Mérnökgeodéziai hálózatok dr. Siki Zoltán

Átírás

1 Mérnökgeodéziai hálózatok dr. Siki Zoltán Mérnökgeodézia BSc

2 Mérnökgeodéziai hálózatok nagy relatív pontosságú hálózatok (1/1, 1/1), pontok távolsága néhány tíz, száz méter, Homogén hálózat: a magas fölösmérés szám könnyen biztosítható, minden hibaellipszis kör és a sugaruk mm-es vagy kisebb elvárt középhibák azonos Pontosság fokozására hálózat kiegyenlítés, durvahiba szűrés, kedvezőbb (homogénebb) középhibakép érdekében szabad hálózat Szabad hálózat Beillesztett hálózat

3 Mérések, hálózatok pontossági tervezése max max p = rendű tervezés pontok elhelyezése (hálózat alak) 2. rendű tervezés mérésszám, súly tervezés 2. rendű tervezés Hálózat alak ismert (előzetes koordináták) Mérési középhibák és a priori súlyegység középhiba ismert Alakmátrix és súlymátrix felírható Pont középhibák (A*PA)-1 -ból számíthatók Pont középhibák összehasonlítás az elvárt pontossággal Az elvártnál nagyobb középhibák esetén 1) ismétlési szám növelés vagy 2) pontosabb mérőeszköz alkalmazása vagy 3) fölösmérés szám növelése vagy 4) hálózati geometria módosítása

4 Szabad hálózat kiegyenlítés Előny nincsenek kényszerek, feltételezések, jobb középhiba kép Hátrány a normál egyenletrendszer együttható mátrix determinánsa nulla, nem létezik reguláris inverz Megoldási módszerek Moore-Penrose pseudo inverz (N+) Zérus sajátértékekhez tartozó sajátvektorokkal bővítés, pl. szintezési hálózatban az előzetes magasságok súlypontja maradjon helyben svd singular value decomposition A mai informatikai eszközökkel nem okoz gondot a szinguláris egyenletrendszer megoldása.

5 Megoldási módszerek Moore-Penrose pseudo inverz (N +) N N+ N = N minimum feltétel a koordináta változásokra N+ N N + = N + (N N+)' = N N+ (N+ N)' = N+ N Zérus sajátértékekhez tartozó sajátvektorokkal bővítés, pl. szintezési hálózatban az előzetes magasságok súlypontja maradjon helyben svd singular value decomposition N = U D V' U'U = I, V'V = I, D diagonál mátrix D+ - d+i,j = ha i!= j; d+i,i = 1/di,i ha di,i!= ; különben d+i,j = N+ = V D+ U' U m x m, D m x n, V n x n Ax l = x = A+ l = V D+ U' l Egyenértékű matematikai módszerek.

6 Példa: pseudo inverz N= pinv(n)= N * pinv(n) * N N = e e e e-16 (N*pinv(N))' - N*pinv(N)= det(n) = e e e e-16.e+.e e e e e e e-15.e+.e e e e e e e e e-17.e+.e e e-16.e+.e+

7 Példa: sajátértékek N= [V, lambda] = eig(n) N +V1* V1' = inv(n +V1* V1')-V1* V1' = v v v v e e e e det(n +V1*V1') =

8 Példa: SVD N= e e e e-16 [U, D, V] = svd(n) Diagonál mátrix inverze egyszerű! A értékek helyett az inverzbe! V * inv(d1) * U' =

9 Hibák Hiba típusok (véletlen, szabályos, durva) Véletlen hibák Normális eloszlás 1/2/3 (szigma) szabály (68%/95%/99.7%) II. kiegyenlítési csoport (közvetett mérések) Csak véletlen hibák esetén alkalmazható Durva hiba esetén valamennyi eredményt torzítja Példa: L2 norma: ± L norma: (medián) ±? Loo norma: ±?

10 Statisztikai módszerek Teljes hálózatra az a priori és a posteriori súlyegység középhibák (,m )vizsgálata 2f,a/2 próba Mérések egyenkénti vizsgálata, standardizált javítások alapján wi < tp,f u vagy t próba (Baarda-féle data snooping) t v Pv = f, / 2 2 f,1 / 2 2 QXX = N-1 QUU = A QXX A* Qvv = P-1 - QUU vi w i= mvi

11 Durva hiba szűrés végrehajtása Súlyegység középhibára vonatkozó statisztikai próba Iterációs megoldás (Baarda-féle data snooping) 1.Kiegyenlítés II. kiegyenlítési csoporttal (közvetett mérések) 2.Statisztikák számítása (standardizált javítások) 3.Legnagyobb statisztikával bíró mérés kihagyása, mely az adott szignifikancia szinten nem elfogadható 4. Ismétlés az 1. ponttól amíg van kihagyandó mérés

12 Durva hiba szűrés eredménye Két mérés kiszűrése után a koordináta középhibák a felére csökkentek! 36 2 = 34 m aposteriori 1.58 max. statisztika 3.7 > 1.94 m aposteriori 1.5 max. statisztika 1.93 < 1.94 Pont Y [m] X [m] my mx [mm] [mm] Y X my mx [mm] [mm]

13 Mozgásvizsgálati hálózat Psz A [mm] B [mm] Fi [Grad] A A A A A A

14 Nyílt forráskódú programok GNU GaMa GaMa Local 1D, 2D, 3D geodéziai hálózatok kiegyenlítése Statisztikai próbák alkalmazása GeoEasy-ből is használható QGIS SurveyingCalculation modul Egyszerű geodéziai számítások, tájékozás, előmetszés, Sokszögvonal, GNU Gama, koordináta transzformációk Octave, QtOctave Általános célú matematikai programcsomag Mátrix műveletek, eloszlás függvények Euler Általános célú matematikai programcsomag Mátrix műveletek R Matematikai statisztikai programcsomag

15 GNU GaMa XML imput Parancssori használat Grafikus felhasználói felület - GeoEasy <?xml version="1."?> <!DOCTYPE gama-xml SYSTEM "gama-xml.dtd"> <gama-local version="2."> <network axes-xy="ne" angles="right-handed"> <description> GeoEasy 2D network </description> <parameters sigma-apr = "1" conf-pr = ".95" tol-abs = "1" sigma-act = "aposteriori" update-constrained-coordinates="yes" /> <points-observations distance-stdev="1. 1.5" direction-stdev="3" angle-stdev="4"> <point id="5" y="-6.365" x=" " adj="xy" /> <point id="4" y="78.135" x=" " adj="xy" /> xy -ismeretlen pont <point id="3" y="257.95" x=" " adj="xy" /> XY- ismeretlen + minimum felt. <point id="2" y="211.7" x="." adj="xy" /> FIX -rögzített pont <point id="1" y="." x="." adj="xy" /> <obs from="5"> <distance to="4" val="138.73" stdev="1.28" /> <distance to="3" val=" " stdev="1.478" /> <distance to="2" val=" " stdev="1.711" />

16 GNU GaMa 2 Egyenletek száma Szabadságfok m apriori : m' aposteriori: : : Ismeretlenek száma: Hálózati defektus : 15 3 [pvv] : e+1 Statisztikai analízis - aposteriori középhiba konfidencia szint 95 % GaMa output m' aposteriori / m apriori: % intervallum (.7, 1.3) m'/m értéket tartalmazza m'/m (távolság): 1.49 m'/m (irány):.85 Egy mérés elhagyásával elérhető maximális csökkenés az m''/m értékben :.93 Maximális studentizált javítás 1.99 eléri a kritikus értéket 1.94 szignifikancia szint 5 % az észlelésnél #28 <distance from="2" to="1" val=" " stdev="1.3" />... Test Kolmogorov-Smirnov : 94.4 %

17 Megoldás Octave programmal N = A' * P * A; % szinguláris együttható mátrix? if (n > rank(n)) Ninv = pinv(n); else Ninv = inv(n); endif % fölösmérés szám f = m - rank(n); % ismeretlenek változása x = Ninv * A' * P * l; % javítások "/cm v = A * x - l; % számítási ellenőrzés w1 = v' * P * v; w2 = -l' * P * v; % súlyegység középhiba m = sqrt((w1) / f); % ismeretlenek középhibája mx = m * sqrt(diag(ninv));

18 Ezen a fejlesztésen még dolgozunk...

19 Mérnökgeodéziai hálózatok dr. Siki Zoltán Mérnökgeodézia BSc

20 Mérnökgeodéziai hálózatok nagy relatív pontosságú hálózatok (1/1, 1/1), pontok távolsága néhány tíz, száz méter, Homogén hálózat: a magas fölösmérés szám könnyen biztosítható, minden hibaellipszis kör és a sugaruk mm-es vagy kisebb elvárt középhibák azonos Pontosság fokozására hálózat kiegyenlítés, durvahiba szűrés, kedvezőbb (homogénebb) középhibakép érdekében szabad hálózat Szabad hálózat Beillesztett hálózat

21 Mérések, hálózatok pontossági tervezése max max p = rendű tervezés pontok elhelyezése (hálózat alak) 2. rendű tervezés mérésszám, súly tervezés 2. rendű tervezés Hálózat alak ismert (előzetes koordináták) Mérési középhibák és a priori súlyegység középhiba ismert Alakmátrix és súlymátrix felírható Pont középhibák (A*PA)-1 -ból számíthatók Pont középhibák összehasonlítás az elvárt pontossággal Az elvártnál nagyobb középhibák esetén 1) ismétlési szám növelés vagy 2) pontosabb mérőeszköz alkalmazása vagy 3) fölösmérés szám növelése vagy 4) hálózati geometria módosítása

22 Szabad hálózat kiegyenlítés Előny nincsenek kényszerek, feltételezések, jobb középhiba kép Hátrány a normál egyenletrendszer együttható mátrix determinánsa nulla, nem létezik reguláris inverz Megoldási módszerek Moore-Penrose pseudo inverz (N+) Zérus sajátértékekhez tartozó sajátvektorokkal bővítés, pl. szintezési hálózatban az előzetes magasságok súlypontja maradjon helyben svd singular value decomposition A mai informatikai eszközökkel nem okoz gondot a szinguláris egyenletrendszer megoldása.

23 Megoldási módszerek Moore-Penrose pseudo inverz (N+) N N+ N = N minimum feltétel a koordináta változásokra N + N N+ = N+ (N N+)' = N N+ (N+ N)' = N+ N Zérus sajátértékekhez tartozó sajátvektorokkal bővítés, pl. szintezési hálózatban az előzetes magasságok súlypontja maradjon helyben svd singular value decomposition N = U D V' U'U = I, V'V = I, D diagonál mátrix D - d i,j = ha i!= j; d i,i = 1/di,i ha di,i!= ; különben d+i,j = N+ = V D+ U' U m x m, D m x n, V n x n Ax l = x = A+ l = V D+ U' l Egyenértékű matematikai módszerek.

24 Példa: pseudo inverz N= pinv(n)= N * pinv(n) * N N = e e e e-16 (N*pinv(N))' - N*pinv(N)= det(n) = e e e e e e e e e e e e-15.e+.e e-16.e+.e e e e-17.e e e-16.e e e-16.e+.e+

25 Példa: sajátértékek N= [V, lambda] = eig(n) N +V1* V1' = inv(n +V1* V1')-V1* V1' = v v v v e e e e det(n +V1*V1') =

26 Példa: SVD N= e e e e-16 [U, D, V] = svd(n) Diagonál mátrix inverze egyszerű! A értékek helyett az inverzbe! V * inv(d1) * U' =

27 Hibák Hiba típusok (véletlen, szabályos, durva) Véletlen hibák Normális eloszlás 1/2/3 (szigma) szabály (68%/95%/99.7%) II. kiegyenlítési csoport (közvetett mérések) Csak véletlen hibák esetén alkalmazható Durva hiba esetén valamennyi eredményt torzítja Példa: L2 norma: ± L norma: (medián) ±? Loo norma: ±?

28 Statisztikai módszerek Teljes hálózatra az a priori és a posteriori súlyegység középhibák (,m )vizsgálata 2f,a/2 próba Mérések egyenkénti vizsgálata, standardizált javítások alapján wi < tp,f u vagy t próba (Baarda-féle data snooping) 2= vt P v f, / 2 2 2f,1 / 2 QXX = N-1 QUU = A QXX A* Qvv = P-1 - QUU w i= vi m vi

29 Durva hiba szűrés végrehajtása Súlyegység középhibára vonatkozó statisztikai próba Iterációs megoldás (Baarda-féle data snooping) 1.Kiegyenlítés II. kiegyenlítési csoporttal (közvetett mérések) 2.Statisztikák számítása (standardizált javítások) 3.Legnagyobb statisztikával bíró mérés kihagyása, mely az adott szignifikancia szinten nem elfogadható 4. Ismétlés az 1. ponttól amíg van kihagyandó mérés

30 Durva hiba szűrés eredménye Két mérés kiszűrése után a koordináta középhibák a felére csökkentek! 36 2 = 34 m aposteriori 1.58 max. statisztika 3.7 > 1.94 m aposteriori 1.5 max. statisztika 1.93 < 1.94 Pont Y [m] X [m] my mx [mm] [mm] Y X my mx [mm] [mm]

31 Mozgásvizsgálati hálózat Psz A [mm] B [mm] Fi [Grad] A A A A A A

32 Nyílt forráskódú programok GNU GaMa GaMa Local 1D, 2D, 3D geodéziai hálózatok kiegyenlítése Statisztikai próbák alkalmazása GeoEasy-ből is használható QGIS SurveyingCalculation modul Egyszerű geodéziai számítások, tájékozás, előmetszés, Sokszögvonal, GNU Gama, koordináta transzformációk Octave, QtOctave Általános célú matematikai programcsomag Mátrix műveletek, eloszlás függvények Euler Általános célú matematikai programcsomag Mátrix műveletek R Matematikai statisztikai programcsomag

33 GNU GaMa XML imput Parancssori használat Grafikus felhasználói felület - GeoEasy <?xml version="1."?> <!DOCTYPE gama-xml SYSTEM "gama-xml.dtd"> <gama-local version="2."> <network axes-xy="ne" angles="right-handed"> <description> GeoEasy 2D network </description> <parameters sigma-apr = "1" conf-pr = ".95" tol-abs = "1" sigma-act = "aposteriori" update-constrained-coordinates="yes" /> <points-observations distance-stdev="1. 1.5" direction-stdev="3" angle-stdev="4"> <point id="5" y="-6.365" x=" " adj="xy" /> <point id="4" y="78.135" x=" " adj="xy" /> xy -ismeretlen pont <point id="3" y="257.95" x=" " adj="xy" /> XY- ismeretlen + minimum felt. <point id="2" y="211.7" x="." adj="xy" /> FIX -rögzített pont <point id="1" y="." x="." adj="xy" /> <obs from="5"> <distance to="4" val="138.73" stdev="1.28" /> <distance to="3" val=" " stdev="1.478" /> <distance to="2" val=" " stdev="1.711" />

34 GNU GaMa 2 Egyenletek száma Szabadságfok m apriori : m' aposteriori: : : Ismeretlenek száma: Hálózati defektus : 15 3 [pvv] : e+1 Statisztikai analízis - aposteriori középhiba konfidencia szint 95 % GaMa output m' aposteriori / m apriori: % intervallum (.7, 1.3) m'/m értéket tartalmazza m'/m (távolság): 1.49 m'/m (irány):.85 Egy mérés elhagyásával elérhető maximális csökkenés az m''/m értékben :.93 Maximális studentizált javítás 1.99 eléri a kritikus értéket 1.94 szignifikancia szint 5 % az észlelésnél #28 <distance from="2" to="1" val=" " stdev="1.3" />... Test Kolmogorov-Smirnov : 94.4 %

35 Megoldás Octave programmal N = A' * P * A; % szinguláris együttható mátrix? if (n > rank(n)) Ninv = pinv(n); else Ninv = inv(n); endif % fölösmérés szám f = m - rank(n); % ismeretlenek változása x = Ninv * A' * P * l; % javítások "/cm v = A * x - l; % számítási ellenőrzés w1 = v' * P * v; w2 = -l' * P * v; % súlyegység középhiba m = sqrt((w1) / f); % ismeretlenek középhibája mx = m * sqrt(diag(ninv));

36 Ezen a fejlesztésen még dolgozunk...