Bevezetés a MATLAB használatába

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Bevezetés a MATLAB használatába"

Átírás

1 Bevezetés a MATLAB használatába Kiegészítő jegyzet Dinamikus rendszerek paramétereinek becslése c. tárgyhoz Magyar Attila Pannon Egyetem Automatizálás Tanszék

2 Tartalomjegyzék 1. MATLAB Alapok Súgó Naplózás Változók, értékadás Skalár változók Vektor változók Indexelés Mátrix változók Speciális mátrixok Indexelés Munkatérbeli változók Műveletek Alapvető műveletek Összeadás, kivonás, szummázás Szorzás, osztás, inverz Hatványozás Komplex számok További műveletek Alapvető függvények Mátrixfüggvények Polinomok Grafikus ábrázolás Kétdimenziós ábrák Háromdimenziós ábrák Nyomtatás fájlba Programozás Szkriptek Egy példa szkript Függvények Változótípusok Súgó írása Hibakezelés Egy példa függvény Ciklusok Elágazások Simulink

3 1 MATLAB 3 1. MATLAB A Matlab egy sokoldalú matematikai programcsomag, amely a mérnöki számításokat egyszerűsíti le. (A Matlab neve a MATrix és a LABoratory szavakból ered.) A Matlab nyelve egy magas szintű, BASIC-szerű programozási nyelv, éppen ezért könnyű vele dolgozni. Elsősorban numerikus és mátrixalgebrai feladatokra dolgozták ki, kiegészítő csomagokkal (Toolbox-ok: egy bizonyos feladatosztályhoz tartozó parancsok gyűjteménye) azonban rengeteg területen alkalmazható az irányítástechnikától a bioinformatikán át a jelfeldolgozásig. 2. Alapok 2.1. Súgó A help utasítás segítségével az egyes Matlab utasítások leírását és szintaxisát ismerhetjük meg. Használata: >> help utasitas_nev Például a koszinusz függvény esetén: >> help cos [Enter] COS cosine COS(X) is the cosine of the elements of X. A kiválóan használható online súgó a főablakból érhető el egy ikonra kattintva (1. ábra), illetve parancssorból az alábbi utasítással: >> helpdesk 2.2. Naplózás A gyakorlaton való munkát könnyíti meg a Matlab naplózási funkciója: >> diary on >>... >> diary off mely az aktuális könyvtárban egy diary.txt fájlba menti az on és az off között kiadott parancsokat és a kapott eredményeket.

4 3 Változók, értékadás 4 3. Változók, értékadás 1. ábra. Matlab főablak A változónevek számok és betűk kombinációi, a megkötés csupán annyi, hogy az első karakter nem lehet szám, valamint a változónév maximális hossza 31 karakter lehet. Szerepelhet benne a _ (alulvonás) karakter Skalár változók Az értékadás minden esetben a = használatával történik: >> a=3.45 az a változó értéke legyen 3.45 a= A változó típusának megválasztása automatikus, nem kell foglalkoznunk a megadásával. A fenti esetben valós lesz az a változó. Amennyiben nem akarjuk, hogy az eredmény megjelenjen a parancsablakban, egy pontosvesszővel zárjuk le az utasítást: >> a=3.45; >>

5 3 Változók, értékadás 5 Komplex számok megadása az alábbi módokon történhet: >> c=1+2*i c= i >> d=2+3*j d= i Komplex számok esetében fontos művelet a konjugálás (a képzetes rész előjele megfordul), erre a operátor használatos: >> c i 3.2. Vektor változók Veltorok megadása szögletes zárójelek között történik: >> v=[1 2 3] sorvektor v = illetve: >> w=[1;2;3] oszlopvektor w = Tehát sorvektorok esetén az egyes elemek közé szóköz (vagy vessző) kerül, oszlopvektor esetén pedig pontosvessző.

6 3 Változók, értékadás 6 Transzponálás segítségével kaphatunk oszlopvektorból sorvektort (és fordítva), ezt a Matlabban a jelöli: >> w Amennyiben komplex elemű vektoraink vannak, a operátor értelemszerűen a konjugált transzponáltat jelöli Indexelés Vektorok elemeire az alábbi módon hivatkozhatunk: >> w(2) a w vektor 2. eleme 2 Vektor értékadása történhet elemenként is: >> w(3)=2.3+4*i w = i 3.3. Mátrix változók Mátrixok megadása nagyon hasonló a vektorokéhoz, például a [ 4 5 ] mátrix esetében: >> A=[4 5 6;2 5 4] A=

7 3 Változók, értékadás A transzponálás hasonlóan működik, mint a vektoros esetben Speciális mátrixok Vannak speciális mátrixok, amelyeket az egyszerűség kedvéért külön utasítással lehet létrehozni: >> eye(4) 4 4-es egységmátrix >> zeros(3,2) 3 2-es nullmátrix >> ones(3,2) 3 2-es mátrix csupa egyesekkel >> rand(2,3) 2 3-as véletlen mátrix, aminek az elemei a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásúak

8 3 Változók, értékadás 8 >> randn(2,3) 2 3-as véletlen mátrix, aminek az elemei 0 várhatóértékű és 1 szórású normális eloszlásúak A véletlenszám generálás természetesen skalárokra is működik: s=randn s = Indexelés A mátrixok elemeire, soraira, oszlopaira, illetve részmátrixaira a vektoroknál leírt módszer általánosításával hivatkozhatunk: >> A(1,2) az A mátrix 1, 2 indexű eleme 5 Egész sorra való hivatkozás: >> A(2,:) az A mátrix második sora Oszlopra való hivatkozás: >> A(:,1) az A mátrix első oszlopa 4 2 Részmátrixra való hivatkozás:

9 3 Változók, értékadás 9 >> D=rand(5,5) legyen D egy 5 5-ös véletlen mátrix >> D = >> D(2:4,1:2) a 2 4 sor és az első kettő oszlop elemei Egy mátrix (vagy vektor, vagy skalár) méretének lekérdezése a size utasítás segítségével történik: >> size(a) 2 3 Amennyiben az A mátrix esetében csak a sorok, vagy csak az oszlopok számára vagyunk kíváncsiak, a size(a,1) vagy a size(a,2) utasítás használható Munkatérbeli változók Ha kíváncsiak vagyunk az aktuálisan használt változónevekre, illetve a változók méretére és típusára, akkor a legegyszerűbb a Parancsablak (Command window) bal oldalán az Aktuális könyvtár (Current directory) helyett a Munkatér (Workspace) tabot kiválasztani (2. ábra). A Parancsablakban a whos utasítással ugyanez az információ válik elérhetővé.

10 4 Műveletek ábra. Munkatérbeli változók megjelenítése 4. Műveletek 4.1. Alapvető műveletek Összeadás, kivonás, szummázás Skalárokon triviális, mátrixok és vektorok esetén vigyázni kell, hogy az operandusok méretei megegyezzenek. Vektorokon (v sorvektor, w pedig oszlopvektor): >> v-w??? Error using ==> - Matrix dimensions must agree. >> v-w i

11 4 Műveletek 11 Mátrixokon: >> A=[2 2;3 3]; >> B=[1 2 4;3 4 5]; >> A+B??? Error using ==> + Matrix dimensions must agree. >> B=[1 2;3 4]; >> A+B Szummázás: egy vektor elemeit adja össze, illetve mátrixok esetén az oszlopok elemeinek összegeit tartalmazó sorvektor az eredmény. >> sum(b) 4 6 >> sum(sum(b)) Szorzás, osztás, inverz A szorzás és az osztás skalárokra triviális, mátrixok esetén a méreteknek stimmelniük kell. Skalárokra az inverz a reciprokkal egyezik meg, mátrixoknál van jelentősége. Vektorok szorzása (v = [1, 2, 3], w = [1, 2, i] T, a = 3.45): >> w*v

12 4 Műveletek 12 >> v*w i i i i >> a*v Mátrixok szorzása (v = [1, 2, 3], a = 3.45): >> A=rand(3,4); >> B=randn(4,2); >> A*B >> B*A??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. >> v*a >> a*a

13 4 Műveletek 13 A mátrixok invertálását elvégző utasítás az inv(): >> D=rand(3,3) D = >> inv(d) >> D*inv(D) Hatványozás A hatványozást megvalósító Matlab operátor a ^, mind skalárokra, mind pedig mátrixokra értelmezve van. Pl.: >> A=2*ones(3) A = >> A^2 (A 2 = A A, a mátrix szorzás szabályai szerint)

14 4 Műveletek Komplex számok Komplex számoknak a kanonikus (z = a + bi), illetve exponenciális alakját (z = re iϕ ) használhatjuk. Megjegyzés: Az exponenciális alak trigonometrikus ekvivalense z = r(cos(ϕ)+ i sin(ϕ)). Komplex számok képzetes részének megadása az i és a j betű segítségével történik, éppen ezért ezeket csak olyan esetekben használjuk változóként, amikor nem komplex számokkal dolgozunk! >> z=3+4*j komplex szám megadása z = i A valósrészt visszaadó utasítás: >> real(z) 3 A képzetes részt visszaadó utasítás: >> imag(z) 4 Átalakítás exponenciális alakra: >> angle(z) z fázisszögének meghatározása

15 4 Műveletek az eredmény radiánban ( π és π közötti érték) >> abs(z) z abszolútértékének (hosszának) meghatározása 5 Komplex szám megadható közvetlenül exponenciális alakban is: >> 3*exp(i*pi) i A komplex konjugált meghatározására a korábban megismert operátor mellett a conj() utasítás is használható: >> conj(z) i Az olyan műveleteknél, melyek komplex számok esetében több eredményt is adhatnak, (eml: egy komplex számnak n db n-edik gyöke van, vagy komplex logaritmus) Matlabban mindig csak egy eredményt kapunk További műveletek Alapvető függvények Az alábbiakban csak felsorolásszerűen, példa nélkül adjuk meg a Matlabban elérhető alapvető matematikai függvényeket. A help(utasitasnev) utasítással egy rövid súgót kapunk a parancsablakba, amely részletezi a kérdéses utasítás működését (milyen összefüggést valósít meg), illetve szintaxisát. Trigonometrikus függvények.

16 4 Műveletek 16 acos acosh acot acoth asin asinh atan atanh cos cosh cot coth sin sinh tan tanh arkusz koszinusz arkusz koszinusz hiperbolikusz Arkusz kotangens Arkusz kotangens hiperbolikusz Arkusz szinusz Arkusz szinusz hiperbolikusz Arkusz tangens Arkusz tangens hiperbolikusz Koszinusz Koszinusz hiperbolikusz Kotangens Kotengens hiperbolikusz Szinusz Szinusz hiperbolikusz Tangens Tangens hiperbolikusz Exponenciális és logaritmus függvények. exp Exponenciális log Természetes alapú logaritmus (ln) log2 Kettesalapú logaritmus log10 Tizesalapú logaritmus sqrt Négyzetgyök Kerekítés és maradékos osztás. fix Kerekítés 0 felé floor Kerekítés felé ceil Kerekítés + felé round Kerekítés a legközelebbi egész felé mod Modulo osztás rem Osztás utáni maradék sign Előjelfüggvény Diszkrét matematika. factor factorial gcd lcm nchoosek perms Prímtényezős felbontás Faktoriális Legnagyobb közös osztó Legkisebb közös többszörös Összes lehetséges kombináció - ( ) n k Összes lehetséges permutáció

17 4 Műveletek Mátrixfüggvények A Matlabban rengeteg lineáris algebrai és mátrixanalízisbeli függvény segíti a munkát, ezek közül csak a fontosabbakat soroljuk fel. Mátrix determinánsa: det >> det(a) Visszatérési értéke 0, ha a mátrix szinguláris, azaz nem invertálható. Mátrix rangja: rank >> rank(a) A mátrix lineárisan független sorainak, vagy oszlopainak számát adja meg. Mátrix (vagy vektor) norma: norm >> norm(a) Mátrix, vagy vektor l 2 normáját adja vissza. Mátrix esetén ez a legnagyobb szingulárisérték, vektor esetében pedig a vektor hossza. Mátrix nyoma: trace >> trace(a) A mátrix főátlójában álló elemek összege. Mátrixinverz: inv >> inv(a) Az A A 1 = I egyenletet kielégítő mátrixot adja vissza, ha létezik. Sajátérték, sajátvektor: eig Az Av = λv egyenletet kielégítő (λ, v) sajátvektor-sajátérték párok meghatározására. Pl: >> A=rand(3); >> [s_vektor,s_ertek]=eig(a) s_vektor = i i i i s_ertek = i i

18 4 Műveletek 18 A példában az s_ertek nevű diagonális mátrix tartalmazza főátlójában az A sajátértékeit, az egyes sajátértékekhez tartozó sajátvektorok pedig az s_vektor mátrix megfelelő oszlopai. Mátrix exponenciális: expm >> expm(a) Az exponenciális függvény végtelen sorba fejtve általánosítható mátrixokra is: exp(a) = Mátrix logaritmus: logm >> logm(a) A mátrix exponenciális függvény inverze. Mátrix négyzetgyök: sqrtm >> sqrtm(a) A az a mátrix, amely kielégíti az A A = A egyenletet. Elemenkénti műveletek: Mátrixokra és vektorokra egyaránt érvényes, hogy a művelet operátora elé kitett pont (.) az eredeti művelet elemenkénti változatát hajtja végre, pl: >> X=2*ones(3,3) X = >> X^2 >> X.^ k=0 A k k!

19 4 Műveletek Megjegyzés: Ha a Matlabban egy, a matematikából skalárváltozósnak megismert függvényt (pl. sin, exp, stb.) hívunk meg mátrix, vagy vektor argumentummal, akkor az egyes elemek függvényértékeit tartalmazó ugyanolyan méretű mátrixot, vagy vektort kapjuk vissza, pl: >> Y=ones(2,3); >> exp(y) Polinomok A polinomokat az teszi nagyon vonzóvá, hogy bármely műveletet könnyedén el lehet rajtuk végezni - még a differenciálást, és az integrálást is. A Matlab a polinomokat vektorokként tárolja, a vektor elemei pedig a polinom együtthatói. Ezt a függvénycsaládot a Matlab analitikus úton tudja differenciálni és integrálni (A Symbolic Math Toolbox használatával többféle analitikus, illetve szimbolikus számolás is elvégezhető - nem csak polinomokra). A fontosabb utasításokat az alábbiakban részletezzük. Polinom definiálása: poly Annak a polinomnak az együtthatóit adja vissza sorvektorként, amelynek gyökei az argumentumként megadott vektor elemei. >> r=[1 2 3]; az r vektor tartalmazza a polinom gyökeit >> p=poly(r) a polinom megadása a gyökeivel történik, azaz p = p(x) = (x 1)(x 2)(x 3)

20 4 Műveletek az első helyen a független változó legmagasabb kitevőjű hatványának együtthatója áll, azaz p(x) = x 3 6x x 6. Polinom kiértékelése: polyval >> x=4; >> polyval(p,x) a p polinomot szeretnénk kiértékelni x-ben. 6 p(4) = 6 a kiértékelés elvégezhető vektorosan is: >> t=rand(1,5); öt véletlenszerű pontban szeretnénk kiértékelni p-t. >> polyval(p,t) Polinomok szorzása: conv Az argumentumban megadott polinomok összeszorzásával kapott polinom együtthatóit tartalmazó sorvektorral tér vissza. Ez az utasítás gyakorlatilag két vektort konvolvál össze, innen a neve. Példa: szorozzuk össze a p(x) = (x 1)(x 2), és a q(x) = (x 2)(x 3) polinomokat: >> p=poly([1 2]); >> q=poly([2 3]); >> conv(p,q) p(x)q(x) = x 4 8x x 2 28x + 12 Polinomosztás: deconv Az utasítás hívásánál figyelni kell arra, hogy ennél a műveletnél képződhet maradék is. Az eredménynek két változót kell biztosítani: [s,r]=deconv(q,p), azaz q(x)-et elosztva p(x)-szel a hányados s(x), a maradék pedig r(x),

21 4 Műveletek 21 és q(x) = s(x)p(x) + r(x). >> p=poly([1 2]); >> q=poly([1 2 3]); >> [s,r]=deconv(q,p) s = r = maradék nélkül el tudtuk osztani >> w=poly([5 6 3]); >> [s,r]=deconv(q,p) s = r = itt már van maradék is Polinom deriváltja: polyder Például w(x) = (x 5)(x 6)(x 3) = x 3 14x x 90 deriváltja >> polyder(w) dw(x) dx = 3x 2 28x + 63 Polinom gyökei: roots Az argumentumként megadott polinom gyökeit adja vissza egy oszlopvektorban. >> roots(w)

22 5 Grafikus ábrázolás Grafikus ábrázolás Az adatok kirajzoltatására számos lehetőség van Matlabban, itt csak a legegyszerűbbeket mutatjuk be Kétdimenziós ábrák A legtöbbet használt parancs, amivel kétdimenziós ábrákat hozhatunk létre, a plot, de a kirajzolni kívánt adatok jellegétől függően más utasításokra is szükség lehet. A plot egy univerzális parancs, amellyel elsősorban folytonos adatsort tudunk ábrázolni, ha azonban diszkrét adatsorral van dolgunk, előnyösebb a stem utasítás, amellyel impulzussorozatként ábrázolhatjuk az adatainkat. Hasonló esetben használható a stairs, amely nulladrendű tartószervvel mintavételezett jelekként ábrázolja adatainkat. Kétváltozós függvényeket a contour utasítás segítségével szintvonalakkal ábrázolhatunk két dimenzióban. A Matlab a grafikai műveleteknél is mátrixokkal és vektorokkal dolgozik, ezért ha jó minőségű ábrákat szeretnénk készíteni, az ábrázolandó függvény értelmezési tartományának megfelelő finomságú felosztását kell elkészíteni. A feleslegesen finom felosztás kerülendő, mert idő és számításigényes. Felosztás adott lépésközzel Az indexelésnél már megismert : operátorral történik. >> s=3:7 az s vektor fogja tartalmazni a [3 7] intervallum 1 lépésközű felosztását s = Ha finomabb felosztást szeretnénk előállítani, nem árt, ha változtatni tudjuk a lépésközt az alábbi módon: >> t=-pi:pi/2:pi a [ π π] intervallum felosztása π 2 lépésközzel. Szintaxis: also_hatar:lepeskoz:felso_hatar t =

23 5 Grafikus ábrázolás 23 Felosztás adott számú részintervallumra: Amíg az előbbiekben a felosztás lépésközét adhattuk meg, addig ebben az esetben az intervallum határai mellett azt a számot adjuk meg, ahány részre osztani szeretnénk az intervallumot: >> r=linspace(1,3,5) Szintaxis: linspace(also,felso,hanyfele) r = plot utasítás: Nagyon általános parancs, sokféle opcionális argumentummal hívható, itt csak a leggyakrabban használt kombinációkat mutatjuk be. >> t=-pi:pi/10:pi; Felosztás >> plot(t,sin(t)) kirajzoltatás: első argumentum a felosztást tartalmazó vektor, második a függvény értékeit tartalmazza a felosztási pontokban (itt a sin utasítás egy t-vel azonos méretű vektorral tér vissza, melynek elemei t komponenseinek szinuszai) Az utasítás eredményéül kapott ablak a 3. ábrán látható. 3. ábra. A plot utasítás eredménye Amennyiben bele szeretnénk szólni az ábra színébe, a vonalstílusba és a vektorpontokba rajzolt szimbólumokba, egy harmadik argumentumot

24 5 Grafikus ábrázolás 24 is meg kell adni a plot parancsnak, ami egy speciális sztring, aminek az első eleme a vonalstílust határozza meg: Vonaltípus Szimbólum - Folytonos vonal + Plusz jel -- Szaggatott vonal o Kör : Pontvonal * Csillag -. Szaggatott pontvonal. Pont Színek x Kereszt r Piros s Négyzet g Zöld d Rombusz b Kék ^ Háromszög c Cián v Háromszög m Magenta > Háromszög y Sárga < Háromszög k Fekete p Ötágú csillag w Fehér h Hatágú csillag Például egy véletlen számsorozat ábrázolása magenta színű pontvonallal, a pontokban hatágú csillagokkal (4. ábra): >> t=linspace(1,100,30); >> y=randn(size(t)); >> plot(t,y, :mh ) stem utasítás: Olyankor használjuk, ha az ábrán ki szeretnénk hangsúlyozni az adatsor diszkrét voltát (5. ábra). Szintaxisa hasonló a plot utasításéhoz. Például: >> t=-pi:pi/10:pi; >> stem(t,sin(t)) stairs utasítás: Nulladrendű tartószervvel mintavételezett rendszerek jeleinek ábrázolásához (6. ábra). Szintaxisa hasonló a plot utasításéhoz. >> t=-pi:pi/10:pi; >> stairs(t,sin(t), r-- ) Több ábra egymáson: hold Ha kettő, vagy több ábrát szeretnénk ugyanabban az ablakban ábrázolni, akkor a hold utasítást használjuk:

25 5 Grafikus ábrázolás ábra. A plot utasítás eredménye a megadott vonaltípussal, színnel, és szimbólummal 5. ábra. A stem utasítás eredménye >> plot(...); Első plot utasítás >> hold on A hold funkció bekapcsolva >> plot(...) A további ábrák a korábbival egy ablakba kerülnek. A hold funkció kikapcsolható a hold off utasítással.

26 5 Grafikus ábrázolás ábra. A stairs utasítás eredménye Rácsozat: grid Használata hasonló a hold-hoz, rácsozatot jelenít meg az aktuális ábrán. Képmagyarázat: legend Ha egy ablakban ábrázoltunk több adatot, ajánlatos kitenni egy jelmagyarázatot, amely megkönnyíti az olvasást (7. ábra). Az utasítás argumentumai a megyarázatban megjelenítendő sztringek, az ábrák sorrendjében, pl: t=pi/2:pi/10:4*pi; plot(t,exp(-0.5*t).*sin(t)) hold on grid on plot(t,exp(-0.5*t), :r ) legend( exp*sin, exp ) Egyéb ábrafeliratok: Az ábra címét a >> title( abra_cim ) utasítással adhatjuk meg, a tengelyek feliratait pedig az >> xlabel( x_tengely_felirat ) >> ylabel( y_tengely_felirat ) >> zlabel( z_tengely_felirat ) (3D esetben z-tengely is van) utasításokkal változtathatjuk meg.

27 6 Programozás ábra. A legend, hold, és a grid utasítás haználata 5.2. Háromdimenziós ábrák 5.3. Nyomtatás fájlba Hasznos lehet még az ábrák fájlba való exportálása. Erre a nem túl elegáns [Alt]+[PrintScreen] kombináción kívül két lehetőség is van a Matlabban. Az egyik az ábrát tartalmazó Figure ablak File Export menüjén keresztül, a másik pedig a parancssoros megoldás: >> print -depsc fajlnev A fajlnev nevű színes eps fájlba menti az aktuális grafikus ablak ábráját. >> print -djpeg90 fajlnev A fajlnev nevű, 90%-os minőségű jpeg fájlba menti az aktuális grafikus ablak ábráját. >> print -dtiff fajlnev A fajlnev nevű színes tiff fájlba menti az aktuális grafikus ablak ábráját. >> print -dpng fajlnev A fajlnev nevű színes png fájlba menti az aktuális grafikus ablak ábráját. 6. Programozás Ha egy bonyolultabb feladattal szembesülünk, kényelmesebben megoldható egy szkript segítségével, ami nem más, mint kötegbe szedett Matlab utasítások összessége. Ha olyan a feladat, hogy többször kell elvégezni különböző adatokon, egy függvény írása ajánlatosabb, mivel ennek argumentu adható

28 6 Programozás 28 át híváskor. Szkriptekben és függvényekben is megkönnyíti a feladat algoritmizálását a ciklusok és feltételvizsgálatok használata. A Matlab programnyelve hasonló a Basic-hez, elsajátítása egyszerű. A megírt szkripteket és függvényeket egy.m kiterjesztésű ún. M-fájlba mentjük. Új M-fájlokat a Matlab főablak File New menüpontjában hozhatunk létre, létezőket pedig a File Open menüpontban nyithatunk meg. Az M-fájlok szerkesztése történhet tetszőleges szövegszerkesztővel, de a Matlab beépített Editor-ja kényelmesebbé teszi a munkát (8. ábra). 8. ábra. A Matlab Editor ablaka Szkriptekben és függvényekben egy adott sorban a % jelet követő szövegrész megjegyzésnek minősül, azt a Matlab nem értelmezi utasításként. Több sornyi kódrészletet a 9. ábrán látható módon lehet egyszerűen kommentezni Szkriptek A legegyszerűbb M-fájl fajta, sem bemeneti, sem kimeneti argumentumai nincsenek. A szkriptek látják a Munkatér összes változóját, és módosítani is tudják azokat, illetve új változókat hozhatnak létre a Munkatérben.

29 6 Programozás ábra. Többsoros kódrészlet kommentezése Akkor hasznosak, ha rendszeresen több Matlab utasítást akarunk egymásután végrehajtani. A szkript végrehajtása a fájl nevének (kiterjesztés nélkül) begépelésével történik Egy példa szkript Az alábbi szkript egy 5 5-ös véletlen mátrx sajátértékeit rajzolja ki a komplex számsíkon (10. ábra), feliratozza az ábrát, végül pedig a sajat.eps nevű eps fájlba exportálja: % Egy véletlen matrix sajatertekeinek kirajzoltatasa A=randn(5,5); [u,v]=eig(a); valosresz=real(diag(v)); kepzetesresz=imag(diag(v)); plot(valosresz,kepzetesresz, ro ) xlabel( Re ) ylabel( Im ) grid on

30 6 Programozás 30 title( Sajátértékek ) print -depsc sajat A szkript hívása pedig a Parancsablakban az alábbi módon: >> sajat 10. ábra. A sajat.m szkript által kirajzolt ábra

31 7 Simulink Függvények Változótípusok Súgó írása Hibakezelés Egy példa függvény 6.3. Ciklusok 6.4. Elágazások 7. Simulink

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

6. előadás. Matlab 1. (Ismerkedés, környezet, adattípusok) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem

6. előadás. Matlab 1. (Ismerkedés, környezet, adattípusok) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem 6. előadás Matlab 1. (Ismerkedés, környezet, adattípusok) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom A Matlab általános bemutatása Matlab környezet Ablakok, súgó rendszer A Matlab, mint

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 17 XVII A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 1 PRImITÍV FÜGGVÉNY, ALApINTEGRÁLOk A (nagy) F függvényt a (kis) f függvény primitív függvényének nevezzük valamely nyílt intervallumon, ha itt

Részletesebben

program használata a középiskolai matematika oktatásban

program használata a középiskolai matematika oktatásban Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatika Kar Média- és Oktatásinformatika Tanszék A program használata a középiskolai matematika oktatásban Készítette: Horváthné Oroján Gabriella levelező informatika-tanár

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0 Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)

Részletesebben

Grafika. Egyváltozós függvény grafikonja

Grafika. Egyváltozós függvény grafikonja Grafika Egyváltozós függvény grafikonja Egyváltozós függvény grafikonját a plot paranccsal tudjuk kirajzolni. Elsı paraméter egy függvény képlete, a második paraméter változónév=intervallum alakú: plot(x^3-16*x+2,x=-6..6);

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Közúti forgalommodellezési gyakorlatok

Közúti forgalommodellezési gyakorlatok Közúti forgalommodellezési gyakorlatok Dr. Bede Zsuzsanna, Csikós Alfréd, Horváth Márton Tamás, Dr. Tettamanti Tamás, Dr. Varga István Lektorálta: Esztergár-Kiss Domokos BME, Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki

Részletesebben

1. Feladatlap. Függvények. Mőveletek Matlab nyelvben. Példa inverz osztásra >>d=2\1 d= 0.5000. Információkérési lehetıségek help utasítás

1. Feladatlap. Függvények. Mőveletek Matlab nyelvben. Példa inverz osztásra >>d=2\1 d= 0.5000. Információkérési lehetıségek help utasítás . Feladatlap Információkérési lehetıségek help utasítás help - leírásokat tartalmazó alkönyvtárak listáját írja ki help alkönyvtár_név a megadott alkönyvtárban található kulcsszavak listáját írja ki help

Részletesebben

>> x1 = linspace( ); plot(x1,sin(x1),'linewidth',1,'color',[1 0 0]);

>> x1 = linspace( ); plot(x1,sin(x1),'linewidth',1,'color',[1 0 0]); 1 5. GYAKORLAT SAJÁT FÜGGVÉNYEK, GRAFIKA, FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT A PLOT UTASÍTÁS A plot utasítás a legegyszerűbb esetben (x, y) pontpárok összekötött megjelenítésére szolgál (a pontok koordinátáit vektorok

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

2. Digitális hálózatok...60

2. Digitális hálózatok...60 2 60 21 Kombinációs hálózatok61 Kombinációs feladatok logikai leírása62 Kombinációs hálózatok logikai tervezése62 22 Összetett műveletek használata66 z univerzális műveletek alkalmazása66 kizáró-vagy kapuk

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva. Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani

Részletesebben

1. előadás. Függvények ábrázolása. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

1. előadás. Függvények ábrázolása. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 1. előadás Függvények ábrázolása Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Matematikai alapok Az elkészítés lépései, áttekintés Példa: egy ismert matematikai függvény és integráljának

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Aronic Főkönyv kettős könyvviteli programrendszer

Aronic Főkönyv kettős könyvviteli programrendszer 6085 Fülöpszállás, Kiskunság tér 4. Internet: www.cin.hu E-mail: software@cin.hu Tel: 78/435-081, 30/9-573-673, 30/9-593-167 kettős könyvviteli programrendszer v2.0 Szoftverdokumentáció Önnek is jár egy

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Mérnöki programozás 8. Szerkesztette: dr. Vass Péter Tamás

Mérnöki programozás 8. Szerkesztette: dr. Vass Péter Tamás Mérnöki programozás 8 Szerkesztette: dr. Vass Péter Tamás Octave egy magasszintű interaktív programozási nyelv, főként numerikus módszerek alkalmazására és programozására szolgál, a programozási nyelvhez

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

KETTŐS KÖNYVELÉS PROGRAM CIVIL SZERVEZETEK RÉSZÉRE

KETTŐS KÖNYVELÉS PROGRAM CIVIL SZERVEZETEK RÉSZÉRE KETTŐS KÖNYVELÉS PROGRAM CIVIL SZERVEZETEK RÉSZÉRE Kezelési leírás 2015. Program azonosító: WUJEGYKE Fejlesztő: B a l o g h y S z o f t v e r K f t. Keszthely, Vak Bottyán utca 41. 8360 Tel: 83/515-080

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Ismétlődő műveletek elvégzésének automatizálása

Ismétlődő műveletek elvégzésének automatizálása Ismétlődő műveletek elvégzésének automatizálása Adatfeldolgozás közben gyakran előfordul, hogy Önnek ugyanazt, az elemi lépésekből álló, összetett műveletsort kell sokszor, esetleg nagyon sokszor és ami

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Tanulmányozza az 5. pontnál ismertetett MATLAB-modell felépítést és működését a leírás alapján.

Tanulmányozza az 5. pontnál ismertetett MATLAB-modell felépítést és működését a leírás alapján. Tevékenység: Rajzolja le a koordinaátarendszerek közti transzformációk blokkvázlatait, az önvezérelt szinkronmotor sebességszabályozási körének néhány megjelölt részletét, a rezolver felépítését és kimenőjeleit,

Részletesebben

% % MATLAB alapozó % % 2009.12.16., Földváry Lóránt % 2014.01.29. Laky Piroska (kiegészítés)

% % MATLAB alapozó % % 2009.12.16., Földváry Lóránt % 2014.01.29. Laky Piroska (kiegészítés) % % MATLAB alapozó % % 2009.12.16., Földváry Lóránt % 2014.01.29. Laky Piroska (kiegészítés) %% mindennek a kulcsa: help és a lookfor utasítás (+doc) % MATLAB alatt help % help topics - témakörök help

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Bevezetés a MATLAB programba

Bevezetés a MATLAB programba Bevezetés a MATLAB programba 1. Mi az a MATLAB? A MATLAB egy olyan matematikai programcsomag, amely mátrix átalakításokat használ a komplex numerikus számítások elvégzésére. A Mathematica és Maple programokkal

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

C# gyorstalpaló. Készítette: Major Péter

C# gyorstalpaló. Készítette: Major Péter C# gyorstalpaló Készítette: Major Péter Adattípusok Logikai változó Egész szám (*: előjel nélküli) Lebegőponto s szám Típus Típusnév másképpen (egyenértékű) Helyigény (bit) Példa bool Boolean 8 (!) true,

Részletesebben

Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K házi-kis Ambrus, Klebniczki József Kecskeméti F iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10. Véges transzverzális

Részletesebben

Dr. Pétery Kristóf: CorelDRAW 9 testre szabás

Dr. Pétery Kristóf: CorelDRAW 9 testre szabás 2 Minden jog fenntartva, beleértve bárminemű sokszorosítás, másolás és közlés jogát is. Kiadja a Mercator Stúdió Felelős kiadó a Mercator Stúdió vezetője Lektor: Gál Veronika Szerkesztő: Pétery István

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

MATLAB alapismeretek I.

MATLAB alapismeretek I. Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék MŰSZAKI INFORMATIKA Dr.Dudás László 0. MATLAB alapismeretek I. A MATLAB bemutatása MATLAB filozófia MATLAB modulok A MATLAB felhasználói felülete MATLAB tulajdonságok

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Az aperturaantennák és méréstechnikájuk

Az aperturaantennák és méréstechnikájuk Az aperturaantennák és méréstechnikájuk (tanulmány) Szerzők: Nagy Lajos Lénárt Ferenc Bajusz Sándor Pető Tamás Az aperturaantennák és méréstechnikájuk A vezetékmentes hírközlés, távközlés és távmérés egyik

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

A MATLAB programozása. Féléves házifeladat. RGBdialog

A MATLAB programozása. Féléves házifeladat. RGBdialog A MATLAB programozása Féléves házifeladat RGBdialog Készítette: Till Viktor Konzulens: Dr. Varga Gábor 2005. tavasz 1. A feladat kitőzése A cél képek editálása a színösszetevık manipulálása alapján. A

Részletesebben

A DERIVE kezelése. 1. A DERIVE ablaka. Amikor elindítod a DERIVE-ot ez az ablak jelenik meg:

A DERIVE kezelése. 1. A DERIVE ablaka. Amikor elindítod a DERIVE-ot ez az ablak jelenik meg: A DERIVE kezelése A számítógépes DERIVE (CAS DERIVE) algebrai rendszer-t gyakran matematikai asszisztens-nek is nevezik. Ez egy hatékony és könnyen használható programcsomag amely bizonyos típusú matematikai

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002 Kódolás, hibajavítás Tervezte és készítette Géczy LászlL szló 2002 Jelkapcsolat A jelkapcsolatban van a jelforrás, amely az üzenő, és a jelérzékelő (vevő, fogadó), amely az értesített. Jelforrás üzenet

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

KELE3. Felhasználói kézikönyv

KELE3. Felhasználói kézikönyv KELE3 Felhasználói kézikönyv Tartalomjegyzék Bevezetés 9 Üdvözlet 9 Kezdetek 10 Rendszerkövetelmények 10 Kérdések, észrevételek 10 Telepítés 10 Frissítések 10 A program használata 11 Bejelentkezés 11 Automatikus

Részletesebben

FIR és IIR szűrők tervezése digitális jelfeldolgozás területén

FIR és IIR szűrők tervezése digitális jelfeldolgozás területén Dr. Szabó Anita FIR és IIR szűrők tervezése digitális jelfeldolgozás területén A Szabadkai Műszaki Szakfőiskola oktatójaként kutatásaimat a digitális jelfeldolgozás területén folytatom, ezen belül a fő

Részletesebben

A számok kiíratásának formátuma

A számok kiíratásának formátuma A számok kiíratásának formátuma Alapértelmezésben a Matlab négy tizedesjegy pontossággal írja ki az eredményeket, pl.» x=2/3 x = 0.6667 A format paranccsal átállíthatjuk a kiíratás formátumát. Ha több

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Kijelző...P.27 Kezdeti Lépések Statisztikai Számítások Kifejezések és Értéket Bevitele Haladó Tidp,ányos Számítások Beviteli Tartományok...P.

Kijelző...P.27 Kezdeti Lépések Statisztikai Számítások Kifejezések és Értéket Bevitele Haladó Tidp,ányos Számítások Beviteli Tartományok...P. Abszolútérték Számítása... P.38 Mérnöki Jelölés... P.38 megjelenítési értéket Váltása... P.38 Számolás Komplex Számokkal... P.39 n-alapú Számiítások és Logikal Számítsok... P.39 Statisztikai Számítások

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Vényírás. 1. ábra. 1. oldal

Vényírás. 1. ábra. 1. oldal Vényírás Amennyiben sikeresen kitöltöttük és elmentettük a megvizsgált személy ápolási esetét, lehetőségünk van vény felírására, az alábbi módon; 1. ábra A gomb megnyomásával egy legördülő menü tárul elénk,

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

1.1 Szakdolgozat témája... 2. 1.2 A Program célja... 2. 1.4 A használt technológiák ismertetése... 2. 2 A program megtervezése...

1.1 Szakdolgozat témája... 2. 1.2 A Program célja... 2. 1.4 A használt technológiák ismertetése... 2. 2 A program megtervezése... 1 Bevezető... 2 1.1 Szakdolgozat témája... 2 1.2 A Program célja... 2 1.3 Fejlesztői környezet... 2 1.4 A használt technológiák ismertetése... 2 2 A program megtervezése... 4 2.1 Az ablak kinézetének megtervezése:...

Részletesebben

1. Közös ismeretek. 1.1. Mérési adatok kiértékelése. 1.1.1. A MATLAB használata

1. Közös ismeretek. 1.1. Mérési adatok kiértékelése. 1.1.1. A MATLAB használata 1. Közös ismeretek 1.1. Mérési adatok kiértékelése Tekintettel arra, hogy minden mérési gyakorlatot numerikusan is értékelni kell, e feladatra egységesen a MATLAB programot használjuk. A MATLAB egy interaktív

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

A MATLAB alapjai. Kezdő lépések. Változók. Aktuális mappa Parancs ablak. Előzmények. Részei. Atomerőművek üzemtana

A MATLAB alapjai. Kezdő lépések. Változók. Aktuális mappa Parancs ablak. Előzmények. Részei. Atomerőművek üzemtana A MATLAB alapjai Kezdő lépések - Matlab Promt: >> - Help: >> help sqrt >> doc sqrt - Kilépés: >> quit >> exit >> Futó script leállítása: >> ctrl+c - Változók listásása >> who >> whos - Változók törlése

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11 Bevezetés a számításelméletbe 1. A BME I. éves mérnök-informatikus hallgatói számára segédlet a 2007. őszi előadáshoz Összeállította: Fleiner Tamás Utolsó frissítés: 2010. január 13. Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése

Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése ERDŐGAZDÁLKODÁSI HATÓSÁGI BEJELENTÉSEK/ TERVEZETT ERDŐGAZDÁLKODÁSI TEV. BEJELENTÉSE A Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése a fakitermelési

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Ismerkedés a Matlabbal

Ismerkedés a Matlabbal Ismerkedés a Matlabbal Közelít és szimbolikus számítások I. gyakorlat Antal Elvira A programról A Matlab egy tudományos számításokra specializálódott programrendszer. Neve a Matrix Laboratory kifejezésb

Részletesebben

MATLAB alapismeretek II.

MATLAB alapismeretek II. Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék MŰSZAKI INFORMATIKA Dr.Dudás László 0. MATLAB alapismeretek II. Feladat: Plottoljuk a sin(x) függvényt a 0 x 4π tartományban Rajzoltassuk az e -x/3 sin(x) függvényt

Részletesebben

Poszeidon (EKEIDR) Irat és Dokumentumkezelő rendszer webes felület

Poszeidon (EKEIDR) Irat és Dokumentumkezelő rendszer webes felület Poszeidon (EKEIDR) Irat és Dokumentumkezelő rendszer webes felület Felhasználói dokumentáció Cím: 1111 Budapest, Budafoki út 59. Tel.: +36 (1) 381-0736 Fax: +36 (1) 386-6022 E-mail: poszeidonsupport@sdadms.hu

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Kisvállalkozások könyvelése. Infotéka Kft. programjaival

Kisvállalkozások könyvelése. Infotéka Kft. programjaival A Kisvállalkozások könyvelése Könyvelés a gyakorlatban (Perfekt, 2014) című könyv esettanulmányának megoldása az Infotéka Kft. programjaival Készítette: Hauserné Dénes Éva A programok letölthetők: http://infoteka.hu/ugyviteli-szoftverek/

Részletesebben

MATLAB alapjainak áttekintése

MATLAB alapjainak áttekintése és társai alapjainak áttekintése 2015. szeptember 16. és társai és társai : zet s, nagy tudású, mérnöki és tudományos feladatok megoldására, mátrixközpontú (MATrix LABoratory) Octave: nyílt forrású változata,

Részletesebben

Vetülettani és térképészeti alapismeretek

Vetülettani és térképészeti alapismeretek Vetülettani és térképészeti alapismeretek A geodéziában - mint ismeretes - a földalak első megközelítője a geoid. Geoidnak nevezzük a nehézségi erőtér potenciáljának azt a szintfelületét, amelynek potenciálértéke

Részletesebben

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. : Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Lektor : Alabér, László Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

9. Áramlástechnikai gépek üzemtana

9. Áramlástechnikai gépek üzemtana 9. Áramlástechnikai gépek üzemtana Az üzemtan az alábbi fejezetekre tagozódik: 1. Munkapont, munkapont stabilitása 2. Szivattyú indítása soros 3. Stacionárius üzem kapcsolás párhuzamos 4. Szivattyú üzem

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Access 2010 Űrlapok és adatelérés

Access 2010 Űrlapok és adatelérés 2 Minden jog fenntartva, beleértve bárminemű sokszorosítás, másolás és közlés jogát is. Kiadja a Mercator Stúdió Felelős kiadó a Mercator Stúdió vezetője Lektor: Gál Veronika Szerkesztő: Pétery István

Részletesebben

Moodle tanulói kézikönyv

Moodle tanulói kézikönyv Moodle tanulói kézikönyv A Könyvtári Intézet által működtetett Moodle távoktatási felület eléréséhez internet hozzáférés szükséges! A közzétett tananyagokat nem ajánlott nyomtatni, nem csak az anyag mennyisége

Részletesebben

NeoSzámla Használati Útmutató. Verziószám: 2014/Q2 Kelt: 2014.07.15. neoszamla.hu info@neoszamla.hu 06 30 535 2181

NeoSzámla Használati Útmutató. Verziószám: 2014/Q2 Kelt: 2014.07.15. neoszamla.hu info@neoszamla.hu 06 30 535 2181 NeoSzámla Használati Útmutató Verziószám: 2014/Q2 Kelt: 2014.07.15 neoszamla.hu info@neoszamla.hu 06 30 535 2181 Tartalom Szolgáltatói adatok... 3 Kiállítható számlák... 3 Regisztráció... 3 A vállalkozás

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Számítógéppel támogatott geometriai kutatás és oktatás Debrecen 2009.

Számítógéppel támogatott geometriai kutatás és oktatás Debrecen 2009. Debreceni Egyetem Informatikai Kar Számítógéppel támogatott geometriai kutatás és oktatás Témavezetı: Dr. Bácsó Sándor tanszékvezetı Készítette: Boda Judit informatikatanári-matematika Debrecen 2009. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Újdonságok. Release 2

Újdonságok. Release 2 ARCHLine.XP 2009 Windows Újdonságok Release 2 A dokumentációban levı anyag változásának jogát a CadLine Kft fenntartja, ennek bejelentésére kötelezettséget nem vállal. A szoftver, ami tartalmazza az ebben

Részletesebben