1. Előadás: A mérnökgeodézia általános ismertetése. Alapfogalmak, jogszabályi háttér. Vízszintes értelmű alappont hálózatok tervezése, létesítése.

Átírás

1 1. előadás: A mérnökgeodézia általános ismertetése. Alapfogalmak, jogszabályi háttér. 1. Előadás: A mérnökgeodézia általános ismertetése. Alapfogalmak, jogszabályi háttér. Vízszintes értelmű alappont hálózatok tervezése, létesítése. A mérnökgeodézia tárgykörébe a mérnöki létesítmények tervezésével, kivitelezésével és az üzemeltetésükkel kapcsolatos geodéziai munkák tartoznak. Az M1. Mérnökgeodéziai Szabályzat /1975/ az alábbi témakörökre osztja a mérnökgeodéziát. - A beruházások geodéziai munkái. - A műszaki tervezés geodéziai jellegű munkái és munkarészei. - Vízszintes értelmű alappont hálózatok. - Magassági alappont hálózatok. - Részletmérés. - Kitűzések. - A kivitelezést ellenőrző és irányító mérések. - Elmozdulások és alakváltozások meghatározása. A beruházások geodéziai munkái A beruházások előkészítéséhez szükség van különböző méretarányú térképekre és vázlatokra, amelyek a vízszintes és magassági adatokon kívül a beruházást érintő terület birtokviszonyait is tartalmazzák. Ezen munkarészek tekintetében alapkövetelmény a tényleges, napra kész állapot ábrázolása. A térképi alapanyag tartalmát az aktuális jogszabályok tartalmazzák, és a kiegészítő méréseket, adatgyüjtést is ezeknek megfelelően kell elvégezni. A beruházások geodéziai munkáinak összhangját a geodéziai terv biztosítja. A geodéziai tervnek tartalmaznia kell: - a feladat pontos leírását, - a műszaki előírásokat és követelményeket, beleértve a pontossági követelményeket is, - az egyes munkák szállítási határidejét és ütemezését, - a geodéziai munkák zavartalansága érdekében a beruházó, a generált4ervezőés az altervezői (tervezők), a kivitelező és alvállalkozói által biztosítandó intézkedéseket, - a geodéziai munkák előzetes díjszámítását, - a geodéziai munkák minőségbiztosítását. A műszaki tervezés geodéziai jellegű munkái és munkarészei A műszaki tervezés geodéziai jellegű munkái és munkarészei a beruházás nagyságának függvényében igen eltérőek lehetnek. Minden beruházás megvalósítása a tervezési térképek alapján történik, azonban minél nagyobb volumenű a beruházás annál több döntéselőkészítést segítő térképet, vázlatot is kell készíteni. Fontos feladat a terület jogi biztosítása, vagyis a birtokviszonyok tisztázása, az esetleg szükséges kisajátítások elvégzése. 1-1

2 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz A kisajátítási terv, valamint a telki szolgalmi, illetve használati jog megszerzéséhez szükséges műszaki munkarészek elkészíttetése (különösen vonalas létesítmények megvalósításakor jelent sok geodéziai munkát) a beruházó feladata. Vízszintes értelmű alappont hálózatok A vízszintes értelmű alappont hálózatok létesítésének célja, hogy a különböző létesítmények, mint pl. az ipartelepek, vonalas létesítmények, ipari üzemek, vízerőművek stb. tervezésével, kivitelezésével, üzemeltetésével, mozgásvizsgálatával kapcsolatos geodéziai munkálatokhoz vízszintes értelemben egységes alapot biztosítson. Az országos alappont hálózattól független önálló alappont hálózatot kell létesíteni, ha az országos hálózat pontossága nem megfelelő a mérnökgeodéziai munkákhoz. A hálózatok funkciója szerint megkülönböztetünk: - alap hálózatokat, - felmérési és kitűzési hálózatokat, - mozgásvizsgálati hálózatokat, - szerelési hálózatokat. Az alap hálózatok biztosítják a különböző hálózatok közötti kapcsolatot. Létesítésük nagyobb területre kiterjedő beruházások során szükséges, mint pl. ipartelepek, üzemek, alagutak, erőművek, völgyzárógátak, stb. 1. ábra: Vízerőmű alappont hálózata Felmérési hálózatokat kell létesíteni - a tervezést megelőző felmérésekhez, - a megvalósult állapot felméréséhez, - épületek (üzemi csarnokok, irodaépületek, stb.) belső felméréséhez. A tervezést megelőző felmérések alappont hálózatai általában megegyeznek az országos alappont hálózattal, ettől eltérően a megvalósult állapot felmérésének alappont hálózata rendszerint azonos a létesítmény kitűzési hálózatával. Épületek belső felmérésekor mindig önálló hálózatot kell létesíteni, amely általában térbeli hálózat. Ez azt jelenti, hogy a különböző magassági szintekre vetítéssel visszük fel az alapszintről, vagy az alsóbb szintekről a hálózat elemeit és azután továbbfejlesztjük. 1-2

3 1. előadás: A mérnökgeodézia általános ismertetése. Alapfogalmak, jogszabályi háttér. A kitűzési hálózatok feladata kettős: egyrészt alapot biztosít a különböző létesítmények térbeli kijelöléséhez, másrészt a létesítmények és berendezések szerkezeti elemeinek terv szerinti elhelyezését szolgálja. A kitűzési hálózatok speciális fajtája a derékszögű négyszöghálózat, amely a kitűzési, illetve a kivitelezést ellenőrző munkákat leegyszerűsíti és ezáltal az elkövethető hibákat nagymértékben lecsökkenti. A felmérési vagy kitűzési hálózatokat gyakran üzemi hálózatnak nevezik. Funkciójuk sok esetben nem különül el, csupán elnevezésük jelzi, hogy elsősorban milyen célból létesültek. 2. ábra: Kitűzési- és felmérési hálózat A mozgásvizsgálati hálózatok célja, hogy alapot biztosítsanak a természetes alakzatok vagy az épített létesítmények elmozdulásának (deformációjának) kimutatásához. A vizsgált objektumok méretétől, környezetük mozgásviszonyaitól függően háromféle hálózatot különböztetünk meg. 1. Az alappontok és a vizsgálati pontok egy hálózatba vannak foglalva. Az egységes hálózati mérésekből a - mozdulatlan alappontok változatlan koordinátáit felhasználva egységes hálózatszámítási módszerrel határozzuk meg a mozgó vizsgálati pontok elmozdulás vektorait. Ennél a meghatározási módszernél a hálózat alap. És vizsgálati pontjai azonos rendűek. 2. A mozdulatlan alappontok és a mozgó vizsgálati pontok külön hálózatot képeznek. A kétféle hálózat mérési és számítási feladatai elkülönülnek és a vizsgálati pontok mozgásvektorait a mozdulatlan alappontokból határozzuk meg. 1-3

4 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz 3. Csak vizsgálati hálózatot létesítünk, ha mindegyik pont mozog. Az egységes hálózati mérésekből és számításokból a vizsgálati pontoknak csak relatív elmozdulására, az objektum alakváltozására tudunk következtetni. A szerelési hálózatok létesítésének célja nagyméretű gépek és berendezések, előregyártott (szerelt) épületek szereléséhez olyan mozdulatlan, merev vonatkozási rendszer kialakítása, amelyről a szerkezeti elemek terv szerinti geometriai elhelyezése biztosítható. A szerelési hálózat mindenkor illeszkedik a szerelendő objektum fő irányaihoz. A szerelés pontossága a hálózat pontossága alapján biztosítható. Gyakran a hálózatot nem alappontok alkotják, hanem célszerűen kitűzött és meghatározott irányok. Magassági alappont hálózatok A különböző jellegű és kiterjedésű létesítmények magassági alappont hálózatát azért létesítik, hogy az adott területen kellő sűrűségben a szükséges pontossággal meghatározott magassági alappontok az építés teljes idején a magassági értelmű geometriai rendet biztosítsák. A jelentős beruházások magassági alappont hálózatát általában fokozatosan alakítják ki. A munkálatok kezdetén létrehozzák az alappont hálózat olyan egységes rendszerként kezelt vázát, amely lehetővé teszi az elhelyezési kitűzések méréstechnikai nehézségek nélküli, és szükséges pontosságú végrehajtását. A váz egy olyan szintezési vonal vagy vonalrendszer, amelynek alappontjai az épületeken kívül helyezkednek el. Ezt a vázat kell sűríteni az építkezés előrehaladtával olyan mértékig, hogy kellő számban legyenek kiinduló pontok az épületeken kívüli és belüli szerkezeti kitűzések, valamint az állapotfelmérések végrehajtásához. Részletmérés A részletmérés célja különböző rendeltetésű sajátos célú térképek (kisajátítási, városrendezési, beruházási, tervezési, állapot- és megvalósulási térképek stb.) elkészítéséhez koordináták számítására alkalmas számszerű mérési adatok szolgáltatása. Feladata a terepalakulatok, valamint a mesterséges létesítmények jellemző pontjai helyzetének vízszintes és magassági értelmű meghatározása. E feladatok megoldása során különbséget kell tenni egyrészt, az új létesítmények céljára kijelölt területek felmérése, a meglévő ipartelepek kiegészítő felmérése, ill. az ipartelepek bővítéséhez szükséges felmérés, másrészt kis (25 ha-t meg nem haladó) és a nagy kiterjedésű ipar- vagy lakótelepek, továbbá vonalas létesítmények (vasutak, utak, csatornák), nagyméretű önálló műtárgyak (pl. völgyzárógátak, hidak) stb. felmérése között. Felmérés, térképezés szempontjából meg kell különböztetni zárt telepítésű (belterületen levő) és nyílt terepen (külterületen) telepített létesítményeket és építményeket. Kitűzések A kitűzések célja a tervezett létesítmények terv szerinti helyének kijelölése a természetben. Ennek érdekében pontjelekkel kell megjelölni azokat a geometriai elemeket (pontokat, tengelyeket, síkokat, magassági szinteket, stb.) amelyek lehetővé teszik a tervben megadott meghatározott méretű és elhelyezésű létesítmények helyes építését vagy szerelését. 1-4

5 1. előadás: A mérnökgeodézia általános ismertetése. Alapfogalmak, jogszabályi háttér. A kivitelezést ellenőrző és irányító mérések A műszaki létesítmények (épületek, műtárgyak, technológiai berendezések, stb.) előírások szerinti és a terveknek megfelelő kivitelezését az építés időszakában, vagy azt követően a kivitelezés műszaki ellenőrzésének és átadásának, ill. technológiai szerelés beindításának elősegítése céljából ellenőrizni kell. Az ellenőrző méréseknek - szemben pl. a kitűzött pontokra végzett ellenőrzéssel minden esetben a már megépített vagy elhelyezett szerkezet megfelelő pontjaira, a szerkezet határoló vonalaira, ill. jól látható kontúréleire kell vonatkozni. Elmozdulások és alakváltozások meghatározása Nagy erőhatások alatt álló építményeknél előre kell jelezni az esetleges károk, meg nem engedhető nagyságú elmozdulások, alakváltozások bekövetkezésének lehetőségét, pl. vizierőműveknél, völgyzárógátaknál, tartályoknál, silóknál, darupályáknál, stb. Adatokat kell szolgáltatni a már bekövetkezett mozgások (terepmozgások, épület süllyedések) okainak, méreteinek felderítéséhez. A tervezéskor számításba vett mozgások mértékét ellenőrizni kell. Mozgásvizsgálati mérések alapján adatokat kell gyűjteni a későbbi tervezésekhez, méretezésekhez. Vízszintes értelmű alappont hálózatok tervezése, létesítése A hálózat pontjait olyan helyeken kell elhelyezni, ahol azok a létesítmény elkészülte után is megmaradnak. Olyan pontsűrűséget kell tervezni hogy a mindennapi méréseket gazdaságosan és a létesítmény műszaki követelményeinek megfelelően lehessen végezni. A hálózatok pontossági tervezésén olyan méréstervezési (méretezési), hibaelméleti megfontolásokkal és geodéziai számításokkal alátámasztott feladatot értünk, amellyel valamely geodéziai kitűzés, elmozdulásmérés vagy más mérési tevékenység számára az adott körülmények és lehetőségek figyelembevételével műszakilag indokolt hálózati pontosságot lehet elérni. Ez azt jelenti, úgy írjuk elő (tervezzük meg) a hálózat pontosságát, hogy az összhangban legyen az elvégzendő geodéziai tevékenység pontossági követelményeivel. Ebből a célból erőre meg kell állapítani pl. a mérések fajtáját (hosszvagy szögmérés), ezek eloszlását a hálózatban, középhibáját, továbbá ezeknek az egész hálózat megbízhatóságára gyakorolt együttes hatását. Amikor a pontossági tervezési feladat mellett a mérések tervezésekor gazdaságossági számítási feladatokat is megoldunk pl. a leggazdaságosabb mérési elrendezés meghatározását, vagy tervezési feladatként kezeljük a pontok helyének a megtervezését is, akkor a tervezési feladat optimalizálási feladathoz vezet. A pontossági tervezési és optimalizálási feladatok között nincs éles határvonal és bizonyára a fogalmi meghatározások is változni fognak a mindinkább előtérbe kerülő gyakorlati alkalmazások során. A magasabb rendű optimalizálási feladat megoldások mellett a pontossági tervezés létjogosultságát egyebek mellett az adja, hogy mérnökgeodéziai feladatok legnagyobb részénél a pontok helyét, a feladat követelményei és a terep adta lehetőségek (összelátás, mozdulatlanság, hozzáférhetőség, stb.) eléggé egyértelműen meghatározzák, tehát ezeket változtathatatlannak kell tekinteni, továbbá a mérnökgeodéziai hálózatok sok esetben kevés számú pontot tartalmaznak és ezért a mérések elrendezésében nincs széles választási, tehát optimalizálási lehetőség. Az előzőekben definiált pontossági tervezés részfeladatai a következők: 1-5

6 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz 1. A hálózat pontossági mérőszámainak megválasztása és a geodéziai tevékenység pontosságával összhangban lévő (m terv h értékének) a meghatározása. 2. A hálózat pontjainak kitűzése a terepen, vagy a ponthelyek megtervezése térképen a felhasználás céljának, a meghatározási, összelátási, fennmaradási és egyéb terepi szempontoknak a figyelembevételével. 3. A hálózati pontok előzetes koordinátáinak a meghatározása, a mérések fajtáinak, számának, elrendezésének és középhibáinak a tervezése. 4. A tervezett adatokkal az A alakmátrixnak, a tervezett mérések M (L) lel jelölt a priori variancia-kovariancia mátrixának és a P súlymátrixnak a számítása. 5. Azoknak a hálózati elemeknek (koordinátáknak, távolságoknak) az a priori a priori középhibáinak az m h értéknek vagy ezek középértékének a számítása, amelyre a hálózat pontosságát tervezni kívánjuk. a priori 6. A számított a priori pontossági mérőszámok (m h ) értékének összehasonlítása a tervezett (m terv h ) értékével. Ha a számított m a priori h egyenlő a biztonsági tényezővel növelt m terv h értékkel, akkor a hálózat észlelése a tervezett mérési pontossággal elvégezhető. a priori Ha pedig az m h értéke eltér az m terv h értékétől, akkor a tervezett hálózati pontosság vagy az alakmátrix változtatásával, (pl. a mérések számának a növelésével, csökkentésével) vagy a mérések pontosságának változtatásával, vagy mindkettő egyidejű változtatásával érhető el. Egyszerű hálózat, alacsony mérésszámú elrendezésnél célszerűbb a mérések pontosságát változtatni, míg bonyolult hálózatoknál, sok alappont, magas mérésszám esetén gazdaságosabb a hálózat pontosságának a változását az alakmátrix változtatásával elérni. Az említett tervezési számításokat (az a priori középhibák számítását) ilyenkor a módosított paraméterekkel újból el kell végezni és az észlelés csak akkor kezdhető el, ha az a priori megbízhatósági mérőszám értéke egyenlő a biztonsági tényezővel módosított m terv h értékével. Azt, hogy a hálózat pontosságát milyen pontossági mérőszámmal célszerű jellemezni, részben a középhibák sajátosságai, részben azoknak a geodéziai munkáknak a kívánalmai határozzák meg, amelyek alapjául a hálózatot létesíteni kell. Felhasznált irodalom: - Bánhegyi I.-Dede K.: Segédlet a mérnökgeodéziai gyakorlatokhoz. Műegyetemi Kiadó, Budapest, Detrekői Á.-Ódor K.: Ipari geodézia I-II. Tankönyvkiadó, Budapest, Detrekői Á.: Kiegyenlítő számítások. Tankönyvkiadó, Budapest, M.1. Mérnökgeodéziai Szabályzat. MÉM-OFTH, Budapest,

7 2. előadás: Alappont hálózatok 2. Előadás: Alappont hálózatok állandósítása, mérése, számítása. Bekapcsolás az országos vízszintes alappont hálózatba A hálózati pontok állandósítási módjai A mérnökgeodéziai hálózatok alappontjainak állandósítási módjaira olyan határozott előírások mint az országos alappont hálózatok állandósítási módjaira, nincsenek. AZ M.1 Mérnökgeodéziai Szabályzat bizonyos esetekben kötelezően előírja a Szabatos Felmérési Utasítás állandósítási módjának az alkalmazását, néhány esetben pedig ajánlásokat tartalmaz. Legtöbb esetben a pontok állandósítási módját egyedileg kell megtervezni. Az alappontok állandósításával kapcsolatban általánosan a következőket kell kiemelni: az alappontok olyan műszaki létesítmények, amelyeknek szakszerű megtervezése és kivitelezése alapfeltétele az ezekre épülő geodéziai feladatok szakszerű, gazdaságos elvégzésének. Szélső esetekben (nem megfelelő állandósítási mód a pontok vagy azok egy részének idő előtti tönkremenetele) a pontokra alapozott geodéziai munkák meghiúsulását eredményezheti. Az alappontok állandósításának tervezésékor a következő szempontokat kell figyelembe venni: - a hálózat létesítésének célja (kitűzés, felmérés, mozgásvizsgálat, stb.), - a terep és talajviszonyok, - az építési körülmények, - a pontossági követelmények, - a felhasználás időtartama. Mozgásvizsgálati alappont hálózatokban általános követelmény, hogy a műszert stabilan, kényszerközpontosan tudjuk elhelyezni a különböző mérési időpontokban. Ezt a követelményt észlelő pillérek megépítésével lehet teljesíteni. Az észlelő pillérek mindig egyedi tervezésűek, és alapozásuk a talajviszonyoktól függ. A pillérek fejezete, amely a központos műszer ill. jel elhelyezést biztosítja, szintén egyedi tervezésű, de a műszergyárak és a geodéziai kiegészítő berendezéseket gyártó vállalkozások is kínálnak megoldásokat. 2-1

8 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz A hálózatok mérése, számítása 1. ábra: Vasbeton észlelőpillér terve A mérnökgeodéziai hálózatok mérésére nincsenek előírások, hiszen a mérések fajtáját (irány- vagy távolságmérés, GPS mérés), a műszerek típusát, a mérések ismétlési számát, a mérések eloszlását a hálózaton belül ha a mérnökgeodéziai hálózat az országos alappont hálózattól eltérő pontosságú estenként pontossági tervezéssel (méretezéssel) kell meghatározni. A hálózatok számítását minden esetben kiegyenlítéssel végezzük. A számításhoz különböző szoftverek használhatók beleértve a saját fejlesztésű szoftvereket is a felhasznált mérőműszerektől függően. A számítás elvégezhető úgy, hogy kiinduló adatként elfogadjuk az országos alappont hálózat néhány pontját tehát beillesztett hálózatként vagy a mérnökgeodéziai hálózatokat függetlenítjük az országos alappont hálózattól, vagyis önálló hálózatként számítjuk. Önálló hálózatok fogalma alatt olyan alakzatokat értünk, amelyeknek a számítása során nem fogadunk el a számítások kiindulásaként országos hálózati alapadatokat (pontok koordinátáit, pontok közötti nem mért távolságokat, oldalak irányszögét, koordináta rendszer tájékozását stb.), hanem az adott feladathoz célszerűen vesszük fel a koordináta rendszert, a hálózati pontok koordinátáit pedig az országos hálózat kényszerétől függetlenül az önálló hálózati mérésekből számítjuk. Az önálló hálózat kiegyenlítését elvégezhetjük kiinduló alapadatok felvételével vagy ún. szabadhálózatként. A legkisebb négyzetek módszere szerinti kiegyenlítéskor az ismeretlenek változásait a következő mátrixból határozhatjuk meg: 2-2

9 2. előadás: Alappont hálózatok x = -( A* P A ) -1 (A* P l ) ahol A az alakmátrix, P a mérési eredmények súlymátrixa, l a tisztatagok vektora. Ha bevezetjük a következő jelöléseket: N = A* P A n = A* P l akkor az ismeretlenek (a koordináta-változások) az x = -N -1 n alakú egyszerűbb összefüggéssel fejezhető ki. Amennyiben az önálló hálózatban minden koordináta ismeretlen, az N mátrix elvileg szinguláris, ami matematikailag azt jelenti, hogy det (N) = 0 Geodéziailag pedig azt jelenti, hogy a hálózat tetszőleges mértékben eltolódhat, elfordulhat, illetve csak szögmérés esetén határozatlan a hálózat mérete. A szingularitás mértékét a defektus d (N) tükrözi, amely a mátrix rendszámának r (N) és rangjának ς (N)-nek a különbsége: d (N) = r (N) ς (N) A defektus a hálózat meghatározásától függ és megegyezik a hálózat szabadsági fokával. A hosszméréses hálózat és a vegyes hálózat defektusa 3, az irányméréses hálózaté 4, mert akkor meg kell adni a hálózat méretarányát is. A normálegyenlet szingularitását többféleképpen szüntethetjük meg. Rögzített alapadatokkal történő kiegyenlítéskor a defektusnak megfelelő számú ismeretlen előzetes értékét véglegesnek fogadjuk el. Vegyes hálózatoknál tehát a hálózat egy pontjának helyzetét és valamely irányt rögzíteni kell. Ennek megfelelően a három ismeretlen nem kap változást, vagyis ezek oszlopát az A együttható mátrixból és ezeket a változásokat természetesen az l vektorból is törölni kell. A normálegyenletet ennek megfelelően kell felállítani. Ha az ismeretlenek meghatározását szabad hálózatként számítjuk, akkor nem rögzítünk alapadatokat. Így a feladat határozatlan megoldáshoz vezet, mivel a hálózat tetszőleges mértékben eltolódhat és elfordulhat. A határozatlanságot valamilyen célfüggvény bevezetésével szüntethetjük meg. Ennél a kiegyenlítési eljárásnál minden ismeretlen kap változást. Ha a kiegyenlítést hibátlannak tekintett kiinduló alapadatok felvételével végezzük, az alapadatok változtatásával mind az ismeretlenekre, mind ezek súlykoefficienseire és ebből következőleg az ismeretlenek középhibáira is különböző számértékeket kapunk. Ez azt jelentené, hogy a hálózati pontok koordinátáinak megbízhatósága a felvett alapadatoktól függ és nem a mérések jóságától. 2-3

10 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz Az önkényes felvételből adódó különböző eredmények egyes esetekben zavaróan hatnak, más esetekben kérdésessé teszik a kiegyenlítő számításoknak azt az előnyét, hogy egy mérési sorozathoz tartozó számítási eredményeket egyértelműen szolgáltatják. Ezt a többértelműséget lehet a hálózatok számításakor megszüntetni, ha a hálózatot szabad hálózatként egyenlítjük ki. Mindegyik kiegyenlítési módszernél az ismeretleneken kívül számíthatjuk azok Q /x/ súlykoefficiens mátrixát is. Ez lehetőséget ad bizonyos megbízhatósági mérőszámok meghatározására. A továbbiakban a következő megbízhatósági mérőszámokat értelmezzük a kiegyenlítés módja szerint. 1. Koordináta középhibák és azokból nyert hibaellipszisek. Nagyságuk függ a kiegyenlítés módszerétől, ezért nem alkalmasak különböző hálózatok megbízhatóságának összehasonlítására. 2. Kiegyenlített mérési eredmények középhibái. A kiegyenlített mérési eredmények kiegyenlítés utáni középhibája független a kiegyenlítés módszerétől. 3. Kiegyenlített koordinátákból számított távolságok középhibája. A kiegyenlített koordinátákból számított távolságok középhibája szintén független a kiegyenlítés módszerétől. Ezért ez a mérőszám alkalmas különböző hálózatok megbízhatóságának összehasonlítására. Bekapcsolás az országos vízszintes alappont hálózatba A létesítmények önálló alappont hálózatának koordinátáit minden esetben meg kell határozni a területen használatos országos vetületi és koordináta rendszerben. Az önálló alappont hálózat koordináta rendszere és a területen használatos országos alappont hálózat koordináta rendszere között meg kell határozni a transzformációs összefüggéseket, amelyekkel vonatkozó terület pontjainak koordinátái az egyik koordináta rendszerből átszámíthatók a másikba. A transzformációs összefüggések adatainak meghatározására kisebb hálózatoknál külön méréseket végzünk. Nagy kiterjedésű alappont hálózatok létesítésekor több országos alappont is van a területen, melyeket természetesen meghatározunk az önálló hálózat koordináta-rendszerében. A közös pontok alapján Helmert-transzformációval képezzük az átszámításhoz szükséges adatokat. Felhasznált irodalom: - Bánhegyi I.-Dede K.: Segédlet a mérnökgeodéziai gyakorlatokhoz. Műegyetemi Kiadó, Budapest, Detrekői Á.-Ódor K.: Ipari geodézia I-II. Tankönyvkiadó, Budapest, Detrekői Á.: Kiegyenlítő számítások. Tankönyvkiadó, Budapest, M.1. Mérnökgeodéziai Szabályzat. MÉM-OFTH, Budapest,

11 3. előadás: Vízszintes alappont hálózat tervezése 3. Előadás: Speciális vízszintes alappont hálózatok tervezése, mérése, számítása. Tervezés méretezéssel. Speciális vízszintes alappont hálózatok tervezése, mérése, számítása Egy-egy ipartelep derékszögű négyszöghálózata állhat egy hálózatból, de állhat több hálózatból is. Több hálózat létesítését az indokolja, hogy az ipartelepen belüli üzemeknek vagy üzemcsoportoknak különbözőek a telepítési főirányaik és ezért ugyancsak különbözőek a tervezési koordináta rendszereik. Ilyenkor a tervezési koordinátarendszerek számának megfelelően célszerű üzemenként vagy üzemcsoportonként különkülön négyszöghálózatot létesíteni. A különböző négyszöghálózatok közötti kapcsolatot ilyenkor az egész ipartelep területére kiterjedő alap hálózat biztosítja. Az ipartelepek négyszöghálózatát úgy kell kifejleszteni, hogy a hálózat koordinátarendszerének tengelyei az építési főirányokkal párhuzamosak legyenek, a hálózat pontjai pedig a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyeneseken helyezkedjenek el. Az így elhelyezett koordináta-rendszer azonos lehet a tervezési koordináta-rendszerrel, de lehet ahhoz képest párhuzamosan eltolt rendszer is. A hálózat koordináta-rendszerének kezdőpontját úgy kell megválasztani, hogy az építési terület határain belül csak pozitív előjelű koordináták legyenek. Így a koordinátarendszer kezdőpontja leggyakrabban a terepen ki nem jelölt fiktív pont. Az x y koordináta értékeket célszerű egyrészt úgy felvenni, hogy az ipartelep területén azonos x és y koordináta értékek ne forduljanak elő(hogy ne lehessen felcserélni őket), másrészt úgy, hogy később, ha az ipartelep bővítése miatt a hálózatot is bővíteni kell, a koordináták akkor is pozitív tartományban maradjanak. Ez utóbbi szempont miatt az ipartelep vagy az üzem területének szélén levő pontok koordinátáit nem zérusnak, hanem pozitív számértéknek vesszük fel. A pontok helyét ezen túl célszerű úgy tervezni, hogy kerek értékük legyen. 1. ábra: Derékszögű négyszöghálózat Az építési főirányt a terepen ki kell tűzni, mert a koordináta-rendszer tengelyei ezekkel párhuzamosak. Irányukat a tervező vagy a tervezési helyszínrajzon rögzíti, vagy számszerű értékkel adja meg. 3-1

12 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz Az építési főirányt meghatározhatja az építendő ipartelep közelében már meglevő út vagy vasút tengelyének iránya, vagy a természetben fellelhető hosszabb egyenes, de meghatározható úgy is, hogy megadják az egyik építési főiránynak az országos koordinátarendszer valamelyik tengelyével bezárt szögét. Ezen adatok alapján az építési főirány a terepen egyszerűen kitűzhető és állandósítható. Az építési főirány kitűzésekor elegendő az a pontosság, ami alsógeodéziai műszerekkel és mérési módszerekkel elérhető, tehát általános esetben nem kell törekedni nagy pontosságra. A hálózat pontjainak kitűzését két lépésben végezzük: 1. A hálózat főpontjainak kitűzése. 2. A főpontok felhasználásával a közbenső pontok kitűzése. A kitűzés befejezése után az alappontokat állandósítjuk. Az állandósítás helyszínen betonozott betontömbbe a kerek koordinátájú helyekre elhelyezett 10x10cm-es fémlapokkal történik. A fémlapokon kitűzzük az előzetes ponthelyeket (kerek koordinátájú ponthelyek), és karcolással megjelöljük. A hálózatmérést a tervezett pontossággal végrehajtjuk, majd a mérési eredményeket kiegyenlítjük és számítjuk a hálózati pontok koordinátáit. A ponthelyek előzetes kerek koordinátáit a kiegyenlítésből kis eltéréssel kapjuk meg, ezért az előzetes ponthelyeket módosítani kell. A korrekciók kimérése után a pontok végleges állandósítását a fémlapokba helyszínen fúrt lyukak jelölik. A véglegesen jelölt pontokat ismételten hálózatként megmérjük, kiegyenlítjük és akkor kapjuk meg a végleges koordinátákat. 2. ábra: Négyszöghálózati alappont Ipartelepek alappont hálózatáról közvetlenül nem végezhető el a hatalmas csarnokok, hengerművek, kohóművek épületen belüli kitűzési és felmérési munkái (mint pl. a gépalapok, iparvasutak, szállító szalagok, darupályák, stb. kitűzése és felmérése). Ennek részben az az oka, hogy az épületen belüli létesítmények helyét igen gyakran pontosabban kell kitűzni, mint amilyen pontosság az épületen kívüli alappontok felhasználásával elérhető. Az épületeken belüli kitűzések és felmérések végrehajtásához tehát egy-egy épületen belül gyakran külön hálózatot kell kifejleszteni, éspedig egyes esetekben pontosabbat mint az épületeken kívüli hálózat. Az épületeken belüli alappont meghatározás célja tehát olyan vízszintes és magassági értelmű hálózat létesítése, amelyre támaszkodva az épületen be3lüli részletpontok (gépalapok, tengelyek, stb.) kitűzése vagy bemérése célszerűen és 3-2

13 3. előadás: Vízszintes alappont hálózat tervezése gazdaságosan, a szükséges pontosságnak megfelelően elvégezhető. E hálózat szükség esetén az egyes részletpontok épületeken belüli helyének meghatározását és az egész ipartelep egységes rendszerben történő ábrázolását is lehetővé teszi. Az épületen belüli vízszintes és magassági értelmű hálózat tervezéséhez a következő tervek és adatok nyújtanak segítséget: 1. Aszóban forgó épület részletes elrendezési, részletes kivitelezési és gépelhelyezési terve, illetve a régi épületek helyszínrajza. 2. Működő üzemeknél az üzemeltetéssel kapcsolatos adatok, az üzem jellege, a mérést zavaró körülmények összegyűjtése. 3. Az épületen kívüli vízszintes és magassági hálózatnak az épület közelében elhelyezett pontjaira vonatkozó adatok, helyszínrajzok, koordináták. Nagykiterjedésű, oszlopsorokkal tagolt, de összefüggő nagy csarnokok geodéziai munkáinak alapjául mindenkor négyszöghálózatot fejlesztünk ki, ha annak feltételei adottak. Felmérési hálózatot az épületen belül csak akkor fejlesztünk ki, ha a négyszöghálózat kifejlesztésének nincsenek meg a feltételei. Az alappontok helyének megválasztásakor az általános irányadó szempontokon kívül (pl. hogy a pontok fennmaradása biztosított legyen, műszerrel fel lehessen állni a pontokon, stb.) még a következő szempontokat is figyelembe kell venni: - működő üzemeknél az alappontok meghatározásához szükséges mérések a ponton, illetve a pontok között az üzem működése közben is elvégezhetőek legyenek, a mérést végzők testi épségének veszélyeztetése és az üzem munkájának akadályozása nélkül, - az alappontok sűrűsége a kitűzendő vagy bemérendő részletek eloszlásához igazodjék, - a mérési vonalak olyan zárt rendszert alkossanak, hogy alkalom nyíljék a pontok meghatározásának megbízható ellenőrzésére, - az épületen belüli hálózat szükség esetén megfelelő ellenőrzéssel bekapcsolható legyen az ipartelep épületen kívüli alappont hálózatába. Épületen belüli hálózat kifejlesztésekor gyakori kívánalom, hogy az épületnek több szintjén kell (pincétől a padlásig) azonos hálózatot (esetleg azonos alakú hálózatot) kifejleszteni úgy, hogy a megfelelő pontok egy függőleges egyenesen helyezkedjenek el. 3-3

14 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz 3. ábra: Épületen belüli alappont hálózat vetítése Ipari épületek létesítésekor előfordulhat, hogy a talajszinten állandósított pontokat az építés előrehaladtával a már elkészült szerkezetekre (oszlopalapokra, oszlopokra) kell felvetíteni és ott kell maradandó módon megjelölni, mert eredeti helyükön nem lehetne biztosítani fennmaradásukat. A pontoknak a különféle szerkezetekre történő felvetítésekor arra kell ügyelni, hogy a teherhordó szerkezeteken pontokat csak akkor helyezzünk el, ha azokra már a teljes terhelés hat és a konszolidációjuk is befejeződött, mert ellenkező esetben az újabb terhelés következtében a szerkezetek és velük együtt a pontok is elmozdulnak. A hálózatok számítására a 2. előadáson leírtak vonatkoznak. Részletes számítási feladat a 3. gyakorlat anyagában található. Tervezés méretezéssel A hálózatok pontossági tervezésének gyors és egyszerű módszere az un. méretezés. A tervezéskor a kiegyenlített mennyiségek variancia-kovariancia mátrixából (M (x) ) indulunk ki. A kiegyenlítő számításokból ismer, hogy M (x) = m 2 o Q (x) és Q (x) = 1/ m o 2 M (x) ahol M (x) a kiegyenlítés ismeretlenjeinek a variancia mátrixa, m o a súlyegység középhibája és Q (x) az ismeretlenek súlykoefficiens mátrixa. Ennek értékét mérések nélkül is kiszámíthatjuk, ha ismerjük a hálózat alakját és a súlymátrixot: Q (x) = ( A* P A ) -1 A mérésekre is igaz, hogy 3-4

15 3. előadás: Vízszintes alappont hálózat tervezése M (L) = m o 2 Q (L) ahol M (L) a mérések variancia-kovariancia mátrixa, Q (L) pedig a mérések súlykoefficiens mátrixa. -1 Q (L) = P (L) P (L) pedig a mérésekhez tartozó súlymátrix. Felírhatjuk tehát, hogy P (L) -1 = 1/ m o 2 M (L) És P (L) = 1/ m o 2 M (L) -1 továbbá M (x) a priori 1/ m o 2 = ( A* M (L) -1 A ) -1 1/ m o 2 és végül M (x) a priori = ( A* M (L) -1 A ) -1 M (x) a priori értékének kiszámítása után, a mátrix főátlójában megkapjuk a hálózat pontjai középhibájának négyzetét. Ezek négyzetgyökét kell összehasonlítani a hálózat tervezett középhibáival. Amennyiben ezek nagyobbak a tervezett értéknél, akkor vagy a hálózat alakját (A mátrix), vagy a mérések variancia-kovariancia mátrixát (M (L) ) kell változtatni. Felhasznált irodalom: - Bánhegyi I.-Dede K.: Segédlet a mérnökgeodéziai gyakorlatokhoz. Műegyetemi Kiadó, Budapest, Detrekői Á.-Ódor K.: Ipari geodézia I-II. Tankönyvkiadó, Budapest, Detrekői Á.: Kiegyenlítő számítások. Tankönyvkiadó, Budapest,

16

17 4. előadás: Magassági hálózatok tervezése 4. Előadás: Magassági hálózatok tervezése, mérése, számítása. Hálózatok megbízhatósága, bekapcsolás az országos hálózatba Magassági hálózatok tervezése, mérése számítása A magassági alappont hálózatokat is ugyanúgy mint a vízszintes alappont hálózatokat mindig a feladat céljának megfelelően meg kell tervezni. Ebbe a tervezési feladatba is beletartozik, hogy a tervezés első lépéseként meg kell vizsgálni, hogy a területen található országos alappontok megfelelnek-e a feladat céljának. Ha ugyanis megfelelnek, akkor a különböző feladatokat az országos alappontok felhasználásával kell megoldani. Ellenkező esetben önálló magassági alappont hálózatot kell létesíteni, és azt bekapcsolni az országos alappont hálózatba. Önálló magassági alappont hálózatot kell létesíteni létesítmények mozgásvizsgálatakor, a szerelési és ellenőrzési munkákhoz, vízierőművek és ipartelepek építésekor. A magassági alappont hálózatok tervezése és létesítése az észlelési módszerből adódóan általában egyszerűbb feladat, mint a vízszintes hálózatok ilyen jellegű feladatai. Az országos alappont hálózat pontossága a kivételes esetektől eltekintve általában megfelelő a különböző ipari geodéziai (kitűzési, elmozdulás mérési, stb.) feladatok megoldásához is. Ezért a pontossági tervezés ilyen esetekben abból áll, hogy a rendűséggel jellemzett megfelelő pontosságú hálózatot kiválasztjuk és az arra vonatkozó észlelési előírásokat betartva (amelyek az észlelés módszerére, műszerére, hibahatáraira vonatkoznak) létesítjük az önálló hálózatot. A magassági elhelyezési kitűzések céljára létesítendő alappont hálózatok pontosságára vonatkozóan a következő adatok szolgálhatnak tájékoztatásul: Ha az elhelyezési kitűzés megengedett maximális hibája max m elh < 5 mm max m elh <10 mm max m elh >10 mm Az alappont hálózat tervezendő pontossága (országos) I. rendű II. rendű III. rendű Így pl. nagykiterjedésű ipartelepek, vízierőművek, völgyzárógátak építésekor (vagy ha ipartelepek területén olyan nagyméretű létesítmények épülnek, amelyeknél szükséges, vagy a későbbiekben felmerülhet süllyedésvizsgálat mérése), célszerű egy önálló, de országos elsőrendű pontosságú alaphálózatot kialakítani. A hálózat további sűrítése azután elvégezhető az előbbinél kisebb pl. III. rendű hálózati pontossággal is. Az országos magassági alappont hálózatoknál nagyobb pontosságú hálózatok tervezésekor a hálózat pontosságát egyedileg kell megtervezni. Ebben az esetben az észlelési differenciákat, a poligonzáróhibákat, majd ezen belül a mérési módszereket, műszereket (pl. kisebb léctávolság, nagyobb ismétlési szám, hidrosztatikai szintező alkalmazása, stb.) tervezzük úgy, hogy a tervezés során rögzített a priori megbízhatósági mérőszámok értékei összhangba legyenek a vonatkozó feladatok pontossági követelményeivel. 4-1

18 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz Az önálló magassági alappont hálózatok kitűzésekor lehetőség szerint célszerű a vízszintes alappont hálózat pontjainak egy részét bevonni a magassági alappont hálózatba. Ez megtakarítást jelent az állandósításban, azonban olyan állandósítási módot kell alkalmazni, hogy az új alappont mindkét állandósítási követelménynek megfeleljen. Ha az épülő létesítmény területén nagymérvű földmunkát végeznek, akkor a hálózatot két ütemben kell kifejleszteni. Első ütemben a hálózatnak csak a széleire eső pontjait, második ütemben pedig a belső pontjait állandósítjuk, amikor már a földmunka elkészült. 1. ábra: Vízszintes és magassági alappont állandósítása A hálózat kitűzésekor arra kell törekedni, hogy a hálózat pontjait poligonokba foglaljuk, mert ez nyújtja a legmegbízhatóbb ellenőrzést a mérések és a tervezett pontossági mérőszámok elérése tekintetében. A szintezési alappontok állandósításához a következő magasságjegyeket lehet alkalmazni: 1. Épületek vagy egyéb műtárgyak falába beépíthetünk az elsőrendű alappont hálózat pontjainak állandósításához az országos hálózatban is használatos falicsap anyagának és méreteinek megfelelő falicsapot és szintezési gombot. 2. Épületek vagy egyéb műtárgyak hiányában az elsőrendű hálózat alappontjait általában az országos hálózatban is használt szintezési kőhöz hasonló méretű kővel kell állandósítani. Ilyenkor a hálózati pontok egy részét, de legalább egy kiválasztott elsőrendű alappontot mélyalapozású magassági alappontként kell állandósítani. Mélyalapozásűú magassági alappontot kell létesíteni. - ha a szintezési kővel való állandósítás nem biztosítja kellően az alappont mozdulatlanságát. Ezt a körülményt a területre vonatkozó talajtani és talajmechanikai szakvélemény alapján lehet eldönteni, - ha a későbbiek során felmerülhet függőleges értelmű elmozdulás méréseknek a szükségessége. 3. A hálózat alappontjait gyakran a helyszínen betonozott egyedileg tervezett állandósítással jelöljük meg. A magassági alappont hálózatok mérését optikai mikrométeres szintezőlibellás, vagy kompenzátoros felsőrendű szintezőműszerrel kell végezni. A szintezés végrehajtásához invárbetétes, szelencés libellával felszerelt és az alkalmazott műszertípustól függően 1 cmes vagy 0.5 cm-es osztásközű szintezőléceket kell alkalmazni. Szintezéskor a kötőpontokat 4-2

19 4. előadás: Magassági hálózatok tervezése keményfa cövekkel és gömbölyű fejű szöggel, szilárd burkolaton Hilti szöggel kell megjelölni. Az alappontok magasságának számítására az M.1 Mérnökgeodéziai Szabályzat előírja: A zárt szintezési vonalakból álló alappont hálózatban a szintezési vonalak végleges magasságkülönbségét kiegyenlítő számítással kell meghatározni. A kiegyenlítés a legkisebb négyzetek elve alapján a vízszintes hálózatokhoz hasonlóan történhet a közvetett vagy a közvetlen kiegyenlítés módszere szerint. A magassági alappont hálózatokat általában a közvetlen mérések módszerével egyenlítjük ki. A választást indokolja, hogy a mérési eredmények száma általában lényegesen nagyobb mint a fölös mérések száma, így kevesebb feltételi egyenletet kell felírni, mint közvetítő egyenletet. A szintezések ellenőrzésekor amúgy is kiszámítjuk a zárt szintezési vonalak záróhibáját, így a feltételi egyenletek tisztatagjai már ismertek. Előfordul bizonyos esetekben, hogy a magassági alappont hálózatot, vagy bizonyos későbbi időpontban meghatározott pontjait a közvetett mérések kiegyenlítése szerint számítjuk. Ez a módszer akkor célszerű, ha a pontok kiegyenlített magasságának középhibáját is meg akarjuk határozni. A magassági alappont hálózatok kiegyenlítésének előkészítése A magassági alappont hálózatok közvetlen mérések szerinti kiegyenlítésének előkészítése két részből áll: - a feltételi egyenletek felírása, - a mérési eredmények súlyviszonyának felvétele. A magassági alappont hálózatok kiegyenlítésekor két különböző típusú feltételi egyenletet írhatunk fel. Az egyik fajta, zárt poligon esetén azt fejezi ki, hogy a kiegyenlített magasságkülönbségek összegének zérusnak kell lenni. Annyi ilyen feltételi egyenletet kell felírni, ahány független zárt poligon van a hálózatban. Az ilyen típusú feltételi egyenletek felírásához tetszés szerint megállapítunk egy forgási irányt, amelyet valamennyi zárt idomnál megtartunk. A feltételi egyenletek felírásakor azt a mérési eredményt tekintjük pozitívnak, amelyiknek az emelkedést mutató nyíljelzése a forgási iránnyal egyezik, és azt negatívnak, amelyiknek a nyíljelzése azzal ütközik. A zárt poligonokra felírt feltételi egyenletek általános alakja: ± U 1 ± U 2 ± ± U m = 0 ha a nevezett poligonban m számú szintezési vonal szerepel. Ha a kiegyenlített magasságkülönbségek értékeit a szokásos módon felbontjuk a mérési eredményekre /L/ és a kiegyenlítési javításokra /v/, a feltételi egyenlet a következő: ahol a tisztatag ± v 1 ± v 2 ±. ± v m + l = 0 l = ± L 1 ± L 2 ± ±L m A feltételi egyenletek másik fajtáját akkor kell felírni, ha az alappont hálózatban két vagy több ismert magasságú pont van. Ezek a feltételi egyenletek azt fejezik ki, hogy valamelyik ismert magasságú alappontból kiindulva, a kiegyenlített magasságkülönbségekkel számolva egy másik ismert magasságú alapponthoz kell jutni. Ha az ismert magasságú alappontok száma N, akkor N-1 ilyen típusú feltételi egyenletet kell felírni. 4-3

20 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz Jelölje a két ismert magasságú alappontot A és B. A két pont között felírható feltételi egyenlet általános alakja: A ± U 1 ± U 2 ± - B = 0 A feltételi egyenleteket célszerűen úgy írjuk fel, hogy az A pontból a legkevesebb mérési szakaszon át jussunk el a B ponthoz. A feltételi egyenletekben a javítások együtthatója +1 vagy -1. A tisztatag az ilyen jellegű feltételi egyenleteknél az L = A ± L 1 ± L 2 ± - B összefüggésből számítható. A mérési eredmények súlyviszonyának felvétele A feltételi egyenletek felírása után a magasságkülönbségek megbízhatóságát jellemző P súlymátrixot kell összeállítani. Szintezésnél a mérési eredmények súlyát a szintezési vonalak távolságaival /t i / vagy a műszerálláspontok számával /n i / fordított arányban szokás felvenni. A szintezési méréseket általában a közvetlen mérések szerinti kiegyenlítéssel számítjuk, ahol a P -1 érték szerepel a számítások során, ezért célszerű a súlyokat a p i = 1 / t i vagy p i = 1 / n i formában felírni. Természetesen az ilyen, geometriai meggondolásból felvett súlyok esetén is az eredeti definíció miatt, ezek dimenziója mm -2, cm -2, stb., a tisztatag megfelelő dimenziója szerint. Ha valamilyen ok miatt az önálló magassági alappont hálózat kiegyenlítését a közvetett mérések módszerével végezzük, akkor két tetszőleges, ismeretlen magasságú alappont közötti mérési eredményre az alábbi közvetítő egyenletet írhatjuk fel a kiegyenlítő számításokban használatos jelölésekkel: L ij + v ij = /M 0j + m j / - = /M 0i + m i / A javítási egyenlet átrendezés után: v ij = -m i + m j + l ij A fenti egyenletekben szereplő betűk jelentése a következő: M 0i, M 0j a pontok magasságának előzetes értéke, m i, m j a pontok magasságának változásai, L ij a mért magasságkülönbség, v ij a magasságkülönbség kiegyenlítési javítása, a tisztatag értéke. l ij A szintezési hálózatok közvetett mérések módszerével végzett kiegyenlítésekor a mérési eredmények súlyviszonyait szintén a szakaszok távolságával fordított arányban állapítjuk meg. 4-4

21 4. előadás: Magassági hálózatok tervezése A magassági alappont hálózatok kiegyenlítésének végrehajtása Ha a kiegyenlítés előkészítése során felírjuk az összes feltételi egyenletet és kiszámítjuk a tisztatagokat, akkor azokat mátrix alakban a szokásos formában foglaljuk össze: B * v + l = 0 A B * együttható mátrix, a P súlymátríx és az l tisztatag vektor segítségével az ismert módon felírjuk a normálegyenletet: (B * P -1 B) k + l = 0 ahol k a meghatározandó korreláták vektora. A normálegyenlet megoldásaként az ismeretlen korrelátákat kapjuk: k = -/B * P -1 B/ -1 l A korreláta egyenletekből a mérési eredmények kiegyenlítési javításait számítjuk: v = P -1 B k A javítások v vektora ismeretében, a kiegyenlített mérési eredmények értékét magába foglaló U vektort az alábbi összefüggésből kapjuk: U = L + v ahol L a nyers mérési eredmények értékét magába foglaló vektor. A közvetlen mérések kiegyenlítésének ellenőrzése egyrészt a kiegyenlített értékeknek az eredeti feltételi egyenletekbe történő visszahelyettesítésével történik. A kiegyenlítés ellenőrzésének másik lépése, a v P * v érték két úton való számításának összehasonlítása. Tehát a v P * v = -l * k értékeknek a számítási élességen belül egyezniük kell. Amennyiben a magassági alappont hálózatot a közvetett kiegyenlítések módszerével számítjuk, akkor minden egyes mért magasságkülönbségre felírjuk a javítási egyenletet, kiszámítjuk az l tisztatagot és meghatározzuk a hozzátartozó súly értékét. Megemlítjük, hogy olyan magassági alappont hálózat, amelyben egyetlen ismert magasságú alappont sincs, és a közvetett mérések módszerével egyenlítenénk ki a vízszintes alappont hálózatokhoz hasonlóan kiegyenlítés szempontjából szabad hálózatnak minősül. (Az ilyen magassági alappont hálózat defektusa 1.) Magassági hálózatok megbízhatósága, bekapcsolás az országos hálózatba Magassági hálózatok megbízhatósága A magassági alappont hálózatokkal kapcsolatos szintezésekkor természetesen ki kell számítani a szintezési szakaszok oda-és visszamérésének eredménye közötti eltéréseket az un. észlelési differenciákat. A d-vel jelölt észlelési differenciák megengedett mértékét az 4-5

22 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz M.1. Mérnökgeodéziai Szabályzat a különböző rendű hálózatoknál rögzíti. A megengedett értékek milliméter dimenzióban: d I. rendű = 1.2 L sz d II. rendű = 2.4 L sz d III. rendű = 3.6 L sz ahol L sz a szintezési szakasz hossza km egységben. Egyes szintezési vonalak minősítésére a vonal kilométeres középhibája szolgál. A magassági alappont hálózatok kiegyenlítésekor a következő megbízhatósági mérőszámok meghatározása fordulhat elő: - súlyegység középhibája, - kiegyenlített mérési eredmények középhibája, - alappontok magasságának középhibája. Magassági alappont hálózatok bekapcsolása az országos hálózatba Az önálló magassági alappont hálózatok alappontjainak magasságát az országos szintezési hálózatban minden esetben meg kell határozni. Ha az önálló alappont hálózat pontjai között nincs országos szintezési alappont, akkor a hálózat valamelyik pontját csatlakozó pontnak kell választani és össze kell szintezni a legközelebbi országos szintezési alapponttal. A szintezést a hálózat rendűségének megfelelő pontossággal kell elvégezni oda-vissza irányban. A bekapcsoláshoz felhasznált alappont mozdulatlanságáról meg kell győződni a legközelebbi országos alapponttal való összeszintezéssel. Ha az ellenőrzéshez felhasznált országos alappontok és a bekapcsoláshoz választott országos alappont között mért magasságkülönbségek értékei a rendűségnek megfelelő hibahatáron belül vannak a nyilvántartásban szereplő magasságok különbségével, akkor a pontokat mozdulatlannak tekintjük. Elfogadjuk az országos alappont Balti magasságát, és ennek felhasználásával kiszámítjuk a csatlakozó pont Balti magasságát. 2. ábra: Csatlakozó pont ellenőrzése Az önálló magassági alappont hálózat alappontjainak Balti magasságát a csatlakozópont magasságából kiindulva a kiegyenlített magasságkülönbségek felhasználásával számítjuk. 4-6

23 4. előadás: Magassági hálózatok tervezése Amennyiben a bekapcsoláshoz kiválasztott országos szintezési alappont nem minősíthető mozdulatlannak, akkor ellenőrző méréssel meg kell keresni a legközelebbi mozdulatlannak tekinthető országos szintezési alappontot, és ennek Balti magasságát felhasználva ki kell számítani a csatlakozó pont Balti magasságát. Ha az önálló magassági alappont hálózat alappontjai között van egy országos szintezési alappont, akkor ennek mozdulatlanságát országos szintezési alappontokkal való összeszintezéssel ellenőrizni kell. Mozdulatlansága esetén az önálló magassági alappont hálózat alappontjainak Balti magasságát ennek az országos szintezési alappontnak a Balti magasságából kiindulva kell számítani az önálló magassági alappont hálózat kiegyenlített magasságkülönbségeinek a felhasználásával. 3. ábra: A csatlakozó pont országos szintezési alappont Amennyiben az országos szintezési alappont nem minősíthető mozdulatlannak, akkor ellenőrző méréssel meg kell keresni a legközelebbi mozdulatlannak tekinthető országos szintezési alappontot, és ennek Balti magasságát felhasználva ki kell számítani az önálló hálózat egy pontja /csatlakozó pont/ Balti magasságát. Ezután a többi alappont Balti magassága a kiegyenlített magasságkülönbségek felhasználásával számítható. 4. ábra: Több országos szintezési alappont van a hálózatban 4-7

24 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz Nagy területre kiterjedő létesítmények önálló magassági alappont hálózatának alappontjai között előfordulhat, hogy kettő vagy több országos szintezési alappont van. Ezeknek az alappontoknak egymáshoz és a környező országos szintezési alappontokhoz viszonyított mozdulatlanságát az önálló magassági alappont hálózat rendűségének megfelelő pontosságú szintezéssel ellenőrizni kell. Ha a pontok mozdulatlanoknak tekinthetők, akkor azok Balti magasságát változatlanul meg kell tartani és már az önálló magassági alappont hálózat számításánál változatlannak kell tekinteni. Felhasznált irodalom: - Bánhegyi I.-Dede K.: Segédlet a mérnökgeodéziai gyakorlatokhoz. Műegyetemi Kiadó, Budapest, Detrekői Á.-Ódor K.: Ipari geodézia I-II. Tankönyvkiadó, Budapest, Detrekői Á.: Kiegyenlítő számítások. Tankönyvkiadó, Budapest, Krauter A.: Geodézia. Műegyetemi Kiadó, Budapest,

25 5. előadás: Mérnöki létesítmények vízszintes és magassági értelmű kitűzése 5. Előadás: Mérnöki létesítmények vízszintes és magassági értelmű kitűzése. Tűrési alapfogalmak. Az építési tűrés és a középhiba kapcsolata Mérnöki létesítmények vízszintes és magassági értelmű kitűzése. A kitűzések feladata, hogy a tervezett létesítményeket az építési területen terv szerinti helyükre műszeres méréssel kijelöljék. Ezt a feladatot a gyakorlatban úgy kell megoldani, hogy a létesítmény bizonyos geometriai elemeit /pontokat, tengelyeket, síkokat, stb./ célszerűen kialakított pontjelekkel meg kell jelölni, hogy ezek alapján a tervekben megadott, meghatározott méretű és telepítésű létesítmények elhelyezése, terv szerinti építése, szerelése megvalósítható legyen. Megkülönböztetjük a létesítmények térbeli helyének kitűzését és szerkezeti elemeinek kitűzését. A létesítmények térbeli elhelyezését vagy a geodéziai alappontok, vagy a már meglévő létesítmények felhasználásával lehet megoldani. A szerkezeti kitűzést a térbeli elhelyezés után végezzük oly módon, hogy azokat a pontokat vagy tengelyeket használjuk fel, amelyeket a térbeli helyzet kijelölésére tűztünk ki. A kitűzés az egyik legfelelősségteljesebb munka, mert az annak nyomán meginduló építkezés terv szerinti megvalósulásának alapfeltétele. Egy-egy hibásan kitűzött pont, vagy tengely súlyos építési hibához és ezáltal óriási kárhoz vezethet. A kitűzést és átadását a beruházó és kivitelező a kitűzött létesítmény építhetőségére vonatkozó jogi és műszaki jóváhagyásnak tekinti. A kitűzés átadásának ténye tehát azt jelenti, hogy a létesítmény építése - illetve egy-egy építési folyamat megkezdhető. Ezért van az, hogy jelentősebb beruházásoknál a fontosabb kitűzéseket nem a kivitelező kitűzője végzi, hanem külön szakvállalattal szerződnek, amely biztosítja a műszakilag kifogástalan kitűzéseket és garanciát vállal a kitűzések megbízhatóságáért. A kitűzést a legnagyobb gondossággal, körültekintéssel kell végezni, és ezen kívül meg kell oldani, hogy minden kitűzött pontra legyen mérési és számítási ellenőrzés. A kitűzés rendszerint a terv ellenőrzése is, amennyiben a helyszíni kapcsolatokból a kitűzőnek kell meggyőződnie arról, hogy a kitűzött létesítmény a tervezett technológiai folyamatnak megfelelően illeszkedik-e a már megépített létesítményekhez. Ez az ellenőrzés elsősorban olyan esetleges átfedési, csatlakozási hibák felderítésére irányul, amelyek a tervezés vagy a már folyamatban lévő kivitelezés során adódhatnak. A vízszintes kitűzések végrehajtásakor általában nem találkozunk bonyolult számítási feladatokkal. A kitűzési munka nehézségeit elsősorban a kedvezőtlen munkakörülmények okozzák, ezért alig fordul elő két egyforma feladat. A kitűzések technológiája meglehetősen kötött, azonban a kitűzési munkát az építés, üzemeltetés szüneteltetése nélkül kell végezni, ezért a sikeres munkavégzés feltétele a helyes kitűzési technológia megválasztása. /Esetleg a helyszínen kell dönteni a kitűzési eljárásról, vagy a választott eljárás módosításáról. Magassági kitűzéskor ismert magasságú alappontból kiindulva, valamely megadott szintet a követelményeknek megfelelő pontossággal ki kell jelölni, vagy előre megjelölt pontok magasságát kell a szintezés során meghatározni. A magassági kitűzés mozzanatait megelőzi a kitűzéshez használt szintezőműszer vizsgálata. Rendkívül fontos annak megállapítása, hogy a szintezőműszer igazított-e, illetve az igazítatlanság értékének meghatározása. Az utóbbi esetben a kitűzési méreteket 5-1

26 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz az igazítatlanságból adódó javítással helyesbítjük. /Az igazítatlanság és a javítások számítása hibalehetőséget jelent, ezért törekedni kell a műszer kiigazítására./ A szintezőműszer igazítottsága azért fontos, mert a magassági kitűzéskor azt a szintezési szabályt, miszerint a léc-műszer távolságnak egyenlőnek kell lenni, nagyon sok esetben nem lehet megvalósítani. A magassági kitűzés két műveletből áll. Az egyik a pontok kitűzése és megjelölése, a másik pedig a kitűzés ellenőrzése, azaz a kitűzött pontok és valamely ismert pont magasságkülönbségének meghatározása. A kitűzés elve az, hogy az előírásszerűen felállított szintezőműszer horizontját ismert magasságú pontra tett lécleolvasásból kiszámítjuk és összehasonlítjuk a kitűzendő pont magasságával. A kitűzendő érték a két magasság különbsége, amit a kivonás eredményétől függően vagy a műszerhorizont fölé, vagy pedig alá jelölünk ki. A létesítmények egyes pontjainak magassága a kitűzéshez rendszerint helyi magassági rendszerben adottak. Mivel a helyi rendszerben az alapszint a padlószint gyakran szerepelnek negatív magasságok is, a kitűzendő értékeknek rendszerint nem adunk előjelet, hanem / / vagy / / jelet írunk a jegyzőkönyvbe, a műszerhorizonthoz képest végzett kitűzésnek megfelelően. A műszerhorizont /M hor / számítását legegyszerűbb esetben egyetlen lécleolvasás után elvégezhetjük: ahol M A h M hor = M A + h az alappont magassága, az alappontra állított lécre végzett hátra leolvasás. Abban az esetben, ha a kitűzendő pontok távolabb helyezkednek el, az ismert módon vonalszintezést végzünk a nevezett pontokig, úgy, hogy a kötőpontok és a műszerhorizontok magasságát folyamatosan számítjuk. Így a kitűzéshez felhasználásra kerülő műszerhorizont értéke a kitűzéshez szükséges lécleolvasások számításának kezdetekor már kiszámítható. A kitűzés ellenőrzésekor a megjelölt pontok magasságát kell meghatározni szokásos szintezési eljárásokkal és ezeket az értékeket hasonlítjuk össze a kitűzött magasságok értékével. A két érték különbségéből számított eltérés nem lehet több a megengedett elhelyezési vagy szerelési eltéréstől. Tűrési alapfogalmak. Az építési tűrés és a középhiba kapcsolata. A kitűzés az építési, szerelési tevékenység szerves része. Éppen ezért a kitűzések pontossági követelményeinek előírásakor igen gyakran használjuk az építési és szerelési tevékenység minőségének biztosítására bevezetett tűrést. Az építőipari tűrések terminológiáját és alapelveit szabványok tartalmazzák. Az alábbi legfontosabb alapfogalmak a szabványokban megtalálhatók: - Méret: hosszúságot valamilyen mértékegységben kifejező számérték. A gyártási folyamat közben különböző hibák lépnek fel, a gyártott elemek hibái miatt többféle méret megkülönböztetése vált szükségessé. - Tényleges méret (TM): valamely befejezett gyártási művelet után méréssel meghatározott méret. 5-2

27 5. előadás: Mérnöki létesítmények vízszintes és magassági értelmű kitűzése - Alapméret (N): az az elméleti méret, amelyre az eltérések vonatkoznak. - Felső határméret (FH): az előírt megengedett legnagyobb méret. - Alsó határméret (AH): az előírt megengedett legkisebb méret. - Méreteltérés: valamely méret és az alapméret különbsége, amely pozitív és negatív is lehet. A többféle méret következtében többféle méreteltérés létezik. - Tényleges eltérés (TE): a tényleges méret és az alapméret különbsége. - Felső határeltérés (FH): a felső határméret és az alapméret különbsége. - Alsó határeltérés (AH): Az alsó határméret és az alapméret különbsége. - Tűrés (T): az a méretszórás (szóráson itt nem a valószínűségszámításban szokásos alapfogalmat értjük), amely gyártási és felhasználási szempontból egyaránt megengedhető. A tűrés értékét a felső és az alsó határméret különbsége adja meg. T = FH AH = N + FE N + AE = FE +AE A képletből látszik, hogy a tűrés kifejezhető a felső és az alsó határeltérés összegeként is. A szabványokban megadott méretek és tűrések 20 o C alaphőmérsékleten érvényesek. A méretellenőrzésre használt mérőeszközök pontossága annak figyelembe vételével állapítandó meg, hogy a mérőeszköz hibája nem haladhatja meg az alapméret tűrésének 10%-át. 1. ábra: Az építési tűrés definiálásához használt mennyiségek Az M.1. Mérnökgeodéziai szabályzat előírja az építési és kitűzési tűrések illetve eltérések kapcsolatát: A megengedett szerkezeti kiűzési eltérések megállapításának alapjául az elkészült létesítményre előírt megengedett építési, illetve szerelési méreteltérések (tűrések) szolgálnak. Ezek képezik az építési vagy szerelési pontossági követelményt. A t megengedett szerkezeti kitűzési eltérést az e megengedett építési, illetve szerelési méreteltérésből a t = n e 5-3

28 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz összefüggéssel kell kiszámolni. Az n értéke 0.25 és 0.60 között mozoghat. Általában az n=0.4 értéket kell felvenni. A tűrés definíciójából következik, hogy szimmetrikus tűrésmezőt feltételezve a megengedett eltérés a tűrés fele. A T építési és a T k kitűzési tűrések, illetve a t k megengedett kitűzési eltérések kapcsolatát ennek megfelelően a következő képletekkel számítjuk: T k = n T (n = 0.4, esetleg 0.25, 0.60) t k = T k / 2 Valamely létesítmény kitűzése előtt ismerni kell a kitűzési pontossági követelmények számszerű értékét. Ezek meghatározása az építési pontossági követelmények ismeretében lehetséges. Az építési előírások az építési pontossági követelményeket különböző módon adják meg: - a tűrésrendszerben szereplő pontossági osztállyal (például g-h), - egyetlen számértékkel (például 15 mm), - a távolság valamilyen függvényével (például L/10.000). Az eddigiekben a kitűzések pontossági követelményeit az építések megbízhatóságát jellemző építési tűrésekhez hasonló jellegű kitűzési tűrésekkel vagy az azokból levezetett megengedett kitűzési eltérésekkel jellemeztük. A kitűzések tervezésekor az egyes mérési eljárások megbízhatóságát a geodéziában szokásos módon azok középhibájával jellemezzük. Azért, hogy megfelelő kapcsolatot teremthessünk az építési jellegű előírások és a geodéziai középhibák között, szükséges a kitűzések µ megengedett középhibájának meghatározása. A µ középhiba kiszámításakor általában a t megfelelő megengedett kitűzési eltérésből kell kiindulni. A két mennyiség között a µ = s t összefüggés áll fenn. Az s tényező értékét különböző megfontolások alapján határozzák meg. Ha tisztán valószínűségelméleti megfontolásból indulunk ki, akkor normális eloszlású mérési eredményeket és p= valószínűségi szintet feltételezve az s =1 / 3 értékhez jutunk. Ennek megfelelően: µ = t / 3 (ez az un. három szigma szabály) Felhasznált irodalom: - Bánhegyi I.-Dede K.: Segédlet a mérnökgeodéziai gyakorlatokhoz. Műegyetemi Kiadó, Budapest, Detrekői Á.-Ódor K.: Ipari geodézia I-II. Tankönyvkiadó, Budapest, Detrekői Á.: Kiegyenlítő számítások. Tankönyvkiadó, Budapest, Krauter A.: Geodézia. Műegyetemi Kiadó, Budapest, M.1. Mérnökgeodéziai Szabályzat. MÉM-OFTH, Budapest,

29 6. előadás: A mérnökgeodézia alapfogalmai 6. Előadás: Magassági kitűzések módszerei, műszerei. Megbízhatóság számítása, különleges kitűzési feladatok. Magassági kitűzések módszerei, műszerei A magasságkülönbségek meghatározásának módszerei a szintezés, a trigonometriai magasságmérés, a hidrosztatikai szintezés és a barométerrel történő magasságmérés. Kitűzéskor a felsorolt technológiák közül az esetek jelentős részében a szintezést vagy a trigonometriai magasságmérést alkalmazzuk. A trigonometriai magasságmérés alkalmazására nagy magasságkülönbségek áthidalásakor kerülhet sor. A mérőállomások pontosságának növekedése következtében egyre gyakrabban alkalmazott technológia. A hidrosztatikai szintezés közel azonos magasságú pontok magasságkülönbségének a meghatározására alkalmas. Az építőiparban a szerkezeti kitűzésekhez alkalmazzák. A szükséges méréseket az építőipari szakemberek az esetek zömében a szakmunkások végzik. Az alkalmazott hidrosztatikai szintező néhány milliméteres pontosságot biztosít, amennyiben a kezelésre vonatkozó előírásokat gondosan betartják. A barométeres magasságmérésnek legfeljebb ritka alappont hálózattal rendelkező országokban, tervezési kitűzésekkor (például vonalas létesítmények nyomozásakor) lehet jelentősége. Ez a módszer deciméter nagyságrendű pontosságnál jobbat nem biztosít. A magassági kitűzéshez felsőrendű, mérnöki és építészszintező műszereket, továbbá lézerkitűzőket használunk. A műszerek lehetnek hagyományos leolvasású optikai műszerek, vagy automatikus digitális kódleolvasású műszerek. A műszerek minden pontossági osztályában lehetnek libellás vagy kompenzátoros szintező műszerek. A felsőrendű szintező műszereket elsősorban gépek szerelésével kapcsolatos kitűzésekhez használják. Ezeket a műszereket a nagy nagyítás (35-50-szeres) és az objektív nagy szabad nyílása (40-65 mm) jellemzi. A távcsövek legkisebb irányzási távolsága általában 2-5 m de gyártanak 40 cm-es legrövidebb irányzási távolsággal is műszereket. A libellás felsőrendű műszerek libellájának állandója kicsiny (10-15 ), ennek következtében a szintezőlibella beállítása gondos mérést követel. A kompenzátoros felsőrendű szintezőműszerek kompenzálási tartománya mintegy ± 5, a kompenzálás középhibája mitegy 0.2. Libellás felsőrendű szintezőműszer pl. a MOM Ni-A1, a Wild N3, a Zeiss Ni 004, kompenzátoros felsőrendű szintezőműszer például a MOM Ni-A31, a Zeiss Ni 002, Ni 007, és az Opton N1. A mérnöki szintezőműszerek szinte minden kitűzési feladat elvégzésére felhasználhatók. A távcsövük nagyítása általában szoros, az objektívszabadátmérője mm, a legrövidebb irányzási távolság1.5-3 m. A libellás mérnöki szintezők szintezőlibellájának állandója közötti érték, a kompenzátoros mérnöki szintezőket általában a 10 kompenzálási tartomány és a 0.5 körüli kompenzálási középhiba jellemzi. A kompenzátoros mérnöki szintezőműszerek egy részéhez előtét optikai mikrométert készítettek. Ennek felhasználásával ugyanazon kitűzési feladatok elvégzésére alkalmasak, mint a felsőrendű szintező műszerek. Mérnöki libellás szintezőműszer például a Wild N2, a Zeiss Ni 030, az ebbe a csoportba tartozó kompenzátoros szintezőműszer például a MOM Ni B3, az OPTON Ni 2, és a Wild NAZ. Az építész szintezőműszerek az építési tevékenységgel kapcsolatos legtöbb magassági kitűzéshez felhasználhatók. Nem alkalmasak azonban a nagypontosságú szereléseket 6-1

30 Óravázlat a Mérnökgeodézia előadásaihoz elősegítő kitűzésekhez. Az ebbe a csoportba tartozó szintezőműszerek nagyítása szörös, az objektív szabad átmérője mm, a legrövidebb irányzási távolság 1-2 m. A libellás műszerek szintező libellájának állandója 20-60, a kompenzátoros műszereket a kompenzálási tartomány, és az 1-3 kompenzálási középhiba jellemzi. Libellás építész szintezőműszer például a MOM Ni B1, Ni C1, a Zeiss Ni 060, a Wild N10. Kompenzátoros építész szintezőműszer például a MOM Ni D1, a Zeiss Ni 025. Megbízhatóság számítása, különleges kitűzési feladatok. A magassági kitűzés pontossági előírásait az M.1. Mérnökgeodéziai Szabályzat a következő módon szabályozza: A megengedett középhibák a különböző pontossági osztályokhoz tartozó kitűzésekkor a magasságkülönbség meghatározásának módjától függetlenek. Értékük a következő: E kitűzési pontossági osztály Pontjelölés megengedett középhibája 0.2 mm Magasságkülönbség meghatározás megengedett középhibája 0.3 mm F kitűzési pontossági osztály Pontjelölés megengedett középhibája Magasságkülönbség meghatározás megengedett középhibája mm 1 mm G kitűzési pontossági osztály I. II: Pontjelölés megengedett középhibája 0.5 mm 1.0 mm Magasságkülönbség meghatározás megengedett középhibája 3.0 mm 2.5 mm H kitűzési pontossági osztály Pontjelölés megengedett középhibája 1.0 mm 2.0 mm Magasságkülönbség meghatározás megengedett középhibája 4.0 mm 3.0 mm Valamely kitűzendő pont magassága középhibájának meghatározásakor célszerű egyetlen álláspontból nyert h magasságkülönbség m o középhibájából kiindulni. Egyetlen magasságkülönbség a 6.1. ábra szemlélteti. Az m o értéke a felhasznált műszertől és a léc jellegétől függ. Néhány m o érték a következő: Felsőrendű szintezőműszer, invárbetétes léc m o = 0.2 mm Mérnöki szintezőműszer, mm-osztású léc m o = mm Mérnöki szintezőműszer, cm-osztású léc m o = 1-2 mm Építész szintezőműszer, cm-osztású léc m o = 2-3 mm Lézer szintkitűző m o = 2-3 mm 6-2

31 6. előadás: A mérnökgeodézia alapfogalmai 1. ábra: Egyetlen magasságkülönbség meghatározása szintezéssel A kitűzendő pontok magasságát a szintezési vonalakból számítjuk. A vonal j-edik pontjának H j magassága a következő: ahol H A h i k j H j = H A + h i + k j a vonal kezdőpontjának magassága, az (i-1) és i) pont magasságkülönbsége, a szintezési vonal záróhibájából a j-edik pontot terhelő javítás. Kitűzésekkor az egyes magasságkülönbségeket azonos megbízhatóságúnak tekintjük. Ha a szintezési vonal záróhibájától eltekintünk, akkor a j-edik pont magasságának m j középhibáját (az A ponthoz viszonyítva) a hibaterjedés törvényét alkalmazva nyerhetjük: m j = m o j 2. ábra: Szintezési vonal A most bemutatott összefüggés rendkívül egyszerű. Az a tény azonban, hogy a záróhibától eltekintünk, részben közelítő jellegűvé teszi összefüggésünket, részben pedig csak a szintezési vonal középpontjáig teszi lehetővé a képlet alkalmazását. A vonal másik végpontjához közelebb fekvő pontok esetében az összefüggésbe j helyére (n-j) érték írandó, amely azt mutatja meg, hogy hányadik a vizsgált pont a másik végponthoz képest. 6-3