Hidden Markov Model. March 12, 2013
|
|
- Alfréd Fekete
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Hidden Markov Model Göbölös-Szabó Julianna March 12, 2013
2 Outline 1 Egy példa 2 Feladat formalizálása 3 Forward-algoritmus 4 Backward-algoritmus 5 Baum-Welch algoritmus 6 Skálázás 7 Egyéb apróságok 8 Alkalmazás
3 Példa elmúlt évek átlaghőmérsékletét, időjárását próbáljuk megbecsülni (adat nem áll rendelkezésre) ami megfigyelhető: fák évgyűrűi tudjuk, hogy hidegben kevésbé fejlődik a fa Meleg-hideg évek váltakozása: H C H C Hőmérséklet hatása az évgyűrűkre: S M L H C
4 Példa Állapotok: Hot, Cold Megfigyelés szimbólumai: Small, Medium, Large Állapotátmenet mátrix: [ 0.7 ] 0.3 A = Kibocsátási mátrix: [ ] 0.5 B = Megfigyelés: O = SMLS Feladat: határozzuk meg a legvalószínűbb állapotsorozatot, ami O-t generálta!
5 Mit jelent, hogy legvalószínűbb? Feladat: határozzuk meg a legvalószínűbb állapotsorozatot, ami O-t generálta! Dinamikus programozás: adott hosszúságú sorozatok közül megadja a legnagyobb valószínűségűt. HMM: olyan állapotsorozatot ad meg, ami a helyes állapotok várható számát maximalizálja
6 Emlékeztető Markov-lánc Egy X 1, X 2,..., X n valószínűségi változó sorozat, amire n-re teljesül: P(X n = x n X n 1 = x n 1, X n 1 = x n 1,..., X 1 = x 1 ) Egy lépéses átmenetvalószínűség: = P(X n = x n X n 1 = x n 1 ) p ij = P(X 1 = j X 0 = i)
7 Jelölések T : megfigyelt szekvencia hossza N: Markov-folyamat állapotainak száma M: megfigyelés szimbólumainak száma Q: Markov-folyamat állapotainak halmaza {q 0,..., q N 1 } V : megfigyelés szimbólumainak halmaza {0,..., M 1} A: állapotátmenet valószínűségek mátrixa B: megfigyelési valószínűségek mátrixa π: kezdeti eloszlás O: a megfigyelt szekvencia (O 0, O 1,..., O T 1,) λ = (A, B, π)
8 Jelölések Állapotátmenet valószínűségek mátrixa (A): a i,j = P(q j -ben vagyunk t + 1-ben q i -ben voltunk t-ben) stacionárius: t-től nem függ sorsztochasztikus, azaz j a i,j = 1 Megfigyelési valószínűségek mátrixa (B): b j (k) = P(O t = k t-ben q j -ben vagyunk) stacionárius: t-től nem függ sorsztochasztikus, azaz j b jk = 1
9 A három feladat 1 Adott a modell λ = (A, B, π) és egy O megfigyelés. Keressük P(O λ)-t! 2 Adott a modell λ = (A, B, π) és egy O megfigyelés. Keressük a háttérbeli Markov-folyamat legvalószínűbb állapotsorozatát! 3 Adott egy O megfigyelés, N és M dimenziók. Keressük λ = (A, B, π)-t, amire P(O λ) maximális!
10 1. feladat - Forward algoritmus Feladat: Adott a modell λ = (A, B, π) és egy O = (O 0, O 1,..., O T 1 ) megfigyelés. Keressük P(O λ)-t! (Állapotok a háttérben: X = (x 0, x 1,..., x T 1 )) P(O X, λ) = b x0 (O 0 ) b x1 (O 1 )... b xt 1 (O T 1 ) = T 2 P(X λ) = π x0 a x0,x 1 a x1,x 2 a xt 2,x T 1 = π x0 P(O X λ) Mivel P(O, X λ) = és P(λ) P(O X λ) P(X λ) P(O X, λ) P(X λ) = P(X λ) P(λ) A jobb oldalak egyenlőségéből adódik: i=0 = P(O, X λ) = P(O X, λ) P(X λ) T 1 i=0 a xi,x i+1 b xi (O i ) P(O X λ) P(λ)
11 1. feladat - Forward algoritmus A fentiekből: P(O λ) = X P(O, X λ) = X P(O X, λ) P(X λ) = X T 1 π x0 i=0 T 2 b xi (O i ) i=0 a xi,x i+1 Ennek a direkt kiszámítása: 2TN T lépés lenne. Hatékony kiszámitás: Forward-algoritmus
12 Forward algoritmus Rekurzív kiszámítás: 1 α 0 (i) = π i b i (O 0 ) α t (i) = P(O 0 O 1... O t, x t = q i λ) 2 t > 0 esetén: α t (i) = [ N 1 j=0 α t 1(j)a ji ] b i (O t ) 3 P(O λ) = N 1 j=0 α T 1(i) Lépésszám: N 2 T (Megjegyzés: A Viterbi-algoritmus ehhez nagyon hasonló, de helyett max van, és a legvalószínűbb szekvenciát adják meg. (ld. a korábban emĺıtett DP-feladat))
13 2. feladat - Backward algoritmus Feladat: Adott a modell λ = (A, B, π) és egy O megfigyelés. Keressük a levalószínűbb X = x 1 x 2... x T 1 állapotsorozatot! Legyen β t (i) = P(O t+1 O t+2... O T 1 x t = q i, λ) Rekurzív kiszámítás: 1 β T 1 (i) = 1, 0 i N 1 2 t < T 1 esetén: β t (i) = [ N 1 j=0 a ijb j (O t+1 β t+1 (j)) 3 Legyen γ t (i) = P(x t = q i O, λ) γ t (i) = α t(i)β t (i) P(O λ) 4 Legvalószínűbb állapot t-ben: argmax i γ t (i)
14 3. feladat - Modell tanítása Feladat: Adott O, N, M, keressük λ = (A, B, π)-t! Legyen γ t (i, j) == P(x t = q i, x t+1 = q j O, λ) = α t(i)a ij b j (t + 1)β t+1 (j) P(O λ) (azaz γ t (i, j) annak a valószínűsége, hogy t-kor az i állapotban vagyok, t + 1-ben pedig a j állapotban, ismerve az O szekvenciát és a modellt)
15 Modell tanítása 1 π i = γ 0 (i) 2 a ij = 3 b j (k) = T 2 t=0 γ t(i, j) T 2 t=0 γ t(i) t;o γ t=k t(j) t γ t(j) = q i q j átmenetek várható száma q i bármi átmenetek várható száma = q j -ben hányszor volt a megfigyelés k q j -ben hányszor jártunk
16 Modell tanítása Inicializálás: π i 1 N a ij 1 N b j (k) 1 M Algoritmus 1 Inicializálás 2 α, β, γ értékeinek számítása 3 λ = (A, B, π) becslése a fentiek alapján. 4 Ha P(O λ) növő, akkor iterálunk tovább
17 A relatív entrópiáról Legyenek X, Y diszkrét eloszlású valószínűségi változók! H(Y X ) = i y(i) log y(i) x(i) Álĺıtás Bizonyítás H(Y X ) = i H(Y X ) 0 y(i) log y(i) x(i) i y(i)( y(i) x(i) 1) = 0 (Felhasználtuk, hogy log x x 1)
18 Az eljárás helyes Cél: argmax λ P(O λ) = argmax λ X P(O, X λ) P(O, X λ) = P(X O, λ) P(O λ) λ: a modell paramétere, ezt próbálom közeĺıteni λ t : a modell paraméterének közeĺıtése Varázsolunk : szorozzunk be P(O, X λ t )-vel és összegezzünk X -re! P(O, X λ t ) log P(O, X λ) = X P(X O, λ t ) log P(X O, λ) + P(X O, λ t ) log P(O λ) X X
19 P(X O, λ t ) log P(O λ) = X P(X O, λ t )[log P(O, X λ) log P(X O, λ)] X A bal oldalon az X -től független tag kiemelhető (a megmaradt összeg értéke pedig 1), így: log P(O λ) = P(X O, λ t ) log P(O, X λ) P(X O, λ t ) log P(X O, λ) X X Jelölje: Q(λ λ t ) = X P(X O, λt ) log P(O, X λ) Cél: a következő iterációban ne csökkenjen a likelihood. log P(X λ t ) = X P(X O, λ t ) log P(O, X λ t ) X P(X O, λ t ) log P(X O, λ t )
20 Képezzük a két egyenlet különbségét: log P(O λ) log P(X λ t ) = Q(λ λ t ) Q(λ t λ t ) X P(X O, λ t ) log P(X O, λ) P(X O, λ t ) A harmadik tag egy relatív entrópia (-1)-szerese, így log P(O λ) log P(X λ t ) 0-hoz elegendő: Q(λ λ t ) Q(λ t λ t ) 0 Használható az EM algoritmus: 1 Számold ki Q(λ λ t )! 2 λ t+1 = argmaxq(λ λ t )
21 Q(λ λ t ) = X P(X O, λ t ) log P(O, X λ) P(O, X λ) = N M N N b j (i) E j (i,x ) ( a k,l ) A k,l (X ) j=1 i=1 k=1 l=1 E j (i, X ): hányszor használtam a j állapotot i szimbólum kibocsátására A k,l (X ): hány k l ugrás volt az X útvonalon log P(O, X λ) = Ezt beírva Q-ba: X N M N N E j (i, X ) log b j (i)+ A k,l (X ) log a k,l ) j=1 i=1 j=1 i=1 Q(λ λ t ) = k=1 l=1 N M N N P(X O, λ t )( E j (i, X ) log b j (i)+ A k,l (X ) log a k,l ))) k=1 l=1
22 X j=1 i=1 Q(λ λ t ) = N M N N P(X O, λ t )( E j (i, X ) log b j (i)+ A k,l (X ) log a k,l ))) k=1 l=1 E j (i, X ) és A k,l (X ) : csak X -től függnek, λ-tól nem b j (i), a k,l : X -től függetlenek, ezeket kell update-elni Q(λ λ t ) = N j=1 i=1 M log b j (i) X P(X O, λ t )E j (i, X )+ N N log a k,l P(X O, λ t )A k,l (X ) k=1 l=1 X
23 Álĺıtás N k=1 l=1 N log a k,l E(A k,l (X )) maximális, ha a k,l = E(A k,l(λ t )) l E(A k,l (λt )) Bizonyítás N k=1 l=1 N E(A k,l (X )) log N k=1 l=1 Bővítsünk l E(A k,l (λt ))-vel! E(A k,l (λ t )) l E(A k,l (λt )) N E(A k,l (X )) log a k,l 0
24 N N k=1 l=1 l =1 N E(A k,l (λ t E(A k,l (λ t )) )) N l =1 E(A k,l (λt )) log E(A k,l (λ t )) N l =1 E(A k,l (λt )) N N k=1 l=1 l =1 k=1 l =1 N E(A k,l (λ t E(A k,l (λ t )) )) N l =1 E(A k,l (λt )) log a k,l N N N = [ E(A k,l (λ t )) log l=1 E(A k,l (X )) N l =1 E(A k,l (λt )) a k,l ] Relatív entrópia miatt ez tagonként 0 E(A k,l (λ t )) N l =1 E(A k,l (λt ))
25 Skálázás Valószínűségek szorzatával kell számolni alulcsordulás Megoldás: α, β értékek skálázása t = 0 - ra: α t (i) = α 0 (i) = α 0 (i) 1 c 0 = N 1 j=0 α 0(j) ˆα 0 (i) = c 0 α 0 N 1 j=0 α t 1 (j)a j,i b i (O t ) t > 0 - ra: α t (i) = N 1 j=0 ˆα t 1(j)a j,i b i (O t ) 1 c t = N 1 j=0 α t(j) ˆα t (i) = c t α t
26 Skálázás Álĺıtás ˆα t (i) = c 0 c 1... c t α t (i) Bizonyítás: indukcióval. t = 0 esetben triv. Tegyük fel, hogy t-re igaz, ekkor t + 1-re: ˆα t+1 (i) = c t+1 α t+1 = N 1 c t+1 j=0 Kihasználva az indukciós feltevést: ˆα t (j)a j,i b i (O t+1 ) N 1 = c 0 c 1... c t+1 α t (j)a j,i b i (O t+1 ) = c 0 c 1... c t+1 α t+1 (i) j=0
27 Skálázás Következmény:. Ennek felhasználásával: 1 = N 1 j=1 N 1 j=1 ˆα T 1 (j) = 1 N 1 ˆα T 1 (j) = c 0 c 1... c T 1 = c 0 c 1... c T 1 P(O λ) P(O λ) = 1 T 1 i=0 c i j=0 α T 1 (j) β-k skálázása ugyanígy megy: ˆβt (i) = c t β t (i) a modellben γ t (i) és γ t (i, j) számításához használhatóak a ˆβ t és ˆα t értékek
28 Egy állapotban maradás valószínűsége Az eddigiek alapján: p i (d) = (a ij ) d 1 (1 a ij ) = d-szer egymás után S i -ben vagyok (pontosan) exponenciálisan lecseng nem valósághű tipikus eset: eloszlásunk van arra, hogy az i-dik állapotban hány állapotot várakozik a modell, mielőtt továbblép Ekkor a modell így változik: 1 q 1 = S i -et kiválasztjuk π alapján 2 d 1 -et sorsoljuk p q1 (d) alapján 3 O 1 O 2... O d1 -et generáljuk b q1 (O 1 O 2... O d1 ) alapján (ez tipikusan d 1 t=1 b q 1 (O t )) 4 q 2 = S 2 -t kiválasztjuk az a q1,q 2 -k alapján
29 Egy állapotban maradás valószínűsége Természetesen ekkor az α, β formulája is módosul. Például: α t (i) = π q1 p q1 (d 1 )P(O 1 O 2... O d1 q 1 ) q d a q1,q 2 p q2 (d 2 )P(O d1 +1O d O d1 +d 2 q 2 )... a qr 1,q r p qr (d r )P(O d1 + +d r 1 +1O d1 + +d r O d1 + +d r q 2 )... A képletek is módosulnak, erre most itt nem térnék ki.
30 Egy szövegbányászati alkalmazás Adott egy hosszabb időszakot felölelő cikkgyűjtemény. Ebben szeretnénk automatikusan témákat találni, majd pedig a témák evolúcióját, alakulásait vizsgálni. A témákat nyelvmodellekkel jellemezzük. Feltételezzük, hogy van k darab téma (T 1,..., T k ) és egy általános nyelvmodellünk(b). Állapotok: témák A megfigyelés szimbólumai: a szavak
31 Egy szövegbányászati alkalmazás Ebből konstruálunk egy k + 1 állapotú HMM-et, ahol a Markov-folyamatban T i -ből T j -be közvetlenül nem léphetek, mindig csak B-n keresztül Amire szükségünk van: a háttérfolyamat legvalószínűbb állapotsorozata, később ezt tudjuk arra használni, hogy adott időszakok legjellemzőbb témáit és azok kapcsolatait feltárjuk
32 Köszönöm a figyelmet! Felhasznált irodalom: Mark Stamp: A Revealing Introduction to Hidden Markov Models Lawrence R. Rabiner: A tutorial on Hidden Markov Models and selected applications in speech recognition Miklós István: Sztochasztikus modellek a bioinformatikában, előadásjegyzet (2009.) Mei, Zhai: Discovering evolutionary theme patterns from text: an exploration of temporal text mining
Diszkrét idejű felújítási paradoxon
Magda Gábor Szaller Dávid Tóvári Endre 2009. 11. 18. X 1, X 2,... független és X-szel azonos eloszlású, pozitív egész értékeket felvevő valószínűségi változó (felújítási idők) P(X M) = 1 valamilyen M N
Részletesebben(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak
(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak osztályozása) March 21, 2019 Markov-láncok A Markov-láncok anaĺızise főként a folyamat lehetséges realizációi valószínűségeinek kiszámolásával foglalkozik. Ezekben
Részletesebben12. előadás - Markov-láncok I.
12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R
Részletesebbenelőadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás
13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenE.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.
E.4 Markov-láncok Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével. Egy Markov-láncot (MC) meghatároznak az alapját adó sorbanállási hálózat állapotai és az ezek
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
Részletesebbeni p i p 0 p 1 p 2... i p i
. vizsga, 06--9, Feladatok és megoldások. (a) Adja meg az diszkrét eloszlás várható értékének a definícióját! i 0... p i p 0 p p... i p i (b) Tegyük fel, hogy a rigófészkekben található tojások X száma
RészletesebbenMarkov modellek 2015.03.19.
Markov modellek 2015.03.19. Markov-láncok Markov-tulajdonság: egy folyamat korábbi állapotai a későbbiekre csak a jelen állapoton keresztül gyakorolnak befolyást. Semmi, ami a múltban történt, nem ad előrejelzést
RészletesebbenRejtett Markov Modell
Rejtett Markov Modell A Rejtett Markov Modell használata beszédfelismerésben Készítette Feldhoffer Gergely felhasználva Fodróczi Zoltán előadásanyagát Áttekintés hagyományos Markov Modell Beszédfelismerésbeli
RészletesebbenLegyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }.
. Markov-láncok. Definíció és alapvető tulajdonságok Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0,,,..., N}, {0,,,... }.. definíció. S értékű valószínűségi
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenStatisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége
[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell
RészletesebbenKÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok alapfogalmak
Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenNagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.
Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok
RészletesebbenStatisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok
Statisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok vizsgálatára Gyenge Ádám1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Számítástudományi és Információelméleti
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenYule és Galton-Watson folyamatok
Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 1 / 36 Yule és ok Dr. Márkus László 2015. március 9. Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 2 / 36 A független stacionárius növekmény
RészletesebbenVéletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás
Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél
RészletesebbenKÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenÁltalánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenEgy Markov modell alapú számjegy felismerési módszer
MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT Egy Markov modell alapú számjegy felismerési módszer Forgács Attila programtervező informatikus hallgató Konzulens: Dr. Fegyverneki
RészletesebbenMesterséges Intelligencia I.
Mesterséges Intelligencia I. 10. elıadás (2008. november 10.) Készítette: Romhányi Anita (ROANAAT.SZE) - 1 - Statisztikai tanulás (Megfigyelések alapján történı bizonytalan következetésnek tekintjük a
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
Részletesebben26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA
26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA Az előző két fejezetben tárgyalt feladat általánosításaként a gráfban található összes csúcspárra szeretnénk meghatározni a legkisebb költségű utat. A probléma
RészletesebbenA Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:
A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt rövid kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
RészletesebbenProgramozási módszertan. Dinamikus programozás: A leghosszabb közös részsorozat
PM-07 p. 1/13 Programozási módszertan Dinamikus programozás: A leghosszabb közös részsorozat Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-07
RészletesebbenRekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenElemi statisztika. >> =weiszd= << december 20. Szerintem nincs sok szükségünk erre... [visszajelzés esetén azt is belerakom] x x = n
Elemi statisztika >> =weiszd=
RészletesebbenProgramkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6.
Programkonstrukciók Definíció Legyen π feltétel és S program A-n. A DO A A relációt az S-ből a π feltétellel képezett ciklusnak nevezzük, és (π, S)-sel jelöljük, ha 1. a / [π] : DO (a) = { a }, 2. a [π]
RészletesebbenKauzális modellek. Randall Munroe
Kauzális modellek Randall Munroe A kauzalitás reprezentációi Determinisztikus Sztochasztikus Feltételes valószínűség < > hipergráf Irányított gráf: több ok, egy okozat < > Bayes-háló Cirkuláris kauzalitás
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenMonte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás
Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Démon algoritmus az ideális gázra időátlag fizikai mennyiségek átlagértéke sokaságátlag E, V, N pl. molekuláris dinamika Monte
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Diszkrét matematika 2.C szakirány 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 207.
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,
Részletesebben4. Előadás: Erős dualitás
Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenSztochasztikus temporális logikák
Sztochasztikus temporális logikák Teljesítmény és szolgáltatásbiztonság jellemzők formalizálása és ellenőrzése Majzik István Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs
RészletesebbenDiverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 11. Előadás Portfólió probléma Portfólió probléma Portfólió probléma Adott részvények (kötvények,tevékenységek,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy
RészletesebbenGROVER-algoritmus. Sinkovicz Péter. ELTE, MSc II dec.15.
ELTE, MSc II. 2011.dec.15. Áttekintés Feladat Algoritmus Kvantum keresési algoritmus áttekintése Input: N = 2 n elemű tömb, Ψ 1 = 0 1 kezdőállapot, f x0 (x) orákulum függvény. Output: x 0 keresett elem
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 3. előadás Katona Gyula Y. (BME
RészletesebbenMesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Valószínűségi hálók - következtetés Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade Következtetés
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenChomsky-féle hierarchia
http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/formalis.html Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezet ), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.
RészletesebbenA Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában
A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában Horváth Gábor ghorvath@hit.bme.hu (Horváth András, Telek Miklós) - p. 1 Motiváció, problémafelvetés
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
RészletesebbenMegerősítéses tanulási módszerek és alkalmazásaik
MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Megerősítéses tanulási módszerek és alkalmazásaik Tompa Tamás tanársegéd Általános Informatikai Intézeti Tanszék Miskolc, 2017. szeptember 15. Tartalom
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
RészletesebbenOsztott algoritmusok
Osztott algoritmusok A benzinkutas példa szimulációja Müller Csaba 2010. december 4. 1. Bevezetés Első lépésben talán kezdjük a probléma ismertetésével. Adott két n hosszúságú bináris sorozat (s 1, s 2
Részletesebben9. előadás. Programozás-elmélet. Programozási tételek Elemi prog. Sorozatszámítás Eldöntés Kiválasztás Lin. keresés Megszámolás Maximum.
Programozási tételek Programozási feladatok megoldásakor a top-down (strukturált) programtervezés esetén három vezérlési szerkezetet használunk: - szekvencia - elágazás - ciklus Eddig megismertük az alábbi
RészletesebbenAlgoritmusok helyességének bizonyítása. A Floyd-módszer
Algoritmusok helyességének bizonyítása A Floyd-módszer Algoritmusok végrehajtása Egy A algoritmus esetében a változókat három változótípusról beszélhetünk, melyeket az X, Y és Z vektorokba csoportosítjuk
RészletesebbenFüggvények növekedési korlátainak jellemzése
17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,
RészletesebbenNem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29. Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Bozóki Sándor BCE, MTA SZTAKI 2010. november 4. Nem teljesen kitöltött páros
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
RészletesebbenMátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása
Mátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék & ELTE-MTA NumNet Kutatócsoport munkatárs: Szekeres Béla János Alkalmazott Analízis
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenÚj típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén
Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén Dombi József Szegedi Tudományegyetem Bevezetés - ID3 (Iterative Dichotomiser 3) Az ID algoritmusok egy elemhalmaz felhasználásával
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenJAVASLAT A TOP-K ELEMCSERÉK KERESÉSÉRE NAGY ONLINE KÖZÖSSÉGEKBEN
JAVASLAT A TOP-K ELEMCSERÉK KERESÉSÉRE NAGY ONLINE KÖZÖSSÉGEKBEN Supporting Top-k item exchange recommendations in large online communities Barabás Gábor Nagy Dávid Nemes Tamás Probléma Cserekereskedelem
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben5. előadás - Regressziószámítás
5. előadás - Regressziószámítás 2016. október 3. 5. előadás 1 / 18 Kétváltozós eset A modell: Y i = α + βx i + u i, i = 1,..., T, ahol X i független u i -től minden i esetén, (u i ) pedig i.i.d. sorozat
Részletesebben1. ábra ábra
A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,
RészletesebbenAz idősorok összetevői Trendszámítás Szezonalitás Prognosztika ZH
Idősorok Idősor Statisztikai szempontból: az egyes időpontokhoz rendelt valószínűségi változók összessége. Speciális sztochasztikus kapcsolat; a magyarázóváltozó az idő Determinisztikus idősorelemzés esetén
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenOperációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés)
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.
RészletesebbenSzindbád mellett, egyszerre csak egy háremhölgy jelenik meg. Szindbád. hogy a kalifának hány háremhölgye van, viszont semmit nem tud arról,
A Szindbád probléma. Optimális választás megtalálása. Rendkívül népszerű és egyben tanulságos a következő valószínűségi, optimalizációs probléma, mely Magyarországon Szindbád problémája néven vált ismertté.
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenEloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok
Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenMagyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás
Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás Tengely Szabolcs 2007. november 9. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Eredmények Eredmények Chabauty (T.Sz.): On the Diophantine equation
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenA félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben