Fejezetek a. csodálatos életéből

Átírás

1 Fejezetek a prímszámok csodálatos életéből

2 Bolyai János véleménye Az egész számtan, sőt az egész tan mezején alig van szebb és érdekesebb s a legnagyobb nyitászok (matematikusok) figyelme és eleje óta elfoglalt tárgy mint a főszámok (prímszámok) oly mély homályban rejlő titka.

3 Értelmezés Az a természetes szám osztója a b természetes számnak, ha van olyan c természetes szám, hogy a és c szorzata éppen b. Minden természetes számnak osztója az 1 és maga a szám. Ezek a szám nem valódi osztói. Minden más osztó valódi osztó. Ha egy számnak valódi osztói is vannak, akkor az a szám összetett szám. Ha egy számnak csak nem valódi osztói vannak, akkor az a szám törzsszám. Egy 0-tól és 1-től különböző természetes számot prímszámnak nevezünk, ha két szám szorzatának pontosan akkor osztója, ha valamelyik tényezőnek osztója.

4 Prímtulajdonság A természetes számok körében a törzsszámok megegyeznek a prímszámokkal. Minden törzsszám prímszám és minden prímszám törzsszám. Így azok a természetes számok lesznek prímszámok, amelyeknek csak az 1 és maga a szám az osztója, azaz csak két osztójuk van. Ezek pedig: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,

5 A prímek számáról Végtelen sok prímszám van. (Euklidesz) Tegyük fel, hogy véges sok prímszám van. Ekkor ezek szorzata összetett szám. Ha ezt a számot 1-gyel megnöveljük, akkor annak nem lesz osztója a véges sok prímszám közül egyik sem. Az így kapott szám nem lehet összetett szám, akkor viszont prím. Konstruáltunk egy olyan prímszámot, amely a véges sok ismert prímtől különböző. Így nem lehet igaz az a feltevés, hogy véges sok prímszám van. Ez viszont azt jelenti, hogy végtelen sok prímszám van.

6 Eratoszthenészi-szita Prímszámok megtalálására szolgáló eljárás, amely során egy-egy prím többszöröseit kivesszük a lehetséges prímek közül.

7 A számelmélet alaptétele Minden összetett szám a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen írható fel prímszámok hatványainak szorzataként. Például: 18 = = 3 23 Felhasználható: Legnagyobb közös osztó: (18; 69) = 3 Legkisebb közös többszörös: [18; 69] = = 414 Osztók száma: τ(18) = 2 3 = 6 τ(69) = 2 2 = 4

8 Goldbach-sejtés (1742.) Minden 2-nél nagyobb páros természetes szám előáll két páratlan prímszám, vagy az 1 és egy páratlan prímszám összegeként. Például: 22 = = = = = = = Minden 5-nél nagyobb páratlan természetes szám előáll három páratlan prímszám összegeként. Például: 69 = = =

9 A prímszámok eloszlása A szomszédos prímszámok között akármekkora hézagok előfordulnak. (Azaz tetszőleges hosszúságú prímszámmentes intervallum van.) Tekintsük a következő számokat: n! + 2, n! + 3, n! + 4,, n! + n (Megjegyzés: n! = n (n 1) (n 2) 3 2 1) Ez n 1 egymást követő szám, amelyek egyike sem prím, hiszen rendre oszthatók 2-vel, 3-mal, 4-gyel, és végül n-nel. Például: Ha n = 6, akkor 722 és 726 között nincs prím.

10 A prímszámok eloszlása Egy pozitív egész szám és a kétszerese között mindig van prímszám. Azaz bármely n esetén található olyan p prímszám, hogy n < p 2n. (Csebisev-tétel) Például: vagy A tétel egyszerű bizonyítását 19 évesen adta meg Erdős Pál ( ). Előtte már bizonyította 1850 körül Csebisev is. A mai napig nem sikerült még rájönni arra, hogy mindig van-e prímszám két négyzetszám között.

11 A prímszámtétel A prímszámok eloszlásáról a legtöbbet a prímszámtétel mondja, amelyet Hadamard és de la Valle-Poussin egymástól függetlenül bizonyított be 1896-ban. (Erdős és Selberg meg adott egy egyszerűbb bizonyítást ben.) Legyen x pozitív valós szám. Ekkor (x) jelölje az x-nél nem nagyobb prímek számát. Pl.: (10) = 4 (ezek 2, 3, 5, 7); (100) = 25; (1000) = 168 A prímszámtétel a következőt állítja: ( ) ( ) ~ x π x π x lim 1 ln x = x x ln x Például: 10 / ln10 4, / ln100 21, / ln ,76

12 Prímszámképletek Azt tényként közölhetjük, hogy nincs olyan nem konstans, egyváltozós polinom, amelynek minden helyettesítési értéke prímszám lenne. De vannak olyan polinomok, amelyek helyettesítési értékei prímek bizonyos számú, egymás után következő értékek esetén. A legismertebb: f(x) = x 2 + x + 41, ha 0 x < 40. Leonhard Euler ( ) egyik prímeket generáló képlete. Számítógépek segítségével meggyőződtek arról, hogy ez a képlet meglepően jól működik. Ugyanis a 10 millió alatti értékeknél 47,5%- ban prímeket eredményezett.

13 Prímszámképletek Szintén Euler érdeme az f(x) = x 2 + x + 17 képletet, amely prímeket ad, ha 0 x < 16. (Az Ulam-spirál főátlójában lévő prímek.) Ugyancsak prímeket ad az f(x) = x 2 79x polinom, ha 0 x < 80. (Escott) És egy újabb: f(x) = x 4 97x x x , ha 0 x < 50.

14 Nevezetes prímszámok A számelmélet számos mély tétele, nevezetes problémája foglalkozik azzal, hogy léteznek-e bizonyos alakú prímek. Az viszonylag könnyen belátható, hogy végtelen sok 4k 1 alakú prím van. (Például: 3, 7, 11, 19, 23, ) Kicsit nehezebb annak a bizonyítása (de megcsinálható), hogy a 4k + 1 alakú prímszámokból is végtelen sok van. (Például: 5, 13, 17, 29, ) Ezek viszont mindig előállíthatók két négyzetszám összegeként. Viszont a mai napig nem sikerült még belátni azt, hogy végtelen sok k alakú prímszám van. (Például: 2, 5, 17, 37, )

15 Fermat-prímek A Fermat-számok a 2 2 n + 1 alakú számok. Az ilyen alakú prímszámok a Fermat-prímek. Például: 3, 5, 17, 257, (Csak ezek ismertek. Azt sejtik, hogy nincs is több.) Pierre de Fermat ( ) Az triviális, hogy végtelen sok Fermatszám van. De az is belátható, hogy bármely kettő ezek közül relatív prím (legnagyobb közös osztójuk az 1).

16 Szabályos sokszögek Karl Friedrich Gauss ( ) bizonyította be a szabályos sokszögek szerkeszthetőségére vonatkozó tételt. Egy szabályos n-szög akkor és csak akkor szerkeszthető körzővel és vonalzóval, ha n = 2 k p 1 p 2 p r ahol k = 0, 1, 2, és p 1, p 2,, p r mind különböző Fermat-prímek.

17 Szabályos sokszögek A jelenleg ismert öt Fermat-prím: 3, 5, 17, 257, 65537, így az ilyen oldalszámú szabályos sokszögek szerkeszthetők. Szabályos ötszög Szabályos tizenhétszög Gauss síremlékén látható szabályos tizenhétcsillag Szabályos 257-szög És szerkeszthető még a szabályos hatszög, tizenkétszög, tízszög, tizenötszög, stb.

18 Mersenne-prímek A Mersenne-számok a 2 p 1 alakú számok, ahol p prímszám. Közülük a prímek a Mersenne-prímek. Például: 3, 7, 31, 127, 8191 Marin Mersenne ( ) Az látható, hogy a Mersenne-számok is végtelen sokan vannak. De azt még nem sikerült belátni, hogy a Mersenneprímek száma is végtelen.

19 Mersenne-prímek Jelenleg 47 Mersenne-prímet ismerünk. A 45. Mersenne-prím a ma ismert legnagyobb prímszám, számjegyből áll augusztus 23-án bukkantak rá: április 12-én találták meg a 47. Mersenne-prímet, amelynek számjegye van, tehát kisebb mint a 45. Mersenne-prím:

20 GIMPS 1996-ban jött létre az Amerikai Egyesült Államokban a Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) nevű szervezet. Akik csatlakoznak hozzá, jogosultak lesznek annak a programnak a használatára, amely ellenőrzi egy újabb Mersenne-számról a lehetséges prímségét. Ha a program lefut (ez napot jelent), és jelzi, hogy van remény arra, hogy a vizsgált szám Mersenne-prím legyen, akkor lefuttatnak egy prímtesztet (Lucas-Lehmer-teszt) néhány szuperszámítógépen, hogy ellenőrizhessék a prímtulajdonságot.

21 Csupa 1 prímek Ők olyan prímszámok, amelyek tízes számrendszerbeli alakja csak 1-es számjegyet tartalmaz.. Például: (19 számjegy) (23 számjegy) A következőnek 317, az azt követőnek pedig 1031 számjegye van.

22 Szuperprímek Azok a prímszámok lesznek szuperek, amelyeknek a prímszámok sorozatában vett indexe is prímszám. Például: Index Prímszám

23 Ikerprímek A p és p + 2 alakú prímeket ikerprímeknek nevezzük. (Olyan prímek, amelyek különbsége 2.) Például: 3 5, 5 7, 11 13,, , A mai napig nem sikerült még igazolni, hogy az ikerprímek száma is végtelen. A jelenleg ismert legnagyobb ikerprímek (2009-ből): és

24 Unokatestvér prímek A p és p + 4 alakú prímeket unokatestvér prímeknek nevezzük. (Olyan prímek, amelyek különbsége 4.) Például: 3 7, 7 11, 13 17,, ,

25 Szexi prímek A p és p + 6 alakú prímeket szexi prímeknek nevezzük. (Olyan prímek, amelyek különbsége 6.) Például: 5 11, 7 13, 11 17,, ,

26 Álprímek Egy páratlan összetett N számot a alapú (Fermat-féle) álprímnek nevezünk, ha az a N 1 -nek az N-nel vett osztási maradéka 1. Például: es alapú álprím Legyen N páratlan összetett szám, és N 1 = 2 s d, ahol d páratlan. Az N számot a alapú dörzsölt álprímnek nevezzük, ha az a d -nek az N- nel vett osztási maradéka 1 vagy az a 2 r d -nek az N-nel vett osztási maradéka 1, valamely r = 1, 2, 3,, r 1 számok esetén. Például: Ilyet nehéz találni. 25 milliárdig mindössze 13 olyan dörzsölt álprím van, amely a 2, 3, 5 alapokra egyaránt álprímnek bizonyul.

27 Prímsorok A prímszámok reciprokából álló sor = k = 1 pk Tétel biztosítja azt a kellemes tényt, hogy a prímszámok reciprokából álló sor divergens, azaz a végtelen sok prímszám reciprokát összeadva az eredmény végtelen.

28 Prímsorok Az ikerprímszámok reciprokából álló sor Azt nem tudjuk, hogy véges vagy végtelen sok ikerprímszám van-e, de az biztos, hogy a reciprokaikból álló sor összege egy konkrét valós szám. Viggo Brun bizonyította ezt 1919-ben. Ez a szám pedig (közelítve): B 2 = 1,

29 Ulam-spirál Stanislaw Ulam lengyel matematikus 1963-ban egy rendkívül hosszú és unalmas értekezést hallgatott, amikor is felírta egy papírra 1-től kezdődően a számokat spirál alakban, negatív irányban.

30 Ulam-spirál Ulam meglepődve látta, hogy a spirálban a prímszámok átlós vonalak mentén helyezkednek el.

31 Ulam-spirál 10 millióig le is ellenőriztette Ulam egy számítógéppel az átlós elhelyezkedést, és az igaznak bizonyult. A as Ulam-spirál:

32 Ulam-spirál Ulam egy másik ábráján a 17 áll középen, és egészen 272-ig vezette a számokat. A prímszámok itt is átlós elrendezést mutatnak. Az átlóban található prímek éppen az Euler-féle f(x) = x 2 + x + 17 prímeket adó polinom helyettesítési értékei.

33 Geometriai elrendezések Reginald Brooks két érdekes elrendezést talált a prímszámokkal (2001.) Spirál mentén helyezkednek el a prímszámok szabályos tízszögek csúcsaira illeszkedve. Egy csillag mentén helyezkednek el a prímszámok ebben a konstrukcióban.

34 Prímcsillag Allan Johnson készítette az alábbi csillagot. Érdekessége, hogy 3-tól 71-ig tartalmazza a prímszámokat úgy, hogy minden vonal mentén a számok összege állandó, ráadásul az is prím, a 167.

35 Az RSA-algoritmus Ez egy olyan kódolási (titkosítási) eljárás, amely prímszámokat használ fel ban debütált a nyilvános kulcsú titkosítás ezen formája a MIT-en, Ronald Rivest, Adi Shamir és Len Adleman közreműködésével. Az eljárás legfőbb ötlete: Nagyon könnyű két prímszámot összeszorozni, de nagyon nehéz csak a szorzat ismeretében megadni, hogy mely prímeket is szoroztuk össze.

36 Az RSA-algoritmus Az algoritmus lépései: 1. Válasszunk véletlenszerűen két nagy prímszámot: p 1 és p Kiszámítjuk az m = p 1 p 2 és ϕ(m) = (p 1-1)(p 2-1) paramétereket, és választunk véletlenszerűen egy e számot (1 és ϕ(m) között) úgy, hogy e és ϕ(m) relatív prímek legyenek. 3. Kiszámítjuk e inverzét (d), amelyre ϕ(m) osztója lesz a d e 1 különbségnek. 4. Nyilvánosságra hozzuk: m és e; titokban tartjuk: d, p 1 és p Az x nyílt üzenetet az y-ra titkosítjuk úgy, hogy m osztója legyen az x e y különbségnek. (Az y ismeretében x visszafejthető, mert azt az x-et keressük, amelyre m osztója lesz az x y d különbségnek.)

37 Az RSA-algoritmus Példa: 1. A két prím legyen 73 és Ekkor m = = 11023, ϕ(m) = (73 1)(151 1) = Legyen e = 11. (Relatív prímek zal.) 3. Ekkor a 11 inverze kiszámítható és az 5891 lesz. 4. Nyilvánosságra hozzuk: és 11; titokban tartjuk: 5891, 73 és Ha x = 17-et kell titkosítani, akkor y = 1782-t kapunk.

38 A kutya különös esete Mark Haddon: A kutya különös esete az éjszakában (2004.) A könyv egy autista fiú, Christopher kalandjait meséli el. Ő nagyon sokat tud a matematikáról és a fizikáról, de nagyon keveset az emberi érzelmekről. Alighanem ő a világirodalom egyik legkülönösebb nyomozója; egy este ugyanis a szomszéd kutyáját döglötten, vasvillával átszúrva találja a kertben, és elhatározza, hogy kinyomozza, ki ölte meg a kutyát.

39 A kutya különös esete A 47. fejezetben olvasható a nevek számosításának ötlete. A betűknek megfeleltetjük a számokat, és a betűk értékeit összeadjuk. Az nagyon jó, ha az összeg prímszám lesz. Például: James Bond (83) Scooby Doo (113) Sherlock Holmes (163) Molnár Zoltán (163)

40 Ajánlat Könyvek: Megyesi László: Bevezetés a számelméletbe Paul Hoffman: A prímember Filmek: Tükröm, tükröm A 23-as szám

41 Feladvány 1. Add meg azt a négyjegyű prímszámot, amely számjegyeinek összege és szorzata is prím. 2. Oldd meg a 2x + 3y + 6z = 78 egyenletet a prímszámok körében! 3. James Bond a futóversenyen 4. Prímcsillag 5. Prímkeresztrejtvény

42 Konklúzió Miért is szeretjük a prímszámokat? Matematikai válasz: A természetes számok építőkövei. A másik válasz:

43 Ez a 43. dia. A 43. dia