MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis A szürkített hátterű eladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak ontos inormációval az érintett eladatrészek megoldásához! 1) Legyen és g a valós számok halmazán értelmezett üggvény: 1 ha 1 1 ha ha 0 és a) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben mindkét üggvényt! Adja meg az egyenlet valós megoldásait! g b) Számítsa ki a két üggvény graikonja által közreogott zárt síkidom területét! (8 pont) ) Legyen adott az ) g :,5;,5, üggvény a) Határozza meg az üggvény zérushelyeit! b) Vizsgálja meg az üggvényt monotonitás szempontjából! c) Adja meg az üggvény legnagyobb és legkisebb értékét! a) Ábrázolja üggvény-transzormációk segítségével a az ;4 intervallumon hozzárendelési szabállyal megadott üggvényt! b) Legyen az, a g és a h üggvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza, hozzárendelési szabályuk: ; g, h Képezzünk egyszeresen összetett üggvényeket a szokásos módon g g 6 Például: Készítse el a enti példának megelelően az, g és h üggvényekből a pontosan két különböző elhasználásával képezhető egyszeresen összetett üggvényeket! Sorolja el valamennyit! c) Keressen példát olyan p és t, a valós számok halmazán értelmezett! p t t p üggvényre, amelyre Adja meg a p és t üggvény hozzárendelési szabályát!

2 4) Egy arborétumban 1969 óta igyelik a ák természetes növekedését Úgy tapasztalták, hogy a mandzsu űza magasságát közelítően jól írja le az 5) m t 10 1 t 1 képlet; a hegyi mamutenyő magasságát közelítően jól írja le a következő ormula: h t t 5 0,4 1 0,4 Mindkét ormulában t az 1969 óta eltelt időt jelöli években t 1, és a magasságot méterben számolják a) Szemléltesse a mandzsu űza és a hegyi mamutenyő magasságának változását, olyan közös oszlopdiagram, amely a magasság értékét az 1970 és 000 közötti időszakban 10 évenként mutatja! A diagramon tüntesse el a számított magasságértékeket! b) A mamutenyő melyik évben érte el 10,5 méteres magasságot? c) Indokolja, hogy nem lehet olyan a az arborétumban, amely magasságát a képlet írja le (A magasságot centiméterben g t t 16,5t 7t 60 számolják, t az 1985 óta eltelt időt jelöli években, és t 1) a) Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a 6 9 b) Ábrázolja a kiejezés értelmezhető! 5;8 intervallumon értelmezett ( pont) : 6 9 üggvényt! c) Melyik állítás igaz és melyik hamis a enti üggvényre vonatkozóan? Válaszát írja a sor végén lévő téglalapba! (Az indoklást nem kell leírnia) 0;5 A: Az értékkészlete: B: Az üggvény minimumát az helyen veszi el 4;8 C: Az üggvény szigorúan monoton nő a d) Határozza meg az A B C 6 9 d értékét! : 1;6 ; ) Adott az üggvény: intervallumon ( pont) a) Határozza meg zérushelyeit és elemezze az üggvényt monotonitás szempontjából! (7 pont) Jelölje c az értelmezési tartományának egy pozitív elemét b) Határozza meg c értékét úgy, hogy az tengely szakasza, az c 0 egyenletű egyenes és az graikonja által közbezárt síkidom területe 704 területegységnyi legyen! (9 pont) 0;c

3 7) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az üggvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) k 9 Számítsa ki, hogy k mely értéke esetén lesz szélsőértékhelye a üggvénynek! Állapítsa meg, hogy az így kapott k esetén 1 a üggvények lokális maimumhelye vagy lokális minimumhelye! Igazolja, hogy a k ezen értéke esetén a üggvénynek van másik lokális szélsőértékhelye is! (11 pont) b) Határozza meg a valós számok halmazán a képlettel értelmezett g üggvény inleiós pontját! 1 a üggvénynek lokális g 9 8) Adott a K t t 6t 5 polinom Jelölje H a koordinátasík azon P ; y pontjainak halmazát, amelyekre K 0 K y a) A H halmaz pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet Mennyi C ; ponttól annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont az egységnél nem nagyobb távolságra van? Az üggvényt a következőképpen deiniáljuk: :, 6 5 (9 pont) b) Számítsa ki az üggvény graikonja és az tengely által közbezárt síkidom területét! (7 pont) 9) Egy egyenlő szárú háromszög szárainak metszéspontja hossza 1 y C 0;7 pont, a szárak egység A háromszög másik két csúcsa (A, B) illeszkedik az egyenletű parabolára a) Számítsa ki az A és a B pont koordinátáit! b) Írja el az ABC háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ennek az egyenesnek és a parabolának további közös pontja D Határozza meg a D pont koordinátáit! c) Mekkora területű részekre bontja az ABC háromszöget a parabola íve? 10) Adott és g üggvény : D \ k ; k tg ctg sin a) Igazolja, hogy az így deiniált üggvény konstans! ( pont) g : D 7;7 6 g b) Számítsa ki g üggvény zérushelyeit! ( pont) c) Adja meg g üggvény értékkészletét! ( pont)

4 11) Legyen 4 a a a a a) Igazolja, hogy a 0 d a a b) Mely pozitív a számokra teljesül, hogy c) Az mely pozitív valós értéke lesz a (helyi) minimuma?, ahol a pozitív valós szám és! a 0 d 0 g? üggvények lokális 1) Az egyenletű parabola az egyenletű körlapot két részre vágja Mekkora a konve rész területe? Számolása során ne használja a közelítő értékét! (16 pont) y y 1) Egy kozmetikumokat gyártó vállalkozás nagy tételben gyárt egyajta krémet A termelés havi mennyisége ( mennyisége) 100 és 700 kg közé esik, amelyet egy megállapodás alapján a gyártás hónapjában el is adnak egy nagykereskedőnek A megállapodás azt is tartalmazza, hogy egy kilogramm krém eladási ára: euró a) Számítsa ki, hogy hány kilogramm krém eladása esetén lesz az eladásból származó havi bevétel a legnagyobb! Mekkora a legnagyobb havi bevétel? b) Adja meg a krémgyártással elérhető legnagyobb havi nyereséget! Hány kilogramm krém értékesítése esetén valósul ez meg? ( nyereség bevétel kiadás ) (10 pont) 6 0,0 14) A nyomda egy plakátot példányban állít elő A költségeket csak a nyomtatáshoz elhasznált nyomólemezek (klisék) darabszámának változtatásával tudják beolyásolni Egy nyomólemez 500 Ft-ba kerül, és a nyomólemezek mindegyikével óránként 100 plakát készül A nyomólemezek árán elül, a lemezek számától üggetlenül, minden nyomtatásra ordított munkaóra további Ft költséget jelent a nyomdának A ráordított idő és az erre az időre jutó költség egyenesen arányos a) Mennyi a nyomólemezek árának és a nyomtatásra ordított munkaórák miatt ellépő költségek összege, ha a plakát kinyomtatásához 16 nyomólemezt használnak? b) A plakát kinyomtatását a nyomda a legkisebb költséggel akarja megoldani Hány nyomólemezt kell ekkor használnia? Mennyi ebben az esetben a nyomólemezekre és a ráordított munkaidőre jutó költségek összege? (1 pont) 8

5 15) a) Két szabályos dobókockát egyszerre eldobunk Számítsa ki a következő két esemény valószínűségét: A: a dobott számok összege prím B: a dobott számok összege osztható -mal b) Az 1,,,4,5,6 számjegyekből véletlenszerűen kiválasztunk három különbözőt Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott számjegyek mindegyikének egyszeri elhasználásával 4-gyel osztható háromjegyű számot tudunk képezni? c) Az ABCD négyzet csúcsai: A 0;0, B ;0, C ;, D 0; Véletlenszerűen kiválasztjuk a négyzet egy belső pontját Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott pont a koordinátatengelyek és az : 0;, cos üggvény graikonja által határolt tartomány egyik pontja? 16) Legyen p valós paraméter Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett üggvényt, amelynek hozzárendelési szabálya: p p a) Számítsa ki a 6 0 d határozott integrált, ha p 1 zérushelye legyen az b) Határozza meg p értékét úgy, hogy az üggvénynek! ( pont) c) Határozza meg p értékét úgy, hogy az üggvény deriváltja az helyen pozitív legyen! (7 pont) 1 17) a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az : 0;7, 6 5 üggvényt! b) Adja meg az üggvény értékkészletét! ( pont) c) A p valós paraméter értékétől üggően hány megoldása van az intervallumon? (8 pont) 6 5 p 0;7 egyenletnek a

6 18) Egy üzemben olyan orgáshenger alakú konzervdoboz gyártását szeretnék elkezdeni, amelynek térogata 1000 cm A doboz aljának és tetejének anyagköltsége 0, cm Ft, míg oldalának anyagköltsége 0,1 cm Ft a) Mekkorák legyenek a konzervdoboz méretei (az alapkör sugara és a doboz magassága), ha a doboz anyagköltségét minimalizálni akarják? Válaszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Számítsa ki a minimális anyagköltséget is egész orintra kerekítve! (1 pont) A megtöltött konzervdobozokat tizenkettesével csomagolták kartondobozokba Egy ellenőrzés alkalmával 10 ilyen kartondoboz tartalmát megvizsgálták Minden kartondoboz esetén eljegyezték, hogy a benne található 1 konzerv között hány olyat találtak, amelyben a töltősúly nem érte el az előírt minimális értéket Az ellenőrök a 10 kartondobozban rendre 0, 1, 0, 0,, 0, 0, 1,, 0 ilyen konzervet találtak, s ezeket a konzerveket selejtesnek minősítették b) Határozza meg a kartondobozonkénti selejtes konzervek számának átlagát, és az átlagtól mért átlagos abszolút eltérését! ( pont) 19) Egy teherszállító taikat üzemeltető társaság egyik, elsősorban városi orgalomban alkalmazott kocsijának teljes működtetési költsége két részből tevődik össze: az üzemeltetési költség km h átlagsebesség esetén 400 0,8 kilométerenként; a gépkocsivezető alkalmazása 00 Ft óránként a) Mekkora átlagsebesség esetén minimális a kocsi kilométerenkénti működtetési költsége? Válaszát km h b) A társaság emblémájának alaprajzát az és által közrezárt síkidommal modellezhetjük, ahol : 0;6, 1 6 ha 4;6 Ft -ban, egészre kerekítve adja meg!(8 pont) ha 0;4 Számítsa ki az embléma modelljének területét! üggvények graikonjai (8 pont) 0) Az ABCDEF szabályos hatszögben a rövidebb átló hossza 5 a) Számolja ki a hatszög területének pontos értékét! b) Az ABCDEF hatszög oldalelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje, a területű hatszög oldalelező pontjai által t 1 t 1 meghatározott szabályos hatszög területét t, és így tovább, képezve ezzel a t n sorozatot Számítsa ki a értékkel számoljon!) lim t1 t tn n határértékét! (Pontos (10 pont)

7 1) a) Deriváltüggvényének segítségével elemezze az 1,5 6 : ; ; üggvényt a következő szempontok szerint: növekedés és ogyás, lokális szélsőértékek helye és értéke! (10 pont) b) Adja meg azt a üggvényt, amelyre igaz, hogy g (tehát g : ; az üggvény a g deriváltüggvénye) és ezen kívül g 0 is teljesül! ) Kovács úr a tetőterébe egy téglatest alakú beépített szekrényt készíttet Két vázlatot rajzolt a terveiről az asztalosnak, és ezeken eltüntette a tetőtér megelelő adatait is Az első vázlat térhatású, a második pedig elölnézetben ábrázolja a szekrényt A tetőtér adottságai miatt a szekrény mélységének pontosan 60 cm-nek kell lennie a) Mekkora legyen a szekrény vízszintes és üggőleges mérete (azaz a szélessége és a magassága), ha a lehető legnagyobb térogatú szekrényt szeretné elkészíttetni? (A magasság, a szélesség és a mélység a szekrény külső méretei, Kovács úr ezekkel számítja ki a térogatot) (8 pont) A szekrény elkészült Az akasztós részébe Kovács úr vasárnap este 7 inget tesz be, a hét minden napjára egyet-egyet Az ingek között van ehér, világoskék és sárga Reggelente nagyon siet, ezért Kovács úr csak benyúl a szekrénybe, és anélkül, hogy odanézne, véletlenszerűen kivesz egy inget b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hét első három napján vagy három különböző színű vagy három egyorma színű inget választ? (Ha valamelyik nap viselt egy inget, azt utána már nem teszi vissza a szekrénybe) (8 pont) ) Adott síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az egyenletű görbe a) Igazolja, hogy ha, akkor 0; y 0 y b) Írja el a görbe abszcisszájú pontjában húzható érintőjének egyenletét! (abszcissza: első koordináta) c) Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet a görbe első síknegyedbe eső íve és az tengely og közre!

8 4) Egy üzemben egyorma, nagyméretű émdobozok gyártását tervezik A téglatest alakú doboz hálózatát egy méter 1 méteres téglalapból vágják ki az ábrán látható módon A kivágott idom elhajtott lapjait az élek mentén összeorrasztják (A orrasztási eljárás nem jár anyagveszteséggel) a) Hogyan válasszák meg a doboz méreteit, hogy a térogata maimális legyen? Válaszát centiméterben, egészre kerekítve adja meg! (11 pont) A dobozokat egy öt karakterből álló kóddal jelölik meg Minden kódban két számjegy és három nagybetű szerepel úgy, hogy a két számjegy nincs egymás mellett Mindkét számjegy eleme a halmaznak, a 0; 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 betűket pedig a 6 betűs (angol) ábécéből választják ki (például 7WAA egy lehetséges kód) b) Hány különböző kód lehetséges? 5) Adott az és g üggvény: : ; 1 g : ; g a) Számítsa ki a g b) Számítsa ki az c) Számítással igazolja, hogy a szigorúan monoton növekedő! ; üggvény zérushelyeit! ( pont) és g üggvények graikonja által közbezárt területet!(7 pont) g h : ; 0,5 ; h üggvény

9 6) Egy pénzintézet a tőle elvett H p% -os kamattal számol n q q 1 tn H q n 1 visszaizetni) A képletben p 0 orint összegű hitel visszaizetésekor havi, ezért az adós havi törlesztőrészletét a képlettel számítja ki (minden hónapban ekkora összeget kell p q 1 100, az n pedig azt jelenti, hogy összesen hány hónapig izetjük a törlesztőrészletet (ez a hitel utamideje) a) Fogyasztási cikkek vásárlására 1,6 millió orint hitelt vettünk el a pénzintézettől; a havi kamat % Összesen hány orintot izetünk vissza, ha 7 hónap alatt törlesztjük a elvett hitelt? Válaszát ezer orintra kerekítve adja meg! b) Legkevesebb hány hónapos utamidőre vehetünk el egy millió orintos hitelt, ha legeljebb 60 ezer orintot tudunk havonta törleszteni, és a havi kamat %-os? (8 pont) c) Számítsa ki a lim n határértékét, ha és! n t q 1,0 H