Helymeghatározási alapelvek és módszerek
|
|
- Ágnes Veresné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Helymeghatározási alapelvek és módszerek Helymeghatározás alapjai, 2. rész Hollósi Gergely 1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Távközlési és Médiainformatikai Tanszék 2015 Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
2 A helymeghatározási feladat A helymeghatározás egyenlete (l a hely és v az orientáció): x = f (l, v) + x n Fennálló problémák: az f függvény nem feltétlenül lineáris a méréseket hibák és zajok terhelik a több dimenziós egyenletrendszer túldefiniált lehet A fő kérés: hogy oldjuk meg a helymeghatározási egyenletet? Természetesen függ a helybecslési technikától Differenciálegyenlettel itt nem foglalkozunk Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
3 A helymeghatározási feladat A továbbiakban egy általános egyenlet megoldására törekszünk: y = f (x) + ν Az egyenletben ν-vel jelöljük a feltételezett zajt Az egyenlet lehetséges megoldási módszereivel lehetőség nyílik a helymeghatározási egyenlet megoldására Megoldási lehetőségek: költségfüggvények legkisebb négyzetes eltérések módszere lineáris egyenletrendszerek megoldása nemlineáris iteratív módszerek valószínűségi becsléselmélet Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
4 Helymeghatározási feladat megoldása Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
5 Áttekintés A helymeghatározási feladat megoldása Az egyenletrendszerek általában túldefiniáltak megoldás ebben az esetben nem mindig létezik Keresni kell valamilyen,,jóság mértéket, amely szerint egy közeĺıtő megoldás,,jó költségfüggvény A C(y, x) költségfüggvény megadja, hogy egy választott megoldás költsége mekkora Minimalizáljuk a költséget, azaz keressük azt a paraméterhalmazt, amelyre ˆx = arg minc(y, x) x Mik a megfelelő költségfüggvények? Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
6 Költségfüggvény A helymeghatározási feladat megoldása A leggyakoribb költségfüggvény az euklideszi normán alapul C(y, x) = y f (x) 2 Elterjedt neve: legkisebb négyzetes eltérésen alapuló megoldás Egyéb költségfüggvények is léteznek, ugyanakkor ritkán használják (pl. különbség abszolútértéke) Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
7 Navigációs szolgáltatások és alkalmazások Költségfüggvény Költségfüggvény A helymeghatározási feladat megoldása A leggyakoribb költségfüggvény az euklideszi normán alapul C(y, x) = y f (x) 2 Elterjedt neve: legkisebb négyzetes eltérésen alapuló megoldás Egyéb költségfüggvények is léteznek, ugyanakkor ritkán használják (pl. különbség abszolútértéke) 1. A négyzetreemelésnek a költségfüggvényben nincs elméleti jelentősége, azonban az euklideszi normában található gyökjel kiesik, így egyszerűbb számolni vele. Fontos megjegyezni ugyanakkor, hogy a négyzetreemelés ebben az esetben a minimumhelyen nem változtat. 2. Miért az euklideszi norma? Egyrészt azt a feltételezést tesszük, hogy a mérésekben csak zaj található, így tulajdonképpen ahogy később látni fogjuk a maximum likelihood becsléshez jutunk. Ezzel persze csak akkor érünk célt, ha y fizikailag értelmezhető mennyiség.
8 Lineáris egyenletek A helymeghatározási feladat megoldása Gyakran előfordulnak lineáris egyenletek, tipikusan például vizuális helymeghatározás során Tegyük fel tehát, hogy y = f (x) = Ax A C m n Amennyiben A négyzetes, és invertálható, x = A 1 y Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
9 Lineáris egyenletek - SVD felbontás (1) A helymeghatározási feladat megoldása Minden A M N mátrixra létezik egy ún. SVD (Singular Value Decomposition) felbontás A M N = U M M Σ M N V H N N U és V unitér (valós esetben ortogonális) mátrixok (UU H = U H U = I és VV H = V H V = I) Σ mátrixban a főátlóban nemnegatív valós számok találhatók, máshol nulla A főátló elemeit hívjuk szinguláris értékeknek (σn ) Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
10 Navigációs szolgáltatások és alkalmazások Lineáris egyenletek - SVD felbontás (1) Lineáris egyenletek - SVD felbontás (1) A helymeghatározási feladat megoldása Minden AM N mátrixra létezik egy ún. SVD (Singular Value Decomposition) felbontás AM N = UM MΣM NVN N H U és V unitér (valós esetben ortogonális) mátrixok (UU H = U H U = I és VV H = V H V = I) Σ mátrixban a főátlóban nemnegatív valós számok találhatók, máshol nulla A főátló elemeit hívjuk szinguláris értékeknek (σn) 1. A sajátértékekkel kapcsolatos hasonlóság, hogy az A szinguláris értékéhez létezik két olyan egységvektor, a baloldali szinguláris vektor u és a jobbolda szinguláris vektor v, amelyekre Av = σu A H u = σv
11 Lineáris egyenletek - SVD felbontás (2) A helymeghatározási feladat megoldása Nem négyzetes esetben tételezzük fel, hogy A = UDV T az SVD felbontás szerint Minimalizáljuk a Ax y kifejezést! Ax y = UDV T x y = DV T x U T y Legyen y = U T y és x = V T x! Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
12 Lineáris egyenletek - SVD felbontás (3) A helymeghatározási feladat megoldása Ekkor a Dx y kifejezést kell minimalizálnunk: d 1 y 1 d 2... x y 2 1 dn x =. y n x n y n y m (1) Nyilván a legközelebbi megoldás, ha x i = y i /d i Végül, x = V x Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
13 Lineáris egyenletek - Pszeudoinverz A helymeghatározási feladat megoldása Másik lehetőség, hogy észrevesszük, hogy Ax a legközelebbi pont y-hoz. Ekkor Ax y merőleges A oszlopvektorai terére Ebből: A T (Ax b) = 0 x = (A T A) 1 A T y Ebből az A + = (A T A) 1 A T kifejezés a pszeudoinverz Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
14 Navigációs szolgáltatások és alkalmazások Lineáris egyenletek - Pszeudoinverz Lineáris egyenletek - Pszeudoinverz A helymeghatározási feladat megoldása Másik lehetőség, hogy észrevesszük, hogy Ax a legközelebbi pont y-hoz. Ekkor Ax y merőleges A oszlopvektorai terére Ebből: A T (Ax b) = 0 x = (A T A) 1 A T y Ebből az A + = (A T A) 1 A T kifejezés a pszeudoinverz 1. Az SVD alapú megoldás és a pszeudoinverz alapján könnyen belátható, hog A + = VD + U T, ahol D + n m méretű diagonálmátrix a D mátrix átlóelemeinek reciprokaiból.
15 Lineáris egyenletek - Homogén lineáris egyenlet A helymeghatározási feladat megoldása Speciális esetben homogén egyenletrendszer megoldása szükséges, azaz Ax = 0 Nyilván ha x megoldás, akkor kx is megoldás. Megkötés: x = 1 x = 0 megoldás triviális és nem érdekes Legyen megint A = UDV T az SVD felbontás UDV T x = DV T x x = V T x Ekkor minimalizáljuk Dx kifejezést, ha x = 1 és x = V T x A megoldás x = (0, 0,, 0, 1) T Végül tehát a megoldás a V mátrix utolsó oszlopa. Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
16 Nem lineáris egyenletrendszerek Zárt alakban csak az egyenletek és ismeretlenek számának egyezése esetén lehetséges Ekkor is csak speciális esetekben Túldefiniált esetben költségfüggvény Közeĺıtő iteratív módszerek léteznek nem feltétlen konvergens Gyakorlati problémák esetén azonban legtöbbször konvergens és hatékony Probléma, hogy kell egy jó kiindulási pont Például az egyenletrendszer töredékét megoldjuk zárt alakban Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
17 Nem lineáris egyenletrendszerek Legyen egy g(x) skalár értékű függvényünk, tehát g : R n R Keressük meg a g minimumát x függvényében! Taylor-sor x 0 körül g(x 0 + ) = g(x 0 ) + g x (x 0 ) + T g xx (x 0 ) / Az alsóindex x a deriválást jelenti (gradiens és Hesse-mátrix) Az első három tagot tekintsük, és keressük a minimumot deriválás g xx = g x A módszer tehát irányba lépegetve megtalálni a minimumot 1. Oldjuk meg a g xx (x n ) = g x (x n ) 2. Legyen x n+1 = x n + Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
18 Nem lineáris egyenletrendszerek Hogyan alkalmazzuk ezt a legkisebb négyzetes eltérésre? Legyen ɛ = f (x) y, s használjuk a költségfüggvényt g(x) 1 2 C(y, x) = 1 2 ɛ(x) 2 = ɛ(x) T ɛ(x)/2 Vegyük észre, hogy g x = ɛ T x ɛ, amelyben ɛ x = f x = J az f Jacobi-mátrixsza A Hesse-mátrix: g xx = ɛ T x ɛ x + ɛ T xxɛ Ezek alapján négy alapvető módszert különböztetünk meg: 1. Newton-módszer 2. Gauss-Newton módszer 3. gradiens módszer 4. Levenberg-Marquardt módszer Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
19 Nem lineáris egyenletrendszerek Newton-módszer A frissítési egyenlete g xx = g x Problémás, hogy a Hesse-mátrixra is szükség van Gyors konvergencia, nagy számításigény Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
20 Nem lineáris egyenletrendszerek Gauss-Newton-módszer Közeĺıtsük a Hesse mátrixot: g xx = ɛ T x ɛ x + ɛ T xxɛ = ɛ T x ɛ x = J T J A frissítési egyenlete J T J = J T ɛ Tehát x n+1 = x n (J T J) 1 J T (f (x) y) Nincs szükség a Hesse-mátrixra, a másodfokú deriváltakra Gyors konvergencia, kisebb számításigény Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
21 Nem lineáris egyenletrendszerek gradiens-módszer Egyszerűen a gradiens irányába halad A frissítési egyenlete λ = g x Nincs szükség a Hesse-mátrixra, a másodfokú deriváltakra Lassú konvergencia, hajlamos oszcillációra Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
22 Nem lineáris egyenletrendszerek Levenberg-Marquardt-módszer A Gauss-Newton és a gradiens módszer keverése A frissítési egyenlete (J T J + λi ) = J T ɛ Működése 1. Kell egy kezdeti λ érték 2. Megoldjuk a frissítési egyenletet egyenletet 3. Ha ɛ növekedett, akkor λ n+1 = Rλ n, R tipikusan 10, és újra megoldjuk a frissítési egyenletet (2) 4. Ha ɛ csökkent, akkor λ n+1 = λ n, ahol R tipikusan 10 R 5. Frissítjük a paramétereket, x n+1 = x n + 6. Újabb iteráció (2) Gyorsabb konvergencia, de stabilabb megoldás Vizuális módszereknél gyakran használják Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
23 Valószínűségi becslés ismétlés Valószínűségi változó Valószínűségi eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Feltételes valószínűség Várható érték és szórás Kovariancia és korreláció, kovariancia mátrix Nevezetes eloszlások többváltozós normális-eloszlás Centrális határeloszlástétel Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
24 Navigációs szolgáltatások és alkalmazások Valószínűségi becslés ismétlés Valószínűségi becslés ismétlés Valószínűségi változó Valószínűségi eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Feltételes valószínűség Várható érték és szórás Kovariancia és korreláció, kovariancia mátrix Nevezetes eloszlások többváltozós normális-eloszlás Centrális határeloszlástétel 1. P(a > X) = a p(x)dx P(A B) 2. P(A B) = P(B) 3. Várható érték: E(X ) = + xp(x) dx E(X 4. Szórás: D 2 (X ) = E [ (X E[X ]) 2] 5. Becslés mintákból: ˆσ = 1 n 1 ) = i=1 x ip i i (x i x) 2 6. Kovariancia: σ(x, Y ) = E [ (X E[X ])(Y E[Y ]) ] 7. Becslés: ˆσ(X, Y ) = 1 n 1 M xm y 8. Bernoulli eloszlás: p(k; µ) = µ k (1 µ) 1 k k 0, 1 9. Normális eloszlás: p x (x 1,..., x k ) = 1 ( (2π)k Σ exp 1 ) 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) 10. Centrális határeloszlás: N darab azonos eloszlású és független valószínűségi változó összege normális eloszláshoz tart, amennyiben N
25 Becsléselmélet Estimation Theory Tapasztalati megfigyelések alapján paraméterek becslése x mérések, θ paraméterhalmaz, p(x θ) modell Becslő a megfigyelések alapján ˆθ(x), az i-dik paraméter becslője ˆθ i (x) Cramer-Rao tétel az elméleti minimum a bizonytalanságra [ ] [ var θ i ˆθ 2 ] ln p(x θ) i (x) E 2 θ i Például egy egyszerű σ szórású Gauss-i folyamat x i = θ + n i n = 1,..., N [ ] var θ ˆθ(x) = σ2 N Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
26 Valószínűségi becslés áttekintés Fogalmazzuk meg a becslés feladatát! z 1, z 2,..., z N méréshalmaz Paraméterbecslés: z 1:N = {z 1, z 2,..., z N } θ folyamatos kötegelt Állapotbecslés z 1:N = {z 1, z 2,..., z N } x 1:N = {x 1, x 2,..., x N } simítás szűrés extrapoláció Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
27 Valószínűségi becslés Maximum Likelihood Tekintsük az együttes eloszlást: p(z 1:N θ) Keressük azt a θ paramétert, amelyre a mérési sorozat a legvalószínűbb Likelihood függvény: L(θ; z 1:N ) = p(z 1:N θ) θ szabadon választható, tehát L a θ függvénye A Maximum Likelihood módszer elve tehát: θ ML = arg max θ L(θ; z 1:N ) Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
28 Valószínűségi becslés Maximum Likelihood (1. példa) Nézzünk egy akár cinkelt pénzérmét Legyen X valószínűségi változó 1, ha fejre esik, 0, ha írásra P(X = 1) = µ és P(X = 0) = 1 µ, Bernoulli-eloszlás Egy z 0, z 1,..., z N dobássorozatra becsüljük meg a µ értékét, ha az egyes dobások függetlenek L(µ) = p(z 1:N µ) = N µ z i (1 µ) 1 z i i=1 A megoldás: µ ML = N i=1 z i Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
29 Navigációs szolgáltatások és alkalmazások Valószínűségi becslés Maximum Likelihood (1. példa) Valószínűségi becslés Maximum Likelihood (1. példa) Nézzünk egy akár cinkelt pénzérmét Legyen X valószínűségi változó 1, ha fejre esik, 0, ha írásra P(X = 1) = µ és P(X = 0) = 1 µ, Bernoulli-eloszlás Egy z0, z1,..., zn dobássorozatra becsüljük meg a µ értékét, ha az egyes dobások függetlenek N L(µ) = p(z1:n µ) = µ zi (1 µ) 1 zi i=1 A megoldás: N µml = zi i=1 N N N ln L = ln µ z i (1 µ) 1 z i = ln µ z i + ln(1 µ) (1 z i ) i=1 i=1 i=1 = Nz ln µ + (N Nz) ln(1 µ) Deriválás µ szerint, és maximumkeresés: Nz 1 µ (N Nz) 1 1 µ = 0 Nz Nzµ Nµ + Nzµ = 0 µ = z = 1 N N i=1 z i
30 Valószínűségi becslés Maximum Likelihood (2. példa) Nézzünk egy z i = f (x) függvényt, ahol az z mérések normális eloszlású zajjal terheltek, és a mérések függetlenek, de azonos eloszlásúak! A likelihood függvény: L(x) = N 1 ( σ 2π exp (z i f (x)) 2 ) 2σ 2 i=1 Levezetés logaritmus függvénnyel, az eredmény: arg max x L = arg min x N (z i f (x)) 2 Legkisebb négyzetes eltérés ML becslés normális eloszlású zajban i=1 Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
31 Navigációs szolgáltatások és alkalmazások Valószínűségi becslés Maximum Likelihood (2. példa) Valószínűségi becslés Maximum Likelihood (2. példa) Nézzünk egy zi = f (x) függvényt, ahol az z mérések normális eloszlású zajjal terheltek, és a mérések függetlenek, de azonos eloszlásúak! A likelihood függvény: N ) 1 L(x) = ( σ 2π exp (zi f (x))2 2σ 2 i=1 Levezetés logaritmus függvénnyel, az eredmény: N arg max L = arg min (zi f (x)) 2 x x i=1 Legkisebb négyzetes eltérés ML becslés normális eloszlású zajban A megoldás az eloszlásfüggvény logaritmusának kiszámításával egyből adódik: N 1 ln L = ln σ 2π 1 N 2σ 2 (z i f (x)) 2 i=1 i=1
32 Valószínűségi becslés Maximum Likelihood Egyszerű és hatékony keretek valószínűségi becsléshez Bonyolult problémáknál bonyolult egyenletrendszerek Nem minden esetben helyes Tekintsük a pénzfeldobási feladatot a 1,1,1 dobási sorozatra! µ = 1, ami nem feltétlenül értelmes Hiányzik az előzetes ismeret Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
33 Valószínűségi becslés Bayes becslés Keressük meg a,,legvalószínűbb megoldást! Matematikailag, számítsuk ki a p(θ z 1:N ) valószínűséget! állapotbecslés esetén a p(x1:n z 1:N ) valószínűséget Az eloszlásból már készíthetünk pontbecslést, pl. az eloszlás maximumánál Lényegében tehát magát a meghatározandó mennyiséget is valószínűségi változónak kezeljük valódi valószínűségi becslés Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
34 Valószínűségi becslés Bayes tétel A Bayes becslés a Bayes tételen alapul. Legyen egy paraméter θ és egy mérés z! Ekkor Hipotézis Prior Posterior p(θ z) = p(z θ)p(θ) p(z) A hipotézis egyfajta modellismeret A prior a paraméterrel kapcsolatos előismereteink és feltételezéseink (,,a priori ismeretek) A posterior a paraméterrel kapcsolatos ismereteink a mérések ismeretében (,,a posteriori ) Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
35 Valószínűségi becslés MAP A posterior eloszlás előálĺıtása általában bonyolult A p(z) = p(z ϑ)p(ϑ) dϑ nem ismert, és integrálással számítható ϑ Bizonyos eloszlásokra könnyebben számítható, lásd. később A becslés során egy posterior eloszláshoz jutunk mi a helyzet, ha egy konkrét értékre vagyunk kíváncsiak? Maximum a Posteriori (MAP) becslés θ MAP = arg max θ p(θ z) arg max θ p(z θ)p(θ) Amennyiben a prior informális, akkor maximum likelihood becslés a prior nem tartalmaz információt, nincs előismeretünk Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
36 Rekurzív Bayes szűrés Kiemelkedő mérnöki fontosságú A feladat p(x k z 1:k ) meghatározása minden k mérésre rekurzívan Specifikus modell: Markov-folyamat x k 1 x k x k+1 Az állapottér modell tehát: z k 1 z k z k+1 x 0 p(x 0 ) prior információk x k p(x k x k 1 ) dinamikus modell z k p(z k x k ) mérési modell Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
37 Rekurzív Bayes szűrés általános megoldás Írjuk fel az együttes eloszlást! p(x k, x k 1 z 1:k 1 ) = p(x k x k 1, z 1:k 1 )p(x k 1 z 1:k 1 ) = = p(x k x k 1 )p(x k 1 z 1:k 1 ) A predikciós lépés p(x k z 1:k 1 ) = p(x k x k 1 )p(x k 1 z 1:k 1 )dx k 1 A frissítési lépés p(x k z 1:k ) = 1 Z k p(z k x k, z 1:k 1 )p(x k z 1:k 1 ) = p(z k x k )p(x k z 1:k 1 ) p(zk x k )p(x k z 1:k 1 )dx k Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
38 Navigációs szolgáltatások és alkalmazások Rekurzív Bayes szűrés általános megoldás Rekurzív Bayes szűrés általános megoldás Írjuk fel az együttes eloszlást! p(xk, xk 1 z1:k 1) = p(xk xk 1, z1:k 1)p(xk 1 z1:k 1) = = p(xk xk 1)p(xk 1 z1:k 1) A predikciós lépés p(xk z1:k 1) = p(xk xk 1)p(xk 1 z1:k 1)dxk 1 A frissítési lépés p(xk z1:k) = 1 p(zk xk, z1:k 1)p(xk z1:k 1) Zk = p(zk xk)p(xk z1:k 1) p(zk xk)p(xk z1:k 1)dxk 1. Az első egyenletben egyszerűen a feltételes valószínűség definícióját, majd a Markov-folyamat definícióját alkalmaztuk. 2. A második lépés az ún. Chapman-Kolmogorov egyenlőség, a teljes eseménytér összegzése egy valószínűségi változó szerint. 3. A harmadik egyenlet egyszerűen a Bayes-tétel feĺırása.
39 Rekurzív Bayes szűrés általános megoldás Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
40 Rekurzív Bayes szűrés speciális megoldás Az általános megoldás bonyolult megkötések esetén egyszerűbb Speciális megoldási lehetőségek: Kalman-szűrő kiterjesztett Kalman-szűrő részecske szűrő Egyéb, ritkábban használt megoldások unscented Kalman-szűrő Gauss-szűrő Rauch-Tung-Striebel simító stb. Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
41 Rekurzív Bayes szűrés Kalman-szűrő Lineáris modell, normális eloszlás Valószínűségek szerint x k = A k 1 x k 1 + q k 1 q k 1 N(0, Q k 1 ) z k = H k x k + r k r k N(0, R k ) p(x k x k 1 ) = N(x k A k 1 x k 1, Q k 1 ) p(z k x k ) = N(z k H k x k, R k ) Ebben az esetben x k eloszlása is normális: p(x k z 1:k ) N(x k m k, P k ) Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
42 Rekurzív Bayes szűrés Kalman-szűrő A predikciós lépés: m k P k = A k 1m k 1 = A k 1P k 1 A T k 1 + Q k 1 A frissítési lépés: v k = z k H k m k S k = H k P k HT k + R k K k = P k HT k S 1 k m k = m k + K kv k P k = P k K ks k K T k Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
43 Rekurzív Bayes szűrés Kalman-szűrő példa Egy l(l x, l y ) helyzetű és v(v x, v y ) sebességű autó modellje. Az állapotvektor x = [l x, l y, v x, v y ] T 1 0 t 0 A = t [ ] H = Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
44 Rekurzív Bayes szűrés Kalman-szűrő példa Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
45 Rekurzív Bayes szűrés Kiterjesztett Kalman-szűrő Nem lineáris modell, normális eloszlás A modell linearizálása a várható érték körül Állapotegyenletek: x k = f (x k 1 ) + q k 1 q k 1 N(0, Q k 1 ) z k = h(x k ) + r k r k N(0, R k ) x k eloszlását is normális eloszlással közeĺıtjük: p(x k z 1:k ) N(x k m k, P k ) Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
46 Rekurzív Bayes szűrés Kiterjesztett Kalman-szűrő A predikciós lépés: m k P k = f (m k 1) = F x(m k 1 )P k 1 F T x (m k 1 ) + Q k 1 A frissítési lépés: v k = z k h(m k ) S k = H x (m k )P k HT x (m k ) + R k K k = P k HT x (m k m k = m k + K kv k )S 1 k P k = P k K ks k K T k F x (m k ) és H x (m k ) az f és h függvény Jacobi-mátrixsza x szerint az m k helyen Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
47 Rekurzív Bayes szűrés Kiterjesztett Kalman-szűrő példa Szögmérésből származó információk alapján történő helymeghatározás l k = f (l k 1 ) = l k 1 + q α n = h n (l k ) = cos 1 (l p n)r n l p n + r Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
48 Rekurzív Bayes szűrés részecske-szűrő Tetszőleges modellre és eloszlásra Tulajdonképpen numerikus valószínűségi integrálást csinálunk Lényege a Monte-Carlo integrálás Ω f (x)dx V 1 N N f (x i ) V = i=1 Ω dx A konvergencia gyorsítható fontosság szerinti mintavétel (közel azonos eloszlásból) A módszer előnye, hogy tetszőleges esetben működik Hátránya, hogy nagyon számításigényes Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
49 Robusztus megoldások Bizonyos esetekben a hibákat nem tudjuk modellezni Kevés információ Túl bonyolult A mérések egy része megfelel a modellnek inlier A mérések másik része teljesen véletlenszerű outlier Az outlier mérésekre a modellünk nem érvényes, a belőle származó becslés pontatlan A feladat az inlier mérések megkeresése Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
50 RANSAC Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
51 RANSAC Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
52 RANSAC Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
53 RANSAC Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
54 RANSAC Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
55 RANSAC Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
56 RANSAC Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
57 RANSAC RANSAC Random Sample Consensus Nem determinisztikus módszer egy adott modellnek megfelelő mérések megtalálására Legyen egy M(θ) modellünk, ahol θ a modell paraméterei Például az egyenesnél θ = {m, b} (ugyanis y = mx + b) Ne az összes mérést használjuk, hanem a legkisebb részhalmazát, ami egyértelműen meghatározza θ értékét Határozzuk meg egy valamilyen ɛ szórásnak megfelelő mérések számát inlier-ek Ismételjük, majd válasszuk azt a θ-t, amely a legtöbb inlier-t adja Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
58 RANSAC Többféle megállási feltétel inlier-ek száma az inlier-ek hibájának szórása valószínűségi feltétel Futásidő nagy lehet θ meghatározása k mérésből, és N az összes mérés száma, akkor ( ) N k kombináció Például az előző példa (60 db pont, min. 2 pont): 1770 próbálkozás Párhuzamosítható Az ɛ hibahatár megállapítása önkényes, tapasztalati alapon vagy várakozásoknak megfelelően Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
59 RANSAC valószínűségi megállási feltétel p valószínűséggel találjunk meg jó megoldást Minimum s darab minta a modellparaméterek meghatározásához w a valószínűsége, hogy egy minta inlier (ɛ = 1 w, hogy outlier) Ekkor (1 w s ) N = 1 p, ha N ciklust futtatunk N = log(1 p) log(1 (1 ɛ) s ) Outlier valószínűség (ɛ) Minták (s) 5% 10% 20% 25% 30% 40% 50% Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
60 RANSAC valószínűségi megállási feltétel Az outlier-ek valószínűsége, ɛ adaptívan is becsülhető Ha találunk egy megoldást, amelyre N inlier darab inlier található, akkor legalább ennyi inlier található N =, sample count=0 Amíg N > sample count Válasszunk egy mintahalmazt, és határozzuk meg az inlier-ek számát Vége Legyen ɛ = 1 N inlier minták száma Határozzuk meg N értékét (lásd. előbb) Növeljük eggyel a sample count értékét Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
61 Least Median Squares Estimation LMedS A RANSAC robusztus technika, de kell egy hibahatárérték Tehát ismerni kell a modellen belüli hiba szórását A medián is használható A négyzetösszeget nagyon torzítja az outlier Legkisebb abszolút eltérések összege Minimalizáljuk a hiba mediánját: ˆθ = arg min θ med i r 2 i (θ, m) Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
62 Least Median Squares Estimation LMedS Zárt alakban nem megoldható Monte Carlo megoldás mintavétel Válasszunk ki minimális mennyiségű pontot Határozzuk meg a modell paramétereket Számítsuk ki a hiba mediánját a paraméterekhez képest A megoldás a legkisebb mediánnal rendelkező minta Hasonló a RANSAC-hez, de nem kell hibahatár Ciklusok száma a RANSAC-hez hasonlóan számítható Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
63 Least Median Squares Estimation LMedS Előnyök Nem kell a hibahatárt megadni, ismeretlen hibára is jól működik Párhuzamosítható, egyszerű Hátrány Normális eloszlású zajra nem ideális Az outlier-ek száma nem lehet több, mint 50 % Hollósi Gergely (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások és alkalmazások / 56
A maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenLeast Squares becslés
Least Squares becslés A négyzetes hibafüggvény: i d i ( ) φx i A négyzetes hibafüggvény mellett a minimumot biztosító megoldás W=( d LS becslés A gradiens számítása és nullává tétele eredményeképp A megoldás
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenÁltalánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenLegkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 10. gyakorlat Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenLine aris f uggv enyilleszt es m arcius 19.
Lineáris függvényillesztés 2018. március 19. Illesztett paraméterek hibája Eddig azt néztük, hogy a mérési hiba hogyan propagál az illesztett paraméterekbe, ha van egy konkrét függvényünk. a hibaterjedés
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenIrányításelmélet és technika II.
Irányításelmélet és technika II. Legkisebb négyzetek módszere Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 200 november
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenA mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenSzinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
RészletesebbenBiomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenOptimális mérési elrendezés hidraulikus hálózatokon
Optimális mérési elrendezés hidraulikus hálózatokon MaSzeSz Juniuor Szimpózium Wéber Richárd PhD hallgató, III. félév BME, GPK, Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék Budapest, 2018, egyetemi docens Tartalom
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenLineáris regressziós modellek 1
Lineáris regressziós modellek 1 Ispány Márton és Jeszenszky Péter 2016. szeptember 19. 1 Az ábrák C.M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning c. könyvéből származnak. Tartalom Bevezető példák
RészletesebbenTöbbnézetes geometria
Vizuális helymeghatározás Többnézetes geometria Plósz Sándor 1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Távközlési és Médiainformatikai Tanszék 2015 Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenMesterséges Intelligencia I.
Mesterséges Intelligencia I. 10. elıadás (2008. november 10.) Készítette: Romhányi Anita (ROANAAT.SZE) - 1 - Statisztikai tanulás (Megfigyelések alapján történı bizonytalan következetésnek tekintjük a
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenMozgásmodellezés. Lukovszki Csaba. Navigációs és helyalapú szolgáltatások és alkalmazások (VITMMA07)
TÁVKÖZLÉSI ÉS MÉDIAINFORMATIKAI TANSZÉK () BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM (BME) Mozgásmodellezés Lukovszki Csaba Áttekintés» Probléma felvázolása» Szabadsági fokok» Diszkretizált» Hibát
RészletesebbenKÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
Részletesebben5. előadás - Regressziószámítás
5. előadás - Regressziószámítás 2016. október 3. 5. előadás 1 / 18 Kétváltozós eset A modell: Y i = α + βx i + u i, i = 1,..., T, ahol X i független u i -től minden i esetén, (u i ) pedig i.i.d. sorozat
RészletesebbenKÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
RészletesebbenStatisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége
[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenRegressziós vizsgálatok
Regressziós vizsgálatok Regresszió (regression) Általános jelentése: visszaesés, hanyatlás, visszafelé mozgás, visszavezetés. Orvosi területen: visszafejlődés, involúció. A betegség tünetei, vagy maga
RészletesebbenMatematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája
Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:
RészletesebbenAdatmodellez es, f uggv enyilleszt es m arcius 12.
Adatmodellezés, függvényillesztés 2018. március 12. Adatmodellezés Fizikai törvény: Egy elmélet, valamilyen idea a világról Matematikai összefüggéseket adunk a mennyiségek között Az összefüggések konstansokat,
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenStatisztika elméleti összefoglaló
1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenRobotok inverz geometriája
Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés
RészletesebbenLINEÁRIS MODELLBEN május. 1. Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve
BECSLÉS ÉS HIPOTÉZISVIZSGÁLAT LINEÁRIS MODELLBEN Móri Tamás ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék 2008 május Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve Tegyük fel, hogy egy bizonyos pl fizikai)
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenRegresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.
Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
Részletesebben1. Gauss-eloszlás, természetes szórás
1. Gauss-eloszlás, természetes szórás A Gauss-eloszlásnak megfelelő függvény: amely egy σ szélességű, µ középpontú, 1-re normált (azaz a teljes görbe alatti terület 1) görbét ír le. A természetben a centrális
RészletesebbenAlkalmazott algebra - SVD
Alkalmazott algebra - SVD Ivanyos Gábor 20 sz Poz. szemidenit mátrixok spektrálfelbontásának általánosítása nem feltétlenül négyzetes mátrixokra LSI - mögöttes szemantikájú indexelés "Közelít " webkeresés
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapest University of Technology and Economics Fault Tolerant Systems Research Group Budapest University of Technology and Economics Department of Measurement
RészletesebbenVillamosmérnök A4 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások
Villamosmérnök A 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások Kétdimenziós normális összefoglalás Egy kétdimenziós X, Y valószínűségi változó kovariancia mátrixa: VarX CovX, Y CovX, Y VarY
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
Részletesebben