Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika előadás 2015 ősz
|
|
- Erika Judit Fábiánné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika előadás 2015 ősz
2 Előadások témája Röntgen tomográfia fizikai és matematikai alapjai 2D Radon transzformáció, szűrt visszavetítés: Fan beam / Cone beam felvételi elrendezések esete Általánosított (3D) röntgen tomográfia alapjai ART rekonstrukciós eljárások Pozitron emissziós tomográfia alapjai ML-EM statisztikai rekonstrukciós eljárás Modell alapú rekonstrukciós eljárások Tomoszintézis felvételi elrendezés MITS rekonstrukció Rekonstrukciós eljárások minősítése
3 Röntgen tomográfia alapjai Általánosított Beer-Lambert törvény: Emax I 0, 0 0 exp, x y I E E xdxde Emin Px0, y0 I E E 0 : röntgencsövet elhagyó energiájú sugárzás fluxusa (tehát ez a térfogatba belépő sugárzás intenzitása ) P x, y: röntgencsövet a detektor xy, koordinátájú pontjával összekötő szakasza a 3d térnek E, x : a vizsgált térfogat xkoordinátájú pontjának lineáris csillapítási együtthatója E energián Egyszerűsített Beer-Lambert törvény: (monokróm spektrum esete) 0 exp : I E x dx Px0, y0
4 Röntgen tomográfia alapjai Monokróm spektrumú sugárzás esete: Általánosan alkalmazott feltételezés Rekonstrukció célja a lin. csillapítási együtthatók meghatározása az alábbi összefüggés invertálásával: ln, I xy 0 Px I x dx 0, y0 Valódi röntgensugarak ezzel szemben: Polikromatikusak sugárkeményedés problémája Compton szóródnak: nem igaz, hogy csak a vetítősugár mentén elhelyezkedő képletek számítanak. Projekciók egyéb zajjal is terheltek : kis intenzitásnál rossz SNR
5 Röntgen alapú képalkotás Konvencionális P-A röntgen: Nincs rekonstrukció Számítógépes tomográfia (CT): Párhuzamos vetítősugarakon alapuló eljárások (kevés ilyen eszköz van csak forgalomban), cserébe egyszerű elmélet Legyező (Fan-beam) helikális CT Cone-beam CT, ennek speciális változata a Tomoszintézis Orvosi képdiagnosztika alapvető eszköze: Mivel a röntgen sugárzás ionizál, ezért protokollokkal szabályozott a vizsgálatok gyakorisága, és effektív dózisa
6 2D Radon transzformáció: Radon transzformáció (2D szelet 1D projekciók): Input: 2D Descartes - koordinátarendszerbeli kép Output: sinogram 2D polár-koordinátarendszerbeli kép Sinogram: t
7 Radon transzformáció Fourier vetítősík tétel Radon transzformáció (2D szelet 1D projekciók): Vetítősugarak merőlegesek az x tengellyel szöget bezáró egyenesre: t x cos y sin Vetítősugarak mentén integráljuk a szelet elemeit: P t f x, y x cos y sin t dxdy xy, Legyen exp 2 Fourier vetítősík tétel származtatása: x, y, t S FT P t P t j t dt S f x, y x cos y sin t exp 2 j t dtdydx, exp2 cos sin S f x y j x y dydx xy,
8 Fourier vetítősík tétel Lényegében f spektrumának egy szakaszát kaptuk meg: F cos, sin S Vizuális interpretáció:
9 Rekonstrukció FBP alapötlete Rekonstrukció célja: Radon Transzf. invertálása Fourier vetítősík tétel értelmében a vizsgált szelet spektrumainak bizonyos részeit ismerjük: Az ismert részeket illesszük egy üres spektrumba Polár koordinátás frekvencia sugarának függvényében a spektrum mintavételi helyeinek eltérő a távolsága: K 2 2 Korrekció: spektrumba illesztés előtt -val súlyozzunk frekvenciatérben (ez az ún. rámpaszűrés).
10 Szűrt visszavetítés (FBP) származtatása FT inverze:,, exp 2 f x y F u v j ux vy dvdu uv, Fourier vetítősík miatt a spektrumot polárkoordináta-rendszerben ismerjük: u cos ; v sin 2,, exp 2 cos sin f x y F j x y Jdd 0 0 u u J..., dudv Jdd v v Továbbiakban k : x cos y sin 2 f x, y F, exp j2 k d d 0 0
11 Szűrt visszavetítés (FBP) származtatása Vágjuk szét a külső integrált: 2 j 2 k j 2 k f x, y F, e dd F, e dd f, a sinogram egy oszlopa, melynek definíciójából (Radon transzf.) következik, hogy F, F,, hiszen:, exp 2 exp 2 F P t j t dt P t j t dt t t dt F, P lexp j2 l dl F, l t dl l Felhasználtuk, hogy k x cos y sin, illetve cos cos és sin sin
12 Szűrt visszavetítés (FBP) származtatása Behelyettesítve az két integrálba: j 2 k j 2 k,, e, e f x y F dd F dd f x, y F, exp j2k dd Q k d : Q k S exp j2 k dekvivalens a projekciók projekciók (sinogram oszlopai) rámpa szűrővel történő szűrésével f x, y Q x cos y sin d : az ú.n. visszavetítés
13 Szűrt visszavetítés értékelése Rámpaszűrő: 0, f N 0, fpn f Ideális rekonstrukció feltételei: 180 -ból rögzített projekciók 2arcsin f 2 fpn Projekciók felbontása elegendően nagy: f 2 f tipikus az 1cyc/mm PN Zajt az eljárás expliciten nem kezeli, ez jelentős problémaforrás. N képtérben
14 Szűrt visszavetítés implementációja Rámpaszűrés frekvenciatérben történik: 5 5-ös szűrő esetén már a frekvenciatartománybeli szűrés a gyorsabb (ennek főleg régebben volt jelentősége). Visszavetítés kép / időtartományban: Frekvenciatartományban interpolálnunk kellene a spektrum ismert egyeneseiből a DFT által mintavett frekvenciák értékét (mely messze nem triviális). Szűrések, projekciók visszavetítése egyenként (sugaranként) jól párhuzamosítható
15 Szűrt visszavetítés zajérzékenysége Detektorok NNPS-e a frekvencia függvényében monoton nő zajos magas frekvencia (PET esetén a röntgenes esetnél jóval rosszabb). Ráadásul magas frekvencián távolabb vannak a spektrum ismert értékei (ezért kell a rámpa szűrés is). Legegyszerűbb megoldás az alul-áteresztés: Az alul-áteresztés és a visszavetítés sorrendje tetszőleges Erőforrásigény miatt érdemes a rámpa szűrőt megszűrni: P h h P h h Ramp Lowpass Ramp Lowpass
16 Szűrt visszavetítés zajérzékenysége Rámpa szűrő módosítottjaival szűrünk: Szűrők átviteli függvényének abszolút értéke: CT MTF-je a szűrők függvényében:
17 Szűrt visszavetítés működése Demo videó az FBP rekonstrukciójáról: A szinogramban oszlop-folytonosan helyezkednek az 1D projekciók. A videón jól követhető a limitált szögtartomány által okozott artifakt: Magas frekvenciás komponensek (pl. fantom széle) kis szögtartományból is jól rekonstruálódik. Alacsony frekvenciás komponensek viszont erősen szétmosódottak (jellegzetesen V alakban).
18 FBP Fan-beam geometria esetén Eddig párhuzamosak voltak a vetítősugarak: Gyakorlatban egy ilyen CT nem realizálható Fan-beam vetítősugaras helikális CT:
19 Fan-beam projekciók Virtuális projekciók FBP Fan-beam geometria esetén Alapötlet: a mért intenzitások átcsoportosítása párhuzamos vetítősugár alapú geometria szerint: Lényegében új, párhuzamos vetítősugár szerinti virtuális projekciókat állítunk elő a fan-beam projekciókból. Átcsoportosítás
20 FBP Cone-beam geometria esetén CBCT rendszerek - Cone-Beam geometria: Flat-panel detektort használ, a sugarak kúpszerűen (innen az elnevezés) vetülnek a detektorra:
21 Cone-beam geometria szerinti vetületek FBP rekonstukciója - FDK Feldkamp, Davis, Kress CBCT-s algoritmusa: Fan-beam rekonstrukciók sorozatára vezet vissza Párhuzamos sugarakként kezeli a divergáló sugarakat Ideális rekonstrukció esetén is Cone-beam artifakt
22 Projekciók keletkezésének általános 3D modellje Általános modellje a (röntgen) képalkotásnak: g x, y h x, y;, f, d dd x, y,, 0 Mérésekkel rendelkezünk: g x, y Teoretikusan ismerjük a rendszer PSF-jét: Beer- Lambert törvény szerint, ami nem modellezi a Compton szóródást és a foto-elektronikus kölcsönhatás során keletkező sugarakat sem. Rekonstrukció célja f,, meghatározása Feltétel, hogy több projekciót ismerjünk, egyébként erősen alul-határozott a probléma (egy voxel csak egy fotodiódára vetül tehát csak egy mérés eredményét befolyásolja).
23 Projekciók keletkezésének általános 3D modellje Megfigyelési modell diszkretizáltja g H f η : g tartalmazza az összes vetítősugár fotodiódákon mért intenzitások negatív logaritmáltját (tehát minden projekció minden pixeléhez tartozó intenzitását tartalmazó vektor). H a vetítő mátrix,, : i-edik vetítősugár a j-edik voxelben milyen hosszú utat tesz meg (ritka mtx.). η H i j az additív zaj nem modellezett hatások determinálják Lényegében ez is inverz probléma: Ugyanúgy jelentős a zajérzékenység, mint 2D esetben Ellentétben nagyságrendekkel több változó (akár 1E7)
24 Algebrai rekonstrukciós technika (Gordon ART) Kaczmarz iterációval történik megoldása: Rekonstrukciónál a f H g megoldás lenne az ideális, de: Túl nagy H mérete a ma elérhető számítási teljesítményhez Ráadásul H nagyon ritka, melyet általános algebrai módszerek nem képesek hatékonyan kihasználni Eljárás alapötlete: g Hf lényegében N db (vetítősugarak száma), M dimenziós hipersík egyenlete Ha létezik egzakt inverz, akkor a hipersíkok az M dimenziós tér ugyanazon pontjában metszik egymást. Ha túlhatározott, akkor nincs metszéspont, ha alulhatározott akkor az M dimenziós teret egy résztartományra szűkítik. g H f
25 Algebrai rekonstrukciós technika (Gordon ART) Az eljárás k+1. iterációban merőlegesen vetíti az aktuális -et g H f hipersíkra ( ): f i k(mod N) f a -re merőleges azon síkon helyezkedik el, mely távolsága az origótól Tehát i i,: H i,: 1 g f f H H i i,: k k T i,: k g H f H T i i,: i,: H f k g,: H i i i,: Hi,: 1 2, a merőleges vetítés után teljesül, amiből kifejezve: T k k k i,: i,: i T f f H f g H T H, behelyettesítve: H i,: i,:
26 Algebrai rekonstrukciós technika (Gordon ART) k 1 k k i,: interpretációja: k k H f g a rögzített projekciók és az aktuális ( f ) rekonstrukció modell szerinti vetületének a különbsége (vetületi hiba) T T H H H : a vetületi hibát vetíti vissza Eljárás tulajdonságai: Sok, könnyen számolható iteráció, melyek nem párhuzamosíthatóak Konvergál, ha megfigyeléseink konzisztensek, ellentétben limit hurokba szorul, mely belsejében helyezkedik el az f H g. Hátránya, hogy nem kezeli a projekciók zaját, ezért túlilleszkedésre hajlamos (lényegében egy ML becslés Gauss eloszlású likelihood-dal) Szükség van egy f f H f g i,: i,: i,: H H i,: i T f 0 -ra: gyakran FBP / BP eredménye T H i,: i,:
27 Kaczmarz iteráció példa N=2, M=2 esete: Ha a két merőleges hipersík egymásra merőleges, akkor két iteráció alatt megvan a metszéspont Ha a hipersíkok párhuzamosak, akkor az iteráció nem áll le (limit hurokba kerül) Minél nagyobb a két egyenes által bezárt szög, annál gyorsabb a konvergencia.
28 Limit hurok viselkedés Gordon ART inkonzisztens projekciók esetén limit hurokba lép (mely megfelelő esetén stabil): Stabil limit hurkok viselkedés: a rendszer állapotváltozója hurok trajektóriába ragad
29 Algebrai rekonstrukciós technika Egyidejű ART (SART): (Simultaneous ART) Hibaképzés nem vetítősugaranként, hanem projekciónként: 1 f f g H f k k k S i js j j,: : i-edik projekció pixeleit előállító vetítősugarak halmaza Limit hurok viselkedés itt is jellemző: Hurok területe viszont jelentősen kisebb Jól párhuzamosítható: i Azonos projekcióhoz tartozó vetítősugarak menti levetítés és visszavetítés egymástól független Zajra túlilleszkedés tulajdonsága változatlanul megmaradt H H T j,: H j,: j,: T
30 Algebrai rekonstrukciós technika (Simultaneous Iterative Reconstructive Technique) Egyidejű Iteratív Rekonstrukciós eljárás: Összes projekció, összes pixele szerint egyszerre képez hibát: 1 f f g H f k k k j j,: Limit hurok viselkedés megmaradt: Viszont az SART-nél is kisebb hurokterülettel Jól párhuzamosítható, de: j Egyszerre csak egy projekció le / visszavetítése nem módosítja többször u.a. voxelt (egyébként versenyhelyzet). Gyakorlatban lényegesen lassabban konvergál a másik két ART-nél) Létezik olyan változat, mely kezeli a polikróm energia spektrum miatt kialakuló sugárkeményedés artifaktumot. H H T j,: H j,: j,: T
31 Algebrai rekonstrukciós technika (Multiplikatív ART) Eddig Additív ART-ket néztünk: Kezdeti iterációk során lassan konvergálnak Pozitivitási kényszert nem lehet kikényszeríteni Multiplikatív ART-k: Hibát multiplikatív módon származtatják k1 k j pl.: f f 1 1, A hibát 1g H f j j,: H k g j,: értéke méri Kezdeti iterációk hatékonyabbak, de gyakran divergál f k 0
32 Pozitron emissziós tomográfia alapelve Szervezetbe pozitron kibocsátására képes radioaktív izotópot tartalmazó anyagot visznek cukoroldatban. Sejtek tápanyagfelvétele miatt nagyobb energiaigényű (pl. gyulladt / daganatos) sejtek helyén több pozitron emisszió. Pozitron elektronnal ütközik: Két db, egymással ellentétes irányú foton emittálódik. Detektor ezeknek a beütését méri.
33 Pozitron emissziós tomográfia rekonstrukciója Line of Response : ugyanazon bomló izotóp által kibocsátott γ fotonok beütési helyét összekötő szakasz Érdemes szem előtt tartani, hogy előre nem határozható meg, hogy egy-egy foton milyen irányba fog haladni Elegendően sok kisugárzás esetén viszont hasonlóan viselkedik, mint akármilyen sugárforrás (Poisson folyamat).
34 Pozitron emissziós tomográfia projekciók zajának értelmezése Sokszor téves LOR-t mérünk: Compton szóródás miatt a térfogaton belül megváltoztatja irányát a γ foton. Két, hozzávetőlegesen egy időben történő bomlás is fals látszólagos LOR-t eredményez.
35 Pozitron emissziós tomográfia rekonstrukciója Rekonstrukció során a LOR-ok interpretálhatóak vetítősugaraknak is (intenzitás meg az adott LOR menti gyakorisága a γ beütéseknek). Elegendően sok beütés szükséges az eloszlás becsléséhez: Egy scan kb. 20 perc Nagyságrenddel rosszabb SNR, mint CT esetén
36 ML-EM rekonstrukció (Emissziós tomográfiai értelmezés) EM eljárások alapelve: Vannak megfigyelt adataink (méréseink), esetünkben a PET LOR-ok mentén érzékelt gamma beütési szám ( yd) Vannak becsülni kívánt adataink ( xb), jelenleg ez a vizsgált szövet pozitron emissziójának a gyakorisága Létezik olyan v.v., mely ha ismert lenne leegyszerűsödne az egész feladat: a PET esetén pb d : annak a valószínűsége, hogy a d LOR mentén beütő gamma részecskét a b képlet emittálta. Megoldás iteratív, iterációnként két lépés: pb d Expectation lépés: frissítése Maximization lépés: xb ML becslése
37 ML-EM rekonstrukció (Emissziós tomográfiai értelmezés) E lépés formálisan - Bayes tétel alkalmazása: p k 1 b d b ' k k ' ' p d b x b p d b x b p b d : annak a valószínűsége, hogy a d LOR mentén érzékelt fotonok a b pozíciójú képletből származnak. p d b : annak a valószínűsége, hogy a b pozíciójú képlet által emittált fotonok a d LOR mentén ütnek be a detektorba. Ennek a tagnak a meghatározása előzetesen történik (nem a becslés feladata). Általában Monte-Carlo szimulációkkal becslik, pontos meghatározása fontos.
38 ML-EM rekonstrukció (Emissziós tomográfiai értelmezés) M lépés célja a sűrűségbecslés frissítése: k1 k1 arg max d x b p y x b x k 1 Elvégezve p b d behelyettesítését: k1 x b x b b ' k 1 y d p b d Eljárás előnye, hogy expliciten modellezi a zajt d p d b p d b 1 k ' ' p d b y d k d x b p d b d
39 ML-EM rekonstrukció (Emissziós tomográfiai értelmezés) Módosító összefüggés interpretációja: k1 x b x b b ' p d b 1 k ' ' p d b y d k d x b p d b k x b' p d b ' : aktuális rekonstrukció alapján becsült b ' LOR beütések k y d x b ' p d b ' : d LOR menti beütések b ' becslésének a hibája y d p d b 1 : hiba visszavetítése k d x b ' p d b ' p d b b ' d d
40 ML-EM és FBP öszehasonlítása (Emissziós tomográfia PET) Kis beütésszám miatt alacsony effektív felbontás Ráadásul jelentős nem Gauss-i zaj FBP rekonstrukció ML-EM rekonstrukció
41 PET/CT modalitás PET funkcionális képet állít elő: Lokalizálhatóak a nagy energiaigényű szövetek Cserébe erősen zajos, rossz minőségű rekonstrukciók Megfelelő zajmodell nélkül lehetetlen értelmezhető rekonstrukciót előállítatni vele CT rekonstrukciók - morfológiai információ: Kisméretű (korai stádiumú, ezért jó hatásfokkal kezelhető) tumorok nehezen detektálhatóak Cserébe kevésbé zajos, felbontását tekintve részletgazdagabb felvételek
42 PET/CT modalitás Rekonstrukció lényegében a PET, illetve a CT rekonstrukciók regisztrálását jelenti Balról jobbra: CT, PET, regisztrátum
43 Modell alapú rekonstrukciós eljárások (Röntgen alapú képalkotás) Cél a pácienst érő sugárterhelés minimalizálása: Viszont kisebb dózis zajosabb projekciókat eredményez Limitált szögtartomány problémája jelentősen alulhatározottá teszi a z inverz problémát ( g H f ) MAP becslés alkalmazása szükséges: Emlékeztetőül f g g f f f arg max P arg max P P Likelihood log P g f f bünteti az eltérést f log P f f apriori ismeretek alapján regularizál Prior f
44 Modell alapú rekonstrukciós eljárások (Röntgen alapú képalkotás) Likelihood tag megválasztása: PET-nél Poisson modellt alkalmazzuk (ritka esemény törvény) Röntgen esetén negatív logaritmálást követően Gauss modell Likelihood T -1 f 12 g H f Σ g H f 2 Σ Σ i, i i gyakran diagonális, ekkor : Lényegében az i-edik vetítősugár NSR-jének a négyzete Megfelelő megválasztásával a foton éhezés hatása mérsékelhető Kvadratikus függvény, minimalizációja analitikus
45 Modell alapú rekonstrukciós eljárások (Röntgen alapú képalkotás) Regularizációs tag megválasztása: Logikusnak tűnik a gradiens energiáját büntetni: T T f f S f, S D D, ahol D a deriválás mtx.-ja Prior Belátható, hogy ekvivalens egy regularizáció nélküli rekonstrukció alul-áteresztettjével. Tehát ez a regularizáció csökkenti az effektív felbontást, a rekonstruált szeletekre merőleges irányban növeli az átmosódást, ami egyáltalán nem kívánatos. Inkább él őrző regularizációk alkalmazása javallott pl. Teljes Variancia minimalizáció, Huber büntetőfüggvény
46 Teljes variancia minimalizáció Rekonstrukció, mint optimalizálási feladat: f arg min g H f D f f D diszkrét differencia / wavelet transzformációk mátrxia Lényegi változás, hogy a regularizáció L1 norma szerinti Könnyebben számítható f, z g H f z z Df változókkal: Alternálva minimalizáljuk -et és z-t iterációnként: z Df f n1 n 2 n f arg min f, z arg min g H f z Df f f 2 2 z arg min f, z arg min z z Df n 1 n 1 n 1 z z
47 Teljes variancia minimalizáció Az iterációk első lépése kicsit átalakítva: min. f T n T T T T g z H D f Formálisan visszajutottunk az alapproblémához, csak most már biztosan túl-határozott (additív ART probléma) Minimalizálása erőforrásigény miatt sokszor SART-vel Iterációk második lépésének optimuma egy lépésben, analitikusan meghatározható: arg min z z Df Az úgynevezett lágy küszöb operátor használatával A minimalizálás voxelenként történik z T 2 2 n
48 Teljes variancia minimalizáció Jobb SNR az ML-EM és az FBP-hez képest: FBP-nél kevésbé zajos, de hasonló kontrasztú kép ML-EM-nél jelentősen jobb kontraszt FBP ML-EM TV-ART
49 Huber büntetőfüggvény Huber büntetőfüggvénnyel regularizálunk: Prior f LHuber D f x L Huber 2 x 2 x x 2 x 2 2 Pet fantom MAP L2 prior MAP Huber prior
50 Kvadratikus és abszolútérték hiba/büntetőfüggvény Két hibafüggvény jelentősen eltérő eloszlást kényszerít ki: Abszolútérték büntetőfüggvény Kvadratikus büntetőfüggvény
51 Lineáris tomoszintézis Speciális CBCT változatnak tekinthető: Detektor és a sugárforrás egymással és a flat-panel detektor oszlopaival párhuzamosan mozog. Projekciók limitált szögtartományból (±10-30 ) Irányfüggő felbontás / képminőség: Detektorral párhuzamos szeletek felbontása megegyezik a detektor felbontásával Detektorra merőleges irányban nagyon rossz felbontás : limitált szögtartomány ára
52 Shift And Add (Lineáris tomoszintézis esetén) A térfogat 0 vastagságú szeleteinek vetületei a felvételi geometria és a szelet magasságának függvényében eltolódnak. SAA rekonstrukciója egy adott szeletnek: 1. Projekciók eltolása úgy, hogy a rekonstruálni kívánt sík vetülete minden projekción azonos legyen 2. Eltolt projekciók összegzése Mind az összegzés, mind az eltolás LTI művelet: Soros kaszkádjuk, tehát a rekonstrukció egy MIMO LTI rendszer (bemenetek a projekciók, kimenetek a szeletek) Létezik PSF/MTF-je, mellyel analitikusan minősíthető
53 Shift And Add (Lineáris tomoszintézis esetén) SAA szeleteken fókuszba kerülnek a rekonstruálni kívánt sík képleteinek vetületei De jelentős átmosódás marad a térfogat többi síkjáról Piros ellipszis: szelten belüli képlet vetülete Kék ellipszis: szeleten kívüli képletek bemosódása
54 Mátrix Inverziós Tomoszintézis Alapötletet ugyanaz a megfigyelés adja, mint ami az SAA algoritmusét: g 1 :, i n :,i 11, :,i 1, 2 :,i 1,n f t f t f t n :,i :,i 2, 1 :,i 2, 2 :,i 2,n g f t f t f t n... m 1 2 t f f t :,i :,i m, 1 :,i m, 2 :,i m,n g f t g j :,i j-edik projekció i-edik oszlopának intenzitásaiból képzett vektor
55 Mátrix Inverziós Tomoszintézis Alapötletet ugyanaz a megfigyelés adja, mint ami az SAA algoritmusét: 1 n 1 2 f... :,i :,i 11, :,i 1, 2 :,i 1,n g t f t f t g n f t f t f t :,i :,i 2, 1 :,i 2, 2 :,i 2,n 1 n... 2 m 1 2 :,i :,i m, :,i m, :,i m,n g f t f t f t f j :,i j-edik modellezett és rekonstruálni kívánt 0 vastagságú szelet projekciójának i-edik oszlopának intenzitásaiból képzett vektor
56 Mátrix Inverziós Tomoszintézis Alapötletet ugyanaz a megfigyelés adja, mint ami az SAA algoritmusét: 11 n t... :,i :,i, :,i 1, 2 :,i 1,n g f f t f t n :,i :,i 2, 1 :,i 2, 2 :,i 2,n g f t f t f t 1 2 n... m :,i :,i m, 1 :,i m, 2 :,i m,n g f t f t f t t j,i i-edik rekonstruálandó szelet vetületének j-edik projekcióbeli impulzusválaszát leíró vektor, mivel csak eltolást modellez, ezért egy dirac-delta diszkretizáltja.
57 Mátrix Inverziós Tomoszintézis Jelentősen egyszerűsödik a feladat, ha a vektor egyenletrendszert frekvenciatérben vizsgáljuk: g T f j j 1 2 j j f T g m :, :, :, T 1 2 n :, :, :, g j FT g j FT g FT j g j f j FT f j FT f FT j f j T FT t j,i Összegezve a MITS alapötlete, hogy lineáris tomo esetén a frekvenciatérbeli felírás jelentősen kompaktabb az inverz probléma képtérbeli felírásánál. T
58 Mátrix Inverziós Tomoszintézis gyakorlati megvalósítása Diszkretizálás és a DFT okozta problémák: Mintavételezés: ti, j mintavételezése az egész rendszer viselkedését jelentősen befolyásolja: Energiája nem változhat a mintavételezés hatására, ellentétben jelentősen torzítunk Figyelembe véve a frekvenciatérbeli műveletvégzést, a mintavételezés frekvenciatartományban történik (ideális - sinc interpolációval ekvivalens képtérben). DFT által okozott spektrumszivárgás is jelentős probléma: Klasszikus megoldás, az ablakozás natívan nem adekvát.
59 Mátrix Inverziós Tomoszintézis spektrumszivárgás Felvételi elrendezés miatt oszloponként történik az inverz szűrés, elegendő a függőleges cirkularitás: Az projekciók extrapolációja nem úszható meg, ellenkező esetben a csavarodás artefekt történik. Extrapoláció szükséges mértéke t tartóinak a maximuma, j,i ezzel elérhető, hogy csak extrapolált terület csavarodhat be. Probléma projekciók extrapolálásával kezelhető: Extrapoláció olyan képterülettel terjeszti ki a projekciókat, mely a legsimább átmenetet és cirkuláris projekciót generál.
60 Mátrix Inverziós Tomoszintézis spektrumszivárgás Extrapoláció nélkül Extrapoláció alkalmazásával
61 Mátrix Inverziós Tomoszintézis Dekonvolúció numerikus problémái T zajérzékenysége jelentős problémaforrás cond T max min Kondíciós szám származtatása: T e T b T e e cond T max, 1 eb e b T b b Legyen T U Σ V SVD felbontás, ekkor T V Σ U Mivel U és V oszlopvektorai ortonormált bázisok, ezért 1 max T e e és 1 min T b b max e 2 2 b 2 2 min Zajcsökkentő regularizáció célja cond T minimalizálása
62 Mátrix Inverziós Tomoszintézis Dekonvolúció zajérzékenysége T előállítása csonkolt SVD-vel: 1 i i T V Σ U, ahol Σ ii, 0 i Kísértetiesen hasonlít a csonkolt dekonvolúcióra: Joggal, a különbség annyi, hogy ott a DFT mátrixával diagonalizálunk, míg SVD esetén a bal, illetve jobboldali sajátérték mtx.-okkal diagonalizálunk T regularizált Moore- Penrose pszeudoinverze a Wiener dekonvolúció általánosítottja
63 Mátrix Inverziós Tomoszintézis Kondíció lineáris tomoszintézis esetén Korlátolt szögtartomány miatt alacsony frekvencia esetén a projekciókon kisebb a változás, aminek következménye a nagyobb zajérzékenység.
64 Mátrix inverziós tomoszintézis Csonkolt SVD hatása Jól látható, hogy a magasfrekvenciás tartomány zaja dominál a direkt dekonvolúciónál, míg a Csonkolt SVD jelentősen javít a helyzeten.
65 3D Röntgen tomográfia rekonstrukciós eljárásainak minősítése Rekonstrukció metrikái: Szeleten belüli effektív felbontása (emlékeztetőül ) Irányfüggő átviteli függvény közelíthető az élpár fantom / él fantom rekonstrukciójából. Szeletek effektív vastagsága: Mind CT, mind Tomo esetén a rekonstruált szeletekre merőleges irány menti kiterjedése a szeleteknek. Felhasználási területfüggő optimális értéke. Minél kisebb, annál több szelet kell, hogy minden képlet láthatóvá váljon (legalább egy szeleten). Mérése tipikusan ferde fémlemezzel / fémhuzallal. bw h
66 CT Szeletvastagság Slice Sensitivity Profile mérése a lemezek rekonstrukciójára merőlegesen: szeletvastagság FWHM elvvel becsülhető
67 3D Röntgen tomográfia rekonstrukció Modulációs Átviteli Függvénye Ferde huzal fantommal (elvben) mérhető: Ha az eljárás az X-Y síkokat rekonstruálja, akkor a huzal ne legyen párhuzamos a Z tengellyel. Lineáris tomo MITS rekonstrukció MTF-e
Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz
Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz Pozitron emissziós tomográfia alapelve Szervezetbe pozitron kibocsátására képes radioaktív izotópot tartalmazó anyagot visznek cukoroldatban. Sejtek
RészletesebbenRekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz
Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz Előadások témája Röntgen tomográfia fizikai és matematikai alapjai 2D Radon transzformáció, szűrt visszavetítés: Fan beam / Cone beam felvételi
RészletesebbenRekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz
Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz Élet a konvex optimalizáción túl CT-s szimuláció, 10 projekcióból (ΔΘ=18 ): Konvex: L2-TV Valóban ritkasági priorral Lineáris tomoszintézis Speciális
RészletesebbenRekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika előadás 2016 ősz
Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika 14.-15. előadás 2016 ősz Előadások témája Röntgen tomográfia fizikai és matematikai alapjai 2D Radon transzformáció, szűrt visszavetítés: Fan beam / Cone
RészletesebbenRekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2018 ősz
Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika 2018 ősz Előadások témája Röntgen tomográfia fizikai és matematikai alapjai 2D Radon transzformáció, szűrt visszavetítés: Fan beam / Cone beam felvételi
RészletesebbenKéprekonstrukció 3. előadás
Képrekonstrukció 3. előadás Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Szegedi Tudományegyetem Computed Tomography (CT) Elv: Röntgen-sugarak áthatolása 3D objektum 3D térfogati kép Mérések
RészletesebbenFourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea ősz
Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea. 2017 ősz 6. Előadás tartalma Spektrumszivárgás Képfeldolgozás frekvencia tartományban: 2D Spektrum gépi ábrázolása Szűrések frekvenciatartományban
Részletesebben7. Előadás tartalma. Lineáris szűrők: Inverz probléma dekonvolúció: Klasszikus szűrők súly és átviteli függvénye Gibbs jelenség
7. Előadás tartalma Lineáris szűrők: Klasszikus szűrők súly és átviteli üggvénye Gibbs jelenség Inverz probléma dekonvolúció: Inverz probléma ormális elírása Dekonvolúció nehézsége Közismert algoritmusok:
RészletesebbenFourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea ősz
Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea. 2017 ősz 5. Előadás témái Fourier transzformációk és kapcsolataik: FS, FT, DTFT, DFT, DFS Mintavételezés, interpoláció Folytonos
RészletesebbenKéprekonstrukció 4. előadás
Képrekonstrukció 4. előadás Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Szegedi Tudományegyetem Vetület-szelet tétel szemléletesen A θ szögű vetület 1D FT-ja az eredeti kép 2D FT-jának
RészletesebbenKépalkotás modellezése, metrikái. Orvosi képdiagnosztika 6. ea ősz
Képalkotás modellezése, metrikái Orvosi képdiagnosztika 6. ea. 2015 ősz Jelölésjegyzék Rendszer válasza f gerjesztésre: Dirac-delta: x ; egységugrás: 0 idejű Dirac-delta gerjesztése a rendszer válasza:
RészletesebbenPET gyakorlati problémák. PET rekonstrukció
CT Computed Tomography 3D képalkotó eljárások Csébfalvi Balázs E-mail: cseb@iit.bme.hu Irányítástechnika és Informatika Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2 / 26 CT Történeti áttekintés
RészletesebbenFourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 6-8. ea ősz
Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 6-8. ea. 2016 ősz 6. előadás tartalma Fourier transzformációk és kapcsolataik: FS, FT, DTFT, DFT, DFS Mintavételezés, interpoláció Spektrumszivárgás
RészletesebbenKépalkotás modellezése, metrikái. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz
Képalkotás modellezése, metrikái Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz Jelölésjegyzék Rendszer válasza f gerjesztésre: Dirac-delta: x ; egységugrás: 0 idejű Dirac-delta gerjesztése a rendszer válasza: h x x
RészletesebbenFourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 7-8. ea ősz
Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 7-8. ea. 2015 ősz 7. előadás tartalma Fourier transzformációk és kapcsolataik: FS, FT, DTFT, DFT, DFS Mintavételezés, interpoláció Frekvenciaszivárgás
RészletesebbenJelfeldolgozás bevezető. Témalaboratórium
Jelfeldolgozás bevezető Témalaboratórium Tartalom Jelfeldolgozás alapjai Lineáris rendszerelmélet Fourier transzformációk és kapcsolataik Spektrális képek értelmezése Képfeldolgozás alapjai Néhány nevezetesebb
RészletesebbenACM Snake. Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele
ACM Snake Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele ACM Snake (ismétlés) A szegmentáló kontúr egy paraméteres görbe: x Zs s X s, Y s,, s A szegmentáció energia funkcionál minimalizálása: E x Eint x
RészletesebbenHadházi Dániel.
Hadházi Dániel hadhazi@mit.bme.hu Orvosi képdiagnosztika: Szerepe napjaink orvoslásában Képszegmentálás orvosi kontextusban Elvárások az adekvát szegmentálásokkal szemben Verifikáció és validáció lehetséges
RészletesebbenNem roncsoló tesztelés diszkrét tomográfiával
Nem roncsoló tesztelés diszkrét tomográfiával Dr. Balázs Péter, adjunktus Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék SZTE TTIK, Informatikai Tanszékcsoport A teszteléshez használt CT berendezés lapdetektor
RészletesebbenKépalkotó diagnosztikai eljárások:
Képalkotó diagnosztikai eljárások: Soroljon fel néhány orvosi képalkotáson alapuló diagnosztikai eljárást, mely o Transzmissziós o Indukciós o Emissziós alkalmazásán alapul. Mire szolgálnak az egyes diagnosztikai
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenDekonvolúció a mikroszkópiában. Barna László MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Nikon-KOKI képalkotó Központ
Dekonvolúció a mikroszkópiában Barna László MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Nikon-KOKI képalkotó Központ 2015 Fourier-Sorok Minden 2π szerint periodikus függvény előállítható f x ~ a 0 2 + (a
RészletesebbenKépalkotó diagnosztikai eljárások
Képalkotó diagnosztikai eljárások Soroljon fel néhány orvosi képalkotáson alapuló diagnosztikai eljárást, mely o transzmissziós o reflexiós o emissziós elv alkalmazásán alapul. Mire szolgálnak az egyes
RészletesebbenLeast Squares becslés
Least Squares becslés A négyzetes hibafüggvény: i d i ( ) φx i A négyzetes hibafüggvény mellett a minimumot biztosító megoldás W=( d LS becslés A gradiens számítása és nullává tétele eredményeképp A megoldás
RészletesebbenKépalkotó diagnosztikai eljárások:
Képalkotó diagnosztikai eljárások: Soroljon fel néhány orvosi képalkotáson alapuló diagnosztikai eljárást, mely o Transzmissziós o Indukciós o Emissziós elv alkalmazásán alapul. Mire szolgálnak az egyes
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenDiszkréten mintavételezett függvények
Diszkréten mintavételezett függvények A függvény (jel) értéke csak rögzített pontokban ismert, de köztes pontokban is meg akarjuk becsülni időben mintavételezett jel pixelekből álló műholdkép rácson futtatott
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenPontműveletek. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar február 20.
Pontműveletek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2012. február 20. Sergyán (OE NIK) Pontműveletek 2012. február 20. 1 / 40 Felhasznált irodalom
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenA röntgendiagnosztika alapjai
A fotonenergia növelésével csökken az elnyelődés. A röntgendiagnosztika alapjai A csökkenés markánsabb a fotoeffektusra nézve. Kis fotonenergiáknál τ m dominál. τ m markánsan változik az abszorbens rendszámával.
RészletesebbenAdatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán
Adatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán MTA KFKI Részecske és Magfizikai Intézet, Biofizikai osztály Az egy adatsorra (idősorra) is alkalmazható módszerek Példa: Az epileptikus
RészletesebbenWavelet transzformáció
1 Wavelet transzformáció Más felbontás: Walsh, Haar, wavelet alapok! Eddig: amplitúdó vagy frekvencia leírás: Pl. egy rövid, Dirac-delta jellegű impulzus Fourier-transzformált: nagyon sok, kb. ugyanolyan
RészletesebbenFolyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv
Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc I. Mérés vezet je: Horváth Ákos Mérés dátuma: 2010. október 21. Leadás dátuma: 2010. november 8. 1 1. Bevezetés A mérés
RészletesebbenAlkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenAbszolút és relatív aktivitás mérése
Korszerű vizsgálati módszerek labor 8. mérés Abszolút és relatív aktivitás mérése Mérést végezte: Ugi Dávid B4VBAA Szak: Fizika Mérésvezető: Lökös Sándor Mérőtársak: Musza Alexandra Török Mátyás Mérés
RészletesebbenCompton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III.
Compton-effektus jegyzıkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetıje: Csanád Máté Mérés dátuma: 010. április. Leadás dátuma: 010. május 5. Mérés célja A kvantumelmélet egyik bizonyítékának a Compton-effektusnak
RészletesebbenJelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék
Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz
Ellenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz 1. Hogyan lehet osztályozni a jeleket időfüggvényük időtartama szerint? 2. Mi a periodikus jelek definiciója? (szöveg, képlet, 3. Milyen
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenKéprestauráció Képhelyreállítás
Képrestauráció Képhelyreállítás Képrestauráció - A képrestauráció az a folyamat mellyel a sérült képből eltávolítjuk a degradációt, eredményképpen pedig az eredetihez minél közelebbi képet szeretnénk kapni
RészletesebbenLine aris f uggv enyilleszt es m arcius 19.
Lineáris függvényillesztés 2018. március 19. Illesztett paraméterek hibája Eddig azt néztük, hogy a mérési hiba hogyan propagál az illesztett paraméterekbe, ha van egy konkrét függvényünk. a hibaterjedés
RészletesebbenGeofizikai kutatómódszerek I.
Geofizikai kutatómódszerek I. A gravitációs és mágneses kutatómódszer Dr. Szabó Norbert Péter egyetemi docens Miskolci Egyetem Geofizikai Intézeti Tanszék e-mail: norbert.szabo.phd@gmail.com 1. A gravitációs
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA röntgendiagnosztika alapjai
A röngtgendiagnosztika alapja: a sugárzás elnyelődése A röntgendiagnosztika alapjai A foton kölcsönhatásának lehetőségei: Compton-szórás Comptonszórás elnyelődés fotoeffektusban fotoeffektus nincs kölcsönhatás
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenADAT- ÉS INFORMÁCIÓFELDOLGOZÁS
ADAT- ÉS INFORMÁCIÓFELDOLGOZÁS Földtudományi mérnöki MSc mesterszak 2018/19 I. félév TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ Miskolci Egyetem Műszaki Földtudományi Kar Geofizikai és Térinformatikai Intézet A tantárgy
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenMérési hibák 2006.10.04. 1
Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség
RészletesebbenLineáris regressziós modellek 1
Lineáris regressziós modellek 1 Ispány Márton és Jeszenszky Péter 2016. szeptember 19. 1 Az ábrák C.M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning c. könyvéből származnak. Tartalom Bevezető példák
Részletesebben12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenAbszorpciós spektroszkópia
Tartalomjegyzék Abszorpciós spektroszkópia (Nyitrai Miklós; 2011 február 1.) Dolgozat: május 3. 18:00-20:00. Egész éves anyag. Korábbi dolgozatok nem számítanak bele. Felmentés 80% felett. A fény; Elektromágneses
RészletesebbenProblémás regressziók
Universitas Eotvos Nominata 74 203-4 - II Problémás regressziók A közönséges (OLS) és a súlyozott (WLS) legkisebb négyzetes lineáris regresszió egy p- változós lineáris egyenletrendszer megoldása. Az egyenletrendszer
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenRöntgensugárzás az orvostudományban. Röntgen kép és Komputer tomográf (CT)
Röntgensugárzás az orvostudományban Röntgen kép és Komputer tomográf (CT) Orbán József, Biofizikai Intézet, 2008 Hand mit Ringen: print of Wilhelm Röntgen's first "medical" x-ray, of his wife's hand, taken
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenRöntgensugárzás. Röntgensugárzás
Röntgensugárzás 2012.11.21. Röntgensugárzás Elektromágneses sugárzás (f=10 16 10 19 Hz, E=120eV 120keV (1.9*10-17 10-14 J), λ
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenRöntgendiagnosztikai alapok
Röntgendiagnosztikai alapok Dr. Voszka István A röntgensugárzás keltésének alternatív lehetőségei (röntgensugárzás keletkezik nagy sebességű, töltéssel rendelkező részecskék lefékeződésekor) Röntgencső:
RészletesebbenÉldetektálás, szegmentálás (folytatás) Orvosi képdiagnosztika 11_2 ea
Éldetektálás, szegmentálás (folytatás) Orvosi képdiagnosztika 11_2 ea Geometrikus deformálható modellek Görbe evolúció Level set módszer A görbe evolúció parametrizálástól független mindössze geometriai
RészletesebbenKépszegmentáló eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2018 ősz
Képszegmentáló eljárások Orvosi képdiagnosztika 2018 ősz Képszegmentálás Anatómiai részek elkülönítés: pl. csontok, szív, erek, szürkefehér állomány, stb Vizsgálandó terület körbehatárolása: pl. tüdőterület
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenSzcintillációs gamma spektrumok gyors és hatékony kiértékelésére alkalmazható numerikus módszerek továbbfejlesztése
ZRÍNYI MIKLÓS NEMZETVÉDELMI EGYETEM BOLYAI JÁNOS KATONAI MŰSZAKI KAR KATONAI MŰSZAKI DOKTORI ISKOLA Hanka László Szcintillációs gamma spektrumok gyors és hatékony kiértékelésére alkalmazható numerikus
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenAlkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Lineáris leképezések
RészletesebbenDigitális képek szegmentálása. 5. Textúra. Kató Zoltán.
Digitális képek szegmentálása 5. Textúra Kató Zoltán http://www.cab.u-szeged.hu/~kato/segmentation/ Textúra fogalma Sklansky: Egy képen egy területnek állandó textúrája van ha a lokális statisztikák vagy
RészletesebbenAz Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenAz Orvosi Fizika Szigorlat menete a 2012/2. tanévtől
Az Orvosi Fizika Szigorlat menete a 2012/2. tanévtől 1. A szigorlat menete A szigorlatot a Fizikus MSc orvosi fizika szakirányos hallgatók a második vagy harmadik szemeszterük folyamán tehetik le. A szigorlat
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenTárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL
3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.
Részletesebbenazonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i
A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenA diplomaterv keretében megvalósítandó feladatok összefoglalása
A diplomaterv keretében megvalósítandó feladatok összefoglalása Diplomaterv céljai: 1 Sclieren résoptikai módszer numerikus szimulációk validálására való felhasználhatóságának vizsgálata 2 Lamináris előkevert
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenA kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről
A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről Utolsó módosítás: 2016. május 4. 1 Előzmények Franck-Hertz-kísérlet (1) A Franck-Hertz-kísérlet vázlatos elrendezése: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/frhz.html
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Részletesebben