Tanulási folyamat számítógéppel történő kölcsönhatásban

Átírás

1 Eövös Loránd Tudományegyeem Természeudomány Kar Tanulás folyama számíógéppel örénő kölcsönhaásban Dplomamunka Bakos kole maemaka anár szakos hallgaó Témavezeő: dr. habl. Lőrncz András udományos főmunkaárs ELTE TTK Informácós Rendszerek Tanszék 2004.

2 Köszönenylváníás Köszönöm dr. Lőrncz Andrásnak a dolgoza émájához, lleve szerkezeéhez kapcsolódó hasznos anácsa. Hálával arozom Póczos Barnabásnak és Takács Bálnnak a munkám során nyújo folyamaos ellenőrzésér és javaslaokér.

3 Taralomjegyzék. Bevezeés A dolgoza árgya Alkalmazo maemaka módszerek Dszkré Markov folyamaok Kerjeszés a reje Markov modellre (HMM A HMM három alapproblémája A HMM három alapproblémájának megoldása EM algormus EM folyonos megfgyelés eseére Kísérleleírás és érékelés Fejegér és gép anulás a sajáos kommunkácós szükséglee génylő személyek számára Kísérleek egészséges részvevőkkel Tes sérülekkel végze kísérleek Érékelés ábrákon kereszül Összefoglalás és keknés Perszonalzácós módszerek Humán echnológa előrejelzések Irodalomjegyzék... 56

4 . Bevezeés Széles körben erjednek az nernees anyagok, jók és rosszak egyarán. Megfonolásra érdemes hedelmek, évhek, deznformáló közlemények, és a ma udásunk legjavá összefoglaló nformácók egyformán léeznek. Érdekes módon a anulással, aníással, ananyagokkal kapcsolaos apaszalaról, udásról és nformácóáramról ugyanez elmondhaó. Van olyan ananyag, am már régen elavul, de közsmer, hogy van olyan s, am sosem vol jó. Van olyan, amnek eladásából nagyobb a haszon és egy dolog bzos: a legjobb ananyag sem jó mndenk számára. ncs álag gyerek, a ömeg haékony felzárkózaása esre szabhaó képességfejlesző programokól remélheő. Az nformácós echnológák gyors fejlődésének köszönheően ma már megvan erre a leheőség. Olyan algormusok, amelyek 0 éve még elképzelheelenek volak, de legalábbs kurózumnak számíoak, ma már az alapszofverben benne vannak. A gép anulás algormusa folyamaosan erjednek. Mndez leheővé, lleve nkább dőszerűvé esz, hogy a ananyagok személyre szabás problémájá a ma echnológával összekapcsoljuk. Egyelen példa s elegendő alán annak lluszrálására, hogy m jelen ez az összekapcsolás. A legolcsóbb webkamerák ára néhány ezer forn. A legújabb mobl elefonok már fényképezőgéppel és hamarosan sorozafényképezővel azaz kamerával s fel lesznek szerelve. A számíógép, vagy a mobl elefon s ad szöveges üzenee, az uóbb például szöveges menü kínál, vagy SMS szolgálaással rendelkezk. A szöveges üzene olvasójának szemmozgása aralmazha arra ualó jegyeke, hogy az lleő dszleás, vagy dszlea szemponjából veszélyezee. Ilyen eseben nylvánvaló, hogy más ípusú ananyagra van szüksége. Például, ha a dszlea szerze dszlea, akkor kevesebb hagyományos olvasandóra, megelőző, korrekcós módszerekre, dszlea ípusól függően eseleg valamlyen kegészíő segédeszközre, valamn a ananyaghoz szöveg és hangnformácó együesére lenne szüksége. Magyarország skolá az ország lélekszámához képes kvéelesen sok faal ehesége bocsáanak úra. Ugyanakkor a magyar okaásügy legsúlyosabb problémája a folyamaosan elégséges sznen, vagy azon alul eljesíő anulók magas aránya. Olyan faalokról van szó, akk hárányos helyzeűek, az skolában messze az álag ala 4

5 eljesíenek, a munkaerőpacról kszorulnak. Tehá a anulás problémák felderíése órás nemze feladaá vál. Az s kérdés, hogy gyógyían vagy anían kell elsősorban a anulásban eredményelen vagy folyamaosan aluleljesíő dákoka. Az skolákban s alkalmazhaó jáékos számíógépes mérések képesek lesznek jelezn, hogy kuluráls hárány, nyelv másság, eseleg deg elválozás, vagy ezek valamlyen kombnácója a fő oka az skola eredményelenségnek. Ez alapján megállapíhaó, hogy orvosra, egyén foglakozásokra vagy specáls képességfejlesző evékenységre van szüksége a gyereknek... A dolgoza árgya Dolgozaom első felében smereem a harmadk fejezehez szükséges maemaka háér, vagys a reje Markov modelleke. Hogy vlágos legyen előünk a cél, előbb lássuk, m foglal magába a harmadk fejeze, más szóval mlyen kísérleekről lesz szó. A harmadk fejezeben szereplő kísérleekben bemuaom, mkén lehe segíségére egyes sérül személyeknek a fejegér, mn eszköz, lleve egészséges dákok menny dő ala udják elsajáían használaá. A kísérleek egy részé az Eövös Lóránd Tudományegyeemen hajouk végre ö dokor képzésben részvevő hallgaóval. Feladauknak a fejegér-használa meganulásá ekneük, és e folyama során egy kézhasznála nélkül szövegbevel program vol segíségükre. Ebben az eseben jómagam jászoam a kísérlevezeő szerepé, úgyhogy személyesen véggköveheem az alanyok fejlődésé. Emelle a fejegere eszelük ké, súlyosan sérül faal közreműködésével s. Az ő eseükben személyre szabo programok szolgálák a fejegér-használa gyakorlásá. Mnd az egészséges, mnd a sérül személyek eseében végze kísérleek érékelésre kerülek. Az eredményeke ábrákkal lluszráljuk a könnyebb érheőség kedvéér. Az alkalmazo maemaka módszerek című fejeze muaja be a kísérleek elemzéséhez szükséges maemaká. I elsősorban a Markov és a reje Markov folyamaoka smerejük dszkré, lleve folyonos megfgyelésű eseekben. A dolgoza befejező részében szólok egyéb számíógéppel segíe perszonalzácós módszerekről: a bevezeőben emlíe egyénre szabhaó ananyagokról, anulás eljárásokról. Mndezek uán egy ks keknő nyújunk a jövőre. Megnézzük, mlyen 5

6 humán-számíógép alkalmazásoka jósol a ma és holnap echnkája. I öbbek közö szó lesz meserséges szervek alkalmazhaóságáról és a roboka fejleszéséről s. 6

7 2. Alkalmazo maemaka módszerek Bár már az 960-as években és az 970-es évek elején smerék, a reje Markov modell az uóbb néhány évben vál gazán népszerűvé. Felűnésének ké haározo oko ulajdoníanak. Először s, ez egy olyan szochaszkus modell, am maemaka eszközökkel jól kezelheő. Másodsorban a modell megfelelő használaával elérhejük, hogy egy sor fonos alkalmazás remekül működjön a gyakorlaban. Tehá sem a HMM elmélee, sem annak alkalmazása ( a beszédfelsmerésben nem jelen újdonságo. Az alapeórá Baum és kollégá publkálák []-[5] az 960-as évek végén, az 970-es évek elején. Ezzel szemben a HMM széleskörű megérése, és a HMM echnkára épülő beszédfolyama alkalmazása csupán az uóbb néhány évben űn fel [6]-[3]. Az ellenmondásra számos magyaráza adódk. Először s, a HMM alapelméleé maemaka szakfolyóraokban publkálák, amke álalában nem olyan mérnökök olvasak, akk a beszédfolyamaok problémán munkálkodak. Másk ok szern a eóra erede felhasználásáról nem vol elegendő okaóanyag, így a legöbb olvasó nem éree meg az elméleé, és sajá kuaásában nem uda felhasználn az. Megoldáskén okaó lapok sora készül, amk már gondoskodak a kuaó laborok számára elegendő részleekről. Így kezdék el használn a HMM-e az egyén beszédfelsmerés alkalmazásában [4]-[9]. Ez az érekezés egy ráláás kíván adn a HMM alapelméleére, valamn gyakorla részleeke szolgála az elméle alkalmazásának módszerere. Beveze Mndennap éleünk során gyakran alálkozunk olyan fgyelemre méló folyamaokkal, amelyek valamlyen formában jelekkel leírhaók. A jelek lehenek dszkré (pl.: egy véges ábécé beű szern, vagy folyonos ermészeűek (pl.: beszédmna, zene. A forrásjel lehe saconárus (saszka jellemző állandóak, vagy nem saconárus (a jel ulajdonsága dőről dőre váloznak. A jelek előfordulhanak sza (közvelen a forrásjelből származk, vagy zajos válozaban más forrásjel zavarásából, áéelekből. Alapveő probléma a héköznapok vlágában felbukkanó jeleke jelmodellekben, azaz a jeleke valamlyen maemaka apparáussal modellezve érelmezn. Különböző okok ma lehe valak érdekel jelmodellek alkalmazásában. 7

8 Először s, a jelmodell szolgálahaja az alapköve egy jelrendszer elméle leírásához. Ez a jel feldolgozására használhajuk fel. A másodk ok, amér a jelmodell gen népszerű, az az, hogy soka anulhaunk a forrásjelekről anélkül, hogy magá a forrásjele smernénk. Ez a ulajdonság különösen fonos, ha az akuáls forrásból nyer jelek kölsége magas. Ebben az eseben egy jó jelmodell segíségével szmulálhajuk az eredeé, és azon kereszül próbálhaunk róla mnél öbbe anuln. Végül a legfőbb ok, amér a jelmodellek fonosak: gyakran rendkívül haásosan működnek a gyakorlaban pl.: előrejelző, felsmerő rendszerkén. Több válaszás leheőségünk nyílk arra, mlyen jelmodell használjunk az ado jel ulajdonságanak leírására. A jelmodellek nagyjából ké részre oszhaók: deermnszkus és szochaszkus modellekre. A deermnszkus modell álalában khasználja, hogy a jel valamlyen ulajdonságá smerjük, pl. a jel egy sznusz hullám, vagy eponencálsak összege Ezekben az eseekben álalában a jelmodell paraméeréréke kell csak meghaározn (amplúdó, frekvenca, sznusz hullám szakasza, eponencáls nagyság. A jelmodellek másk fő oszálya szochaszkus modellek sora, amkben csak a jel saszka ulajdonsága próbáljuk kderíen. Ide arozk a Gauss, Posson, Markov folyama, és öbbek közö a reje Markov folyama s. A fen modellek alapveő felevése, hogy a jel jól jellemezheő, ehá ezen folyamaok eseében a feladaunk: a szochaszkus folyama paraméerenek meghaározása,. mér jelek segíségével Dszkré Markov folyamaok A szochaszkus folyama defnícója: Szochaszkus folyamanak nevezzük a gyakran d paraméerl függ valószínség válozók összességé. A legálalánosabb ese az, ha egy szochaszkus folyama mnden dponban más és más valószínség örvényszerségeke köve aól függen, hogy a paraméer mlyen érékeke vesz fel. Ennek egy specáls esee, ha egyérelmen smerjük a szochaszkus folyama valószínség-eloszlásá, vagys a szochaszkus folyama mnden dponban jól meghaározo valószínség örvényszerségeke köve. Amíg egy konkré valószínség válozóval kapcsolaos megfgyelés leheséges kmeneele (elem eseménye egy-egy konkré száméréke jelenenek, addg egy szochaszkus 8

9 folyamaal kapcsolaos megfgyelés leheséges kmeneele (elem eseménye a [0;T] dparaméer egy függvényekén jelenkeznek. A szochaszkus folyamaok dparaméere lehenek folyonosak, vagy dszkréek. Elbb eseben folyonos dparaméer szochaszkus folyamaról beszélünk, uóbb eseben, pedg dszkré dparaméer szochaszkus folyamaról (lyenek például az dsorok. Gyakran a vlág bonyolulságá a maemaka csak nehezen udja leírn. Van azonban olyan része a szochaszkus folyamaoknak, ahol elegend a vzsgál lépés megelz smernünk ahhoz, hogy kövekezeéseke vonjunk le a jelen állapora. Ezek a Markov folyamaok. A Markov folyama defnícója: Egy folyamao Markov - folyamanak nevezünk, ha a folyama múlbél kmeneele a folyama jövőbel alakulására csak a jelen állapoon kereszül gyakorol befolyás. A fen defnícó úgy s érelmezheő, hogy ha egy Markov - folyamanak egy ado dőponban smerjük az állapoá, akkor ezzel a folyama jövőbel szochaszkus vselkedése egyérelműen meghaározo. Teknsünk egy olyan rendszer, am bármkor leírhaó elkülönülő állapo egykével. Bzonyos dőközű dszkré dő elelével a rendszerben állapoválozás örénk (ez lehe vsszaérés ugyanabba az állapoba s, az állapookhoz arozó ámene-valószínűségek szern. Az állapoválozásokkal járó dőpllanaoka, 2, - vel, a dőpllanaban az akuáls állapoo y vel jelöljük. A fön rendszer eljes valószínűségű leírásához álalában szükséges a ényleges állapo jellemzőnek smeree csakúgy, mn az előző állapooké. Dszkré Markov folyamaok eseében a valószínűség leírás csupán a ényleges és az az megelőző állapo smereére szoríkozk. P(y S j y - S, y -2 S k, P( y S j y - S ( Az egyszerűség kedvéér csak azoka az eseeke eknjük, amknél az egyenlőség jobb oldala dőől függelen, ezálal állapoámene-valószínűségek egy márához juunk, amnek eleme a j vel jelöljük. a j P(y S j y - S, j (2 Az állapoámene együhaója a kövekező ulajdonságokkal bír: a j 0 (3a 9

10 j a j (3b A fen szochaszkus folyamao egy megfgyelheő Markov modellnek s nevezhenénk. Ugyans a folyama kmeneele megegyezk az egyes dőpllanaokból álló állaposorokkal, és mnden állapo egy fzka eseményhez köődk Kerjeszés a reje Markov modellre (HMM Ezdág a Markov modelleke ekneük á, amknél mnden állapo egy fzka eseményhez köődk. Azonban ez a modell úl korláozo ahhoz, hogy sok, mnke érdeklő problémára használhaó legyen. A Markov modellek kerjeszésével az az esee s árgyaln udjuk, mkor a megfgyelés egy valószínűség függvénye az állaponak. Az ez eredményező HMM dupla szochaszkus folyamao foglal magába. Ugyans aralmaz egy olyan alárendel szochaszkus folyamao s, am reje, így megfgyeln nem udjuk, csupán a becslésére van leheőségünk. A HMM formáls leírása Egy HMM a kövekezőféleképpen írhaó le:. a modellbel állapook száma. Bár az állapook rejeek, mégs gyakorla alkalmazások során gyakran csaolnak az állapookhoz, ll. állaposorozaokhoz néhány ermészeszerű érelmezés. Az egyes állapooka S {S, S 2,, S } -nel jelöljük, a dejű állapoo pedg y -vel. Álalában az állapook olyan módon vannak összekapcsolva, hogy bármely állapoból bármely másk elérheő. Igaz - ahogy később lán fogjuk -, gyakran olyan összeköeésű állapook az érdekesek, amkre ez nem eljesül. 2. M az állapoonkén felűnő egyes megfgyelések száma. Pl.: egy véges ábécé nagysága. A megfgyelés szmbólumoka a modelleze rendszer fzka kmeneele alapján haározzuk meg. Az egyes szmbólumoka a kövekezőképpen jelöljük: V {v, v 2,, v M } 3. A az állapoámene valószínűség-eloszlás szern szochaszkus mára. A { a j }, ahol a j P(y + S j y S, j 0

11 j a j (4 Abban a specáls eseben, amkor bármely állapo elérheő egy másk állapoból egyelen lépésben, az a j > 0 szükségképpen eljesül mnden, j -re. A HMM más ípusaban leheséges az a j 0 egy, vagy öbb, j párra. 4. B szochaszkus már, a megfgyelés szmbólum valószínűség-eloszlása a j állapoban. Jelölje a. dőpllanabel megfgyeléshez arozó valószínűség válozó. Ekkor: B {b j (k}, ahol b j (k P( v k y S j j, k M, M k b j (k. j-re (5 5. { } a kezde állapoeloszlás, ahol π P(y S. (6 Amennyben az, M, A, B megfelelő éréke adoak, a HMM-e generáorkén használhajuk, hogy megadjunk egy megfgyelés sor ( T 2 T, ahol egyke a V szmbólumanak, és T a megfgyelések száma a sorozaban a kövekezőképpen: Válasszuk kezde állaponak y S, a kezde állapoeloszlás szern. 2 Legyen. 3 Válasszuk v k az S állapoban b (k valószínűséggel 4 Legyen az új állapo y + S j, az S állapo a j ámene valószínűsége szern. 5 A + e válaszva vsszajuunk a 3 lépéshez, amennyben < T. Különben az eljárás befejeződk. 6. θ a modell paraméerenek összessége. Dszkré modell eseében az A, B szochaszkus mároka, valamn a kezde állapoeloszlás rej magában. Folyonos megfgyelés modell eseében, pedg B helye az. állapohoz arozó megfgyelés modell paraméere jelöl. A fön eljárás felhasználhaó egy megfgyelés generáorakén, és egy modellkén arra, hogy egy egyed HMM hogyan generál egy ado megfgyelés sorozao. Az eddgek alapján láhaó, hogy egy dszkré megfgyelésű HMM eljes jellemzéséhez ké modellbel paraméer (, M jellemző, a megfgyelés szmbólumok ulajdonsága, valamn a három valószínűség (A, B és éréke szükséges. A kényelem kedvéér a modell eljes paraméere összeeen jelöljük:

12 λ (A, B, π. éhány gyakorla példán (érme dobáló kísérleek, urnás modell kereszül közelebb kerülheünk a HMM fogalmának megéréséhez. Érme-dobáló kísérleek: Teknsük a kövekező helyzee. A szobában ülő ké ember közö egy paraván húzódk, amn kereszül nem lán á. A paraván egyk oldalán ülő bemuaja az érmedobálós kísérlee (vagys pénzérmé dobál, és megnéz, melyk oldalára ese. Az, ak az érmé dobálja, mnden dobás uán feje, vagy írás mond. Ilyen módon egy reje érme-dobálós kísérlesoroza áll elő az eredményeke hallgaó fél számára. ek a megfgyelés egy személyen kereszül áéeles, így aralmaz ném bzonyalanságo: gaza mond-e az érmedobáló, nem hbázo-e, sb. A megfgyelés soroza aralmazza a hallo fejek és írások sorrendjé. Egy megfgyelés soroza lehe: T 2 T F F F Í Í F Í Í Í F, ahol F a feje, Í az írás jelöl. A fönebb elmondoak alapján felmerülhe a kérdés: hogyan udunk felépíen úgy egy HMM-e, hogy leírja a fejek és írások megfgyelés sorozaá? Az első dönés, am meg kell hoznunk az, hogy mvel azonosuljanak a modellbel állapook. A másodk: hány állapoú lesz a modell. Az érme-dobáló kísérle során feléelezhejük, hogy egy egyoldalú érmé dobálunk. Ebben az eseben a helyzee egy kéállapoú modell írja le, ahol az egyes állapook az érme egyes oldalanak felelnek meg. Az urnás modell: A kövekező modell a HMM alapgondolaá egy bonyolulabb helyzere erjesz k. Felevésünk szern van üvegurnánk. Mndegyk urna nagyszámú színes golyó aralmaz. Tegyük fel, hogy M különböző színű golyóval rendelkezünk. A kísérle a kövekezőképpen zajlk. Valak vélelenszerűen válasz egy kezde urná. A kválaszo urnából vélelenszerűen húz egy golyó. A golyó színe jelen a megfgyelés. A golyó vsszahelyezzük abba az urnába, ahonnan kemelük. Azán válaszunk egy új, és az előzőől különböző urná, ebből húzzuk a kövekező golyó. A Markov ulajdonság az urnaválaszásban jelenk meg: jelenleg válaszásunk függ az előzőől, mer (a fön kísérleleírás alapján ugyanazon urnából nem húzhaunk egymás uán. Az eljárás során 2

13 színek megfgyelés sorozaá nyerjük, amke egy HMM megfgyelheő kmeneelekén lehe modellezn. Egyérelmű, hogy az urnás eljárásnak megfelelő legegyszerűbb HMM olyan, amben mnden egyes állapo egy urná jelen, más - más szín eloszlásokkal. Lássuk, m jelenenek az egyes HMM modellbel részek a fön kísérleekben. Az érme-dobáló kísérleben mnden állapo megfelel egy egyoldalú érmének. Az urnás modellben az állapooka az urnák haározzák meg. Az érme-dobáló kísérleekben a fej és írás, míg az urnás modell eseében az urnákból kválaszo golyók színe felelnek meg a megfgyelés szmbólumoknak A HMM három alapproblémája Három alapprobléma léezk, amk megoldása uán a modell hasznossá válha a mndennap alkalmazásban.. probléma: Ado az T 2 T megfgyelés soroza, és egy (A, B, modell. Hogyan udjuk haékonyan kszámoln P( T, vagys a megfgyelés soroza valószínűségé a modell smereében? 2. probléma: Ado az T 2 T megfgyelés soroza, és egy (A, B, modell. Hogyan válasszunk egy hasonló y T y y 2 y T állaposor, am legnkább összeegyezeheő a megfgyelésekkel? 3. probléma: Hogyan állísuk be a (A, B, modell paraméere, hogy mamalzáljuk P( T? Az els probléma egy számíás dlemma. A kérdés az, hogy ado modell és megfgyelés soroza melle hogyan udjuk kszámoln annak a valószínűségé, hogy a modell az ado megfgyelés sorozao állíoa elő. Vagys mennyre llk az ado modell egy ado megfgyelés sorozahoz? Ez a nézőpon akkor fonos, ha öbb versengő modell közül kell válaszanunk. Ezen probléma megoldása leheővé esz, hogy a megfgyelésekhez legnkább passzoló modell melle dönsünk. A másodk probléma során megkíséreljük felfedn a modell reje részé, vagys megaláln a helyes állaposorozao. Érheő, hogy - a degenerál modellekől eleknve - nem udjuk meghaározn a helyes állaposorozao. Csupán anny eheünk, hogy mnden egyes állaposorozanak meghaározzuk a valószínűségé, és a legnagyobb 3

14 valószínűségű kválaszjuk. A gyakorla megoldások során álalában valamlyen opmalzáló krérumo használunk annak érdekében, hogy a leheő legjobban oldjuk meg a problémá. Azonban, ahogy később lán fogjuk, öbb ésszerű opmalzáló krérum s léezk, ezér a krérum megválaszása erősen függ a erveze felhasználásól. A harmadk probléma eseében gyekszünk megbecsüln a modell paraméere oly módon, hogy a leheő legjobban írják le az ado megfgyelés soroza bekövekezésé A HMM három alapproblémájának megoldása Az els probléma megoldása Szerenénk az T 2 T megfgyelés soroza valószínűségé kszámían ado modell melle. Kérdésünk: P( T? A legegyszerűbb mód az, ha számba vesszük az összes leheséges T hosszúságú állaposorozao. (T a megfgyelések száma. Teknsük a kövekező állaposor: y T y y 2 y T, ahol y a kezde állapo. (7 Az T megfgyelés soroza valószínűsége, amennyben a (7 állaposor ado: P( T y T, λ T P( y, λ, (8 hszen a dőpllanaú megfgyelés csak az y állapoól függ. A fön jelölésekkel élve: P( T y T, λ b ( b (... b ( y y2 2 yt T. (9 Egy lyen y T állaposor valószínűsége az y Markov ulajdonsága ma: P(y T λ π y a y y a y y a y y... a y T y. (0 T T és y T közös valószínűsége (annak valószínűsége, hogy T és y T egy dőben lép fel megegyezk a keő szorzaával: P( T, y T λ P( T y T, λ P(y T λ. ( Az T valószínűségé az együes valószínűség mnden leheséges y állaposorra való összegzésével nyerjük: 4

15 P( T λ y y..., 2 y T y y..., 2 y T P( T y T, λ P(y T λ (2 ( a b ( a b ( π. (3 y b y yy2 y yt yt A fön egyenlőség kszámíásának magyarázaa a kövekező: Kezdeben ( az y állapoban vagyunk π valószínűséggel, és az jel előáll ( y yt T b y valószínűséggel. A -ről egye lépünk a 2 felé, vagys az y állapoból az y 2 állapoba juunk a valószínűséggel, és lérejön az 2 szmbólum ( y y 2 b y 2 2 valószínűséggel. Az eljárás hasonlóan folyaódk, míg el nem érjük a T dőpllanao, vagys az y T- állapoból az y T állapoba kerülés kelekezk. a y T y T valószínűséggel, amely során az T jel y ( T b T valószínűséggel Egy ks uánagondolással beláhaó, hogy a P( T kszámíása a (3-as defnícó érelmében mnegy 2T T számíás gényel. Ugyans mnden (, 2, T eseén leheséges állapoban leheünk, ez összesen T darab állaposorozao jelen. Valamenny állaposoroza 2T számíás aralmaz, így érjük el a 2T T darab számíás. Ez a számolás mód a gyakorlaban kvelezheelen, még az és T ks érékere s. Egy sokkal haékonyabb módszer szükséges ahhoz, hogy megoldjuk az első problémá. Szerencsére léezk lyen eljárás, mégpedg a forward-backward (előre-háramenő algormus. A forward-backward algormus A forward (elremen algormus Teknsük az ( válozó, a kövekező defnícóval: α ( P(, 2,,, y S λ, (4 vagys keressük egy ( 2 részleges megfgyelés soroza és az S állapo valószínűségé a dőpllanaban, ado modell segíségével. ( kszámolhaó rekurzívan: Kezde: α ( π b (, (5 Az α ( az S állapo és az megfgyelés közös valószínűsége. 5

16 2 Indukcó: α + (j [ α ( a j ] b j ( +, T-, j (6 Ez az előremenő számíás közpon része. Az S j állapo a + dőpllanaban leheséges állapoból érheő el ( j. ( közös valószínűsége az 2 megfgyeléseknek, és a dőpllanaú S j állaponak. Az (a j szorza a közös valószínűsége az 2 megfgyeléseknek, és annak, hogy az S j állapoo a + dőpllanaban érük el a dejű S állapoon kereszül. Amennyben ez a szorzao szummázzuk a dőben leheséges összes állapo szern, eredményül az S j valószínűségé kapjuk a + dőpllanaban az összes korább részleges megfgyelésekkel együ. Ha ez megvan, és S j smerjük, könnyen láhaó, hogy + (j fennáll, eknve a j állapoú + megfgyelés. A (6 számíása az összes j ( j állapora előáll ado (, 2, T- érékekre. Az alább ábra muaja az S j állapoba juás eseé. 3 Befejezés: P( T λ α ( α + (j α T (, (7 hszen α T ( P( 2 T, y T S λ (8 A 3 lépés az T ( válozók összegzésekén adja meg a kíván P( T számíás eredményé. A számíás eljárás vzsgálva kderül, hogy megközelíőleg mndössze 2 T művelee gényel, szemben a drek módszer 2T T számíásával. 6

17 Az előremenő eljárás alapja az úgyneveze rácssrukúrán nyugszk. Ennek lényege, hogy csak állapo van, az összes leheséges állaposor ebben az rácsponban olvad össze, nem örődve a megfgyelés sor hosszával. A dőben szükségünk van az ( érékére (. A 2, 3,, T dőben csak az (j éréke kell kszámolnunk, ahol j. Ez eseben mnden egyes számíás az - ( nek csupán korább éréké aralmazza, hszen valamenny rácspon ugyanazokból az rácsponokból érheő el az előző dőrésnél. A backward (háramen algormus Hasonló módon megadhaunk a háramenő algormusnak s egy válozó: ( β P( + +2 T y S, λ. (9 ( β a megfgyelés soroza egy részének (+ ől a végég, T g a valószínűsége az ado dejű S állapo és modell smereében. A β ( ndukcós eljárás adódk: Kezdeben eszőlegesen megválaszhajuk, hogy ( T ( T válozó számolására a kövekező β éréke legyen az összes -re: β, (20 2 Az ndukcós lépés során vegyük fgyelembe, hogy a dőben az S állapoban volunk, valamn hogy a (+. dőpllanaól áll rendelkezésünkre a megfgyelés soroza. Ekkor meg kell nézzük az összes leheséges + dőben lévő S j állapoo. Vagys az S állapoból az S j állapoba kerülünk a j vel, az + megfgyelés, pedg a j állapoban a b j ( + jellemz. Az alább ábra ez lluszrálja. β ( β ( j + 7

18 Ezér β ( a b ( ( j A ( j j j + β +, T-, T-2,,. (2 β ( T, és meghaározása körülbelül 2 T számíás gényel. A másodk probléma megoldása Ellenében az első probléma egzak megoldásmódjával a másodk probléma felárására öbb echnka kínálkozk. A sokféleség az ado megfgyelés sorozaal kapcsolaos opmáls állaposor megalálásából adódk. A nehézség az opmáls állaposor defnálásában rejlk, az elérő opmalzálás krérumok ma. Például egy leheséges krérum annak az y nek a kválaszása (mnden re, am önmagában a legvalószínűbb. Ez az opmalzáló krérum mamálja a helyes egyedül állapook várhaó számá. A másodk probléma megoldásához vezessük be a ( válozó az alább megadással: γ ( P(y S T, λ. (22 Vagys ( annak a valószínűsége, hogy dőben az S állapoban vagyunk az ado T megfgyelés sor és modell smereében. A (9 es egyenlősége könnyen kfejezhejük az előre-háramenő algormus válozóval: α ( β ( γ ( T P( λ α ( β (. (23 α ( β ( ( felel meg az 2 megfgyelés soroza első agjának, valamn az ado S állaponak a dőben. β ( jelen a fönnmaradó + +2 T megfgyelés sorozao, és az ado dejű S állapoo. A P( T ( β ( ( α normalzáló ényező ma γ. (24 ( felhasználásával megadhajuk az önmagában legvalószínűbb dejű y állapoo: y arg ma [ γ ( ], T. (25 Bár (25 mamalzálja a helyes állapook vár számá (kválaszva a legvalószínűbb állapoo mnden re, mégs adódha néhány probléma az eredményül kapo sorozaal. Előfordulha, hogy a HMM aralmaz zéró valószínűségű ámeneeke (a j 0 8

19 néhány, j párra, így az opmáls állaposor lehe, hogy nem s léezk. Tehá (25 egyszerűen megadja mnden pllanara a legvalószínűbb állapoo, de nem örődk az állapo-sorozaok valószínűségével. Egy leheséges feloldása a fen emlíe problémának az opmáls krérum válozaása. Keressük azoka az állaposorozaoka, amk helyes állapo-párok, állapohármasok, állapo-négyesek sb. vár számá mamalzálják. Bár ez a krérum néhány alkalmazás során ésszerű, a legszélesebb körben hasznosíhaó krérum csak az egyedül legjobb állaposor (ú megalálása lehe. Ehhez mamálnunk kell P(y T T,-, y T ben. Így ugyanaz kapjuk, mnha P(y T, T mamálnánk y T -ben, ugyans P(y T, T λ P(y T T, λ P( T λ, ahol P( T λ konsans érékű. Az egyedül legjobb állaposor léezésének megalálására szolgáló formáls eljárás dnamkus programozáson alapszk, és Verb algormusnak nevezk. Verb algormus Az ado T { 2 T } megfgyelés sorozahoz keres a legjobb y T {y y 2 y T } állaposor. Ehhez szükségünk van a ( δ ( ma ( y,...,, y2 y δ mennység defnálására. P(y y 2 y, 2 λ (26 δ a hosszú reje állaposorozahoz arozó legnagyobb valószínűség, am számba vesz az első megfgyelés, és az S állapoban fejeződk be. Indukívan adódk ( j δ + ( j [ma δ : + ( a j δ ] b j ( +. (27 Azér, hogy valójában vsszanyerjük az állaposor, az argumenum nyomá, am (27 mamalzál, meg kell aranunk mnden és j -re. Ez Ψ ( j állaposor megalálására a eljes eljárás a kövekező: Kezde: δ ( ( ( b -vel jelöljük. A legjobb π, (28a Ψ 0 (28b 2 Rekurzó: δ ( j ma [ δ ( a j ] b j (. 2 T, j (29a 9

20 Ψ ( j ma 3 Befejezés: arg [ δ ( a j ], 2 T, j < (29b * p ma [ ( δ ], 4 Úvonal vsszanyomozás: * q Ψ ( * T * q T arg ma [ T ( δ ] (30 + q +, T-, T-2,,. (3 Láhaó, hogy a Verb algormus nagyban hasonlí az előremenő eljáráshoz - a vsszanyerő rész kvéelével. A fő különbség az előző állapook mamálásában rejlk (29a, am az összegző eljárás helye végezünk (6. Az s észreveheő, hogy a rácsszerkeze haásosan elősegí a Verb eljárás számíásá [20]. A harmadk probléma megoldása A harmadk és a legbonyolulabb HMM probléma egy eljárás meghaározása a modell paraméerekhez úgy, hogy mamalzáljuk a megfgyelés soroza valószínűségé a modell smereében. Annak érdekében, hogy a HMM paraméerenek újrabecslés eljárásá leírjuk, egy újabb válozó vezeünk be: ( j ε P(y S, y + S j T, λ. (32, ( j ε annak a valószínűsége, hogy dőben az S állapoban, + dőben pedg az S j, állapoban vagyunk ado megfgyelés soroza és modell melle. Események, eseek sora veze azokhoz a feléelekhez, amke a (32 megköveel. 20

21 - α ( β ( j Az előre-háramenő algormus válozónak defnícója alapján: ( j ε, α ( a b ( β ( j j j + + P( T λ α j ( a b ( β ( j α j ( a b ( β ( j j j + j + + +, (33 ahol a számláló éppen P(y S, y + S j, T, és ez oszva P( T val a kíván eredményhez juunk. Korábban a ( válozó annak a valószínűségekén defnáluk, hogy dőben az S állapoban vagyunk ado megfgyelés soroza és modell smereében. Jelenleg, az ( j ε válozó bevezeése uán ( éréke másképpen s kfejezheő:, γ ( ( j ε. (34, Ha a ( ke a ken kereszül szummázzuk, akkor olyan mennysége kapunk, am az S állapoba kerülések várhaó számának érelmezheünk. Más szóval azon ámeneek várhaó számá kapjuk, amke az S állapoból hajounk végre (ekkor kzárjuk a T lépés a szummázásból. Hasonlóan ( j ε szummázása n kereszül (, 2,, T-, az S állapoból az S j állapoba örénő ámeneek kíván számá haározza meg. Vagys: T γ ( az S állapoból örénő ámeneek várhaó száma (35a 2

22 T ( j ε az S állapoból az S j állapoba örénő ámeneek, várhaó száma (35b A fön formulák használaával megadhajuk a HMM paraméerenek újrabecslésére szolgáló módszer. Az ésszerű újrabecslő formulák A, B és π re a kövekezők: π az S állapo felűnésének várhaó gyakorsága ben a j γ ( (36a az S állapoból az S állapoba örénõ ámeneek várhaó száma az S állapoból örénõ ámeneek várhaó száma j T ε T γ (, j ( (36b b j ( k j állapo érnésének és v k szmbólumok megfgyelésenek várhaó száma a j állapo érnésének várhaó száma T γ vk T γ ( j ( j. (36c Amíg az akuáls (A, B, modell a (40a ól (40c g aró egyenlőségek jobb oldalának kszámolására használjuk, addg az egyenleek bal oldala a λ ( A, B, π újrabecsül modell haározzák meg. Baum és kollégá bebzonyíoák ([3], [6], hogy ké ese áll elő:. A kezdő modell a lkelhood függvény egy krkus ponjá defnálja. 2. A λ modell valószínűbb a modellnél abban az érelemben, hogy P( T λ > >P( T. Vagys alálunk egy olyan új λ modell, amből valószínűbb, hogy a megfgyelés sorozaok előállak. A fen eljárás alapján λ - beülehejük helyébe, és megsméelhejük az újrabecslő számíás. Ekkor az T megfgyelés valószínűségé addg javíhajuk a modell segíségével, amíg el nem érünk bzonyos haárponoka. Ezen újrabecslő eljárás végső eredményé a HMM mamum lkelhood becslésének nevezzük. Megjegyezzük, hogy a forward-backward algormus csupán lokáls mamumhoz veze. A legöbb 22

23 probléma eseében az opmalzácós felüle nagyon összee és sok lokáls mamumo hordoz. A harmadk probléma megoldása EM becsléssel A (36a (36c újrabecslő formulá közvelenül Baum segédfüggvényének λ szern mamalzálásával s származahajuk: Q(λ, λ T y P(y T T, λ log [P( T,y T λ ]. (37 Baum és kollégá beláák ([3], [6], hogy Q(λ, λ mamálása nagyobb valószínűséghez veze: ma λ [ Q(λ, λ ] P( T λ P( T λ. (38 Ez erálva a lkelhood függvény végül monoon nő. Az újrabecslő eljárás fonos köveelménye, hogy a HMM paraméerenek szochaszkus megszoríása auomakusan eljesülnek az egyes lépések során: π, (39a j a j, (39b M k ( b j k. j (39c A paraméerbecslés problémájára úgy eknve, mn a P( T megszorío opmalzálására, Lagrange szorzóka használhaunk a π, j a és ( k b j azon érékenek megalálására, amk P( T mamálják. Könnyen láhaó, hogy P( T akkor mamáls, ha a kövekező feléelek alálkoznak. P( T - P vel jelölve : π a j P π π P π k k π k a j a P a j P a k k k, (40a, (40b 23

24 b j ( k b M j ( k b P b ( l j l j ( k P b j ( l. (40c A (40-es egyenleek megfelelő áalakíásával az egyes egyenlőségek jobb oldala azonossá eheők a (36a (36c jobb oldal kfejezésevel. Ez muaja, hogy az újrabecslő formulák valójában eljesen helyesek a P( T krkus ponjanál EM algormus Mn az előbbekben már emlíeük, a HMM - valamn sok más szochaszkus reje válozóka aralmazó modell - paraméer becslése egy még álalánosabb kereben, az EM módszerek segíségével s elvégezheő. Az alábbakban ez smerejük. Jelöljük a reje válozóka y-nal. Álalában ezeke a modelleke együes eloszlással írjuk le: p(, y,θ p( y,θ p(y θ p(θ. e felejsük el, hogy a log-lkelhood függvény szerenénk mamáln: L(,θ log [p( θ ] + log [p(θ ] log [ dy p(, y θ ] + log [p(θ ]. A mamum lkelhood becslés a Bayes becslés egy specáls eseének eknhejük, mvel elhagyja a kezde ago (p(θ. M a ovábbakban meghagyjuk p(θ, mvel nem nehezí a számíás, és sokkal álalánosabb esehez veze. Egyszerű áválan ML becslésre, csupán p(,θ kell p( θ ra cseréln. em felügyel anulás eseében egyszerűen felehejük, hogy n, ahol mos az eddgekől elérően n -ben a fölső n (n,2,, nde az jelz, hogy számíásunka darab sorozaból hajjuk végre. L( n,θ n log [p( n θ ] + log [p(θ ], míg felügyel anulás eseében { n, n } - használhajuk, és folyahajuk a szébonás: 24

25 L( n, n,θ n log [p( n n,θ ] + n log [p( n θ ] + log [p(θ ]. A log-lkelhood függvény mamálásánál azonban kderül, hogy ezek az egyenlőségek úlságosan bonyolulak, és léezk egyszerűbb módszer, az elvárás mamálás (EM. Az öle alapköve, hogy sokkal könnyebb a log [p(,y,θ ] együes sűrűségé opmalzáln, ha smerjük y éréke. Sajnos, nem vagyunk lyen szerencsés helyzeben, ezér az y knegrálásához kellene folyamodnunk. Azér, hogy az y knegrálásá leegyszerűsísük, a kövekező függvény opmalzáljuk: Q(θ θ E [log [p(,y,θ ],θ ], ahol egy korább erácóból adoak a paraméerérékek. Tehá E-lépés: Q(θ θ kszámíása, néhány a korább θ erácó során - becsül paraméer segíségével. M-lépés: Q(θ θ mamálása θ -n kereszül. Állíásunk: az EM eljárás az egyes lépések során nem csökken a log-lkelhood függvény éréké. Az alábbakban ez bzonyíjuk. Teknsük az L θ ( függvény, am a θ paraméeren kereszül mamalzálunk, a kövekezőképpen: L θ ( F θ [,q] + R θ [,q], ahol R θ [,q] az válozó és a q függvény szern pozív maradék ag, és a kövekező ulajdonságokkal bír:. R [,q] 0 q-ra (4 2. p, am eseén R [,q] 0. (42 Ezekkel a ulajdonságokkal könnyen bzonyíhaó, hogy a kövekező eraív séma mnden egyes erácó során nem csökken L( e: L θ ( F θ [,p ] F θ + [,p ], ahol + θ arg ma θ F θ [, p ] L θ + ( - R θ + [,p ], felhasználva a p q + egyenlősége L θ + (, mvel R [,q] 0 q-ra. Mos már csak az a kérdés, hogy honnan veük az R [,q] függvény. A ovábbakban megmuajuk, hogy amennyben L-e a log-lkelhood függvénynek eknjük, R könnyen származahaó, és a fen eraív sémá használhajuk a log-lkelhood 25

26 függvény mamálására. Az alábbakban q(y egy eszőleges valószínűség-eloszlás jelöl. L(, θ log [p(,θ ] dy q(y log [p(,θ ] p(, y, θ q(y ] dy q(y log [ p(y, θ q(y Q(q P közös + H(q q + KL(q P poseror Fölhasználuk, hogy dy q(y, és a kövekező jelölésekkel élünk: Q(q P közös dy q(y log [p(,y,θ ] H(q q - dy q(y log [q(y] q (y ]. KL(q P poseror [ dy q(y log p(y, θ KL(q P poseror a Kullback-Lebler ávolságo jelen a eszőleges q(y valószínűségeloszlás, és a poseror p(y,θ eloszlás közö. Ha vsszaeknünk az erede opmalzáló problémára, láhajuk, hogy F ( Q + H és KL R defnálásra, R ké ulajdonsága (4, (42 pedg bzonyíásra vár. Mndkeő közvelen kövekezk abból a ényből, hogy a KL ag a q(y és p(y,θ eloszlások ávolságá számíja k. A KL ávolságról belájuk, hogy mndg pozív, lleve 0-val megegyezk, amennyben q(yp(y,θ. Ha q(y p(y,θ, akkor R 0, és a másodk (42 ulajdonság eljesül. Az első (4 ulajdonság a Jensen egyenlőlenség kövekezménye: E [f(] f (E[] konve f függvényekre. Mvel f( -log ( konve, a kövekező írhajuk: KL(q p q d q [log ( ] p p d q [- log ( ] q - log [ d q p ] q - log d p 26

27 - log ( 0, vagys KL(q p 0 az első (4 ulajdonságnak megfelelően. Az E-lépés meghaározásához behelyeesíjük a q(y p(y, θ egyenlősége Q- ba, és álagoljuk raja log [p(, y, θ ]-e. Az M lépés pedg Q mamálja θ -ben. Vegyük észre, hogy az M lépés nem más, mn az F Q + H mamálása, mvel H nem függ θ -ől. Megmuauk, hogy a fen erácók mnden egyes lépésben nem csökkenk a loglkelhood függvény éréké. Ez egy előnyös ulajdonság, ha mamum lkelhood becslés szerenénk. Meg kell azonban jegyeznünk az s, hogy ebből még nem kövekezk az EM algormus konvergencája, hsz előfordulha, hogy az algormus öbb ugyanolyan log-lkelhood érékű pon közö erál EM folyonos megfgyelés eseére E fejezeben bemuajuk, hogy az EM módszer segíségével hogyan udjuk a folyonos megfgyelésű HMM paraméere megbecsüln. A modell leírása Először s leírjuk a reje és megfgyel állapook közös valószínűsége, és a Markov ulajdonsággal egyszerűsíjük őke. Az eredmény magába foglalja az a fonos ulajdonságo, mszern a dejű reje állapo (y -vel jelölve nem függ a korább állapookól és megfgyelésekől, csak az eggyel korább, - dejű állapoól. Vagys a múlban örén összes nformácó az előző dőpllana állapoának éréke összesí. Hasonlóan, a dejű megfgyelések ( -vel jelölve s függelenek a korább állapookól és megfgyelésekől, amennyben ado az y dejű állapo. A eljes valószínűsége a kövekezőképpen írjuk le: p(y, p(y p ( y y ahol y { y,,y }. 2 A ovábbakban szükségünk lesz a kövekező mennységekre: p ( y, (43 γ, p(y (44 27

28 Ω p(y és y j (45,j A j p(y y j (46 B, p( y (47 α, p(y (48 κ p( (49 β, p( +,..., y p(,..., + (50 µ, p(y. (5 e felejsük el, hogy az A j ámene-valószínűség nem függ az dőől, hanem egy konsans márszal leírhaó. Paraméer becslés: a Baum-Welch algormus (EM Az elkövekezőkben az {A j, µ }-, valamn azoka a paraméereke gyekszünk megbecsüln, amk a B, megfgyelés modellben húzódnak. Lássuk a Q függvény!, Q n dy p(y, n log [p(y 2 p (y y p ( n y ] n dy p(y, n log p(y + n 2 dy dy p(y,y, n log p(y y + + n dy p(y, n log p( n y k n n γ, log µ, + n 2, j n Ω, j log A j + n n γ, log B, (52, n -ben a fölső n (n,2,, nde az jelz, hogy számíásunka darab sorozaból hajjuk végre. A fölső nde a megfgyelések hosszá jelöl: 2. Mos s eljesülnük kell bzonyos megszoríásoknak: µ (53, A j re (54 j 28

29 Az (53 és (54 feléel eljesíésére álalában a Lagrange mulplkáor alkalmazzuk. A Q helye a kövekező függvény használjuk: Q Q - µ λ ( µ, - - λ j ( j Aj -. (55 Az EM algormus M (mamalzácós lépésének megfelelően vesszük az (55-ös (helyeesíe függvény, derváljuk µ szern, majd nullára rendezzük: Q µ, γ n, λµ n µ, λ µ, (56 ma n µ, γ, n ahol a konsans λ µ meghaározhaó az (53 as megszoríásból. Végül ma n µ,, n γ. (57 Az újabb mennység a kövekezőképpen írhaó le: µ a várhaó száma annak, hogy a ma, rendszer a dőben az állapoban van. A µ kszámíásához analóg haározzuk ma, meg A : Q A j Ω n, j λ j n 2 Aj λ ma j A j ( n 2 ahol felhasználuk, hogy Ω n, j n 2 n 2 Ω γ n, j n, j, (58 Ω j γ,, j. (59 ma A j az állapoból a j állapoba kerülés várhaó száma, oszva a j állapoból örénő ámeneek várhaó számával, vagys annak a várhaó éréke, hogy a j állapoból az állapoba juunk. Végül, a megfgyelés valószínűségekre a kövekező álalános alako használjuk: p( y ;θ B (. (60, θ A B ( jelöléssel kapjuk:, θ 29

30 ma n θ argma θγ, log B, ( θ n. (6 Szemben a dszkré megfgyelésű HMM-mel, mos felesszük, hogy a megfgyelések mnden egyes reje állapoban Gauss eloszlásúak, így kapjuk: G B, ( p( y G [ ν, Λ sűrűségfüggvényé. [ ν, Λ ]. (62 ] vel jelöljük a Gauss eloszlás ν várhaó érékű és Amennyben (62 ő a (6 -be helyeesíjük, ν és rendezzük (6 -e, a kövekező eredményre juunk: Λ kovaranca márú Λ szern derváljuk, majd nullára ma ν n γ n n, γ n, n, (63 ma Λ n n n ma n ma γ, ( ν ( ν n γ n, T n γ, n n γ n n, n ν ma ν ma. (64 Az E lépés marad hára, vagys az,.hogy smeressük az eddg felhasznál rekurzív formulák származaásá. Kezdjük α -vel, az előremenő rekurzóval. α p(y y p( y p(y p( y p(y α, B A, jα, j j κ A rekurzó kezdő agja: α p(y y p( y p(y p( y p(y (65 30

31 3, α j j j B B,,,, µ µ. (66 κ -re a kövekező adódk: κ p( y y p ( y p(y y p(y κ j j j B A,,, α. (67 Az első ag pedg: κ p( ( y p y p(y B,, µ. (68 Kövekezzen a, β háramenő rekurzó. β,..., ( y,..., ( p p,..., ( ( y y,,..., ( y p p p +,..., ( ( y (y y,..., ( y p p p p +,..., ( ( y (y y,..., ( y ( y p p p p p + + j, β j B A κ β,, (69 Ezen rekurzó kezdee: β ( y ( p p κ y p p y (y y ( j, β κ A j B, j, β, (70

32 ahol az uolsó sor a (69 -es eredményének derválásából kelekeze. Az alábbakban megmuajuk, hogy γ és mennységekkel. γ p(y Ωkfejezheő az α, κ és β rekurzív p(y p( p( p( p(y +,..., + p(,...,, y p( + +,..., p( p(,..., y γ α, β, (7. Végül lássuk Ω -. Ω p(y,y p(,..., y p(y p(,..., y p(y Ω.j p( y p( B A + p(, β, jα, j κ,..., y p(y p( +,..., y p(y Ezzel befejezük az E-lépés. Az E és M lépés együvéve a paraméerek ML becsléséhez ar. A fen rekurzónk nagyban különböznek az erede Baum-Welch előre-háramenő rekurzókól, ugyans auomakusan fgyelnek a skálázás problémára. Ezzel szemben a megszoko α és β mennységek geomeralag gyorsan konvergálnak a nullához, ha a soroza hossza nő. Hogy elkerüljük a maemaka alulcsordulás, a hagyományos mennységeke külön kell skálázn. A Lkelhood kszámíása A paraméereke már k udjuk számían, de hogyan udunk velük felsmerés végezn? Tegyük fel, hogy beaníounk egy rövd HMM e öbb emberrel kmondao szavakra. Célunk, hogy fölsmerjük a megegyező szavaka akkor s, ha különböző alanyok ejk k őke. Erre vonakozó eljárás lehe, hogy kszámíjuk a szavak (72 32

33 valószínűsége az egyes modellekben, és a legnagyobb valószínűségű kválaszjuk. A eljes valószínűség szern L kszámíhaó: L p( p( p( 2 κ. (73 (73 arra s használhaó, hogy fgyelemmel kövessük az EM algormus konvergencájá, mvel (73 mnden lépés során növekszk [2]. 33

34 3. Kísérleleírás és érékelés 3.. Fejegér és gép anulás a sajáos kommunkácós szükséglee gényl személyek számára. A fejmozgással rányío kurzor számos előny kínál azon emberek számára, akk alernaív kommunkácós eszközöke gényelnek. A ovábbakban egy már elérheő fejegér rendszer smereünk. A rendszer eszelésében egészséges emberek melle olyan személyek s közreműködek, akk specáls kommunkácós szükségleel rendelkeznek. Ők beszéln nem udnak, áblák segíségével arják a kapcsolao a külvlággal, és mozdulaak álalában nagy kerjedésűek, nehezen konrollálhaók. Az egészséges részvevők eseében vzsgálaunk a fejegérre, mn szövegbevel eszközre rányul, míg uóbb sérül személyek eseében kísérleünk a kövekezőke vzsgála: segí-e az eszköz a fejmozgás konrolljá javían, képes-e fnomían a felhasználó (álalában nagy kerjedésű mozdulaa? A fejegér kváló eszköz a fenek megfgyelésére, mvel képes közvelen vzuáls vsszacsaolás bzosían. Eredményenk mndké szemponból ígéreesek. Bevezeés Szakemberek és családok nap, mn nap alálkoznak olyan emberekkel, akk számára a kommunkácó még nem megoldo probléma. Gyakran azér nehéz szembenézn az akadállyal, mvel a személy es eheelensége súlyos: a es konrollálalan mozgása ma a számíógép használaa nehézségekbe üközk. Mvel ezen sérül emberek számára gyakran a számíógép jelen az egyedül anulás és kommunkácós eszköz, dönő jelenőséggel bír a megfelelő (egyed hozzáférés megalálása. Évek óa keresnek alernaív megoldásoka. Különböző rendszerek, amk fej, lleve szemkonroll használnak, már kereskedelm forgalomban kaphaók, de álalában sok probléma merül föl alkalmazásuk során. Legöbbjüke nehéz használn, alapos rénnge gényelnek, és rendszern úl sok köveelménynek kell elege enn ahhoz, hogy kezeln udjuk őke. (Ilyen köveelmény lehe a megfelelő háérvlágíás, egyed elhelyezés, fegyelmeze felhasználó, nagyon jó láás. Ezenkívül legöbbjük nagyon drága, különösen, ha a beegbzosíás nem állja a kölségeke. 34

35 Az egyeemen olyan rendszer kdolgozásán munkálkodnak, am észlel a fej mozgásá, és a számíógép kurzorjá ennek megfelelően vezérl. A fejegér rendszer azon a ényen alapszk, hogy a ma álagos számíógépek sok összee képfeldolgozás problémá képesek valós dőben, skeresen megoldan. A közönséges webkamerá gyors képfeldolgozó szofverrel egyesíeék, majd apaszalaoka gyűjöek ezzel a rendkívül olcsó módszerrel. A módszer ovább előnye, hogy alkalmazása nem zavarja a felhasználó, ugyans nncs semmféle fzka összeköeés köze és a számíógép közö. Mndamelle van néhány hbája s az álalunk kpróbál álalános célú programoknak. A mozgásfelsmerő eljárás egész képernyőn működk, így a fej mozgásán kívül észlel mnden egyéb mozgás s. Ez előny jelenhe abban az eseben, ha az egere a es más részének mozgása rányíja (pl. fej helye a kéz. Azonban legöbbször zavaró haással bír: lyen, amkor nemkívánaos mozgás örénk a háérben (pl.: valak séál a szobában. A fejegér rendszer [22] ez a gondo egy fejkereső eljárással orvosolja. Rendszerünke a gép anulás módszere s ámogaják. A szofver ngyenes és szabadon leölheő az Inerneről. A program képernyője az -es ábrán láhaó. Reméljük, hogy a fejegér egy alernaívá, valamn rugalmas megoldás bzosí a számíógép-hozzáféréshez és a öbb szolgálaáshoz. Az nellgens rendszer ámogaására a fejegér négy egysége aralmaz, melyek különböző céloka szolgálnak: adagyűjés, mozgáselemzés, alakfelsmerés és a rendszer vselkedésének személyre szabásá. A program fő örekvése alkalmazkodn a felhasználóhoz: csoporosían és felsmern a fejegér-használó egyén mozgássémá. Az egér mozgásának elemzésekor ks számú mozgássémá szerenénk aláln, amk 00ms-g, vagy ovább aranak A magas korrelácó muaó adaoka, amk közvelen észlelés úján nem apaszalhaók, reje válozóknak nevezzük. A ovábbakban ezeke a reje válozóka vselkedés összeevknek fogjuk hívn. Az alacsony kölség melle a szofver fő érdeme, hogy leheővé esz a számíógép használaá elemzésre és a mozdulaok, lleve próbálkozások felsmerésére. Felhívja fgyelmünke arra a sokféle megoldásmódra, am a személy annak érdekében esz, hogy a kurzor a fejegérrel megfelelően mozgassa különböző körülmények közö, pl.: jáék, levélírás, Inerneen való böngészés közben A vselkedés összeevők smereőjegye személyről személyre válozhanak és különböző jellemvonásuk leheséges. Ema ez a faja csoporosíás más célokra s föl 35

36 lehe használn, például annak felsmerésére, hogy a felhasználó mlyen feladao haj éppen végre. A rendszer másodk előnye: elősegí a felhasználó eljesímény-fejlődésé. Mnke azok az eljárások érdekelnek, amke a számíógép akkor alkalmazha, amkor a felhasználó egyk sajá vselkedés összeevőjével foglalkozk. Amennyben a rendszer képes a anulásra és arra, hogy előre megjósolja egy egyén felhasználó vselkedés összeevőjének kmeneelé, valamn ha a szofver képes bzos dönéseke hozn, amk során a felhasználó előnyös helyzebe kerül, a eljesímény javulása leheséges. Elv megfonolások rámuanak az úgyneveze megerősíéses anulásra és ennek kerjeszésére [23], am Markov eljárásokon alapszk. Ezzel a háérrel öszönözve úgy dönöünk, hogy reje Markov modelleke (HMM használunk a felhasználók vselkedésének csoporosíására [24] Kísérleek egészséges részvevkkel Egészséges részvevőnk a kéz nélkül szövegbevel eszközzel, az úgyneveze Dasherrel végezek kísérleeke [25]. Azér ese válaszásunk erre az eszközre, mer egészséges és esleg sérül emberek egyarán használhaják. A Dasher a Cambrdge Egyeemen dolgozák k. A program geszusok álal rányío, haékony szövegbevel eszköz. A Dasher méreválozaó felüleel rendelkezk: ahogy rárányíjuk a muaó érdeklődésünk erüleére, a megfelelő aromány knagyíódk. A muaó egy egyszerű beű, vagy beűk kombnácójára lehe közelíen, mközben ezek a ponok egy-egy szövegdarabhoz hasonlíanak. A gépelés a megfelelő beű, lleve beűkombnácó kválaszásából áll. A Dasher egy nyelv modell s ámogaja, am előrejelz a leheséges rákövekező beűk, beűkombnácók valószínűsége. A valószínűbb szövegrészek álal elfoglal erüleek nagyobbak, így könnyebb őke kválaszan. A kevésbé valószínű szövegrészek álal elfoglal erüleek ksebbek, így írásuk s nehezebb (pl.: hbás szöveggépelés eseében. A nyelv modell képes gépelés közben anuln: ha egy szó begépelünk, a későbbekben nő a valószínűsége és az álala elfoglal erüle nagysága, így a legközelebb alkalommal könnyebb lesz megalálnunk. A Dasher képé és részleesebb leírásá a 2-es ábrán, lleve alaa láhajuk. A programo ö egészséges Ph.D-s dákkal eszelük. A 3-as ábra összefoglalja a kísérleek eredménye. A grafkon összegz a hagyományos egér, lleve fejegér segíségével használ Dasher anulás folyamaá. Valamenny részvevő gyakorlo vol 36

37 a hagyományos egérkezelésében. Kb. 7-0 kísérle eljesíése uán skerül meganulnuk a fejegér használaá, úgy, hogy a később kísérleek során nem muakozo a anulás folyamaban ovább javulás. Az ö részvevőből négyen megközelíőleg a normál egérrel megegyező gépelés sebességg juoak. Az öödk egyén lassabbnak bzonyul a fejegérrel örénő gépeléskor, ám nek s skerül a hagyományos egér sebességével gépelne, mhelys a Dasher nyelv modellel használa. A rendszer ksegíő-funkcójának szemponjából a személyre szaboság első lépése - ahogy már ualunk rá - a részvevők jellegzees vselkedés összeevőnek anulása és felsmerése. A rendszer meganula, hogyan mozgaa az egyén a kurzor, majd saszka elemzések során csoporokba gyűjöe - a reje Markov modell echnkával- az egyes részvevők vselkedésmódjá. A 4-es ábra muaja az ö részvevő eredményé a gyakorló eljárás elő és az köveően. A reje Markov modell megkívánja néhány kezde paraméer beállíásá. Ö belső állapoo keresünk: a kurzor fölfelé, lleve lefelé örénő mozgaása nagyjából azonos az ábécé elejéhez, lleve végéhez való közelíéssel. Jobbra örénő mozgaás eseében a gépelés sebessége nő. Amkor az alany egy ado helyzeben arja a kurzor (vagys nem mozgaja, az jelen: mnden rendben, az eljárás megfelelő. Egy öödk mozgásípus a hbajavíásokból ered. Több reje állapo kpróbálása uán ez az állaposzám ada a legérdekesebb eredményeke. Egy mozgás komponens ké paraméer alapján jellemezünk: álagos sebességgel és a sebesség szórásával. Ezekkel egy-egy mozgássémá kédmenzós ellpszssel lehe ábrázoln, ahol az orgó nulla vízsznes és nulla függőleges sebességnek felel meg. Az aláluk, hogy mnél nagyobb a különbség az álagok közö, és mnél ksebbek a szórások, annál nagyobb az esélye, hogy a gép felsmer a részvevő vselkedés sémájá. A anulás eljárás elején (a.4-es ábrán belül ksbeűk jelzk a reje Markov modell echnka szern, a különböző állapook jelenősen egybevágnak egymással. A anulás során az állapook közül négy, csekély áfedés muao egymással, az öödk állapo vszon körülbelül nulla álagsebességű és nagy szórású vol. Összehasonlíva a csoporoka a ényleges cselekménysorozaokkal, a kövekező érelmezés adhajuk a csoporoknak: ( Jól megy, csak így ovább!, (2 Olyan beű kell válaszanom, am közelebb van az ábécé elejéhez. (mn a c beű a d-hez képes, 37

38 (3 Olyan beű kell válaszanom, am közelebb van az ábécé végéhez. (akárcsak az e beű a d-hez képes, (4 Mnden rendben, gyorsíhaom az eljárás., végül (5 Hbázam, javíanom kell!. Hogy lássuk a módszerünk vselkedés jellemzőjének a leheősége, eknsük meg a 4- es ábra (e és (E álal jelze alábrá az egyéb o alálhaó ábrákhoz vszonyíva! Ezek a sémák a 3-as ábrán láhaó rosszabbul eljesíő kísérle személyhez aroznak. Ebben az eseben az ábrák az muaják az (5-ös csoporípusól eleknve, hogy a vselkedés sémák könnyen felsmerheők. M öbb, a reje Markov modell a különböző sémák relaív gyakorságá s elárulja. Kderül, hogy ez a személy szne sohasem hbázk. Módszerek Kísérleenk Budapesen, az Eövös Loránd Tudományegyeemen, valamn az Alkalmazo Kommunkácós Közponban zajloak. Valamenny kísérlee azonos beállíások melle végezük. A eszek során normál aszal PC- használunk. A felhasználó körülbelül 60 cm-es ávolságban ül a képernyővel szemben. A webkamera a képernyő eején helyezkede el. A fejegér szofver az Inerneen hozzáférheő, akárcsak az elemző szofver, am Malab-ban íródo [26]. A kísérleeke egy elkülöníe szobában végezük. Megközelíőleg 00 rövd mondao állíounk elő, melyekből a kísérlee vezeő személy vélelenszerűen válaszo, majd hangosan fölolvasa azoka. Olvasás közben a kísérlevezeő leüö egy bllenyű a számíógépen, ezzel az írás kezdeé vee, majd a gépelés befejezésekor leállíoa a kísérlee. A eszek folyamán a kísérlevezeő följegyeze, amennyben különbsége észlel az olvaso és a gépel szöveg közö Tes sérülekkel végze kísérleek A Dasher nagyon hasznos alernaív kommunkácós eszköz, mkor a felhasználó csupán egy kédmenzós analóg bevel eszköz brokol, amlyen az egér (normál, lleve alernaív, vagy joysck. Mndenképp kényelmesebb használn, mn egy képernyőn megjeleníe bllenyűzee. A Dasher nem gényel pel-ponosságú muaás és a ks hbákra sem úl érzékeny, mndamelle jó kurzor-szabályozás 38

39 képessége kíván. Azon sérül személyek, akk a fejegérhez hasonló eszköz szerenének használn, különböző uak közül válaszhanak. (a A személynek nncs gondja a fejmozgás szabályozásával, ebben a ekneben olyan, akár egészséges ársa. (b A személy képes elsajáían a fej fnom szabályozásá, így fejé szükség eseén muaásra használhaja. (c A személy képes meganuln néhány reprodukálhaó fejmozgás sémá. Ezeke a gép anulás echnkák felsmerk, és megkülönbözek egymásól, így álalános szabályozó eszközökkén használhaók. Az (a eseben érvényesek az előző fejezeben, vagys az egészséges emberekről elmondoak. A sérül részvevők eszjevel foglalkozó fejeze első anulsága a (b és (c esehez kapcsolódk. A (c ese az, am a legnkább járhaó ösvény nyújja a es háránnyal rendelkező személyeknek. A fejegere kpróbáluk súlyosan görcsös személyekkel s. Körülbelül egy hónapon á kísérleek sorozaa végezeük el a 2 éves Péerrel és Zozóval, a 26 éves faalemberrel. A kísérleek mndvégg felügyelő rányíása melle zajloak. Zozó számára egy egyszerű számíógépes jáéko ervezünk. Feladaa ermészeesen nem felel meg nellekuáls képességenek: képernyőn megjelenő árgyakra kelle vnne a kurzor a leheő leggyorsabban. Az 5-ös ábra demonsrálja fejlődésé az első 20 kísérle ala. Zozó eseében sza javulás láhaó, így képes lesz használn a számíógépe. Vselkedése kövekezees, kísérlee ponosak volak. Azonban észreveheő, hogy Zozó eljesíménye a 20. kísérle uán vsszaese. Ennél a ponnál nem uduk ponosan, mely ényezők vannak haással Zozóra. Mnhogy nem kapo dőkorláozás kísérleere, valószínűnek űnk, hogy egyszerűen sajá fejének mozgásá próbálgaa, keresve a legjobb beállíás. Mndenesere Zozó eljesímény-fejlődése megdöbbenő. Magyarázao keresve rá, egy merész, ám leheséges feléelezésnek űnk, hogy korábban a fej mozgásának szabályozása elkerüle a szakérők fgyelmé, így Zozónak sosem nyíl alkalma eme specáls mooros képessége gyakoroln. A kísérle nyújoa a szükséges movácó és az alkalma, hogy nyakzmára koncenrálva fejlesszék a fej szabályozásá. Péer - egy nagyon nellgens, nem-beszélő gyerek sznén jáékokkal gyakorola a fejegér használaá (sündsznó vagy macska eeése almával, 6. ábra. 23 kísérleben ve rész, körülbelül egy hónapon á. Próbálgaása során nem skerül a kurzor mozgaásának sebességé, vagy ponosságá jelenősen növeln. Kezdeben fejmozgása 39

40 nem uda jól rányían, és fnoman szabályozn: mozdulaa konrollálalanok volak. Úgy űn, Péer a kísérleek ala kdolgozo egy sraégá, amvel a kurzor a célpon rányába mozgaa. Ahogy ez a 6. ábra s lluszrálja, az rányíásban egyérelmű fejlődés apaszalunk. Azonban beegségének ermészeéből adódóan mozgássémá megmaradnak. A reje Markov modell echnká Zozó és Péer mozgásanak elemzésére használuk: a kurzor sebességé ekneük megfgyelés válozónak. A célponoka és kezdő pozícóka vélelenszerűen válaszouk k. Egy normál alany eseében az állapook koncenrkus körsorokhoz hasonlíanak, mvel valamenny mozgás valószínűsége megegyezk. Zozó eseében ponosan ezzel alálkozunk. Vszon Péer mozgása aszmmerá muaak a kísérleek ala. Az aszmmera a legkorább kísérleekben jelenk meg, és a kezde kísérleek során az egyenes vonalak nem muaak összefüggés a célpon helyzeével.(ld. 7(b ábra. Később az rányío kválaszás csökken, de újra megjelen a nyolcadk kísérle környékén. (7-es ábrák Módszerek A kísérle beállíások, valamn az adagyűjés hasonló módon örén, mn az ELTÉn végrehajo kísérleek eseében. Az egyedül elérés a kísérle alanyokban lelheő fel, amn ez korábban már árgyaluk Érékelés ábrákon kereszül A reje válozó echnkák előnye szereágazók, öbbek közö mozgáselemzés s leheővé esznek. Az analízs ámogaja a felsmerés, a bzos mozgássémák felsmerése pedg képes segíen a felhasználó - így elemzés és segíség együ haladhanak. Példának okáér Péer segíhenénk azálal, hogy emlíe mozgása a problémás rányban lelassíjuk. A kurzor mozgásá megjósolva elég dő nyernénk ahhoz, hogy Péer más (akár nem konrollál mozgással korrgálhasson. A fejegér érékes eszköz lehe azon emberek számára, akk komoly es problémákkal küzdenek. A fejegér legfonosabb előnye a közvelen, vzuáls vsszajelzésében rejlk. A sérül emberekre vonakozóan a fejegér öbbféleképp ehe szolgálao, mégpedg úgy mn 40

41 (a egy megfgyelő eszköz, am nyomon köve a problémamegoldás és az épíő sraégáka, (b gyógyíó segédeszköz, segíségével a fej rányíása aníhaóvá válha, (c gyógyíó segédeszköz a geszusok meganíására, és bzonyos zomcsoporok kívánaos szabályozására, (d egy mérőeszköz, mellyel bzonyos képességek összehangolhaók, (e egy alernaív számíógépes felhasználás szövegszerkeszésre, (f egy hang-kvel kommunkácós segíség, am pl.: szövegfelolvasáskor használhaó. Az elkövekezendő dőben a gép anulás echnkák ebben a módszeranban kulcsfonosságúvá válhanak. Többek köz megemlíhejük az nellgens predkoroka (a Dasherban s jelen van az angol nyelv modell, a reje válozó elemzésé (reje Markov modellekben a vselkedés összeevők megalálására, dősorozaok elemzésé a reje válozók kmeneelének előrejelzésére (Péer nem konrollál mozgása és a megerősíéses anulás, amvel elsajáíhaó a legjobb gép eljárás, ezzel a ényleges felhasználó munkájá könnyíve. Jóllehe, az elv és szofvereszközök rendelkezésre állnak, a felhasználóhoz való alkalmazkodás esheősége még gazolásra vár. Ám a szerze apaszalaok brokában már előnyösebb helyzeben vagyunk ahhoz, hogy Zozó és Péer számára ökéleesísük a feladaoka. Reméljük, hogy öbb vzsgála, és a beállíások gondos módosíása uán mndkeen és mások s meganulhaják a gyors és ponos rányíás, valamn a kommunkácóban nélkülözheelen szövegfelolvasó eszköz használaá. Természeesen öbb kísérle szükséges ahhoz, hogy fölsmerjük, mvel segíhenénk legnkább ezeke a gyerekeke, úgyhogy a megfelelő feladaok kalálása ovább kísérleezés és kuaás gényel. Befejezéskén, mndnyájan opmsák vagyunk: a számíógépes echnka fejlődésével gyors, erőeljes és kedvező válozások várnak a sérül emberek számára. 4

42 . ábra: Fejegér program képernyje. Pros églalap: a fej helyé behaároló erüle. Zöld églalap: a fejnek az arcra korláozo része. Zöld ponok: jelenleg kövee arcvonások. 2. ábra: Dasher használaban. A bal oldal képen az lászk, amkor a felhasználó elkezde gépeln a narrow szó. A jobb oldal pllanafelvéel körülbelül egy másodperccel később készül. Az olvasó elképzelhe az a folyonos áalakulás, am a ké kép közö örén. A bal képen láhaó, hogy a felhasználó már legépele az n és a beűke, a szó vége felé ar. A jobb oldal képen mndké r beű gépelésére sor kerül. Jobb oldalon bukkannak föl a beűk, beűkombnácók, mközben az egész ábla balra csúszk. A legépel beűk a baloldalon állnak össze. A ábla mozgásá a kurzor helyzee rányíja (a pros kereszel 42

43 jelezve: a kurzor függőleges mozgaásával az ábécé beűből lehe válaszan, míg a vízsznes kurzormozgás a gépelés akuáls sebességé befolyásolja. Észreveheő, amn a nagyobb valószínűségű beűkombnácók nagyobb erülee brokolnak, azonban ők s könnyedén félreeheők, ha a felhasználó mozgásával nylvánvalóvá esz, hogy valam más kíván gépeln. 3. ábra: Kísérleek hagyományos egérrel (vlágos szín és fejegérrel (söé szín. A függőleges engelyen az egy karaker beveléhez szükséges álagos dő, a vízsznes engelyen a kísérle száma láhaók. A sáv szélessége a négy alany eljesíményének szórásá jelz az ado kísérleben. A közbenső szín ezen régók áfedésé muaja. Az öödk alany (ZP eljesíménye klóg a sorból. Szereplésé egy folyonos vonal muaja a B és C szekor közö. A szekor: a 25. kísérleg gyakorlás az nellgens angol nyelvű predkor nélkül. Ez a szakasz ö napg aro, majd a ovább gyakorlások három hég zajloak. B szekor: ovább ö eszkísérle gyakorlás uán. C szekor: ö kísérle a korábban mellőzö nellgens angol nyelvű predkorral. Az adaok gyűjése ugyanazon a napon örén, amkor a B szekor anyaga rögzíésre kerülek. Az eredmények valamenny szekorban dőbel sorrendben kerülek bemuaásra. 43

44 (a 0 ranng (A (b 0 (B (c 0 (C (d 0 (D ZP 20 2 (e 0 (E ábra: a számíógép álal megalál vselkedés összeevk. Bal oldal oszlop: reje állapook vannak érvényben a gyakorlás kezde fázsában. A vselkedés összeevők alg smerheők fel. Jobb oldal oszlop: a reje állapook kűnnek, felsmerheővé válnak gyakorlás uán. Tanulás echnka: a reje Markov modell ö állapoo feléelez, valamn az, hogy a kurzor sebessége megfgyelheő válozó. A reje Markov modelleke EM algormussal aníouk, kédmenzós dagonáls varanca-márszal rendelkező Gauss eloszlás feléelezve. 44

45 A vízsznes és függőleges skála a mozgás sebességé muaja be ponokban. A legöbb eseben észreveheő, hogy gyakorlás uán a reje állapook ugyanaz az elhelyezkedés muaják. Ezzel leheővé válk a megfelelő vselkedés összeevők oszályozása (a részleeke lásd a szövegben (a ábra: Zozó fejldése az els 20 próbálkozás során. Az ábrákon a kurzor pályájának a rajza láhaó. X engely: a képernyő vízsznes engelye. Y engely: a képernyő függőleges engelye. Folyonos vonal: a kurzor pályája as felbonású képernyőn. A célpon ényleges helyzeé a függőleges és vízsznes szaggao vonalak és háromszögek kereszezése jelz. Az apaszaluk, hogy néhány kísérle könnyebbnek bzonyul, mvel a célpon úl közel kerül a monor széléhez (ezeke a kísérleeke söéebb színnel jelezük. 45

46 300 by 0 pels Epermen number 5(b ábra: A fejldés folyama numerkus elemzése. Az ábra a kísérleek különböző kurzor-célpon ávolságok eloszlásá muaja a numerkus elemzés módszerével. Mnd a könnyű, mnd a nehezebb feladaok elemzésre kerülek. A nehezebb kísérleeke háromszögek jelzk. Azoka a pályaíveke, amk a monor szélén helyezkedek el, khagyuk. Függőleges engely: a sorok különböző képpon ávolságoknak felelnek meg (0-ól 300- g, 0 képpon lépésekben oszályozva. A legfelső sorban megalálhaók mndazon mnák, amk 300 képponnál ávolabb volak a célponól. Mnél vlágosabb a szürke skála, annál hosszabb deg marad a kurzor azon ávolság-arományon belül egy ado kísérle során. A kísérleek dőarama különbözö, így a szürke skáláka csak az egyes oszlopok belsejében lehe összehasonlían. Jól láhaó a csökkenő ávolság a célpon és a kurzor közö, ez muaja Zozó fejlődésé. Dsance ranges 6(a ábra: Péer a gép el. Péer fejegér segíségével esz a sündsznó szájába az éel. A monor eejére helyeze kamera fgyel a fejé. 46