Adatmodellez es, f uggv enyilleszt es m arcius 12.
|
|
- Ágnes Szőke
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Adatmodellezés, függvényillesztés március 12.
2 Adatmodellezés Fizikai törvény: Egy elmélet, valamilyen idea a világról Matematikai összefüggéseket adunk a mennyiségek között Az összefüggések konstansokat, paramétereket tartalmaznak Példa: feldobott kő F = mẍ = g m A differenciálegyenlet megoldása: x(t) = g 2 t2 + v 0 t + x 0
3 Kísérlet Kísérlet: Cél: bizonyos mennyiségeket mérünk sokszor más mennyiségek függvényében más, független mennyiség pl. az idő vagy hely az elméleti törvény összefüggéseket feltételez a mérhető mennyiségek között ellenőrizni a fizikai törvény helyességét, megadni a konstansok és paraméterek értékét, továbbá megmondani, hogy a kísérlet alapján mennyire lehetünk abban bizonyosak, hogy a megalkotott törvény a valóságot írja le
4 Egy kísérlet eredménye 1.5 x [m] t [s] Az elmélet szerint a pontok az x(t) = g 2 t2 + v 0 t + x 0 görbén vannak, de mi g, v 0 és x 0 értéke?
5 Adatmodellezés Adatmodellezés: Választunk egy elméletileg megfelelő függvényalakot A függvény paramétereit úgy álĺıtjuk be, hogy az valamilyen szempont szerint a lehető legjobban illeszkedjen a mért adatokra Problémák: a mért adatok sosem pontosan a valóságot adják vissza az adatokat torzítás, zaj és mérési hiba terheli milyen szempont szerint optimalizálunk? mennyire lehetünk biztosak az eredményben?
6 Mérési adatok A méréseket műszerrel végezzük, aminek van mérési tartománya mérési pontossága A mért értékek emiatt lehetnek valódi mért értékek (hibával!) felső korlátok (ha a műszer nem elég érzékeny) alsó korlátok (ha a műszer túl érzékeny) A mért értékek hibákkal terheltek a műszer kalibrációjából eredő szisztematikus hiba a műszer véletlenszerű működéséből eredő statisztikus hiba a külső környezetből származó zaj a műszer felbontásából eredő leolvasási hiba a fizikai folyamat jellegéből adódó zaj
7 Egy kísérlet eredménye becsült hibával 1.5 x [m] t [s] Mivel itt bejön a képbe a valószínűség, biztos, hogy egzakt értéket nem fogunk kapni az illesztett paraméterekre. Azoknak is lesz hibája.
8 A szisztematikus hiba A szisztematikus hibát nehéz kezelni a műszer kalibrációjának pontossága nem véletlenszerű mindig hozzáadódik a méréshez lehet állandó: ekkor nullponti hibáról van szó de függhet a mért értéktől is statisztikus módszerekkel nem lehet tőle megszabadulni Csökkentéséhez a műszert kalibrálni kell. Példa: egy rosszul tárázott mérleg mindig 1 g-mal kevesebbet mér egy gyenge minőségű voltmérő mindig a valós érték 1,01-szeresét méri
9 A statisztikus hiba Megismételt méréskor mindig már és más értéket mérünk. A statisztikus hiba a mérés jellegéből adódóan véletlenszerű tökéletlen műszer a műszer érzékeny lehet külső, random tényezőkre ezek valamilyen háttérzaj jellegű tényezők, sosem közvetlenül a mért folyamatból erednek akkor is jelentkeznek, ha a műszer be van kapcsolva, de nem mérünk vele semmit termikus, elektromágneses stb. random zajok Csökkentéséhez a műszert hűteni, elektromágnesesen árnyékolni, stb. kell.
10 A leolvasási hiba A leolvasási hiba a műszer számábrázolásából adódik A mutató megállhat két érték között is A digitális kijelzőn véges sok tizedesjegy van A digitális kijelző utolsó számjegye ugrálhat Csökkenteni jobb felbontású műszerrel lehet. Példa: Egy műszer két tizedes jegyet ír ki, ekkor a leolvasási hiba ±0,005
11 Kvantumjelenségek határozatlansága Heisenberg-féle határozatlansági reláció: E t ħ Ha energiát mérünk nagy felbontással, akkor sosem kapunk egy jól definiált értéket, hanem a mért érték egy adott energia körül fog szórni. ez a fizikai folyamat sajátja nem mérési hiba vagy zaj Példa: Egy spektrométer az izotóp emissziós gamma-vonalait kiszélesedettnek méri. A vonalak valóban szélesek a természetes vonalkiszélesedés jelensége miatt.
12 A Poisson-zaj A mérési hiba és a zaj nem feltétlenül ugyanaz a mérési hiba a műszer tökéletlensége a zaj lehet a mért fizikai folyamat saját tulajdonsága CCD detektor sörétzaja egy távcső kamerája nagyon halvány galaxisokat rögzít a CCD detektor képes megszámolni a beérkező fotonokat egy perc alatt nagyon kevés foton érkezik a fotonok nem azonos időközönként érkeznek emiatt a percenként detektált fotonok száma minden percben más és más
13 A Poisson-eloszlás Kiindulás: egységnyi idő alatt érkező fotonok száma: λ a fotonok egymástól függetlenül követik egymást Mi a valószínűsége annak, hogy egy adott egységnyi időintervallum alatt éppen k darab fotont detektálunk? Poisson-eloszlás 1 : p(k) = λk e λ k! Várható értéke és szórása: k = σ 2 = λ 1 levezetése: binomiális eloszlásból p = λ/n, n határesetben
14 A Poisson-eloszlás különböző k-kra
15 A Poisson-eloszlásból adódó mérési hiba A Poisson-eloszlás λ 1 esetben átmegy a Gauss-eloszlásba ahol µ = λ és σ = λ. p(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, Keressük annak a várható értékét, hogy egy rövid mérés mennyire tér el a nagyon hosszú időre vett átlagtól. Ezt jól jellemzi a σ szórás. A jel zaj arány 2 a várható érték és a random eltérések aránya: A relatív hiba ennek reciproka. 2 signal to noise ratio (SNR) SNR = λ λ
16 A statisztikus hiba eloszlása Ismételjük meg ugyanazt a mérést sokszor egymás után, majd tekintsük az átlagtól való eltérést. Az átlagtól való eltérést jellemezze a négyzetes eltérés (szórás vagy variancia) Lehetne pl. abszolút érték is, de látni fogjuk, hogy a négyzetes eltérés jobb Ha a mérési hiba sok független valószínűségi változó átlagaként áll elő. akkor érvényes rá a centrális határeloszlás tétel, azaz a hiba eloszlása Gauss-eloszlást követ a hiba nagyságát az Gauss-eloszlás σ szórása jellemzi. Ha modellillesztéskor nekünk csak egy-egy mért érték van a mérési pontokban, akkor ezekhez becsült hiba tartozik.
17 A normális, vagy Gauss-eloszlás 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,1% 2,1% 3σ 34,1% 34,1% 13,6% 13,6% 2,1% 0,1% 2σ 1σ µ 1σ 2σ 3σ
18 A mérési hiba kifejezése Relatív hiba a hiba mértékét leosztjuk a mért értékkel: megadható százalékban is nincsen mértékegysége Abszolút hiba δy = y y a hibát a valós értéktől való eltérésként adjuk meg: van mértékegysége az ábrára ezt rajzoljuk fel y = y y 0
19 Megismételt mérések hibája Egy mérést N alkalommal, egymástól függetlenül elvégzünk. Hogy állapítjuk meg ebből a mérés hibáját? A mért értékek: y 1, y 2,..., y N Végeredményként a sok mérés átlagát tekintjük: y = yi N A szórás a négyzetes eltérés átlaga: (yi y ) σ = 2 N Viszont mi hibának nem az egyes mérések szórását akarjuk tekinteni, hanem az N-szer megismételt mérésből származó átlag hibájára vagyunk kíváncsiak.
20 Az átlag standard hibája Ha egy mérést sokszor egymás után megismétlünk, valamint a mérések egymástól függetlenek, a hiba normális eloszlást követ, a hiba becsült nagysága minden mérésnél azonos, akkor a relatív hiba csökkenthető. Az átlag standard hibája 3 a mérések számának gyökével csökken: SEM = σ N 3 standard error of the mean (SEM)
21 Az átlag standard hibája - szemléltetés
22 Az átlag standard hibája - szemléltetés
23 Elméleti modell Az elméleti modell bizonyos x i változók és a paraméterek függvényében becslést ad a mérhető fizikai mennyiségek értékeire. A modell sokféle lehet: tisztán matematikai: függvényillesztés ilyenkor az x i értékeket adottak, és az a paramétereket kell variálni úgy, hogy a modell által adott y(x i a) becslések jól illeszkedjenek az y i mért értékekre. y(x i a) = f (x i, a) szimulációs: numerikus algoritmus, stb. (ld. később) Kérdések: mennyire jó egy modell? a mérések alapján melyik a legjobb modell? hogyan találjuk meg a legjobb modellt?
24 Melyik a legjobban illeszkedő modell? Ha a modell szerint a mérési eredmények egymástól függetlenek, és kizárólag az x i értékektől és az ismeretlen a paraméterektől függenek, akkor használhatjuk a legnagyobb valószínűség 4 módszerét. A mért y i értékek sosem pontosak. Konkrét mérés esetében egy adott mért érték mindig csak valamilyen P(y i ) valószínűséggel fordul elő. a hibáról magáról is felteszünk valamit, ez is a modell része a P(y i ) valószínűség eloszlása megismételt mérésekkel elvileg megbecsülhető standard hiba esetében ez normális eloszlás a mérési hibának megfelelő σ szórással 4 angolul: maximum likelihood
25 A likelihood-függvény Kérdés: Mi annak a valószínűsége, hogy a modell egy adott a paraméterezése mellett a méréssorozat pont a mért y i értékeket adja? Legyen p(y i x i, a) annak a valószínűségnek az eloszlása, hogy egy konkrét paraméterezés esetén az i. mérés éppen y i értéket ad. Ha a méréssorozat N független mérés egymásutánjából áll össze, akkor a méréssorozat megvalósulásának teljes valószínűségi eloszlása adott a paraméterek esetén: L(a) = N p(y i x i, a) i Ez az ún. likelihood-függvény, aminek a maximumát keressük az a paraméterek variálása mellett.
26 A likelihood-függvény normális eloszlású hiba esetén Tegyük fel, hogy p(y i x i, a) a Gauss-eloszlás, azaz a mért érték normális eloszlású a modell által becsült érték körül σ i szórással: [ p(y i x i, a) = 1 exp 1 ( ) ] yi y(x i a) 2 σ i 2π 2 σ i Ezzel pedig a likelihood-függvény: L(a) = { [ 1 exp 1 ( ) ]} yi y(x i a) 2 σ i i 2π 2 σ i Keressük a likelihood-függvény maximumát, azaz: arg max a L(a) =?
27 A likelihood-függvény logaritmusa L(a) kifejezésében a produktum hasában csak pozitív számok állnak. Vegyük az egész kifejezés logaritmusát. Mivel a logaritmus monoton, ln L maximuma ugyanott lesz, ahol L maximuma. ln L(a) = [ 1 ( ) ] yi y(x i a) 2 + C, 2 σ i i ahol a C konstans tartalmaz minden olyan tagot, ami nem függ az a paraméterektől. Definiáljuk a következő mennyiséget: χ 2 = i σ 2 i [y i y(x i a)] 2 Ez az ún. khi-négyzet, amiről látszik, hogy a minimuma pontosan olyan a paramétereknél van, ahol L(a) maximális.
28 A legkisebb négyzetek módszere Konstans, normális eloszlású hiba esetén σ kiemelhető a χ 2 kifejezéséből, így végső soron a maximum likelihood módszer átmegy a legkisebb négyzetek módszerébe: arg min a [y i y(x i a)] 2 =? i A számolás során x i -ket végig ismertnek vettük. Általános esetben ezeknek is lehet hibájuk. Eddig a modellről nem tettünk fel semmit: lehet matematikai formula lehet algoritmus a bemenő paraméterekkel
29 A χ 2 minimalizálása Általános esetben a χ 2 bonyolult kifejezés. ha ismert is zárt alakban, analitikusan nehéz kezelni ha a modell csak algoritmikusan adott, akkor a minimum is csak algoritmikusan kezelhető Függvények minimumának keresésére majd nézünk módszereket. Pár érdekes eset: a függvény kvadratikus ha a függvénynek lokális minimumai vannak ha nagyon sok lokális minimum van
30 Kvadratikus kifejezés minimuma Ha egy kifejezés az a paraméterek pozitív definit kvadratikus kifejezése, akkor létezik a paraméterek egy olyan kombinációja, ahol a kifejezés minimális. Ebben a pontban az a szerinti parciális deriváltak értéke 0. A konkrét esetben a következőre vezet: arg min a [y i y(x i a)] 2 =? i σ 2 i 0 = 2 i [y i y(x i a)] y(x i...a k...) σi 2 a k minden k-ra, ahol k a paraméterek számáig futó index. Kérdés persze, hogy a parciális deriváltakat mennyire könnyű kiszámolni.
31 Az illesztett paraméterek hibája Eddig arról volt szó, hogy a mért értékeknek van valamilyen hibájuk. Most: elvégeztünk egy optimalizációs eljárást, ami a mérési adatok alapján megadott bizonyos a modellparamétereket. Kérdés, hogy ezek a paraméterértékek mennyire tekinthetők pontosnak. Két különböző dolgot vizsgálhatunk: hibaterjedés: a mérési hibából következően mekkora az illesztett paraméterek bizonytalansága konfidencia intervallumok: mennyire lehetünk biztosak abban, hogy a mérés alapján a valódi paramétereket sikerült megilleszteni? szemléletesen: mennyire romlik el az illesztés, ha a legjobban illeszkedő paramétereket egy kicsit megvariáljuk
32 Hibaterjedés Adott egy mért x mennyiség, aminek ismerjük a x hibáját. Mekkora y = f (x) hibája, ha f egy differenciálható függvény? y = f(x) Δy Δx x y = df dx x
33 Hibaterjedés több változó esetén Az x i változók hibája normális eloszlású, melyet δx i relatív hiba, illetve σ x szórás jellemez. Mekkora lesz az f (x 1, x 2,..., x i ) minden változójában differenciálható függvény által kifejezett mennyiség hibája. Tekintsük f Taylor-sorát az x i változók átlaga körül: f f i f x i (x i x i ) +... A szórás a Taylor-sor négyzete: ( f ) 2 (x i x i ) 2 + σ 2 f = i + 2 i<j x i ( ) ( f f x i x j ) (x i x i )(x j x j ) +...
34 Hibaterjedés több változóra A Taylor-sor négyzetében felfedezhetők a szórások és a kovarianciák kifejezései, vagyis: σ 2 f = i ( f x i ) 2 σx 2 i + 2 ( ) ( ) f f cov ij x i x j i<j Példa: Két független változó u = x + y összegének hibája: σ 2 u = σ 2 x + σ 2 y Példa: Két független változó u = x y szorzatának hibája: ( ) σu 2 = u 2 σx 2 x 2 + σ2 y y 2
Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
RészletesebbenLine aris f uggv enyilleszt es m arcius 19.
Lineáris függvényillesztés 2018. március 19. Illesztett paraméterek hibája Eddig azt néztük, hogy a mérési hiba hogyan propagál az illesztett paraméterekbe, ha van egy konkrét függvényünk. a hibaterjedés
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
Részletesebben1. Gauss-eloszlás, természetes szórás
1. Gauss-eloszlás, természetes szórás A Gauss-eloszlásnak megfelelő függvény: amely egy σ szélességű, µ középpontú, 1-re normált (azaz a teljes görbe alatti terület 1) görbét ír le. A természetben a centrális
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
RészletesebbenBAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.
BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. 1 Mérési hibák súlya és szerepe a mérési eredményben A mérési hibák csoportosítása A hiba rendűsége Mérési bizonytalanság Standard és kiterjesztett
RészletesebbenA mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapest University of Technology and Economics Fault Tolerant Systems Research Group Budapest University of Technology and Economics Department of Measurement
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,
RészletesebbenCompton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III.
Compton-effektus jegyzıkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetıje: Csanád Máté Mérés dátuma: 010. április. Leadás dátuma: 010. május 5. Mérés célja A kvantumelmélet egyik bizonyítékának a Compton-effektusnak
RészletesebbenMérési hibák 2006.10.04. 1
Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség
RészletesebbenSTATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)
STATISZTIKA 10. Előadás Megbízhatósági tartományok (Konfidencia intervallumok) Sir Isaac Newton, 1643-1727 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
Részletesebben6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.
6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás
RészletesebbenKabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a
Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,
RészletesebbenMÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI
MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk
RészletesebbenAnyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek
Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása Anyagvizsgálati módszerek Pannon Egyetem Mérnöki Kar Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 1/ 22 Mérési eredmények felhasználása Tulajdonságok hierarchikus
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
RészletesebbenKözlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta
Közlemény Biostatisztika és informatika alajai. előadás: Az orvostudományban előforduló nevezetes eloszlások 6. szetember 9. Veres Dániel Statisztika és Informatika tankönyv (Herényi Levente) már kaható
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból
RészletesebbenMéréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ)
Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ) KÉSZÍTETTE: DR. FÜVESI VIKTOR 2016. 10. Mai témáink o A hiba fogalma o Méréshatár és mérési tartomány M é r é s i h i b a o A hiba megadása o A hiba
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 3. Hibaszámítás, lineáris regresszió Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Hibaszámítás Hibák fajtái, definíciók Abszolút, relatív, öröklött
RészletesebbenCHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.
CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
RészletesebbenStatisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége
[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenSTATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai
Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenBiomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
RészletesebbenStatisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 1. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Regresszió analízis A korrelációs együttható megmutatja a kapcsolat irányát és szorosságát. A kapcsolat vizsgálata során a gyakorlatban ennél messzebb
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenLineáris regressziós modellek 1
Lineáris regressziós modellek 1 Ispány Márton és Jeszenszky Péter 2016. szeptember 19. 1 Az ábrák C.M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning c. könyvéből származnak. Tartalom Bevezető példák
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés
SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre
RészletesebbenGyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László
Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,
RészletesebbenRegressziós vizsgálatok
Regressziós vizsgálatok Regresszió (regression) Általános jelentése: visszaesés, hanyatlás, visszafelé mozgás, visszavezetés. Orvosi területen: visszafejlődés, involúció. A betegség tünetei, vagy maga
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenDiszkréten mintavételezett függvények
Diszkréten mintavételezett függvények A függvény (jel) értéke csak rögzített pontokban ismert, de köztes pontokban is meg akarjuk becsülni időben mintavételezett jel pixelekből álló műholdkép rácson futtatott
RészletesebbenFolyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv
Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc I. Mérés vezet je: Horváth Ákos Mérés dátuma: 2010. október 21. Leadás dátuma: 2010. november 8. 1 1. Bevezetés A mérés
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió
SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás
RészletesebbenFIZIKAI KÉMIA II. házi dolgozat. Reakciókinetikai adatsor kiértékelése (numerikus mechanizmusvizsgálat)
FIZIKAI KÉMIA II. házi dolgozat Reakciókinetikai adatsor kiértékelése (numerikus mechanizmusvizsgálat) Készítette: () Kémia BSc 2008 évf. 2010 1 A numerikus mechanizmusvizsgálat feladatának megfogalmazása
Részletesebbeny ij = µ + α i + e ij
Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai
RészletesebbenAbszolút és relatív aktivitás mérése
Korszerű vizsgálati módszerek labor 8. mérés Abszolút és relatív aktivitás mérése Mérést végezte: Ugi Dávid B4VBAA Szak: Fizika Mérésvezető: Lökös Sándor Mérőtársak: Musza Alexandra Török Mátyás Mérés
RészletesebbenHipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok
STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris
RészletesebbenLikelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium
Többváltozós statisztika (SZIE ÁOTK, 2011. ősz) 1 Likelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium Likelihood függvény Az adatokhoz paraméteres modellt illesztünk. A likelihood függvény a megfigyelt
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenPoisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)
Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)./ Egy televízió készülék meghibásodásainak átlagos száma óra alatt. A meghibásodások száma a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenHipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58
u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ
RészletesebbenModern Fizika Laboratórium Fizika és Matematika BSc 12. Infravörös spektroszkópia
Modern Fizika Laboratórium Fizika és Matematika BSc 1. Infravörös spektroszkópia Mérést végezték: Bodó Ágnes Márkus Bence Gábor Kedd délelőtti csoport Mérés ideje: 03/0/01 Beadás ideje: 03/4/01 Érdemjegy:
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát
RészletesebbenProblémás regressziók
Universitas Eotvos Nominata 74 203-4 - II Problémás regressziók A közönséges (OLS) és a súlyozott (WLS) legkisebb négyzetes lineáris regresszió egy p- változós lineáris egyenletrendszer megoldása. Az egyenletrendszer
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenGyártástechnológia alapjai Méréstechnika rész. Előadások (2.) 2011.
Gyártástechnológia alapjai Méréstechnika rész Előadások (2.) 2011. 1 Méréstechnika előadás 2. 1. Mérési hibák 2. A hiba rendszáma 3. A mérési bizonytalanság 2 Mérési folyamat A mérési folyamat négy fő
RészletesebbenIII. Képességvizsgálatok
Képességvizsgálatok 7 A folyamatképesség vizsgálata A 3 fejezetben láttuk, hogy ahhoz, hogy egy folyamat jellemzıjét a múltbeli viselkedése alapján egy jövıbeni idıpontra kiszámíthassuk (pontosabban, hogy
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
RészletesebbenStatisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
RészletesebbenAdatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán
Adatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán MTA KFKI Részecske és Magfizikai Intézet, Biofizikai osztály Az egy adatsorra (idősorra) is alkalmazható módszerek Példa: Az epileptikus
Részletesebben2. Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata jegyzőkönyv. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:
2. Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata jegyzőkönyv Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 09. 24. Leadás dátuma: 2008. 10. 01. 1 1. Mérések ismertetése Az 1. ábrán látható összeállításban
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 5.
Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenMilyen elvi mérési és számítási módszerrel lehet a Thevenin helyettesítő kép elemeit meghatározni?
1. mérés Definiálja a korrekciót! Definiálja a mérés eredményét metrológiailag helyes formában! Definiálja a relatív formában megadott mérési hibát! Definiálja a rendszeres hibát! Definiálja a véletlen
RészletesebbenA mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv
Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói mérés Műveletek összessége, amelyek célja egy mennyiség értékének meghatározása. mérési
RészletesebbenTartalom I. Az SI egységrendszer. 1 Tájékoztató. 2 Ajánlott irodalom. 3 Bevezetés. 4 A méréselmélet szerepe. 5 A mérőberendezés felépítése
Tartalom I 1 Tájékoztató 2 Ajánlott irodalom 3 Bevezetés 4 A méréselmélet szerepe Az SI egységrendszer 5 A mérőberendezés felépítése 6 A műszerek legfontosabb jellemzői 7 Mérési hibák 8 A mérési eredmény
RészletesebbenModern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.
Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:
Részletesebben4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis
1. feladat Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve 2. feladat Az iskola egy évfolyamába tartozó diákok átlagéletkora 15,8 év, standard deviációja 0,6 év. A 625 fős évfolyamból hány diák fiatalabb
RészletesebbenTöbb valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció
Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 3. MÉRÉSFELDOLGOZÁS
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 3. MÉRÉSFELDOLGOZÁS Dr. Soumelidis Alexandros 2018.10.04. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG Mérés-feldolgozás
RészletesebbenStatisztikai becslés
Kabos: Statisztika II. Becslés 1.1 Statisztikai becslés Freedman, D. - Pisani, R. - Purves, R.: Statisztika. Typotex, 2005. Reimann J. - Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Tankönyvkiadó,
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenLeast Squares becslés
Least Squares becslés A négyzetes hibafüggvény: i d i ( ) φx i A négyzetes hibafüggvény mellett a minimumot biztosító megoldás W=( d LS becslés A gradiens számítása és nullává tétele eredményeképp A megoldás
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy
RészletesebbenDigitális jelfeldolgozás
Digitális jelfeldolgozás Kvantálás Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék magyar.attila@virt.uni-pannon.hu 2010. szeptember 15. Áttekintés
RészletesebbenValó szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny
Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.
RészletesebbenMatematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei
Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.
RészletesebbenKorreláció és lineáris regresszió
Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenAbszorpciós spektrumvonalak alakja. Vonalak eredete (ld. előző óra)
Abszorpciós spektrumvonalak alakja Vonalak eredete (ld. előző óra) Nagysága Kiszélesedése Elem mennyiségének becslése a vonalerősségből Elemi statfiz Boltzmann-faktor: Megadja egy állapot súlyát a sokaságban
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben