Bifurkációk komplex rendszerek differenciálegyenleteiben. Simon L. Péter. Eötvös Loránd Tudományegyetem. Matematikai Intézet

Átírás

1 Bifurkációk komplex rendszerek differenciálegyenleteiben Simon L. Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematikai Intézet Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Akadémiai doktori értekezés 212

2 ii dc_483_12

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Reakció-diffúzió egyenletek Reakció-diffúzió egyenletek kutatásának fontosabb területei Reakció-diffúzió egyenletekkel kapcsolatos saját eredmények Hálózati folyamatok Hálózati folyamatokkal kapcsolatos saját eredmények Stacionárius megoldások Irodalmi áttekintés A "time-map" módszer A "time-map" monotonitása A "time-map" értelmezési tartománya A "time-map" határértékei az értelmezési tartomány határpontjaiban A megoldások száma konvex f esetén Kvázilineáris egyenlet megoldásainak száma A megoldások száma szinguláris f esetén A megoldások száma f(u) = u α + u p esetén A megoldások száma f(u) = u p u α és n = 1 esetén A megoldások száma f(u) = u α u p esetén Stabilitás konvex és konkáv f esetén Utazó hullám megoldások Utazó hullámok létezése Utazó hullámok stabilitása A linearizálással kapott operátor spektruma A spektrum jellemzése az invariáns alterekkel Az Evans-függvény Stabilitásvizsgálat egy egyenlet, m = 1 esetén Hálózati folyamatok A matematikai modell A csúcsok állapotát leíró dinamikák Hálózatok típusai Járványterjedés hálózaton Homogén fokszámeloszlású gráf iii

4 iv TARTALOMJEGYZÉK Heterogén fokszámeloszlású gráf Effektív fokszám modell Momentum lezárással felírt modellek Háztartás típusú modellek A numerikus szimuláció SIS dinamika általános gráfon Alapegyenletek Az alapegyenletek egyszerűsítése összevonással Összevonás három csúcsú teljes gráf esetén Lineáris differenciálegyenletek összevonása Az SIS dinamikához tartozó alapegyenlet összevonása a gráf automorfizmusainak segítségével Összevonás különböző típusú gráfokon Összevonás teljes gráf esetén Összevonás csillag gráf esetén Összevonás háztartás típusú gráf esetén Összevonás körgráf esetén Várható értékekre vonatkozó egyenletek Differenciálegyenlet a csúcsok számának várható értékére Differenciálegyenlet az élek számának várható értékére Közelítő differenciálegyenletek Az alapegyenlet közelítő differenciálegyenletei Közelítés elsőrendű parciális differenciálegyenlettel Sztochasztikus módszer Végtelen rendszer a momentumokra Kato-féle perturbációs módszer Elemi bizonyítás a (6.3) együtthatók esetén Operátor félcsoportok módszere Hivatkozások 117

5 1. fejezet Bevezetés A differenciálegyenletek kvalitatív elméletének kezdeteit rendszerint Poincaré munkásságáig vezetik vissza, amikor a természettudományokban (akkor elsősorban a fizikában) felmerülő összetett rendszereket leíró differenciálegyenletekről kiderült, hogy többségükben nem lineárisak, és ezek megoldása képlettel ritkán adható meg. A komplex rendszer fogalma a természettudományokban, a fizikában, kémiában és biológiában többé kevésbé jól körülhatárolt, rendszerint olyan, sok összetevőből álló rendszert értenek alatta, melynek elemei valamilyen struktúra alapján kapcsolódnak össze. Ha ebben a struktúrában valamilyen szabályosság van, mint például egy kristály szerkezete, akkor a matematikai modell parciális differenciálegyenletként adható meg. Azonban számos esetben a kapcsolatok sokkal bonyolultabb rendszert alkotnak, mint például az internet szerkezete, vagy egy sejt metabolikus hálózata, ilyen esetekben a matematikai modell egy komplex hálózat, illetve a hálózaton megadott differenciálegyenlet-rendszer. A természettudományokban megjelenő komplex rendszerek több esetben nemcsak motiválták a matematikai vizsgálatokat, hanem új matematikai területek megszületésében és fejlődésében jelentős szerepet játszottak. A XX. század közepétől napjainkig az alábbi három jelentős diszciplína megjelenésének lehetünk tanúi: Káoszelmélet Térbeli jelenségek (mintázatok és utazó hullámok) leírása Hálózati folyamatok. Történeti megjelenésük a fenti sorrendben a XX. század hatvanas és nyolcvanas éveire, illetve a XXI. század első évtizedére tehető. Érdekes módon mindháromnak van sokkal korábbi matematikai előfutára, Poincaré munkássága a XX. század elején, Kolmogorov, Petrovszkij, Piszkunov, valamint Turing dolgozatai a XX. század közepén, illetve Erdős és Rényi cikke 1959-ben. Azonban a területek fejlődésének megindulásához megfelelő számítástechnikai háttérre is szükség volt. Így a káoszelmélet indulását nagyban segítették Lorenz numerikus vizsgálatai a meteorológiában megjelenő egyszerű háromváltozós közönséges differenciálegyenlet-rendszerrel kapcsolatban. A térbeli jelenségeket leíró parciális differenciálegyenletek effektív numerikus megoldására a 8-as években érett meg a helyzet, míg a milliós nagyságrendű csúccsal rendelkező gráfok számítógépes kezelése a XX. század végén vált elérhetővé. A fenti három 1

6 2 1. FEJEZET. BEVEZETÉS területen megindult kutatások a matematika saját belső fejlődésére is nagy hatással voltak. A dinamikai rendszerek kvalitatív elmélete a múlt század hatvanas éveitől jelentős fejlődésnek indult az alkalmazások felől érkező hatásnak köszönhetően. A hetvenes és nyolcvanas évektől fordult az érdeklődés a végtelen dimenziós fázisterű dinamikai rendszerek (lényegében parciális és késleltetett differenciálegyenletek) felé, ahol nagy erővel megindult a véges dimenzióban ismert tételek általánosítása a különböző végtelen dimenziós esetekre. A hálózati folyamatok vizsgálata egyelőre a numerikus kísérletek szintjén mozog, a matematika területén kapcsolódik a gráfelmélethez, a Markov-folyamatokhoz és a dinamikai rendszerekhez is, a szerző véleménye szerint még nem alakult ki a jelenségek leírására alkalmas matematikai struktúra. Saját kutatásaink az elmúlt nagyjából tíz évben a két utóbbi területre, nevezetesen a reakció-diffúzió egyenletek területére és a hálózaton zajló járványterjedés modellezésének területére estek. Ezeken belül is elsősorban a modellként kapott differenciálegyenletek bifurkációit, azaz a paraméterek változása során bekövetkező kvalitatív változásokat vizsgáltuk. Ilyen témájú kutatási eredményeinket vázlatosan ismertetjük a továbbiakban a bevezetésben, majd a fontosabb részeket fejtjük ki az értekezésben Reakció-diffúzió egyenletek A reakció-diffúzió egyenletek matematikailag szemilineáris parabolikus parciális differenciálegyenletek, melyek általános alakja t u = D u + f(u), (1.1) ahol u : R + R n R m az ismeretlen függvény, f : R m R m folytonosan differenciálható függvény és D pozitív elemű diagonális mátrix (az idő szerinti parciális deriválást, illetve a tér szerinti Laplace-operátort koordinátánként alkalmazzuk az u függvényre). Az egyenlethez különböző peremfeltételek tartozhatnak, utazó hullámok vizsgálata esetén például az egyenletet a teljes R n téren tekintik, ekkor a peremfeltételek u korlátosságára vagy végtelenbeli határértékére vonatkoznak. Korlátos tartomány esetén mindhárom típusú szokásos peremfeltétel előfordul a vizsgálatokban. A peremfeltétel mellett természetesen az u(, ) kezdeti függvény megadása is szükséges. Az egyenlet neve a kémiai alkalmazásból származik, ez esetben u k (t, x) a k-adik (k = 1, 2,...,m) anyag koncentrációját jelenti a t időpontban és az x helyen, továbbá a jobboldal első tagja fejezi ki a diffúziót, a második pedig a kémiai reakciókat. Az egyenlet azonban számos más fizikai, biológiai, közgazdasági jelenség modellje is lehet a járványterjedéstől az ingerület vezetésen át a mintázat képződésig. Reakció-diffúzió egyenletek különböző alkalmazásairól számtalan publikáció között több könyv is található. Ezekről, valamint az elméleti eredményekről adunk összefoglalást a következő szakaszban. Ezt követően mutatjuk be saját eredményeinket, amelyek reakció-diffúzió egyenletekkel kapcsolatosak Reakció-diffúzió egyenletek kutatásának fontosabb területei A reakció-diffúzió egyenletek kutatásának elindításában úttörő szerepet játszó dolgozatokként a következőket szokás megemlíteni. Fisher 1937-ben írt dolgozata [6] a

7 1.1. REAKCIÓ-DIFFÚZIÓ EGYENLETEK 3 gének terjedésével foglalkozik, Kolmogorov, Petrovszkij és Piscunov ugyanebből az évből származó munkája [89] az utazó hullámok kutatását indította el, Turing es cikke [143] pedig a mintázatképződés vizsgálatának előfutára. Számtalan dolgozat megjelenését követően Fife 1979-ben írott könyve [59] összefoglalást adott a kémiai és biológiai alkalmazásokról, valamint a kvalitatív vizsgálat addigi eredményeiről egy egyenletre (m = 1) vonatkozóan (stacionárius megoldások és utazó hullámok létezése és stabilitása). Smoller 1983-as monográfiája [136] az alkalmazások mellett rendszerek (m > 1) esetében részletesen tárgyalja utazó hullámok létezésének bizonyítását topologikus módszerekkel (Conley-féle index). Grindrod 1991-ben megjelent könyve [69] a mintázatok és utazó hullámok tárgyalásához szükséges matematikai eszközöket mutatja be. Kuramoto, valamint Phillipson és Schuster művei [92, 121] a kémiai, Murray és Britton munkái [3, 19] a biológiai, Rubinstein monográfiája [128] az elektro-kémiai, Giovagnili, valamint Zeldovich és munkatársai által írott könyvek [65, 152] pedig az égéselméleti és lángterjedési alkalmazásokról adnak áttekintést. A több egyenletből álló rendszerek vizsgálata a kilencvenes években terjedt el. Az elsősorban populációdinamikához tartozó biológiai alkalmazásokat Leung [13] monográfiája, a fiziológiai modelleket pedig Keener és Sneyd könyvei [84, 85] tárgyalják. Farkas Miklós könyvében [57] nemcsak reakció-diffúzió egyenletek, hanem közönséges differenciálegyenlet-rendszerek biológiai alkalmazására is számos példát láthatunk. A reakció-diffúzió egyenletek kutatása az alkalmazásokon kívül a dinamikai rendszerek elméletéből nőtt ki, ugyanis az U(t) = u(, t) függvényt bevezetve az (1.1) egyenlet az U(t) = AU(t) + F(U(t)) (1.2) absztrakt Cauchy-feladatként írható fel. Kézenfekvő tehát megvizsgálni, hogy az ẋ(t) = f(x(t)) közönséges differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó eredmények menynyiben általánosíthatók az (1.2) végtelen dimenziós feladatra. Ismert, hogy a közönséges differenciálegyenlet-rendszer megoldásai dinamikai rendszert határoznak meg. A (1.2) egyenlet esetében ennek bizonyítása azért sokkal nehezebb feladat, mert a jobboldalon szereplő A operátor nem korlátos. Az ötvenes évektől kezdődően kifejlesztett operátor félcsoport elmélet segítségével kidolgozták az (1.2) Cauchyfeladatra vonatkozó egzisztencia elméletet, melyről például Henry, Rothe, Pazy illetve Cazenave és Haraux könyvében, valamint Amann dolgozatában olvashatunk [4, 37, 7, 12, 126]. A dinamikai rendszer létezésének bizonyításával megkezdődhetett a kvalitatív tulajdonságok tanulmányozása. Ez magában foglalja a stacionárius, periodikus, kaotikus, illetve utazó hullám megoldások létezésének, pontos számának, valamint stabilitásának vizsgálatát. A speciális típusú megoldásokon kívül fontos kérdés a megoldások aszimptotikus (hosszú idő utáni) viselkedése, valamint az attraktorok létezésének kérdése, és vonzási tartományaik meghatározása, melyet általánosan tárgyal Robinson könyve [125], valamint Fiedler és Scheel összefoglaló dolgozata [58]. A közönséges differenciálegyenleteknél tapasztalt jelenségek természetesen a végtelen dimenziós megfelelőjük esetében is megjelennek, számos új jelenség kíséretében. A kvalitatív vizsgálatban fontos szerepet játszanak a variációs módszerek [6, 48, 139], az alsó és felső megoldások konstruálásán alapuló monoton módszerek [48, 118], valamint a topológiai módszerek, melyek fő eszközei a Leray-Schauder fokszám és a Conley-féle index [32, 48, 136]. A stacionárius megoldások számával kapcsolatos

8 4 1. FEJEZET. BEVEZETÉS eredményekről részletes összefoglalást fogunk adni a 2.1. alfejezetben, addig is az ezzel foglalkozó könyvek és összefoglaló munkák közül kiemeljük Lions dolgozatát [12] és Shi könyvét [134]. Az utazó hullámokat a 3. fejezetben fogjuk részletesen tárgyalni, most csak a [145] monográfiára utalunk. A kvalitatív elméletnek ez a két területe az, amellyel magunk is foglalkoztunk. A következő szakaszban áttekintést adunk az általunk vizsgált kérdésekről Reakció-diffúzió egyenletekkel kapcsolatos saját eredmények A különböző alkalmazásokban megjelenő reakció-diffúzió egyenletekkel kapcsolatos eredményeinket ismertetjük először részletesebben. Az elméleti jellegű eredményeket, melyek a stacionárius és utazó hullám megoldásokkal kapcsolatosak csak vázlatosan mutatjuk be, mert ezekről a későbbi fejezetekben részletesen szó lesz. Alkalmazások Kémiai hullámok geometriai leírása Az első, témával kapcsolatos kutatásaink kémiai hullámok geometriai leírására irányultak. Ennek eredményeit tartalmazzák a [156, 157, 158] dolgozatok, melyekben elméleti leírást adunk gyűrű alakú közegben terjedő kémiai hullámokról. Elektrolit dióda Később az elektrolit dióda matematikai modellezésével foglalkoztunk. Ez egy nyitott kémiai rendszer: a reaktor egy polimer gél, amely egy savas és egy lúgos közeget köt össze, melyek között adott potenciálkülönbség van. A kísérletekben a dióda áram-feszültség karakterisztikáját mérik. A félvezető diódához hasonlóan nyitóirányú feszültségnél a karakterisztika nagyobb meredekségű, mint záróirányú esetén. Az elektrolit dióda matematikai modellje egy reakció-diffúzió típusú parciális differenciálegyenlet-rendszer, amely a Nernst-Planck egyenletekből származtatható. Ezen rendszer analitikus megoldása nem állítható elő, ezért a stacionárius megoldásokat egyrészt a Nernst-Planck egyenletek analitikus megoldásaival, illetve ezek megfelelő csatlakoztatásával közelítettük, másrészt numerikusan határoztuk meg [159, 16, 161]. Lángterjedés A Leedsi Egyetemen működő kutatócsoporttal való együttműködésben lángterjedést leíró reakció-diffúzió egyenletek utazó hullám megoldásait vizsgáltuk több dolgozatban. A [162] cikkben az égést egy elsőrendű, exoterm reakció adja meg, a hőveszteséget egy lineáris függvény írja le. Az ebben szereplő paraméter függvényében numerikusan meghatároztuk a hullám megoldásokat és azok sebességét. A paraméter egy kritikus értéke alatt két megoldása van a peremérték- feladatnak, felette pedig nincs megoldás. Ezen modellben megjelenő különböző bifurkációk részletes numerikus vizsgálatát tartalmazza a [169] publikáció. A [163, 165] dolgozatokban az elsőrendű, exoterm reakció mellett egy endoterm reakció is szerepel, amely a fizikai

9 1.1. REAKCIÓ-DIFFÚZIÓ EGYENLETEK 5 hőveszteséget pótolja. Az endoterm reakció sebességét jellemző paraméter függvényében meghatároztuk a hullám megoldásokat. Kiderült, hogy itt is nyereg-csomó bifurkáció van egy kritikus paraméter értéknél; ezalatt három megoldás van, felette pedig egy megoldás. A [168] cikkben egy két reakciólépésből álló endoterm reakció is szerepel, amely a hőveszteséget írja le. A témában közölt előző dolgozatainkhoz képest ez egy kémiailag sokkal reálisabb modell. A változók száma az eddigi kettő, illetve három helyet most öt, és a paraméterek száma is növekedett. Így többféle bifurkációs diagrammot kellett elkészíteni. Kiderült, hogy bizonyos paraméter tartományokban négy utazó hullám megoldás is van. Két helyen is találtunk nyeregcsomó bifurkációt. Ezután a lángterjedést leíró utazó hullám megoldások stabilitását vizsgáltuk. A [164] dolgozatban a [162] cikkbeli modellben kapott utazó hullám stabilitását vizsgáltuk, míg a [166] publikáció a [165] cikkbeli három változós modell utazó hullám megoldásainak stabilitásával foglalkozik. A lángterjedési modellekben kapott utazó hullámok stabilitásának vizsgálatával kapcsolatos eredményeket, és az Evans-függvény ilyen rendszerekre történő alkalmazását foglaltuk össze a [167] cikkben. Két-dimenziós tartományban terjedő utazó hullámok stabilitásának vizsgálatával is foglalkoztunk. Ebben az esetben a síkhullám terjedési irányára merőleges perturbációi is megmaradhatnak. Ez olyan típusú instabilitás, ami a szokásos egydimenzióban terjedő utazó hullámoknál nem léphet fel. Tehát a szokásos értelemben stabilis hullám egy két-dimenziós tartományban tekintve instabilis lehet. Meg lehet határozni az ilyen típusú instabilitás feltételét. A [17] dolgozatban a [162] cikkbeli modell esetében numerikusan meghatároztuk, hogy milyen paraméter értékeknél lép fel ez a bifurkáció. Kémiai reakciók A [173, 174] dolgozatokban egy autokatalitikus reakciót tartalmazó reakció-diffúzió egyenletrendszer radiálisan szimmetrikus stacionárius megoldásait vizsgáltuk. Meghatároztuk, hogy mely reakciórend esetén van ilyen stacionárius megoldás, melyet numerikusan is kiszámítottunk. A [171, 172] cikkekben a Belouszov-Zsabotyinszkij reakció Oregonátor modelljében az utazó hullám megoldásokat tanulmányoztuk. Az első dolgozatban numerikusan meghatároztuk a nyereg-csomó bifurkációt, és elméleti becslést adtunk ennek helyére. A második dolgozatban kimutattuk, hogy az elektromos térerősséget, mint paramétert változtatva nyereg-csomó bifurkáció során két utazó hullám megoldás jelenik meg. Az utazó hullámok numerikus meghatározásán kívül elméleti becslést adtunk a paraméterek azon értékére, amelyek mellett az utazó hullám megoldások léteznek. Elméleti vizsgálatok Az elméleti jellegű eredményeink a stacionárius és utazó hullám megoldásokkal kapcsolatosak. A stacionárius állapotok számának és stabilitásának vizsgálata során először olyan szemilineáris elliptikus egyenletek bifurkációit vizsgáltuk, melyekben konvex, vagy konkáv nemlineáris tag szerepel. Az egy-dimenziós esetben sikerült a pozitív megoldások számában bekövetkező összes lehetséges bifurkációt leírni [178], melyről

10 6 1. FEJEZET. BEVEZETÉS a 2.3. szakaszban lesz szó. Ezeket az eredményeket kvázilineáris egyenletre is általánosítottuk [182], melyet a 2.3. szakaszban tárgyalunk. Több dimenziós esetben a megoldások stabilitását tudtuk jellemezni [179], melyet kvázilineáris egyenletekre is általánosítottunk [18], ezeket az eredményeket a 2.6. szakaszban olvashatjuk. A [175] dolgozatban játékelméleti modellekből származó, nem-folytonos jobboldalú reakció-diffúzió egyenletek megoldásának létezését bizonyítottuk, és a stacionárius megoldások vizsgálatával foglalkoztunk. A [176] dolgozatban egy Kolmogorov-Petrovszkij-Piscunov típusú nemlinearitást tartalmazó szemilineáris elliptikus egyenletet vizsgáltunk. A probléma egy valószínűségszámításbeli kérdés kapcsán vetődött fel. A dolgozatban megmutattuk, hogy az egyenletnek nincs olyan megoldása, amely az egész n-dimenziós téren értelmezve van és értékei és 1 közé esnek. Több dolgozatban foglalkoztunk olyan szemilineáris differenciálegyenlethez tartozó peremérték probléma pozitív megoldásai számának vizsgálatával, melyben a nemlinearitás f(u) = u p ± u α alakú, azaz egy negatív és egy pozitív kitevős hatványfüggvény összege, a megoldás pedig egy gömb peremén nulla. Itt a fő probléma a nemlinearitás szingularitása a peremen. A nem-szinguláris egyenletre vonatkozó eredmények természetesen erre az esetre nem alkalmazhatók, de sikerült az ott alkalmazott módszereket a szinguláris esetre is kiterjeszteni. Az f(u) = u p +u α esetet a [183] dolgozatban vizsgáltuk, az f(u) = u p u α esethez tartozó eredményeink pedig a [184, 185] cikkekben jelentek meg. Ezen eredményeket részletesen a 2.5. alfejezet tárgyalja. Az utazó hullámokkal kapcsolatos elméleti eredmények az Evans-függvény módszerhez kötődnek. A módszer alkalmazásának elméleti hátterét a [177] cikkben írtuk le, melyről a 3. fejezetben olvashatunk Hálózati folyamatok A hálózati folyamatok matematikai leírását célszerű egy egyszerű, de mégis komoly matematikai kihívást jelentő motiváló példán, nevezetesen az SIS típusú járványterjedésen bemutatni. Tekintsünk egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráfot. A gráf csúcsai kétféle állapotban, fertőző (I), illetve egészséges (S), lehetnek. A gráf egy csúcsának állapota kétféleképpen változhat: egy I típusú csúcs adott valószínűséggel meggyógyul, azaz S típusú lesz, illetve egy S típusú csúcsot az I típusú szomszédai valamilyen valószínűséggel megfertőznek, és maga is I típusú lesz. Mind a fertőzést és a gyógyulást független Poisson-folyamattal írjuk le, azaz egy rövid t idő alatt egy S típusú csúcs, melynek k darab I típusú szomszédja van 1 exp( kτ t) valószínűséggel megfertőződik, azaz I típusú lesz, míg egy I csúcs 1 exp( γ t) valószínűséggel meggyógyul, azaz S típusú lesz, ahol τ és γ adott pozitív számok, melyeket fertőzési, illetve gyógyulási rátának fogunk hívni. Az alapvető kérdés az, hogy hogyan változik időben a fertőző csúcsok számának várható értéke. Emellett természetesen fontos kérdés ennek szórása, vagy a még pontosabb leírás kedvéért a fertőző csúcsok eloszlásának időbeli változása. A járványterjedésen kívül számos más jelenség vezet hasonló matematikai problémához, például a híresztelések terjedése társadalmi hálózaton, vagy az aktivitás

11 1.2. HÁLÓZATI FOLYAMATOK 7 terjedése biológiai neurális hálózatokon. A hálózati folyamatok vizsgálata viszonylag új kutatási terület, ennek ellenére matematikai leírásáról már megjelentek összefoglaló munkák, Newman, Barabási és Watts könyve [113], Barrat, Barthélemy és Vespignani monográfiája [15], valamint kifejezetten a járvány és híresztelés terjedésről Draief és Massoulié könyve [49]. A fenti motiváló példák alapján körülhatárolható az a matematikai struktúra, amelyben vizsgálatainkat végezni fogjuk. Legyen adott egy N csúcsú gráf, melynek csúcsai véges sok (m) állapot valamelyikében lehetnek, és legyen adott egy dinamika, amely megadja, hogy a csúcsok állapota hogyan változik a szomszédos csúcsok állapotától függően. A modell egy m N elemű állapottéren megadott folytonos idejű Markov-lánc, melynek állapotegyenlete egy m N egyenletből álló lineáris közönséges differenciálegyenlet-rendszer. Ezt a rendszert a következő szakaszban felírjuk általánosan, majd bemutatjuk, hogy különböző típusú gráfokon, milyen dinamikákat vizsgáltak eddig az irodalomban. A kutatások célja annak felderítése, hogy a gráf szerkezetének ismeretében mit tudunk mondani a folyamat fenti jellemzőiről. Mivel az állapottér ilyen nagy méretű, azért eddig viszonylag kevés olyan eredmény született, ami a gráf szerkezetét kapcsolatba tudta hozni például a fertőző csúcsok számának várható értékével. A kérdés fontossága, és a számítási kapacitás jelentős megnövekedése hatására azonban a kilencvenes évek végére számos olyan dolgozat született (elsősorban biológusok és fizikusok munkái), amelyben különböző gráfokon Monte-Carlo szimuláció segítségével összehasonlították a járványterjedés folyamatát. A Monte-Carlo szimuláció pontos algoritmusát alább fogjuk ismertetni, azt azonban a részletes ismertetés nélkül is állíthatjuk, hogy a szimulációk alapján numerikus tapasztalatot szerezhetünk, de elméleti összefüggést nem tudunk megállapítani a gráf szerkezete és a folyamat jellemzői között. Az értekezésben azt fogjuk vizsgálni, hogy a folyamatot leíró Markov-lánc alapegyenletének nevezett differenciálegyenletben hogyan jelenik meg a gráf struktúrája, és a differenciálegyenletek elmélete eszközeinek segítségével mit lehet mondani a gráf szerkezete és a folyamat jellemzői közötti kapcsolatról. Egy hálózati folyamat leírására természetesen nem kizárólag a fenti matematikai struktúra alkalmas. A 4.2 szakaszban ismertetjük, hogy a járványterjedési dinamikák esetében a fenti modellen kívül milyen más modelleket vezettek be. Hangsúlyozzuk, hogy ebben az értekezésben nem célunk a járványterjedés modellezése. Ez a biológus és fizikus irodalomban nagyon széles körben vizsgált kérdés, melynél a jóság kritériuma a mérési adatokkal való egyezés. Ezzel szemben a matematikai vizsgálat célja: egy adott matematikai modell minél alaposabb megértése, illetve esetleg különböző modellek összehasonlítása matematikai szempontból. Kutatásai területünk tehát a fenti, a gráffal és a véges állapotterű dinamikával megadott, m N egyenletből álló lineáris rendszer vizsgálata. A cél először a modell formális definiálása, majd a differenciálegyenletek elméletének eszközeivel a modell redukálása olyan egyszerűbb rendszerekre, amelyek kvalitatív vizsgálata minél többet elárul a modell viselkedéséről. A továbbiakban röviden áttekintjük saját kutatási eredményeinket.

12 8 1. FEJEZET. BEVEZETÉS Hálózati folyamatokkal kapcsolatos saját eredmények A hálózati folyamatokkal kapcsolatos saját kutatásaink a dinamikai rendszerek és reakció-diffúzió egyenletek vizsgálata során szerzett tapasztalatainkra épülnek. Kutatásaink kezdetén különböző típusú hálózatokat és folyamatokat leíró kompartment modelleket vizsgáltunk a differenciálegyenletek kvalitatív elméletének eszközeivel. Ezután SIS típusú járványterjedés esetén a 2 N egyenletből álló alapegyenlet-rendszer redukálásának lehetőségeit tanulmányoztuk. A legutóbbi kutatásaink adaptív hálózatok megértését célozzák meg. Olyan folyamatokat tanulmányozunk, amelyeknél gráf maga is megváltozik a csúcsok állapotától függően. A folyamat során élek szűnnek meg, illetve jönnek létre a végpontjaik állapotától függően. Az alábbiakban az e három területen végzett munkánkat foglaljuk össze. Az értekezésben részletesen az alapegyenlet-rendszer redukálásával kapcsolatos eredményeinket mutatjuk be. Információ és járványterjedés Amennyiben a gráf pontos szerkezete nem ismert (ez áll fenn általában valós modellek esetén), akkor a gráf struktúráját valamennyiben magában foglaló, mégis jelentős egyszerűsítéseket tartalmazó modelleket célszerű bevezetni. Ezen modellek esetében az egyszerű járványterjedésnél összetettebb folyamatok is vizsgálhatók. A témával foglalkozó első dolgozatunkban egy olyan közönséges differenciálegyenlet-rendszert vizsgáltunk, amely az úgynevezett preferált kapcsolódással jellemezhető hálózaton történő járványterjedést ír le. Egy ilyen hálózatot olyan véletlen gráffal modelleznek, amelyben a csúcsok kétféle fokszámúak, nevezetesen vannak sok, illetve kevés szomszéddal rendelkező csúcsok. Ezenkívül a modell megadott paraméterei jellemzik, hogy a magas illetve alacsony fokszámú csúcsok milyen arányban kötődnek az ugyanolyan, illetve ellenkező típusúakhoz, azaz egy adott típusú (fokszámú) csúcs milyen típusúakhoz való kapcsolódást preferál. A [186] dolgozatban megvizsgáltuk, hogy különböző kapcsolódási preferenciák esetén a differenciálegyenlet-rendszer megoldásainak tulajdonságaiból mire lehet következtetni a járvány lefolyását illetően. Két további dolgozatban [187, 189] olyan differenciálegyenleteket vizsgáltunk, amelyek a járvány terjedésével párhuzamosan a járvánnyal kapcsolatos információ terjedését is modellezik a hálózaton. Ezekben a gráfon a csúcsok kapcsolódását véletlenszerűnek tekintjük, a differenciálegyenlet kompartment típusú modellből származik, mind a fertőző, és az egészséges csúcsok két kompartmentbe sorolhatók, aszerint, hogy a járvány terjedéséről rendelkeznek-e információval, illetve tájékozatlanok. Különböző feltételezésekből kiindulva számos differenciálegyenlet-rendszer felírható. Az egyszerűbb modelleket analitikusan megvizsgálva sikerült az információ és betegségterjedés kapcsolatáról biológiailag is releváns elméleti eredményeket igazolni, és ezekkel a szimulációból kapott eredményeket alátámasztani. Az alapegyenlet redukciója Az alapegyenlettel kapcsolatos eredményeink az SIS típusú járványterjedés esetére vonatkoznak. A [188] dolgozatban tetszőleges gráf esetén felírtuk az alapegyenletet, amely az irodalomban addig nem jelent meg. Megmutattuk, hogy a gráf automorfizmuscsoportjának ismeretében az egyenletrendszer mérete jelentősen csökkenthető

13 1.2. HÁLÓZATI FOLYAMATOK 9 (akár N lineáris függvénye is lehet, ha a gráfnak elegendően sok automorfizmusa van). Ugyanebben a dolgozatban bebizonyítottuk, hogy tetszőleges gráf esetén az I típusú csúcsok számának várható értéke kielégíti az úgynevezett mean-field differenciálegyenletet. A [19] dolgozatban a párok számának várható értékére vonatkozó differenciálegyenleteket is levezettük tetszőleges gráf esetén. Ezeket az eredményeket az értekezés 5.4. szakaszában mutatjuk be. Amennyiben az alapegyenlet redukálható N + 1 egyenletre (például teljes gráf esetén), akkor a redukált rendszerből a várható értékre vonatkozó egyenlet lezárására is levezethetők képletek. Ezzel nem-lineáris, viszont kevés egyenletet tartalmazó rendszert kaphatunk, amely N esetén az eredeti egzakt rendszer határátmeneteként adódik. A határátmenet egzakt bizonyítását, különböző esetekre a [192, 193, 194] cikkek tartalmazzák. Ezen eredményeket az értekezés 6.1. szakaszában tárgyaljuk. Adaptív hálózatok Az adaptív hálózatokkal kapcsolatos munkánk keretében olyan folyamatokat tanulmányoztunk, amelyeknél az élek létrehozása és megszüntetése a csúcsok állapotától függ. Ez a járványterjedés esetében például azzal motiválható, hogy a fertőzöttekkel a többi csúcs igyekszik megszűntetni a kapcsolatát, és ezzel egyidejűleg új kapcsolatokat hoz létre. A neurális hálózatok modellezése során is fontos annak vizsgálata, hogy a folyamat során maga a gráf hogyan változik, ennek például az embrionális fejlődés során van hatása az agy kialakulására. Az előző vizsgálatainkhoz hasonlóan a csúcsok kétféle állapotban lehetnek, fertőzött (I) és egészséges ( S). Így háromféle él fordulhat elő a gráfban SS, SI és II típusú. Ezek létrehozására és megszüntetésére három-három rátát adtunk meg, és felírtunk egy öt-változós differenciálegyenlet rendszert az S és I típusú csúcsok, valamint a háromféle él számának megváltozására. A rendszerben két paraméter a csúcsok típusának megváltozásával kapcsolatos, hat paraméter pedig az élek létrehozását és elvágását jellemzi. Ebben a rendszerben számos bifurkáció fordulhat elő. A [191] dolgozatban a differenciálegyenlet megoldásait hasonlítottuk össze a Monte-Carlo szimulációból kapott eredményekkel, és azt vizsgáltuk, hogy az élek változását meghatározó dinamikától függően milyen egyezést mutat a kétféle megközelítés. A rendszerben megjelenő bifurkációk elméleti vizsgálatát a [195] dolgozatban közöltük. Kiderítettük, hogy legfeljebb három egyensúlyi pont lehet, melyek közül az egyik a triviális, ún. fertőzés nélküli egyensúly, melyben az I csúcsok száma nulla. Háromféle bifurkációt találtunk a rendszerben. Az első a fertőzés nélküli egyensúlyban megjelenő transzkritikus bifurkáció, melynek során a triviális egyensúly elveszíti stabilitását, és egy ún. endemikus egyensúly jelenik meg. A második bifurkáció nyereg-csomó típusú, ennek során két endemikus egyensúly jöhet létre. Végül az egyik endemikus egyensúlyban Hopf-bifurkáció következhet be, amely szuperkritikus típusúnak bizonyul, mivel stabil határciklushoz vezet.

14 1 1. FEJEZET. BEVEZETÉS

15 2. fejezet Reakció-diffúzió egyenletek stacionárius megoldásai Ebben a fejezetben az egy reakció-diffúzió egyenletre (m = 1) vonatkozó, stacionárius megoldások számával kapcsolatos eredményeinket ismertetjük. Legyen Ω R n sima határú tartomány, a legtöbb esetben ez gömb lesz, és tekintsük a u + f(u) = szemilineáris elliptikus egyenletet azonosan nulla Dirichlet peremfeltétel, azaz u Ω = mellett. Vizsgálatunk tárgya a pozitív megoldások száma. A kérdésfelvetés ilyen formában nagyon általános, az irodalomban több ezer publikáció található ezzel kapcsolatosan, melyek különböző tartományok és különböző nemlinearitások esetén tárgyalják a kérdést. (A Mathematical Reviews keresője az "elliptic positive solution" szavakra mintegy 65 találatot ad.) Általános tartomány esetén a megoldások számának vizsgálatára topológiai, variációs és monoton módszereket, valamint bifurkációs technikákat alkalmaznak. A nemlinearitások tekintetében jelentős és gyors fejlődésnek lehetünk tanúi az irodalmat tanulmányozva. Először monoton f függvények esetén vizsgálták a kérdést, majd a konkáv és konvex függvények után olyanok következtek, melyek egy szakaszon konvexek egy másikon pedig konkávak. Az eredmények nagyrészt a megoldás létezéséről, illetve egyértelműségéről szólnak. Több megoldás létezésének bizonyítása jóval nehezebb feladat, a megoldások pontos számának eldöntése pedig csak speciális esetekben sikerül. Az általunk kitűzött cél az általános kérdésfelvetésnél annyiban egyszerűbb, hogy gömb tartományon vizsgáljuk a feladatot, viszont szeretnénk a megoldások pontos számát megadni, legalábbis bizonyos nemlinearitások esetén. A továbbiakban tehát a u + f(u) = B R -ben (2.1) u = B R -en (2.2) peremérték-problémát vizsgáljuk, ahol B R az origó közepű R sugarú gömb. Gömb tartomány esetén a pozitív megoldásokról ismert, hogy radiálisan szimmetrikusak [62], ezért a feladat az alábbi, közönséges differenciálegyenletre vonatkozó 11

16 12 2. FEJEZET. STACIONÁRIUS MEGOLDÁSOK peremérték-feladatra redukálódik. ru (r) + (n 1)u (r) + rf(u(r)) = (2.3) u () =, u(r) =. (2.4) Célunk tehát ezen feladat pozitív megoldásainak pontos számát meghatározni. A fejezet felépítése a következő. Először a mi vizsgálatainkhoz kapcsolódó ismert eredményeket tárgyaljuk, majd vizsgálatunk eszközével a "time-map" leképezéssel kapcsolatos alapvető definíciókat és tételeket ismertetjük. Ezt követően mutatjuk be a konvex f függvényekre, kvázilineáris egyenlet esetén p-konvex függvényekre, valamint szinguláris nemlinearitásokra vonatkozó eredményeinket. Végül a stacionárius megoldások stabilitásáról szóló eredményeinket ismertetjük Irodalmi áttekintés Az irodalomban a (2.1)-(2.2) peremérték-feladat helyett legtöbbször a u + λf(u) = B 1 -ben (2.5) u = B 1 -en (2.6) problémát vizsgálják, melyben az R helyett a λ a paraméter. Egyszerű változótranszformáció mutatja, hogy a két feladat az R 2 = λ helyettesítéssel ekvivalens. Ugyanis, ha u megoldása a (2.1)-(2.2) problémának, akkor U(y) = u( λy) megoldása a (2.5)- (2.6) feladatnak. Ebben a szakaszban a (2.5)-(2.6) peremérték-feladattal kapcsolatos eredményeket foglaljuk össze. Megjegyezzük, hogy számos dolgozat foglalkozik a feladattal más tartományokon, például gyűrű alakú tartományon, vagy teljes téren [95]. Ezeket az eredményeket itt nem ismertetjük. A vizsgálatok természetesen az f(u) = u lineáris esetből indultak ki, amelynél pontosan akkor létezik pozitív megoldás, ha λ = λ 1, a operátor sajátértéke. (Ekkor végtelen sok pozitív megoldás van). Az első nem-lineáris eredmény az f(u) = u p függvényre vonatkozott, Pohozaev 1965-ben bebizonyította [122], hogy pontosan akkor létezik pozitív megoldás, ha p < n+2 n 2. A bizonyítás két új gondolaton alapult. Pohozaev egyrészt levezetett egy (később róla elnevezett) azonosságot, melynek radiális megoldásokra vonatkozó alakját, (2.26)-t, később használni fogjuk. Ennek segítségével egyszerűen látható, hogy p n+2 n 2 esetén nincs megoldás. Másrészt variációs módszer alkalmazásával igazolta, hogy p < n+2 n 2 esetén van pozitív megoldás (amely egy megfelelően választott funkcionál feltételes szélsőértéke), sőt ez egyértelmű is. Pohozaev ezen eredménye nagy hatással volt a későbbi vizsgálatokra. Joseph és Lundgren 1973-ban az f(u) = (1+u) p esetet vizsgálták [78]. Kiderült, hogy p = n+2 n 2 esetén itt is jelentősen megváltozik a megoldások száma. Míg a kritikus érték alatt pontosan kettő megoldás van, ha λ egy adott érték alatt van, és nincs megoldás ezen érték feletti λ esetén, addig p > n+2 n 2 esetén olyan λ értékek is vannak, amelyeknél végtelen sok pozitív megoldás van. A megoldások pontos számát fázissík analízissel tudták meghatározni, az egyenletet autonóm két-változós rendszerré transzformálva. A későbbi intenzív kutatásokat Brezis és Nirenberg 1983-as cikke [28] indította el. Ebben foglalkoztak először az f(u) = u p + u q esettel, elsősorban akkor, amikor

17 2.1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS 13 p = n+2 n+2 n 2 és 1 q < n 2. A q = 1 esetben igazolták, hogy a megoldás létezésének feltétele n 4 esetén λ < λ 1, n = 3 esetén pedig λ (λ 1 /4, λ 1 ). A q > 1 esetben megmutatták, hogy bármely pozitív λ választása mellett létezik megoldás, ha n 4, vagy n = 3 és 3 < q < 5 (ekkor a kritikus kitevő n+2 n 2 = 5). Az n = 3 és 1 < q 3 esetben megmutatták, hogy csak bizonyos λ értékek felett van megoldás. Brezis és Nirenberg ezen cikke nyomán sokan vizsgálták a megoldások pontos számát. Míg Brezis és Nirenberg általános tartományon tanulmányozták a kérdést, addig a megoldások pontos számával kapcsolatos eredmények elsősorban a gömb tartomány és radiális megoldások esetére vonatkoztak. Atkinson és Peletier ban megmutatták [8], hogy az előbb említett p = 5, n = 3 és 1 < q 3 esetben gömbön létezik legalább két pozitív megoldás, ha λ bizonyos érték felett van. Ezután az eredmény után intenzív kutatás indult meg azzal a céllal, hogy kiderítsék, mely n és 1 q < p < n+2 n 2 értékek mellett lesz az f(u) = up +u q esetben a pozitív megoldás egyértelmű. A q = 1 esetben az egyértelműséget különböző módszerekkel egymástól függetlenül többen is bebizonyították: Zhang [153], illetve Kwong és Li [97] 1992-ben, Srikanth [138] 1993-ban, valamint Adimurthi és Yadava [1] (kvázilineáris egyenletre is) 1994-ben. Ezekben a dolgozatokban az egyértelműséget p = n+2 n 2 esetén is igazolták. Ha q > 1, akkor láttuk, hogy p = n+2 n 2 esetén lehet két megoldás is, azonban a p < n+2 n 2 esetben csak egyértelműségi eredmények vannak. Az első, korai eredmény Ni és Nussbaum nevéhez fűződik [114]. Már 1985-ban bebizonyították, hogy 1 q < p < n n 2 esetén a megoldás egyértelmű. Zhang 1995-ben [154] azt mutatta meg, hogy n(p 1) 2(q + 1) esetén egyértelmű a megoldás. Végül Erbe és Tang 1997-ben [54] bebizonyították, hogy p 1 q < p < n+2 n 2 esetén a megoldás egyértelmű. Ez utóbbi eredményből az is következik, hogy ha n 6, akkor a teljes vizsgált tartományban, azaz 1 q < p < n+2 n 2 esetén egyértelmű a megoldás, ugyanis n 6 esetén n+2 n 2 2, így p 1 q automatikusan teljesül. A három dolgozat [54, 114, 154] eredményét érdemes a (p, q) paraméter síkon összehasonlítani, amint a 2.1. ábrán látható az n = 3 esetben. Az 1 q < p < n+2 n 2 háromszögben a megadott szakaszoktól balra eső részben igazolták a fenti dolgozatok szerzői az egyértelműséget. Mint láttuk, n 6 esetén az egész háromszögben egyértelműség van, azonban 2 < n < 6 esetén a háromszög bizonyos részein a megoldások száma nem ismert. Numerikus vizsgálataink azt mutatják, hogy az egyértelműség nem is igaz a háromszög jobboldali éle mellett. A < q < 1 esetet is többen vizsgálták a megoldások száma szempontjából. Ouyang és Shi 1999-ben igazolták [116], hogy n 4 és 1 < p < n n 2 esetén egy bizonyos λ érték alatt két megoldás van, felette pedig nincs megoldás. Yadava [149] megmutatta, hogy ez az állítás n = 3 esetén és valamivel bővebb (p, q) tartományban is igaz. Ez a tartomány azonban még nem fedte le a < q < 1 < p n+2 n 2 téglalapot. Végül Tang 23-ban igazolta, hogy az állítás fennáll a teljes téglalapban [141]. A < q < p < 1 háromszögben található p és q értékekre az f(u) = u p + u q függvény szublineáris, ezért minden λ esetén pontosan egy pozitív megoldása van a (2.5)-(2.6) peremérték-feladatnak, általános tartomány esetén is [29]. A szuperkritikus (p > n+2 n 2 ) tartomány nagy részében nem ismert a megoldások

18 14 2. FEJEZET. STACIONÁRIUS MEGOLDÁSOK q n=3 Zhang Ni, Nussbaum Erbe, Tang p 2.1. ábra. A (2.5)-(2.6) peremérték-feladat megoldásának egyértelműsége f(u) = u p + u q és n = 3 esetén. A [54, 114, 154] dolgozatokban adott feltételek összehasonlítása. Az egyértelműség az 1 q < p < n+2 n 2 háromszögben a megadott szakaszoktól balra eső részben teljesül. Az n = 3 esetben a kritikus érték n+2 n 2 = 5, és a [114] dolgozatban n szereplő határ n 2 = 3. pontos száma. Mindössze annyit mondhatunk, hogy ha p > q > n+2 n 2, akkor a Pohozaev-azonosságból egyszerűen következik, hogy nincs megoldás. A fenti összefoglalást az f(u) = u p +u q függvény esetére végeztük el, azonban az említett dolgozatok nagy része általánosabb f függvényekre vonatkozik. Pohozaev [122] dolgozata után többen vizsgálták a konvex f függvény esetét. Mint láttuk, már az f(u) = (1 + u) p esetében is rendkívül bonyolult lehet a bifurkációs diagram, ezért konvex esetben csak az n = 1 esetben lehet teljes leírást adni. Laetsch dolgozatai [98, 99] és Schaaf [13] könyve nyomán megadtuk a bifurkációs diagrammok teljes osztályozását konvex f és n = 1 esetén [178]. A konvex esethez képest konkáv f függvényekre teljesebb leírás adható több dimenziós tartományok esetén is. Erről számos eredményt olvashatunk Castro és munkatársai dolgozataiban [34, 35, 36]. A konvex-konkáv típusú nemlinearitások (amikor f egy szakaszon konvex, egy másikon pedig konkáv) vizsgálata Ambrosetti, Brezis és Cerami cikkével kezdődött [5]. Ebben az esetben elsősorban az f(u) = u p u q, f(u) = u p + u q (q < 1), illetve f(u) = u(u b)(c u) függvények adják a vizsgálatok motivációját. Ezekkel számos szerző foglalkozott [54, 9, 91, 115, 116, 147, 155]. Kiemelendő Ouyang és Shi [116] dolgozata, melyben bizonyos kiegészítő feltételeket teljesítő konvex-konkáv típusú nemlinearitások esetén megadják a bifurkációs diagrammok teljes osztályozását A "time-map" módszer Ebben a szakaszban bemutatjuk vizsgálataink legfontosabb eszközét az ú.n. célbalövéses, vagy "time-map" módszert. A módszer lényege, hogy a (2.3) differenciálegyenletet először a (2.4) peremfeltétel helyett az u() = c, u () = (2.7)

19 2.2. A "TIME-MAP" MÓDSZER 15 kezdeti feltétellel tekintjük. Az egyenlet az r = pontban adott kezdeti feltétel mellett szinguláris, így a hagyományos egzisztencia és unicitás tétel nem alkalmazható. Azonban annak bizonyításához hasonlóan igazolható, hogy a fenti kezdeti feltétel mellett létezik egyetlen C 2 megoldás u(, c) bármely c > esetén [137]. Ezután a peremérték-probléma megoldását az ú.n. célbalövéses módszerrel keressük (shooting), azaz a c értékét változtatjuk mindaddig, amíg olyan megoldást kapunk, amelynek első gyöke a R pontban van. Ehhez definiáljuk az alábbi leképezést (timemap). T(c) = min{r > : u(r, c) = } ; D(T) = {c > : r > u(r, c) = }. (2.8) A (2.3)-(2.4) peremérték-probléma pozitív megoldásainak száma tehát egyenlő a T(c) = R egyenlet c-re kapott megoldásainak számával. Ennek meghatározásához a T leképezés alábbi tulajdonságaira van szükség: T értelmezési tartománya; T határértéke az értelmezési tartomány határpontjaiban; T monotonitása az értelmezési tartomány részintervallumaiban. A következő szakaszokban a time-map fenti három tulajdonságának általános vizsgálatával foglalkozunk A "time-map" monotonitása A monotonitás meghatározásához célszerű a T függvényt meghatározó u(t(c), c) u(r, c) >, < r < T(c) implicit egyenletet használni. Az egyenletet differenciálva, a T függvény deriváltjára az alábbi adódik r u(t(c), c)t (c) + c u(t(c), c). (2.9) A T szélsőértékeinek vizsgálatakor szükség van a második derivált előjelére azokban a pontokban, ahol az első derivált eltűnik. A fenti egyenletet deriválva azt kapjuk, hogy T (c) = esetén r u(t(c), c)t (c) + 2 cu(t(c), c) =. (2.1) A (2.9) és (2.1) egyenletekben szereplő c szerinti parciális deriváltakat a variációs egyenletből határozhatjuk meg. A továbbiakban az f függvényről mindig feltételezzük a kellő simaságot a megfelelő deriváltak létezéséhez. Deriváljuk tehát a (2.3) differenciálegyenletet c szerint. Bevezetve a h(r, c) = c u(r, c), z(r, c) = 2 cu(r, c) függvényeket, az alábbi kezdetiérték-feladatokat kapjuk rh (r, c) + (n 1)h (r, c) + rf (u(r, c))h(r, c) = (2.11) h(, c) = 1, h (, c) =, (2.12)

20 16 2. FEJEZET. STACIONÁRIUS MEGOLDÁSOK rz (r, c) + (n 1)z (r, c) + rf (u(r, c))z(r, c) + rf (u(r, c))h 2 (r, c) = (2.13) z(, c) =, z (, c) =,(2.14) Ezen függvények segítségével a (2.9) és (2.1) egyenletek az alábbi alakba írhatók u (T(c), c)t (c) + h(t(c), c) =, (2.15) u (T(c), c)t (c) + z(t(c), c) =, (2.16) ahol az utóbbi csak T (c) = esetén áll fenn. Vegyük észre, hogy ezekben az egyenletekben u (T(c), c) <, hiszen T(c) az u függvény első zérushelye. Így T (c) és T (c) előjelét a h és z függvény előjele határozza meg. Ezen függvények gyökeinek elhelyezkedését a Sturm-féle szeparációs tétel segítségével fogjuk vizsgálni. Ezen tételek alkalmazásakor szükség lesz a v(, c) = u (, c) függvényre. Az erre vonatkozó differenciálegyenletet és kezdeti feltételt az u függvényre vonatkozó (2.3) differenciálegyenletből (pontosabban annak r-rel elosztott alakjából), valamint a (2.7) kezdeti feltételből r szerinti deriválással kapjuk rv (r, c) + (n 1)v (r, c) + (rf (u(r, c)) n 1 )v(r, c) = (2.17) r v(, c) =, v (, c) = f(c) n. (2.18) A deriváltra vonatkozó kezdeti feltételt a (2.3) differenciálegyenletből u () kifejezésével és a L Hospital-szabály alkalmazásával kapjuk. Az alábbiakban, ha nem okoz félreértést, akkor az u, h, z, v függvények második változóját nem írjuk ki, tehát például u(r, c) helyett u(r)-et írunk. A továbbiakban alapvető fontosságú lesz az alábbi Lemma [178] Lemma. Ha n = 1, akkor a h függvénynek legfeljebb egy gyöke lehet a [, T(c)] intervallumban. Bizonyítás. Az n = 1 esetben a h és v függvényre vonatkozó (2.11) és (2.17) differenciálegyenlet megegyezik. Ezért a Sturm-féle szeparációs tétel szerint a két függvény gyökei elválasztják egymást. Ha a h függvénynek lenne két gyöke a [, T(c)] intervallumban, akkor a v függvénynek is lenne gyöke, azaz u valahol lenne a (, T(c)) intervallumban. Ez azonban lehetetlen, ugyanis egyrészt a radiális szimmetriára vonatkozó [62] cikkbeli tételből u (r) < is következik minden r (, T(c)] esetén, másrészt ez elemien is igazolható, ahogy hamarosan látni fogjuk. A Lemmát a [178] dolgozatban bizonyítottuk ilyen egyszerű formában, ugyanis ennek segítségével konvex nemlinearitás esetén teljes leírás adható a megoldások pontos számáról. A későbbi vizsgálatokban alapvető szerepet játszik az alábbi feltétel, melynek az irodalomban "disconjugacy" feltétel a neve: A h függvénynek legfeljebb egy gyöke lehet a [, T(c)] intervallumban. (2.19) A Lemma szerint, ez bármely f függvény esetén teljesül, ha n = 1. Azonban n > 1 esetén csak bizonyos függvényekre igaz. Amint ez közvetve már ismert volt, a (2.19)

21 2.2. A "TIME-MAP" MÓDSZER 17 feltétel nem igaz például az f(u) = (1+u) p függvény, és p > n+2 n 2 esetén [78], valamint az f(u) = u 5 + u 2 függvény és n = 3 esetén [8]. A feltétel teljesülésének bizonyítása a legtöbb esetben meglehetősen nehéz. Azonban mivel kulcsszerepet játszik a megoldások pontos számának meghatározásában, azért számos speciális esetben igazolták n > 1 esetén is. Az f(u) = u p + λu q függvény esetében különböző p és q értékekre a 2.1. szakaszban felsorolt dolgozatok mindegyikében, ahol egyértelműséget igazolnak, bebizonyítják a (2.19) feltételt. Az f(u) = u p λu függvény esetében Kwong [96] és McLeod [18] igazolták a feltétel teljesülését. Nézzük meg most, hogy a T deriváltjaira vonatkozó fenti képletek a Sturm-féle szeparációs tétel segítségével hogyan használhatók a T monotonitásának eldöntésére. A Sturm-féle szeparációs tétel közvetlen alkalmazása helyett, az annak bizonyításában használt alábbi azonosságot fogjuk használni. Legyenek u 1, u 2 : [r 1, r 2 ] R kétszer folytonosan differenciálható függvények. Ekkor r2 (r n 1 u 1(r)) u 2 (r) (r n 1 u 2(r)) u 1 (r)dr = (2.2) r 1 r n 1 2 (u 1(r 2 )u 2 (r 2 ) u 1 (r 2 )u 2(r 2 )) + r n 1 1 (u 1 (r 1 )u 2(r 1 ) u 1(r 1 )u 2 (r 1 )) Állítás. Tegyük fel, hogy teljesül a (2.19) feltétel és f szuperlineáris, azaz uf f(u) (u) f(u) > minden u > esetén, (vagy másszóval u szigorúan monoton növő). Ekkor fennáll T <. Bizonyítás. Az u és h függvényekre (2.3) és (2.11) alapján fennállnak az (r n 1 u ) + r n 1 f(u) =, (r n 1 h ) + r n 1 f (u)h = (2.21) differenciálegyenletek. Szorozzuk meg az első egyenletet h-val, a másodikat pedig u- val, vonjuk ki egymásból a kettőt, majd integráljunk a [, T(c)] intervallumon. Ekkor a (2.2) azonosságot alkalmazva r 1 =, r 2 = T(c), u 1 = u, u 2 = h esetén T(c) r n 1 h(r) ( u(r)f (u(r)) f(u(r)) ) dr = (T(c)) n 1 u (T(c))h(T(c)). Ebből következik, hogy a h függvénynek van gyöke a [, T(c)] intervallumban, ugyanis, ha nem lenne ott gyöke, akkor a baloldal pozitív, a jobboldal pedig negatív lenne. Most kap szerepet a (2.19) feltétel, ugyanis ekkor a 2.1. Lemma miatt a h függvénynek nem lehet több gyöke, tehát h(t(c)) <. Ebből viszont (2.15) szerint következik T (c) < Állítás. Legyen n 1, és tegyük fel, hogy f szublineáris, azaz uf (u) f(u) < minden u > esetén, (vagy másszóval f(u) u szigorúan monoton fogyó). Ekkor fennáll T >. Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy a h függvénynek nincs gyöke a [, T(c)] intervallumban. Ugyanis tegyük fel, hogy h(r ) = és r a h első gyöke, (ezért h (r ) < ). Szorozzuk meg a (2.21) első egyenletét h-val, a másodikat pedig u-val, vonjuk ki

22 18 2. FEJEZET. STACIONÁRIUS MEGOLDÁSOK egymásból a kettőt, majd integráljunk a [, r ] intervallumon. Ekkor a (2.2) azonosságot alkalmazva r 1 =, r 2 = r, u 1 = h, u 2 = u esetén r r n 1 h(r) ( f(u(r)) u(r)f (u(r)) ) dr = (r ) n 1 u(r )h (r ). Ekkor a baloldal pozitív, a jobboldal pedig negatív, amely azt igazolja, hogy a h függvénynek nincs gyöke a [, T(c)] intervallumban. Így tehát h(t(c)) >, melyből (2.15) szerint következik T (c) >. Megjegyezzük, hogy a szuperlinearitás és a szublinearitás a függvény konvexitásával függ össze, hiszen az l(u) = uf (u) f(u) függvényre l (u) = uf (u). Ezért f > és f() esetén, l() és l (u) >, így uf (u) f(u) = l(u) >, amennyiben u >. Hasonlóan f < és f() esetén, l() és l (u) <, így uf (u) f(u) = l(u) <, amennyiben u >. Tehát az alábbi egyszerű Állítás áll fenn Állítás. Ha f > és f(), akkor f szuperlineáris. Ha f < és f(), akkor f szublineáris. A T függvény monotonitásának vizsgálata után térjünk rá most szélsőértékeinek vizsgálatára Állítás. Tegyük fel, hogy a (2.19) feltétel teljesül és f >. Ekkor T (c) = esetén fennáll T (c) <, azaz T szélsőértéke csak maximum lehet. Bizonyítás. A T (c) = feltételből (2.15) szerint következik h(t(c)) =. Így a (2.19) feltétel miatt h(r) > a [, T(c)) intervallumban. Végezzük el a h és z függvény Sturm-féle összehasonlítását. Ezekre a függvényekre (2.11) és (2.13) alapján fennállnak a (r n 1 h ) + r n 1 f (u)h =, (r n 1 z ) + r n 1 (f (u)z + f (u)h 2 ) = (2.22) differenciálegyenletek. Szorozzuk meg az első egyenletet z-vel, a másodikat pedig h- val, vonjuk ki egymásból a kettőt, majd integráljunk a [, T(c)] intervallumon. Ekkor a (2.2) azonosságot alkalmazva r 1 =, r 2 = T(c), u 1 = h, u 2 = z esetén T(c) r n 1 h 3 (r)f (u(r))dr = (T(c)) n 1 h (T(c))z(T(c)). Mivel a baloldal pozitív és h (T(c)) < (hiszen T(c) a h első gyöke), azért z(t(c)) <, melyből (2.16) szerint következik T (c) <. Teljesen hasonlóan igazolható az alábbi Állítás. Tegyük fel, hogy a (2.19) feltétel teljesül és f <. Ekkor T (c) = esetén fennáll T (c) >, azaz T szélsőértéke csak minimum lehet. Ezen állítások lehetővé teszik, hogy n = 1 esetén teljes leírást adjunk konvex és konkáv f esetén a megoldások számáról. Ehhez azonban még szükség van a T értelmezési tartományának és határértékeinek meghatározására. Ezekkel foglalkozunk a következő szakaszokban.