SZILÁRDSÁGTAN FOGALOMTÁR

Átírás

1 SZENT STVÁN EGYETEM Gépésmérnöki Kar LEVELEZŐ TAGOZAT Alapképés (BSc) SZLÁRDSÁGTAN FOGALOMTÁR össeállította: DR. GELENCSÉR ENDRE Gödöllő, 01

2

3 TARTALOM ELŐSZÓ... FOGALMAK... 3 ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK, VÁLASZOK RODALOM

4 ELŐSZÓ Ön, Tistelt Kolléga egy a tanulását segítő, gyors, és hatékony esköhö jutott hoá. Mindenek előtt le kell sögeni, hogy e a rövid, tömör össefoglaló nem helyettesíti a tankönyvet! Erre utal a a tény is, hogy minden egyes fogalom után feltüntettük at a oldalsámot, vagy oldalsámokat ahol a tankönyvben minden résletesen megtalálható. A hivatkoások rendre a Mechanika Mérnököknek tankönyvsoroat Statika, Silárdságtan, és Mogástan köteteire vonatkonak: [1] Dr. M. Csimadia B.-Dr. Nándori E. (serk.), Serők: Dr. M. Csimadia B.-Dr. Fekete T.-Dr. Gelencsér E.-Dr. Kiscelli L.-Dr. Nándori E.-Dr. Müller Z.: Mechanika Mérnököknek. Statika. (negyedik kiadás) Nemeti Tankönyvkiadó, Gödöllő-Budapest, 009, 566 p. [] Dr. M. Csimadia B.-Dr. Nándori E. (serk.), Serők: Dr. M. Csimadia B.-Dr. Csorba L.-Dr. Égert J.-Dr. Fekete T.-Dr. Gelencsér E.-Dr. Kósa Cs.-Dr. Nándori E.-Dr. Müller Z.: Mechanika Mérnököknek. Silárdságtan. (második kiadás) Nemeti Tankönyvkiadó, Budapest-Gödöllő-Győr, 00, 595 p. [3] Dr. M. Csimadia B.-Dr. Nándori E. (serk.), Serők: Dr. M. Csimadia B.-Dr. Csorba L.-Dr. Horváth P.- Dr. Sabó Z.-Dr. Müller Z.: 001. Mechanika Mérnököknek. Mogástan. (második kiadás) Nemeti Tankönyvkiadó, Budapest-Gödöllő-Győr, 001, 556 p. A sortávolságot sándékosan nagyobbra válastottuk, hogy lehetőség legyen a felkésülés során bejegyésekre, kiegésítésekre. A alkalmaott jelölések nyomtatásban a tankönyv mindhárom kötetében egységesek: a a félkövér sedésű, álló kis betű vektort jelent (gyorsulás vektor), F a félkövér sedésű álló nagy betű vektort jelent (erő vektor), F a félkövér sedésű dőlt nagy betű tenort jelent, (fesültség tenor). a a normál sedésű, dőlt kis betű skalárt jelent (gyorsulás nagysága), F a normál sedésű, dőlt nagy betű skalárt jelent (erő nagysága). Fenti mennyiségeket a normál írásban is meg kell egymástól különbötetni. Ennek egy lehetséges módja, amit igen elterjedten alkalmaunk: g a normál írásmódú kis betű egy felülvonással vektort jelent, (gyorsulás vektor) F a normál írásmódú nagy betű egy felülvonással vektort jelent, (erő vektor) F a normál írásmódú nagy betű két felülvonással tenort jelent, (fesültség tenor) a a normál írásmódú dőlt kis betű skalárt jelent (gyorsulás nagysága), F a normál írásmódú dőlt nagy betű skalárt jelent (erő nagysága). EREDMÉNYES FELKÉSZÜLÉST!

5 FOGALMAK 1. Alakváltoás ([] 154. oldal) Alakváltoás akkor jön létre, ha a egymásho kapcsolódó anyagi pontok köötti távolságok a eltolódások követketében megváltonak.. Alakváltoási munka ([] 181. oldal) A alakítható testet terhelő erőrendsernek a testen létrejövő elmodulások során végett munkáját alakváltoási munkának neveük. 3. Alakváltoási tenor ([] 16. oldal) A alakváltoási tenor mátrixa: 1 1 ε x γ yx γ x 1 1 A γ xy ε y γ y. 1 1 γ x γ y ε A alakváltoási vektorok (geometriai jelentésük serint fajlagos eltolódási vektorok): ahol 1 1 ax iε + j γ + k γ 1 1 ay i γ +jε + k γ 1 1 a i γ x + j γ y +kε x xy x yx y y γ xy γ yx ; γ y γ y ; γ x γ x, vagyis a alakváltoási tenor mátrixa - a fesültségi tenorého hasonlóan - simmetrikus. 4. Anyagegyenletek ([] 331. oldal) A lineárisan rugalmas, iotrop anyagok viselkedése mindig két anyagjellemővel írható le. A E rugalmassági modulussal és a ν Poisson-tényeővel A 1 + ν F ν F E 1 +, F A E E ν E + ν A +. 1 ν 1 ν 5. Belső energia ([] 184. oldal) A alakváltoási energiát a belső erők munkájaként határohatjuk meg. 6. Betti tétele ([] 4. oldal) At a munkát, amelyet valamely erőrendser egy másik erőrendser által létrehoott elmodulás során vége, idegen munkának neveük. Betti tétele (idegen munkák egyenlőségének tétele): valamely egyensúlyi erőrendser ugyanakkora munkát vége egy másik egyensúlyi erőrendser által létrehoott elmodulás 3

6 során, mint a másik a első által létrehoott elmodulás során. W 1 W 1, U 1 U 1, W 1 U Bitonsági tényeő ([] 57. oldal) A bitonsági tényeő egynél nagyobb sám (n > 1). Eért a K meg < K hat, feltételnek teljesülnie kell, aa a megengedett jellemő mennyiség kisebb a előírt határértéknél. 8. Castigliano tétele ([] 55. oldal) Valamely statikailag határoott serkeet tetsőleges pontjának i irányú eltolódása egyenlő a alakváltoási energiának a adott pontban i irányban ható erő serinti parciális deriváltjával. A pont környeetének j tengely körüli sögelfordulása pedig a alakváltoási energiának a adott pontban ható, a j irányú nyomaték serinti parciális deriváltjával egyenlő. 9. Csústató rugalmassági modulus ([] 40. oldal) A τ xy csústatófesültség és a γ xy sögtorulás a kísérleti eredmények serint a egyserű Hooke-törvényhe hasonló törvényserűséggel írható fel: τ xy Gγ. xy E at jelenti, hogy a sögtorulás mértéke egyenesen arányos a csústatófesültséggel. A G arányossági tényeőt csústató rugalmassági modulusnak neveük, ami sintén anyagjellemő. Ennek értéke a E Young-modulusból és a ν Poisson-tényeőből sámítható. 10. Csústató fesültség ([]. oldal) A fesültségvektor felbontható a n m k jobbsodrású lokális koordináta-rendserben σ n n normálfesültségre és a kerestmetset síkjába eső τ csústató fesültségre. Lásd a 1.5.b. ábrát! A csústatófesültség első indexe a felületi normálist, a második indexe a csústatófesültség irányát jelöli. Általános esetben a síkbeli csústatófesültségnek még további két koordinátája lehet. 11. Dualitás ([] 41. oldal) A τ csústatófesültségek mindig párosával keletkenek, két egymásra merőleges felületen nagyságuk megegyeik, forgatási értelmük ellentétes: τ xy τ yx. E a elemi résekre vonatkoó nyomatéki egyensúlyi feltételek teljesülésének a követkeménye. Dualitás ([] 14. oldal) A test belsejében bármely két egymásra merőleges síkban a csústatófesültségeknek a síkok metsésvonalára merőleges össetevői egyenlő nagyságúak és mindkettő nyila egyformán vagy a metsésvonal felé, vagy ellentétes irányba mutat (4.6. ábra): E a τ fesültségek dualitásának tétele. m nm τ xy τ yx, τ x τ x, τ y τ y. 1. Egyenes hajlítás ([] 30. oldal) Egyenes hajlításról akkor besélünk, ha a nyomatékvektor iránya párhuamos a egyik kerestmetseti főiránnyal. 4

7 13. Egyensilárdságú rúd ([] 59. oldal) Egyensilárdságú a rúd, test vagy serkeet, ha annak valamennyi kerestmetsete a vesélyesség sempontjából egyenértékű. 14. Egytengelyű fesültségállapot ([] 3. oldal) Egytengelyű a fesültségállapot, ha a adott ponton átmenő tetsőleges irányho tartoó fesültségvektorok mind egy tengellyel párhuamosak. Lásd a 1.3. ábrát és a 1.8.b. c. ábrát! 15. Elfordulásvektor ([] 36. oldal) A tartó súlyvonala P pontjának xy koordináta-rendserben értelmeett t P u P i + v P j+ w P k eltolódásvektora megadja a adott pont terhelés után felvett helyetét. A tartó A kerestmetsetének Δϕ A Δϕ x i + Δϕ y j+ Δϕ k elfordulásvektora megadja a adott kerestmetset x, y, tengely körüli elfordulásait. A súlyvonal P pontjának eltolódását és a P pontot tartalmaó A kerestmetset elfordulását együtt a tartó A kerestmetsete elmodulásának neveük. 16. Elmodulás ([] 36. oldal) A tartó súlyvonala P pontjának xy koordináta-rendserben értelmeett t P u P i + v P j+ w P k eltolódásvektora megadja a adott pont terhelés után felvett helyetét. A tartó A kerestmetsetének Δϕ A Δϕ x i + Δϕ y j+ Δϕ k elfordulásvektora megadja a adott kerestmetset x, y, tengely körüli elfordulásait. A súlyvonal P pontjának eltolódását és a P pontot tartalmaó A kerestmetset elfordulását együtt a tartó A kerestmetsete elmodulásának neveük. 17. Eltolódásvektor ([] 36. oldal) A tartó súlyvonala P pontjának xy koordináta-rendserben értelmeett t P u P i + v P j+ w P k eltolódásvektora megadja a adott pont terhelés után felvett helyetét. A tartó A kerestmetsetének Δϕ A Δϕ x i + Δϕ y j+ Δϕ k elfordulásvektora megadja a adott kerestmetset x, y, tengely körüli elfordulásait. A súlyvonal P pontjának eltolódását és a P pontot tartalmaó A kerestmetset elfordulását együtt a tartó A kerestmetsete elmodulásának neveük. Eltolódásvektor ([] 157. oldal) Ha a visgált pont elemi környeetében ismerjük három egymásra merőleges egységvektor végpontjának eltolódását, akkor bármely köeli pont eltolódása egyértelműen meghatároható: Δt Δx+ ϑ Δy+ ϑ Δ. ϑ x y 18. Energiasűrűség ([] 185. oldal) Energiasűrűségen a egységnyi térfogatra jutó alakváltoási energiát értjük: du du u. dv dxdyd 19. Erő munkája ([] 180. oldal) Egy erő támadáspontjának dr elmodulása során a erő Fdr elemi munkát vége. Két pont köötti véges elmodulásnál a erő munkája a elemi munkák össessége, vagyis a erő út serinti integrálja. Lásd a 4.4. ábrát! 5

8 r W Fdr. r 1 A munka skaláris mennyiség. A elemi munka lehet poitív, negatív, illetve érus aserint, hogy a erő a elmodulás irányával hegyes-, tompa-, illetve deréksöget ár be. Fiikai értelmeés serint a munka akkor poitív, ha a erővektor és a elmodulás vektor erőirányú vetülete aonos értelműek, negatív akkor, ha a erővektor és a elmodulás vektor erőirányú vetülete ellentett értelműek, érus, ha a két vektor merőleges egymásra. A munka mértékegysége a fenti egyenletből követkeően: [W] Nm J. 0. Fajlagos nyúlás ([] 0. oldal) A húott rúd terhelés hatására a hossát úgy váltotatja meg, hogy a a hosstengely mentén pontról pontra aonos mértékű megnyúlásokból tevődik össe. A megnyúlásra jellemő mennyiség a ε fajlagos nyúlás, amely a Δ l l l 0 megnyúlásból sámítható: Δl ε, l 0 amely dimenió nélküli sám, és e tista, homogén húásnál (nyomásnál) a rúd tengelye mentén állandó. 1. Ferde hajlítás ([] 88. oldal) Ferde hajlításnak neveük at a igénybevételi esetet, amelynél a hajlítónyomaték vektora a kerestmetset egyik tehetetlenségi főirányával sem párhuamos.. Fesültség ([] 18. oldal) Ha a húott rudat bármely K kerestmetsetének tetsőleges P pontján át a köépvonalra merőlegesen gondolatban elvágjuk, akkor itt a igénybevétel N F, és a itt keletkeő belső erőrendser, amelynek intenitását σ -val jelöljük, megegyeik a terhelő erőrendserrel: σ p. A rúdra felvitt négyetháló aonos mértékű torulásából követkeik, hogy húásnál a normálfesültség egyenletes eloslású a kerestmetset mentén. Lásd a 1..c. ábrát! σ F A 0. Et a σ belső erőintenitást fesültségnek neveük. 3. Fesültség ([]. oldal) A felületen megosló belső erőrendser intenitását fesültségnek neveük, és ρ n fesültségvektorral adjuk meg: ΔF b dfb ρ n lim. Δ A 0 ΔA da A fesültségvektort a test egy P pontjáho és a da felületelem n normálirányáho rendeljük hoá. A fesültségvektor felbontható a n m k jobbsodrású lokális koordináta rendserben σ normálfesültségre és a kerestmetset síkjába eső τ m csústatófe- n n nm 6

9 sültségre. A fesültség mértékegysége: N/m vagy Pa (paskál), illetve N/mm vagy MPa (megapaskál). 4. Fesültségállapot ([] 3. oldal) Adott ponton átmenő, valamennyi irányho hoárendelt fesültségvektorok össességét a test adott pontjáho tartoó fesültségállapotnak neveük, amelyet a ρ ρ( n ) függvényként írhatunk fel. 5. Fesültségállapot ([] 11. oldal) A silárd test valamely pontjában térbelinek (háromtengelyűnek) neveük a fesültségállapotot, ha a ponton át három olyan metsősík fektethető, amelyekhe tartoó ρ fesültségvektorok nullától különböőek és a síkjukra merőlegesek. 6. Fesültségi Mohr-kör ([] 3. oldal) A fesültségállapotot egyik lehetőségként a fesültségi Mohr-körrel ábráolhatjuk, amit a adott ponton átmenő valamennyi irányho hoárendelt fesültségvektorok koordinátái határonak meg a σ τ síkon. A kör köéppontja a σ tengelyen van. Fesültségi Mohr-kör ([] 136. oldal) Valamely fősíkba eső össes n irányvektorho tartoó σ n,τ n értékei a σ, τ koordinátarendserben egy kört határonak meg. 7. Fesültségvektor ([]. oldal) A felületen megosló belső erőrendser intenitását fesültségnek neveük, és ρ n fesültségvektorral adjuk meg: ΔF b dfb ρ n lim. Δ A 0 ΔA da n n A fesültségvektort a test egy P pontjáho és a da felületelem n normálirányáho rendeljük hoá. A fesültségvektor felbontható a n m k jobbsodrású lokális koordináta rendserben σ normálfesültségre és a kerestmetset síkjába eső τ m csústatófesültségre. A fesültség mértékegysége: N/m vagy Pa (paskál), illetve N/mm vagy MPa (megapaskál). 8. Főfesültségek ([] 131. oldal) A karakteristikus egyenlet gyökeit a fesültségállapot főfesültségeinek neveük. 9. Főirányok ([] 131. oldal) A főfesültségekhe tartoó irányokat a fesültségi állapot főirányainak, a főirányokkal párhuamos egyeneseket a P pontho tartoó fesültségi főtengelyeknek, a főirányokra merőleges síkokat főfesültségi síkoknak neveük. A fesültségi főirányok egymásra kölcsönösen merőlegesek. 30. Főmásodrendű nyomaték ([1] 445. oldal) A elforgatott koordinátatengelyekre sámított ekvatoriális másodrendű nyomatékok sélsőértékét főmásodrendű nyomatékoknak neveük. nm 7

10 31. Főtengely, főirány ([1] 445. oldal) A elforgatott koordinátatengelyeket főtengelyeknek neveük, ha a aokra sámított ekvatoriális másodrendű nyomatékoknak sélsőértékük van. Een tengelyek irányai a főirányok. 3. Hajlítás tengelye ([] 31. oldal) A kerestmetset aon pontjait, melyekben a fesültségek értéke érus semleges tengelynek neveük, a súlyponton átmenő hajlítónyomaték vektor irányába eső egyenest pedig a hajlítás tengelyének. Egyenes hajlítás esetén a hajlítás tengelye és a semleges tengely egybeesik. Hajlítás tengelye ([] 89. oldal) A hajlítás tengelye a hajlítónyomaték vektorával párhuamos egyenes, amely a kerestmetset síkjában van és átmegy annak súlypontján. 33. Hajlítómerevség ([] 36. oldal) A rugalmas sál diffeerenciálegyenlete: ( x) M v. E A neveőben sereplő E soratot a tartó hajlítómerevségének hívjuk. 34. Határállapot ([] 55. oldal) At a állapotot, amelynek bekövetketekor a serkeet a rendeltetésserű hasnálatra alkalmatlanná válik, határállapotnak neveük. 35. Határgörbe (tönkremeneteli) ([] 191. oldal) A σ τ síkon at a görbét, amely a adott anyagra a tönkremenetelt okoó különböő fesültségállapotokho tartoó Mohr-köröket burkolja, tönkremeneteli határgörbének neveük. 36. Homogén igénybevétel ([] 17. oldal) Homogén a igénybevétel, ha a rúdsakas minden kerestmetsetében aonos igénybevétel van. 37. Hooke-törvény ([] 1. oldal) A σ E ε, a acélok kedeti terhelési sakasára érvényes törvényserűséget Hooke (ejtsd: huk) fedete fel, eért et egyserű Hooke-törvénynek neveük, ahol E a ún. rugalmassági vagy Young-modulus (ejtsd: jung) a anyagtól és csak a anyagtól függő állandó. Értéke acélokra: GPa (gigapaskál). Hooke-törvény ([] 171. oldal) A fesültségi és a alakváltoási állapot kapcsolatát a alábbi, egymással egyenértékű össefüggések határoák meg. A össefüggéseket általános Hooke-törvénynek neveük: A 1 F ν E F G 1 +, F ν ν G A + A E 1 ν. 8

11 38. degen munka ([] 4. oldal) At a munkát, amelyet valamely erőrendser egy másik erőrendser által létrehoott elmodulás során vége, idegen munkának neveük. 39. otrop ([] 330. oldal) otropnak a olyan testeket (anyagokat) neveük, amelyek anyagi tulajdonságai iránytól függetlenek. 40. Karcsúsági tényeő ([] 507. oldal) A λ karcsúsági tényeő a l 0 egyenértékű rúdhoss és a legkisebb inerciasugár hányadosa: l i 0 λ ahol A. i 41. Képlékeny kihajlás ([] 508. oldal) A Euler által leveetett kihajlási hiperbola csak a anyag rugalmas tartományában hasnálható. Ha a λ < λ A, akkor σ krit > σ A, itt már a kihajlás nem rugalmasan játsódik le. A rövidebb (ömök) rudakra vonatkoóan elsősorban a magyar Tetmajer Lajos ( ) kísérleteit kell kiemelni, aki kimutatta, hogy λ < λ A esetén a rudak a Euler-féle képletből sámítottnál kisebb fesültség mellett is kihajlanak. Tetmajer a kísérletek alapján a kritikus fesültség sámítására különféle anyagokho σ krit a bλ alakú egyeneseket adott meg, amely egyenesek a Euler-hiperbolát a λ A -ho tartoó pontban metsik. Lásd a ábrát! A egyenes termésetesen csak a folyáshatár eléréséig hasnálható. 4. Kerestirányú fajlagos nyúlás ([] 1. oldal) A kísérleti eredmények alapján egy ε ker kerestirányú fajlagos nyúlást. A visgálatokat sámos lineárisan rugalmas anyagtulajdonságú anyagra elvégeve megállapítható, hogy a ε csak a hossirányú nyúlástól és a anyagtól függ: ker ε ker νε, ahol ν a Poisson (ejtsd: poásson)-tényeő, ami dimenió nélküli sám és anyagállandó. Értéke acélokra hoávetőlegesen ν 0,3. Sokásos a m1/ν (Poisson-sám) hasnálata is. 43. Kerestmetset belső magja ([] 111. oldal) A kerestmetset belső magja aon döféspontok mértani helye, amelyeken ható normálerő esetén a kerestmetseten csak egyféle előjelű fesültség keletkeik. A belső mag határoló pontjai aok a döféspontok, amelyek a kerestmetsetet érintő, de at nem metső semleges tengelyekhe tartonak. 44. Kerestmetset vesélyes pontja ([] 08. oldal) Valamely kerestmetset vesélyes pontja a, ahol a adott igénybevételek együttes hatására a legnagyobb redukált fesültség keletkeik. 9

12 45. Kerestmetseti tényeő ([] 3. oldal) A másodrendű nyomaték és a legnagyobb sélső sál távolság hányadosát kerestmetseti tényeőnek neveük. Hajlításnál K y max. 46. Konervatív erő ([] 180. oldal) Konervatív erőnek neveük a erőt, ha van olyan U U ( r) egyértékű skalár függvény, melynek helyvektor serinti negatív deriváltja (gradiense) a erő: du F. dr A U U () r függvényt potenciálnak, vagy másképpen helyeti energiának neveük. 47. Köepes fajlagos nyúlás ([] 169. oldal) A köepes fajlagos nyúlás: 1 ε k ( ε + ε + ε ) ( ε + ε ε ) 1 3 x y, a alakváltoási tenor főátlójában lévő elemek sámtani átlaga. 48. Köepes fesültség ([] 150. oldal) Egy általános fesültségállapot köepes fesültségének neveük a három egymásra merőleges felületen működő normál-fesültségek sámtani átlagát. 1 1 ( σ x + σ y + σ ) ( σ1 + σ + 3 ) F 1 σ k σ, ahol F a fesültségi tenor első invariánsa. 49. Kritikus erő ([] 505. oldal) A két végén csuklóval rögített rúd kihajlása során a terhelés hatására a rúdvégek egymás felé köelednek, a csuklókban sabadon elfordulhatnak, de a csuklók továbbra is aonos függőlegesen maradnak. A F krit kritikus erő hatására a rúd labilis helyetbe kerül. Lásd a 1.11.b. ábrát! 50. Külpontos húás ([] 10. oldal) A igénybevételt akkor neveük külpontos húásnak (nyomásnak), ha a kerestmetsetre ható erőrendser eredője a rúd tengelyével párhuamos egyetlen olyan erő, amelynek hatásvonala nem megy át a kerestmetset súlypontján. 51. Maxwell felcserélhetőségi tétele ([] 54. oldal) deális kényserekkel megtámastott test tetsőleges P 1 ill. P pontjában e 1 ill. e irányú és F nagyságú erő hat. A P 1 pontban ható erő hatására a P pont e irányában létrejövő eltolódás ugyanakkora, mint a P pontban ható erő hatására a P 1 pont e 1 irányában létrejövő eltolódás. 5. Méreteés ([] 57. oldal) At a folyamatot, amelynek során a méreteési alapegyenletből a konstrukció, a terhelés 10

13 és a anyagjellemők ismeretében a visgált serkeet méreteit határouk meg, méreteésnek neveük. Lásd a (.1) össefüggést! Amikor a méreteési alapegyenletből a serkeeti elem és annak terhelése ismeretében a bitonsági tényeő sámítása a cél, ellenőrést végünk. Lásd a (.) össefüggést! Ha a serkeeti elem terhelési módja, geometriája, és anyagjellemői ismeretében a legnagyobb lehetséges terhelést sámítjuk, a terhelhetőség meghatároását végeük. 53. Mértékadó határállapot ([] 56. oldal) Mértékadó a a határállapot, amely egy adott serkeeten meghatároott terhelés és üemi körülmények köött elősör jelentkeik. 54. Normálfesültség ([]. oldal) A fesültségvektor felbontható a n m k jobbsodrású lokális koordináta-rendserben σ n n normálfesültségre és a kerestmetset síkjába eső τ nm m csústatófesültségre. Lásd a 1.5.b. ábrát! 55. Nyírási köéppont ([] 0. oldal) Nyitott selvényű rudak esetén a nyíró- és hajlító-igénybevételből sámított fesültségek csak akkor képesek egyensúlyt tartani a külső erőrendserrel, ha a terhelés síkja a nyírási köépponton megy át. 56. Poisson-tényeő ([] 1. oldal) A lineárisan rugalmas tulajdonságú anyagra a ε hossirányú fajlagos nyúláson kívül értelmehetünk egy ε ker kerestirányú fajlagos nyúlást is, melynek értéke csak a hossirányú nyúlástól és a anyagtól függ: ε ker νε, ahol ν a Poisson (ejtsd: poásson)-tényeő, ami dimenió nélküli sám és anyagállandó. Értéke acélokra hoávetőlegesen ν 0,3. Sokásos a m1/ν (Poisson-sám) hasnálata is. 57. Potenciál ([] 180. oldal) Konervatív erőnek neveük a erőt, ha van olyan U U ( r) egyértékű skalár függvény, melynek helyvektor serinti negatív deriváltja (gradiense) a erő: du F. dr A U U () r függvényt potenciálnak, vagy másképpen helyeti energiának neveük. 58. Primatikus rúd ([] 59. oldal) Primatikus a a egyenes köépvonalú tartó, amelynek kerestmetsetei állandóak és a rúd köépvonala menti párhuamos eltolással egymásba tolhatók. 59. Redukált fesültség ([] 189. oldal) A σ red redukált fesültség a visgált fesültségállapottal aonos vesélyességű, egytengelyű fesültségállapot. 11

14 60. Rugalmas kihajlás ([] 504. oldal) Ha a karcsú, egyenes rudat súlyponti tengelyében fokoatosan növekvő nyomóerővel centrikusan terheljük, a rúd a terhelés egy meghatároott nagysága után a eddig tárgyalt silárdsági esetektől eltérő módon viselkedik. A nyomóerő növekedésével a rúd labilis helyetbe kerül, kihajlik. A labilis helyetet eredményeő nyomóerőt kritikus erőnek neveük, melynek hatására a rúdban σ krit fesültség keletkeik. Ha σ krit a rugalmas tartományban marad, akkor rugalmas kihajlásnak neveük. 61. Rugalmas sál ([] 35. oldal) A hajlításnak kitett, lineárisan rugalmas anyagú, egyenes rúd súlyvonala meggörbül. Et a meggörbült súlyvonalat hívjuk rugalmas sálnak. 6. Rugalmas teherbírási nyomaték ([] 519. oldal) A rugalmas állapotban σ max σ F, tehát a keletkeő legnagyobb fesültség kisebb, mint a anyag folyáshatára. Például a hajlító-igénybevételnél M σ max σ F, Kmin a folyási határállapotban σ max σ F, és eel a kerestmetsetben keletkeő belső erőrendser eredője a rugalmas teherbírási nyomaték: M r K min σ F. 63. Rugalmassági (Young-) modulus ([] 1. oldal) A σ E ε, a acélok kedeti terhelési sakasára érvényes törvényserűséget Hooke (ejtsd: huk) fedete fel, eért et egyserű Hooke-törvénynek neveük, ahol E a ún. rugalmassági vagy Young-modulus (ejtsd: jung) a anyagtól és csak a anyagtól függő állandó. Értéke acélokra: GPa (gigapaskál). 64. Saint-Venant elve ([] 54. oldal) Valamely test vagy serkeet bionyos sakasára működő terhelés eloslásának módja csak elhanyagolhatóan kis mértékben módosítja a silárdsági hatásokat a erőbeveetési helytől kellő távolságban. 65. Semleges tengely ([] 31. oldal) A kerestmetset aon pontjait, melyekben a fesültségek értéke érus semleges tengelynek neveük, a súlyponton átmenő hajlítónyomaték-vektor irányába eső egyenest pedig a hajlítás tengelyének. 66. Sík-alakváltoás ([] 339. oldal) Sík-alakváltoásról abban a esetben besélünk, ha a visgált testnek van egy kitüntetett síkja, amellyel párhuamos valamennyi sík alakváltoása aonos, és a síkok távolsága sem váltoik. 1

15 67. Síkbeli fesültségállapot ([] 141. oldal) At a fesültségállapotot, amelynek három főfesültsége köül csak egy érus, síkbeli fesültségállapotnak neveük. 68. Síkidom másodrendű nyomatéka ([1] 431. oldal) A A területű síkidom másodrendű nyomatéka a tengelyre: A x da 69. Síkidom másodrendű nyomatékvektora ([1] 143. oldal) A A területű síkidom O pontho és e u irányho hoárendelt másodrendű nyomatékvektorát a síkidom másodrendű nyomatékvektorát a össefüggéssel határouk meg. 0 u ( e ) r ( e r) u A da 70. Síkidom másodrendű nyomatékvektora ([1] 46. oldal) A síkidom másodrendű nyomatékvektorát a u 71. r ( e r) u A határoott integrál definiálja, amely a O pont helyétől és a ponton átmenő u tengely hajlássögétől függő mennyiség. 7. Síkidom pontra sámított másodrendű nyomatéka ([1] 434. oldal) Síkidom pontra sámított (poláris) másodrendű nyomatéka a adott tartományon vett felületi integrál, amelyben a felületelemeket a ponttól mért távolságuk négyetével sorouk meg: da 0 A r da A betű indexe jelöli at a pontot, amelyre a másodrendű nyomaték vonatkoik. 73. Síkidom tengelypárra sámított másodrendű nyomatéka ([1] 433. oldal) Síkidom merőleges tengelypárra sámított másodrendű nyomatéka a adott tartományon vett felületi integrál, amelyben a felületelemeket a tengelyektől mért merőleges távolságuk előjeles értékeivel sorouk meg: uv uv d A A A betű két indexe jelöli at a tengelypárt, amelyre a másodrendű nyomaték vonatkoik. 13

16 74. Síkidom tengelyre sámított másodrendű nyomatéka ([1] 433. oldal) Síkidom tengelyre sámított másodrendű nyomatéka a adott tartományon vett felületi integrál, amelyben a felületelemeket a tengelytől mért merőleges távolságuk négyetével sorouk meg: u v A da A betű indexe jelöli at a tengelyt, amelyre a másodrendű nyomaték vonatkoik. 75. Stabilitásvestés ([] 504. oldal) Egy serkeet stabilitásvestéséről akkor besélünk, ha kis terhelésváltoás nagy elmodulás váltoást eredménye a serkeeten. A stabilitásvestés oka lehet a, hogy a test vagy serkeet a megtámastások sempontjából labilis, vagy a test ill. a serkeet egy meghatároó eleme silárdsági sempontból labilis. Lásd a 1.9. és a ábrákat! 76. Statikus terhelés ([] 50. oldal) Statikusnak neveük a terhelést, amikor a terhelés ráadása a serkeetre végtelen hossú idő alatt történik. 77. Sabad csavarás ([] 380. oldal) Ha a visgált csavart rúd kerestmetseteinek egymásho visonyított tengelyirányú elmodulását nem akadályouk meg, akkor sabad csavarásról besélünk. lyen esetben kiárólag csústatófesültségek keletkenek. 78. Sögtorulás ([] 39. oldal) Tista nyírás esetén a alakváltoás a teljes meőben a γ xy sögtorulással jellemehető. E kifejei a négyetháló torulásának mértékét, innen sármaik a elneveés. 79. Superpoíció elve ([] 5. oldal) Több egyensúlyi erőrendser együttes silárdsági hatását megegyeőnek tekinthetjük a erőrendserek hatásainak össegével, ha a elmodulások kicsik, és ha a visgált hatás a terhelés homogén, lineáris függvénye. 80. Térbeli fesültségállapot ([] 11. oldal) A silárd test valamely pontjánál térbelinek (háromtengelyűnek) neveük a fesültségállapotot, ha a ponton át három olyan metsősík fektethető, amelyekhe tartoó ρ fesültségvektorok nullától különböőek és a síkjukra merőlegesek. 81. Terhelés síkja ([] 88. oldal) A terhelés síkjának neveük a rúd tengelyvonalán átmenő aon síkot, amelyben a kerestmetsetet hajlító erőpár, a terhelő erőrendser működik. 8. Tista igénybevétel ([] 17. oldal) Tista igénybevételről akkor besélünk, ha a visgált serkeet (rúd)-modell visgált kerestmetsetében csak egyfajta igénybevétel van. 14

17 83. Tista nyírás ([] 38. oldal) Tista, homogén nyírásról akkor besélünk, ha a tartó terhelése mindenütt aonos nagyságú, élirányú egyenletesen megosló erőrendser, értelmük a somsédos lapokon egymással sembe mutat, lásd a ábrát! Tista nyírás ([] 147. oldal) A tista nyírás fesültségállapota egyenértékű két egymásra merőleges irányban működő, a τ-val aonos nagyságú húó- és nyomó-fesültség superpoíciójával. 15

18 ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Hogyan sólnak a síkidomok tengelyre és tengelypárra sámított másodrendű nyomatékainak általános képletei? Mi a így meghatároott mennyiségek mértékegysége? Rajoljon magyaráó ábrát!. Hogyan sól a Steiner-féle tétel síkidomok esetében? 3. Mit ért a síkidomok tehetetlenségi főirányán? 4. Hogyan sámolja ki a K kerestmetseti tényeőt kör, körgyűrű és téglalap kerestmetset esetén? 5. Hogyan sámítja ki a K p poláris kerestmetseti tényeőt kör és körgyűrű kerestmetset esetén? 6. Milyen anyagállandók serepelnek a homogén, iotróp anyagok rugalmasságtanában? Mi a mértékegységük és milyen össefüggés áll fenn kööttük? 7. Hogyan határoható meg tista húás esetén a normálfesültség a fajlagos nyúlás és a teljes nyúlás? Hogyan sámítja a húott rúd rugóállandóját? 8. Mikor besélünk egyenes és ferde hajlításról? 9. Hogyan határohatók meg a normálfesültségek egyenes hajlítás esetén? Rajoljon magyaráó ábrát! 10. Hogyan határoható meg a L hossú rúd végkerestmetseteinek relatív sögelfordulása tista egyenes hajlítás esetén, rugalmas állapotban? Konolos tartó rugóállandója? 11. Hogyan határoható meg a L hossú rúd végkerestmetseteinek elfordulása tista csavarás esetén? 1. Hogyan határoható meg tista csavarás esetén a kerestmetsetben a fesültségeloslás? 13. Mikor besélünk tista nyírásról? Mikor valósítható meg? Mondjon példát! 14. A fesültségeloslás és sámítása hajlítással párosult nyírás esetén! 15. Mi a redukált fesültség? Hogyan sámítjuk Mohr és HMH serint? 16. Hogyan alakulnak a redukált fesültségre vonatkoó össefüggések hajlítás + csavarás esetén? 17. Írja fel a Betti-tételt és értelmee at! 18. Mekkora a tartó köéppontjának lehajlása köépen koncentrált erővel terhelt kéttámasú tartó esetén? 19. Mekkora a sabad végén F koncentrált erővel terhelt, L hossúságú befogott tartó végpontjának lehajlása a erő alatti kerestmetsetben? 16

19 0. Hogyan sól a egyserű Hooke-törvény? Mikor érvényes? 1. Hogyan sól a általános Hooke-törvény? Mikor érvényes?. Mi a fesültség és a milyen jellemő koordinátákra bontható? Mi a fesültség mértékegysége? 3. Hogyan sól a nyírófesültségek dualitási tétele? 4. Rajolja fel a tista nyírás Mohr-körét! 5. Rajolja fel a tista húás Mohr-körét! 6. Írja fel a rugalmas kihajlás esetére vonatkoó méreteési össefüggést! smertesse a benne sereplő mennyiségek jelentését! 7. Mit ért karcsúsági tényeőn? 8. Hogyan határoható meg a köpontosan nyomott hossú rúd kritikus fesültsége képlékeny állapotban? smertesse a össefüggésben sereplő mennyiségek jelentését! 9. Ábráolja a kihajlási kritikus fesültséget a karcsúsági tényeő függvényében! 30. Hogyan határoható meg a kihajlási hoss a nyomott rúd különböő megtámastási visonyai esetén? 31. Hogyan határoható meg a erő és nyomaték munkája? 17

20 ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK, VÁLASZOK 1. Hogyan sólnak a síkidomok tengelyre és tengelypárra sámított másodrendű nyomatékainak általános képletei? Mi a így meghatároott mennyiségek mértékegysége? Rajoljon magyaráó ábrát! A tengelyre sámított másodrendű nyomaték: u v da A A tengelypárra sámított másodrendű nyomaték: uv uv d A A 1 Mértékegységük mm 4, vagy m 4.. Hogyan sól a Steiner-féle tétel síkidomok esetében? Egy síkidom tetsőleges egyenesre vonatkoó másodrendű nyomatékát megkapjuk, ha a egyenessel párhuamos, és a síkidom súlypontján átmenő tengelyre sámított másodrendű nyomatékáho hoáadjuk a tengelyek köötti merőleges távolság négyetének és a síkidom területének a soratát: x ξ + y s A 3. Mit ért a síkidomok tehetetlenségi főirányán? A elforgatott koordinátatengelyeket főtengelyeknek neveük, ha a aokra sámított ekvatoriális másodrendű nyomatékoknak sélsőértékük van. Een tengelyek irányai a főirányok. 4. Hogyan sámolja ki a K kerestmetseti tényeőt kör, körgyűrű és téglalap kerestmetset esetén? A D átmérőjű kör kerestmetset K kerestmetseti tényeője: 4 D π K 64 D 3 D π 3 A D külső, d belső átmérőjű körgyűrű kerestmetset K kerestmetseti tényeője: K 4 4 D π d π D π 3 D 4 4 ( D d ) A téglalap kerestmetset K kerestmetseti tényeője: 3 ab ab K (itt b a tengelyre merőleges méret) 1 b 6 18

21 5. Hogyan sámítja ki a K p poláris kerestmetseti tényeőt kör és körgyűrű kerestmetset esetén? A D átmérőjű kör kerestmetset K p poláris kerestmetseti tényeője: 4 D π K p 3 D 3 D π 16 A D külső, d belső átmérőjű körgyűrű kerestmetset K p poláris kerestmetseti tényeője: K p 4 4 D π d π 3 3 D π 16D 4 4 ( D d ) 6. Milyen anyagállandók serepelnek a homogén, iotróp anyagok rugalmasságtanában? Mi a mértékegységük és milyen össefüggés áll fenn kööttük? A homogén, iotróp anyagok rugalmasságtanában a követkeő anyagállandók serepelnek: a rugalmassági modulus (E), csústató rugalmassági modulus (G), valamint a kerestirányú és a hossirányú és fajlagos nyúlásoktól függő Poisson-tényeő (ν), vagy ennek reciproka a Piosson-sám (m). A E és a G mértékegysége N/mm (MPa), a Poissontényeő és Poisson-sám dimenió nélküli sámok. Össefüggés a anyagállandók köött: E G(1 + ν) ε ker 1 ν vagy ε m m G E m + 1 m ε ε ker 7. Hogyan határoható meg tista húás esetén a normálfesültség a fajlagos nyúlás és a teljes nyúlás? Hogyan sámítja a húott rúd rugóállandóját? Tista húás esetén a normálfesültség: σ F A 0 Tista húás esetén a fajlagos nyúlás: Tista húás esetén a teljes nyúlás: Δl ε l 0 F Δ l A l 0 0 E A húott rúd rugóállandója: c l 0 A E 0 8. Mikor besélünk egyenes és ferde hajlításról? Egyenes hajlításról akkor besélünk, ha a nyomatékvektor iránya párhuamos a kerestmetset egyik tehetetlenségi főirányával. Ferde hajlításnak neveük at a igénybevételi esetet, amelynél a hajlítónyomaték vektora a kerestmetset egyik tehetetlenségi főirányával sem párhuamos. 9. Hogyan határohatók meg a normálfesültségek egyenes hajlítás esetén? Rajoljon magyaráó ábrát! M A normálfesültségek egyenes hajlítás esetén: σ x y 19

22 10. Hogyan határoható meg a L hossú rúd végkerestmetseteinek relatív sögelfordulása tista egyenes hajlítás esetén, rugalmas állapotban? Konolos tartó rugóállandója? A L hossú rúd végkerestmetseteinek relatív sögelfordulása tista egyenes hajlítás esetén, rugalmas állapotban: Konolos tartó rugóállandója: M L E L c E Δϕ 11. Hogyan határoható meg a L hossú rúd végkerestmetseteinek elfordulása tista csavarás esetén? M cl A L hossú rúd végkerestmetseteinek elfordulása tista csavarás esetén: Δϕ G 1. Hogyan határoható meg tista csavarás esetén a kerestmetsetben a fesültségeloslás? M c Tista csavarás esetén a kerestmetset tetsőleges helyén a fesültség: τ r. p A r 0 helyen nem keletkeik fesültség, míg értéke r növekedésével lineárisan nő, legnagyobb fesültség a kerestmetset sélső pontjaiban les. A fesültségeloslás a kerestmetset síkjában bármely átmérő mentén sintén lineáris. p 13. Mikor besélünk tista nyírásról? Mikor valósítható meg? Mondjon példát! Tista, homogén nyírásról akkor besélünk, ha a tartót a oldalak mentén élirányú, aonos nagyságú megosló erőrendser terheli. 0

23 14. A fesültségeloslás és sámítása hajlítással párosult nyírás esetén! σ x M y τ ( y ) ( ) τ T S 1 ay xy yx y 15. Mi a redukált fesültség? Hogyan sámítjuk Mohr és HMH serint? A σ red redukált fesültség a visgált fesültségállapottal aonos vesélyességű egytengelyű fesültségállapot. A redukált fesültség Mohr serint: σ red, M σ σ. 1 3 A redukált fesültség HMH serint: σ red,h [( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) ] Hogyan alakulnak a redukált fesültségre vonatkoó össefüggések hajlítás + csavarás esetén? σ red σ + βτ, ahol Mohr serint β 4, a HMH-elmélet serint pedig β Írja fel a Betti-tételt és értelmee at! At a munkát, amelyet valamely erőrendser egy másik erőrendser által létrehoott elmodulás során vége, idegen munkának neveük. Betti tétele (idegen munkák egyenlőségének tétele): Valamely egyensúlyi erőrendser ugyanakkora munkát vége egy másik egyensúlyi erőrendser által létrehoott elmodulás során, mint a másik a első által létrehoott elmodulás során. W 1 W 1, U 1 U 1, W 1 U Mekkora a tartó köéppontjának lehajlása köépen koncentrált erővel terhelt kéttámasú tartó esetén? Köépen koncentrált erővel terhelt kéttámasú tartó erő alatti lehajlása: 1

24 3 F L v 48 E 19. Mekkora a sabad végén F koncentrált erővel terhelt, L hossúságú befogott tartó végpontjának lehajlása a erő alatti kerestmetsetben? A sabad végén F koncentrált erővel terhelt, L hossúságú befogott tartó végpontjának lehajlása a erő alatti kerestmetsetben: v 3 F L 3 E 0. Hogyan sól a egyserű Hooke-törvény? Mikor érvényes? A egyserű Hooke-törvény: σ E ε. A acélok kedeti terhelési sakasára érvényes törvényserűséget Hooke (ejtsd: huk) fedete fel, eért et egyserű Hooke-törvénynek neveük, ahol E a ún. rugalmassági vagy Young-modulus (ejtsd: jung) a anyagtól és csak a anyagtól függő állandó. Értéke acélokra: GPa (gigapaskál). A egyserű Hooke törvény lineárisan rugalmas, homogén, és iotróp anyagoknál egytengelyű, tista húás esetén érvényes. 1. Hogyan sól a általános Hooke-törvény? Mikor érvényes? A fesültségi és a alakváltoási állapot kapcsolatát a alábbi, egymással egyenértékű össefüggések határoák meg. A össefüggéseket általános Hooke-törvénynek neveük: F ν 1 ν G A + A E A F F E 1 ν G 1+ ν A általános Hooke-törvény lineárisan rugalmas, homogén, és iotróp anyagoknál tetsőleges fesültségi és alakváltoási állapotban érvényes.. Mi a fesültség és a milyen jellemő koordinátákra bontható? Mi a fesültség mértékegysége? A felületen megosló belső erőrendser intenitását fesültségnek neveük, és ρ n fesültségvektorral adjuk meg: ΔF b dfb ρ n lim. ΔA 0 ΔA da A fesültségvektort a test egy P pontjáho és a da felületelem n normálirányáho rendeljük hoá. A fesültségvektor felbontható a n m k jobbsodrású lokális koordinátarendserben σ normálfesültségre és a kerestmetset síkjába eső τ m csústatófe- n n sültségre. A fesültség mértékegysége: N/m vagy Pa (paskál), illetve N/mm vagy MPa (megapaskál). 3. Hogyan sól a nyírófesültségek dualitási tétele? A τ csústató fesültségek mindig párosával keletkenek, két egymásra merőleges felületen nagyságuk megegyeik, forgatási értelmük ellentétes: τ xy τ yx. E a elemi résekre vonatkoó nyomatéki egyensúlyi feltételek teljesülésének a követkeménye. nm

25 4. Rajolja fel a tista nyírás Mohr-körét! A tista nyírás Mohr-köre: 5. Rajolja fel a tista húás Mohr-körét! A tista húás Mohr-köre: 6. Írja fel a rugalmas kihajlás esetére vonatkoó méreteési össefüggést! smertesse a benne sereplő mennyiségek jelentését! Rugalmas kihajlás esetén a kritikus fesültség: F π E π E σ krit krit vagy σ krit. A λ Al0 F krit a tönkremenetelt okoó erő, A a rúdkerestmetset területe, E a rugalmassági modulus, a kisebb főmásodrendű nyomaték, l 0 a egyenértékű rúdhoss, λ a karcsúsági tényeő. 7. Mit ért karcsúsági tényeőn? Karcsúsági tényeő a egyenértékű (redukált) rúdhoss és a legkisebb inerciasugár hányadosa: λ 8. Hogyan határoható meg a köpontosan nyomott hossú rúd kritikus fesültsége képlékeny állapotban? smertesse a össefüggésben sereplő mennyiségek jelentését! A köpontosan nyomott hossú rúd kritikus fesültsége képlékeny állapotban: 3 l i 0 σ krit a - bλ, ahol a és b anyagállandók, λ pedig a karcsúsági tényeő.

26 9. Ábráolja a kihajlási kritikus fesültséget a karcsúsági tényeő függvényében! A kihajlási kritikus fesültség a karcsúsági tényeő függvényében: 30. Hogyan határoható meg a kihajlási hoss a nyomott rúd különböő megtámastási visonyai esetén? l 0 β l A β tényeő sámértékei a ábráról leolvashatók. 31. Hogyan határoható meg a erő és nyomaték munkája? A erő és nyomaték munkája: r W F dr W M dϕ r1 ϕ ϕ1 4

27 RODALOM [1] M. Csimadia B. - Nándori E. (serk.), Serők: M. Csimadia B. - Fekete T. - Gelencsér E. - Kiscelli L. - Nándori E. - Müller Z.: 009. Mechanika Mérnököknek. Statika. (negyedik kiadás) Nemeti Tankönyvkiadó, Gödöllő - Budapest. p [] M. Csimadia B. - Nándori E. (serk.), Serők: M. Csimadia B. - Csorba L. - Égert J. - Fekete T. - Gelencsér E. - Kósa Cs. - Nándori E. - Müller Z.: 00. Mechanika Mérnököknek. Silárdságtan. (második kiadás) Nemeti Tankönyvkiadó, Budapest - Gödöllő - Győr. p [3] M. Csimadia B. - Nándori E. (serk.), Serők: M. Csimadia B. - Csorba L. - Horváth P. - Sabó Z. - Müller Z.: 001. Mechanika Mérnököknek. Mogástan. (második kiadás) Nemeti Tankönyvkiadó, Budapest - Gödöllő - Győr. p