Folyamatirányítás. Számítási gyakorlatok

Átírás

1 olyaatrányítá Száítá gyakorlatok

2 RLOMJEYZÉK. I.-II. rndű tagok.... Szlpk Szabályozókörök rkvnafüggvényk... Bod dagra... 7 Képltgyűjtény... 8 Jlölék jgyzék... 5 Írta: Elktronku foráját létrozta: Ellnőrzt é bővíttt: Dr. Boru ndor gyt adjunktu Udvar Norbrt gyt allgató Dr. arka vadar tudoányo unkatár

3 . I.-II. RENDŰ OK.. fladat Egy tökéltn kvrt, nytott ban folyaatoan lg vzt gyártanak közvtln gőzbfúváal. kzdt taonáru állapotban kg/ gőzáraal t () 5 -ról t () 75 -ra lgítjük a vízáraot. gőzáraot pllanatzrűn lzárva a klépő vízőéréklt ökknn kzd az alább dőfüggvény zrnt: [n] t [ o ] 75 69,5 64, ,9 4 8,, 9,4 a) fnt átnt függvényt lnarzálva bzonyíta b, ogy a őrélő t () átvtl függvény alakú, é adja g az é kontanokat! gőz + () b) gőzára lzáráa után gvárjuk az új taonáru állapotot. zután lndítjuk a gőzáraot, ly zúttal 5 kg/. dja g a klépő vízára őéréklténk dőfüggvényét! Mkor forr fl a ban a víz? Mgoldá: a) fnt átnt függvényt lnarzálva bzonyíta b, ogy a őrélő () átvtl függvény alakú, é adja g az é kontanokat! + t ( ) gőz Ha gy tag átvtl függvény alakú, akkor a tag lőrndű. Ha a + lőrndű tagként vlkdk, akkor az átnt függvény az alább alakú: t () ˆ a Ezt az alább forában íratjuk: () tˆ ( ) tˆ tˆ ln ( ) tˆ ( ) tˆ ( ) át a az tˆ ln ( ) tˆ ( ) tˆ ( ) kfjzét az dő függvényébn ábrázolva gy ngatív rdkégű gynt kapunk, akkor az ak úgy lt, ogy a kzdt fltétlzéünk ly, azaz a lőrndű tagként vlkdk. fnt kfjzé ábrázolááoz zükégünk van ˆt ( ) értékér. Ha a gőzáraot lzárjuk, akkor végtln dő ltltévl lőáll az az állapot, ogy a bnő ára

4 ndnfél lgdé nélkül távozk a ból, azaz t ( ) t 5. Ebből ˆt érték a kzdt taonáru állapotból: záítató ( ) t ˆ o o o ( ) t ( ) t ( ) Ez alapján záítatók a dagraoz zükég pontok: [n] t [ o ] 75 69,5 64, ,9 4 8,, 9,4 ˆt [ o ] -5,5 -,4-9 -6, - -6,9-4,8-45,6 tˆ ln ( ) tˆ ( ) tˆ ( ) [-] -,96 -,9 -,8 -,57 -,76 -,955 -,9 -, [n],,4,6,8,,4,6 ( ) tˆ ( ) tˆ ( ) tˆ ln [ ] Látató, ogy a pontok gynt alkotnak, tát a lőrndű tárolóként vlkdk. z dőállandó az gyn rdkégéből záítató. Err bárly ábrázolt pont adatat aználatjuk. tˆ ln ( ) tˆ ( ) tˆ ( ) tˆ ln ( ) tˆ ( ) tˆ ( ) n n,47 4

5 z rőíté tényzőt lőrndű tag ugrázavaráa tén a zavará nagyágából, valant a knő jl, jln tbn a őéréklt végtln dő úlva flvtt értékéből záítatjuk. a ˆt ( ) zavará nagyága a - kg/, rt az rdtlg kg/ gőzáraot ugrázrűn lzártuk. ( ) t a 6 kg kg ˆ b) gőzára lzáráa után gvárjuk az új taonáru állapotot. zután lndítjuk a gőzáraot, ly zúttal 5 kg/. dja g a klépő vízára őéréklténk dőfüggvényét! Mkor forr fl a ban a víz? z új taonáru állapotban t () 5. rndzrt ugrázavará ér, a 5 kg/. Előrndű tag átnt függvény: t () ˆ a () t ( ) + a t kg () n + + n t kg függvény a ban -g érvény, akkor a víz flforr. forrá kzdténk dőpontja: 5 + n 9,8n 5

6 .. fladat Egy tökéltn kvrt, közvtln gőzbfúváal űködő őrélőbn folyaatoan 6 l/ lg vzt gyártunk. víz a kzdt taonáru állapotban 8 -ról 54 -ra lgzk, a gőzára 4 kg/. férézk őkapatáa lanyagolató. gőzáraot ugrázrűn 46 kg/-ra növljük. lg víz őéréklt az ugrá után így változk: [n] 5 6 t [ o ] , ,7 58,9 59,4 a) fnt átnt függvényt lnarzálva bzonyíta b, ogy a őrélőbn tökélt a kvrdé! t b) Írja fl a () átvtl függvényt! gőz () ) Mnny dő alatt ökkn t érték 5 alá, a a kzdt taonáru állapotban a bjövő ára őéréklt ugrázrűn -ra ökkn? d) Hogyan kll gváltoztatn a őrélő őkapatáát, lltv a bnn lvő víz térfogatát, a azt akarjuk, ogy a ) pont zrnt zavará ak pr alatt ökknt t értékét 5 alá? Mgoldá: a) fnt átnt függvényt lnarzálva bzonyíta b, ogy a őrélőbn tökélt a kvrdé! Ha a lőrndű tagként vlkdk, azaz a kvrdé tökélt, akkor az átnt függvény az alább alakú: t () ˆ a Ezt az alább forában íratjuk: () tˆ ( ) tˆ tˆ ln ( ) tˆ ( ) tˆ ( ) át a az tˆ ln ( ) tˆ ( ) tˆ ( ) kfjzét az dő függvényébn ábrázolva gy ngatív rdkégű gynt kapunk, akkor az ak úgy lt, ogy a kzdt fltétlzéünk ly, azaz a lőrndű tagként vlkdk, alybn a kvrdé tökélt. 6

7 ért adatok alapján t ( ) 59,4. Ebből záítató ( ) taonáru állapotból: t ˆ o o o ( ) t ( ) t ( ) 59,4 54 5,4 Ez alapján záítatók a dagraoz zükég pontok: [n] 5 6 t [ o ] , ,7 58,9 ˆt [ o ],8,7 4,9 tˆ ln ( ) tˆ ( ) tˆ ( ) ˆt érték a kzdt [-] -,5 -,45 -,8 -,56 -, [n],5,5,5 ( ) tˆ ( ) tˆ ( ) tˆ ln [ ] Látató, ogy a pontok közl gy gynr nk, tát a lőrndű tárolóként vlkdk, azaz a kvrdé tökélt. t b) Írja fl a () ( ) átvtl függvényt! gőz () z dőállandó az a) pontban ábrázolt gyn rdkégéből záítató. Err bárly ábrázolt pont adatat aználatjuk. tˆ ln ( ) tˆ ( ) tˆ ( ) tˆ ln ( ) tˆ ( ) tˆ ( ) 6 n 5,n,8 7

8 z rőíté tényzőt lőrndű tag ugrázavaráa tén a zavará nagyágából, valant a őéréklt végtln dő úlva flvtt értékéből záítatjuk. ( ) a ˆt z ugrázavará nagyága: a gő z ( ) gő z ( ) ( ) t a kg kg ,4,9 kg kg 6 ˆ t,9 kg kg 6 + 5,n + gőz ) Mnny dő alatt ökkn t érték 5 alá, a a kzdt taonáru állapotban a bjövő ára őéréklt ugrázrűn -ra ökkn? Ebbn az tbn n aználató a b) pontban flírt átvtl függvény, rt ot a zavará a bnő ára őérékltét változtatta g. z bbn az tbn aználató átvtl függvény: t t + 5,n + át a őrélő rr a zavarára lőrndű tagként ragál, alynk az rőíté tényzőj gváltozott, az dőállandója vzont n. zavará nagyága: a ( ) ( ) 8 8 ' t t Ezk alapján flírató az lőrndű tag átnt függvény: t () ˆ a' ' () t ( ) + a' ' t t 54 8 () 5,n Ez alapján záítató, ogy a klépő ára őéréklt nny dő alatt ökkn 5 alá: ,n 7,47 n 8

9 d) Hogyan kll gváltoztatn a őrélő őkapatáát, lltv a bnn lvő víz térfogatát, a azt akarjuk, ogy a ) pont zrnt zavará ak pr alatt ökknt t értékét 5 alá? őrélő őkapatáának, lltv a bnn lvő víz térfogatának gváltoztatáa a őrélő dőállandóját változtatja g. kérdé az, ogy lyn dőállandó tén tljül a kérdébn gfogalazott fltétl? ) pontban aznált átnt függvény ak az dőállandóban különbözk: () t ' ' 4,8n n ' z alább képlt alapján a őrélő dőállandója gyn arányban függ a őrélő őkapatáától: ρ p Mvl a fladat zrnt a férézk őkapatáa lanyagolató, zért fnnáll az alább özfüggé : V ρ p p Ez alapján a őrélő dőállandója a ban lvő víz térfogatától gyn arányban függ. ' ' V ' V 4,8 n 5,n,7 át a fladatban gfogalazott fltétl akkor tljül, a a őrélő őkapatáát 7 %-kal gnövljük. Ezt lértjük úgy, ogy a ban lvő víz nnyégét gnövljük ugyanlyn arányban. 9

10 .. fladat Egy tökéltn kvrt, nytott ban folyaatoan lg vzt gyártunk közvtln gőzbvztél. kzdt taonáru állapotban 6 kg/ 5 őérékltű vzt vztünk bl, a 75 -ra lgzk fl. őkapatáa 5 kj/, a férézk őkapatáa lanyagolató. Egy addg lzárt övön,9 kg/n gőzára ndul g a ba, a prg tart, azután gzűnk. a) Írja fl a ból kfolyó víz őéréklténk (t ) dőfüggvényét a zavará után! b) Mnny lz t érték a zavará kzdt után 5 prl, ll. prl? ) Mnny dő alatt áll vza az rdt őéréklt bával (a zavará kzdtétől záítva)? Száoljon úgy, ogy kg gőz ndg kj őt ad át a víznk! víz fajőj 4,8 kj/(kg ). Mgoldá: a) Írja fl a ból kfolyó víz őéréklténk (t ) dőfüggvényét a zavará után! fladat goldááoz k kll záolnunk a rőíté tényzőjét é dőállandóját. r ρ r p ρ p p p kj kg, kg kj kg 6 4,8 kg kj 5 kg kj 6 4,8 kg,46 rndzrt ugrázavará ér, lynk nagyága a,9 kg/n 54 kg/. lőrndű tag, lynk átnt függvény: t () ˆ a t + a kg , kg (),46 t( ) b) Mnny lz t érték a zavará kzdt után 5 prl, ll. prl? 5 n,8 t,8 kg kg,46 ( 5n) , 9,7

11 n,67 t,67 kg kg,46 ( n) , 8,5 át a fnt képlt zrnt pr úlva a ban lvő víz őéréklt 8,5 lnn. Vzont a ban lvő víz őérékltváltozáát líró fnt gynlt ak addg érvény, aíg a víz l n kzd forrn. Eatt pr úlva a ban lvő víz őéréklt lz. t ( n) ) Mnny dő alatt áll vza az rdt őéréklt bával (a zavará kzdtétől záítva)? z lőző pontban záoltak zrnt a zavará után prl a ban ár bállt az új taonr állapot t ( n) -on. Ez az új taonr állapotoz képt (t () ) a gzűnő,9 kg/n gőzára gy ngatív ugrázavará. é a bnn lvő folyadék adata n változtak az a) fladatoz képt, így ugyanazzal az rőíté tényzővl é dőállandóval záolatunk. udjuk, ogy a gőzára gzűné után lgndő ok dő úlva az rdt taonr állapot áll vza, azaz t ( )75. t ˆ' t ' ( ) t' ( ) t' ( ) ' ' ' () () + ( ) + (,46 ' t' a' t' tˆ' ) kérdébn zrplő -o ba alapján a kérdé arra vonatkozk, ogy a gőzára gzűné után kor lz a ban lvő folyadék őéréklt ',46 ',975 58,5 n át a zavará gzűné után 58,5 pr úlva lz a ban lvő őéréklt 78. Ez ég ozzá kll adn a zavará dőtartaát. ' + n 68,5 n

12 .4. fladat Egy tökéltn kvrt, nytott ban közvtln gőzbfúváal folyaatoan l/ lg vzt gyártunk. víz a kzdt taonáru állapotban -ról 8 -ra lgzk, a gőzára 4 kg/. őrélőbn 5 l víz van. férézk őkapatáa lanyagolató. gőzáraot ugrázrűn 56 kg/-ra növljük. a) Írja fl a knő őéréklt dőfüggéét! b) Mnny dő alatt közlít g knő őéréklt az új taonáru értékt,5 -ra? ) él óra ltlt után az 56 kg/ gőzáraot 5 kg/-ra ökkntjük. Írja l a knő őéréklt dőfüggéét! d) z rdt taonr állapotban (4 kg/ gőzára, 8 klépő őéréklt) lanyagolatóan rövd dő alatt 5 kg gőz jut a rndzrb. Írja fl a knő őérékltt dőfüggéét! Mgoldá: a) Írja fl a knő őérékltt dőfüggéét! z dőfüggé gállapítááoz g kll atároznunk a rőíté tényzőjét é dőállandóját. z rőíté tényző kzáítáánál kaználatjuk, ogy a férézk őkapatáa lanyagolató. Ugyan kkor tljül az alább őérlg: ρ p gő Ezt flaználva: r ρ ( t t ) r z ( t t ) ( 8 ) kg 4,7 kg p gő z Kaználva, ogy a férézk őkapatáa lanyagolató, záítatjuk az dőállandót: ρ p V ρ ρ z ugrázavará nagyága: p p V 5l l,48,9 n kg kg kg a gő z ( ) gő z ( ) lőrndű tag, lynk átnt függvény: t () ˆ a t + a kg 8 + 6,7 kg (),9n t( )

13 () +,9n t 8 7, b) Mnny dő alatt közlít g knő őéréklt az új taonáru értékt,5 -ra? z rőíté tényző é a zavará nagyágának rtébn záítató, ogy az új taonáru állapotban nny lz a klépő ára őéréklt. ( ) ( ) ˆ kg t t + t( ) t( ) + a 8 + 6,7 7, kg Vzont az a) pontban gállapított dőfüggvény ak -g érvény, rt zn a őérékltn a víz flforr. Eatt az új taonáru állapotban a ból klépő víz őéréklt n 7,, an lz. t ( ) Ez alapján a kérdé arra vonatkozk, ogy kor lz a knő ára őéréklt 99,5. t 8 + 7, (),9n 99, ,,9n 6,8n ) él óra ltlt után az 56 kg/ gőzáraot 5 kg/-ra ökkntjük. Írja l a knő őéréklt dőfüggéét! rndzr jllző (pl. őkapatáa, térfogatára, folyadék nnyég é űrűég) n változnak, att aználató az a) pontban kzáolt rőíté tényző é dőállandó. b) pontban kzáoltak alapján fltétlztjük, ogy fél óra alatt báll a taonáru t ˆ'. állapot, alybn a klépő ára őéréklt ( ) z új taonáru állapotban a klépő ára őéréklténk gállapítááoz az rőíté tényző képltét (azaz közvtv a ra flírt őérlgt) aználjuk: ( t t ) gő z ( ' ( ) ) t,7 kg kg 5 ( ) 7,5 t ' Ezk alapján flírató a knő ára őéréklténk dőfüggé: a tˆ' ( ) t' ( ) t' ( ) 7,5 8,5 '

14 () ( ) a' tˆ' tˆ' t ' 8,5 () ( ) +,9n t' tˆ' () d) z rdt taonr állapotban (4 kg/ gőzára, 8 klépő őéréklt) lanyagolatóan rövd dő alatt 5 kg gőz jut a rndzrb. Írja fl a knő őérékltt dőfüggéét! rndzrt pulzuzavará ér. z pulzuzavará nagyága: a gő z 5kg lőrndű tag, lynk úlyfüggvény: tˆ t t a (),48 () t ( ) a,48 () 8 + 4,4 5kg,7 kg,48 Mvl a lőrndű tag, pulzuzavarára úgy ragál, ogy rtln gnövkzk a klépő őéréklt a aura, ajd rről az értékről ponnálan vzaökkn az rdt értékr. z pulzuzavará atáára bkövtkző kzdt aál ktéré nagyága: 5kg,7 kg ˆ a t, a 4,4,48 Ebbn az dőpllanatban a víz őéréklténk t ( ) ˆ,a t + t, a 8 + 4,4 4,4 -nak klln lnn. Vzont a fnt képlt ak -g, a víz forrápontjág érvény. Eatt a zavará pllanatában a víz őéréklt ak -ra, özn -kal nő g, é nnn ökkn l ponnálan az rdt értékr. át az pulzuzavará atáára a knő ára dőfüggvény: t,48 () 8 + 4

15 .5. fladat Egy tökéltn kvrt ban gőzbfúváal folyaatoan 5 l/ lg vzt gyártunk. víz a kzdt taonáru állapotban -ról 85 -ra lgzk, a gőzára 6 kg/. őkapatáa 45 kj/. ban a őérékltt gy ganyo őérővl érjük, lynk dőállandója pr. gőzadagolá bája att kg gőz krül a rndzrb lanyagolatóan rövd dő alatt. a) Írja fl a knő ára őéréklténk dőfüggvényét! b) Írja fl a őérő által ért őéréklt dőfüggéét! ) Mnny a őérő által utatott lgagaabb őéréklt? Száoljon úgy, ogy kg gőz ndg kj őt ad át a víznk! víz fajőj 4,8 kj/(kg ). Mgoldá: a) Írja fl a knő ára őéréklténk dőfüggvényét! fladat goldááoz k kll záolnunk a rőíté tényzőjét é dőállandóját. kj r kg, ρ kg kj kg p,5 4,8 kg ρ p,5 kj 45 kg kj 4,8 kg,5 rndzrt pulzuzavará ér, lynk nagyága a kg. lőrndű tag, lynk úlyfüggvény: a () tˆ t t,5 () t ( ) a,5 () 85 +, kg, kg,5 Mvl a lőrndű tag, pulzuzavarára úgy ragál, ogy rtln gnövkzk a klépő őéréklt a aura, ajd rről az értékről ponnálan vzaökkn az rdt értékr. 5

16 z pulzuzavará atáára bkövtkző kzdt aál ktéré nagyága: kg, kg a t ˆ, a,,5 Ebbn az dőpllanatban a víz őéréklt t ( ) ˆ,a t + t, a 85 +, 95, lz. Mvl a kzdt aál őérékltérték n aladja g a -ot, zért klépő őéréklt dőfüggvény érvény. b) Írja fl a őérő által ért őéréklt dőfüggéét! é a őérő lőrndű tagként vlkdk, így a két tagot orba kötv gy áodrndű folyaatot kapunk. őérő rőíté tényzőj őérő, dőállandója pdg g van adva, őérő n,5. két lőrndű tag dőállandója különbözk, tát az rdő áodrndű folyaatban a llapítá tényző érték ξ >. áodrndű folyaat úlyfüggvény: y ˆ a Err a példára alkalazva: tˆ t t ő érő ő érő ő érő () a ő érő () t ( ) + tˆ ( ) ő érő () t ( ) ő érő ő érő + a ő érő ő érő ő érő ő érő ő érő kzdt taonáru állapotban a őérő a ban lvő víz őérékltét utatta, azaz t őérő () 85. t ő érő () 85 + kg, kg,5,5,5,5 t ő érő () 85 +, ) Mnny a őérő által utatott lgagaabb őéréklt?,5,5 raktorból klépő konntráó gy augörbét ír l (áodrndű folyaat úlyfüggvény). Ennk a görbénk a aua ott van, aol a úlyfüggvény dő zrnt lő drváltja nullával gynlő. 6

17 áodrndű folyaat úlyfüggvény: tˆ ő érő () a ő érő Ennk dő zrnt lő drváltja: () ő érő d tˆ ő érő a ő érő d a ő érő ő érő a a a a érő ő ln ő érő ő érő ő érő ő érő ő érő ő érő a a a a érő ő,5 ln,5,5,5 a ő érő,95 ő érő Ebből ár záolató, ogy bbn az dőpontban kkora a őérőről lolvaató őéréklt: t ő érő, a tő érő t ő érő ( ) + a ő érő ő érő,95,95,5,5, a 85 +, 9,58 a a ő érő Érdkégképpn gjgyzzük, ogy a knő ára őéréklténk é a őérő által utatott őéréklt függvény pontoan ott tz gyát, aol a őérő által utatott őérékltnk aua van. t [] 95 őérő 9 85,5,5,75,5,5 [] 7

18 .6. fladat Egy tökéltn kvrt, 5 ltr térfogatú ban oldózrből é,5 kol/ anyagból 8 l/ oldatot állítunk lő. z oldatot gfllő őérékltr lgítv gy 5 ltr térfogatú, tökéltn kvrt zotr raktorba vztjük, aol az anyag áodrndű rakóban ragál. kzdt taonáru állapotban a raktort lagyó anyag konntráója,5 kol/. Ugrázrű zavaráal gváltoztatjuk a ba blépő anyag áraát,65 kol/-ra. artály Raktor a) Hogyan változk a raktort lagyó ára konntráója az dő függvényébn? b) Mnny lz érték a zavará után 5 prl? ) Száíta k az a) válazt azzal a fltétlzél, ogy a rakó lőrndű! Mgoldá: a) Hogyan változk a raktort lagyó ára konntráója az dő függvényébn? é a raktor gyütt gy áodrndű folyaatot alkot, alyt ugrázavará ér. oz, ogy gállapítuk a folyaat átnt függvényét, lőbb ndkét tag rőíté tényzőjér é dőállandójára zükégünk van. jllző: V 5l l 8, raktor jllzőnk kzáítááoz gyéb értékkt k kll záítan. btáp ára konntráója a kzdt taonr állapotban: n& ( ) 6,5,5 kol,8 kol 8

19 Mvl a ban ak oognzáljuk az oldatot, a ból klépő ára konntráója a kzdt taonr állapotban ggyzk a blépő ára konntráójával: kol ( ) ( ) 6,5 raktorból klépő ára konntráója a fladatban g van adva: kol ( ),5 raktor rőíté tényzőjénk é dőállandójának gatározááoz zükégünk van a rakóbég klépő konntráó zrnt drváltjára a kzdt taonr állapotban. rakóbég a kzdt taonr állapotban a raktorra flírt taonr anyagérlgből záítató: r r ( ) ( ) + V ( ) raktor r ( ) [ ( ) ( ) ],8,5 kol kol kol 6,5,5 7,6 Vraktor ( ) k [ ( )] r k dr d, rt a rakó áodrndű ( ) [ ( ) ] kol 7,6 kol,5 ( ),8 kol kol,8,5, kol k raktor rőíté tényzőj é dőállandója: raktor + V r d raktor,8,8 d +,5,,6 raktor + V V r d,8,5 raktor d +,5 raktor,,85 5,n 9

20 z ugrázavará atáára a btáp ára konntráója az alább értékr változk: n& ' ( ) 8,5,65 kol,8 z ugrázavará nagyága: kol kol kol kol ( ) ( ) 8,5 6,5,875 a é a raktor lőrndű tag. Ezkt orba kapolva gy áodrndű folyaatot kapunk. Mvl a két lőrndű tag dőállandója különbözk, zért ξ >. áodrndű folyaat átnt függvény: y ˆ a Err a példára alkalazva: ˆ () a () ( ) + () ˆ () () + a raktor raktor raktor raktor raktor raktor raktor raktor kol kol (),,5 +,875,6,,85,,85,85 kol kol,5 +,55 4,86,, (),85 b) Mnny lz érték a zavará után 5 prl?,47 kol kol,,5 +,55 4,86,,85 (,47),85,47,85 kol (,47),66 ) Száíta k az a) válazt azzal a fltétlzél, ogy a rakó lőrndű! Előrndű rakót fltétlzv gváltozk a rakóbég állandó, é att a raktor rőíté tényzőj é dőállandója. r ( ) k' ( )

21 ( ) ( ) 5,7 kol,5 kol 7,6 ' r k 5,7 ' d d k r,4 5,7,5,8,8 d d ' + + r V raktor raktor 9n,5 5,7,5,8,5 d d ' + + r V V raktor raktor raktor áodrndű folyaat átnt függvény a ódoított adatokkal: () ( ) ' ˆ () ' + () + raktor raktor raktor raktor a ' ' ' ' () ' () +,5,,5,,5,,4 kol,875 kol,5 ' () +,5,,5, 6, kol,45 kol,5 '

22 .7. fladat Egy ltr, tökéltn kvrt ban 5 ol/ anyagból é oldózrből 5 l/ oldatot állítunk lő. z oldatot gy gfllő őérékltű, ltr tökéltn kvrt zotr raktorba vztjük, aol a kzdt taonáru állapotban az anyag 7 %-a lragál. artály Raktor a) Írja fl a raktor k é bnő konntráója között átvtl függvényt, fltétlzv, ogy a rakó lőrndű, áodrndű! b) z oldatkézítő ba lanyagolatóan rövd dő alatt 75 ol anyag krül. Hogyan változk zután a ból klépő oldat konntráója, a raktorból klépő oldat konntráója? ) Mkkora zn konntráók lgnagyobb ltéré? ( b. é a. kérdénél ak azt az tt záolja, akor a rakó áodrndű!) Mgoldá: a) Írja fl a raktor k é bnő konntráója között átvtl függvényt, fltétlzv, ogy a rakó lőrndű, lltv a áodrndű. btáp ára konntráója a kzdt taonr állapotban: n& ( ),,5 kol,5 kol Mvl a ban ak oognzáljuk az oldatot, a ból klépő ára konntráója a kzdt taonr állapotban ggyzk a blépő ára konntráójával: kol ( ) ( ),

23 raktorból klépő ára konntráója a konvrzóból záítató: kol kol ( ) ( ) ( ), (,7),4 raktor rőíté tényzőjénk é dőállandójának gatározááoz zükégünk van a rakóbég klépő konntráó zrnt drváltjára a kzdt taonr állapotban. rakóbég a kzdt taonr állapotban a raktorra flírt taonr anyagérlgből záítató: r ( ) ( ) + V ( ) raktor r ( ) [ ( ) ( ) ],5, kol kol kol,,4,95 Vraktor Előrndű rakót fltétlzv: r ( ) k ( ) r k kol,95 ( ),8 ( ) kol d r d,4 k,8 dr d,5,5 +, raktor, + V raktor V,,8 raktor, dr + V,5 +,,8 raktor d raktor,,7 +,6 + raktor, Máodrndű rakót fltétlzv: r ( ) k [ ( )] r k ( ) [ ( ) ] kol,95 kol,4,4 kol,7,6

24 d r d k ( ) kol,4,4 kol dr d,5,5 +, 6,76 raktor, + V raktor V, 6,76 raktor, dr + V,5 +, 6,76 raktor d raktor,,56 +,5 + raktor,,56,5 b) z oldatkézítő ba lanyagolatóan rövd dő alatt 75 ol anyag krül. Hogyan változk zután az ból é a raktorból klépő oldat konntráója? rndzrt pulzuzavará ér. zavará nagyága anyagnnyégr van gadva. korábban kzáolt értékk é függvényk vzont konntráókra vonatkoznak. Eatt k kll záoln, ogy az anyagnnyégt ért zavará nagyága kkora zavarát jlnt a btáp konntráóra nézv. n d a d n,75kol,5 d kol,6 oz, ogy a konntráók változáát a btáp konntráóváltozáának atáára flírauk, rnünk kll a rőíté tényzőjét é dőállandóját. V,,5,8 ból klépő oldat konntráójának változáa. gy lőrndű tag. Előrndű tag úlyfüggvény: a yˆ 4

25 Err a példára alkalazva: a () ˆ a () ) + ˆ () () + ( kol,6,8 raktorból klépő oldat konntráójának változáa. kol,8 kol kol,8 (), +, +,75 é a raktor lőrndű tag. Ezkt orba kapolva gy áodrndű folyaatot kapunk. Mvl a két lőrndű tag dőállandója különbözk, zért ξ >. áodrndű folyaat úlyfüggvény: y ˆ a Err a példára alkalazva: ˆ () a () ) + ˆ () () raktor, raktor, raktor, raktor, ( () + a raktor, raktor, kol kol,8,4 +,6,56,8,5 kol kol,8 (),4 +,9 ) Mkkora zn konntráók lgnagyobb ltéré? gy lőrndű tag. Eatt a ból klépő konntráó változáának a aua az pulzuzavará pllanatában van, é nnk érték: ˆ,a a kol,6 kol ˆ,a,75,8,5,5 5

26 raktorból klépő konntráó gy augörbét ír l (áodrndű folyaat úlyfüggvény). Ennk a görbénk a aua ott van, aol a úlyfüggvény dő zrnt lő drváltja nullával gynlő. áodrndű folyaat úlyfüggvény: ˆ () a raktor, Ennk dő zrnt lő drváltja: dˆ d () a, raktor a raktor, raktor, raktor, raktor, a a raktor, a a raktor,, raktor raktor, a a a a, raktor ln raktor, raktor,,8 ln,5,5,8 raktor, a,75 raktor, Ebből ár záolató, ogy bbn az dőpontban kkora a raktorból klépő konntráó: ˆ,a a raktor, raktor, a,75,75 kol,8,5 kol ˆ,a,9,8 a raktor, 6

27 .8. fladat Egy tökéltn kvrt, 5 ltr térfogatú ban oldózrből é,6 kol/ anyagból 9 l/ oldatot állítunk lő. z oldatot gfllő őérékltr lgítv gy 55 ltr térfogatú, tökéltn kvrt zotr raktorba vztjük, aol az anyag bruttó,5 rndű rakóban ragál. kzdt taonáru állapotban a raktort lagyó anyag konntráója,5 kol/. dagolá ba att a ba krülő anyag áraa, kol/-ra ökkn. artály Raktor a) Mnny dő alatt ökkn a ból klépő oldat konntráója az rdt érték flér? b) Mnny lz a raktort lagyó ára konntráója a zavará után 5 prl? Mgoldá: a) Mnny dő alatt ökkn a ból klépő oldat konntráója az rdt érték flér? jllző: V 5l l 9,67 n btáp ára konntráója a kzdt taonr állapotban: n& ( ) 6,67,6 kol,9 kol Mvl a ban ak oognzáljuk az oldatot, a ból klépő ára konntráója a kzdt taonr állapotban ggyzk a blépő ára konntráójával: kol ( ) ( ) 6,67 7

28 raktorból klépő ára konntráója a fladatban g van adva: kol ( ),5 z ugrázavará atáára a btáp ára konntráója az alább értékr változk: n& ' ( ), kol,,9 z ugrázavará nagyága: kol kol kol kol a ( ) ( ), 6,67 5,56 gy lőrndű tag, at ugrázavará ér. átnt függvény: yˆ a ˆ () a () ( ) + ˆ () ( ) + a kol kol () n 6,67 5,56 ból klépő ára rdt konntráójának fl: kol 6,67 ( ) kol ', z zn konntráó lérééz zükég dő: kol, 9,8n kol kol 6,67 5,56 n b) Mnny lz a raktort lagyó ára konntráója a zavará után 5 prl? é a raktor gyütt gy áodrndű folyaatot alkot, alyt ugrázavará ér. oz, ogy gállapítuk a folyaat átnt függvényét, lőbb a raktor rőíté tényzőjér é dőállandójára zükégünk van. raktor jllzőnk kzáítááoz gyéb értékkt k kll záítan. 8

29 raktor rőíté tényzőjénk é dőállandójának gatározááoz zükégünk van a rakóbég klépő konntráó zrnt drváltjára a kzdt taonr állapotban. rakóbég a kzdt taonr állapotban a raktorra flírt taonr anyagérlgből záítató: r r ( ) ( ) + V ( ) raktor r ( ) [ ( ) ( ) ],9,55 kol kol kol 6,67,5 8,7 Vraktor ( ) k [ ( )], 5, rt a rakó bruttó,5 rndű ( ) 5,55,5,5,5 [ ( ) ] r k d r d,5 k kol 8,7 kol,5 [ ( ) ] raktor rőíté tényzőj é dőállandója:,5 kol,55,55 kol,5 kol,5,5 9,67 raktor + V r d raktor,9,9 d +,55 9,67,45 raktor + V V r d,9,55 raktor d +,55 raktor 9,67,88 5,n é a raktor lőrndű tag. Ezkt orba kapolva gy áodrndű folyaatot kapunk. Mvl a két lőrndű tag dőállandója különbözk, zért ξ >. áodrndű folyaat átnt függvény: y ˆ a Err a példára alkalazva: ˆ () a raktor raktor raktor raktor 9

30 () ( ) + () ˆ () () + a raktor raktor raktor raktor kol kol () n,5 5,56,45 n 5, n n 5,n kol kol () n,5,8, n 5, n n raktor klépő konntráója 5 pr úlva: 5,n 5n kol kol ( ) n 5n,5,8, n 5, n n kol ( 5 n),88 5n 5,n 5,n

31 .9. fladat Egy tökéltn kvrt, 7 ltr térfogatú ban oldózrből é,5 kol/ anyagból l/ oldatot állítunk lő. z oldatot gfllő őérékltr lgítv gy 5 ltr térfogatú, tökéltn kvrt zotr raktorba vztjük, aol az anyag lőrndű rakóban bolk. kzdt taonáru állapotban az anyagnak 8 %-a bolk l. artály Raktor a) Írja fl a raktor () átvtl függvényét! () b) Írja fl a raktor knő konntráójának dőfüggvényét, a a ban az anyag áraa ugrázrűn,6 kol/-ra változk! Mnny lz z a konntráó a zavará után órával? ) fnt raktor gy kazkád raktor or lő l. kazkád özn 5 db raktorból áll, ndgyk 5 ltr térfogatú é az lővl azono őérékltű. Írja fl a 6 tlj rndzr (a é az 5 db raktor) átvtl függvényét, ()! d) Mkkora változát okoz a fnt zavará a áodk, az ötödk raktor knő konntráójában végtln dő alatt? () Mgoldá: a) Írja fl a raktor () átvtl függvényét! () btáp ára konntráója a kzdt taonr állapotban: n& ( ) 4,7,5 kol, kol

32 Mvl a ban ak oognzáljuk az oldatot, a ból klépő ára konntráója a kzdt taonr állapotban ggyzk a blépő ára konntráójával: kol ( ) ( ) 4,7 raktorból klépő ára konntráója a konvrzóból záítató: kol kol ( ) ( ) ( ) 4,7 (,8),4 raktor rőíté tényzőjénk é dőállandójának gatározááoz zükégünk van a rakóbég klépő konntráó zrnt drváltjára a kzdt taonr állapotban. rakóbég a kzdt taonr állapotban a raktorra flírt taonr anyagérlgből záítató: r r ( ) ( ) + V ( ) raktor r ( ) [ ( ) ( ) ],,5 kol kol kol 4,7,4,8 Vraktor ( ) k ( ) r k, rt a rakó lőrndű kol,8 ( ),56 ( ) kol,4 d r,56 d k raktor rőíté tényzőj é dőállandója: raktor + V r d raktor,, d +,5,56,8 raktor + V V raktor átvtl függvény: r d,,5 raktor d +,5 raktor raktor,8 +,4 + raktor,56,4

33 b) Írja fl a raktor knő konntráójának dőfüggvényét, a a ban az anyag áraa ugrázrűn,6 kol/-ra változk! Mnny lz z a konntráó a zavará után órával? z ugrázavará atáára a btáp ára konntráója az alább értékr változk: n& ' ( ) 5,6 kol, z ugrázavará nagyága: kol kol kol kol ( ) ( ) 5 4,7,8 a oz, ogy a raktorból klépő ára konntráójának változáát a btáp konntráóváltozáának atáára flírauk, rnünk kll a rőíté tényzőjét é dőállandóját. V,7,,58 é a raktor lőrndű tag. Ezkt orba kapolva gy áodrndű folyaatot kapunk. Mvl a két lőrndű tag dőállandója különbözk, zért ξ >. áodrndű folyaat átnt függvény: y ˆ a Err a példára alkalazva: ˆ () a () ( ) + () ˆ () () + a raktor raktor raktor raktor raktor raktor raktor raktor kol kol (),58,4 +,8,8,58,4,58,4,4

34 óra úlva a raktorból klépő konntráó: kol kol ( ),58,4 +,8,8,58,4,58,4 kol ( ),86 ) fnt raktor gy kazkád raktor or lő l. kazkád özn 5 db raktorból áll, ndgyk 5 ltr térfogatú é az lővl azono őérékltű. Írja fl a tlj rndzr 6 (a é az 5 db raktor) átvtl függvényét, () ( )! Mndn raktor átvtl függvény ugyanaz, rt a rakó lőrndű. (Előrndű rakó tén a rakóbég klépő konntráó zrnt drváltja ggyzk a rakóbég állandóval. Mvl ndn raktorban azono értékű a konvrzó, att az gy raktorok rőíté tényző é dőállandó, így átvtl függvény azonoak. Magaabb rndű rakónál a drvált a rakóbég állandó é a klépő konntráó valalyn atványának zorzata. Ha a rakóbég állandó ndn raktorban ugyanakkora, a klépő konntráók különbözők lnnénk, így az rőíté tényzők é az dőállandók különböznénk.) 6 6 raktor + raktor +,8,58 +,4 + 5 d) Mkkora változát okoz a fnt zavará a áodk é az ötödk raktor knő konntráójában végtln dő alatt? kérdé gválazolááoz a végérték-tétlt kll alkalazn. l f [ () ] l[ () ] raktor + raktor + + raktor + raktor Mvl ugrázavará ér a rndzrt, + raktor + raktor a 5 a () kol,8,4 4

35 5 () kol,8,4,8, ( ) ( ) [ ] + + kol,8,4,8,58 l ˆ l ˆ ( ) kol,56 kol,8,8 ˆ Haonló ódon az ötödk raktorból klépő konntráóra: () a raktor raktor () 5 6 kol,8,4,8, ( ) ( ) [ ] kol,8,4,8,58 l ˆ l ˆ ( ) 5 6 kol, kol,8,8 ˆ

36 .. fladat. SZELEEK Egy őkötg őrélőbn a tnológa zrnt 5 / űtővízárara van zükég. Ekkora ára tén a őrélő é a ővztékk áralá llnálláa bar. z ára zabályozáára gy k v,a 5 / átrztőképégű, ponnál üz átfolyá karaktrztkájú (n ) zlpt építünk b. űtővízllátó rndzr 4 bar állandó nyoát bztoít. a) Hány zázalékban lz nytva a zlp /, 5 /, 6 / térfogatára tén? b) Mkkora vízára folyk át a őrélőn tljn nytott zlp tén? Mgoldá: a) Hány zázalékban lz nytva a zlp /, 5 /, lltv 6 / térfogatára tén? gadott adatokból a ővzték (blértv a őrélőt ) nyoáéénk záítááoz zükég arányoág tényző kzáítató. p ő B ő B bar bar [ ] / térfogatára tén. ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: 4 bar ő B 8,7bar [ ] zlpr ő nyoáé: 4bar,7bar,8bar zlp rl bar öz zlp,8 ő Száítató kkora zlpn történő nyoáénél a aál térfogatára. (Mvl a folyadék víz, ρ rl.) a k 5,8 rl v, a ρrl 9,55 6

37 zlpállá a zlp átfolyá karaktrztkájából záítató: a n 9,55,6 n zaz / térfogatáranál a zlp 6, %-ban van nytva. 5 / térfogatára tén. ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: p ő B 8 4 zlpr ő nyoáé: zlp öz ő bar [ ] 5 4bar bar bar bar zlp rl bar Száítató kkora zlpn történő nyoáénél a aál térfogatára. a ka ρ rl rl 5 7,7 zlpállá a zlp átfolyá karaktrztkájából záítató: a n 5 7,7,884 n zaz / térfogatáranál a zlp 88,4 %-ban van nytva. 6 / térfogatára tén. ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: p ő B 8 4 bar [ ] 6,88bar 7

38 zlpr ő nyoáé: 4bar,88bar,bar zlp öz ő zlp rl, bar Száítató kkora zlpn történő nyoáénél a aál térfogatára. a k 5, rl v, a ρrl 5,9 Ez a a érték kbb, nt az lérn kívánt 6 /, azaz zzl a zlppl n ltég 6 / térfogatáraot lérn. b) Mkkora vízára folyk át a őrélőn tljn nytott zlp tén? bépíté lyén a lgnagyobb lértő térfogatára a kövtkző képlttl záítató: a öz bar ρrl B + k bar v, a 5 4bar bar [ ] bar bar 57,74 8

39 .. fladat tnológa zrnt gy vztékbn 5 / térfogatáraot kll tartan. folyadék jllző: ρ kg/, η 6-4 a. z áraot zvattyú tartja fnn, aly az áratól függtlnül, bar nyoákülönbégt létít. vzték áralá llnálláa / térfogatára tén, bar. a) Mlyn átrztőképégű zlpt kll bépítn? b) Bépítünk gy k v,a / átrztőképégű zlpt, alynk üz átfolyá karaktrztkája ponnál (n ). Hány zázalékban lz nytva z a zlp /, 5 / térfogatára tén? Mgoldá: a) Mlyn átrztőképégű zlpt kll bépítn? gadott adatokból a ővzték nyoáéénk záítááoz zükég arányoág tényző kzáítató. p ő B ő B,bar bar [ ] térfogatárara gadott tartoány flő atára 5 /, tát kkor térfogatáraot ég át kll ngdn a zlpnk. folyadék rlatív űrűég: ρ rl ρ ρ víz, kg kg, ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: bar ő B 5,675bar [ ] zlpr ő nyoáé:,bar,675bar,55bar zlp öz zlp rl,55 bar Ezk alapján záítató a zükég k v,a érték. ő a kv, a ρ rl rl 9

40 5 k v, a,55, k v, a,68 át a 5 / térfogatára lérééz lgalább k v,a,68 / átrztőképégű zlpr van zükég. b) Bépítünk gy k v,a / átrztőképégű zlpt, alynk üz átfolyá karaktrztkája ponnál (n ). Hány zázalékban lz nytva z a zlp /, lltv 5 / térfogatára tén? / térfogatára tén. ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: bar ő B,bar [ ] zlpr ő nyoáé:,bar,bar,9bar zlp öz ő rl bar zlp,9 a k,9, rl v, a ρrl 7,7 zlpállá a zlp átfolyá karaktrztkájából záítató: a n 7,7,66 n zaz / térfogatáranál a zlp 66 %-ban van nytva. 5 / térfogatára tén. ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: p ő B bar [ ] 5,675bar 4

41 zlpr ő nyoáé: zlp öz ő,bar,675bar,55bar rl bar zlp,55 a k,55, rl v, a ρrl,7 zlpállá a zlp átfolyá karaktrztkájából záítató: a n 5,7,885 n zaz / térfogatáranál a zlp 88,5 %-ban van nytva. 4

42 .. fladat Egy ozú vztékbn víz áralk. z áraot állandó bar nyoákülönbég tartja fnt. vztékb gy k v,a 5 / átrztőképégű, ponnál üz átfolyá karaktrztkájú zabályozózlp van bépítv (n ). 4 %-o zlpnytá lltt az áralá 8, /. Mlyn zlpállá lltt lz az áralá /, /? Mgoldá: dott térfogatára lltt g kll tudnunk atározn a ővztékr ő nyoáét. z z zükég adatokat a taonáru állapot adata alapján tudjuk kzáoln. 8, / térfogatáranál a zlp 4 %-ban van nytva. Ezn adatok alapján gatározató az z a térfogatáraoz tartozó nyoáénél az lélt aál térfogatáraot. a n n 8, a,4 a 5, Ebből záítató, ogy a zlpr ő nyoáé. (Mvl az áraló folyadék víz, zért ρ rl.) a kv, a ρ rl rl 5 rl 5 rl zlp rl bar bar Ezk alapján gadató, ogy 8, / térfogatáranál kkora a ővztékr ő nyoáé, é így záítató a ővztékr ő nyoáé záítááoz zükég arányoág tényző érték. bar bar bar ő öz zlp p ő B 4

43 ő B bar 8,,45 bar [ ] / térfogatára tén. ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: p ő B,45 zlpr ő nyoáé: zlp öz ő bar [ ] bar,45bar,45bar,55bar rl bar zlp,55 a k 5,55 rl v, a ρrl 7, zlpállá a zlp átfolyá karaktrztkájából záítató: a 7, n,56 n zaz / térfogatáranál a zlp 56, %-ban van nytva. / térfogatára tén. ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: p ő B,45 zlpr ő nyoáé: zlp öz ő bar [ ],9bar bar,9bar,9bar!!! Ez azt jlnt, ogy / térfogatáranál ak a ővzték nagyobb llnállát fjt k, nt a rndlkzér álló öz nyoákülönbég, a lttln. zaz lyn zlppl (d ég zlp nélkül ) valóítató g / térfogatára. 4

44 .4. fladat Egy ozú ővzték lj é vég között a tnológa zrnt, bar nyoákülönbég van. Ez a nyoákülönbég a vztékbn 45 / térfogatáraot oz létr. éré után a vztékb gy k v,a 4 / átrztőképégű zlpt építttk b. zlp üz átfolyá karaktrztkája ponnál, n. folyadék víz. a) tnológa zrnt a vztékbn 5 / árara van zükég. Mgfllő- z a zlp nnk az áranak a zabályozáára? b) Mnnyr van nytva z a zlp /, / térfogatára tén? Mgoldá: a) tnológa zrnt a vztékbn 5 / árara van zükég. Mgfllő- z a zlp nnk az áranak a zabályozáára? z ür őbn, zlp nélkül ért adatok alapján kzáítató a ővzték llnálláának záítááoz zükég arányoág tényző. p ő B ő B,bar 45 5,9 4 bar [ ] Ez alapján záítató 5 / térfogatáranál a ővztékr é a zlpr ő nyoáé. p ő zlp rl B bar öz zlp 5,9 ő,475 4 bar [ ] 5,75bar,bar,76bar,475bar 5 / térfogatáraoz tartozó, zlpr ő nyoáéből záítató az adott nyoáén gvalóítató aál térfogatára. ( folyadék rlatív űrűég, rt a folyadék víz.) a k 4,475 rl v, a ρrl 7,57 Ez az érték kbb, nt a zükég 5 / térfogatára, azaz z a zlp n gfllő. 44

45 Érdkégképpn kzáítatjuk, ogy rr a lyr bépítv zt a zlpt kkora a lgnagyobb térfogatára, at át tud ngdn. a öz bar ρrl B + k bar v, a b) Mnnyr van nytva z a zlp /, / térfogatára tén? 4 +,bar bar 5,9 4 bar bar [ ],4 / térfogatára tén. ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: p ő B 5,9 zlpr ő nyoáé: zlp öz ő 4 bar [ ],59bar,bar,59bar,4bar rl bar zlp,4 a k 4,4 rl v, a ρrl 4,7 zlpállá a zlp átfolyá karaktrztkájából záítató: a n 4,7,56 n zaz / térfogatáranál a zlp 5,6 %-ban van nytva. 45

46 / térfogatára tén. ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: p ő B 5,9 zlpr ő nyoáé: zlp öz ő 4 bar [ ],7bar,bar,7bar,96bar rl bar zlp,96 a k 4,96 rl v, a ρrl 9,5 zlpállá a zlp átfolyá karaktrztkájából záítató: a n 9,5,775 n zaz / térfogatáranál a zlp 77,5 %-ban van nytva. 46

47 .5. fladat Egy tnológa vztékbn 6 étr zntkülönbég zállítja a folyadékot. folyadék adata: ρ kg/, η, - a. vztékbn gy k v,a 5 / átrztőképégű zabályozózlp (ponnál, n ) van. zlp tljn nytott állapotában a vztékn (é a zlpn) 7 / térfogatára folyk át. a) Mlyn zlpállá lltt folyk át /? b) fnt lytt lgalább lyn átrztőképégű zlpr van zükég, a 9 / térfogatáraot akarunk létrozn? Mgoldá: a) Mlyn zlpállá lltt folyk át /? zlpn é a ővztékn gyütt nyoáé állandó, é bbn a fladatban zt gy állandó vízozlop droztatka nyoáa tartja fnt. kg öz ρ g 6 9,8 76a,7bar dott térfogatára lltt g kll tudnunk atározn a ővztékr ő nyoáét. z z zükég adatokat a taonáru állapot adata alapján tudjuk kzáoln. 7 / térfogatáranál a zlp tljn nytva van, tát z a térfogatára gynlő a értékévl adott, zlpr ő nyoáénél. Ez alapján záítató zn térfogatáranál a zlpr ő nyoáé. folyadék rlatív űrűég: ρ rl ρ ρ víz, kg kg, a kv, a ρ rl rl 7 5 rl, rl,5 zlp rl bar,5bar Ezk alapján gadató, ogy 7 / térfogatáranál kkora a ővztékr ő nyoáé, é így záítató a ővztékr ő nyoáé záítááoz zükég arányoág tényző érték.,7bar,5bar,5bar ő öz zlp p ő B 47

48 ő B,5bar 7 4,8 4 bar [ ] Ezn adatok rtébn ár k tudjuk záoln, ogy lyn zlpállánál folyk át /. ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: 4 bar ő B 4,8,9bar [ ] zlpr ő nyoáé:,7bar,9bar,58bar zlp öz ő rl bar zlp,58 a k 5,58, rl v, a ρrl,5 zlpállá a zlp átfolyá karaktrztkájából záítató: a n,5,88 n zaz / térfogatáranál a zlp 8,8 %-ban van nytva. b) fnt lytt lgalább lyn átrztőképégű zlpr van zükég, a 9 / térfogatáraot akarunk létrozn? oz, ogy k tudjuk záoln a k v,a értékét, lőzör g kll atároznunk, ogy 9 / térfogatáranál nny a zlpr ő nyoáé. p ő zlp B öz 4,8 ő 4 bar [ ] 9,7bar,7bar,7bar,bar!!! Ez azt jlnt, ogy 9 / térfogatáranál ak a ővzték nagyobb llnállát fjt k, nt a rndlkzér álló öz nyoákülönbég, a lttln. zaz lyn zlppl (d ég zlp nélkül ) valóítató g 9 / térfogatára. 48

49 .6. fladat Egy tnológa vzték lj é vég között, bar állandó nyoákülönbég van. Ekkora nyoákülönbég atáára a vztékbn / folyadékára jön létr. folyadék adata: ρ kg/, η, - a. vztékb bépítünk gy k v,a / átrztőképégű zabályozózlpt (ponnál üz átfolyá karaktrztka, n ). a) Hány zázalékban lz nytva z a zlp 5 /, 5 / térfogatára tén? b) Mlyn térfogatára folyk át 5 %-o zlpnytá lltt? Mgoldá: a) Hány zázalékban lz nytva z a zlp 5 /, lltv 5 / térfogatára tén? gadott adatokból a ővzték nyoáéénk záítááoz zükég arányoág tényző kzáítató. p ő B ő B,bar,7 bar [ ] 5 / térfogatára tén. ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: bar ő B,7 5,6bar [ ] zlpr ő nyoáé:,bar,6bar,97bar zlp öz ő zlp rl,97 bar folyadék rlatív űrűég: ρ rl ρ ρ víz, kg kg, Száítató kkora zlpn történő nyoáénél a aál térfogatára. a k,97, rl v, a ρrl 6,5 49

50 zlpállá a zlp átfolyá karaktrztkájából záítató: a n 5 6,5,8 n zaz 5 / térfogatáranál a zlp 8 %-ban van nytva. 5 / térfogatára tén. ővztékr ő nyoáé nnél a térfogatáranál: bar ő B,7 5,7bar [ ] zlpr ő nyoáé:,bar,7bar,469bar zlp öz ő zlp rl,469 bar Száítató kkora zlpn történő nyoáénél a aál térfogatára. a k,469, rl v, a ρrl 8,75 Ez a a érték kbb, nt az lérn kívánt 5 /, azaz zzl a zlppl n ltég 5 / térfogatáraot lérn. Érdkégképpn kzáítatjuk, ogy rr a lyr bépítv zt a zlpt kkora a lgnagyobb térfogatára, at át tud ngdn. a öz bar ρrl B + k bar v,a +,bar bar,7 bar bar [ ],94 b) Mlyn térfogatára folyk át 5 %-o zlpnytá lltt? z adott, zlpn történő nyoáéz tartozó aál térfogatára képltét fogjuk aználn. a k v,a ρ rl rl 5

51 zlp üz átfolyá karaktrztkájából gállapítató, ogy 5 %-o zlpállá lltt kkora az aktuál é az adott, zlpr ő nyoáénél aál térfogatára aránya. a n, 5 n a 4, 48, zlpn történő nyoáét paraétrn záítjuk k. zlp öz ő öz B prl bar bar bar fnt özfüggékt blyttítjük az rdt gynltb. a k v,a ρ rl rl 4,48 k v,a öz B bar ρ rl Ebbn az özfüggébn ár ak a térfogatára az rtln. Blyttítjük az rt adatok értékét, é kzáítjuk a térfogatáraot. 4,48,bar,7 bar, bar [ ],79 6,55 bar [ ],bar 5

52 .. fladat. SZBÁLYOZÓKÖRÖK Egy átérőjű álló ngr ban zntzabályozát végzünk. zntt,6 éréatárú távadó ér. knő áraot gy zvattyú zállítja, aly az ára nagyágától függtlnül,5 bar nyoákülönbégt bztoít. knő vztékbn gy k v.a 5 / átrztőképégű zlp van, lynk alap átfolyá karaktrztkája lnár. ővzték lég nagy átérőjű, llnálláa lanyagolató. körbn zabályozó van, lynk rőíté. folyadék víz. kzdt taonáru állapotban a znt a ban,5, az átfolyó térfogatára /. a) bnő ára kkora ntrvalluában lz kép a zabályozó (dőbn) állandó znt tartáára? b) Mlyn ntrvalluban fog változn a ban a folyadékznt? Mgoldá: a) bnő ára kkora ntrvalluában lz kép a zabályozó (dőbn) állandó znt tartáára? bnő ára aló atára /. bnő ára flő atárát a knő áraot zabályozó zlp atározza g. Értlzrűn n aználatunk annál nagyobb bnő áraot, nt akkorát a zlp át tud rztn, különbn a gtln é túlordulna. Mvl a kfolyó ő áralá llnálláa lanyagolató, a zvattyú által bztoított nyoákülönbég tlj gézébn a zlp llnálláának lküzdéér zolgál. Így záítatjuk az lyn nyoákülönbégnél lértő aál térfogatáraot. zlp zvattyú,5bar rl,5 bar bar bar Száítató kkora zlpn történő nyoáénél a aál térfogatára. (Mvl a folyadék víz, ρ rl.) a k 5,5 rl v, a ρrl 7,68 át a bnő ára / é 7,68 / között változat. b) Mlyn ntrvalluban fog változn a ban a folyadékznt? kérdé gválazolááoz fl kll írnunk a bnő ára é a folyadékznt között átvtl függvényt. rndzrbn a bnő ára a zavará, a folyadékznt pdg a zabályozott jllző. Ez alapján az rdő átvtl függvény: z + ( ) z gy tagok átvtl függvényét g kll atározn, b kll lyttítn az rdő átvtl függvény képltéb, ajd azt kzltő forára kll ozn. 5

53 olyaat folyaat gy kényzr kfolyáú, a gy ntgráló taggal odllztő. folyaat rőíté tényzőj: D π 4,4 ( ) π ávadó távadót gy arányo taggal odllzzük. 4 távadó rőíté tényzőjét a fladatban gadott adatok alapján záítjuk k. távadó a zabályozott jllzőt alakítja át llnőrző jllé. Mvl a távadót arányo taggal odllzzük, a bnő jl (zabályozott jllző) é a knő jl (llnőrző jl) között lnár kapolat van. Ha zt a kapolatot ábrázoljuk, akkor az így kapott gyn rdkég a távadó rőíté tényzőj. zabályozott jllző a távadó éréatára alapján é,6 között változat. z llnőrző jl % é % között változat. [%],6 [] távadó rőíté tényzőj az gyn rdkég: % % % 66,67,6 Szabályozó zabályozó gy zabályozó, alynk rőíté tényzőj g van adva. Bavatkozó zrv bavatkozó zrv gy zlp. zlp alap átfolyá karaktrztkája lnár. Mvl a kfolyó ő áralá llnálláa lanyagolató, zért a zlp üz átfolyá karaktrztkája ggyzk az alap átfolyá karaktrztkával, a lnár. Eatt a bavatkozó zrvt gy arányo taggal odllzünk. 5

54 bavatkozó zrv rőíté tényzőjét a fladatban gadott adatok alapján záítjuk k. bavatkozó zrv a végrajtó jlt alakítja át ódoított jllzővé. Mvl a bavatkozó zrvt arányo taggal odllzzük, a bnő jl (végrajtó jl) é a knő jl (ódoított jllző) között lnár kapolat van. Ha zt a kapolatot ábrázoljuk, akkor az így kapott gyn rdkég a távadó rőíté tényzőj. végrajtó jl % é % között változat. ódoított jllző az a) fladatban kzáolt adatok alapján / é 7,68 / között változat. 7,68 [ /] v [%] bavatkozó zrv rőíté tényzőj az gyn rdkég: 7,68,77 % % % Erdő átvtl függvény z rdő átvtl függvényt át kll alakítan kzltő alakra. z Ez alapján a zabályozókör úgy vlkdk, nt gy lőrndű folyaat, lynk rőíté tényzőj é dőállandója:,7 % 66,67,77 % 54

55 ,4 66,67, %,77 %,7n folyadékznt aló é flő atárát úgy atározzuk g, ogy a rndzr ugrázavarára adott válazat vzgáljuk g. Egy rt taonáru állapotból ugrázavaráal jutunk l a végállapotba, é az lőrndű folyaat átnt függvény alapján fogjuk gválazoln a kérdét. fladatban gadott adatok alapján az rt taonáru állapot / térfogatáranál é,5 folyadékzntnél van. folyadékznt aló atárának gállapítááoz fltétlzzük, ogy a bnő ára a taonáru állapotból annak aló atárára, azaz /-ra k. Ebbn az tbn a zavará nagyága: a ( ) ( ) z z Mvl a zabályozókör lőrndű folyaatként vlkdk, a zabályozott jllző végtln dő úlva az alább értékr áll b: ( ) a,7,7 ˆ ( ) ( ) + ˆ ( ),5,7, folyadékznt flő atárának gállapítááoz fltétlzzük, ogy a bnő ára a taonáru állapotból annak flő atárára, azaz 7,68 /-ra ugrk. Ebbn az tbn a zavará nagyága: a ( ) ( ) z z 7,68 7,68 Mvl a zabályozókör lőrndű folyaatként vlkdk, a zabályozott jllző végtln dő úlva az alább értékr áll b: ( ) a 7,68,7, ˆ ( ) ( ) + ˆ ( ),5 +,,6 át a folyadékznt, é 6, között változat. 55

56 .. fladat Egy 5 krzttztű, aga álló ngr ban zntzabályozát végzünk zabályozóval. zabályozón bállított rőíté. távadó éréatára,6,,4 é között ér. zlp lnár alap átfolyá karaktrztkájú, k v,a 7 /. kfolyóő rövd é vatag, áralá llnálláa lanyagolató. ő vég 5 -rl a alja fltt van. folyadék víz. z alapjl úgy van bállítva, ogy,75 - zntnél a zlp tljn nytva van. a) Mlyn ntrvalluban változat a bnő ára? b) Mlyn ntrvalluban fog változn a znt? Mgoldá: a) Mlyn ntrvalluban változat a bnő ára? bnő ára aló atára /. bnő ára flő atárát a knő áraot zabályozó zlp atározza g. Értlzrűn n aználatunk annál nagyobb bnő áraot, nt akkorát a zlp át tud rztn, különbn a gtln é túlordulna. Ha nn gadva, ogy a zvattyú kkora nyoákülönbégt bztoít, akkor a gy zabad kfolyáú, é a nyoákülönbégt a ban lvő folyadék droztatka nyoáa alapján záítjuk. zlp tljn nytott álláánál a folyadékznt,75. kfolyó ő vég a alja fltt 5 -r van. Így a droztatka nyoá záítááoz zükég folyadékznt agaága:,75,5,5 z lyn aga vízozlop droztatka nyoáa: kg ρ g,5 9,8 475a,47bar Mvl a kfolyóő áralá llnálláa lanyagolató, z a nyoákülönbég tlj gézébn a zlp llnálláának lküzdéér zolgál. Így záítatjuk az lyn nyoákülönbégnél lértő aál térfogatáraot. bar,47 rl Száítató kkora zlpn történő nyoáénél a aál térfogatára. (Mvl a folyadék víz, ρ rl.) a k v,a ρ rl rl 7,47 6,84 át a bnő ára / é 6,84 / között változat. 56

57 b) Mlyn ntrvalluban fog változn a znt? kérdé gválazolááoz fl kll írnunk a bnő ára é a folyadékznt között átvtl függvényt. rndzrbn a bnő ára a zavará, a folyadékznt pdg a zabályozott jllző. Ez alapján az rdő átvtl függvény: z + ( ) z gy tagok átvtl függvényét g kll atározn, b kll lyttítn az rdő átvtl függvény képltéb, ajd azt kzltő forára kll ozn. olyaat folyaat gy zabad kfolyáú, a gy lőrndű taggal odllztő. + folyaat rőíté tényzőj é dőállandója a taonáru állapot adata alapján:,75, k 6,84 5,75,65 k 6,84 ávadó távadót gy arányo taggal odllzzük. távadó rőíté tényzőjét a fladatban gadott adatok alapján záítjuk k. távadó a zabályozott jllzőt alakítja át llnőrző jllé. Mvl a távadót arányo taggal odllzzük, a bnő jl (zabályozott jllző) é a knő jl (llnőrző jl) között lnár kapolat van. Ha zt a kapolatot ábrázoljuk, akkor az így kapott gyn rdkég a távadó rőíté tényzőj. zabályozott jllző a távadó éréatára alapján é,6 között változat. (Ugyanarra az rdényr jutunk, a a távadó bépítééből kövtkző, é,9 atárokat aználjuk.) z llnőrző jl % é % között változat. [%] [],6,,9 57

58 távadó rőíté tényzőj az gyn rdkég: % % % % % 66,67,6,9, Szabályozó zabályozó gy zabályozó, alynk rőíté tényzőj g van adva. Bavatkozó zrv bavatkozó zrv gy zlp. zlp alap átfolyá karaktrztkája lnár. Mvl a kfolyó ő áralá llnálláa lanyagolató, zért a zlp üz átfolyá karaktrztkája ggyzk az alap átfolyá karaktrztkával, a lnár. Eatt a bavatkozó zrvt gy arányo taggal odllzünk. bavatkozó zrv rőíté tényzőjét a fladatban gadott adatok alapján záítjuk k. bavatkozó zrv a végrajtó jlt alakítja át ódoított jllzővé. Mvl a bavatkozó zrvt arányo taggal odllzzük, a bnő jl (végrajtó jl) é a knő jl (ódoított jllző) között lnár kapolat van. Ha zt a kapolatot ábrázoljuk, akkor az így kapott gyn rdkég a távadó rőíté tényzőj. végrajtó jl % é % között változat. ódoított jllző az a) fladatban kzáolt adatok alapján / é 6,84 / között változat. 6,84 [ /] v [%] bavatkozó zrv rőíté tényzőj az gyn rdkég: 6,84,68 % % % Erdő átvtl függvény z rdő átvtl függvényt át kll alakítan kzltő alakra. z

59 Ez alapján a zabályozókör úgy vlkdk nt gy lőrndű folyaat, lynk rőíté tényzőj é dőállandója: + +,,84 % +, 66,67,68 %,65 9, % +, 66,67,68 %,55n folyadékznt aló é flő atárát úgy atározzuk g, ogy a rndzr ugrázavarára adott válazat vzgáljuk g. Egy rt taonáru állapotból ugrázavaráal jutunk l a végállapotba, é az lőrndű folyaat átnt függvény alapján fogjuk gválazoln a kérdét. fladatban gadott adatok alapján az rt taonáru állapot tljn nytott zlpállánál é,75 folyadékzntnél van. z a) fladat alapján tljn nytott zlpállánál a térfogatára 6,84 /. Ez az gyk vzgáln kívánt állapot, így a folyadékznt flő atára,75. folyadékznt aló atárának gállapítááoz fltétlzzük, ogy a bnő ára a taonáru állapotból annak aló atárára, azaz /-ra k. Ebbn az tbn a zavará nagyága: a ( ) ( ) z z 6,84 6,84 Mvl a zabályozókör lőrndű folyaatként vlkdk, a zabályozott jllző végtln dő úlva az alább értékr áll b: ( ) a 6,84,84,5 ˆ ( ) ( ) + ˆ ( ),75,5,7 át a folyadékznt 7 é 75 között változat. 59

60 .. fladat Egy 4 krzttztű,,5 aga álló ngr ban zntzabályozát végzünk, zabályozóval. zabályozón bállított rőíté. távadó éréatára,8,,4 é, között ér. zlp lnár alap átfolyá karaktrztkájú, k v,a 5 /. kfolyó ő rövd é vatag, áralá llnálláa lanyagolató, a ő vég 5 -rl a alja alatt van. folyadék víz. z alapjl úgy van bállítva, ogy - zntnél a zlp tljn nytva van. a) Mlyn ntrvalluban változat a bnő ára? b) Mlyn ntrvalluban fog változn a znt? Mgoldá: a) Mlyn ntrvalluban változat a bnő ára? bnő ára aló atára /. bnő ára flő atárát a knő áraot zabályozó zlp atározza g. Értlzrűn n aználatunk annál nagyobb bnő áraot, nt akkorát a zlp át tud rztn, különbn a gtln é túlordulna. Ha nn gadva, ogy a zvattyú kkora nyoákülönbégt bztoít, akkor a gy zabad kfolyáú, é a nyoákülönbégt a ban lvő folyadék droztatka nyoáa alapján záítjuk. zlp tljn nytott álláánál a folyadékznt. kfolyó ő vég a alja alatt 5 -r van. Így a droztatka nyoá záítááoz zükég folyadékznt agaága: (,5),5 z lyn aga vízozlop droztatka nyoáa: kg ρ g,5 9,8 7,5a,bar Mvl a kfolyóő áralá llnálláa lanyagolató, z a nyoákülönbég tlj gézébn a zlp llnálláának lküzdéér zolgál. Így záítatjuk az lyn nyoákülönbégnél lértő aál térfogatáraot. bar, rl Száítató kkora zlpn történő nyoáénél a aál térfogatára. (Mvl a folyadék víz, ρ rl.) a k v,a ρ rl rl 5,,45 át a bnő ára / é,45 / között változat. 6

61 b) Mlyn ntrvalluban fog változn a znt? kérdé gválazolááoz fl kll írnunk a bnő ára é a folyadékznt között átvtl függvényt. rndzrbn a bnő ára a zavará, a folyadékznt pdg a zabályozott jllző. Ez alapján az rdő átvtl függvény: z + ( ) z gy tagok átvtl függvényét g kll atározn, b kll lyttítn az rdő átvtl függvény képltéb, ajd azt kzltő forára kll ozn. olyaat folyaat gy zabad kfolyáú, a gy lőrndű taggal odllztő. + folyaat rőíté tényzőj é dőállandója:,7 k,45 4,68 k,45 ávadó távadót gy arányo taggal odllzzük. távadó rőíté tényzőjét a fladatban gadott adatok alapján záítjuk k. távadó a zabályozott jllzőt alakítja át llnőrző jllé. Mvl a távadót arányo taggal odllzzük, a bnő jl (zabályozott jllző) é a knő jl (llnőrző jl) között lnár kapolat van. Ha zt a kapolatot ábrázoljuk, akkor az így kapott gyn rdkég a távadó rőíté tényzőj. zabályozott jllző a távadó éréatára alapján é,8 között változat. (Ugyanarra az rdényr jutunk, a a távadó bépítééből kövtkző,4 é, atárokat aználjuk.) z llnőrző jl % é % között változat. [%] [],8,4, 6

62 távadó rőíté tényzőj az gyn rdkég: % % % % % 5,8,,4 Szabályozó zabályozó gy zabályozó, alynk rőíté tényzőj g van adva. Bavatkozó zrv bavatkozó zrv gy zlp. zlp alap átfolyá karaktrztkája lnár. Mvl a kfolyó ő áralá llnálláa lanyagolató, zért a zlp üz átfolyá karaktrztkája ggyzk az alap átfolyá karaktrztkával, a lnár. Eatt a bavatkozó zrvt gy arányo taggal odllzünk. bavatkozó zrv rőíté tényzőjét a fladatban gadott adatok alapján záítjuk k. bavatkozó zrv a végrajtó jlt alakítja át ódoított jllzővé. Mvl a bavatkozó zrvt arányo taggal odllzzük, a bnő jl (végrajtó jl) é a knő jl (ódoított jllző) között lnár kapolat van. Ha zt a kapolatot ábrázoljuk, akkor az így kapott gyn rdkég a távadó rőíté tényzőj. végrajtó jl % é % között változat. ódoított jllző az a) fladatban kzáolt adatok alapján / é,45 / között változat.,45 [ /] v [%] bavatkozó zrv rőíté tényzőj az gyn rdkég:,45,5 % % % Erdő átvtl függvény z rdő átvtl függvényt át kll alakítan kzltő alakra. z

63 Ez alapján a zabályozókör úgy vlkdk nt gy lőrndű folyaat, lynk rőíté tényzőj é dőállandója: + +,7,4 % +,7 5,5 %,68,4 % +,7 5,5 %,8n folyadékznt aló é flő atárát úgy atározzuk g, ogy a rndzr ugrázavarára adott válazat vzgáljuk g. Egy rt taonáru állapotból ugrázavaráal jutunk l a végállapotba, é az lőrndű folyaat átnt függvény alapján fogjuk gválazoln a kérdét. fladatban gadott adatok alapján az rt taonáru állapot tljn nytott zlpállánál é folyadékzntnél van. z a) fladat alapján tljn nytott zlpállánál a térfogatára,45 /. Ez az gyk vzgáln kívánt állapot, így a folyadékznt flő atára. folyadékznt aló atárának gállapítááoz fltétlzzük, ogy a bnő ára a taonáru állapotból annak aló atárára, azaz /-ra k. Ebbn az tbn a zavará nagyága: a ( ) ( ) z z,45,45 Mvl a zabályozókör lőrndű folyaatként vlkdk, a zabályozott jllző végtln dő úlva az alább értékr áll b: ( ) a,45,4,78 ˆ ( ) ( ) + ˆ ( ),78,9 át a folyadékznt 9, é között változat. 6

64 .4. fladat Egy,5 átérőjű, álló ngr ban a zntt, körül akarjuk zabályozn az átnő áratól függtlnül. zárt, a folyadék fltt térbn, bar állandó túlnyoá van. távadó éréatára 8, a zntt,8 é,6 között ér. kfolyó áraot lnár alap átfolyá karaktrztkájú zabályozózlppl változtatjuk, k v,a 45 /. ővzték llnálláa lanyagolató. körbn zabályozó van, lynk rőíté tényzőj. z alapjl úgy van bállítva, ogy, folyadékznt tén a kfolyó ára 5 /. folyadék víz. a) Mkkora változá ngdtő g a bnő áraban? b) Írja fl a zabályozókör () ( ) átvtl függvényét! ) Mlyn ntrvalluban fog változn a folyadékznt? b () Mgoldá: a) Mkkora változá ngdtő g a bnő áraban? bnő ára aló atára /. bnő ára flő atárát a knő áraot zabályozó zlp atározza g. Értlzrűn n aználatunk annál nagyobb bnő áraot, nt akkorát a zlp át tud rztn, különbn a túlordulna. Ha nn gadva, ogy a zvattyú kkora nyoákülönbégt bztoít, akkor a gy zabad kfolyáú, é a nyoákülönbégt a ban lvő folyadék droztatka nyoáa alapján záítjuk. Ebbn a fladatban z ég ozzáadódk a folyadék fltt zárt tér állandó túlnyoáa. fladatban nn gadva, ogy tljn nytott zlpállánál kkora a folyadékznt. Vzont a a zntt, körül akarjuk tartan, akkor az azt jlnt, ogy zoro zntzabályozát végzünk. Ha z tljül, akkor a folyadékznt zélőég tbn fog nagyon ltérn a kívánt, -től, é így a folyadékozlop droztatka nyoáa fog nagyon változn. Eatt a nyoákülönbég záítáánál, folyadékznttl záolunk. (Mgjgyzé: Ilyn jllgű közlíték tén a fladat végén érd llnőrzn, ogy valóban lanyagolató bát vétünk- zzl a közlítél.) z lyn aga vízozlop droztatka nyoáa: kg dr ρ g, 9,8 9a,bar Mvl a ővzték áralá llnálláa lanyagolató, a nyoákülönbég tlj gézébn a zlp llnálláának lküzdéér zolgál. Így záítatjuk az lyn nyoákülönbégnél lértő aál térfogatáraot. lvgő + dr,bar +,bar rl,5 bar bar Száítató kkora zlpn történő nyoáénél a aál térfogatára. (Mvl a folyadék víz, ρ rl.) 64