminológiával élve nevezhetjük alaphangoknak az elsőrendű pólussal (a nevezőben -es kitevővel) rendelkező függvényeket, valamint felhangoknak, avagy felharmonikusoknak a magasabb rendű pólussal

23 2.3. Elemi racionális függvények (a) a = ( 2 3 eiπ), c = () (b) a = ( 2 e 2 iπ, 2 e 3 2 iπ ), c = (, 2) (c) a = ( 4 eiπ, 3 4 e 3 iπ ), c = (, i) ( 7 (d) a = 0 e 2 3 iπ, 9 c = ( +i 4, 3 4, ) eiπ, 6 ) 0 e 3 2 iπ, 2.5. ábra. Példák racionális függvényekre. (a nevezőben -nél nagyobb kitevővel) bíróakat. A komplex függvénytanban alkalmazott fogalmakkal élve a Cauchy-formulára utalva pedig nevezhetjük ezeket az egyszerű racionális függvényeket Cauchy-magoknak is. A 2.4(a). ábrán egy példát láthatunk egy a, a, b, b, b D alakú paraméterekkel adott fenti alakú lineárisan független függvényrendszerre, méghozzá a = 2i, b = 4 i. A függvényrendszer elemeinek az egységkörön felvett komplex 5 5 függvényértékeit szemléltettük. 4 Látható, hogy a paraméter argumentumának megfelelő helyen a valós részben egy lokális maximum ( hupli ) jelentkezik. Ha a paraméter kisebb abszolút értékű, akkor lankásabb, ha a paraméter - hez közelítő abszolút értékű, akkor markánsabb, csúcsosabb jellegű folytonos függvényeket láthatunk. Megfigyelhetjük a paraméterek ismétlődésének hatását, valamint azt is, hogy a valós részek páros, a képzetes részek páratlan függvények tulajdonságait tükrözik. Később a feldolgozandó jeleket ilyen függvények komplex együtthatós lineáris kombinációjának alakjában keressük, azaz f = m n= c n ϕ n alakban, ahol c,..., c m C. A 2.5. ábrán bemutatunk néhány ilyen összetettebb komplex racionális függvényt: egy-, két- és háromtagú lineáris kombinációkat. A paraméterek megadásához a tömörebb a = (a,..., a m ), c = (c,..., c m ) jelölést 4 Ezeket a függvényeket nem különösebben tanulságos az egységkörlemezen is ábrázolni.

24 22 2. Racionális függvények és függvényrendszerek használtuk. Ezzel a módszerrel igen változatos görbéket nyerhetünk, ennélfogva ezek a rendszerek hasznosnak bizonyultak több jelfeldolgozási probléma kezelésében. Vegyük észre, hogy a 2.5(d). ábrán a valós rész például már egy EKG-szegmenshez igencsak hasonlít mindenféle optimalizáció nélkül is. Kiderül, hogy 3 4 paraméter, illetve a hozzájuk tartozó együtthatók megfelelő megválasztásával már igen jó közelítését kaphatjuk EKG görbék szegmenseinek, alkalmazott módszereinket és eredményeinket a 6. fejezet foglalja össze. Mindenesetre kérdés, hogy hogyan keressük meg a megfelelő paramétereket és hogyan határozzuk meg az ismeretlen együtthatókat. A paraméterek keresésére az 5. fejezetben visszatérünk, viszont adott paraméterek mellett az ismeretlen együtthatók meghatározására alapvetően háromféle analitikus megközelítés kínálkozik: Az elkészített rendszer elemeiből képzett lineáris kombinációk együtthatóira voltaképpen a Hilbert-terekben megszokott módszerrel felírhatunk egy lineáris egyenletrendszert, amelynek megoldásaként adódnak az együtthatók. Ehhez azonban a rendszer Gram-mátrixának meghatározása is szükséges, azaz ki kell számolnunk a ϕ i, ϕ j skaláris szorzatokat minden i, j =,..., m értékre. Ezt a paraméterek optimalizációjának minden lépésében megtenni igen hosszadalmasnak tűnik. A lineárisan független Φ rendszerhez konstruálhatunk biortogonális rendszert, amely elemeinek a feldolgozni kívánt függvénnyel vett skaláris szorzatai rögtön a kívánt együtthatókat adják. Ezen konstrukció leírását [8] adja meg, sőt a [29, 30] programcsomagunk is tartalmazza ennek implementációját. Ebben a dolgozatban viszont nem térünk ki részletesebben erre a megoldásra. Az eredeti rendszerből kiindulva ortogonális rendszert is szerkeszthetünk, amely racionális függvényeknek ugyanazon alterét feszíti ki. Ekkor az ortogonális rendszer szerinti együtthatókat egyszerűen az e rendszer szerinti Fourier-együtthatók (skaláris szorzatok) adják. Ennek hátránya, hogy ha az eredeti rendszer szerinti együtthatókra vagyunk kíváncsiak, akkor egy újabb transzformáció szükséges. Viszont ezek az ortogonális rendszerek a Malmquist Takenaka-rendszerek 5 már jól ismertek, több gya- 5 Néha előfordul a fordított sorrendű Takenaka Malmquist-rendszerek elnevezés is.

25 2.4. Malmquist Takenaka-rendszerek 23 korlati alkalmazásban is beváltak, mi is ezt a megközelítést alkalmaztuk, így a továbbiakban ezt fogjuk tárgyalni Malmquist Takenaka-rendszerek Az előző fejezetben bevezetett, valamely m N és a,..., a m D paraméterekkel adott Φ = (ϕ n : n =,..., m) lineárisan független rendszerből kiindulva, a Gram Schmidt-féle ortogonalizációs eljárást alkalmazva egy Ψ := (ψ n : n =,..., m) ortonormált rendszert kapunk az A-n definiált skaláris szorzatra nézve. Ezen rendszereket nevezzük Malmquist Takenakarendszereknek, első (egymástól független) megfogalmazóik után [46, 73]. Megállapíthatjuk, hogy a Φ és Ψ rendszerek által kifeszített m-dimenziós alterek megegyeznek, azaz span Φ = span Ψ. A ψ n függvények értékeinek kiszámítását az teszi kényelmessé összevetve az ortogonalizációs eljárás tényleges végrehajtásával, hogy ezek a függvények kifejezhetők a Blaschke-függvények, illetve Blaschke-szorzatok segítségével, méghozzá ψ n (z) = a n 2 a n z n k= B ak (z) (z C; n =,..., m). Elsőre talán nem látszik, hogy az ortogonalizációs eljárás során kapott függvények (hiszen itt lineáris kombinációkat nyerünk) felírhatók a fenti szorzat alakjában is, ezért ezt az A.3. függelékben megindokoljuk. A 2.4(b). ábrán (a 20. oldalon) egy példát láthatunk Malmquist Takenakarendszerre, méghozzá ugyanazokkal a paraméterekkel, amelyekkel a 2.4(a). ábra lineárisan független rendszerét megadtuk, így egymás mellett jól összevethetők. Látszik például, hogy a rendszer egy-egy újabb elemében dominál az újonnan hozzávett tag, viszont szerepet játszik megadásában az összes azt megelőző is. Bár ezeket nem ábrázoltuk, a Blaschke-szorzatok szerepét mégis az mutatja, hogy a trigonometrikus rendszerhez hasonlóan egyre több előjelváltást, vagyis hullámzást láthatunk. A rendszer ortogonalitása persze nem olvasható le közvetlenül az ábrákról, viszont az egyes görbék jellege valamelyest érezteti azt. A Malmquist Takenaka-rendszer ortonormáltságát kihasználva valamely

26 24 2. Racionális függvények és függvényrendszerek adott f A függvény P Ψ f = P a,...,a m f ortogonális projekcióját a span Ψ altérre kiszámíthatjuk a következő formula alapján: m P Ψ f = f, ψ n ψ n, n= tehát az ismeretlen együtthatókat az f, ψ n skaláris szorzatok adják. Azaz a skaláris szorzat definíciója miatt lényegében elegendő f értékeit az egységkörön ismerni. Ha már ismerjük egy függvény esetében a Malmquist Takenaka-rendszer szerinti sorfejtés együtthatóit, viszont az eredeti lineárisan független rendszerben történő előállítás együtthatóira vagyunk kíváncsiak, akkor az áttérést egyetlen mátrixszorzás (illetve invertálás) segítségével megoldhatjuk, ennek részleteit az A.4. függelékben ismertetjük. Megemlítendő két speciális esete a szóban forgó rendszereknek, amelyek jelentőségüket egyre szélesebb körű eredményes mérnöki alkalmazásuknak köszönhetik [5]. Mindkét speciális esetet a kezdeti paraméterek megválasztása definiálja. A diszkrét Laguerre-rendszert úgy kapjuk, ha valamely a D esetén az a, a, a, a,... paramétersorozatból indulunk ki. (Az elnevezést a hagyományos Laguerre-rendszerrel való kapcsolat indokolja, amelyet a Fouriertranszformáció által fedezhetünk fel.) A Kautz-rendszert pedig úgy nyerjük, ha szintén valamely a D esetén az a, a, a, a,... paramétersorozatból indulunk Szorzatrendszerek Blaschke-szorzatok segítségével is megadhatunk szorzatrendszereket, viszont szorzatrendszerek nem csak a komplex racionális függvények körében merülnek fel. Sőt ezen általános konstrukció talán legismertebb példája a Rademacher-rendszer szorzatrendszereként adódó Walsh-, illetve Walsh Paleyrendszer, továbbá a trigonometrikus rendszer is felfogható szorzatrendszerként. Megmutatható, hogy bizonyos feltételek mellett ilyen rendszerek szerinti Fourier-együtthatók számolhatók az FFT-hez hasonló gyors algoritmussal, ami jelfeldolgozás szempontjából igen előnyös [40, 62, 66]. Most röviden összefoglaljuk, hogyan adható meg racionális függvények felhasználásával megfelelő szorzatrendszer. Ezúttal pusztán diadikus rendszerekre szorítkozunk.

27 2.5. Szorzatrendszerek 25 Szorzatrendszerek definiálásához rögzítsük valamely n N esetén a Φ k := {, ϕ k } (0 k < n) kételemű függvényrendszereket. Ismeretes, hogy a természetes számok felírhatók kettes számrendszerbeli alakban, vagyis minden 0 m < 2 n egyértelműen felírható a következőképpen: m = n k=0 m k 2 k (m k { 0, }). Így minden 0 m < 2 n esetén képezhetjük a ψ m := n k=0 szorzatot, ahol ϕ 0 k = és ϕ k = ϕ k. Ekkor a Ψ := { ψ m : 0 m < 2 n } rendszert ϕ m k k a Φ k (0 k < n) rendszerek szorzatrendszerének nevezzük. Megjegyezzük, hogy ha a Φ k rendszerek úgynevezett adaptív feltételesen ortonormált rendszerek, akkor a Ψ rendszer ortonormált, és gyors algoritmusok adhatók. Az FFT algoritmusok feltételeznek egy diszkrét adatsort, így ezeket a következő fejezetben, a 3.4. részben tárgyaljuk. Speciális alakú kéttényezős Blaschke-szorzatokat fogunk alkalmazni a ϕ k függvények (a szorzatrendszer generátorainak) megadásához azért, hogy a fent említett feltétel teljesüljön. Nevezetesen A k := B ak B ak (a k D, k n), továbbá A 0 := B a0 (a 0 D). Ezekkel az A k (0 k n) függvényekkel ϕ 0 := A 0, ϕ k := A k A k A A 0 = A k ϕ k (0 < k n). Ezután a fent ismertetett módon képezhetjük az e függvények által generált

28 26 2. Racionális függvények és függvényrendszerek (a) ψ = ϕ 0 (b) ψ 2 = ϕ (c) ψ 3 = ϕ ϕ 0 (d) ψ 4 = ϕ 2 (e) ψ 5 = ϕ 2 ϕ 0 (f) ψ 6 = ϕ 2 ϕ (g) ψ 7 = ϕ 2 ϕ ϕ ábra. Egy racionális szorzatrendszer. szorzatrendszert. Kihasználva, hogy Blaschke-szorzatok kompozíciója ismét egy Blaschkeszorzat (esetleg egy egységnyi szorzóval), a következő egyszerű megállapításokat tehetjük: ϕ 0 egy Blaschke-függvény, ϕ k egy 2 k -tényezős Blaschke-szorzat ( k n), ψ 0 a konstans függvény, ψ m egy m-tényezős Blaschke-szorzat ( m < 2 n ). Feltűnhet, hogy A n nem jut szerephez a Ψ szorzatrendszer megadásában. Valóban, A n csak a ϕ n függvényben jelenik meg, ami egy 2 n tényezős Blaschkeszorzat, a ψ m függvényeket pedig csak a 0 m < 2 n értékekre definiáltuk. Másrészt viszont ϕ n nélkülözhetetlen a diszkretizáció pontjainak megadásában. A 2.6. ábrán láthatunk egy példát racionális szorzatrendszerre. Ezeken a képeken tehát Blaschke-szorzatokat látunk, egytényezőstől héttényezősig. Itt az a 0 = 3 i, továbbá a 0 = a 2 = a 3 = 2 i választással éltünk. Megfigyelhető, 0 0 hogy a ϕ 0, ϕ, ϕ 2 egy-, kettő- és négytényezős Blaschke-szorzatokból hogyan állnak elő a Ψ rendszer elemei (ψ 0 kivételével).

29 2.6. Kiegészítés Kiegészítés Ebben a szakaszban egyrészt az ismertetett függvényeket és rendszereket érintő saját munkáinkat említjük meg, másrészt utalunk olyan kutatási eredményekre, amelyek később már nem kerülnek tárgyalásra, viszont szorosan kapcsolódnak az ebben a fejezetben bemutatott témakörökhöz. Kapcsolódó eredmények Saját munkáink közül itt azt emeljük ki, hogy a szóban forgó függvények és rendszerek megvalósítása, szemléltetése és alkalmazása a Matlab rendszerben szabadon letölthető RAIT: Rational Approximation and Interpolation Toolbox [29, 30] eszköztárunk, valamint FFTRatSys [40] gyűjteményünk programjainak segítségével most már könnyedén kivitelezhető mások által is. 6 Például egy Blaschke-függvény ábrázolása az egységkörlemezen miután a Matlab keresési útvonalában elérhetővé tettük a programokat megoldható a következő néhány parancs segítségével (ezek akár össze is vonhatók). >> b = blaschke(0.5); >> plotd(b) A B.. függelékben bemutatunk néhány további egyszerű példát a programok alkalmazására, elsősorban a fejezet ábráihoz hasonló képek elegáns elkészítésén keresztül. További hivatkozások Kapcsolódó kutatások közül megemlítenénk néhányat, amelyek a jelen fejezetben ismertetett függvényekhez és rendszerekhez kapcsolódnak; olyanokat, amelyek kisebb-nagyobb mértékben befolyásolták, avagy motiválták saját kutatásainkat. Megismerve, hogy a Fourier-, a wavelet- illetve Gábor-transzformációk általánosíthatók úgy mint bizonyos csoportok unitér reprezentációi feletti úgynevezett voice-transzformációk, foglalkozhatunk a 2.. szakaszban bemutatott 6 A társszerzőnkkel együtt készített és publikált eszköztárról megjegyezzük, hogy (többek között) az ebben a fejezetben ismertetett rendszerek megvalósítását már tartalmazta, kollégánk pedig kiegészítette különféle interpolációs, valamint biortogonális rendszerekhez kapcsolódó számításokkal, illetve grafikus felületű szemléltető eszközökkel. Együttműködésünk által nyerte el a programcsomag a publikált alakját.

30 28 2. Racionális függvények és függvényrendszerek Blaschke-csoport által adott ilyen típusú transzformációkkal is [54, 55, 56]. A waveletekkel (avagy hullámkákkal ) analóg konstrukciók is megadhatók e racionális rendszerek körében [58, 67]. Az irányításelméletben, többek között különféle rendszerek identifikációja céljából szintén sikerrel alkalmaznak racionális függvényrendszereket [5, 8], kiderült például az is, hogy bizonyos paraméterek felismerhetők valamely diszkrét Laguerre-rendszer szerinti együtthatók hányadossorozatai konvergenciájának vizsgálata által [63]. E módszer bizonyos mátrixok sajátértékeinek közelítésére is alkalmas [64]. Racionális rendszerek kifinomultabb analíziséhez definiálhatók komplex függvényeknek bizonyos terei, például olyanok, amelyek esetében a T tórusz képezi a vizsgálatok fókuszpontját. Így eljuthatunk az immár hagyományosnak nevezhető L p (T) terek mellett a H p, avagy H p (T) Hardy-terek vizsgálatához [35, 58]. Eddigi vizsgálataink lényegében a H és H 2 terek alkalmazásaira korlátozódnak (gondoljunk az alkalmazott skaláris szorzatra). Azonban amint nem pusztán az egységkörön, hanem az egységkör belsejében felvett függvényértékek is szerephez jutnak, a Bergman-terekre is szükségünk lehet. A D-n definiált skaláris szorzattal újra felmerül az ortogonalitás kérdése, valamint interpolációs és approximációs feladatok egyaránt [9, 20, 57, 59]. Az egységkörön kívül a hiperbolikus geometria más modelljeiben is megfogalmazhatók ezek a problémák, így például a félsíkon is értelmezhetők [4].

31 3. fejezet Diszkretizációs tulajdonságok vizsgálata Vegyük most szemügyre a 2. fejezetben bemutatott függvényekkel összefüggő diszkretizációs tulajdonságokat. Míg a hagyományos trigonometrikus rendszer esetében egy egyenletes felosztás mentén kapunk diszkrét ortogonális rendszert, addig a racionális esetben egy nem egyenletes felosztás osztópontjai bizonyulnak megfelelőnek. Az ilyen típusú felosztások Blaschke-függvények és -szorzatok úgynevezett argumentum-függvényének segítségével adhatók meg [36, 52, 70], ennek bemutatásával kezdjük ezt a fejezetet. Majd a [38] írásunkban megadott algoritmust ismertetjük az osztópontok gyorsabb kiszámítására. Kitérünk a gyors Fouriertranszformáció (FFT) itt alkalmazható módosított változatára is [40, 66], végül néhány újabb ortogonális rendszert is megadunk a Dirichlet-féle magfüggvény szeletei által [39]. Nem egyenletes felosztások különféle érdekes matematikai tulajdonságaik mellett [52] hasznosnak bizonyultak úgy a számítógépes grafikában (például NURBS görbék), mint mérnöki alkalmazásokban, különféle jelek reprezentációja, vagy akár tömörítése céljából [5, 7, 70] (többek között például Nyquist- és Bode-diagramok készítése esetén is). Általában: előnyösek lehetnek, ha olyan jeleket vizsgálunk, amelyek egyes régióiban gyors változásokat tapasztalunk és így részletesebb információra, sűrűbb mintavételre van szükségünk, míg máshol szinte konstans részeket tapasztalunk és így kevesebb részletre, ritkább mintavételre van szükségünk. Ilyenek például az EKG görbék is [36]. 29

32 30 3. Diszkretizációs tulajdonságok vizsgálata 3.. Az argumentum-függvény Blaschke-függvények argumentum-függvényének megadásához azon tulajdonságukból indulunk ki, hogy a B a,ε függvény egy T T bijekciót létesít. Ez lehetővé teszi, hogy megvizsgáljuk az összefüggést egy z T értéknek, valamint ennek B a,ε (z) T képének szöge (argumentuma) között. Ennélfogva tehát a B a,ε (a D, ε T) függvényhez megadhatunk olyan β a,ε : R R függvényt, amelyre B a,ε (e it ) = e iβa,ε(t). Méghozzá legyen β a,ε : [ π, π) R, β a,ε (t) := arg B a,ε (e it ). A 2π szerint periodikus argumentum értékét megválaszthatjuk úgy, hogy β a,ε folytonos legyen a [ π, π) intervallumon. Sőt folytonosan kiterjeszthetjük az egész valós számegyenesre azáltal, hogy megköveteljük a β a,ε : R R, β a,ε (t + 2π) = β a,ε (t) + 2π összefüggést is. A β a,ε függvény fenti implicit megadása mellett hasznos, hogy kiderül, hogy megadható explicit alakban is. Méghozzá, az a = r e iα (r [0, ) R, α R) és ε = e iδ (δ [ π, π)) jelölésekkel β a,ε (t) = (δ + α) + 2 arctg ( + r r tg t α ). 2 Belátható továbbá az is, hogy β a,ε szigorúan monoton növekvő, valamint invertálható. A monotonitás az első derivált pozitív voltából következik, valamint az inverz is kisebb erőfeszítéssel kiszámolható, mindezek bizonyítását lásd az A.5. függelékben. Megjegyezzük, hogy ebben a témakörben ε T értékének nincsen különösebb szerepe. Viszont ez az ε = e iδ paraméter megválasztható úgy, hogy β a,ε a [ π, π) intervallumot önmagára képezze. Ezért a továbbiakban ε-t elhagyhatjuk, egyszerűen β a -t írunk és ekkor úgy vesszük, hogy ε megválasztása olyan, hogy eme hasznos tulajdonság teljesül. Blaschke-szorzatok argumentum-függvényét pedig a következőképpen defi-

33 3.. Az argumentum-függvény (a) a = 2/ (b) a = 2/3 i (c) a = / (d) a = /3 i (e) a = (f) a = 4/5 i, a 2 = /2 i 3.. ábra. Blaschke-függvények értékei az egységkörön, ezúttal a [ π, π) intervallumon szemléltetve. niálhatjuk: β a,...,a m (t) := m m arg B ak (e it ) = k= m m β ak (t), k= ahol m N és a k D (k =,..., m). Ez a definíció kihasználja, hogy két komplex szám szorzatának argumentuma megegyezik a számok argumentumának összegével. Az /m szorzót azért alkalmazzuk, hogy most is bijekciót nyerjünk a [ π, π) intervallumon. A β a,...,a m függvény szintén folytonos, deriválható, szigorúan monoton növekedő, ezért invertálható, viszont az inverzének nem ismert explicit alakja. A 3.. ábrán ismét láthatunk 5 példát Blaschke-függvényre és példát Blaschke-szorzatra különböző paraméterek mellett, ε = rögzített. Ezeken keresztül fogjuk bemutatni az argumentum-függvényeket és a kapcsolódó nem egyenletes felosztásokat. A 2.2. és 2.3. ábrákhoz képest az eltérés az, hogy a [0, 2π) helyett a [ π, π) intervallumot használtuk az ábrázolásra: ebben a témakörben ez bizonyult kényelmesebbnek. Ugyanezen függvények, ugyanezen paraméterek mellett a 3.2. ábra a meg-

34 32 3. Diszkretizációs tulajdonságok vizsgálata (a) a = 2/ (b) a = 2/3 i (c) a = / (d) a = /3 i (e) a = (f) a = 4/5 i, a 2 = /2 i 3.2. ábra. Argumentum-függvények és nem egyenletes felosztások. felelő argumentum-függvényeket szemlélteti. Képzeletben egymás mellé téve őket megfigyelhetjük az összefüggést Blaschke-függvények (és egy -szorzat) értékei változásának sebessége és a megfelelő argumentum-függvény meredeksége között. Mindez persze szoros kapcsolatban van az argumentum-függvények deriváltjával. A fentiekkel analóg módon ezekre a 3.3. ábrán mutatunk példákat. A deriváltakról kiderül, hogy a Poisson-féle magfüggvénnyel (illetve ilyenek transzláltjainak lineáris kombinációival) esnek egybe Nem egyenletes felosztások A [ π, π) intervallumon egy nem egyenletes felosztást ugyanezen intervallum egy egyenletes felosztásának valamely argumentum-függvény által létesített inverz képe segítségével adunk meg. Méghozzá induljunk ki adott N N esetén az alábbi egyenközű pontokból: { T0 N := π + k 2π } N : k Z, 0 k < N [ π, π). Itt ε megválasztását módosítottuk a korábban elmondottak alapján.

35 3.2. Nem egyenletes felosztások (a) a = 2/ (b) a = 2/3 i (c) a = / (d) a = /3 i (e) a = (f) a = 4/5 i, a 2 = /2 i 3.3. ábra. Argumentum függvények deriváltjai: Poisson-féle magfüggvények. Ekkor, adott m N és a,..., a m D paraméterek mellett a T N a,...,a m := { β a,...,a m (t) : t T N 0 } [ π, π) halmaz elemei egy N pontból álló nem egyenletes felosztást (NEF-et) alkotnak a [ π, π) intervallumon. Az argumentum-függvény szigorú monotonitása miatt nyilvánvalóan N különböző pontról van szó. A 3.2. ábrán az argumentum-függvényekkel együtt egyúttal NEF-ekre is adunk példákat. Megfigyelhetjük az osztópontok elhelyezkedését a vízszintes tengelyen, valamint a paraméterek megválasztásának hatását N = 24 esetén. (Valójában persze 3.2(e) egy EF-et mutat.) A 3.4. ábrán a komplex egységkörön is elhelyeztük a szóban forgó diszkrét pontokat néhány paraméter mellett. A sűrűbb és ritkább részek elhelyezkedése összhangban áll az eddig elmondottakkal. Az origóból elmozdított paraméter úgymond magával vonzza a kezdeti egyenletes felosztás pontjait. Az elektrosztatikai egyensúllyal kapcsolatos vizsgálatokat [52] tárgyalja. Az ilyen NEF-ek egy hasznos tulajdonsága, hogy rögzített paraméterek mellett a felosztás egy t 0 [ π, π) pontját szabadon kijelölhetjük. Jól megválasztott ν [0, 2π N ) mellett, képezve a T N 0 + ν halmaz T N,ν a,...,a m inverz képét,

36 34 3. Diszkretizációs tulajdonságok vizsgálata (a) a = 0 (b) a = /3 (c) a = 2/3 (d) a = 4/5 i, a 2 = /2 i 3.4. ábra. Nem egyenletes felosztások osztópontjai az egységkörön. elérhetjük, hogy t 0 T N,ν a,...,a m teljesüljön. Méghozzá ν := β a,...,a m (t 0 ) k 0 2π N, ahol k 0 N 0 olyan, hogy ν [0, 2π N ) teljesüljön.2 A 2.2. szakaszban, Blaschke-szorzatok tulajdonságai között említettük, hogy adott w T esetén az A(z) = A a,...,a n (z) = w (a,..., a n D, n N) egyenletnek mindig n különböző T-beli gyöke van. Az argumentum-függvények, illetve NEF-ek segítségével ennek bizonyítását könnyedén vázolhatjuk. Egyrészt az A a,...,a n (z) = w egyenlet Blaschke-szorzatok definíciója alapján z-ben egy n-edfokú egyenlet, tehát legfeljebb n különböző gyöke van; persze mind T-beli. Másrészt viszont ha feltesszük, hogy már ismerjük valamely z = e it 0 gyököt, akkor a ν := β a,...,a n (t 0 ) k 0 2π n választással ahol k 0 N 0 megint csak olyan, hogy ν [0, 2π n,ν ) teljesüljön meggondolható, hogy a T n a,...,a n halmaz n különböző eleme mind gyök, ahogy azt [66] részletesebben is kifejti. Amellett, hogy az ilyen NEF-ek használata elengedhetetlen a racionális rendszerek vizsgálatában (diszkrét ortogonalitás, gyors algoritmusok konstrukciója), jelfeldolgozás szempontjából is hasznosak lehetnek. Példaként vizsgáljuk meg felhasználási lehetőségüket egy EKG-szegmens esetében, amelyet egy [ π, π) intervallumon értelmezett függvényként fogunk fel. A feldolgozás vázlatosan a következő lépésekből állhat: Előbb a jelhez illeszkedő paramétereket kell keresnünk, azaz meg kell adnunk m, a,..., a m és ν értékét. Majd el kell készítenünk a fenti paraméterekkel adott NEF-et. (Ezt a két lépést esetleg iterálni kell: az elkészített NEF kiértékelése alapján javíthatunk a paramétereken.) 2 Érdekes megvizsgálni a NEF alakulását, miközben ν lehetséges értékeit folyamatosan változtatjuk.

37 3.3. Az osztópontok gyorsabb kiszámítása 35 Vizsgáljuk, illetve tároljuk a jel értékeit a NEF pontjaiban. (Az eredeti jel visszaállításához az osztópontok között interpoláció alkalmazandó ez akár racionális függvények segítségével is megoldható.) Megjegyezzük, hogy az osztópontokat nem is szükséges tárolni, csupán az őket megadó paramétereket. Ez tömörítés szempontjából szintén előnyös. EKG görbék esetén a szabadon kijelölhető pontnak érdemes az úgynevezett R-hullám (az általában legmagasabb hullám) csúcsát választani, hiszen ennek diagnosztikai jelentősége is van ábra. NEF alkalmazása egy EKG szegmens esetén. A 3.5. ábrán egy ilyen alkalmazási példát láthatunk. A [2] adatbázis egy EKG szegmensét 3 mintavételeztük az N = 30, m = 3, a = 4 5 e 8 π, a 2 = 3 20 e 3 24 π, a 3 = 9 20 e 2 π, ν = π 60, manuálisan választott paraméterekkel adott NEF pontjaiban. A jel csúcsa tehát éppen egy osztópontra esik, valamint megfigyelhető az alappontok sűrűségének adaptív, a jelhez igazodó változása Az osztópontok gyorsabb kiszámítása A NEF-ek definiálása és alkalmazása mellett természetesen felmerül a kérdés, hogy hogyan lehet az osztópontokat megfelelő pontossággal minél gyorsabban kiszámítani. Ezzel kapcsolatos vizsgálatainkat a [38] munkánk alapján foglaljuk össze az alábbiakban: a számítások ügyes sorrendjének megválasztásával jelentősen csökkenthető a numerikus módszerek számítási igénye. Adott < N N esetén nevezzük most el az egyenletes felosztás pontjait 3 A jel pontos elérhetősége: mitdb/03//

38 36 3. Diszkretizációs tulajdonságok vizsgálata a következőképpen: d k := π + k 2π N (0 k < N), a választott m N és a,..., a m D paraméterekkel nyert NEF pontjait pedig jelölje e k := β a,...,a m (d k ) (0 k < N). Mivel a d k értékek kiszámítása magától értetődő, azért a NEF osztópontjainak kiszámítását lényegében az e k értékek meghatározása jelenti minden 0 k < N értékre. Ha csak m = paraméterünk van, akkor β a inverze explicit módon felírható, így nem szükségesek további számítások. Ha viszont m > paraméterünk van, akkor az inverznek nincs explicit alakja, így numerikus módszereket kell alkalmaznunk az N nemlineáris egyenlet közelítő megoldására. Ezek az egyenletek tehát a következő alakúak: β a,...,a m (e k ) = d k, ahol e k -t kell meghatároznunk. A legkézenfekvőbb módszerek a jól ismert intervallumfelezés és a Newtonmódszer. Mindkettőnek vannak előnyei és hátrányai. Az intervallumfelezés módszere garantáltan konvergál az argumentum-függvény szigorú monotonitása miatt, viszont csak elsőrendben, ezért több számítást igényel. A Newton-féle módszer viszont másodrendben konvergál (az első derivált sehol sem nulla), viszont csak akkor, ha elég közelről indítjuk; ezért előbb valami más módszert például ismét az intervallumfelezést kell alkalmaznunk egy megfelelő pontosságú kezdőpont megadásához. Az intervallumfelezés alkalmazása és gyorsítása Tekintve, hogy e 0 = d 0 = π meghatározása triviális, már csak N esetben kell megoldanunk egy-egy nemlineáris egyenletet e k ( k < N) adott ε > 0 pontosságú meghatározásához. Az argumentum-függvényt egyszerűen β- val jelölve tehát első megközelítésben a 3.. algoritmus szerint járhatunk el. Ez az algoritmus (N ) log 2 (2π/ε) lépést tesz, hogy az összes pontot megfelelő pontossággal előállítsa. (Egyébként a 8. sor esete igen ritkán fordul elő.) Észrevehetjük, hogy ez a naiv megvalósítás nem használja ki a már korábban kiszámított értékeket. Mégpedig például e 3 számításakor alkalmazhatnánk e 2 és e 4 értékét, az intervallumfelezést az általuk adott intervallummal inicia-

39 3.3. Az osztópontok gyorsabb kiszámítása algoritmus. Az intervallumfelezés naiv implementációja. e 0 := π; 2 for k = to N do a többi pontra 3 a = π, b = π; 4 c := (a + b)/2; 5 while b a > ε do hagyományos intervallumfelezés 6 if β(c) < d k then a := c; 7 else if β(c) > d k then b := c; 8 else break; 9 c := (a + b)/2; 0 e k := c; lizálva, feltéve, hogy ezeket korábban már kiszámítottuk. A függvény szigorú monotonitása ugyanis garantálja, hogy e 3 értéke e 2 és e 4 között van. Tekintsük például N = 8 osztópont kiszámításának feladatát. Ha e 0 és e 4 értéke már rendelkezésünkre áll, akkor e 2 kiszámítását indíthatjuk az [e 0, e 4 ] intervallummal, így (átlagosan) mivel egy feleakkora hosszú inter vallumból indultunk módszerünk lépést nyerhet. Hasonlóképpen folytatva e, valamint e 3 számításával, további - lépést nyerhetünk mindkettő esetében. Általában az, 2,..., N értékeket tartalmazó kiegyensúlyozott bináris keresőfa preorder bejárásával adott sorrendet alkalmazva összességében jelentős számú lépést takaríthat meg az intervallumfelezést alkalmazó módszerünk. Ezt az ügyes sorrendet a 3.2. algoritmus segítségével kaphatjuk meg hatékonyan. Ez az algoritmus az N = 2 esetben például a 3.. táblázatot tölti ki: j n(j) p (j) p 2 (j) táblázat. A pontok megfelelő sorrendjének meghatározása. Ez a táblázat a j indexek mellett tartalmazza a megfelelő n(j) sorrendet és a pontok p (j), p 2 (j) szülőjét. A generáló algoritmusban az oszlopokon megyünk végig a harmadiktól kezdve, minden lépésben az aktuálisan figyelt oszlop gyerekeit helyezzük el a következő üres oszlopaiban, amíg a táblázat meg nem telik. Az f változó az aktuálisan figyelt oszlopot jelöli, k pedig a

40 38 3. Diszkretizációs tulajdonságok vizsgálata 3.2. algoritmus. Az osztópontok ügyesebb sorrendjének megadása. n() := 0, n(2) := N; 2 n(3) := N/2, p (3) := 0, p 2 (3) := N; 3 f := 3, k := 4; 4 while k N + do amíg meg nem telik a táblázat 5 if n(f) p (f) > then ha van közbülső pont 6 p (k) = p (f), p 2 (k) = n(f); 7 n(k) = (p (k) + p 2 (k))/2 ; 8 k := k + ; 9 if p 2 (f) n(w) > and k N + then a másik oldal 0 p (k) = n(f), p 2 (k) = p 2 (f); n(k) = (p (k) + p 2 (k))/2 ; 2 k := k + ; következő üres oszlopot. Végül a 3.3. algoritmus megadja a 3.2. algoritmus által generált sorrend felhasználásával gyorsított intervallumfelezést. Megjegyezzük, hogy kényelmesebbé teszi a számítás leírását, ha bevezetjük az e N = π jelölést algoritmus. Az intervallumfelezés ügyesebb sorrendben számolva. e 0 := π, e N := π; 2 for j = 3 to N + do a többi pontra 3 k = n(j); 4 a = e p (j), b = e p2 (j); 5 c := (a + b)/2; 6 while b a > ε do hagyományos intervallumfelezés 7 az iterációs egy lépése 8 ugyanaz marad 9 e k := c ; Eredmények Elméletileg kiszámolt, valamint mért eredményeink is alátámasztják, hogy a javított intervallumfelezést alkalmazva sok számítást megtakaríthatunk. A 3.6. ábrán egy N = 32 elemű felosztás esetén minden k < N értékre ábrázoltuk, hogy az e k osztópont 0 3 pontosságú megközelítéséhez hány lépés szükséges.

41 3.3. Az osztópontok gyorsabb kiszámítása (a) Elméleti (b) Mért, paraméter (c) Mért, 2 paraméter 3.6. ábra. Elméleti és mért lépésszámok az egyes osztópontok esetén. A világos oszlopok mindvégig azt mutatják, hogy a naiv megvalósítást alkalmazva minden egyes osztópont számításához 3 lépés kellett, ami megfelel az elméleti log 2 (2π/0 3 ) = 3 értéknek. A sötét oszlopok pedig azt szemléltetik, hogy a javított intervallumfelezéssel ténylegesen hány lépésre volt szükség az előírt pontosság eléréséhez az egyes osztópontok esetében. A grafikonok sötét és világos területeit összevetve láthatjuk, hogy mennyit nyerhetünk. A 3.6(a). ábrán az elméleti lépésszámokat tüntettük fel, ahogy azt korábban leírtuk. 4 A 3.6(b). ábra paraméter esetét mutatja az a = 3/4 választással. Láthatjuk, hogy nem mindig nyerünk pontosan lépést: valamikor egyet sem, de olykor többet is. Itt persze nem kellett volna numerikus módszert alkalmaznunk, viszont 2 paraméter esetén ezt már nem kerülhetjük meg erre a 3.6(c). ábra ad egy példát az a = /2 i, a 2 = 3/4 i paraméterek esetén. A nyereség szintén függ k-tól. Természetesen azt, hogy a javított intervallumfelezéssel a lépések hányad részét takaríthatjuk meg a naiv implementációhoz képest függ attól, hogy mekkora az elérendő pontosság, illetve hogy hány osztópontot kell számolnunk. Ha a pontosságot növeljük (azaz ε-t csökkentjük), akkor a lépésszám növekszik, viszont a megtakarítható lépések száma nem. Ha pedig a pontok számát növel- 4 Ezeket az elméleti lépésszámértékeket közelíthetjük az paraméteres esettel, midőn ez a paraméter 0-hoz tart.

42 40 3. Diszkretizációs tulajdonságok vizsgálata (a) Elméleti arány (b) Mért arány táblázat. A lépésszámok elméleti és mért aránya a gyorsított és hagyományos intervallumfelezés között (a) Elméleti arány (b) Mért arány ábra. A lépésszámok elméleti és mért aránya a gyorsított és hagyományos intervallumfelezés között. jük, akkor ezzel együtt a megtakarítható lépések száma is nő: hiszen például kétszer annyi pont esetében az új pontok a már korábban kiszámoltak közé esnek. A 3.2. táblázat és a 3.7. ábra az ehhez kapcsolódó számítási, illetve mérési eredményeinket rögzíti: a javított és a naiv intervallumfelezés lépésszámainak arányát. A számításokat elvégeztük több különböző számú pontból álló felosztásra (N = 2 l, l = 4, 5, 6, 7, 8) és több különböző előírt pontosságra (ε = 0 p, p = 3, 4, 5, 6, 7). Az elméleti arányokat a 3.6(a). ábrához vezető számításokkal analóg módon határoztuk meg. A mért arányokat pedig az algoritmusok 2 véletlenszerűen választott D-beli paraméterre történő futtatása adta, minden érték 30 független futtatás átlaga. A táblázatokban az értékeket 2 tizedesjegyre kerekítve közöljük. Megfigyelhetjük, hogy az elméleti számítások igencsak közel vannak a mért adatokhoz, továbbá a javított módszernek az előírt pontosság és a pontok

43 3.3. Az osztópontok gyorsabb kiszámítása 4 számának függvényében az eredetihez képest a lépések 50 90%-ára volt szüksége. Akkor nyerünk a legkevesebbet, ha kevés pontot kell nagy pontossággal meghatároznunk, a legtöbbet pedig akkor ha sok a pont és kicsi az elvárt pontosság. A futási idők tekintetében hasonló mértékű javulást érhetünk el. Megjegyzések Említettük, hogy a Newton-módszer is alkalmazható az osztópontok meghatározására. Ez sokat gyorsíthat az eljáráson, viszont ahhoz, hogy a másodrendű konvergenciát garantáljuk, elég közelről kell indítanunk a Newton-féle iterációt a tényleges megoldáshoz, különben akár divergálhat is. A megoldások egy közelítését például megadhatjuk a (javított) intervallumfelezéssel, és a Newton-módszert felfoghatjuk ezen értékek javításaként. Annak vizsgálata, hogy argumentum-függvények esetében mit jelent az elég közel, szép további kutatási feladatot ígér. Maga a Newton-féle iteráció egyébként a β(t) d k függvény gyökének közelítésére a szokásos módon felírható: e (következő) k := e k β(e k) d k. β (e k ) e k egy meg- Egy jó leállási feltétel lehet annak vizsgálata, hogy (következő) e k adott ε > 0 küszöb alá esik. Megvizsgáltuk, hogy mennyivel gyorsabb az, hogy ha a javított intervallumfelezéssel 0 2, illetve 0 3 pontossággal számoljuk ki az osztópontokat, majd a Newton-módszerrel 0 2 pontosságig javítjuk, mint az, hogy ha pusztán a javított intervallumfelezést alkalmazzuk a 0 2 pontosság eléréséhez. Azt tapasztaltuk, hogy harmad negyed részére csökkenthető így a futási idő. Felvetettük az egyszerű szekvenciális számításon túl a probléma párhuzamosítását, hiszen az egyes pontok egymástól függetlenül is számolhatók. A grafikus kártyák (GPU-k) általános programozási lehetőségeit is bevethetnénk; ezzel kollégáink már kísérleteztek is [3]. További érdekes kérdés lehet megvizsgálni argumentum-függvények inverzének approximációját szintén argumentum-függvényekkel.

44 42 3. Diszkretizációs tulajdonságok vizsgálata 3.4. Racionális FFT algoritmusok Ebben a fejezetben összefoglaljuk a [40, 66] írások diszkrét adatsorok feldolgozására szolgáló racionális FFT algoritmusainak lényegét a hagyományos trigonometrikus FFT-vel összevetve, majd adunk egy alkalmazási példát. Saját Matlab implementációnkat használjuk, amelyet a [40] publikációnk rögzít, és amely alapján az alábbi tárgyalás is készült. A hagyományos FFT algoritmusok egy diszkrét adatsor ( jel ) diszkrét Fourier-transzformáltját (DFT) határozzák meg, azaz a diszkrét trigonometrikus rendszer első N eleme szerinti Fourier-együtthatókat. Méghozzá a szóban forgó rendszert az ǫ m (t) = exp(imt) (0 m < N; t = 2πk/N, 0 k < N) formula adja meg, ahol a legtöbbször N = 2 n (n N + ). Az ǫ m értékei felfoghatók a z m függvénynek a T egységkör egyenletes felosztása mentén felvett pontjaiban azaz a T N := { exp(it) : t = 2πk/N, 0 k < N} pontokban mintavételezett értékeinek. Ekkor egy adott x C N diszkrét Fourier-együtthatóit adatsor c m = [x, ǫ m ] N (0 m < N) adja, ahol a diszkrét skaláris szorzat definíciója: [f, g] N := N t T N f(t) g(t) (f, g : T N C N ). Ezeket az együtthatókat kiszámíthatjuk a gyors Fourier-transzformáció (Fast Fourier Transform (FFT), lásd a 3.4. algoritmust) alkalmazásával. Így csak O(n 2 n ) műveletre van szükségünk a naiv megközelítés O(2 n 2 n ) műveletigényével szemben, avagy O(N log N) elégséges O(N 2 ) helyett. Az FFT tárhely szempontjából is igen előnyösen végrehajtható, viszont az eredményt úgynevezett bitfordított sorrendben kapjuk. (Az algoritmus leírásában szereplő pillangó az FFT egy számítási egységének hagyományos elnevezése,

45 3.4. Racionális FFT algoritmusok 43 lásd még [0, 5, 34].) Továbbá bármely x C N rekonstruálható a Fourieregyütthatóiból, méghozzá x(t) = N m=0 c m ǫ m (t) (t T N ). A rekonstrukció is számolható gyors algoritmussal. Lényegében a transzformáció és a rekonstrukció során is egy-egy bázistranszformációt hajtunk végre az N dimenziós komplex vektortérben algoritmus. A hagyományos (kettőhatvány, DIF) FFT. Input: x X = C N (N = 2 n ). Output: a DFT (bitfordított sorrendben). részek := ; 2 részhossz := N; 3 for lépés := to n do 4 for rész := 0 to részek do 5 for pillangó := 0 to részhossz/2 do 6 i := részek részhossz + pillangó + ; 7 j := i + részhossz/2; 8 a := x [ i ]; 9 b := x [ j ]; 0 x [ i ] := (a + b)/2; x [ j ] := (a b) exp( 2πi pillangó részhossz )/2; 2 részek := részek 2; 3 részhossz := részhossz/2; A trigonometrikus rendszer helyett racionális rendszerekkel dolgozva a következő eltéréseket kell figyelembe vennünk. A szükséges konstrukciókat már a 2.5. fejezetben bevezettük, így az alábbiakban az ottani jelölésekre támaszkodhatunk. A trigonometrikus rendszer helyett most vehetjük diadikus Blaschkeszorzatok ψ m (0 m < 2 n ) szorzatrendszerét. (A trigonometrikus rendszer szintén előállítható szorzatrendszerként.) Az egyenletes felosztás pontjai helyett pedig most egy nem egyenletes felosztás pontjait kell tekintenünk, amely pontok megadásában a mind-

46 44 3. Diszkretizációs tulajdonságok vizsgálata eddig mellőzött ϕ n függvény jut szerephez, méghozzá T N := ϕ n (τ) = { z T : ϕ n (z) = τ} valamely tetszőleges τ T értékkel. Így a ϕ k (0 k < n) függvények egy adaptív feltételesen ortonormált rendszert alkotnak, amely így biztosítja a ψ m (0 m < 2 n ) rendszer ortonormált voltát a diszkrét skaláris szorzatra nézve, továbbá az együtthatók kiszámítására FFT algoritmus alkalmazható [65, 66]. Ezeknek megfelelően meggondolható, hogy a 3.4. trigonometrikus FFT algoritmus pusztán annyiban változik a racionális esetben, hogy a. sor exponenciális tényezője helyett a jelen konstrukció generáló függvényeinek megfelelő értékeit kell használni. A 3.5. algoritmusban csak ezt az egy eltérő sort tüntettük fel. Feltesszük, hogy Phi[m,k] a ϕ k függvény helyettesítési értékét tartalmazza a T N ponthalmaz m-edik pontjában algoritmus. Racionális FFT algoritmus (vö algoritmus) x [ j ] := (a b) Phi [ pillangó +, lépés ] /2; 2... A fentiekben részletezett elméleti konstrukciónak a Matlab rendszerben való gyakorlati kidolgozását [40] mutatja be és dokumentálja részletesen, emellett a racionális FFT algoritmus alkalmazását és validációját tömören ismertetjük a B.2. függelékben is. A 3.8. ábrán szemléltetjük a racionális megközelítés lehetséges előnyeit a hagyományos trigonometrikus eset mellett. Feldolgozandó mesterséges jelnek az A a,a 2,a 3 (z) ( a = 3 5 ; a 2 = 4 5 i; a 3 = i) Blaschke-szorzat (2.3(d). ábra) egységkörön vett értékeit választottuk. Az ábra bal oldalán egy valódi racionális rendszert alkalmaztunk az N = 32, a 0 = 3 0 i, a =... = a 5 = i 5 Tekintsük úgy, hogy T N pontjai a [0, 2π] intervallumból vett argumentumuk alapján vannak sorba rendezve.

47 3.5. Újabb ortogonális rendszerek (a) A jel (racionális) (b) A jel (trigonometrikus) (c) A ψ függvény (rac.) (d) A ψ függvény (trig.) (e) A ψ 2 függvény (rac.) (f) A ψ 2 függvény (trig.) 3.8. ábra. Egy mesterséges jel és a racionális rendszer(ek) két eleme az egységkör 32 pontjában mintavételezve (valós részek). Balra egy valódi racionális rendszer, jobbra pedig a trigonometrikus rendszer mint speciális eset látható. paraméterekkel, a jobb oldalon pedig az a 0 =... = a 5 = 0 esetben adódó trigonometrikus rendszert. Megfigyelhető, hogy jól megválasztott paraméterekkel a nem egyenletes felosztás mentén mintavételezett jel több információt hordozhat, mint az egyenletesen diszkretizált: azokon a helyeken, ahol a jel gyorsabban változik, sűrűbbek az osztópontok. Persze ekkor megfelelő ortogonális rendszert is kell választanunk, amit eszközeinkkel most már könnyedén előállíthatunk Újabb ortogonális rendszerek Szintén a diszkretizáció témaköréhez kötődnek a szóban forgó racionális rendszerekkel kapcsolatos azon vizsgálataink, amelyek újabb ortogonális rendszerek bevezetését teszik lehetővé. Az alábbiakban [39] írásunk alapján összefoglaljuk eredményeinket. Ezen új rendszerek lényegében a Malmquist Takenaka-rendszerek Dirichlet-féle magfüggvényének bizonyos szeleteiként adhatók meg. Figyelemreméltó, hogy a kiindulási paraméterek jó megválasztásával transzlá-

48 46 3. Diszkretizációs tulajdonságok vizsgálata cióinvariáns ortogonális rendszereket nyerhetünk ilyeneket a multirezolúcióanalízisben a Fourier-transzformáció segítségével konstruálhatunk [2]. A Dirichlet-féle magfüggvény A továbbiakban az A diszk algebra függvényeivel dolgozunk, melyek terén a szokásos skaláris szorzatot tekintjük, a függvényértékeket a T egységkörön vizsgálva. A Dirichlet-féle magfüggvény általános alakjának bevezetéséhez induljunk ki egy tetszőleges (φ k : k N) ortogonális rendszerből. Valamely f A függvény iménti rendszer szerint haladó Fourier-sorának n-edik S n f : T C kezdőszelete a következő alakban írható fel: (S n f)(x) = n ( k= T ) ( n f(t) φ k (t) dt φ k (x) = f(t) T Azaz az általános Dirichlet-magfüggvény így definiálható: φ k (x) φ k (t) k= ) } {{ } D n(x,t) n D n : T T C, D n (z, ζ) = φ k (z) φ k (ζ). k= Így tehát a Fourier-sor valamely részletösszegének képzése integráltranszformációként is felfogható, méghozzá az f függvénnyel mint argumentummal és a D n magfüggvénnyel. Ismeretes, hogy a klasszikus trigonometrikus esetben most T helyett a szokásos [0, 2π) intervallumon gondolkodva az ortogonális rendszerünk (exp ikx : k Z), amelynek valós és képzetes részei megfelelnek a valós trigonometrikus rendszernek (, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,... ). Ekkor belátható, hogy D n (x, t) értéke csak x és t különbségétől függ, azaz D n (x + ν, t + ν) = D n (x, t) (ν R), ezért a magfüggvény egyváltozós függvényként is bevezethető: D n (x) := D n (x, 0), valamint D n (x, t) = D n (x t, 0) = D n (x t) teljesül. Sőt a magfüggvény explicit alakban is felírható: dt. D n (x) = sin (2n + )x/2 sin x/2 (x 0), D n (0) = 2n +. a [0, 2π) intervallumon. A Malmquist Takenaka-rendszerek szintén ortogonális rendszert alkot-

49 3.5. Újabb ortogonális rendszerek 47 nak, így képezhetjük a Dirichlet-féle magfüggvényt. Kiderül, hogy ezúttal Blaschke-függvények segítségével írható fel. Méghozzá adott n N és a k D (k =, 2,..., n) esetén a ψ k (k =, 2,..., n) Malmquist Takenaka-rendszer Dirichlet-magfüggvényére a következő formulák adódnak: n nk= B ak (z) B ak (ζ) D n (z, ζ) = ψ k (z) ψ k (ζ) = k= z ζ n n a k 2 D n (z, z) = ψ k (z) ψ k (z) = k= k= a k z 2. (z ζ), Ha pedig a paramétereket speciálisan, egy kör mentén egyenletesen választjuk meg, akkor a D n (t, t) értékekre (t [0, 2π), z = e it ) újabb összefüggést nyerhetünk. Ugyanis adott 0 r < esetén, az a k = r exp 2ikπ n választással D n (t, t) = l Z r nl exp inlt = n ( r 2n ) 2r n cos nt + r 2n, azaz a már korábban is említett Poisson-féle magfüggvény egy transzformált alakját kapjuk. Ezen állítások bizonyításait az A.6. függelékben részletezzük. Ortogonális rendszerek konstrukciója A bevezetésre kerülő ortogonális rendszerek természetesen a kiindulási Malmquist Takenaka-rendszer a k D paramétereitől, továbbá egy újabb w T paramétertől függenek. Emlékeztetünk a Blaschke-szorzatok azon tulajdonságára, hogy az A a,...,a n (z) = w (a,..., a n D; n N; w T) egyenletnek mindig n különböző T-beli gyöke van, jelölje most ezeket ζ, ζ 2,..., ζ n T. A D n Dirichlet-magfüggvényre kapott formulákba behelyettesítve azt látjuk, hogy ezekre a ζ k értékekre D n (ζ k, ζ l ) = δ k,l D n (ζ k, ζ k ) teljesül, ahol δ k,l a Kronecker-féle szimbólum. Tehát a Dirichlet-magfüggvény a (ζ k, ζ l ) T T (k l) helyeken zérus értéket vesz fel. Ezzel az állítással felvértezve most megadjuk az új rendszert a Dirichlet-

50 48 3. Diszkretizációs tulajdonságok vizsgálata féle magfüggvény szeletei által, majd kimondjuk ezen rendszerek folytonos és diszkrét ortogonalitását is. 3.. definíció (a Dirichlet-magfüggvény szeletei). Legyen adott n N, a k D (k =, 2,..., n), valamint w T. Ekkor a ζ k (k =, 2,..., n) értékekkel mint az A a,...,a n (z) = w egyenlet gyökeivel a Dirichlet-magfüggvény szeleteinek nevezzük a H k : T C, H k (z) := D n (z, ζ k ) (k =, 2,..., n) függvényeket. A szokásos folytonos skaláris szorzat mellett most az [.,.] n, : A A, n [f, g] n, = f(ζ k ) g(ζ k ) (ζ k ), (ζ k ) = k= D n (ζ k, ζ k ) súlyozott diszkrét skaláris szorzatot tekintve érvényes a következő tétel. 3.. tétel (a szeletek ortogonalitása). A Dirichlet-magfüggvény imént definiált H k (k =, 2,..., n) szeletei ortogonális rendszert alkotnak mind a folytonos, mind a súlyozott diszkrét skaláris szorzatra nézve, azaz () H k, H l = δ k,l D n (ζ k, ζ k ) (k, l =, 2,..., n), (2) [H k, H l ] n, = δ k,l D n (ζ k, ζ k ) (k, l =, 2,..., n). E tétel bizonyításában a folytonos skaláris szorzatra vonatkozó állítás a Malmquist Takenaka-rendszerek ortonormáltságára vezethető vissza, a diszkrét ortogonalitás belátásához pedig a D n (ζ k, ζ l ) értékeit kell megfigyelnünk. A részletes számításokat az A.6. függelékben ismertetjük. Megjegyezzük, hogy a tétel közvetlen következményeként egy kvadratúra formulát is ad R n R n függvényeire, ahol R n = span {ϕ k : k =, 2,..., n}. Hiszen a tétel szövegéből a H k, H l = [H k, H l ] n, egyenlőség is látszik, valamint a ϕ k, ψ k és H k (k =, 2,..., n) függvények A ugyanazon alterét feszítik ki. További figyelemreméltó érdekesség, hogy a paraméterek már említett, valamely 0 r < sugarú kör mentén egyenletesen történő megválasztása esetén az így adódó ortogonális rendszerek transzlációinvariánsak a transzlációt az egységkörön ciklikusan értve.

51 4. fejezet Egy inverz probléma megoldása Ebben a fejezetben a [4] publikációnk alapján bemutatunk egy problémát és annak teljes megoldását. A problémafelvetés, a megoldás, illetve a hozzá kapcsolódó elmélet legjobb tudomásunk szerint mind saját önálló alkotásunk, és természetesen a felhasznált Matlab programok is. Persze mindezek szorosan kapcsolódnak az előző fejezetekben bemutatott témakörökhöz, a motivációt is onnan merítjük. Tudjuk, hogy Blaschke-szorzatok kompozíciója megint csak egy Blaschkeszorzatot eredményez, melynek paramétereit, avagy zérushelyeit az eredeti Blaschke-szorzatok paramétereinek ismeretében könnyen meghatározhatjuk, méghozzá polinomiális egyenletek gyökeiként (lásd például az A.2. függelékben). Most a fordított irányt (az inverz problémát ) vizsgáljuk, nevezetesen ha adottak valamely Blaschke-szorzatok kompozíciójának zérushelyei, mit mondhatunk az eredeti Blaschke-szorzatok paramétereiről? A legegyszerűbb esetet tárgyaljuk, amikor két kéttényezős Blaschke-szorzat kompozícióját képezzük. A tárgyalás során bevezetjük a reciprok Blaschke-függvények fogalmát is, bizonyítjuk ezek létezését és egyértelműségét. Megadjuk azon megengedett Blaschke-szorzatokat, amelyek előállnak a fenti alakban, valamint jellemezzük az ezeket előállító kompozíciókat. Érdekes, hogy sok választ újfent Blaschkefüggvények alakjában kaphatunk meg. 49

52 50 4. Egy inverz probléma megoldása 4.. Bevezetés, motiváció Az utóbbi évtizedekben sok figyelmet szenteltek Blaschke-függvények, Blaschke-szorzatok és lehetséges alkalmazási területeik vizsgálatának. Mind matematikai tulajdonságaik, mind gyakorlati alkalmazási lehetőségeik nemzetközi szinten is számos kutatás tárgyát képezik. Hadd említsünk ismételten csupán néhány szorosabban kapcsolódó témát (lásd még a 2.6. fejezetet). Blaschke-függvények és Blaschke-szorzatok fontos szerepet játszanak racionális bázisokhoz, ortogonális és biortogonális rendszerekhez [6, 8, 9], multirezolúciós analízishez, waveletekhez [58, 59, 67], a voicetranszformációhoz [54, 55, 56], valamint FFT-szerű algoritmusokhoz [40, 66] kapcsolódó matematikai konstrukciókban. Egy elegáns módját biztosítják nem egyenletes felosztások megadásának és számításának [38], lásd még a 3.2. fejezetben. Alkalmazások szempontjából újabban rendszerek identifikációjában a rendszer- és irányításelmélet témaköréhez kapcsolódóan bizonyultak igen hasznosnak [5, 63], valamint a jelfeldolgozás témaköréhez kapcsolódóan EKG jelek feldolgozásában, analízisében [6, 7]. Jelentős számú publikáció világít rá fontos szerepükre számos kutatási és alkalmazási területen [26, 45, 47]. Az ebben a fejezetben bemutatásra kerülő kutatómunkát legalább két szempont motiválja. Egyrészt, matematikai oldalról nézve: Blaschke-szorzatok segítségével teljes ortogonális rendszereket nyerhetünk, sőt ilyenek speciális alakú kompozíciójaként előálló rendszerek gyors transzformációs algoritmusok alkalmazását is lehetővé teszik, lásd a [6, 40, 66] cikkeket, illetve a 3.4. fejezetet. Sőt tisztán matematikai problémaként is érdekes. Másrészt, az alkalmazások oldaláról nézve: az EKG jeleknek racionális függvényrendszerek felhasználásával történő modellezésével kapcsolatos kutatómunkánkban is hasznát láthatjuk a feltárt új eredményeknek [6, 7]. Tömören emlékeztetünk az ebben a fejezetben felhasználásra kerülő fogalmakra, jelölésekre. A pontos definíciókkal, a tulajdonságok részletes ismertetésével kapcsolatban a 2. fejezetre utalunk. Blaschke-függvények alatt a B a (z) = z a az alakú, egyparaméteres függvénycsalád elemeit fogjuk érteni, az olykor nélkülözhetetlen ε T tényezőre most nem lesz szükségünk. Blaschke-szorzatoknak

53 4.. Bevezetés, motiváció 5 nevezzük valamely n N 0 esetén az a,..., a n D paraméterű Blaschkefüggvények szorzatát: n A a,...,a n (z) = B ak (z) k= (z C). A továbbiakban kéttényezős Blaschke-szorzatokkal fogunk dolgozni, azaz adott a, a 2 D esetén az A a,a 2 (z) = B a (z) B a2 (z) alakú függvényekkel. Ezeknek két zérushelye van a diszken, méghozzá a és a 2. (Ha a = a 2, akkor egy darab kettő multiplicitású zérushelyről van szó.) Blaschke-szorzatok kompozícióját az egyszerűség kedvéért nevezhetjük Blaschke-kompozícióknak. További formális részletezését ezeknek nem közöljük, hiszen ebben a fejezetben megelégszünk pusztán két kéttényezős Blaschkeszorzat kompozíciójának, azaz A a3,a 4 A a,a 2 alakú függvényeknek a vizsgálatával. Ismeretes, hogy Blaschke-szorzatok kompozíciója ismét Blaschke-szorzatot eredményez (egy T-beli szorzóval kiegészítve), méghozzá az eredmény tényezőinek száma megegyezik a komponált szorzatok tényezői számának szorzatával. A kompozíció paramétereit, avagy zérushelyeit pedig a megfelelő polinomiális egyenletek gyökeiként kaphatjuk meg (lásd [66], illetve A.2. függelék). Konkrétan az A a3,a 4 A a,a 2 alakú függvények voltaképpen négytényezős Blaschke-szorzatok, azaz négy zérushelyük van D-n, és ezeket a B a (z) B a2 (z) = a i (i = 3, 4). másodfokú egyenletek gyökeiként kaphatjuk meg. Mindkét egyenletből két gyököt kapunk. Jelölje eme egyszerű kompozíció négy zérushelyét b, b 2, b 3 és b 4. A 4.. ábrán mutatunk egy példát Blaschke-függvényre, melynek paramétere ezúttal a = i, valamint egy A a3,a 4 A a,a 2 alakú Blaschkekompozícióra, az a = 0., a 2 = i, a 3 = i, a 4 = i paraméterekkel. Az immár megszokott módon a szintvonalak a komplex függvényértékek abszolút értékének, valamint argumentumának változását mutatják az egységkörlemezen, lásd a plotd parancs dokumentációját [40].

54 52 4. Egy inverz probléma megoldása 4.. ábra. Balra: Egy Blaschke-függvény. Jobbra: Egy A a3,a 4 A a,a 2 alakú Blaschke-kompozíció. A zérushelyeket mindkét ábrán jelöltük A probléma megfogalmazása Az előző fejezet alapján levonhatjuk tehát a konklúziót: különböző a, a 2, a 3, a 4 D értékek mellett a z A a3,a 4 (A a,a 2 (z)) hozzárendelésnek négy zérushelye van az egységkör belsejében, ezeket egyszerűen megkereshetjük, jelölje őket b, b 2, b 3, b 4. Most a fordított irányt fogjuk vizsgálni. Adott b, b 2, b 3, b 4 D értékek esetén tudunk-e mutatni olyan a, a 2, a 3, a 4 D értékeket, amelyekkel A a3,a 4 A a,a 2 zérushelyei éppen az előírt pontok lesznek? Természetesen további kérdések is felmerülnek. Létezik megoldás tetszőleges négyes esetén? Ha nem, akkor hogyan jellemezhetjük az előírható zérushelyek halmazát? A megoldás egyértelmű, vagy esetleg több megoldás van? Kiderül, hogy a kívánt zérushelyek közül csak hármat rögzíthetünk, a negyediket pedig három további lehetőség közül választhatjuk. Viszont bármely megfelelő négyes esetén végtelen sok megoldás van, az egységkörlemez minden egyes pontjával találhatunk egyet. Öntsük most a problémát matematikai formulákba, és próbáljuk meg azt egyszerűbb feladatokra visszavezetni. Legyen adott a { b, b 2, b 3, b 4 } D halmaz. Olyan { a, a 2, a 3, a 4 } D értékeket keresünk, amelyekre A a3,a 4 (A a,a 2 (z)) = 0 z { b, b 2, b 3, b 4 }

55 4.3. Reciprok Blaschke-függvények 53 teljesül. Az A a3,a 4 függvény definíciója alapján ez a következő kifejezéssel egyenértékű: B a3 (A a,a 2 (z)) B a4 (A a,a 2 (z)) = 0 a négy előírt pontban. Egyrészt (mivel B a (z) = 0 ekvivalens azzal, hogy z = a) a 3 és a 4 értékét az a 3 := A a,a 2 (z), z { b, b 2 }, (4.) a 4 := A a,a 2 (z), z { b 3, b 4 }, (4.2) formulák alapján kell megválasztanunk; itt az adott értékek csoportosítása tetszőleges, válasszuk most ezt a felosztást. Másrészt viszont annak érdekében, hogy a 3 és a 4 jól definiált legyen a függvényértékeknek egyezniük kell, azaz A a,a 2 (b ) = A a,a 2 (b 2 ) és (4.3) A a,a 2 (b 3 ) = A a,a 2 (b 4 ) (4.4) szükségeltetik. Tehát egy olyan kéttényezős Blaschke-szorzatot keresünk, amely két-két adott pontban ugyanazokat az értékeket veszi fel. Például (4.3) kielégíttetik az a := b, a 2 := b 2 választás által, (4.4) pedig az a := b 3, a 2 := b 4 értékekkel. Vajon meg tudjuk-e választani az a, a 2 értékeket úgy, hogy egyszerre teljesüljön mindkettő egyenlőség? 4.3. Reciprok Blaschke-függvények A következő szakaszokban ismertetjük eredményeinket a megfelelő bizonyításokkal alátámasztva, valamint néhány példán keresztül bemutatjuk a kapcsolódó numerikus vizsgálatok tapasztalatait is. Kezdjük a probléma elemzését a (4.3) és (4.4) egyenletek közül csupán az egyik vizsgálatával. Találhatunk olyan (a, a 2 ) párt, amelyre (4.3) teljesül valamely D-beli adott b és b 2 értékre? (Ha ezt megoldottuk, akkor folytathatjuk a (4.4) egyenletre vonatkozó analóg probléma megoldásaival való összevetéssel.)

56 54 4. Egy inverz probléma megoldása A (4.3) egyenlőség a következővel ekvivalens: B a (b ) B a2 (b ) = B a (b 2 ) B a2 (b 2 ). Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a b és a 2 b 2, hiszen ekkor általában (4.4) nem teljesülne. Így az azonos függvényeket egy oldalra rendezhetjük: B a2 (b ) B a2 (b 2 ) = B a (b 2 ) B a (b ) = ( ) Ba (b ). (4.5) B a (b 2 ) Tehát két olyan Blaschke-függvényt kell találnunk, amelyeknek az adott pontokban felvett értékeinek hányadosa egymás reciproka. 4.. definíció (reciprok Blaschke-függvény). Adott b, b 2, a 2 D értékekre az a paraméterű Blaschke-függvényt a B a2 függvény reciprok Blaschkefüggvényének nevezzük a b és b 2 pontokra nézve, ha a fenti (4.5) teljesül. Megjegyzés. Gondolkodhatunk a komplex számok kiterjesztett halmazában is, azaz megengedhetjük a 0 vagy értékeket is a nevezőben, ha megállapodunk abban, hogy / = 0, valamint /0 =. Ekkor például B b és B b2 egymás reciprok Blaschke-függvényei a b és b 2 pontokra nézve. A fenti definíció szellemében tehát keresnünk kell egy reciprok Blaschkefüggvény párt. Könnyű látni, hogy egy Blaschke-függvény D tetszőleges két pontjában felvett értékének hányadosa bármely c C komplex szám lehet. (Hiszen e függvényértékek tetszőleges D-beli számok lehetnek.) Így rögzített b, b 2, a 2 D esetén (4.5) bal oldalát tekinthetjük egy rögzített c C számnak. Ezáltal az, hogy egy reciprok Blaschke-függvényt (egy megfelelő a értéket) keresünk, ekvivalens módon megfogalmazható a { a D : B } a(b ) B a (b 2 ) = c; b, b 2 D, c C (4.6) halmaz jellemzésének feladataként. Hány elemű? Esetleg üres? Mik az elemei, ha nem üres? Itt az egyszerűbb a jelölést alkalmaztuk a helyett, valamint c megválasztása a következő: c := ( ) Ba2 (b ). B a2 (b 2 )

57 4.3. Reciprok Blaschke-függvények 55 Numerikus vizsgálatok A probléma számítógépes vizsgálatának érdekében (4.6) feltételét a következőképpen fogalmazzuk át: b a ab 2 = c, ab b 2 a (b a)( ab 2 ) = c(b 2 a)( ab ), b a ab b 2 + aab 2 = cb 2 ca cab b 2 + caab, és végül rendezzünk a szerint: (b 2 cb )aa ( c)a (b b 2 cb b 2 )a + (b cb 2 ) = 0, (4.7) ahol tehát a az ismeretlen. A T : C C függvényt (4.7)-nek megfelelően a T(z) := (b 2 cb )zz ( c)z (b b 2 cb b 2 )z + (b cb 2 ). szabállyal definiálva kirajzoltuk T(z) értékeit sok z C érték esetén. Például a 4.2. ábra a b = i, b 2 = i és c = 0.5 választás esetén szemlélteti az T(z) értékeket, a D-beli zérushelyet szintén jelöltük. Ezek a vizsgálatok azt sugallják, hogy a (4.7) egyenletnek mindig két megoldása azaz T-nek két zérushelye van, az egyik mindig az egységkörön belül, a másik pedig kívül. Numerikus optimalizációs technikákkal 2 meghatároztuk a D-beli zérushely közelítő értékét rögzített b, b 2 D esetén minden (pontosabban szólva elég sok) a 2 D értékre. (Emlékezzünk arra, hogy b, b 2 és a 2 határozzák meg c C értékét.) Ezt a D D leképezést (a 2 a ) szintén bemutatja a 4.2. ábra ugyanazokra a b, b 2 értékekre, amiket az imént is alkalmaztunk. A kép alapján feltűnhet, hogy e leképezés a számítások pontatlanságaitól eltekintve igencsak emlékeztet egy közönséges Blaschke-függvényre. De ha ez tényleg egy Blaschke-függvény volna, akkor vajon mi a paramétere? A T szimbólumot a szóban forgó függvény jelölésére a szintvonalas ábrájának egy, az Olvasó felé tekintő Teknősbéka fejével mutatott erőteljes hasonlatossága miatt választottuk. 2 Érdekesség, hogy a Matlab rendszerben használható fminsearch parancs ugyanazt a numerikus optimalizációs algoritmust valósítja meg, amit az 5. fejezetben részletesebben is tárgyalunk majd.

58 56 4. Egy inverz probléma megoldása ábra. Balra: a T (z) függvény. Jobbra: az a 2 a leképezés. Analitikus megoldás A következő tételünk összefoglalja a reciprok Blaschke-függvények keresésével kapcsolatos eredményeinket. 4.. tétel (reciprok Blaschke-függvények létezése és egyértelműsége). Tetszőleges rögzített b, b 2, a 2 D értékekhez egyértelműen létezik olyan a D, amellyel B a reciprok Blaschke-függvénye B a2 -nek a b és b 2 pontokra nézve; méghozzá a = B p(b,b 2 )(a 2 ), ahol p: D D D, p(b, b 2 ) = (b + b 2 ) (b + b 2 )b b 2 b b 2 2. Bizonyítás. Három dolgot kell bizonyítanunk. (I.) A p függvény valóban D- be képez, így használható egy Blaschke-függvény paramétereként, (II.) a B a ténylegesen rendelkezik a megkívánt tulajdonsággal, azaz reciprok Blaschkefüggvénye B a2 -nek, és végül (III.) meg kell indokolnunk a megoldás egyértelműségét. (I.) Megmutatjuk, hogy b, b 2 D bármely megválasztása esetén p(b, b 2 ) szintén D eleme, vagyis p(b, b 2 ) <. Ezen levezetés kulcsa az értékek exponenciális alakjában rejlik. 3 Legyen b = r e iϕ és b 2 = r 2 e iϕ 2, ahol 0 r, r 2 <, 3 E helyen is megköszönjük Schipp Ferenc Tanár úrnak a 4.. tétel bizonyítása (I.) részéhez adott útmutatását, segítségét.

59 4.3. Reciprok Blaschke-függvények 57 valamint ϕ, ϕ 2 R. Ezekkel a jelölésekkel p(b, b 2 ) a következő alakot ölti: (r e iϕ + r 2 e iϕ 2 ) (r e iϕ + r 2 e iϕ 2 )r r 2 e i(ϕ +ϕ 2 ) r r 2 e i(ϕ +ϕ 2) 2 =: N D. Elegendő megmutatni, hogy Így 2 N D = NN DD <. N = r e iϕ + r 2 e iϕ 2 r 2 r 2e iϕ 2 r r 2 2 eiϕ = = r ( r 2 2)e iϕ + r 2 ( r 2 )e iϕ 2 ; NN = [r ( r 2 2 )]2 e i(ϕ ϕ ) + [r 2 ( r 2 )]2 e i(ϕ 2 ϕ 2 ) + + [r r 2 ( r 2 )( r2 2 )] ( e i(ϕ ϕ 2 ) + e i(ϕ 2 ϕ ) ) ; D = (r r 2 ) 2. Kihasználva, hogy e 0 =, valamint e iϕ + e iϕ = 2 cos ϕ, ahol ϕ := ϕ ϕ 2, azt kapjuk, hogy NN DD = [r ( r2 2)]2 + [r 2 ( r 2)]2 + 2 [r r 2 ( r 2)( r2 2 )] cos ϕ. [ (r r 2 ) 2 ] 2 Jelölje most F 2 (ϕ) a fenti értéket, valamint vegyük figyelembe, hogy cos ϕ és egyenlőség például ϕ = 0 esetén teljesül. Így 2 N =: F 2 (ϕ) F 2 (0). D Így most már csak azt kell megmutatnunk, hogy F(0) = r ( r 2 2 ) + r 2( r 2 ) (r r 2 ) 2 <,

60 58 4. Egy inverz probléma megoldása amit könnyedén megtehetünk az alábbi átalakítások által: F(0) = r r r r 2 r 2 r 2 (r r 2 ) 2 = (r + r 2 )( r r 2 ) ( + r r 2 )( r r 2 ) = = r + r 2 + r r 2 < 0 < ( r )( r 2 ), hiszen definíciójuk alapján r, r 2 <. Tehát összefoglalva állíthatjuk, hogy p(b, b 2 ) D bármely b, b 2 D esetén, így használhatjuk egy Blaschke-függvény paramétereként. (II.) Most pedig bizonyítjuk, hogy B a a b, b 2 pontokra nézve, vagyis reciprok Blaschke-függvénye B a2 -nek B a (b ) B a (b 2 ) = ( ) Ba2 (b ) B a2 (b 2 ) teljesül, ami ekvivalens a B a (b ) B a2 (b ) = B a (b 2 ) B a2 (b 2 ). (4.8) egyenlőséggel. Állításunk szerint viszont a maga is egy Blaschke-függvény értékeként adott, melynek paramétere eléggé összetett. Így ahelyett, hogy kiszámolnánk mindkét oldalt, vagy belátnánk, hogy hányadosuk egy, esetleg különbségük nulla ezek mind igencsak áttekinthetetlen számításokhoz vezetnek, ezt a bizonyítást azáltal folytatjuk, hogy megmutatjuk, hogy B a (b ) B a2 (b ) egy szimmetrikus kifejezést eredményez a b és b 2 szimbólumokra nézve. Így tehát (4.8) bármely oldalát értékelnénk ki, ugyanazt az eredményt kapnánk. A jelölések egyszerűsítése céljából a 2 helyett a-t írunk, valamint p(b, b 2 ) helyett p-t. B a (b ) B a (b ) = B a (b ) B Bp(a)(b ) = B a (b ) = B a (b ) pa pa b + B p (a) b + a p pa = B a (b ) + B p (a)b + a p b pa b pab + a p pa + ab pb. Vezessük be pa pa értékére a τ(a, b, b 2 ) jelölést, továbbá figyeljük meg, hogy τ T, és értéke b és b 2 szimmetrikus függvénye, hiszen ugyanez teljesül p =

61 4.4. Megengedett halmazok és a megoldások paraméterei 59 p(b, b 2 ) esetében is. A számításokat p(b, b 2 ) értékének behelyettesítésével folytatnánk. Azonban a következő lépések részletes bemutatását elhagyjuk, a számolás menetére az alábbi utalásokat tesszük: Előnyösnek bizonyul a b b 2 b b 2 b b 2 2 helyett. alak használata p(b, b 2 ) nevezőjében Később észrevehetjük, hogy egyszerűsíteni lehet a (b 2 b b 2 + b b b b 2 ) kifejezéssel. Végezetül a B a2 (b ) B a (b ) = τ(a 2, b, b 2 ) B a2 (b ) B a2 (b 2 ) kifejezést kapjuk, amely valóban szimmetrikus b -re és b 2 -re nézve. (III.) B a -nek mint B a2 függvény b, b 2 D rögzített pontokra vonatkozó reciprok Blaschke-függvényének egyértelműsége azon ténynek a következménye, hogy a -et a B p(b,b 2 )(a 2 ) formulával adtuk meg, és ez a leképezés (egy Blaschke-függvény) invertálható D-n. Ezzel a 4.. tétel állításait beláttuk. Amellett hogy látjuk, hogy a p függvény hozzárendelési szabálya megfelelő, felmerülhet a kérdés, hogy hogyan lehet ezt a formulát megkapni. Az A.7. függelékben teszünk néhány utalást erre vonatkozóan Megengedett halmazok és a megoldások paraméterei Miután megoldottuk a reciprok Blaschke-függvények problémáját, most már végtelen sok megoldásunk van a (4.3) egyenletre és szintúgy (4.4)-re is. Nevezetesen bármely a 2 D érték esetén a = B p(b,b 2 )(a 2 ) kielégíti (4.3)-at, a = B p(b 3,b 4 )(a 2 ) pedig (4.4)-et. Azonban általában sikertelenségre vannak kárhoztatva mindazon próbálkozásaink, hogy egy olyan a 2 -t találjuk, amellyel a fenti a D és a D értékek egyenlőek lesznek. Ez a probléma a következő állításból ered. A B p (z) = B p2 (z) egyenletnek p, p 2 D, p p 2 esetén pontosan két z, z 2 C megoldása van: z, z 2 T, és ezáltal B pi (z j ) T (i, j =, 2).

62 60 4. Egy inverz probléma megoldása Tehát általában (tetszőleges b, b 2, b 3, b 4 D esetén), a megfelelő a 2 és a értékek a T egységkörön helyezkednének el, nincs megoldás az egységkör belsejében. Analitikus megoldás Így hát csökkentenünk kell elvárásainkat. Kiderül, hogy csak három zérushelyet írhatunk elő a diszken, és három lehetőségünk van a negyedik megválasztására. Cserébe viszont végtelen sok megfelelő paraméterhalmazt találhatunk a komponálandó függvényekhez definíció (megengedett halmazok). A { b, b 2, b 3, b 4 } D halmazt zérushelyek egy megengedett halmazának nevezzük, ha léteznek olyan a, a 2, a 3, a 4 D paraméterek, amelyekkel A a3,a 4 (A a,a 2 (z)) = 0 z { b, b 2, b 3, b 4 }. Kapcsolódó megfigyeléseinket a következő tételben mondjuk ki tétel (megengedett halmazok és a megoldások paraméterei). Tetszőleges rögzített b, b 2, b 3 D értékek esetén az a D tetszőlegesen megválasztott, a 2 = B p(b,b 2 )(a ) D, a 3 = A a,a 2 (b ) D, valamint a 4 = A a,a 2 (b 3 ) paraméterekkel A a3,a 4 (A a,a 2 (z)) = 0 (z { b, b 2, b 3 }). (4.9) Továbbá az A a,a 2 (z) = a 4 (4.0) egyenlet (konstans szorzótól eltekintve) független a megválasztásától, két megoldása van D-n, méghozzá b 3 és (4.9) negyedik gyöke, amit jelölhet b 4. Ekkor { b, b 2, b 3, b 4 } zérushelyek egy megengedett halmaza.

63 4.4. Megengedett halmazok és a megoldások paraméterei 6 Bizonyítás. Ismét három részre tagoljuk a bizonyítást. (I.) a megadott paraméterek valóban kielégítik (4.9)-et, (II.) a (4.0) egyenlet lényegében nem függ a kezdeti megválasztásától, így b 4 is jól definiált, valamint szintén kielégíti (4.9)-et, és végül (III.) (4.0) megoldásai D-beliek. (I.) Elsőként lássuk, hogy a, a 2, a 3, a 4 megadott értékei jól definiált paraméterek D-ben és kielégítik (4.9)-et. Valójában mindez közvetlen következménye a 4.2. szakaszban bemutatott vizsgálatoknak és a 4.. tételnek. Valóban: a D a definíciója miatt, a 2 -t a 4.. tétel szerint adtuk meg, így a 2 D és B a2 reciprok Blaschkefüggvénye B a -nek a b és b 2 pontokra nézve, s ezáltal (4.5) és (4.3) egyaránt teljesül. Így a 3 szintén jól definiált; a 3 D, hiszen két Blaschke-függvény diszken felvett értékének szorzata; továbbá (4.)-ből következik, hogy b és b 2 gyökei a B a3 (A a,a 2 (z)) kifejezésnek, és így (4.9)-nek is. Hasonlóképpen a 4 D is teljesül, ami az a 3 esetében látott érveléssel analóg módon látható. Az a 4 definíciója azt is biztosítja, hogy B a4 (A a,a 2 (b 3 )) = 0, ezért b 3 szintén kielégíti a (4.9) egyenletet. (II.) Vizsgáljuk most a (4.0) egyenletet. A Blaschke-szorzatok és a Blaschkefüggvények definíciója alapján (4.0)-et felírhatjuk z a a z z a 2 a 2 z = a 4, alakban, amely ekvivalens a következő másodfokú egyenlettel: z 2 + a 4(a + a 2 ) (a + a 2 ) a 4 a a 2 } {{ } C z + a a 2 a 4 = 0. a 4 a a }{{ 2 } C 0 Kiderül, hogy a C 0 és C együtthatók mindketten függetlenek a kezdeti megválasztásától. A számolás részleteinek közlésétől eltekintünk, ez lényegében a 2 és a 4 értékének behelyettesítését jelentené a C 0 és C együtthatókat megadó formulákba valamint néhány további átalakítást. Elevenítsük fel, hogy

64 62 4. Egy inverz probléma megoldása a 2 = B p(b,b 2 )(a ), illetve a 4 = A a,a 2 (b 3 ). Végül azt kapjuk, hogy C 0 = b B p (b), és C = b p B p (b) p, ahol b = b 3 és p = p(b, b 2 ); tehát mindkettő független a -től. Mindenesetre e formulákat viszonylag könnyen ellenőrizhetjük egy-egy speciális esetre, például legyen a = 0. Ekkor C 0 = a B p (a ) B a (b 3 ) B Bp(a )(b 3 ) + B a (b 3 ) B Bp(a )(b 3 ) a B p (a ), majd alkalmazva a B 0 (z) = z és B a (0) = a azonosságokat: C 0 = C hasonlóképpen ellenőrizhető. 0 p b 3 B p (b 3 ) + ( b 3 ) B p (b 3 ) 0 ( p) = b 3 B p (b 3 ). Így tehát (4.0) két megoldása, b 3 és b 4 függetlenek a -től, ezért b 4 is jól definiált, ennélfogva az a 4 = A a,a 2 (z) egyenlőség b 4 esetén is teljesül, végül is b 4 szintén gyöke (4.9)-nek. (III.) Röviden megindokolhatjuk azt is, hogy b 4 D. Indirekt módon tegyük fel, hogy (4.0) valamely z 0 megoldására z 0. Viszont Blaschkefüggvények tulajdonságaira hagyatkozva a bal oldalra B a (z 0 ) B a2 (z 0 ) = B a (z 0 ) B a2 (z 0 ) = teljesül, míg a jobb oldalra a 4 <. Ez ellentmondás! Ezzel a 4.2. tétel állításait beláttuk. Numerikus vizsgálatok Numerikus számításaink szintén megerősítik b 4 független voltát a megválasztásától. Adott b, b 2, b 3 értékek mellett b 4 egyértelműen meghatározott. A konstrukció alapján világos az is, hogy ha felcseréljuk b és b 2 értékét, akkor ugyanazt a b 4 -et kapnánk. Viszont e három érték további permutációi által két újabb lehetséges értéket kapunk b 4 -re. A 4.3. ábrán szemléltettük b 4 három lehetséges értékét b = i, b 2 = i, b 3 = i esetén. Továbbá három különböző megoldást is bemutatunk a 4.3. ábrán a, a 2, a 3, a 4 megválasztására b, b 2, b 3 fenti értékei mellett; a értékének rendre

65 4.5. Összefoglalás b 4 b b 4 3 b ábra. Megengedett halmazok és a megoldások paraméterei. Balra: adott b, b 2, b 3 értékek (körök) mellett lehetséges b 4 értékek (ikszek), melyekkel megengedett halmazt kaphatunk a négy zérushelyre. Jobbra: 3 megoldás ugyanazon rögzített b, b 2, b 3 értékekre. Az első megoldást ikszek, a másodikat pontok, a harmadikat pluszjelek mutatják. a 0, majd i és i számokat választottuk Összefoglalás Ebben a fejezetben megvizsgáltunk egy inverz problémát a legegyszerűbb nem triviális Blaschke-kompozíciókkal, nevezetesen két kéttényezős Blaschkeszorzat kompozíciójával kapcsolatban. Megállapítottuk, hogy nem kapható meg négy tetszőleges zérushely ilyen kompozíciók által, viszont bármely ponthármas esetén három lehetőségünk van a negyedik pont megválasztására. Továbbá minden megengedett halmaz előállítására végtelen sok megoldás van a Blaschke-szorzatok paramétereire nézve. A tárgyalás közben bevezettük a reciprok Blaschke-függvények fogalmát, bizonyítottuk létezésüket és egyértelműségüket. Figyelemreméltó jelenség, hogy a Blaschke-függvények fontos szerepet játszanak a megoldások formalizálásában is. A témakörben készített és felhasznált Matlab programok letölthetők a következő címen: Természetesen ahol lehetséges szimbolikus matematikai programcsomagokat

66 64 4. Egy inverz probléma megoldása is felhasználtunk a kapott formulák ellenőrzésére Nyitott kérdések Említettük, hogy a B p (z) = B p2 (z) egyenletnek, ahol p, p 2 D, p p 2 két különböző z, z 2 T megoldása van. Ezen állítás részletesebb vizsgálata és elemzése érdekes eredményekre vezethet, például Blaschke-függvények argumentum-függvényével kapcsolatban (lásd [36], illetve 3.. fejezet). Ezeknek minden esetben kettő metszéspontja van? Továbbá rögzített b, b 2, b 3 D paraméterek mellett úgy tűnik, hogy a szóban forgó egyszerű kompozíció negyedik lehetséges zérushelyének, b 4 -nek az elhelyezkedése szoros kapcsolatban áll a Poincaré-féle körmodell hiperbolikus geometriai transzformációival. Talán pontosan egybeesik a b, b 2, b 3 pontok által adott hiperbolikus háromszög egy csúcsának a másik kettő szakaszának felezőpontjára vonatkozó tükörképével? Természetesen összetettebb Blaschke-kompozíciókat is érdemes lehet tanulmányozni. Például hogyan érhetjük el, hogy egy racionális szorzatrendszer zérushelyei között adott értékek (is) szerepeljenek? (Lásd [40, 66], illetve 2.5. rész.) Illetve mit állíthatunk, ha nem csupán két-, hanem többtényezős Blaschke-szorzatokat komponálunk? Ezzel kapcsolatban a következő sejtést fogalmazzuk meg. Egy n-edrendű és egy m-edrendű Blaschke-szorzat kompozíciója esetén n + m zérushely pozícióját írhatjuk el szabadon, a többi (n )(m ) pontot ezek már (a lehetséges permutációktól eltekintve) egyértelműen meghatározzák; viszont a komponálandó függvények paramétereire ebben az esetben is végtelen sok megoldást kaphatunk. Hasonló kompozíciókat megvizsgálhatunk közönséges másodfokú (avagy magasabb fokú) komplex polinomok esetében is. A tárgyalás és az eredmények valószínűleg az itt bemutatottakhoz hasonlóak volnának. Felfigyelhetünk arra is, hogy (4.6) feltétele B a (b ) = c B a (b 2 ) alakban is megfogalmazható, valamint tekintve, hogy B a (b) megfelel az a és b pontok hiperbolikus távolságának, abszolút értékeket véve felfedezhetjük az Apollóniuszkörök hiperbolikus változatát a Poincaré-féle körmodellben. (A pontok b -től, illetve b 2 -től mért távolságainak aránya állandó.)

67 5. fejezet Optimalizációs algoritmusok Nélkülözhetetlen valamely numerikus optimalizációs algoritmus használata annak érdekében, hogy a korábban ismertetett racionális függvényrendszerek paramétereit a lehető legjobban válasszuk meg. Ugyanis a paraméterek más és más értékei mellett a problémához, a feldolgozandó jelhez jobban, avagy kevésbé jól illeszkedő rendszert kaphatunk. Ez befolyásolhatja többek között a közelítés pontosságát, a szignifikáns együtthatók számát stb. A Nelder Mead-féle szimplex módszer volt az első olyan algoritmus, amelynek segítségével EKG jelek esetében a pólusok a priori becslése nélkül is igen jó közelítését tudtuk adni azok optimális elhelyezkedésének. Ebben a fejezetben ismertetjük ezt a rendkívül elterjedt numerikus eljárást, amelyet igen sok gyakorlati probléma megoldására alkalmaznak, viszont nagyon kevés matematikailag bizonyított tulajdonság ismert konvergenciájáról. A módszert eredetileg az R n térben, az euklideszi geometria elemeit használva fogalmazták meg. Most bemutatjuk ezen algoritmus általunk kidolgozott hiperbolikus változatának ötletét is, ahol a Bolyai Lobacsevszkij-féle geometria Poincaré-féle körmodelljét használjuk. Közöljük ennek a módszernek néhány alapvető tulajdonságát, és utalunk a 2 és 3 dimenzió esetében immár rendelkezésünkre álló Matlab implementációra is. A fejezet a [42] cikkünk szerkezetét és tárgyalásmódját követi. 65

68 66 5. Optimalizációs algoritmusok 5.. Bevezetés, motiváció A Nelder Mead-féle szimplex algoritmust 965-ben publikálták [5], és azóta rengeteg gyakorlati optimalizációs probléma közelítő megoldására alkalmazták lényegében az alkalmazott tudományok minden területén. A megjelenése óta eltelt évtizedekben az egyik legismertebb algoritmussá vált szinte tetszőleges függvények minimumhelyének meghatározására. Elterjedtségét és hatékonyságát fémjelzi az is, hogy ezt a módszert alkalmazza a néhány jól ismert numerikus matematikai programcsomagban, mint például a Matlab vagy a Scilab rendszerekben elérhető fminsearch utasítás. Természetesen az algoritmus matematikai szempontú tanulmányozására is sok figyelmet fordítottak, mégis még mindig nagyon keveset tudunk mondani konvergenciájával kapcsolatban. A bizonyított tulajdonságok hiányát először a [32] cikk orvosolta 998-ban, sajnos a leghasznosabb tételek csupán és 2 dimenzióban érvényesek. Ugyanazon kötet következő oldalain azonnal egy ellenpéldát is láthatunk 2 dimenzióban, ahol a módszer nem konvergál egy cseles (de sima és konvex) függvény és egy ügyesen megadott kiindulási pozíció esetében [48]. Nem csekély azon kísérletek száma sem, amelyekben megpróbálják a módszert módosítani, avagy korlátozni annak érdekében, hogy lehetővé tegyenek néhány konvergenciával kapcsolatos bizonyítást, lásd például [33, 6], vagy további kapcsolódó vizsgálatokat a [24, 25] írásokban. A módszer történetének egy szép összefoglalóját adja [74]. Saját tapasztalatainkat pedig többek között a [6, 35, 37] írásokban fogalmaztuk meg az algoritmus alkalmazásával kapcsolatban. Ma már a nemeuklideszi geometriák koncepciója is széles körben elfogadott és jól ismert. Elsősorban Bolyai János és Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij nevét kell megemlítenünk, akik egymástól függetlenül tisztázták a hiperbolikus geometria alapfogalmait a XIX. század első felében. Sokszor az ő tiszteletükre Bolyai Lobacsevszkij-geometriaként hivatkozunk rá. Később a hiperbolikus geometriai több modelljét is kidolgozták, egyike ezeknek a Poincaré-féle körmodell. A hiperbolikus geometriát sokszor ezen a modellen keresztül vezetik be, illetve tanulmányozzák. Ebben a modellben a sík pontjai az egységkör belsejének pontjai, az egyenesek pedig az egységkört merőlegesen metsző körívek. 2 Megjegyezzük, hogy ezzel az algoritmussal egyébként először egy geofizikai vonatkozású optimalizációs probléma kapcsán találkoztunk, ahol a feladat bizonyos vulkáni eredetű salakkúpokra legjobban illeszkedő egyenes körkúpok paramétereinek becslése volt [27]. 2 Természetesen a kör átmérőit is egyeneseknek tekintjük.

69 5.2. Nelder és Mead eredeti módszere 67 Manapság is jelennek meg újabb művek, melyek bizonyos euklideszi fogalmakat és tételeket ültetnek át a hiperbolikus geometria ezen modelljére [3]. Jelen munkánk is ennek a családnak egy újabb tagja. Méghozzá az eredetileg az R n térben, az euklideszi geometria felhasználásával megfogalmazott Nelder Mead-féle szimplex módszert fogjuk átültetni a hiperbolikus térre, a Poincaré-féle körmodellre (2 dimenzióban) és analóg módon az egységgömbre (3 dimenzióban). E kutatómunka motivációját gyakorlati problémáink adták. Adekvát pontokat ( pólusokat, paramétereket) kerestünk az egységkör belsejében a racionális rendszerekhez EKG jelek feldolgozása céljából, és a Nelder Mead-módszer felhasználásával sikerült ennek megoldását először automatizálni oly módon, hogy a ponthalmaz elhelyezkedésére ne kelljen már előre viszonylag jó becslést adnunk. Viszont így a Nelder Mead-algoritmus természetes közegét le kellett képeznünk az egységkör belsejére (lásd [6, 35], illetve 6. fejezet). Közben egy újabb ígéretes útként felmerült a fordított irány, vagyis az algoritmus adaptációja a probléma természetes közegéhez (amely a Poincaré-féle körmodellnek feleltethető meg). A következő oldalakon tehát az eredeti módszer ismertetése után összefoglaljuk kapcsolódó eredményeinket: bemutatjuk a hiperbolikus Nelder Mead-módszert, annak néhány alapvető tulajdonságát és a kapcsolódó Matlab programokat. Azt reméljük, hogy ezzel a megközelítéssel új nézőpontokat adhatunk mind az alkalmazások, mint az algoritmus matematikai elemzése tekintetében. A kapcsolódó szoftverek (Matlab programok) szabadon letölthetők a címről, segítségükkel az eredmények könnyen reprodukálhatók Nelder és Mead eredeti módszere Ebben a szakaszban megfogalmazunk egy szimplex módszert függvények minimalizálására, az eredeti [5] publikációt követve. Az algoritmus leírását úgy fogjuk megadni, hogy az R n tér speciális tulajdonságait, illetve az ott megfogalmazott számításokat kihagyjuk, pusztán geometriai fogalmakat használunk, ezzel lehetővé téve, hogy egyúttal akár az eredeti elgondolást, akár a hiperbolikus megvalósítást is mögé tudjuk képzelni.

70 68 5. Optimalizációs algoritmusok A módszer az n-dimenziós X térben elhelyezett nem elfajuló szimplex csúcsaiban számolt függvényértékek összehasonlításán alapul. Jelöljék a szimplex csúcsait x, x 2,..., x n+ X, a minimalizálandó függvény legyen f : X R, valamint y i := f(x i ) (i =, 2,..., n+). Kiindulhatunk egy tetszőleges szimplexből, amit rendszerint egy x s X kezdőpont és néhány közeli pont által adunk meg. Alapvetően a módszer egy lépése az, hogy a szimplex egy csúcspontját lecseréljük egy jobb pontra. Legyenek a h és l indexek olyanok, hogy y h és y l rendre a legnagyobb (legrosszabb, highest) és legkisebb (legjobb, lowest) vizsgált függvényértékek, továbbá legyen x az x i (i h) pontok súlypontja (avagy centroidja). A szimplex egy lépésének kivitelezéséhez négy műveletet alkalmazunk.. Tükrözés. Tükrözzük az x h pontot középpontosan az x pontra, legyen a tükörkép x r, valamint y r := f(x r ). Ha y l y r < y h akkor az x h csúcsot cseréljük le az x r pontra, és folytassuk a következő lépéssel. 2. Nyújtás. Ha y r < y l, akkor tükrözzük az x pontot középpontosan az x r pontra, így nyerve az x e pontot, y e := f(x e ). Ekkor x h helyett y e < y r esetén válasszuk az x e pontot, illetve y e y r esetén az x r pontot, majd folytassuk a következő lépéssel. (Tehát vagy egy megnyúlt szimplexszel megyünk tovább, vagy maradunk a tükrözés által kapott szimplexnél.) 3. Összehúzás. Ha y r y i minden i h indexre, akkor legyen x b = x r, ha y r < y h, illetve x b = x h, ha y r y h (tehát x b jelölje x r és x h közül a jobbikat), majd keressük meg az x és x b által adott szakasz x c felezőpontját, y c := f(x c ). Cseréljük le az x h pontot az x c pontra, majd folytassuk a következő lépéssel (ezzel az összehúzott szimplexszel); kivéve ha y c > min { y h, y r }, ekkor alkalmazzuk a következő műveletet. 4. Zsugorítás. Tartsuk meg egyedül az x l pontot, és minden i l indexre az x i csúcsot cseréljük le x i és x l szakaszfelező pontjával; majd lépjünk tovább. (Erre a műveletre [32] szerint igen kevés esetben van csak szükség, de előfordulhat.) 3 3 Az algoritmus leírásában alkalmazott újabb indexeket a műveletek eredeti angol elnevezései indokolják: reflection, expansion, contraction, shrink. Voltaképpen a shrink kezdőbetűje nem is kellett, felbukkan viszont a better szóé.

71 5.2. Nelder és Mead eredeti módszere 69 Ezekkel a lépésekkel a kezdeti szimplexünk úgymond alkalmazkodik a terephez (melyet az f függvény definiál), megnyúlik a lankás vidékeken, elkanyarodik a völgyek irányát követve, majd összehúzódik a végső minimum környékén ahogy már [5] is szemléletesen leírja az algoritmus viselkedését. 4 Az iteráció leállításának feltételeként választhatjuk például azt, hogy a függvényértékek szórása egy adott ε > 0 érték alá csökkenjen, vagy hogy elérjünk egy előírt lépéskorlátot stb. Az 5.. ábra bemutatja a Nelder Mead-algoritmus egy lépésében elképzelhető műveleteket 2 dimenzióban, az euklideszi síkon. Ebben az esetben a szimplex egyszerűen egy háromszög. Az 5.2. ábrán pedig egy példát láthatunk a módszer működésére az f : R 2 R, f(x, y) = x 2 + 6y 2 + 2xy másodfokú függvény optimumának keresése esetében, ahol a kezdeti szimplex csúcsainak koordinátái: (.2, 0.7), (.,.4) és (.7,.). Az első 0 lépést láthatjuk. x h x l x h x l x r x r x e x h x l x h x h x x x l l c x c x r x r 5.. ábra. Egy 2 dimenziós euklideszi szimplexen alkalmazható műveletek. Rendre: tükrözés, nyújtás, (külső és belső) összehúzás, valamint zsugorítás. A régi szimplexet sötétebb kék szín jelöli, az új szimplexet világosabb kék, a tükrözött szimplexet fehérrel tüntettük fel a nyújtás és az összehúzás esetében. Megjegyezzük, hogy a felezőpontok és tükrözött pontok kiszámítása egyszerű lineáris kombinációk segítségével felírható. Ezáltal válik az (euklide- 4 A módszer eredeti leírásában ez a négy művelet mind egy-egy paramétertől függ. Továbbá azt is megmutatják és indokolják, hogy a paraméterek természetes megválasztása amely megfelel tükrözések és középpontok számításának (ahogy fent is írtuk) bizonyul a leghatékonyabbnak a gyakorlatban is.

72 70 5. Optimalizációs algoritmusok ábra. A Nelder Mead-módszer az euklideszi síkon egy négyzetes függvény minimumhelyének keresése közben. szi) Nelder Mead-algoritmus könnyen megvalósíthatóvá, valamint igen hatékonnyá, még magasabb dimenziójú problémák esetén is Szerkesztések hiperbolikus síkon és térben Az előző szakaszban a Nelder Mead-féle szimplex módszert úgy fogalmaztuk meg, hogy minden lépésben valamiféle geometriai szerkesztésre hivatkoztunk: súlypont, illetve felezőpont megkeresése, középpontos tükrözés. Ezek azonban nem csak az euklideszi, hanem a hiperbolikus geometriában is értelmezhető fogalmak. Ebben a részben áttekintünk néhány megközelítést, hogy a kívánt pontokat hogyan határozhatjuk meg numerikusan a hiperbolikus esetben. Majd ezeket felhasználva elkészíthetjük a Nelder Mead-algoritmus hiperbolikus változatát 2 és 3 dimenzióban. 2 dimenzióban Tekintsük a hiperbolikus geometria Poincaré-féle körmodelljét. Ezt a modellt azonosíthatjuk D-vel, a komplex egységkörlemezzel. Tehát a sík pontjai a z D komplex számok. E modell egybevágósági transzformációi (a tengelyes 5 Egyébként ez a módszer egyik, kevésbé formális elnevezését az amőbamódszer a szimplex jellegzetes viselkedéséről kapta, mely valamelyest emlékeztet a szóban forgó egysejtű élőlény helyváltoztató mozgására.

73 5.3. Szerkesztések hiperbolikus síkon és térben 7 tükrözés kivételével) felírhatók a kétparaméteres Blaschke-függvények, tehát B a,ε (z) := ε z a az (a D, ε T, z C). alakú függvények segítségével. Egy lehetséges megközelítés a számítások megvalósítására azon a tényen alapszik, hogy tetszőleges w, w 2 D, w w 2 pontokhoz egyértelműen létezik olyan (a, ε, p) D T (0, ) hármas, amellyel B a,ε (0) = w, B a,ε (p) = w 2, továbbá B a,ε a [0, p] intervallumot a w és w 2 pontokat összekötő hiperbolikus szakaszra képezi. Ily módon felezőpontok, illetve tükrözött pontok számítását visszavezethetjük a (0, ) intervallum megfelelő pontjainak meghatározására. További részleteket erről a módszerről [6] ismertet. Ezen megközelítés előnye a komplex függvények segítségével történő elegáns és lényegre törő számítások lehetősége, a hátránya viszont, hogy túlságosan a komplex számsíkhoz, két dimenzióhoz kötött, magasabb dimenziókra történő általánosítása nehézkes. Az előző megközelítés analitikus technikáival ellentétben a második megközelítés geometriai ihletésű. (Persze két dimenzióban komplex kifejezések és Blaschke-függvények alkalmazása megint csak megkönnyítheti a számításokat.) Erről a megközelítésről egy kicsit részletesebb áttekintést adunk, mivel a saját implementációnk is elsősorban ezen alapszik. Lényegében a hagyományos geometriai szerkesztéseket kell numerikusan kivitelezni. Egy hiperbolikus egyenes alapvetően egy, az egységkört merőleges metsző körív. 6 Kiderül, hogy e körök c C középpontjára és r R, r > 0 sugarára c D, valamint cc = c 2 = + r 2 teljesül. Ha adott két pont a, b D, a b, akkor a rájuk illesztett hiperbolikus egyenest úgy kaphatjuk meg, hogy megkeressük az a és b pontokon átmenő, az egységkört merőlegesen metsző kört. Tudjuk, hogy a-nak az egységkörre vett inverz képét /a alakban is felírhatjuk, illetve hogy ez szintén a keresett körön fekszik (és ugyanez igaz b-re is). A kört tehát megkaphatjuk az a, b és /b pontokra illesztett körként. Ezt a problémát például egy lineáris egyenletrendszerre visszavezetve oldhatjuk meg. 6 Mivel az átmérők is a modell egyenesei, ezeket egy konkrét megvalósításban speciális esetként külön kell kezelnünk. Ekkor egyébként a számítások is egyszerűbbek. Hasonló speciális esetek három dimenzióban is előfordulnak majd, de a továbbiakban nem térünk ki rájuk részletesebben.

74 72 5. Optimalizációs algoritmusok Két hiperbolikus egyenes metszéspontjának meghatározását úgy fordíthatjuk le az euklideszi geometria nyelvére, hogy két kör metszéspontjait keressük (ha léteznek, avagy létezik), majd vesszük a D-n belülit. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a hiperbolikus geometriában nem fordulhat elő, hogy két egyenesnek két különböző metszéspontja van. Az a és b pontok közötti szakaszfelező merőleges egy olyan kör, amelynek középpontja rajta van egyrészt a és b (euklideszi) egyenesén, másrészt az egységkör, illetve a és b hiperbolikus egyenesének mint euklideszi körnek a hatványvonalán. Az előző három szerkesztés segítségével előállíthatjuk szakaszok felezőpontját, amely egyben két pont súlypontja is: keressük meg a két pontra illesztett egyenes és a két pont közötti szakaszfelező merőleges metszéspontját. A a D középpontú tükrözést pedig például Blaschke-függvények segítségével is megadhatjuk. A B a,0 ( B a,0 (z)) formula a z D pont a-ra tükrözött képét adja. (Az ötlet az, hogy a feladatot visszavezetjük az origó középpontú tükrözésre.) Ezzel immár rendelkezésünkre állnak mindazon szerkesztések, amelyek segítségével a Nelder Mead-módszert megvalósíthatjuk a hiperbolikus síkon. Azonban további geometriai szerkesztéseket is átültethetünk. Rendelkezésünkre áll az eltolás, a tengelyes tükrözés, az elforgatás, valamint egyenes adott pontjába állított merőleges hiperbolikus megfelelője. Az 5.3. ábra szemlélteti a hiperbolikus geometria néhány alapvető elemét a Poincaré-féle körmodellben, valamint a Nelder Mead-algoritmus egy lépésének lehetséges műveleteit (vesd össze az euklideszi esettel az 5.. ábrán, valamint az algoritmus 5.2. fejezetben megadott leírásával). Ebben az esetben a szimplex egy hiperbolikus háromszög. 3 dimenzióban A körmodell analógiájára három dimenzióban, azaz a hiperbolikus térben az egységgömb, S := { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = } felhasználásával dolgozunk. A tér pontjai a S belsejében lévő pontok lesznek, az egyenesek az S

75 5.3. Szerkesztések hiperbolikus síkon és térben 73 x h x l x e xr 5.3. ábra. Balra: A hiperbolikus síkgeometria néhány alapvető eleme. Két pontra illesztett egyenes, a pontokban az egyenesre állított merőlegesek, valamint a szakaszfelező merőleges. Jobbra: A kétdimenziós hiperbolikus szimplex transzformációi: tükrözés, nyújtás, (külső és belső) összehúzás, valamint zsugorítás. A régi szimplexet sötétebb szín jelöli, a tükrözött szimplex fehér; a nyújtott szimplex sárgás árnyalatú, a további műveletek eredményét pedig pusztán a körvonaluk mutatja. felületét merőlegesen metsző körívek, a síkok pedig az S-et szintén merőlegesen metsző gömbsüvegek. Kiderül, hogy az euklideszi tér megszokott szerkesztési feladatait (mint például egyenes illesztése két pontra, sík illesztése három nem kollineáris pontra, két sík metszésvonalának, vagy éppen egy szakaszt felező, merőleges síknak a meghatározása stb.) elvégezhetjük, sőt végigszámolhatjuk ebben a hiperbolikus térben is. Természetesen most nem sietnek segítségünkre a komplex függvénytan eszközei, a koordinátageometria segítségével kell boldogulnunk az R 3 téren, a hiperbolikus egyenesek és síkok helyett körvonalakban és gömbsüvegekben gondolkodva. A szerkesztések végigszámolásával és az implementáció részleteivel kapcsolatban a már hivatkozott programokra utalunk (lásd az 5.. szakasz végén). Az 5.4. ábra szemléltet néhány egyszerű geometriai szerkesztést ebben a háromdimenziós hiperbolikus térben, valamint a szimplex lehetséges műveleteit a Nelder Mead-algoritmus egy lépésében. Ebben az esetben a szimplex egy hiperbolikus tetraéder.

76 74 5. Optimalizációs algoritmusok 5.4. ábra. Balra: A hiperbolikus térgeometria néhány alapvető eleme. Három pont egy síkon, a kialakuló háromszög oldalegyenesei és egy, a síkra állított merőleges egyenes az egyik pontban. Jobbra: A háromdimenziós hiperbolikus szimplex transzformációi (a zsugorítás nélkül), körök jelölik az eredeti szimplex csúcsait, egy csillag az egyik oldal centroidját, ikszek az új szimplex lehetséges csúcsait A hiperbolikus szimplex algoritmus Most, hogy a Nelder Mead-féle szimplex algoritmust geometriai fogalmakkal adtuk meg (5.2. fejezet), a szükséges szerkesztések pedig rendelkezésünkre állnak a Poincaré-féle körmodellben és háromdimenziós megfelelőjén (5.3. fejezet), máris megkaptuk a módszer hiperbolikus változatát. Az 5.5. ábrán mutatunk egy példát a Nelder Mead-módszer működésére a hiperbolikus síkon. A felhasznált minimalizálandó függvény a híres Rosenbrock-függvény (avagy banánfüggvény, [5]) egy változata R 2 helyett D-n értelmezve az alkalmazott transzformációt többek között [35] részletezi. Ez a függvény annak köszönheti hírnevét, hogy a Nelder és Mead által javasolt algoritmus volt az első, amely meg tudta határozni a minimumát, a korábbi numerikus módszerek mind kudarcot vallottak. Most láthatjuk, hogy a hiperbolikus változat is képes az optimum felé tartani. Ezen túlmenően az 5.6. ábrán a Nelder Mead-módszer működését egy hiperbolikus téren értelmezett kvadratikus függvény esetében is megfigyelhetjük. Bátorítani kívánjuk az Olvasót arra, hogy a hivatkozott Matlab progra-

77 5.5. Néhány alapvető tulajdonság ábra. A Nelder Mead-algoritmus a hiperbolikus síkon. mok segítségével (lásd az 5.. szakasz végén) kísérletezzen ezzel az algoritmussal, különféle optimalizálandó függvényekkel, hiperbolikus geometriai szerkesztésekkel. Különösen a háromdimenziós grafikák jóval érthetőbbekké válnak, ha a felhasználó interakcióba léphet az ábrákkal, és nem csupán egy kinyomtatott síkvetületet nézegethet Néhány alapvető tulajdonság Az eredeti (megszorítások és módosítások nélküli) Nelder Mead-féle szimplex módszer konvergenciájával kapcsolatos matematikai vizsgálatok során igen kevés bizonyított tulajdonságot sikerült csak megadni. Lényegében minden ismert eredményt összegez a [32] írás. Ennek néhány általános megállapítása könnyedén lefordítható az imént bevezetett hiperbolikus változatok esetére is. Most áttekintjük az algoritmus ezen bizonyított tulajdonságait. 5.. állítás (a hiperbolikus szimplexek nem degeneráltak 7 ). Ha a kiindulási szimplex nem degenerált, akkor a hiperbolikus Nelder Mead-algoritmus lépései során keletkező további szimplexek sem degeneráltak. (Vesd össze [32, 3..() lemma]) 7 Azon, hogy a szimplex nem degenerált, avagy nem elfajuló, azt értjük, hogy a szimplex csúcsai nincsenek egy egyenesben (a hiperbolikus síkon), nincsenek egy síkon (a hiperbolikus térben), illetve általában: nem létezik olyan, a teljes térnél alacsonyabb dimenziós hipersík, amely a szimplex összes csúcsát tartalmazná.

78 76 5. Optimalizációs algoritmusok 5.6. ábra. A Nelder Mead-algoritmus a hiperbolikus térben. Bizonyítás. A konstrukció alapján, az egy lépés során vizsgált x r, x e és x c pontok (bármelyik irányú összehúzás esetén) mind szigorúan az n legjobb csúcs által definiált lapon kívül vannak, az x h és x pontokat összekötő egyenesen. Ha nem egy zsugorításról van szó, akkor a legrosszabb csúcsot lecseréljük a vizsgált pontok valamelyikére, így a szimplex továbbra is nem elfajuló marad. Ha az adott lépésben zsugorítást alkalmazunk, akkor a legjobb kivételével minden csúcsot az ő maga és a legjobb csúcs által meghatározott szakasz felezőpontjára cserélünk. Geometriai megfontolások alapján állíthatjuk, hogy ebben az esetben sem válik a szimplex elfajulóvá. A szimplex csúcsaiban felvett függvényértékeket y i -vel jelöltük. Most jelöljük azt is, hogy az iteráció hányadik lépésénél tartunk, és követeljük meg, hogy minden lépés elején a csúcsok rendezettek, azaz a k-adik lépésben y (k) y (k) 2... y (k) n+ teljesül egy n-dimenziós szimplex esetén állítás (a csúcsokban felvett függvényértékek konvergenciája). Legyen f egy alulról korlátos függvény az n-dimenziós X hiberbolikus téren. Ha a hiperbolikus Nelder Mead-algoritmust alkalmazzuk f minimalizálására egy nem elfajuló szimplexszel indulva, akkor (vesd össze [32, 3.3. lemma]). az ( y (k) ) sorozat mindig konvergens;

79 5.5. Néhány alapvető tulajdonság minden nem zsugorító k lépésben, y (k+) i y (k) i ( i n + ), és az i index legalább egy értékére szigorú egyenlőtlenség teljesül; 3. ha csak véges számú zsugorító lépést hajtunk végre, akkor (a) minden ( y (k) ) i ( i n + ) sorozat konvergál midőn k, (b) lim k y (k) i =: y i y(k) i (c) y y 2... y n+. ahol i n +, minden k értékre, Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ez az állítás nem mondja azt, hogy az algoritmus egy globális (vagy akár egy lokális) minimumhoz konvergál. Ez sajnos nem is igaz általában, lásd [48] ellenpéldáját. Bizonyítás. Az állítás belátásához a következőket kell meggondolnunk.. Mivel az algoritmus soha sem cseréli le a legjobb csúcsot egy magasabb függvényértékű pontra, azért az ( y (k) ) sorozat nem feltétlen szigorúan monoton csökkenő, illetve alulról korlátos (f-hez hasonlóan), ennélfogva konvergens. 2. Egy zsugorító lépés során kaphatunk magasabb függvényértékeket a szimplex csúcsaiban, viszont más műveletek mindig a legrosszabb csúcsot cserélik le egy jobbra, így a lépések elején megkívánt rendezést is figyelembe véve néhány érték szigorúan kisebb lesz, valamint egyik sem növekszik. 3. A zsugorító lépések rendkívül ritkán fordulnak elő a gyakorlatban, ezért azok véges számát feltételeznünk egy igen gyenge megkötés. Egyébként ezek az állítások közvetlen következményei a fenti indoklásoknak és konvergens sorozatok tulajdonságainak. Ezzel az állítás igazát beláttuk. Most megmutatjuk, hogy zsugorító lépések egyáltalán nem következnek be, ha a módszert az X hiperbolikus téren egy szigorúan konvex függvény esetén alkalmazzuk. Legyen : X X R egy metrika az X téren. 8 8 Példának okáért a Poincaré-féle körmodell szokásos metrikája kifejezhető Blaschkefüggvények segítségével, méghozzá (a, b) = B a (b).

80 78 5. Optimalizációs algoritmusok 5.. definíció (szigorú konvexitás). Az X hiperbolikus tér pontjaiban értelmezett f függvényről azt mondjuk, hogy szigorúan konvex, ha tetszőleges a, b X, a b esetén az a és b pontokat összekötő szakasz minden p pontjára (a végpontok kivételével) a következő teljesül: f(p) < λ f(a) + ( λ) f(b), ahol λ := (p, b) (a, b). Alapvetően ez a szigorú konvexitás szokásos definíciója, azonban most, mivel hiperbolikus terekben gondolkodunk, el kell hagynunk a hagyományosan a metrikus tér pontjainak lineáris kombinációit is alkalmazó képleteket. Könnyű látni, hogy valamely f szigorúan konvex függvény esetén, az a és b pontokat összekötő nyílt egyenes szakasz bármely p pontjára f(p) < max { f(a), f(b) } teljesül 9, speciálisan 2, 3 (vagy több) pont súlypontjában is kisebb a függvényérték, mint az adott pontokban felvett értékek maximuma állítás (szigorúan konvex függvények esetében nincs zsugorítás). Tegyük fel, hogy az X hiperbolikus tér pontjaiban értelmezett f függvény szigorúan konvex, és a hiperbolikus Nelder Mead-algoritmust alkalmazzuk f minimalizálására egy nem degenerált szimplexszel indulva. Ekkor egyik lépésben sem történik zsugorítás. (Vesd össze [32, 3.5. lemma].) Bizonyítás. Zsugorítást akkor hajtunk végre, ha nem fogadjuk el az összehúzás során nyert x c pontot. Megmutatjuk, hogy ez sosem következhet be. Ha egy összehúzással kapott pont vizsgálatához érkeztünk, akkor az algoritmus leírása alapján y n y r, valamint természetesen y n y n+ = y h is teljesül. Feltehetjük, hogy y r < y n+ (azaz y n y r < y n+ ), a másik eset hasonlóan tárgyalható. Most x az x,..., x n pontok súlypontja, így f szigorúan konvex volta miatt f(x) < y n. Az x c pont az x és x r által adott szakasz felezőpontja, ezért y c < max { f(x), y r } = y r. Így tehát y c < y r < y h teljesül, ezért az x c pontot elfogadjuk, egy összehúzási lépést teszünk, azaz a zsugorítás nem fog bekövetkezni. 9 Továbbá kiderül, hogy ez a tulajdonság is elégséges volna az 5.3. állítás belátásához.

81 5.6. Összefoglalás Összefoglalás A [42] írásunkat követve ebben a fejezetben tehát bemutattuk a Nelder Mead-féle szimplex módszert, továbbá a szükséges hiperbolikus geometriai fogalmak áttekintése után bevezettük annak hiperbolikus változatát. Az algoritmust a Bolyai Lobacsevszkij-geometria Poincaré-féle körmodelljének, valamint annak háromdimenziós megfelelőjének segítségével tárgyaltuk, illetve valósítottuk meg. Néhány rövid leíráson, illetve a kapcsolódó illusztrációkon keresztül bemutattuk a hiperbolikus sík és tér geometriai szerkesztéseit, valamint a Nelder Mead-módszer hiperbolikus változatát is implementáló Matlab programjainkat. Ezek szabadon letölthetők a hypnm/ címen, használatukra a B.3. függelékben adunk egy rövid példát. Végül az eredeti szimplex módszer néhány egyszerűbb matematikai tulajdonságát szintén megvizsgáltuk a hiperbolikus esetben További kutatási lehetőségek A Poincaré-féle körmodell mellett érdekes lehet átvinni a Nelder Meadalgoritmust más modellekre (mint például a Klein-modell, Poincaré-félsík modell stb.) vagy akár más geometriákra. Természetesen a magasabb dimenziós változatok vizsgálata és implementációja is várat magára. Persze mind az algoritmus gyakorlatban történő alkalmazása, konvergenciájával kapcsolatos tapasztalatok gyűjtése (összevetve az eredeti Nelder Meadmódszerrel), mind a hiperbolikus változat matematikai tulajdonságainak részletesebb vizsgálata is hátra van még. Az első feladat inkább egy mérnöki jellegű megközelítést igényel, a második pedig kevésbé tűnik ígéretesnek, tekintve az eredeti algoritmussal kapcsolatos hasonló erőfeszítéseket. Mindenesetre alacsony dimenziószám esetén lehet talán némi reményünk. A legegyszerűbb speciális esetet mindeddig nem is említettük: optimalizálás dimenzióban, egy hiperbolikus metrikával felruházott egyenesen, vagy egyenes szakaszon. Megemlítjük, hogy [32] megállapításai között az dimenziós esetre vonatkozóakat is találhatunk.

82 6. fejezet Alkalmazás: EKG görbék analízise Térjünk most rá racionális függvényrendszerek egy lehetséges alkalmazási területére, méghozzá EKG görbék feldolgozására. A következőkben röviden bemutatjuk az EKG felvételeket mint az orvosi diagnosztika egy fontos eszközét, ismertetjük javasolt módszerünket arra, hogy hogyan alkalmazhatók racionális függvényrendszerek az EKG jelek feldolgozásában, majd összefoglaljuk kapcsolódó mérési eredményeinket, tapasztalatainkat. Mindezeket számos hazai és nemzetközi publikációban is napvilágra hoztuk [6, 7, 29, 30, 35, 36, 37, 44]. 6.. Az EKG görbékről és azok feldolgozásáról A következő részben bemutatjuk az EKG felvételeket a legátfogóbb megközelítéstől a görbék egyre kisebb részei, diagnosztikai lehetőségei felé haladva; valamint digitális jelfeldolgozás szempontjából is elemezzük őket. Az EKG felvételek Az EKG görbék röviden EKG-k, avagy elektrokardiogramok az emberi szív működéséről készült felvételek. Méghozzá a szívben bekövetkező elektromos változások, a szív különböző területeinek depolarizációja (kisülése), illetve repolarizációja (újratöltődése) mérhető az emberi test felületén elhelyezett 80

83 6.. Az EKG görbékről és azok feldolgozásáról ábra. Példa papír alapú 2 pontos EKG felvételre. elektródák segítségével: vizsgálhatjuk a különböző elektródák között fellépő feszültséget, illetve ennek időbeli változását. Az alapján, hogy mely elektródák közötti feszültséget figyeljük, definiálhatunk különböző elvezetéseket, sávokat. Az elektródákat egy mérés során a végtagokon, illetve a mellkason rögzítik. A végtagokon elhelyezett elektródák adják az úgynevezett I, II, III elvezetéseket, valamint a kiterjesztett (augmented) avr, avl és avf elvezetéseket is, a 6 mellkasi elektróda pedig további 6 elvezetést definiál, melyeket hagyományosan V, V2, V3, V4, V5 és V6 jelöl. Ez a 2 elvezetés jelenti a szabványos EKG jelet. Természetesen egy egyszerűbb felvétel esetén például csak 3 vagy 6 elvezetést rögzítenek (a mellkasi elektródák nélkül), illetve például mobil mérőkészülékek esetleg még egyszerűbb jelet adnak, nem is feltétlenül a fenti szabványos elvezetéseknek megfelelőt. Viszont alkalmanként, a szív részletesebb megfigyelése céljából akár több tucatnyi elektródát is alkalmazhatnak. A 6.. ábrán láthatunk egy példát 2 elvezetéses 0 másodperces EKG felvételre egy 27 éves egészséges férfiról (a szerzőről, két és fél éve). Azon túl, hogy az EKG jelek különböző elvezetéseket rögzíthetnek (3, 6, Ma is jó egészségnek örvend.