Bevezetés. 1. előadás

Átírás

1 Bevezetés. előadás

2 Tartalom Bevezetés A LKN kiegyenlítés különböző esetei Pontossági mérőszámok Geodéziai hálózatok kiegyenlítése S-transzformáció 2

3 Bevezetés A kiegyenlítő számítások: (nem csak) geodéziai mérések matematikai feldolgozásának alapvető módszere tantárgy célja a Kiegyenlítő számítások BSc tárgyban megszerzett ismeretek továbbfejlesztése és geodéziai alkalmazásainak bemutatása + óra előadás és gyakorlat 3

4 24/5. tanév őszi félév szept. 9. szept. 6. szept. 23. szept. 3. okt. 7. okt. 4..ea: Bevezetés; LKN kiegy. -2D hálózatok, S-transzformáció 2.ea: 3D GNSS és foto. hálózatok +2.gy: Hálózatkiegyenlítés; példa; EULER 3.gy: GNSS kiegy. Bernese-zel 3. ea: Csoportos és szekvenciális kiegy.;. HF 4. ea: Robusztus becslés és kiegyenlítés; RANSAC 4

5 24/5. tanév őszi félév okt. 2. okt. 28. nov. 4. nov.. nov. 8. nov. 25. dec. 2. dec gy: Síkbeli Helmert transzformáció számítása; 2. HF 5.ea: Durvahibaszűrési eljárások 6.ea: Folyamatosan változó mennyiségek feldolgozása I. TDK konferencia 5.gy: VizsgaZH előkészítés; HF konzultáció 6. gy: VizsgaZH 7.ea: Folyamatosan változó mennyiségek feldolgozása II. 7. gy: PótZH, konzultáció / Benford 5

6 Irodalom Kiegyenlítő számítások BSc HEFOP segédlet MSc HEFOP segédlet (27 oldal, Detrekői Á.: Kiegyenlítő számítások (Tankönyvkiadó, Budapest, 99): BME Tankönyvolvasóban olvasható, kölcsönözhető 6

7 A matematikai modell Egyszerűsítő feltételezések több vagy kevesebb célszerű A modell részei: funkcionális determinisztikus mat. és fiz. törvényszerűségek sztochasztikus véletlen jellegű mérési hibákra vonatkozó feltételezések Példák: szintfelület (sík); kép (tárgy centrális vetítése; mest. hold pálya (Kepler-f. ellipszis) 7

8 Példa Az ABC háromszögnek megmértük mindhárom oldalát és a szögeit b C g a síkháromszög: a+ b+ g 8 gömbháromszög: a + b+ g 8 + e a b A c B 8

9 Funkcionális modell szinusz és koszinusztétel síkháromszögben b C g a a b 2 sina sinb 2 2 c a + b - a c sina sing 2abcosg a b A c B 9

10 Funkcionális modell paraméterek A, B, C koordinátái: C A( y A, A) g B( y B, B) b a C ( y C, C) a b A y c B

11 A legkisebb négyzetek elve kiegyenlített mérési eredmények U i L i + v i paraméterek és előzetes értékek X j X j + j feltételi egyenletek mért mennyiségek és paraméterek közötti összefüggések

12 A feltételi egyenletek típusai. közvetítő egyenletek egyetlen mért mennyiség és az azzal kapcsolatban lévő paraméterek 2. csak mért mennyiségek 3. kényszerfeltételek a feltételi egyenletben csak paraméterek szerepelnek lineáris vagy nem lineáris egyenletek 2

13 3 Feltételi egyenletek mért mennyiségek és paraméterek: A B A B A C A C AB AC y y y y U arctg arctg d d a 2 2 ) ( ) ( B C B C a y y U C y A B a c b a b g csak mért mennyiségek: g b a U U U sin sin - b b U U U U b a

14 A LKN módszere alkalmazásának esetei közvetítő egyenletek alapján történő kiegyenlítés (II. kiegy. csoport) közvetett mérések kiegyenlítésének, vagy paraméteres kiegyenlítésnek is nevezik közvetlen mérések kiegyenlítése (III. kiegy. csoport) csak mérési eredményeket tartalmazó feltételi egyenletek alapján történő kiegyenlítés korrelátás kiegyenlítésnek is nevezik 4

15 A LKN módszere alkalmazásának ritkább esetei kiegyenlítés közvetítő és kényszerfeltételi egyenletek felhasználásával (IV. kiegy. csoport), kiegyenlítés mért mennyiségeket és paramétereket tartalmazó feltételi egyenletekkel (V. kiegy. csoport), kiegyenlítés mért mennyiségeket és paramétereket tartalmazó feltételi egyenletekkel és kényszerfeltételi egyenletekkel (VI. kiegy. csoport). 5

16 Mérési hibák L mérési eredmény ε hibája (Λ a hibátlan érték): Eredetük szerint: személyi eredetű műszerhibák ε L Λ külső körülményekből adódó hibák Jellegük szerint: durva szabályos (modellhiba) szabálytalan (véletlen jellegű) 6

17 A mérési hibákat jellemző mérőszámok (egyetlen mennyiség) középhiba: a még kimutatható legkisebb durva hiba: ÑL a középhibából levezetett hibák: H relatív középhiba p sly m M p ( e 2 ) c becslése az m slyegység középhiba J Laplace-féle átlagos hiba ρ valószínű hiba c m 2 2 7

18 Sztochasztikus modell mért mennyiségek középhibái C g távolságok: m a mb mc ±5 mm b a szögek: ma mb mg ±2" a b A y c B 8

19 A mérési hibákat jellemző mérőszámok (n mennyiség) n szám µ i középhiba, és n(n )/2 szám c ij kovariancia n n méretű kovarianciamátri M ( n, n) ém m L ëmn 2 m m L m 2 22 n2 L L L L m m m n 2n L nn ù û ahol m ii µ i2, és m ij m ji c ij 9

20 2 Slykoefficiens-mátri n n méretű mátri (más néven kofaktormátri): ahol c egy arányossági tényező û ù ë é nn n n n n n n n n q q q q q q q q q c L L L L L L L ), ( 2 ), ( M Q

21 2 Slymátri n n méretű mátri (független mérések esetében átlós mátri): det Q û ù ë é - nn n n n n n n n n p p p p p p p p p L L L L L L L ), ( ), ( Q P

22 A kovarianciamátri, a slykoefficiens-mátri és a slymátri kapcsolata M c Q c P M 2 Q P c P Q c M

23 D és 2D geodéziai hálózatok kiegyenlítése. világ-, kontinentális-, országos-, helyi hálózatok egyes pontokhoz rendelt koordináták száma egydimenziós (D) kétdimenziós (2D) háromdimenziós (3D) időben változó koordináták 23

24 D és 2D geodéziai hálózatok kiegyenlítése 2. mérések típusa D: szintezés, trigonometriai magasságmérés, gravimetria 2D: hosszmérés, szög(irány) mérés, földrajzi helymeghatározás, fotogrammetria 3D: geodéziai, fotogrammetriai, szatellita geodéziai, inerciális geodéziai 24

25 D és 2D geodéziai hálózatok kiegyenlítése 3. kiegyenlítés módszerei legkisebb négyzetek szerinti (LKN) robusztus kiegyenlítés (hibaszűrés) kiegyenlítés célja a hálózat alakjának (kiegyenlített mérési eredmények) a hálózati pontok koordinátáinak meghatározása gyakran 2 lépésben történik:. hálózat alakjának meghatározása 2. hálózat elhelyezése és tájékozása (hálózati dátum megadása) 25

26 Pontossági mérőszámok meghatározása kiegyenlített mennyiségek pontossági és megbízhatósági jellemzői M kovariancia mátri ÑL a még kimutatható legkisebb durva hiba hibaszűrés nagyon fontos tömeges / automata mérőrendszerrel nyert adatok feldolgozásakor Baarda-féle data snooping 26

27 Hálózatkiegyenlítési eljárások. II. kiegy. csoport (közvetítő egyenletek) alapján paraméterek (koordináták) meghatározása III. kiegy. csoport (hálózat alakjának meghatározása) V. kiegy. csoport (mért menny. + paraméterek) főleg fotogrammetriai hálóz. eredeti méréseknél kisebb szám fiktív mérést képezünk ( előzetes kiegyenlítés) 27

28 Hálózatkiegyenlítési eljárások 2. egy lépéses kiegyenlítés több lépéses (csoportos / szekvenciális) kiegyenlítés nagyból kicsi felé haladva: hierarchikus kiegyenlítés (önálló + beillesztett hálózat) dinamikus kiegyenlítés (a magasabb rendű hálózat pontjai sem hibátlanok) 28

29 Előzetes kiegyenlítés fiktív mérésekkel szintezési hálózatok oda-vissza mérések számtani közepe előzetes hibaszűrés, a priori középhiba trigonometriai magasságmérés (t, z, h, H) ΔZ magasságkülönbség hosszmérések több mérés (slyozott) számtani közepe iránymérések Z i tájékozási állandók előzetes értékei 29

30 D hálózatok kiegyenlítése szintezési / trig.mag hálózatok közvetítő egyenletekkel lineáris javítási egyenletek slymátri elemei p i c 2 / t i2 (szint. szakasz hossza) p i c 2 / n i2 (vonalon belüli műszerálláspontok száma) ha nincs ismert magasság pont pont magasságot kap ( helyi rendszer ) általánosított inverz használata csak mért mennyiségeket tartalmazó feltételi egyenletekkel klasszikus módszer zárt poligonban Σ ±(L i + v i ) (önálló hálózat) beillesztett hálózatban Σ ±(L i + v i ) ΔZ AB 3

31 2D vízszintes hálózatok kiegyenlítése. szinte kizárólag közvetítő egyenletekkel (II. csop) alapfelület ellipszoid (kevesebb redukció, bonyolultabb összefüggések) sík (több redukció, egyszerűbb összefüggések) lépései előzetes kiegyenlítés tényleges kiegyenlítés elhelyezés és tájékozás (csak III. csop. esetén) 3

32 2D vízszintes hálózatok kiegyenlítése 2. II. csoportos kiegy. (közvetítő egyenletek) előny: azonos típus mérésekhez ugyanolyan felépítésű (nem lineáris) közvetítő egyenletek tartoznak (jól automatizálható) előny: koordináták + kiegyenlített mérések pontossági jellemzői könnyen előállíthatók hátrány: szinguláris együttható mátri (önálló hálózatok esetén) a defektusnak megfelelő szám koordinátát önkényesen megkötünk (helyi rendszer) hátrány: hibaszűrés elvileg csak a kiegyenlítés után hátrány: hibajellemzők (pl. Q XX ) függnek a hálózati dátumtól zavaró peremhatás dátumprobléma megoldása szomszédos pontokra jellemző relatív Q ΔXΔX slykoefficiens mátri meghatározása S-transzformáció (Baarda) további feltétel megadása (pl. Σ i2 min.) hálózat optimális illesztése adott keretpontok rendszerébe (kényszerített pontok) 32

33 2D vízszintes hálózatok kiegyenlítése 3. III. csoportos kiegy. (csak mért mennyiségek közötti feltételi egyenletek) előny: nem függ a megoldás a hálózati dátumtól (önálló hálózat) hátrány: a feltételi egyenletek felírása bonyolult hátrány: a hálózat elhelyezése, tájékozása külön lépésként számítandó hátrány: a koordináták Q XX hibajellemzőit hibaterjedéssel kell számítani a kiegyenlített mérések Q LL slykoefficienseiből slymátri felvétele a hálózatkiegyenlítéshez egyes mérések a priori középhibái (általában korrelálatlanok, de pl. a GPS vektorok esetén teljes kovariancia mátri kell) p i c 2 / µ i2, c 2 felvétele indokolt (statisztikai próba durva hiba kimutatására) 33

34 Példa: szintezési hálózat kiegyenlítése Adott három ismeretlen Z, Z 2, Z 3 magasság pont. A pontok magasságkülönbségeit (L, L 2, L 3 )szintezéssel határozzuk meg. A mérési eredmények egymástól függetlenek és azonos pontosságak. Cél: a pontok magasságának meghatározása. mérési eredmények: L m L 2.2 m L m előzetes magasságok: Z. m Z 2 2. m Z 3 3. m 2 L L 2 L

35 Közvetítő és javítási egyenletek U Z 2 Z, U 2 Z 3 Z 2, U 3 Z 3 Z v -z + z 2 + (Z 2 Z L ) -z + z 2 + v 2 -z 2 + z 3 + (Z 3 Z 2 L 2 ) -z 2 + z 3 2 v 3 -z + z 3 + (Z 3 Z L 3 ) -z + z (tisztatagok mm egységben) A (3,3) é- ë ù + + û l (3,) é-ù + 2 ë -2û 35

36 Normálegyenlet független és azonos pontosság mérések normálegyenlet együtthatómátria és tisztatag vektora N (3,3) det(n) ( 3) (3), az N mátri szinguláris és az miért?? A * A (3,3) (3,3) (3,) é 2 - -ù ë - - 2û N - (3,3) P (3,3) n (3,) E (3,3) n (3,) nem használható A * l (3,3) (3,) é+ 3ù -3 ë û 36

37 Hálózatfajták és a szükséges dátumparaméterek Hálózatfajta Szintezési (D) Háromszögelési (2D) (csak irány- vagy szögmérés) Vegyes (2D) (irány- és hosszmérés) Térbeli (3D) fotogrammetriai vegyes (szög és hosszmérés) Defektus (rang hiány) Szükséges mennyiség eltolás 2 eltolás, elforgatás, méretarány 2 eltolás, elforgatás 3 eltolás, 3 elforgatás méretarány 3 eltolás, 3 elforgatás 37

38 Defektus A geodéziai és fotogrammetriai hálózatokban a a defektus mértéke megegyezik a hálózat helyzetének és méretének egyértelmű meghatározásához szükséges mennyiségek számával szintezési hálózatban legalább ismert magasság ponttal kell rendelkeznünk 38

39 Megoldás. a defektussal megegyező szám ismeretlen paraméter megkötésével 2. általános inverzek felhasználásával 3. az ismeretlen paraméterekre felírt célfüggvények felvételével 39

40 Ismeretlen paraméter megkötése egyszerű a megkötött paraméterek kiválasztása önkényes a megkötött paraméter hibátlan, a többi paraméter becslése hibával terhelt a középhibák eloszlása függ a megkötés helyétől 4

41 Közvetítő és javítási egyenletek U Z 2 Z, U 2 Z 3 Z 2, U 3 Z 3 Z, megkötés: Z. m v z 2 + (Z 2 Z L ) z 2 + v 2 -z 2 + z 3 + (Z 3 Z 2 L 2 ) -z 2 + z 3 2 v 3 z 3 + (Z 3 Z L 3 ) z A (3,2) é+ - ë ù + + û l (3,) é-ù + 2 ë -2û 4

42 Normálegyenlet független és azonos pontosság mérések P (3,3) normálegyenlet együtthatómátria és tisztatag vektora E (3,3) N (2,2) A * A (2,3) (3,2) é 2 ë - -ù 2û n (2,) A * l (2,3) (3,) é-3ù ë û det(n) 4 3, az N mátri reguláris és az megoldható (2,) é-2ù - N n (2,2) (2,) ë -û 42

43 ismeretlen pontok magassága mérési javítások v (3,) A X (2,) (3,2) (2,) - X (2,) l (3,) + Eredmények (2,) é-ù - ë + û é9.998ù ë û slyegység középhiba m 2 * f - v P v (,3) (3,3) (3,) m

44 44 Eredmények kiegyenlített paraméterek slykoefficiens-mátria kiegyenlített magasságok középhibái û ù ë é ) ( (2,2) (2,2) * (2,2) N A A Q mm.4 mm q m m q m m

45 Általánosított inverzek használata egyértelmű minimális normáj a legkisebb négyzetek módszerének megfelelő javításokat biztosít 45

46 Közvetítő és javítási egyenletek U Z 2 Z, U 2 Z 3 Z 2, U 3 Z 3 Z v -z + z 2 + (Z 2 Z L ) -z + z 2 + v 2 -z 2 + z 3 + (Z 3 Z 2 L 2 ) -z 2 + z 3 2 v 3 -z + z 3 + (Z 3 Z L 3 ) -z + z (tisztatagok mm egységben) A (3,3) é- ë ù + + û l (3,) é-ù + 2 ë -2û 46

47 Normálegyenlet független és azonos pontosság mérések normálegyenlet együtthatómátria és tisztatag vektora N (3,3) A * A (3,3) (3,3) é 2 - -ù ë - - 2û általánosított (pszeudo) inverz használata (3,) N + P (3,3) n (3,3) (3,) E (3,3) n (3,) A * l (3,3) (3,) é+ 3ù -3 ë û 47

48 ismeretlen pontok magassága mérési javítások v (3,) A (3,2) (2,) - l (3,) Eredmények é-ù - ë + û X (3,) X (3,) + (3,) é.ù ë3. û slyegység középhiba m 2 * f - v P v (,3) (3,3) (3,) m

49 49 Eredmények kiegyenlített paraméterek slykoefficiens-mátria kiegyenlített magasságok középhibái û ù ë é (3,3) (3,3) N Q mm.82 mm.82 mm q m m q m m q m m

50 S-transzformáció Adott elhelyezésre jellemző: hálózati pontok kiegyenlített koordinátái koordináták slykoefficiens-mátria A hálózat elhelyezésének módosítására lehet szükség: j koordináták j slykoefficiens-mátri S-transzformáció (Similarity transformation hasonlósági transzformáció): Baarda,973 pl. mozgásvizsgálatnál az egyes epochák közös dátumra transzformálása 5

51 Koordináták és slykoefficiensek traszformálása T koordinátaváltozások: T S T Q XTXT slykoefficiens-mátri: az S mátri S T Q XTXT E- * STQ XXST * G( G TG) - * G T 5

52 Az S T mátri számítása az S T mátri: S T E - * G( G TG) - * G T E egységmátri a T mátri olyan átlós mátri, amely főátlójában a vizsgált pontok koordinátáihoz -et rendelünk hozzá, a főátló többi eleme viszont zérus 52

53 53 A G mátri számítása a G mátri a szabad dátum paraméterekhez tartozó konfigurációs mátri A hálózat egészét jellemző G mátri a hálózat egyes pontjaihoz tartozó G i mátriok alapján így írható fel: û ù ë é r i G G G G G 2

54 A G i mátriok számítása egydimenziós hálózatok esetén: G i kétdimenziós hálózatok esetén: ha hosszat is mértünk: G i é - X ë Yi ha csak irányokat és szögeket mértünk: i ù û G i é - X ë Yi i Y X i i ù û 54

55 55 A G i mátriok számítása háromdimenziós hálózatok esetén: vegyes (6 dátumparaméter): fotogrammetriai hálózatban (7 dátumparaméter): û ù ë é i i i i i i i X Y X Z Y Z G û ù ë é i i i i i i i i i i Z X Y Y X Z X Y Z G

56 S-transzformáció gyakorlati szempontjai slyponti koordináták használata az előforduló számértékek csökkentése számítási egyszerűsítések előnyei nem változtatja meg a hálózat geometriáját nem szükséges ismerni azt a dátumot, amelyből transzformálunk bizonyos dátumhibák kiküszöbölhetők (pl. méretaránytényező hibája, különböző mérési epochák közötti elfordulás vagy eltolódás) 56