Többnézetes geometria
|
|
- Henrik Katona
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Vizuális helymeghatározás Többnézetes geometria Plósz Sándor 1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Távközlési és Médiainformatikai Tanszék 2015 Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
2 Tartalom Ismétlés Vizuális helymeghatározás elve Projektív geometria alapjai Kamerák reprezentálása Többnézetes geometria, fundamentális mátrix Fundamentális mátrix meghatározása Térépítés, trianguláció Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
3 Ismétlés Lineáris egyenletek - SVD felbontás (1) Lineáris egyenletek: y = f (x) = Ax A C m n Minden A M N mátrixra létezik egy ún. SVD (Singular Value Decomposition) felbontás A M N = U M M Σ M N V H N N U és V unitér (valós esetben ortogonális) mátrixok (UU H = U H U = I és VV H = V H V = I) Σ mátrixban a főátlóban nemnegatív valós számok találhatók, máshol nulla A főátló elemeit hívjuk szinguláris értékeknek (σn ) Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
4 Ismétlés Lineáris egyenletek - SVD felbontás (2) Nem négyzetes esetben tételezzük fel, hogy A = UDV T az SVD felbontás szerint Minimalizáljuk a Ax y kifejezést! Ax y = UDV T x y = DV T x U T y Legyen y = U T y és x = V T x! Ekkor a Dx y kifejezést kell minimalizálnunk Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
5 Bevezetés Vizuális helymeghatározás lépései Feltérképezés: referencia képek készítése, tartózkodási hely (C) és orientáció (R) rögzítése Megalkotni minden referencia képhez a Pr referencia kamera mátrixot. A kamerák belső paramétereit (K mátrix) számítással vagy kalibrációval meg kell határozni A tesztkép összehasonĺıtása referencia képekkel (valamely párosító algoritmussal), megkeresni a legjobb párt Összetartozó pontpárok kinyerése, ezek alapján kamera relációt leíró (fundamentális) mátrix meghatározása Ebből relatív hely és orientáció meghatározása Optimalizálás, 3d trianguláció, térépítés Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
6 Bevezetés Kétnézetes geometria Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
7 A projektív geometria alapjai Az n dimenziós projektív geometria n dimenziós pontokat n + 1 dimenzióban ír le. Pontok leírása π : x 3 = 1 egy síkot definiál, mely x 1 -x 2 síkkal párhuzamos Tetszőleges síkon található x pont leírható az O és x pontokon átmenő egyenes egyenletével: ax + by + c = 0 Az egyenes paraméterei: a, b, c 2.2 The 2D projective plane 29 x 2 ideal point l O x π x 3 x 1 Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
8 A projektív geometria alapjai Projektív tér Egyenes konstansal való szorzással nem változik: (a, b, c) (ka, kb, kc), k 0 x = (x, y) pont akkor van az egyenesen, ha teljesíti: [ ] a x y 1 b = 0 c (kx, ky, k) ugyanazt azt az x síkbeli pontot jelöli pont homogén koordinátája Egy általános x = (x 1, x 2, x 3 ) pont a sík (x 1 /x 3, x 2 /x 3 ) pontjának felel meg P 2 két dimenziós projektív tér R 3 (0, 0, 0) felett (valós számhármasok kivéve a nullvektor) Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
9 A projektív geometria alapjai Projektív geometria tulajdonságai Két egyenes l, l metszéspontja Hiszen l(l l ) = l (l l ) = 0 x = l l = [l] l l l a két vektor vektoriális szorzata i j k ( a b = a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z, a x b x a z b z, a x b x a y b y ) [l] a vektoriális szorzás mátrix alakban 0 a z a y [a] = a z 0 a x a y a x 0 Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
10 A projektív geometria alapjai Projektív geometria tulajdonságai Két párhuzamos egyenes Metszéspontjuk: l : (a, b, c) l : (a, b, c ) l l = (c c)(b, a, 0) T Átváltva normál koordinátákra (d = (c c)) l l = d(b/0, a/0) T A pont koordinátái végtelen nagyok projektív térben a párhuzamosak a végtelenben találkoznak! Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
11 154 Vetítés 6 Camera Models Y C camera centre X x p y x image plane Z X principal axis C Y f p f Y / Z Z Fig Pinhole camera geometry. C is the camera centre and p the principal point. The camera centre is Van hereegy placed X(x, at the y, coordinate z) pontunk origin. a térben Note the image és egyplane f paraméterű is placed in front kameránk of the camera a centre. C pontban, mely Z tengely felé néz computes Hol that látszik the X point vetülete (X, Y, a Z) kameránkon T is mapped to (x the, y point )? (f X/Z,fY/Z,f) T on the image Egyszerű plane. Ignoring arány: the y final image coordinate, we see that z = y f y = fy z Ugyanígy: x = fx z (X, Y, Z) T (f X/Z,fY/Z) T (6.1) describes the central projection mapping from world to image coordinates. This is a (x, y, mapping from Euclidean 3-space IR 3 z) to T (fx/z, fy/z) Euclidean 2-space T IR 2. The centre of projection is called the camera centre. It is also known as the optical Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
12 Vetítés Kamera síkjára való vetítés: y = fy z = fy 1 z x = fx z = fy 1 z Mivel az osztás műveletét nem tudjuk feĺırni mátrix alakban, ezért bevezették a homogén koordinátákat A hányados egy újabb koordináta x x y fx f 0 z fy = f 0 y z z Másképpen P = diag(f, f, 1) [I 0] Ahol P mátrix az ún. vetítési (projekciós) mátrix Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
13 Kamera belső paraméterei A valóságban f -et valamilyen fizikai mértékben adják meg (pl. mm) A képfeldolgozás során pixel koordináta rendszerben dolgozunk f -et át kell transzformálálni pixel koordinátarendszerbe r = (r x, r y ) a szenzor felbontása, d = (d x, d y ) a szenzor mérete [mm] α x = r x /d x, α y = r y /d y [pixel/mm] f α x 0 x 0 K = 0 f α y y x 0, y 0 a kamera origója K mátrixot a kamera belső (intrinsic) paramétereinek hívjuk y y 0 p 6.1 Finite cameras x x ycam 0 x cam Fig Image (x, y) and camera (xcam,ycam) coordinate syste Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
14 Kamera külső paraméterei A kamera a térben nem feltétlenül a z koordinátatengely irányába néz Ezt egy R forgatási mátrixszal és egy C középponttal (eltolás) jellemezhetjük A megfelelő külső transzformációt (extrinsic parameters) a következőképp kapjuk: [ ] R RC P ex = 0 1 A külső és belső paraméter mátrixok szorzata adja a teljes P kamera mátrixot: P = K[R RC] = KR[I C] Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
15 Kamera transzformációja Kamera projekció egyenlete: P = K[R RC] = KR[I C] Lépések: 1. Eltolás x = (x C) 2. Forgatás x = (Rx ) 3. Vetítés x = (Kx ) Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
16 Epipoláris geometria Bevezetés C C / a Fig Point correspondence geometry. (a) The Epipoláris: kétnézetes C and image planes. The camera centres, 3-space plane π. (b) An image point x back-projects to a ra Egy térbeli pont, és két vetített képe között milyen összefüggés van and x. This ray is imaged as a line l in the second lie on this ray, so the image of X in the second view Epipolar Geometry and the Fundamental Matrix epipolar plane π X π X? X X? l / l x x / C C / x e e baseline e / e / / l epipolar line for x a a b Fig Point correspondence geometry. (a) Fig. The9.2. two cameras Epipolarare geometry. indicated (a) by their The centres cameracbas an C and Plósz image Sándor planes. (BME TMIT) The cameranavigációs centres, szolgáltatások 3-space point és alkalmazások X, and its images x and x 2015 lie in a16 commo / 37
17 epipolar plane Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások Fig Epipolar geometry. (a) 2015 The camera 17 / 37bas π Epipoláris geometria Fogalmak Két kamera C és C középponttal X térbeli pont, képe a két kamerán rendre x és x C, C, x, x és X pontok egy ún. π epipoláris síkra esnek A C és C pontot összekötő egyenest alapegyenesnek hívjuk, a képsíkokat e és e pontban metszik (epipólus) Az e és x pontok az l epipoláris egyenesre esnek, ahogy e és x az l epipoláris egyenesre Epipolar Geometry / and x epipolar plane π C C / a x x / Fig Point correspondence geometry. (a) Th C and image planes. The camera centres, 3-space plane π. (b) An image point x back-projects to a r C C and x. This ray is imaged as a line l in the second / lie on this ray, so the image of X in the second view a π Fig Point correspondence geometry. (a) The C and image planes. The camera centres, 3-space plane π. l (b) An image point x back-projects / to a ra and x. This ray is imaged as a line l l in the second v lie on this ray, so the image of X in the second view m e π baseline X e / x l a / l
18 Epipoláris geometria Epipoláris egyenlet Tudjuk, hogy PX = x, amiből X -et meghatározhatjuk a köv. egyenlet megoldásával: Epipolar Geometry an X epipolar plane π X (λ) = P + x + λc x x / P + a P mátrix pszeudoinverze (PP + = I ) C a kamera középpont, (P nullvektora, hiszen PC = 0) C C / a Fig Point correspondence geometry. (a) Th C and image planes. The camera centres, 3-spac plane π. (b) An image point x back-projects to a and x. This ray is imaged as a line l in the second lie on this ray, so the image of X in the second view A megoldás egy egyenes, két kiemelt pont P + x (λ = 0) és C (λ = inf) Ezen pontok képei a 2. kamerán: P P + x és P C = e π l Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások l/ 37
19 Epipoláris geometria Fundamentális mátrix Az előzőek alapján: l = (P C) (P P + x) = e (P P + x) = [e ] (P P + x) = Fx [e ] az e vektorral történő keresztszorzatot jelentő mátrix Az F mátrixot fundamentális mátrixnak nevezzük F kapcsolatot ad a két nézet között, egy adott nézetben levetíttet ponthoz hozzárendel a másik nézetben egy egyenest. Mivel az x pont az l egyenesen fekszik, ezért minden x és x pont között fennáll x T Fx = 0 Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
20 Epipoláris geometria Fundamentális mátrix F rangja 2, és 7 szabadságfokkal bír Bármely két nézetet leírhatunk egy F mátrixal, úgy, hogy a vetített pontpárokra érvényes az előző egyenlet Bármely két kamerához egyértelműen tartozik egy fundamentális mátrix, de fordítva nem feltétlenül igaz! Minden kamerapárhoz, amelyek csak egy projektív transzformációban különböznek ugyanaz a fundamentális mátrix tartozik Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
21 Epipoláris geometria Esszenciális mátrix Legyen P = K[R RC] = KR[I C] formájú Vezessük be minden x pontra az ún. normalizált ˆx = K 1 x koordinátákat Belátható, hogy minden ˆx ˆx pontpárra igaz: ˆx T E ˆx = 0 Az E mátrixot esszenciális mátrixnak hívjuk, és: E = K T FK = [t] R. Amennyiben a két kameramátrix felépítése P = K[I 0] és P = K[R t]. Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
22 Epipoláris geometria Esszenciális mátrix E mátrix szabadságfoka 5 több megszorítás vonatkozik rá, mint a fundamentális mátrixra Belátható, hogy amennyiben egy kameramátrixhoz tartozó esszenciális mátrix ismert, akkor abból a kamera mátrixokra négy megoldás található. Ebből a négy megoldásból kiszűrhető az az egy, amelyik szerint az X pontok mind a kamerák nézeti irányában (s nem a kamerák mögött) találhatók. A pontos megoldási módszer az SVD (Singular Value Decomposition) felbontáson alapul Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
23 Fundamentális mátrix meghatározása Két különböző kamerával, különböző helyről rögzített képek megfelelő x x képpontpárjai között a köv. epipoláris megkötés áll fenn: x T F 3x3 x = 0 F 3x3 a szinguláris fundamentális mátrix (rangja 2). Meghatározása: Kezdeti becslés Hiba feĺırása Költségfüggvény optimalizálás Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
24 Fundamentális mátrix meghatározása Költségfüggvény Szimmetrikus epipoláris hiba költségfüggvény Tudjuk, hogy az egyik képen az x ponthoz a másik képen egy l egyenes tartozik, amelyekre: Hasonlóan az x pontokra: l = F x l = F T x (1) A szimmetrikus epipoláris hiba így az egyenesek és pontok távolságát összegzi: d(x i, F x i ) 2 + d(x i, F T x i) 2 (2) i ahol d(x, y) az y egyenes és a x pont euklideszi távolságát jelenti. Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
25 Fundamentális mátrix meghatározása Becslés Ha a mért képpontok normális eloszlású zajjal terheltek alkalmazható a maximum likelihood (ML) becslés Zajjal terhelt pontpároknak megfelelő ˆx i ˆx i pontpárok kielégítik: ˆx T i F ˆx i = 0 A reprojekciós hiba költségfüggvény: d(x i, ˆx i ) 2 + d(x i, ˆx i) 2 (3) i Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
26 Fundamentális mátrix meghatározása 8 pontos módszer x T F 3x3 x = 0 egyenlet az F lineáris függvénye F mátrixra lineáris egyenletrendszer írható fel, pontonként egy egyenlettel Legyen x i = (x, y, 1) és x i = (x, y, 1), ekkor (x i, x i )-re: x xf 11 + x yf 12 + x f 13 + y xf 21 + y yf 22 + y f 23 + xf 31 + yf 32 + f 33 = 0 Legyen f T = (f 11, f 12, f 13, f 21, f 22, f 23, f 31, f 32, f 33 ) x 1 x 1 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 y 1 y 1 x 1 y 1 1 Af = f = 0 x nx n x ny n x n y nx n y ny n y n x n y n 1 F nem feltétlenül lesz szinguláris! Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
27 Fundamentális mátrix meghatározása 8 pontos módszer Legtöbbször több mint 8 pontunk van Legkisebb négyzetes megoldás elve: legkisebb szingularitáshoz tartozó szinguláris vektor Ha A SVD felbontása A = UDV T, akkor a megoldás Vi T amennyiben σ i = min σ k k F szinguláris felbontása F = Udiag(r, s, 0)V T formájú, hiszen a rangja 2 Célszerű F = Udiag(r, s, t)v T helyett az F = Udiag(r, s, 0)V T mátrix használata Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
28 Fundamentális mátrix meghatározása 7 pontos módszer F fundamentális mátrix szabadsági foka 7 A mátrix 9 oszloppal rendelkezik, ha 7 pontból építjük fel magtere két dimenziós lesz Legyen e kétdimenziós térnek a bázisa f 1 és f 2, amelyeket az A mátrix SVD felbontásából kaphatunk F = F 1 + αf 2 (4) F mátrix az Af = 0 homogén egyenletnek megfelelő mátrix, α ismeretlen szorzó. A köv. egyenletet kell megoldani: Ez már zárt alakban megolható! Előnye: 7 pont elég, és F szinguláris lesz det(f 1 + αf 2 ) = 0 (5) Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
29 Fundamentális mátrix meghatározása Optimális megoldás Kezdeti becslésre jó a normalizált 8 pontos és 7 pontos algoritmus ML becsléshez reprojekciós hiba költségfüggvény minimalizálása kell A legkézenfekvőbb megoldás a tér projektív rekonstrukciója F -nek megfelelő P és P kameramátrixok meghatározása Pontok triangulációja Optimalizáció Segítségével a kamerák relatív helye meghatározható skálázás erejéig Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
30 Esszenciális mátrix meghatározása Ha F megvan E = K T FK Ha P = K[I 0] P = K[R t] hogy kapjuk meg? Legyen az esszenciális mátrix SVD felbontása E = Udiag(1, 1, 0)V T. Definiáljuk: W = Z = Ha P = K[I 0], akkor P kameramátrixra négy megoldás adódik: P 1 = [ UWV T ] +u 3 P 2 = [ P 3 = [ UW T V T ] +u 3 UWV T ] u 3 P 4 = [ UW T V T ] u 3 Csak egy megoldás helyes (pontok mindkét kamera előtt) Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
31 Trianguláció Bevezetés Legyen P és P a két kamera mátrixunk Legyen X térbeli pont, mely képe x = PX és x = P X A trianguláció ennek megfordítása, tehát ismerve x x pontpárokat, melyik az az X pont, amelyre x = PX és x = P X? A feladat a következő τ trianguláció megtalálása: X = τ(x, x, P, P ) Csak zajmentes esetben lenne egyértelmű Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
32 Trianguláció Zaj szemléltetése 12.1 Problem statement 311 x x / C / C l = F / x a x / / x l = F x e image 1 image 2 b Fig (a) Rays back-projected from imperfectly measured points x, x are skew in 3-space in general. (b) The epipolar geometry for x, x. The measured points do not satisfy the epipolar constraint. Plósz TheSándor epipolar (BME line l TMIT) = Fx is the image Navigációs of theszolgáltatások ray through x, ésand alkalmazások l = F T x is the image of the ray through / 37 e /
33 Trianguláció Egyenletek A következő egyenleteket írhatjuk fel: x (PX) = 0 x (P X) = 0 Az első egyenletet felbonthatjuk az alábbi formában (p it a P mátrix i-dik sorát jelöli) Lineáris egyenletrendszer x(p 3T X) (p 1T X) = 0 y(p 3T X) (p 2T X) = 0 x(p 2T X) y(p 1T X) = 0 Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
34 Trianguláció Megoldás A másik keresztszorzatot hasonlóan felbontva összesen hat egyenletet kapunk, amelyeket összevonhatunk AX = 0 alakra xp 3T p 1T yp 3T p 2T A = xp 2T p 1T x p 3T p 1T y p 3T p 2T x p 2T p 1T Megoldása a legkisebb négyzetes hiba minimalizálásával (a legkisebb szinguláris értékhez tartozó szinguláris vektor) A mátrix szinguláris felbontásával (SVD) kaphatjuk meg Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
35 Optimalizáció a x i x i pontpárok ismeretében az X i három dimenziós pontok meghatározhatók triangulációval A feladat innentől a következő egyenletrendszer reprojekciós hibájának nemlineáris optimalizációja X i és P függvényében: x i = PX i x i = P X i (6) Összesen 3n + 12 változó, ahol n a 3d pontpárok száma (ritka Levenberg-Marquardt minimalizáció) Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
36 Térmodell Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
37 Térmodell Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
38 Te rmodell Plo sz Sa ndor (BME TMIT) Naviga cio s szolga ltata sok e s alkalmaza sok / 37
39 Forrás Richard Hartley and Andrew Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, 2nd edition, 2004 Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 37
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenTérbeli transzformációk, a tér leképezése síkra
Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenSzámítógépes látás alapjai
Számítógépes látás alapjai Csetverikov Dmitrij, Hajder Levente Eötvös Lóránd Egyetem, Informatikai Kar Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 1 / 44 Többkamerás 3D-s rekonstrukció
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
Részletesebben3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)
3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenTranszformációk síkon, térben
Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenSzinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenTranszformációk. Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform
Transzformációk Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform Koordinátarendszerek: modelltér Koordinátarendszerek: világtér Koordinátarendszerek: kameratér up right z eye ahead
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
Részletesebben2. Omnidirekcionális kamera
2. Omnidirekcionális kamera Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 2 Omnidirekcionális kamerák típusai Omnidirekcionális, körbelátó,
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenTranszformációk. Szécsi László
Transzformációk Szécsi László A feladat Adott a 3D modell háromszögek csúcspontjai [modellezési koordináták] Háromszögkitöltő algoritmus pixeleket színez be [viewport koordináták] A feladat: számítsuk
RészletesebbenHelymeghatározási alapelvek és módszerek
Helymeghatározási alapelvek és módszerek Helymeghatározás alapjai, 2. rész Hollósi Gergely 1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Távközlési és Médiainformatikai Tanszék 2015 Hollósi Gergely
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenSzámítógépes geometria
2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenPanorámakép készítése
Panorámakép készítése Képregisztráció, 2009. Hantos Norbert Blaskovics Viktor Összefoglalás Panoráma (image stitching, planar mosaicing): átfedő képek összeillesztése Lépések: Előfeldolgozás (pl. intenzitáskorrekciók)
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenProjektív geometria. 1. Bevezetés. 2. Homogén koordináták december Pontok leírása homogén koordinátákkal
Projektív geometria 2007. 2008. december 8.. Bevezetés A Tomasi-Kanade faktorizáció eredeti megoldása mer leges vetítés alkalmazásával készült. Paraperspektív és gyenge perspektív esetre hamarosan kidolgoztak
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Részletesebben1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenBevezetés. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)
Bevezetés Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 2 Digitális képfeldolgozás digitális képfeldolgozás számítógépes grafika digitális
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Részletesebben3D koordináta-rendszerek
3D koordináta-rendszerek z z y x y x y balkezes bal-sodrású x jobbkezes jobb-sodrású z 3D transzformációk - homogén koordináták (x, y, z) megadása homogén koordinátákkal: (x, y, z, 1) (x, y, z, w) = (x,
RészletesebbenÁltalánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenPélda: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
RészletesebbenKamerakalibráció és pozícióbecslés érzékenységi analízissel, sík mintázatokból. Dabóczi Tamás (BME MIT), Fazekas Zoltán (MTA SZTAKI)
, 2008 feb. 4-5 Kamerakalibráció és pozícióbecslés érzékenységi Bódis-Szomorú András Dabóczi Tamás (BME MIT), Fazekas Zoltán (MTA SZTAKI) Méréstechnika- és Információs Rendszerek Tanszék BME Rendszer-
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenNumerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4
Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek
RészletesebbenSzámítógépes látás. Kató Zoltán, Czúni László. 2011. május 2. 0:15
Számítógépes látás Kató Zoltán, Czúni László 2011. május 2. 0:15 2 Tartalomjegyzék I. Statikus látás 7 1. A projektív kamera 11 1.1. A lyukkamera.............................. 11 1.1.1. A kamera koordináta
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenTárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL
3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.
RészletesebbenMérnökgeodéziai hálózatok feldolgozása
Mérnökgeodéziai hálózatok feldolgozása dr. Siki Zoltán siki@agt.bme.hu XIV. Földmérő Találkozó Gyergyószentmiklós 2013.05.09-12. Mérnökgeodéziai hálózatok nagy relatív pontosságú hálózatok (1/100 000,
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
Részletesebben3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció
3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció 15. Digitális Alakzatrekonstrukció Méréstechnológia, Ponthalmazok regisztrációja http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiima01
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
Részletesebben5. 3D rekonstrukció. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)
5. 3D rekonstrukció Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 2 PASSZÍV SZTEREÓ 3 Passzív sztereó 3D rekonstrukció egy sztereó kamera
Részletesebben6. Modell illesztés, alakzatok
6. Modell illesztés, alakzatok Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 2 ROBOSZTUS EGYENES ILLESZTÉS Egyenes illesztés Adott a síkban
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
RészletesebbenOpenGL és a mátrixok
OpenGL és a mátrixok Róth Gergő 2013. március 4. Róth Gergő 1/20 A rajzoláskor a videókártya minden csúcson végrehajt egy transzformációt. Mire jó? Kamera helyének beállítása Egy objektum több pozícióra
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
Részletesebben