Számítógépes látás alapjai
|
|
|
- Ottó Gál
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Számítógépes látás alapjai Csetverikov Dmitrij, Hajder Levente Eötvös Lóránd Egyetem, Informatikai Kar Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 1 / 44
2 Többkamerás 3D-s rekonstrukció alapjai 1 Többkamerás 3D-s rekonstrukció elvei 2 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció 3 Többképes perspektív rekonstrukció 4 Sztereo rekonstrukciók összefűzése 5 Kötegbehangolás 6 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 2 / 44
3 Áttekintés Többkamerás 3D-s rekonstrukció elvei 1 Többkamerás 3D-s rekonstrukció elvei 2 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció 3 Többképes perspektív rekonstrukció 4 Sztereo rekonstrukciók összefűzése 5 Kötegbehangolás 6 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 3 / 44
4 Többkamerás 3D-s rekonstrukció elvei Lehetséges sokkamerás megoldások 1 Kétkamerás perspektív rekonstrukciók összefűzésével Nehézkes Hiba összeadódik 2 Teljes perspektív N-nézőpontos megoldások Feladat nemlineáris Megoldás elég bonyolult. 3 Egyszerűbb kameramodellek Feladat lineárissá válik Merőleges vetítés Gyengén perspektív vetítés Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 4 / 44
5 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Áttekintés 1 Többkamerás 3D-s rekonstrukció elvei 2 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció 3 Többképes perspektív rekonstrukció 4 Sztereo rekonstrukciók összefűzése 5 Kötegbehangolás 6 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 5 / 44
6 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Merőleges vetítés si s j r f1 x fi r f2 x fj t f [ ufp v fp Pontok vetítése ] [ ] r T = f1 s p t f (1) r T f2 Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 6 / 44
7 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Merőleges vetítés s i s j r f2 x fi x fj t f rf1 Vetítés: súlyponti koordináta középponttal. [ ufp v fp ] [ r T = f1 r T f2 ] s p (2) Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 7 / 44
8 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Áttekintés Tomasi-Kanade faktorizáció 1 Többkamerás 3D-s rekonstrukció elvei 2 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció 3 Többképes perspektív rekonstrukció 4 Sztereo rekonstrukciók összefűzése 5 Kötegbehangolás 6 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 8 / 44
9 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció Tomasi-Kanade faktorizáció Követett pontokat a W mérési mátrixba tesszük és szorzattá bontjuk (faktorizáljuk): W = W u 11 u 12 u 1P v 11 v 12 v 1P u 21 u 22 u 2P v 21 v 22 v 2P u F 1 u F 2 u FP v F 1 v F 2 v FP = = MS r T 11 r T 12 r T 21 r T 22. r T F1 r T F2 [ ] s1 s 2... s P Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 9 / 44
10 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció Tomasi-Kanade faktorizáció W = MS alak miatt W rangja nem lehet több 3-nál. M mérete 2F 3 S mérete 3 P Lemma: mátrix rangja szorzás után a szorzandók rangjának maximumánál nem lehet nagyobb. W rangjának csökkentése: Szinguláris érték szerinti felbontással (SVD) Szinguláris értékek és vektorok közül az első hármat megtartjuk, a többit eldobjuk. W = USV T W = U S V T S = σ σ σ σ S = σ σ σ 3 Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 10 / 44
11 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció Faktorizáció többértelműsége Faktorizáció nem egyértelmű W = MS = ( MQ 1) (QS) Q egy 3 3-mas mátrix. M aff = MQ 1 neve: affin mozgás mátrix. S aff = QS neve: affin struktúra mátrix. Többértelműség feloldása: r vektorokra a megkötések figyelembe vétele. Kamera bázisvektorai egységnyi hosszúak: r T i1 r i1 = 1 r T i2 r i2 = 1 Bázisvektorok páronként merőlegesek egymásra: r T i1 r i2 = 0 Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 11 / 44
12 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Többértelműség feloldása Tomasi-Kanade faktorizáció Affin valós kamera átszámítás: M aff Q m T 11 Q m T 12 Q M aff =. m T F1 Q m T F2 Q = M r T 11 r T 12 =. r T F1 r T F2 Megkötések a bázisvektorra: r T i1 r i1 = 1 m T i1 QQT m i1 = 1 r T i2 r i2 = 1 m T i2 QQT m i2 = 1 r T i1 r i2 = 0 m T i1 QQT m i2 = 0 Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 12 / 44
13 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Q mátrix számítása Tomasi-Kanade faktorizáció Bevezetjük az alábbi jelölést: L = QQ T = l 1 l 2 l 3 l 2 l 4 l 5 l 3 l 5 l 6 Megjegyzés: Q T Q mátrix szimmetrikus Megkötések felírása inhomogén lineáris egyenletrendszerrel: A i l = b i [ ] m i1,x 2m i1,x m i1,y 2m i1,x m i1,z m i1,y 2m i1,y m i1,z m i1,z A i = m i2,x 2m i2,x m i2,y 2m i2,x m i2,z m i2,y 2m i2,y m i2,z m i2,z m i1,x m i2,x 2m i2,x m i2,y 2m i2,x m i2,z m i1,y m i2,y 2m i2,y m i2,z m i1,z m i2,z l = [l 1, l 2, l 3, l 4, l 5, l 6 ] T b i = [1, 1, 0] T ahol m jk,x, m jk,y és m jk,z számok az m jk vektor x, y és z koordinátái. Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 13 / 44
14 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Q mátrix számítása Tomasi-Kanade faktorizáció Megkötések figyelembe vétele az összes képre: Al = b ] T A = [ A T 1 A T 2... A T F b = [1, 1, 0, 1, 1, 0,..., 1, 1, 0] T Megoldás: túlhatározott lineáris (homogén) egyenletrendszer optimális megoldásával Q mátrix előállítása L-ből SVD-vel: (SVD) L = USV T Q = U S Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 14 / 44
15 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció Gyengén perspektív vetítés Megkötések átalakulnak: Bázisvektorok továbbra is merőlegesek egymásra: r T i1 r i2 = 0 Hosszuk nem egységnyi, de a két vektor hossza azonos r T i1 r i1 = r T i2 r i2 Q mátrixra az egyenletek módosulnak m T i1 QQT m i1 m T i2 QQT m i2 = 0 m T i1 QQT m i2 = 0 Lineáris, de homogén egyenletet kaptunk. Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 15 / 44
16 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció Tomasi-Kanade faktorizáció összefoglalása 1 Követett pontokat a W mérési mátrixba tesszük 2 Minden pontra a súlypontba heéyezzük az origót, a módosított koordinátákat a W mátrixba helyezzük 3 Kiszámítjuk W mátrix SVD felbontását: W = USV T. 4 Kinullázzuk a negyedik szinguláris értéktől az összes diagonális elemet S-ben: S S. 5 Affin faktorizáció: M aff = U S és S aff = S V T 6 Q számítása metrikus kényszerekből 7 Metrikus faktorizáció: M = M aff Q és S = Q 1 S aff Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 16 / 44
17 Többképes perspektív rekonstrukció Áttekintés 1 Többkamerás 3D-s rekonstrukció elvei 2 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció 3 Többképes perspektív rekonstrukció 4 Sztereo rekonstrukciók összefűzése 5 Kötegbehangolás 6 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 17 / 44
18 Többképes perspektív rekonstrukció Többképes perspektív rekonstrukció Háromképes rekonstrukció Epipoláris geometria továbbgondolása Összefüggések adhatók pontok és egyenesek között Új fogalmak: fundementális mátrix helyett trifokális tenzor...stb. Gyakorlati jelentőssége csekély Tomasi-Kanade faktorizáció kiterjesztése perspektív kameramodellre Algoritmus neve: autokalibráció Nehézség: projektív mélység (homogén osztás skalárja) minden pontra más Megoldása lehetséges, meglehetősen bonyolult Egyszerűbb megoldás: sok sztereo rekonstrukció összefűzése Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 18 / 44
19 Sztereo rekonstrukciók összefűzése Áttekintés 1 Többkamerás 3D-s rekonstrukció elvei 2 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció 3 Többképes perspektív rekonstrukció 4 Sztereo rekonstrukciók összefűzése 5 Kötegbehangolás 6 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 19 / 44
20 Sztereo rekonstrukciók összefűzése Rekonstrukció sztereo (rész)rekonstrukciók összefűzésével Képpáronként sztereó rekonstrukció lehetséges Kamera kalibráció: Belső paraméterek: pl. Zhang-módszer (sakktáblával) Külső paraméterek: esszenciális mátrix felbontásával Térbeli pontok: trianguláció Eredmény: Ahány képpár, annyi pontfelhő Képpárok között elmozdulás/elforgatás Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 20 / 44
21 Sztereo rekonstrukciók összefűzése Sztereo eredmények összefüzése Adott két pontfelhő Mindegyik a saját (első) kamerájához rögzített koordinátarendszerben Két pontfelhő N darab közös pontjait a {p i } és {q i } (i = 1... N) halmazokba gyűjtjük. A pontok között hasonlósági transzformáció adható meg p i = srp i + t s: skálázás R: elforgatás t: eltolás Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 21 / 44
22 Sztereo rekonstrukciók összefűzése Sztereo eredmények összefüzése Feladat: optimális regisztráció megoldása N q i srp i t 2 i=1 Megoldás bizonyítással: "3d-s ponthalmazok regisztrációja" jegyzetben Optimális t számítása: ponthalmazok súlypontjának különbsége Optimális elforgatás: H = N i=1 q i p T i R = VU T H = USV T Optimális skálázás: s = N i=1 q T i Rp i N i=1 p T i p i Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 22 / 44
23 Kötegbehangolás Áttekintés 1 Többkamerás 3D-s rekonstrukció elvei 2 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció 3 Többképes perspektív rekonstrukció 4 Sztereo rekonstrukciók összefűzése 5 Kötegbehangolás 6 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 23 / 44
24 Kötegbehangolás Eredmények optimalizálása numerikus algoritmussal Az i-edik képkockán a j-edik pont függ az i-edik kamera paramétereitől és a j-edik pont térbeli koordinátáitól. Levenberg-Marquard algoritmus használata javasolt. Jakobi mátrixot kell számítani Sok kép és pont esetén nagyon ritka Ritka Levenberg-Marquard algoritmus neve: Kötegbehangolás (magyarul) Bundle adjustment (angolul) Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 24 / 44
25 Kötegbehangolás Levenberg-Marquard algoritmus rekonstrukciós problémára A paraméterek értékének változtatása: p = ( J T J + λe) 1 J T ɛ p Beállítandó paraméterek: kamerák paraméterei + pontok térbeli Kamerák paraméterei Térbeli pontok koordinátái Például 20 perspektív kamera, 1000 pont: = 3220 paraméter J T J mátrix mérete Invertálás rendkívül lassú. Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 25 / 44
26 Kötegbehangolás Jakobi mátrix Jakobi mátrix Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 26 / 44
27 Kötegbehangolás Jakobi mátrix Normálegyenlet Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 27 / 44
28 Kötegbehangolás Kötegbehangolás: normálegyenlet Normálegyenlet blokkosítva [ ] [ U X m X T V s ] = [ E XV 1 Ha balról megszorozzuk az 0 E [ U XV T X T 0 X T V ] [ m s [ ɛm ɛ s ] ], az eredmény: ] [ ɛm XV = 1 ] ɛ s ɛ s Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 28 / 44
29 Kötegbehangolás Kötegbehangolás: normálegyenlet megoldása Megoldás: m = (U XV T X T) 1 ) (ɛ m XV 1 ɛ s ( ) s = V 1 ɛ s X T m Invertálni kell: V Blokkos mátrix, kis blokkokat önállóan kell invertálni ( U XV 1 X T) 1 Speciális szerkezetű mátrix, szintén blokkokra (azon belül összegekre) esik szét. Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 29 / 44
30 Áttekintés Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal 1 Többkamerás 3D-s rekonstrukció elvei 2 Rekonstrukció merőleges és gyengén perspektív kamerával Tomasi-Kanade faktorizáció 3 Többképes perspektív rekonstrukció 4 Sztereo rekonstrukciók összefűzése 5 Kötegbehangolás 6 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 30 / 44
31 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Rekonstrukció hiányzó adatokkal Sztereó rekonstrukciónál nem gond a hiányzó adat Ha csak egy képen látszik, lehetetlenség térben rekonstruálni. Kötegbehangolás képes kezelni a hiányzó adatokat Az U i -val és V j -vel jelölt blokkmátrixok számítása kevesebb szummából áll. Tomasi-Kanade faktorizáció viszont átalakítást igényel Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 31 / 44
32 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Kitekintés: Gyengén perspektív kamera kalibrációja A matematikai probléma: [ ] [ ] u1... u P X1... X = [M b] P v 1... v P (3) ahol M = q ˆR és ˆR az R mátrix első két sorát tartalmazza. Kamerakalibrációnál a kameraparaméterek nem ismertek, a feladat egy mimimalizáció: arg min q,ˆr,b i [ ui v i ] [ ] Xi 2 [M b] 1 2 (4) Ez majdnem pontregisztrációs probléma Bal oldalon nem három, hanem két koordináta szerepel. Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 32 / 44
33 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Kitekintés: Gyengén perspektív kamera kalibrációja Megoldás: bal oldalt is tegyük háromdimenzióssá! ˆR két sora kiegészíthető harmadikra. Ha r T 1 és rt 2 az első két sor, a harmadik vektoriális szorzással megkapható: r T 3 = r T 1 r T 2 (5) b harmadik koordinátája legyen zérus Bal oldali harmadik koordináta (kiegészítő-lépés): w i = qr T 3 X i + b A regisztrációt és a kiegészítést folyamatosan ismételjük. Bizonyítható, hogy konvergálni fog az optimális megoldáshoz. Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 33 / 44
34 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Tomasi-Kanade faktorizáció Faktorizációs probléma, súlypontra hozás esetén: W = MS (6) Faktorizációs probléma, ha nem a súlypontban vagyunk M 1 b 1 [ ] [ X1 X W = P X1 X.. = [M b] P M F b F Megoldás a kameramozgás és a térbeli pontok felváltott számításával Kameramozgás számítása: M-lépés Struktúra számítása : S-lépés Utolsó feladat a harmadik koordinátákat számítani: Kiegészítő-lépés Mindkét lépés optimálisan számítható! ] (7) Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 34 / 44
35 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Tomasi-Kanade faktorizáció: S-lépés Egy térbeli pontra felírhatjuk az egyenletet: u ij v ij = [ ] [ ] X M j b i j = M 1 j X i + b j (8) w ij Lineáris probléma X i -re nézve, a megoldás optimálisan számítható az összes kamera adataival: ( 1 X i = M M) T M T (W i b) (9) ahol W i a W mérési mátrix megfelelő oszlopa. Hiányzó adatok: Ha egy képen nem látszik a pont, annak mozgásmátrixa nem szerepel a mozgásvektorban Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 35 / 44
36 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Tomasi-Kanade faktorizáció: M-lépés A mozgásmátrix számítása pontregisztrációs probléma, hiszen: u ij v ij = M j X i + b j = q j R j X i + b j (10) w ij Az eltolásvektor jele itt b j Forgatás: R j Skála: q j Hiányzó adatok: Ha a képen nem látszik egy pont, a koordinátái nem szerepelnek a regisztrációs mátrixban. Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 36 / 44
37 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Tomasi-Kanade faktorizáció: Kiegészítő-lépés Minden harmadik koordinátát újra kell számolni minden egyes képkocka minden egyes pontjára, minden egyes lépés után. Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 37 / 44
38 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Tomasi-Kanade faktorizáció Hiányzó adatokkal 1 Kezdeti mozgás- és struktúramátrixok számítása Tomasi-Kanade faktorizációk összefűzésével (ld. később) Harmadik koordináták számítása (Kiegészítő-lépés) 2 Konvergenciáig ismételni: Mozgásmátrixok számítása (M-lépés): pontregisztrációs feladat Harmadik koordináták számítása (Kiegészítő-lépés) Struktúrák (térbeli koordináták) számítása (S-lépés): lineáris feladat Harmadik koordináták számítása (Kiegészítő-lépés) Minden lépés négyzetes hibát csökkent, ezért a konvergencia garantált. Lokális minimum sajnos előfordulhat. Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 38 / 44
39 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Tomasi-Kanade faktorizáció: inicializálás Ötlet: teljes részmátrixokat keresünk Három kép kell legalább Ezért 1 3, 2 4, 3 5,... képek közös pontjaiból lehet faktorizálni. Ezeket a Tomasi-Kanade algoritmussal felbontjuk Részeredményeket összefűzzük Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 39 / 44
40 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Tomasi-Kanade faktorizáció: részfaktorizációk S1 M1 Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 40 / 44
41 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Tomasi-Kanade faktorizáció: részfaktorizációk M2 S2 Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 41 / 44
42 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Tomasi-Kanade faktorizáció: részfaktorizációk S3 M3 Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 42 / 44
43 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Tomasi-Kanade faktorizáció: részfaktorizációk S4 M4 Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 43 / 44
44 Tomasi-Kanade faktorizáció hiányzó adatokkal Tomasi-Kanade faktorizáció: inicializálás Részfaktorizációk összefűzése nem teljesen triviális. Tfh. két képen adottak a részfaktorizációk q j skalár és R j, b j, S j mátrixok ismertek. Továbbá q j+1 skalár R j+1, b j+1 és S j+1 mátrixok is. 3D-s ponthalmazok összefűzése: pontregisztrációs probléma. Legyenek az összeforgatás paraméterei: R forgatás, q skálázás és t eltolás Ekkor az i-dik pontra felírható: Mozgásmátrixok elemeinek összefűzése: M j+1 1 q M j+1r T t j+1 t j+1 + qm j+1 Ro 1 M j+1 o 2 s i = qr (s i o 1 ) + o 2 (11) Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 44 / 44
Számítógépes látás alapjai
Számítógépes látás alapjai Csetverikov Dmitrij, Hajder Levente Eötvös Lóránd Egyetem, Informatikai Kar Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 1 / 23 Rekonstrukció speciális hardverekkel
Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra
Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle
Hajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
2. Omnidirekcionális kamera
2. Omnidirekcionális kamera Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 2 Omnidirekcionális kamerák típusai Omnidirekcionális, körbelátó,
Transzformációk. Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform
Transzformációk Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform Koordinátarendszerek: modelltér Koordinátarendszerek: világtér Koordinátarendszerek: kameratér up right z eye ahead
Tárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL
3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.
Transzformációk. Szécsi László
Transzformációk Szécsi László A feladat Adott a 3D modell háromszögek csúcspontjai [modellezési koordináták] Háromszögkitöltő algoritmus pixeleket színez be [viewport koordináták] A feladat: számítsuk
Számítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
A KLT (Kanade Lucas Tomasi) Feature Tracker Működése (jellegzetes pontok választása és követése)
A KL (Kanade Lucas omasi) Feature racker Működése (jellegzetes pontok választása és követése) Készítette: Hajder Levente 008.11.18. 1. Feladat A rendelkezésre álló videó egy adott képkockájából minél több
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Panorámakép készítése
Panorámakép készítése Képregisztráció, 2009. Hantos Norbert Blaskovics Viktor Összefoglalás Panoráma (image stitching, planar mosaicing): átfedő képek összeillesztése Lépések: Előfeldolgozás (pl. intenzitáskorrekciók)
2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció
3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció 15. Digitális Alakzatrekonstrukció Méréstechnológia, Ponthalmazok regisztrációja http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiima01
Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
PONTFELHŐ REGISZTRÁCIÓ
PONTFELHŐ REGISZTRÁCIÓ ITERATIVE CLOSEST POINT Cserteg Tamás, URLGNI, 2018.11.22. TARTALOM Röviden Alakzatrekonstrukció áttekintés ICP algoritmusok Projektfeladat Demó FORRÁSOK Cikkek Efficient Variants
Kamerakalibráció és pozícióbecslés érzékenységi analízissel, sík mintázatokból. Dabóczi Tamás (BME MIT), Fazekas Zoltán (MTA SZTAKI)
, 2008 feb. 4-5 Kamerakalibráció és pozícióbecslés érzékenységi Bódis-Szomorú András Dabóczi Tamás (BME MIT), Fazekas Zoltán (MTA SZTAKI) Méréstechnika- és Információs Rendszerek Tanszék BME Rendszer-
Transzformációk síkon, térben
Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
objektum-rekonstrukció gyenge perspektíva esetén
Mozgásalapú háromdimenziós objektum-rekonstrukció gyenge perspektíva esetén Hajder Levente PhD értekezés Témavezetők: Dr. Csetverikov Dmitrij (MTA SZTAKI) Dr. Vajk István (BME AAIT) Magyar Tudományos Akadémia
Principal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
3. Lineáris egyenletrendszerek megoldása február 19.
3. Lineáris egyenletrendszerek megoldása 2018. február 19. Lineáris egyenletrendszer M darab egyenlet N változóval, az a ij és b j értékek ismertek: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1N x N = b 1 a 21 x 1 +
Többnézetes geometria
Vizuális helymeghatározás Többnézetes geometria Plósz Sándor 1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Távközlési és Médiainformatikai Tanszék 2015 Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások
Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
Lineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat
3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz
9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:
Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
Robotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
Numerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
Mátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása
Mátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék & ELTE-MTA NumNet Kutatócsoport munkatárs: Szekeres Béla János Alkalmazott Analízis
12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
Számítógépes geometria
2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
Geometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
Bevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 10. gyakorlat Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján
Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
Bevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás
3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás 15. Digitális Alakzatrekonstrukció Méréstechnológia, Ponthalmazok regisztrációja http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiiav54
Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Haladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
Mátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
Gauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
Mátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005
2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus
Geometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
2018/2019. Matematika 10.K
Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül
3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)
3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására
Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. február 22. Tekintsük az alábbi keresztmetszetet. 1. ábra. A vizsgált
Konjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
Függvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú
1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Projektív geometria. 1. Bevezetés. 2. Homogén koordináták december Pontok leírása homogén koordinátákkal
Projektív geometria 2007. 2008. december 8.. Bevezetés A Tomasi-Kanade faktorizáció eredeti megoldása mer leges vetítés alkalmazásával készült. Paraperspektív és gyenge perspektív esetre hamarosan kidolgoztak
Gauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
HÁROMDIMENZIÓS SZÁMÍTÓGÉPES LÁTÁS HAJDER LEVENTE
HÁROMDIMENZIÓS SZÁMÍTÓGÉPES LÁTÁS HAJDER LEVENTE BEMUTATKOZÁS Hajder Levente (1975-?) Tanulmányok: BME első kísérlet 1993-1995 Kandó Kálmán Műszaki Főiskola (Ma: Óbudai Egyetem) 1995-1998 BME második,
Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Alkalmazott algebra - SVD
Alkalmazott algebra - SVD Ivanyos Gábor 20 sz Poz. szemidenit mátrixok spektrálfelbontásának általánosítása nem feltétlenül négyzetes mátrixokra LSI - mögöttes szemantikájú indexelés "Közelít " webkeresés
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. Tantárgy kódja: IP-08bNM1E, IP-08bNM1G (2+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. A hibaszámítás elemei. Lineáris egyenletrendszerek
MA1143v A. csoport Név: december 4. Gyak.vez:. Gyak. kódja: Neptun kód:.
MAv A. csoport Név:... Tekintsük az alábbi mátriot! A 7 a Invertálható-e az A mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval határozza meg az inverzét! Ellenőrizze számításait! b Milyen egyéb mátritulajdonságokra
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Termék modell. Definíció:
Definíció: Termék modell Összetett, többfunkciós, integrált modell (számítógépes reprezentáció) amely leír egy műszaki objektumot annak különböző életfázis szakaszaiban: tervezés, gyártás, szerelés, szervízelés,
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA