1. DINAMIKUS OPTIMALIZÁLÁS

Átírás

1 Szolnok Tudományos özlemények XV. Szolnok, Fazekas Tamás 1 A DINAMIUS OPTIMALIZÁLÁS MÓDSZERÉNE ALALMAZÁSA A MAROÖONÓMIAI MODELLEZÉSBEN A anulmányban rövd összefoglaló és áeknés adok arról, hogy a ma modern makroökonóma modellezésben, s így a dönéshozók elő álló különböző gazdaságpolka alernaívák közö válaszásban mennyre hasznosíhaóak a maemaka eszköze. A különféle eszközök és echnkák közül a dnamkus programozás és a numerkus analízs elméle eredménye fogom smeren közgazdaság problémák megoldására. é erülee emelek k, az egyk az üzle cklus modell, a másk pedg az újkeynesánus modell. Mndké srukúrában közgazdaság problémakén egy echnológában, lleve a fskáls polkában bekövekező nem vár, sokkszerű válozás haása vezeem le. A anulmány megmuaja a maemaka módszeran közgazdaság alkalmazásaban rejlő leheőségeke, melyek az uóbb néhány évzedben gyökeresen áformálák a makroökonóma álal alkalmazo módszeran és a kuaások rányá s jelenős mérékben befolyásolák. APPLIATION OF DNAMI OPTIMALIZATION METHOD IN MAROEONOMIS MODELLIN In hs sudy I wll gve a shor summary and overvew on how mahemacal ools are ulzed n modern macroeconomc models and n he choce of decson markers among he varous economc polcy alernaves. I wll llusrae a varey of ools and echnques from he heorecal resuls of dynamc programmng and numercal analyss and I use hese mehods o solve dfferen economc problems. I hghlghed wo areas: he busness cycles model and he new eynesan model. In boh economc srucures I wll show he effec of unexpeced changes n he echnology and fscal polcy as an economc problem. The sudy nroduces he possbles of economc applcaons n mahemacal mehodology whch n he pas few decades radcally ransformed macroeconomcs mehodology and sgnfcanly affeced he drecon of he researches. 1. DINAMIUS OPTIMALIZÁLÁS A gazdaság szerepelők dönéseke dőben hozzák: jelen dőszak vselkedésük és a jövő lleő várakozásak nagyban befolyásolják a kövekező dőszakok alernaívá közö opmáls válaszásaka. A gazdaság, makroökonóma problémák dőben zajlanak, így a dnamka, a gazdaság folyamaok és válozók dőbel leírása alapveő köveelmény mnden olyan makroökonóma modellben, melynek segíségével gazdaságpolka dönéseke kívánnak megalapozn és előkészíen. A dnamka ehá mnd mkro-, mnd pedg 1 Szolnok Főskola, özgazdaság, Pénzügy és Menedzsmen Tanszék, anársegéd. A BME első évfolyamos PhD hallgaója, Emal: fazekas@szolf.hu A ckke lekorála: Dr. Nagy Rózsa főskola anár, közgazdaságudomány kanddáusa.

2 makrosznen jelen van. A kérdés mos már csak az, hogy mkén lehe az lyen dőszakoka áívelő problémáka analkusan megoldan. A anulmány első részében erről lesz, az ez köveő ké fejezeben pedg az elmondoaka fogom példák alapján s lluszráln. A dnamka explc megjelenése melle mndké példa közös vonása, hogy mkroökonóma alapokról épíkező álalános egyensúly modelleke vzsgálok. A mkro-alapú modell lényege, hogy a céljak elérése érdekében cselekvő, de korláak ma a szűkösen rendelkezésre álló források közö válaszan kényelen, (opmalzáló) szereplők vselkedéséből épíkezk. A harmadk közös vonás, hogy az ágensesek jövőre vonakozó várakozása raconálsak: az egyes pac szereplők a rendelkezésre álló nformácó opmálsan használják fel dönések során, azaz arra számíanak, am a legvalószínűbb. Az dőbel opmalzálás feladaok megoldásának egy leheséges módszere a dnamkus opmalzálás (varácószámíás), amely módszere közül csak a dnamkus programozás feladaal foglalkozunk, mvel ez a makroökonómában leggyakrabban használ módszer. A különböző módszerekkel részleesen foglalkozk Sokey-Lucas (1989), Ljungqvs-Sargen (2004) és Mcandless (2008). Jelen fejeze csak a legfonosabb fogalmaka muaja be, alapveően a gyakorla szemponból lényeges kérdésekre összponosí. A levezeések során a deermnszkus esee vesszük alapul, abból már a szochaszkus probléma könnyedén felírhaó, ahol s bzonyalanságo vezeünk be az eredee modellbe sokkok hozzáadásával. Mndaddg, amíg a sokkok függelen és azonos eloszlásúak (vagy Markov ípusúak), addg az eredee deermnszkus srukúra megőrzésével, ugyanazon fogalmak és függvények megfelelő alkalmazásával meg udjuk oldan a szochaszkus modell. Alapfelevésenk ehá, hogy van bzonyalanság és dszkré dőszakoka veszünk fgyelembe, 0,1, 2,3.... A válozóknak három csoporjá fogjuk megkülönbözen: y lesz a sock, vagy az állapoválozó, ennek éréke már smer a peródus elején, lleve z lesz a flow, vagy dönés (konroll) válozó, ezen válozóról kell dönen az ado peródusban, végül a vélelen sokk, am megfgyelheő +1-edk dőszak elején. Tehá amkor dönünk z -ről a vélelen sokk smer, de 1 még mndg vélelennek eknheő. Felesszük ovábbá, hogy a sokkválozó elsőrendű auoregresszív folyamao köve, azaz 1 1. A deermnszkus, dnamkus makroökonóma probléma álalános felírása az alább. Legyen 0 1 y 0 z a dszkonfakor, keressük azon 0 állapoválozók sorozaá, amelyre az 0 F( y, z ) konrollválozók és alakban megfogalmazo célfüggvény maxmáls, Fgyelembe véve az állapoválozó dőbel alakulására vonakozó korláo, amely a Q( y, z ) y y 1 egyenleel írhaó fel mnden -re, ado y0 kezde érék feléel és c ( y, z ) 2

3 egyenleel defnál álalános korláo. A dnamkus programozás alkalmazhaóságának szemponjából nem lényegelen, hogy FQ, és függvények a -edk dőszakban kzárólag y és z -edk dőszakban felve érékéől függnek, mer így a probléma addívan szeparálhaóvá válk. Fonos ovábbá, hogy mndké korlá ípus végelen számú korláo jelen. A probléma megoldásához defnáln kell az ún. kezde érékfüggvény (am jelen eseben egy maxmum érék függvény) az alább módon: feléve, hogy y0 ado V ( y0) max ( y, z) z 0 0 Q( y, z ) y y 1 mnden 0,1,2,3... -ra c ( y, z ) mnden 0,1,2,3... -ra A -edk dőszak érékfüggvény ebben az eseben: feléve, hogy y ado j j j j1 j V ( y0) max ( y j, z j ) z j 0 j0 j Q( y, z ) y y mnden j 0,1,2,3... -ra c ( y, z ) mnden j 0,1,2,3... -ra j j Fejsük k kcs bővebben a fen defnícó! A -edk dőszak érékfüggvény: feléve, hogy y ado Q( y, z ) y y 1 c ( y, z ) j j j j1 V ( y ) max F ( y, z j ) max ( j, j ) z z j y z 0 j0 j Q( y, z ) y y mnden j 0,1,2,3... -ra c ( y, z ) mnden j 0,1,2,3... -ra j1 j1 Egy kcs alakísuk á az ndexeke. A -edk dőszak érékfüggvény: feléve, hogy y ado Q( y, z ) y y 1 V ( y ) max F ( y, z j ) max ( j 1, j 1) z z j y z 1 0 j0 j 3

4 c ( y, z ) Q( y, z ) y y mnden j 0,1,2,3... -ra j1 j1 j1 j2 c ( y, z ) mnden j 0,1,2,3... -ra j j A fen áalakíás azér vol hasznos, mer V( y 1) defnálásával egyszerűsödk a felírás mód. A -edk dőszak érékfüggvény: feléve, hogy y ado Q( y, z ) y y 1 c ( y, z ) A V ( y ) max F( y, z ) V ( y ) 1 z V ( y ) max F( y, z ) V ( y ) 1 z a maxmalzálás feladahoz arozó Bellmanegyenle. Az lyen formában felír feladao funkconálegyenlenek nevezzük. Az egyenle megoldása egy olyan v( y, z ) függvény, amelyre eljesül a Bellman-egyenleben megfogalmazo relácó. M jelen ez nuíve? Induljunk k egy eszőleges ( yz, ) állapoból. Ebben az állapoban léeznek megvalósíhaó dönések. Ha ezek közül valamelyke válaszjuk, akkor annak ké kövekezménye van. Egyfelől generál egy bzonyos azonnal éréke, másfelől pedg meghaározza az, hogy holnap mlyen valószínűséggel lesz a rendszer valamlyen állapoban. Ha a holnap állapooknak s megvan a maguk éréke, akkor a dönés generál egy mára dszkonál várhaó ndrek éréke. Az opmáls dönés függvény olyan, amely mnden állapoban a legnagyobb eljes (drek plusz ndrek) várhaó éréke adja, ehá mnden állapoban ez a legnagyobb érék eknheő az ado állapohoz arozó éréknek. Az várhajuk, hogy az opmáls érékfüggvény és a Bellman-egyenle megoldása ugyanaz. Ha vszon ez megaláluk, akkor az opmáls sraéga s megvan: mnden állapohoz el kell végezn az opmalzálás a Bellman-egyenle jobboldalán. Ez az úgyneveze maxmum elv [Vncze, (2010)]. 2 A Bellman-egyenlenek egyelen konkáv megoldása léezk, amennyben F () konkáv függvény és a leheőségek halmaza konvex és kompak. Léezk egyelen és nvaráns (defüggelen) ún. polcy függvény z h( y ) alakban, ahol h maxmalzálja a Bellmanegyenlee. A uhn-tucker feléel ma felírhaó, hogy V ( y ) max F( y, z ) V ( Q( y, z ) y ) ( c ( y, z ) z A felada elsőrendű feléele z -re: F ( y, z ) V '( Q( y, z ) y ) Q ( y, z ) ( y, z ) Valójában nem mnden eseben gaz, hogy az érékfüggvény megoldása a Bellman-egyenlenek, de a Bellmanegyenle megoldása egy megfelelő ranszverzalás feléel eljesülése eseén valóban az érékfüggvény. 4

5 A burkológörbe-éel alkalmazva: V '( y ) F ( y, z ) V( Q( y, z ) y )( Q ( y, z ) 1) ( y, z ) Az egyenlőségre eljesülő korá: Q( y, z ) y y 1 A maradékmenesség vagy ranszverzalás feléel: c ( y, z ) 0 Van ehá négy egyenleünk és benn négy smerelen (három válozó és egy függvény). Megoldhaó az így kapo rendszer, de meg kell oldan egy dfferenca-egyenlee és meg kell aláln egy smerelen függvény. A Bellman-egyenle megoldására öbb leheőség s adódk. Az egyk megoldás a függvény erácós eljárás, ahol a megoldás az érékfüggvény erácójával adódk (bármlyen korláos és folyonos 0 v függvényből ndulva), a másk módszer pedg a polcy függvény erácójára épí. yakorlaban azonban a Bellman-egyenle megoldás összesen ké eseben udjuk analkusan megoldan és zár alakban felírn. Az összes öbb eseben numerkus módszerekhez kell folyamodn. Ilyen a leggyakrabban alkalmazo módszerek egyke a dszkré dnamkus programozás ( az állapo- és dönés ér dszkrezálásával véges dmenzós problémává alakíjuk a feladao), a másk a lneárs-kvadrakus dnamkus programozás ( a seady-sae körül sorba fejéssel lnearzájuk a feladao). A anulmányban bemuaásra kerülő ké makroökonóma problémá ezen uóbb módszer segíségével oldoam meg. A dnamkuskvadrakus dnamkus programozás (a ovábbakban LQ approxmácó) abban az eseben alkalmazhaó, ha az ámeneszabály leíró leképezés lneárs, így csak olyan modellek megoldására alkalmas, amelyekben a nemlneárs ámeneeke be lehe helyeesíen a célfüggvénybe. A anulmány ké példájában lyen eseeke vzsgálok. Az LQ approxmácó álalános procedúrája a kövekező lépésekből áll: 1. Defnáljuk a modellbel szereplőke, megadjuk céljaka és korlájaka, az ebből adódó opmáls vselkedésüke, azaz a keresle- és kínála függvényeke. Azaz elvégezzük a dnamkus opmalzálás (programozás) feladao. 2. Meghaározzuk a pac egyensúlyfeléeleke, vagys az, hogy a mkrosznű szereplők számára ado árak hogyan eremk meg az egyén dönések összhangjá a nemzegazdaság különböző pacan. Sakus, azaz olyan modellekben, ahol az dő nem jelenk meg explc módon, egyensúly ala a pac keresle és kínála egyenlőségé érjük. Bonyolulabb helyze a dnamkus egyensúly érelmezése. A dnamkus modellek dőől explc módon függő válozóra s felírhaó mnden ado pllanara a sakus egyensúly feléele, azaz a pac keresle és kínála egyenlősége. Dnamkus egyensúly ala álalában egy dnamkus rendszer saconer állapoa érjük, azoka az állapooka, amelyek során a gazdaság makroválozónak növekedés üeme konsansok. A dnamkus egyensúly fogalma ehá nem ké válozó mennység egyenlőségére épí, hanem a válozás egyenleességé jelöl k célul. 5

6 3. Megadjuk a gazdaság endogén válozónak vselkedésé leíró várakozásos dfferencaegyenlerendszer a hosszú ávú állandósul állapoban. Ez a modell fx ponja. Ennek megadása nélkül a megoldó algormus nem működk. 4. A rendszer leíró egyenleeke log-lnearzáln kell, így a modell rekurzív formája egy márx - egyenlerendszerkén adódk, amely valamely számíógépes algormus segíségével már könnyedén megoldhaó. A log-lnearzálás echnkája a modell egyenlee a Taylor - polnomjak elsőfokú lneárs közelíésével helyeesí, végeredményben lneárs rendszerré alakíja, így megjelenk, hogy kcsny ngadozás eseén az egyes válozók (ponosabban azok logarmusa) hány százalékkal érnek el az állandósul állapoban felve érékükől. Az eljárás az alábbakban foglalhaó össze a legegyszerűbb formában: f ( X ) f ( X ) f ( X )( X X ), X ahol X az ado válozó a -edk dőszakban, X ennek a válozónak az állandósul állapobel éréke f (.) egy függvény f( X ) a függvény éréke állandósul állapoban, fx ( X ) a függvény derválja állandósul állapoban. Defnáljuk az X válozó állandósul állapobel érékéől való százalékos elérésé az alább módon: X X X, így X f ( X ) f ( X ) f ( X ) X X X 5. A dnamkus rendszer, analkus megoldás helye Blanchard - ahn [1980] deermnálalan együhaók módszerével, számíógép felhasználásával (Sms [2000]) oldoam meg MATLAB programcsomag segíségével a gensys.m algormus alkalmazásával. A megoldás az alább formában keressük: x 0 x 1 1 A deermnálalan együhaók módszer lényege, hogy amennyben udjuk egy egyenlerendszer megoldásának álalános alakjá (és ebben az eseben udjuk: egy lneárs, rekurzív mozgásegyenle), akkor a megoldás ulajdonképpen az együhaók meghaározására korláozódk. Ezzel megkapjuk a dfferencaegyenle - rendszer megoldásá az alább alakban: x x 1 mpac 6

7 2. PÉLDA 1. REÁL ÜZLETI ILUSO MODELLJE (RB) Az első példában egy egyszerű RB alapmodell alapján részleesen bemuaom a anulmány első részében smeree maemaka eszközár gyakorla alkalmazásá. Összefoglalva a modell lényegé [ydland - Presco, (2004), Presco, (2004)]: léezk a hosszú ávú folyamaoka megragadó növekedés elméle és rövd ávon az ngadozások oka magyarázó ckluselméle. Az álaluk lérehozo ún. RB (real busness cycles) modell a növekedés- és ckluselméle összefoglalásá jelen. Az RB egy egyensúly cklusmodell, amelyben, ha az egyes makroválozók dőbel pályája megválozk valamlyen exogén szochaszkus sokkhaás kövekezében, akkor ennek ellenére a válozók mndvégg az ágensek opmalzáló neremporáls és nraemporláls dönésnek megfelelően alakulnak. Az RB reálmodell, a sokkok reálsokkok: a valóságban megfgyel ngadozások a echnológában, a ermelékenységben, a fogyaszó preferencákban (szokásokban, ízlésvlágban) valamn a fskáls polkában bekövekező sokkhaásoknak köszönheő. A nomnáls válozóknak, a pénzmennységben bekövekező válozásoknak nncs, vagy csak nagyon mnmáls haásuk van. Az lyen modellekben a pénz hosszú ávon semleges, és bzonyos felevések melle szupersemleges s, a moneárs polka végeredményben eljesen haásalan, nem képes dnamzáln a gazdaságo. A fogyaszó. A fogyaszó élepályája hasznosságának szubjekív dszkonál éréké maxmalzálja az alább ún. RRA (consan relave rsk averson) ípusú hasznosság függvény alapján: U E L (1) A hasznosság függvényre a szokásos felevések érvényesek: mndké ényezőben szgorúan monoon növekvő, konkáv, folyonosan dfferencálhaó, azaz U ' 0 és U '' 0. A fogyaszó hasznosságá ké ényező befolyásolja, az egyk az dőszak fogyaszás ( ), a másk pedg a rendelkezésére álló dőker megfelelő arányban örénő feloszása a szabaddő ( l ) és a munkadő ( L ) közö. A hasznosság függvény mndké ényezőjében addívan szeparábls, azaz széválaszhaó a fogyaszásból és a munkadőből származó hasznosságra. Amennyben a eljes rendelkezésére álló dőkere egységny, úgy 1l L. A hasznosság függvény az egyes dőponbel fogyaszás és munkadő érékek hasznosság ndexe összegz úgy, hogy a jövőbel fogyaszás és a szabaddő hasznosságá azok jelenbel hasznosságához képes egy konsans ényezővel - ez a 0 1 paraméer - leérékel. A az muaja, hogy a fogyaszó szubjekíve mlyen mérékben érékel kevesebbre a jövőbel fogyaszás és a szabaddő hasznosságá azok jelenbel hasznosságánál, azaz a fogyaszó dőpreferencájának mérőszáma. A másk ké paraméer jelenése: a fogyaszó kockázaeluasíásának nagysága (mnél nagyobb, annál nkább kockázakerülő a fogyaszó és vszon), lleve 1/ a munkakínála bérrugalmasságá jellemz. 7

8 élja elérése közben a fogyaszó korláokba üközk, az egyk az ún. kölségveés korá (2), a másk az ún. őkefelhalmozás korlá (3): w L r prof (1 r ) B I B TAX (2) 1 I 1 (1 ) (3) A jövedelem egyk forrása a vagyonfelhalmozás, azaz formálsan (1 r) B, ahol r a -1 és - edk peródusok közö érvényesülő reálkamaláb, melynek éréke a -edk peródusban már smer, valamn B az előző peródusban felhalmozo kockázamenees kövény, vagy helállomány, melynek éréke a -edk peródusban sznén ado. A jövedelem ovább forrása, hogy a -edk elején (az előző dőszakban felhalmozo) rendelkezésére álló őké ( ) és munkaerő megfelelő bér ( w ), lleve bérle díj ( r ) ellenében a vállala rendelkezésére bocsája. A bevéele közö jelenk meg a ulajdonában lévő vállalaól származó prof ( prof ) nagysága s. E jövedelmeke fogyaszásra, beruházásra ( I ), adófzeésre ( TAX ), valamn ovább újabb vagyoneszköz vásárlására ( B 1) fordíja. A (3) őkefelhalmozásra vonakozó egyenle szern ado dőszak beruházás ké komponensből áll: a őkeállomány bővíéséből ( 1 ) és pólásából ( ). A fogyaszó problémája, hogy kválassza a fogyaszás, a őkeállomány és a munkakínála azon pályájá, amely melle élepályája vár hasznossága (1), a kölségveés korláo (2) és a őkefelhalmozás szabály (3) fgyelembe véve maxmáls. A fogyaszó problémájának megoldása. A fogyaszó haszonmaxmalzálás feladaa az fenek már smeree Bellman-egyenle segíségével oldhaó meg: 1 1 L E V ( 1, B 1) V (,B ) max 1 1 ( w L r prof (1 r ) B 1 (1 ) B 1 TAX ) Elsőrendű feléelek: c szern: 0 l szern: L w 0 k +1 szern: EV k 0 1 b +1 szern: V 0 E b 1 A burkológörbe éel alapján kapjuk, hogy: k szern: V ( r (1 )) k b szern: 1 r ) Vb ( 8

9 Ezeke egy dőszakkal előrébb lépeve: k +1 szern: V ( r (1 )) k1 1 1 b +1 szern: Vb 1 1(1 r 1) A fen ké összefüggés vsszahelyeesíve az elsőrendű feléelekbe, majd λ és a λ +1 e khelyeesíve kapjuk a fogyaszó vselkedésé leíró egyenleeke: (4) 1 E (1 r 1) 1 1 (5) E ( r 1 (1 )) 1 L (6) w Eredmények: A (4) az Euler-egyenle: neremporláls helyeesíés a -edk és a +1-edk dőszak fogyaszás közö. A fogyaszó addg helyeesí az akuáls fogyaszás és a jövőbel fogyaszás egymással, amíg az akuáls fogyaszás haárhaszna ( egyezk a jövőbel várhaó fogyaszás haárhasznával ( E 1(1 r 1) ). ) meg nem Az (5) porfóló-válaszás egyenle: egyensúlyban a fzka őkébe való befekeés hozama ( r 1 (1 ) ) és a kövény hozama ( 1 r 1 ) nem érhe el egymásól. A (6) mplc munkakínála függvény: nraemporáls helyeesíés a szabaddő és a fogyaszás közö. A fogyaszó addg helyeesí egymással a szabaddő és a fogyaszás, amíg a szabaddő haárhaszna ( haárhasznával ( w ). c l ) meg nem egyezk a fogyaszás Az Euler egyenle (4), a porfóló-válaszás egyenle (5), valamn a munkakínála függvény (6) a kölségveés korláal és a őkefelhalmozás szabállyal, ovábbá a kövény- és a őkeállományra vonakozó kezde érék feléellel, valamn az azokra felírhaó ranszverzalás feléelekkel 3 együ, ado árak és kamaláb melle megadja a kerese válozók (őkeállomány, beruházás, kövényállomány, fogyaszás és a munkakínála) pályájá. Vállala. A modell reprezenaív, profmaxmalzáló vállalaa működése során munká és őké használ fel, melye egy állandó mérehozadékú echnológával jellemezheő ermelés függvény alapján alakí oupuá. A modellbel vállala úgy válaszja meg a ermelés ényezők rán keresleé a ökéleesen versenyző npupacokon, hogy profja az elérheő legnagyobb legyen, lleve keres az a őke- és munka-felhasználás szne, amely melle az opmáls kbocsáás a leheő legalacsonyabb kölség melle elérheő. 3 A ranszverzalás feléel az fejez k, hogy a őke-, és a kövényállomány záró dőponbel érékének jelenéréke nem lehe negaív, azaz a haszonmaxmalzáló fogyaszó számára nem raconáls felhalmozn őké és kövény az uolsó dőszakra, mer az csökkenené az ado peródus hasznosságá. 9

10 A vállala problémájának megoldása. A vállala a szokásos profmaxmalzálás (vagy ezzel ekvvalens kölségmnmalzálás) feladao oldja meg, azaz a versenyző vállala az alább proffüggvény maxmalzálja: prof r w L a ermelés függvény, mn korlá melle z L (7) 1 A vállalanak dönene kell arról, hogy ado reálbérle díj- és reálbér melle m lesz számára az opmáls őke- és munkaállomány, amely melle a profja maxmáls. Másképpen fogalmazva keres az a őke- és munkamennysége, amely melle az opmáls kbocsáás a leheő legalacsonyabb kölség melle elérheő). A megoldás egy egyszerű Lagrange-függvény felírásával és annak szélsőérékenek meghaározásával örénk. A problémához arozó Lagrange-függvény: L r w L z L 1 ( ) Elsőrendű feléelek: k szern: r L 1 1 ( ) 0 l szern: w (1 ) L 0 Majd a fen feléeleke -re és L -re rendezve adódnak az alább keresle összefüggések: (8) r L (1 ) w Eredmények: A őkekeresle függvény (8) érelmében a vállala addg használ fel őkeényező, amíg az abból származó haárbevéel (a vállala őkefelhasználásával darab pólólagos erméke ud előállían, melye egységny áron ad el) meg nem egyezk a őkefelhasználásból származó haárkölséggel, a reálbérle díjjal. A munkakeresle függvény (9) alapján a vállala addg használ fel munkaerő, amíg az abból származó haárbevéel (a vállala munkaerő-felhasználásával (1 ) darab L pólólagos erméke ud előállían, melye egységny áron ad el) meg nem egyezk a pólólagos munkafelhasználásból származó haárkölséggel, a reálbérrel. (9) 10

11 Vagys a ökéleesen versenyző npupac melle szokásos dönés szabály érvényes: a őke haárerméke megegyezk a reál bérle díjjal, a munka haárerméke pedg a reálbérrel. A őkekeresle függvény (8) és a munkakeresle függvény (9) ado árak melle a ermelés függvénnyel (7) együ megadják a munka, a őkeállomány és a kbocsáás pályájá. Állam. Az álalunk vzsgál modell harmadk szereplője az állam, amely jelen helyzeben csak és kzárólag fskáls funkcó öl be. Ennek érelmében kormányza közjavaka bzosí a szereplőknek, vagys a házarásokól beszede adó a ermékpacon elvásárolja, ovábbá megjelenk a vagyoneszközök pacán s, ahol az o felve helből ( D 1 ) fnanszírozza kadása, melyek egy részé áruvásárlásra ( ), míg a fennmaradó részé a korább adósságállomány ( (1 r) D ) kegyenlíésére használja fel. Ebből adódóan a kölségveés korlája az alább alakban írhaó fel: TAX D 1 (1 r ) D (10) Egyensúly. Egyensúlyban a szereplők ado árarányok melle opmáls dönéseke hoznak, lleve maguk az árarányok bzosíják az egyes pacok megszulásá, azaz egyensúlyban van a munka-, a fzka őke paca (keresle = kínála). Az árupac egyensúly feléele: I (11) Az ado -edk dőszakban fennáll a vagyoneszközök pacára vonakozó egyensúly feléel s: B 1 D (12) Az állandósul állapo. A modell megoldó algormus alkalmazásának egyk kréruma, hogy a válozóknak legyen állandósul állapoa (seady-sae-je). Muán az analkus megoldás rendelkezésre áll, így nncs más eendő, mn meghaározn a seady-sae- kfejező egyenleeke. Ezek megadják a modell dőől függelen megoldás. Az egyes válozók ebben a ponban felve éréké ndex nélkül beűvel jelölöm. A modell megoldó valamenny egyenle, ovábbá az állandósul állapo formálsan a függelékben alálhaó. Log-lnearzálás. A modell lényegében egy várakozásos, 8 smerelenes dfferencaegyenlerendszer, melynek megoldása csak valamlyen számíógépes algormus segíségével valósíhaó meg. Ennek érdekében a modell alkoó egyenleeke log-lnearzáln kell. A modell log-lnearzál egyenlee a függelékben olvashajuk. A log-lnearzál egyenleek kegészülnek a ké exogén válozó (echnológa paraméer, mn eljes-ényezőermelékenység, és kormányza vásárlások nagysága) pályájá megadó összefüggésekkel. A felevéseknek megfelelően a vélelen sokkok alakulása elsőrendű auoregresszív AR(1) folyama, azaz az ado válozó csak sajá múlbel érékevel magyarázzuk és nem más függelen válozókkal. Felesszük ovábbá, hogy az 11

12 elérésválozó fehér zaj folyama: nulla várhaó érékkel és konsans varancával rendelkezk és nem korrelál s -vel, ha s. Teljes-ényezőermelékenység: ormányza kadások: z (13) z 1, ahol 1 4 z z, ahol 1 1 Összefoglalva: van egy 10 egyenleből álló szochaszkus és (mos már) lneárs dfferencaegyenle-rendszer, smer paraméerekkel (mer vol, am már a kezde kezdeén smerünk, és van, am az állandósul állapora vonakozó számíások során adunk meg). Ezen modell alapján meg szerenénk haározn a kövekező 10 válozó dőbel alakulásá: kbocsáás, fogyaszás, beruházás, őkeállomány, őkebérle díj, foglalkozaás, reálbér, reálkamaláb, eljes-ényezőermelékenység, kormányza kadások. Megoldás: gensys.m algormus. A modell a bevezeő fejezeben smeree a gensys.m algormussal oldoam meg. Az algormushoz rendeze egyenlerendszer a függelékben megalálhaó. Eredmények. A konkré paraméerek és a dfferencaegyenle - rendszer márxformája smereében mos már elvégezheő a rendszer sokkhoz való dnamkus alkalmazkodásának elemzése. Ennek eszköze az ún. mpulzus - válasz függvény, amely megmuaja, hogyan reagál a nemzegazdaság egy ado endogén válozója az sokkválozó állandósul állapoáól ve egyszázalékos, ámene klengésére. Az 1. számú függelékben az RB modell válozónak a echnológában, lleve kormányza kadásokban bekövekeze, azok állandósul állapoból való 1 százalékos növekedésére ado mpulzusok válasza kövehejük nyomon. Az eredmények érelmezésé az Olvasóra bízzuk. z (14) 3. PÉLDA 2. ÚJENESI (DSE) MODELL Az első példában RB modellje és az alábbakban levezeésre kerülő újkeynes modell közö alapveő, elsősorban elméle különbség, hogy amíg az a gazdaság hosszú ávú vselkedésének leírására bzonyul megfelelő eszköznek, addg az újkeyens modell a rövd ávú folyamaokra összponosíó, hagyományos, sakus IS-LM modell dnamkus, opmalzáláson alapuló válozaa. Az RB modellhez képes ovább lényeges válozaás, hogy az újkeynes modell monopolszkusan versenyző vállala szekor aralmaz, azaz a vállalaok egy bzonyos hányada ármeghaározó pozícóban van, egy másk részük pedg a korábban meghaározo árakon érékesí erméke. A hagyományos ermnológával élve 4 A arósságra e kköés mndké eseben az jelen, hogy egy ámene (perzszens és lecsengő) sokk haásá kövejük nyomon, mer az alkalmazandó, nemlneárs szochaszkus dfferencaegyenle-rendszer megoldó eljárás csak ado (sabl) állandósul állapo körül közelíésre érvényes. Mvel a arós sokk megválozaná a rendszer állandósul állapoá, a seady-sae körül közelíés és így az arra épülő megoldó algormus nem lehene alkalmazn. 12

13 az áraka ragadósnak, míg az üzle cklus modellben rugalmasnak éelezzük fel. Az újkeynes vagy DSE (dnamkus szochaszkus álalános egyensúly modell) modell bemuaása során Roemberg és Woodford (1999), hrsano, Echenbaum és Evans (2005) álal készíe válozaok jelenős mérékben leegyszerűsíe formájá fogjuk alkalmazn. Tovább, a mondanvaló és a echnka lluszrálása könnyebb köveheősége érdekében zár nemzegazdaságról lesz szó. Ebben a részben a levezeések során csak az RB modellel szemben különbségekre érek k részleesebben. Az alkalmazo echnka ovábbra s a dnamkus opmalzálás- és programozás, valamn az ennek eredményekén adódó várakozásos dfferencaegyenlerendszer numerkus megoldása lesz. A fogyaszó problémája. A fogyaszó problémája és annak megoldása válozalan marad, azaz ovábbra s élepályájának hasznosságá (1) maxmalzálja a szokásos kölségveés korláok (2) és (3) melle. A felada eredménye ovábbra s ugyanazok az összefüggések, mn az üzle cklus modellben: Euler-egyenle (4), porfóló-válaszás egyenle (5) és a munkakínála függvény (6). A megoldás módja a Bellman-egyenle és a burkológörbe éel alkalmazásán alapul. A vállala problémája. A vállala problémája ekneében, a monopolszkus verseny felevés bevezeése ma alapveő válozások kövekeznek be. A vállala szekor verkálsan agol. A legfelső sznen egy ökéleesen versenyző végerméke ( ) előállíó vállala áll, amely ermelés ényezők felhasználásával ermel és az így lérehozo homogén erméke fogyaszás célokra használják fel. A végerméke előállíó vállala ala helyezkedk el az ún. közbülső erméke (, ) előállíó, -edk monopolszkusan versenyző vállala, amely munka és fzka őke felhasználásával gyár végermékek előállíásához szükséges javaka. A felhasznál echnológa, az ún. aggregáló-függvény, amellyel a közbülső erméke végermékké ranszformálják [Dx-Sglz, (1977)] alapján az alább formában így írhaó fel: 1 1 1, d, 0 ahol 1 az egyed ermékek rán keresle árrugalmasságának (helyeesíés rugalmasságának) mérőszáma, amely ha mnél nagyobb annál közelebb helyeesíő egymásnak a ermékek, így az egyed közbülső erméke előállíó vállala annál ksebb pac erővel bír. A végerméke előállíó vállala feladaa, hogy ado árak melle (hszen a közbülső ermékek pacán monopolszkusan versenyző vállalaok működnek, amelyek ármeghaározó pozícóban vannak) meghaározza a közbülső ermék rán keresleé, amely melle kölsége mnmálsak. Végeredményben az alább kölségmnmalzálás feladao kell megoldana: 13

14 1 1 1, arg mn P 0,, d P, d 0 1 A kölségmnmalzálás felada elsőrendű feléeleből adódk: 1. A közbülső ermékek rán keresle, amely az aggregál kbocsáás és a relaív ár függvénye: 2. Az árndex (aggregál árszn):, P P, , P P d özbülső ermékeke előállíó -edk vállala feladaa, hogy a fzka őke és munka felhasználásával, az alább elsőfokon homogén, szokásos obb - Douglas ípusú echnológa alapján közbülső erméke állíson elő: (15) z L 1,,, A monopolszkusan versenyző egyed vállala feladaa, hogy ado ermelés szn és ermékár melle meghaározza egyrész a számára opmáls (kölsége mnmalzáló) őkeés munka-felhasználás szne (első lépcső), másrész szmulán módon kválassza az opmáls kbocsáás szn- és ár kombnácó (másodk lépcső). Első lépcsőben ehá ado ermékár és kbocsáás szn melle az alább kölségmnmalzálás feladao kell megoldana: 1,, L, arg mn r, w L, M (, z, L, ) A szokásos elsőrendű feléelek meghaározása uán adódnak a kövekező összefüggések: Munkaerő rán keresle:, L, (1 ) M w Tőke rán keresle: Haárkölség: M r,, 1 ( r ) ( w) M z (1 ) 1 14

15 A másodk lépcsőben örénk az opmáls kbocsáás szn- és ár szmulán meghaározása, feléelezve, hogy az árak ragadósak. A ragadós árak modell kereében a vállalaok álal legnkább alkalmazo árazás formula az úgyneveze alvo-árazás. [alvo, (1983)] Az eljárás lényege, hogy a menükölsége énylegesen nem szerepelejük, csak felesszük, hogy léezk és vállalaonkén elérő nagyságú érék. Ennek köszönheően lesznek olyan vállalaok, akknek egy ado -edk dőponban megér áárazn a ermel erméké. alvo-árazás esén egy ado dőponban a vállalaok egy része válozaja meg az ára, amíg a öbb ára válozalan marad. A -edk peródusról a +1-edk dőszakra ermékára válozaó vállalaok aránya mnden peródusban 1. Az ára nem válozaó vállalok aránya. Az, hogy egy dőszakban melyk vállala válozaja meg az árá folyamaosan válozk, s a vállalaok 1 vélelenszerűen kerülnek az egyes csoporokba. Egy vállala álal rögzíe ár álagosan 1 peródusg marad érvényben. A fogyaszók az árak válozásanak köszönheően egy ado dőszakban képesek lesznek arra, hogy megkülönbözessék a monopolszkus kereben ermel, pacon lévő ermékeke egymásól, mvel ekkor a ermékek ára különbözőek lesznek. A ermelő problémája ehá, hogy meghaározza P, azon éréké, amely maxmalzálja a várhaó profsoroza dszkonál jelenéréké. A probléma ehá: s s, s s, s, s0 E ( REV OST ), ahol P s a dszkonfakor s, s (1 s ), a bevéel REV, P, s P, s s P s P s alakulása OST, W, W M P, P, meg. A feladahoz arozó elsőrendű feléel: s s s s s s s s e 0 s, sm sp s s s, E 1 s e s 0 s, sp s s P és a kölségek függvénnyel adhaó Tudjuk, hogy az árndexe az (15) egyenle haározza meg, lleve a alvo-árazás (1 ) 1, 1, érelmében az árndex felírhaó P P P formában s. Ezen egyenle és a (16) log-lnearzálásával megadhaó az árdnamká leíró összefüggés, amelye újkeynesánus Phllps - görbének, vagy aggregál kínála függvénynek nevezünk: (16) (1 )(1 ) mc E 1 (17) Az összefüggés alapján az ado dőszak nflácó ( ) nagyságá az ado dőszak reálhaárkölség ( mc ) és a kövekező dőszakra vár nflácós ráa ( E 1 ) haározza meg. 15

16 ormányza. A fskáls haóság problémája (10) válozalan, ugyanakkor új funkcó s be kell ölene, a moneárs haóság szerepé. Az új-keynes modellekben a moneárs polka egy kamaszabály segíségével hajja végre a gazdaságra vonakozó beavakozása [alí- erler, (2007)], azaz ennek alapján haározza meg a nomnáls kamaláb pályájá. A Taylorszabály [Taylor, (1993)] így írhaó fel a legegyszerűbben: 1 (18) A kamalábszabályban (Taylor - elv) szereplő >1 felevés azér szükséges, mer csak ebben az eseben kapunk korláos megoldás az nflácóra, lleve annak pályájára. A a moneárs polka sokko (annak arósságá) jelöl, melyről felesszük, mn ahogy az eddg sokkok, hogy AR(1) folyamao köve: (19) m m, ahol 1 és fehérzaj m 1 m A echnológa (13) és a fskáls sokkokra (14) e egyenleek és kköések érvényben maradnak. A megoldáshoz szükséges még egyenle, a nomnáls kamaláb, a reálkamaláb és a vár nflácós ráa közö kapcsola, a Fsher-azonosság: (20) r E Megoldás és eredmények. A kövekező lépés ebben a példában s a pac egyensúly feléelek felírásával, a modell állandósul állapoának megadásával és az egyes összefüggések log-lneárzálásával kapcsolaos feladaok elvégzése. Ezek az egyenleek (a sokkokra ado defnícókkal együ) egy szochaszkus 14 egyenleből álló dfferencaegyenle - rendszer alkonak, amely alapján szerenénk megadna gazdaság 14 endogén válozójának (kbocsáás, fogyaszás, beruházás, őkeállomány, reálbérle díj, foglalkozaás, reálbér, reálkamaláb, nomnáls kamaláb, nflácós ráa, haárkölség, eljesényező-ermelékenység, kormányza vásárlások, moneárs sokk) dőbel vselkedésé. A dnamkus rendszer MATLAB programcsomag alkalmazásával gensys.m algormussal oldoam meg. A 2. számú függelékben olvashaó az algormushoz rendeze egyenlerendszer, valamn az o alálhaó ábrákon az újkeynes modell válozónak a echnológában, kormányza bekövekeze, azok állandósul állapoból való 1 százalékos növekedésére ado mpulzusok válasza kövehejük nyomon. Az eredmények érelmezésé az Olvasóra bízzuk. FELHASZNÁLT IRODALOM [1] BLANHARD, Olver. - M. AHN [1980]: The Soluon of Lnear Dfference Models under Raonal Expecaons. Economerca, 48, pp [2] ALVO,. A. (1983): Saggered Prces n a Uly-Maxmzng Framework. Journal of Moneary Economcs. 12(3) pp [3] HRISTIANO, L., - EIHENBAUM, M. - EVANS,. L. (2005): Nomnal Rgdes and he Dynamc Effecs of a Shock o Moneary Polcy. Journal of Polcal Economcs, 113, no.1, 1-45 [4] DIXIT, A.. - STILITZ, J. E. (1977): Monopolsc ompeon and Opmum Produc Dversy. Amercan Ecomomc Revew, 67(3) pp [5] ALÍ, J. - ERTLER, M. (2007): Macroeconomc modelng for moneary polcy evaluaon. Journal of Economc Perspecves, Vol. 21. No. 4, pp

17 [6] DLAND, F. - PRESOTT, E. [2004]: The Tme onssency of Economc Polcy and he Drvng Forces Behnd Busness ycles, ungl. Veenskapsakademen, The Royal Swedsh Academy of Scences. Leölheő: hp://nobelprze.org/economcs/laureaes/2004/presco-lecure.pdf [7] LJUNQVIST, L. - SARENT, T. (2004): Recursve Macroeconomc Theory. 2. kadás, MIT Press, Massachuses [8] MANDLESS,. (2008): AB of RB: An Inroducon o Dynamc Macroeconomc Models. Harvard Unversy Press, ambrdge [9] PRESOTT, E. [2004]: The Transformaon of Macroeconomc Polcy and Research. Leölheő: hp://nobelprze.org/economcs/laureaes/2004/presco-lecure.pdf [10] ROTEMBER, J. - WOODFORD, M. (1999):,,Ineres Rae Rules n an Esmaed Scky Prce Model nnen J.B. Taylor (kad.) Moneary Polcy Rules, Unversy of hcago Press, hcago, IL. [11] SIMS, hrsopher A.[2000]: Solvng Lnear Raonal Expecaons Models. ézra. Leölheő: hp://sms.prnceon.edu/yfp/gensys/ honlapról [12] STOE, N. L. - LUAS, R. E. (1989): Recursve Mehods n Economc Dynamcs. Harvard Unversy Press, ambrdge [13] TALOR, J. B. (1993): Dscreon versus Polcy Rules n Pracce. arnege-rocheser onferences Seres on Publc Polcy 39 pp [14] VINZE, J. (2010): Makroökonóma és a gyakorla, Typoex adó, Budapes 17

18 Függelék - Példa Az RB modell és annak állandósul (seady-sae) állapoa A eljes modell: Az egyensúly állapo: 1 E (1 r 1) 1 1 E ( r 1 (1 )) 1 L w (1 ) r L (1 ) w 1r 1 ( r (1 )) 1 L w r z L 1 I (1 ) 1 I L (1 ) w 1 L I I 2. A Log-lnearzál dfferencaegyenle-rendszer E r E (1 (1 )) E r 0 L w L w r 18

19 z (1 ) L I (1 ) 1 I I z z z z A gensys.m algormushoz rendeze egyenlerendszer: A gensys.m algormus alkalmazása megkívánja, hogy az E válozó +1 válozóka k kell válozó helyeesíen a rendszerből, úgy hogy aa = E válozó +1, ekkor válozó aa 1 alakra hozhaó. aa E ab 1 E r 1 és így ermészeesen ké plusz egyenlere s hozzáadódk az eddg rendszerhez: aa 1 r ab 1 r A kövekező lépésben az ké plusz válozó és a ké plusz egyenlee vsszahelyeesíjük a log-lnearzál egyenlerendszerbe, majd befejezésképpen rendezzük az egyenleeke a számíógépes megoldásoz. aa r 0 1 aa (1 (1 )) ab 0 L w L w r z (1 ) L I (1 ) 1 I I aa 1 r ab 1 r z z z z

20 4. Termelékenység (echnológa) sokk haása (mpulzus-válaszok) 20

21 5. Fskáls (kadás) sokk haása (mpulzus-válaszok) 21

22 Függelék - Példa Az újkeynes modell és annak állandósul (seady-sae) állapoa A eljes modell: 1 E (1 r 1) 1 1 E ( r 1 (1 )) 1 L L, w M (1 ) w M r,,, 1 ( r ) ( w) M z (1 ) 1 (1 )(1 ) mc E 1 r E I 1 (1 ) I Az egyensúly állapo: A rendszer deermnszkus állandósul állapoában mnden monopolszkusan versenyző vállala ugyananny ermel ( ), s ugyanakkora ára haároz meg ( P P). Ennek megfelelően a rendszer állandósul állapoá megadó egyenleek: (1 r) 1 ( r (1 )) 1 L w L mc(1 ) w mc r ( r ) ( w ) mc (1 ) 1 22

23 (1 )(1 ) mc r I I 2. A Log-lnearzál dfferencaegyenle-rendszer E r r 1 E (1 (1 ))E 0 L w w mc L,, 1,, r mc mc r (1 ) w z (1 )(1 ) mc E 1 1 r E I 1 z 1 1 m 1 (1 ) I I z z z m 3. A gensys.m algormushoz rendeze egyenlerendszer: A gensys.m algormus alkalmazása megkívánja, hogy az E válozó +1 válozóka k kell válozó helyeesíen a rendszerből, úgy hogy aa = E válozó +1, ekkor válozó aa 1 alakra hozhaó. Szükség van ehá három ovább válozó bevezeésére: aa ab ac 1 E E r 1 E 1 és így ermészeesen három plusz egyenlere s hozzáadódk az eddg rendszerhez: 23

24 aa 1 r ab 1 r ac 1 A számíógépes megoldáshoz az alább egyenlerendszeren alapszk: aa r 0 1 aa (1 (1 )) ab 0 L w w mc L,, 1,, r mc mc r (1 ) w z (1 )(1 ) mc ac 1 r ac 1 1 I (1 ) 1 I I aa 1 r ab 1 r ac z 1 z 1 1 z m 1 z m 24

25 4. Termelékenység (echnológa) sokk haása (mpulzus-válaszok) 25

26 5. Fskáls (kadás) sokk haása (mpulzus-válaszok) 26