ALACSONY HŐMÉRSÉKLETŰ PLAZMAFIZIKA

Átírás

1 ALACSONY HŐMÉRSÉKLETŰ PLAMAFIIKA Dr. Donkó oltán MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont Szilárdtestfizikai és Optikai Intézet Komplex Folyadékok Osztály MTA Csillebér / KFKI donko.zoltan@wigner.mta.hu zoltan.donko@gmail.om (3)

2 Tartalom Részesketranszport leírásának módszerei (I.) Boltzmann-egyenlet - alapok A Boltzmann-egyenlet momentumai Drift és diffúzió A Boltzmann-egyenlet megoldása kéttag közelítéssel Momentum-egyenletek alkalmazása: plazmahullámok Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 2

3 Elektronok kinetikája Physis ± Uspekhi 53 (2) 133 ± 157 (2010) # 2010 Uspekhi Fiziheskikh Nauk, Russian Aademy of Sienes REVIEWS OF TOPICAL PROBLEMS PACS numbers: Dg, ± s, Xj Nonloal eletron kinetis in gas-disharge plasma L D Tsendin Suh a medium, alled plasma by Langmuir, in eah volume of whih heavy partiles at room temperature o-exist with eletrons having energies larger by two orders of magnitude, is, obviously, extremely nonequilibrium and far from LTE. Therefore, the kineti approah using a partile distribution funtion (first and foremost that of eletrons) as the basi element is absolutely neessary for a plasma analysis. Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 3

4 Egyensúlyi / nem-egyensúlyi transzport Rövid szabad úthossz (gyakori ütközések) Hosszú szabad úthossz & és energia relaxáiós hossz Nem-egyensúlyi (nem-hidrodinamikai) (nem-lokális) transzport v Köszönet Bánó Gergelynek! Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 4

5 Kinetikus elmélet: a sebességeloszlás-függvény Sebességeloszlás-függvény f(r, v,t) 2D illusztráió r =(x, y, z) v =(v x,v y,v z ) A 6-dimenziós fázistér valamely pontja: v x +dv x v x (r, v) =(x, y, z, v x,v y,v z ) dn = f(r, v,t)d 3 r d 3 v azon részeskék száma, amelyek a (r, v) pont körüli dr dv térfogatelemben találhatók t időpontban N = (r) (v) f(r, v,t)d 3 r d 3 v Az összes részeske száma a fázistérben. Makroszkopikus mennyiségek: Sűrűség: Fluxus: Energiasűrűség: x x +dx n(r,t)= f d 3 v (r,t)=nu = vf d 3 v w(r,t)= 1 2 m v 2 f d 3 v Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 5

6 A részeskék mozgásának leírása a fázistérben vx t + dt Tegyük fel, hogy Ninsenek ütközések Minden részeskére F erő hat t x (t +dt) =x(t)+v x dt dx dv x v x (t +dt) =v x (t)+a x dt, a x = F/m dx dvx Mivel a részeskék ugyanazok (ugyanannyian vannak): x f(x,v x,t+dt)dx dv x = f(x, v x,t)dx dv x A fázistér térfogatelemének transzformáiója: dx dv x = J dx dv x ( J: Jaobi mátrix ) J = (x,v x) (x, v x ) = x / x v x / x x / v x v x / v x = x x v x v x v x x x v x =1+O(dt 2 ) dt első rendjében a térfogatelem nagysága változatlan, ezért: [f(x,v x,t+dt) f(x, v x,t)] dx dv x =0 Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 6

7 A részeskék mozgásának leírása a fázistérben [f(x,v x,t+dt) f(x, v x,t)] dx dv x =0 Taylor sorba fejtve dt-ben első rendig f(x + v x dt, v x + a x dt, t +dt) =f(x, v x,t)+v x f x dt + a x f v x dt + f t dt f(x,v x,t+dt) =f(x, v x,t) Ütközésmentes Boltzmann-egyenlet, vagy Vlasov-egyenlet: f t + v x f x + a x f v x =0 + v rf + a r vf = + v r + a r v f =0 Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 7

8 A sebességeloszlás-függvény Ütközésmentes eset Az ütközések következtében a részeskék ugrálnak a fázistér ellái között, illetve bizonyos folyamatok keltenek és eltűntetnek részeskéket vx t + dt vx BE t + dt dx dv x t t dx dv x KI dx dvx dx dvx x x Boltzmann-egyenlet: + v r + a r v f A részeskék ki / beáramlását írja le a fázistér elláiból / elláiba Ütközési integrál Ütközési operátor Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 8

9 A Boltzmann-egyenlet momentumai Boltzmann-egyenlet + v r + a r v f k-adik momentum-egyenlet: v k + v rf + a r vf d 3 v = v d 3 v 0. momentum: részeskemérleg (folytonossági egyenlet) + v rf + a r vf d 3 v d 3 v 1. d3 v fd 3 v sebesség szerinti integrálás és idő szerinti differeniálás sorrendje felserélhető, illetve n(r,t)= f d 3 v Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 9

10 A Boltzmann-egyenlet momentumai + v rf + a r vf d 3 v d 3 v 2. tag v (rf)d 3 v = =0 r (vf)d 3 v f(r v)d 3 v = r (vf)d 3 v r (vf)d 3 v = r vf d 3 v = r (nu) 3. tag Ütközési tag a r v f d 3 v = r v (af)d 3 v Gauss tétel a d 3 v = S L =0 f(r v a)d 3 v = r v (af)d 3 v = forrás - veszteség (A) r v (af)d 3 v (af) da =0 f lesengése elég gyors Folytonossági egyenlet n t + = S L Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 10

11 A Boltzmann-egyenlet momentumai v k + v rf + a r vf d 3 v = v d 3 v m 1. momentum: impulzusmérleg apple + v(v rf)+v(a r v)f d 3 v = v d 3 v a részletek mellőzésével... Impulzusmérleg: Ütközésekkel: mn mn +(u r)u = nqe +(u r)u = nqe rp mu(s L)+mn Konvektív derivált Elektromos tér Nyomásgradiens Ütközések Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 11

12 A Boltzmann-egyenlet momentumai 1. momentum: impulzusmérleg +(u r)u = nqe rp mu(s L)+mn Ütközési tag kiszámítása (pl. elektron álló atom mn = mn m u momentum transzfer ütközési frekvenia momentum transzfer hatáskeresztmetzet m = (1 os ) d ( ) d d =2 0 (1 os ) d ( ) d sin d Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 12

13 Momentum transzfer hatáskeresztmetszet Differeniális hatáskeresztmetszet: d d = dn s = dn s d dt dn 0 da dt d d = 1 dn s d dt d dt v χ η v Teljes hatáskeresztmetszet: Szórási szög = d ( ) d d =2 0 d ( ) d sin d Momentum transzfer hatáskeresztmetszet: m = (1 os ) d ( ) d d =2 0 (1 os ) d ( ) d sin d x irányú impulzus veszteség: p x = m(v x v x ) p x p x = v x v x 1 = os 1 A szórás szög szerinti eloszlásától függően a momentum transzfer h.k. kisebb / nagyobb is lehet, mint a teljes h.k. Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 13

14 A Boltzmann-egyenlet momentumai Impulzusmérleg Boltzmann-faktor A sűrűség megváltozása külső poteniál hatására: Boltzmann-faktor f e (x, v) =n e (x) m e 2 k B T e 3/2 4 v 2 exp m e v 2 /2 e (x) k B T e = f LM exp e (x) k B T e (ismétlés) n e (x) =n e0 (x)exp + e (x) k B T e n i (x) =n i0 (x)exp e (x) k B T i Impulzusmérleg: +(u r)u = nqe rp mu(s L)+mn Staionárius, izotermikus, forrás-, veszteség- és ütközésmentes rendszert feltételezve, valamint a konvektív derivált második tagját elhanyagolva: nqe rp = nqe k B T rn =0 1 dimenzióban: dn(x) n(x) = q k B T apple n(x) E(x)dx! ln n(0) = q k B T (x) (0) Legyen (0) = 0 Ekkor: apple q (x) n(x) =n(0) exp k B T Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 14

15 A Boltzmann-egyenlet momentumai v k + v rf + a r vf d 3 v = v d 3 v 2. momentum: energiamérleg m 2 apple v + v2 (v rf)+v 2 (a r v )f d 3 v = m 2 v d 3 v a részletek mellőzésével... Energiamérleg: t 3 2 p + 3 pu + p u + q = p + r 3 2 pu Energia változás Konvekió + p r u + r q Kompresszió / expanzió 3 2 p u mn + u 2 (S L)/2 Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 15

16 Részesketranszport mn Diffúzió és +(u r)u = nqe rp mu(s L)+mn impulzusmérleg-egyenlet nqe rp mn m u =0 staionárius rendszer, ninsenek források és veszteségek izotermikus rendszer u = q m m E k BT rn m m n Einstein-összefüggés: D µ = k BT q mozgékonyság diffúziós együttható Szabad diffúzió Részeskefluxus drift-diffúziós alakja: = ±µne Drn E = = Drn Dr 2 n = S Diffúziós egyenlet L Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 16

17 Részesketranszport Kvázisemleges plazma, jelentős részeskesűrűség Ambipoláris diffúzió = ±µne Drn n e = n i = n e = µ e ne D e rn i = µ i ne D i rn olyan elektromos tér épül fel, ami kiegyenlíti az elektronok és az ionok fluxusát e = i = µ e ne D e rn = µ i ne D i rn E = D i D e rn µ i + µ e n ambipoláris elektromos térerősség = D iµ e + D e µ i rn D a = D iµ e + D e µ i D i 1+ T e µ e + µ i µ e + µ i T i ambipoláris diffúziós együttható Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 17

18 Boltzmann egyenlet - kéttag közelítés Geometria: θ v x f t + v f e m E vf = C f : eloszlásfüggvény (a 6-dimenziós fázistérben) v : sebességvektor E : elektromos térerősség C : ütközések hatása az eloszlásfüggvényre Q = e f = f(v, r,t) Feltételezések (egyszerűsítések): Az elektromos tér x irányú, térben és időben állandó Az eloszlásfüggvény a sebességtérben szimmetrikus a z tengely körül Az eloszlásfüggvény sak az elektromos tér irányában + = C m x f = f(v,,t,x) v x = v os gömbi @f + @f = + sin2 v e E m + @ os = C Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 18

19 Boltzmann egyenlet - kéttag közelítés f t + v os f z ee m os f v + sin2 v f os = C f = f(v,,z,t) Kéttag közelítés f(v, os,x,t)=f 0 (v, x, t)+f 1 (v, x, t) os (Two term approximation) Izotróp tag Anizotróp tag f 0 t + os f 1 t + v os f 0 z + v f 1 os2 z ee ee m sin 2 v f 0 os ee m os f 0 v sin 2 ee m os v f 1 m os2 v f 1 = C os Az eloszlásfüggvény két taggal való közelítése kis anizotrópia esetén alkalmazható. Ezen túl több taggal való közelítés használható ( multiterm methods ). Következő lépések: 1) Az egyenletet os θ szerint integráljuk! 1 1 ( ) d os 2) Az egyenletet os θ -val megszorozzuk és os θ szerint integráljuk! 1 1 ( ) os d os Ez két egyenletetre vezet... Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 19

20 Boltzmann egyenlet - kéttag közelítés Kéttag közelítés f(v, os,x,t)=f 0 (v, x, t)+f 1 (v, x, t) os Boltzmann-egyenlet f 0 t v f 1 z ee m f 1 t + v f 0 z 1 v 2 f 1 3v 2 v ee m = C 0 f 0 v = C 1 A sebességről a kinetikus energiára áttérve: v = 2 m = f 0 t + 3 1/2 f 1 z 3 1/2 ee f 1 = C 0 f 1 t + 1/2 f 0 z 1/2 ee f0 = C 1 Normalizálás: f 0,1 ( )= 2 3 n f 0,1 0 f 0 ( )d =1 Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 20

21 Boltzmann egyenlet - kéttag közelítés C 0 = 2 m 1/2 3/2 el ( )f 0 ( ) M C 1 = el( )f 1 ( ) Ütközési tagok (levezetés nélkül) feltételezve, hogy (i) sak rugalmas ütközések mennek végbe és (ii) a háttérgáz atomjai állónak tekinthetők el( )=nv m = 1/2 n m : rugalmas momentum transzfer ütközési frekvenia f 0 t + 3 1/2 f 1 z 3 1/2 ee f 1 = C 0 f 1 t + 1/2 f 0 z 1/2 ee f0 = C 1 0-dimenziós eset z =0, t =0 3 1/2 ee f 1 = 2 m M 1/2 3/2 el ( )f 0 ( ) (ennél bonyolultabbat nem vizsgálunk!!) 1/2 ee f 0 = el( )f 1 ( ) Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 21

22 Boltzmann egyenlet - kéttag közelítés 3 1/2 ee f 1 = 2 m M 1/2 3/2 el ( )f 0 ( ) 1/2 ee f 0 = el( )f 1 ( ) f 1 ( )= 1/2 ee el( ) f 0 ( ) 2 (ee) 2 3 el ( ) f 0 ( ) = 3m 2 f 1 ( )= Me 2 E 2 2 el f 0 ( ) 3 m2 MeE 1/2 el f 0 ( ) kéttag közelítés (kis anizotrópia) kis redukált térerősség (sak rugalmas ütközések) hideg háttérgáz nins időfüggés nins helyfüggés 3/2 f 0( ) +2 m M 3/2 el ( )f 0 ( ) =0 f 0 ( ), f 1 ( ) [ev -3/2 ] ~ ~ E/n egysége : 1 Td (Townsend) = V m Td : E/p = 0.32 V / (m 300 K Argon T g = 0 K ~ f 0 ( ) 0.1 Td 1 Td E< [ev] ~ f 1 ( ) Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 22

23 Kapsolat a makroszkópikus jellemzőkkel Kéttag közelítés f(v, os,x,t)=f 0 (v, x, t)+f 1 (v, x, t) os n e = fdv = [f 0 (v) + os f 1 (v)] sin v 2 d dv =4 1 0 v 2 f 0 dv Sűrűség Izotróp tagtól függ e = v z f(v)dv =2 = v os [f 0 (v)+os f 1 (v)] sin v 2 dvd v 3 os 2 sin f 1 (v)dvd = v 3 f 1 dv Fluxus Anizotróp tagtól függ Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 23

24 Kapsolat a transzport együtthatókkal f 1 t + v f 0 z ee m f 0 v = mf 1 f 1 = 1 m v f 0 z ee m f 0 v staionárius esetben = = 3 0 v 3 f 1 dv v 4 m f 0 z dv ee m 0 v 3 m f 0 v dv m momentum transzfer ütközési frekvenia = z (Dn) nµe elektronokra v 4 m f 0 z dv = z (Dn) 4 3 ee m 0 v 3 m f 0 v dv = nµe D = 4 3n 0 v 4 m f 0 dv Diffúziós együttható µ = 4 e 3mn 0 v 3 m Mozgékonyság f 0 v dv Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 24

25 Modellezési hierarhia Kinetikus szint + v r + a r v f Részeskeszám: Impulzus: Energia: mn Folyadékmodellek n t + = S +(u r)u = nqe rp mu(s p + r 2 pu + p r u + r q 3 2 u mn + u 2 (S L)/2 Globális modellek Folyadékegyenletek térbeli integráljai Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 25

26 Plazmahullámok - bevezetés A hullámjelenségeket a Boltzmann-egyenlet momentum-egyenleteiből (folytonossági egyenlet és impulzusmérleg-egyenlet) kiindulva tárgyaljuk. Folytonossági egyenlet Impulzusmérleg-egyenlet: n t + =0 = nqe rp mn mu Feltételezések: állandó részeskeszám (nins forrás, veszteség), nins jelen mágneses tér Nagyrészt az elektronok rezgéseivel foglalkozunk, miközben az ionokat állónak tekintjük, ezekben az esetekben az egyes fizikai mennyiségek (sűrűség, sebesség, hőmérséklet, stb.) az elektronokra vonatkoznak, mindaddig, amíg az ion-akusztikus hullámok tárgyalásánál az elektronok és az ionok mozgását egyaránt figyelembe kell vennünk Külön vizsgáljuk az ütközések hatását (egyes esetekre) Feltételezzük, hogy a hullámok kis amplitudójúak, és így a fizikai mennyiségek kis perturbáióját eredményezik Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 26

27 Plazmahullámok - bevezetés Kis amplitudójú perturbáiók (pl. sűrűség) n = n 0 + n 1, n 1 n 0 E = E 1 (E 0 = 0) u = u 1 (u 0 = 0) A folytonossági egyenlet alakja a perturbált mennyiségekkel n t + (nu) =0 (n 0 + n 1 ) t + [(n 0 + n 1 )(u 0 + u 1 )] = 0 a sak elsőrendű tagokat megtartva Impulzusmérleg-egyenlet: n 1 t + n 0 u 1 =0 = nqe rp 1 mu mn 0 = n 0 qe 1 rp 1 mn 0 m u 1 Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 27

28 Plazmahullámok - bevezetés Adiabatikus esetben a nyomásgradiens tag a p = Kn állapotegyenletből határozható meg: p = p 0 + p 1 = K(n 0 + n 1 ) = Kn 0 1+ n 1 n 0 n 1 p 1 = p 0 = n 1 k B T n 0 ugyanis p 0 = n 0 k B T Adiabatikus rendszer (1 dimenziós mozgással) =3 A vizsgálandó hullámok monokromatikus síkhullámok (pl. elektromos térerősség) : E 1 (r,t)=ê1e i(k r!t) Időbeli és térbeli 1! i!e 1, r E 1! ik E 1, r E 1! ik E 1 Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 28

29 Elektron-oszilláiók hideg, ütközésmentes plazmában Kiindulási egyenletek: perturbáióra vonatkozó folytonossági és impulzusmérleg-egyenlet (nyomásgradiens tag nélkül) n 1 t + n 0 u 1 =0 m u 1 t = ee 1 i!n 1 + n 0 i k u 1 =0 i!mu 1 = ee 1 n 1 = n 0 k u 1 sak a terjedési iránnyal párhuzamos sebesség (térerősség) eredményez sűrűség-perturbáiót) Longitudinális rezgés Gauss tétel: r E 1 = e " 0 n 1! ik E 1 = e " 0 n 1 ik E 1 = en 0 " 0! k u 1 ik E 1 =!m e k u 1 Nem hullámszámfüggő Nem terjedő hullám 2 = 2 p = n 0e 2 0m m e = en 0 0 Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 29

30 Longitudinális elektrosztatikus hullámok meleg plazmában Kiindulási egyenletek: perturbáióra vonatkozó folytonossági és impulzusmérleg-egyenlet (nyomásgradiens taggal) n 1 t + n u 1 0 u 1 =0 mn 0 t = n 0 ee 1 p 1 i!n 1 + n 0 i k u 1 =0 i!mn 0 u 1 = en 0 E 1 ikp 1 n 1 = n 0 k u 1 Adiabatikus közelítés: i!mn 0 k u 1 = en 0 k E 1 ik 2 3n 1 k B T e p 1 =3n 1 k B T e Gauss tétel: E 1 = e n 1 ik E 1 = e n D, Physis of Plasmas, 21, (2014)! 2 = n 0e 2 " 0 m + 3k2 k B T e m = p 3k B T e /m =! 2 p + k 2 2 Bohm-Gross diszperziós reláió / Langmuir hullámok Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 30

31 Ionakusztikus hullámok a semleges gázokban terjedő hanghullámokhoz hasonlóan longitudinális sűrűségváltozások a részeskék töltése miatt nem szükségesek ütközések a hullám trejedéséhez a hullámban az ionok mozgása a meghatározó, az elektronok, nagy mozgékonyságuk következtében követik az ionok mozgását (i) az elektronokra vonatkozó impulzusmérleg-egyenletben elhanyagoljuk a tehetetlenségi tagot és (ii) a nyomásgradiens számításánál az elektronokra az izotermikus közelítést alkalmazzuk, az ionokra pedig az adiabatikus közelítést. e és i indexek az elektronokra, illetve az ionokra vonatkozó mennyiségeket jelölik u i1 m i n 0 = n 0 ee 1 p i1, 0= n 0 ee 1 p e1 t adiabatikus p i =3n i1 k B T i izotermikus p e = n e1 k B T e i!m i n 0 u i1 = n 0 ee 1 ikp i1 0= n 0 ee 1 ikp e1 A hullámszámvektorral történő skaláris szorzás után (felhasználva, hogy a terjedés iránya párhuzamos a térerősség irányával) és a nyomásgradiens értékeket behelyettesítve i!m i n 0 k u i1 = n 0 eke 1 ik 2 3n i1 k B T i 0= n 0 eke 1 ik 2 n e1 k B T e k u i1 = n i1 /n 0 i! 2 m i n i1 = n 0 eke 1 ik 2 3n i1 k B T i sűrűségperturbáiók Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 31

32 Ionakusztikus hullámok A sűrűségperturbáiók: Gauss-tétel: n i1 = ike 1 = e " 0 (n i1 n 0 ek ik 2 3k B T i i! 2 E 1 n m e1 = i n e1 )= e apple " 0 0=E pi 3k 2 k B T i /m i k 2 n 0 e ikk B T e E 1 n 0 ek ik 2 3k B T i i! 2 + n 0e E 1 m i ikk B T e 2 De 2 = k 2 3k B T i m i + 2 pi 2 De 1+k 2 2 De De = 0k B T e /e 2 n 0 elektronokra jellemző Debye-hossz Gázkisülések plazmáiban általában a második tag dominál, így a diszperziós reláió: = k 1+k 2 2 De = pi De Ion-hangsebesség Nagy k értékeknél (kis hullámhossznál) az elektronoknak az ionok mozgását követő árnyékoló hatása nem érvényesül, kis k mellett (azaz nagy hullámhossznál) viszont az elektronok leárnyékolják az ionok kölsönhatását, így a frekvenia nullához tart. Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 32

33 Számonkérés pontjai A Vlasov- és Boltzmann-egyenletek bevezetése Momentum-egyenletek származtatásának elve Részeskemérleg-egyenlet származtatása Boltzmann-egyenlet kéttag-közelítéses megoldásának elve Drift-diffúziós közelítés, szabad és ambipoláris diffúzió Az impulzusmérleg és a Boltzmann-faktorok kapsolata Plazmahullámok: a perturbált részeskemérleg és impulzusmérlegegyenletek származtatása, plazmaoszilláiók hideg plazmában, elektrosztatikus hullámok meleg plazmában (levezetéssel). Ionakusztikus hullámok (elvek és végeredmény). Donkó oltán: Alasony hőmérsékletű plazmafizika 33