Dr. habil JANKÓ LÁSZLÓ VASBETON SZILÁRDSÁGTAN az EUROCODE 2 szerint (magasépítés) Az EC és az MSZ összehasonlítása is TANKÖNYV II. A SZÖVEGES RÉSZ N Ed M Edo (alapérték, elsőrendű elmélet) Mekkora az N Rd határerő? l = l col A helyettesítő rugalmas kihajlási hossz: l o. befogás hajlításra BUDAPEST 2010 96
T A R T A L O M FIGYELEM! A könyv elején van az összes ábra. TARTALOM 98 1. FEJEZET: A VASBETONRÓL ÁLTALÁBAN 100 1.1. DEFINÍCIÓ 100 1.2. RÖVID TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS 100 1.3. A VASBETON ELŐNYEI ÉS HÁTRÁNYAI 102 1.4. A VASBETON ÉPÍTŐANYAGAI. ANYAGMODELLEK 103 1.5. A BETON ÉS AZ ACÉLBETÉT EGYÜTTDOLGOZÁSA. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTOK. KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK 105 1.6. VASALTSÁGI SZINTEK(normálisan vasalt, gyengén vasalt, alulvasalt, túlvasalt) 106 1.7. A BIZTONSÁGRÓL. MÉRETEZÉSI ELVEK(röviden) 108 2. FEJEZET: EUROCODE(EC) ALAPISMERETEK 110 2.1. Ellenőrzési/méretezési elvek. A biztonság szintje. Határállapotok. Hatáskombinációk 110 2.2. Terhelő hatások 112 2.3. Anyagjellemzők(beton, betonacél, feszítőacél) 112 2.4. Vegyes adatok/segédletek 112 97
3. FEJEZET: TEHERBÍRÁSI HATÁRÁLLAPOTOK 113 3.1. HAJLÍTÁS(tiszta) 113 3.1.1. ELLENŐRZÉS 114 3.1.2. MÉRETEZÉS 114 3.2. NYÍRÁS(tiszta) 115 3.3. CSAVARÁS(tiszta csavarás és csavarás+nyírás) 117 3.4. KÜLPONTOS NYOMÁS(ÉS KÖZPONTOS NYOMÁS) 120 4. FEJEZET: HASZNÁLHATÓSÁGI HATÁRÁLLAPOTOK 124 4.1. REPEDÉSKORLÁTOZÁS 124 4.2. FESZÜLTSÉGKORLÁTOZÁS 126 4.3. AZ ALAKVÁLTOZÁSOK KORLÁTOZÁSA(lehajlás) 128 FÜGGELÉK 129 SZÁMPÉLDÁK 157 Az utolsó oldal: a 200. oldal. 98
1. FEJEZET: A VASBETONRÓL ÁLTALÁBAN 1.1. DEFINÍCIÓ A vasbeton betonból és a betonba ágyazott acélbetétekből álló olyan építőanyag, amelyben az említett két alkotóelem együttdolgozik(1.5. pont). Ez az építőanyag nem homogén (homogén = egynemű, egyféle, egyforma tulajdonságokkal rendelkező; görög), mint pl. az acél, hanem heterogén ( heterogén = másfajta, másnemű, különböző részekből álló, külön-, más-; görög), vagy más szóval inhomogén anyag. L. még az 1.4. pontot. Már az egyik alkotóeleme a beton, önmagában sem homogén, hiszen pl. a beton nyomószilárdsága lényegesen nagyobb, mint a húzószilárdsága. Ebből következően betonból nem készíthetők (vagy csak igen előnytelen módon készíthetők) húzott vagy hajlított szerkezeti elemek. Viszont, ha a betonba acélbetéteket helyezünk, akkor a kapott új anyag, a vasbeton, húzófeszültségek felvételére is alkalmas lesz. A vasbetonban a nyomófeszültségeket a beton hordja, míg a húzófeszültségeket az acélbetétek veszik fel. A két anyag együttdolgozása azért is lehetséges, mert a beton és az acél hőtágulási együtthatója csaknem megegyezik egymással. A tökéletes együttdolgozást(1.5. pont) az acélbetétek felületének rovátkolása, érdesítése bordák kialakításával biztosítja. A beton és az acél tulajdonságainak a kihasználásával új, kedvező teherviselő tulajdonságú/képességű építőanyaghoz jutottunk. A vasbeton tulajdonképpen mesterségesen előállított kő. A vasbeton anyagairól részletesebben az 1.4. pontban írunk. 1.2. RÖVID TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS A mechanika, a statika és a szilárdságtan fejlődésére meghatározó hatású néhány természettudós a kései reneszánszon és az újkoron át a legújabb korig: Leon Battista Alberti (1404-1472), Leonardo da Vinci (1452-1519), Galileo Galilei (1564-1642), Robert Hooke (1635-1703), Isaac Newton (1643-1727), Johann Bernoulli (1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783), Charles Coulomb (1736-1806), Louis Navier (1785-1836), Barré de Saint- Venant (1797-1886), Benoit P. Clapeyron (1799-1864), George Airy (1801-1892), Enrico Betti (1813-1892), Carl Culmann (1821-1881), Gustav Kirchhoff (1824-1887), James Maxwell (1831-1879), Heinrich Gerber (1832-1912), Otto Mohr (1835-1918), Carlo Castigliano (1847-1887), Heinrich Müller-Breslau (1851-1936). 99
A 20. század mechanikai és statikai ismereteinek rohamos bővülése mások mellett az alábbiaknak köszönhető (a külföldiek közül): H. Cross, H. Duddeck, Ph. Frank, K. Girkmann, F. Grashof, A. Kleinlogel, J. Melan, G. Mehrtens, R. von Mises, A. Pflüger, A. Pucher, J. Rayleigh, S.P. Timoshenko, J.M.T. Thompson, O.C. Zienkiewicz stb. A vasbeton építés és a vasbeton tudomány úttörői a 19. században és a 20. század elején: F. Coignet, A. Considère, W. Döhring, F. Hennebique, T. Hyatt, Kazinczy Gábor, M. Koenen, J. Monier, R. Saliger, Zielinszki Szilárd, F. Wayss stb. A modern vasbeton tudomány kiemelkedő művelői közül néhány( ): P.W. Abeles, Z.P. Bazant, H. Bechert, K.-W. Bieger, Bölcskei Elemér, Czakó Adolf, F. Czerny, Csonka Pál., F. Dischinger, H. Duddeck, J. Eibl, U. Finsterwalder, E. Freyssinet, G. Franz, K. Girkmann, Y. Guyon, A.A. Gvozgyev, Gyengő Tibor, E. Hampe, W. Herberg, E. Hoyer, K. Kordina, F. Leonhardt, G. Magnel, Ch. Massonnet, C. Menn, Menyhárd István, Mihailich Győző, Mistéth Endre, E. Mörsch, V.I. Murasov, A.H. Nilson, Paulay Tamás, Palotás László, A. Pflüger, A. Pucher, G.S. Ramaswamy, K. Ritter, H. Rüsch, R. Saliger, J. Schlaich, C. Schleicher, K. Stiglat, E. Torroja, H. Trost stb. A vasbeton feltalálása J. Monier párizsi kertész nevéhez fűződik. Monier 1849- ben cementhabarcsból virágcserepeket készített, mégpedig úgy, hogy a cementhabarcsba vékony vasbetéteket is tett. A vasbeton építőipari felhasználására F. Coignet francia mérnök tett először javaslatot (1867). Wayss és Bauschinger 1887-ben Bécsben kísérleti eredményeket tett közzé. Ezek a kísérletek megfelelő választ adtak arra az alapvető kérdésre, hogy mik a beton és az acélbetét jó együttdolgozásának a feltételei, továbbá, hogy rozsdásodik-e az acélbetét a betonban. A szilárdsági ellenőrző és méretező számítások az első időkben ezeken a kísérleteken alapultak. A vasbeton kísérleti és elméleti tudományos vizsgálata a 20. század elején nagy lendülettel indult meg. Kiemelkedett az első évtizedekben A. Considère, E. Freyssinet, E. Mörsch, K. Ritter, R. Saliger stb. munkássága. A vasbetonépítés magyarországi úttörője a 20. század első felében Kazinczy Gábor, Zielinszki Szilárd és Mihailich Győző volt. A feszítés területén az első jelentős eredményeket az 1920-as években F. Hoyer, E. Freyssinet és G. Magnel érte el. Az (elő)feszítés alapgondolata az, hogy a vasbetéteket előzetesen megfeszítik, két végükön rögzítik, majd a feszítőerőt a megszilárdult betonra ráengedik. Ezáltal a betonban nyomófeszültség létrehozásával ki lehet küszöbölni azt, hogy a betonban húzófeszültségek ébredjenek. A feszítőerő a beton megfelelő mértékű húzószilárdságát pótolja. A modern vasbeton tudomány eredményeit a tankönyv következő fejezeteiben ismertetjük meg az olvasóval (a nagy neveket l. előbb, bekeretezve). Tömören. Tankönyvünk és oktatási keretünk terjedelmi korlátai miatt a vasbetonépítés történetét tovább nem részletezzük. 100
1.3. A VASBETON ELŐNYEI ÉS HÁTRÁNYAI A vasbeton szinte nélkülözhetetlen, igen elterjedt építőanyag. A vasbeton felhasználási lehetőségei széleskörűek: nagytömegű építmények, vastag szerkezetek(nagy alaptestek, völgyzáró gátak stb.); vékony szerkezetek(lemezek, falak, héjak stb.); a fenti két eset közötti átmeneti szerkezetek(gerendák, oszlopok, keretek, ívek stb.). A vasbeton előnyei: Gyors munkával, tetszőleges és szép alakba önthetőség. Tűzállóság(az állékonyság biztosítandó tűz esetére is). Nagy merevség (az acélszerkezetekéhez és a faszerkezetekéhez képest). A vasbeton szerkezet robusztus(= erős, markos, erőteljes; lat.): földrengésnek, robbanásnak jobban ellenáll, mint az egyéb szerkezetek. Viszonylag kis építési költségek. De mérlegelni kell azt is, hogy mekkora legyen az építmény élettartama. A fenntartás költsége ugyanis bizonyos esetekben magas lehet(pl. drága korrózióálló bevonatok). Az előző ponthoz: a beton összetevői(homokos-kavics, cement stb.) könnyen hozzáférhetőek, és a kevert beton szállítása sem okoz ma már különösebb nehézséget. A vasbeton hátrányai: Repedésérzékenység. Bár az acélbetétek teherbírási határállapotban stb. jelentős húzófeszültségeket képesek felvenni, a beton berepedését nem képesek meggátolni. A repedések sűrűségét, tágasságát viszont az acélbetétek kedvezően befolyásolhatják. Korrózióvédelmi(beszivárgó vizek, füstgázok stb.) szempontból a repedéskorlátozás igen nagy jelentőségű(4.1. pont). Viszonylag alacsony nyomószilárdság. Ezért a nagyon magas szerkezetek (tornyok, magasházak stb.), a nagy fesztávolságú hidak, csarnokok általában acélból gazdaságosabbak. Ennek az az oka, hogy a szokásos/hagyományos vasbetonok nyomószilárdsága az acél nyomószilárdságának az 1/10-1/20-a mértékű csupán, míg a vasbeton térfogatsúlya csak az 1/3-a az acélénak. Zsaluzni kell, állványozni kell a helyszínen készített(monolit) vasbeton szerkezetet. Ez munkaigényes, időigényes és anyagigényes tevékenység. Előregyártással ez a hátrány nagymértékben csökkenthető. A vasbeton utólagos átalakítása nehézkes. A vasbeton kúszik(lassú alakváltozás+ernyedés), zsugorodik (1.4. pont). A fenntartás költsége bizonyos esetekben magas lehet (pl. a korrózióvédelem miatt). Persze ez az acélra is igaz. 101
1.4. A VASBETON ÉPÍTŐANYAGAI. ANYAGMODELLEK Ebben a pontban helyhiány miatt a betonra, a betonacélra és a feszítőacélra vonatkozó legszükségesebb ismereteket foglaljuk csak össze. A további részletek iránt érdeklődőknek ajánljuk a 20. oldali IRODALOM ban és a FÜGGELÉKbeli IRODALOM ban felsoroltakat. A beton hidraulikus kötőanyagból(cement), vízből és adalékanyagból(homok, homokos-kavics és kavics) álló keverék, mely készítésekor lágy és alakítható, majd a kötési folyamat során fokozatosan megszilárdul(mesterséges kő). A beton alkotórészei: a kötőanyag a cement, a víz egyrészt lehetővé teszi a cement kötését, másrészt a bedolgozáshoz szükséges folyósságot adja; az adalékanyag a homok és a kavics meghatározott arányú keveréke; az adalékszerek(betonkiegészítők) kémiai és fizikai úton megjavítják a beton egyes tulajdonságait: képlékenyítő, légpórusképző, szilárdulásgyorsító(kötésgyorsító), kötéskésleltető, tömítő stb. szerek. A friss beton tulajdonságai röviden: : a betonösszetétel, a vízcementtényező (v/c), a konzisztencia(a bedolgozhatóság mértéke): FN = földnedves, KK = kissé képlékeny, K = képlékeny, F = folyós; az MSZ szerint(függelék, IRODALOM); a légtartalom, a telítettség, a szivattyúzhatóság. A megszilárdult beton tulajdonságai röviden: : a szilárdság, amit a következők : határoznak meg: a cementminőség, a cement kötési ideje, a v/c vízcementtényező, az adalékanyag minősége és szemszerkezete, a keverés módja/időtartama, a szállítás módja, a bedolgozás módja, az utókezelés[nedvesen tartás], a hőmérséklet, az esetleges fagy, a beton kora; a tömörség, a σ ε diagramok, a rugalmassági és az alakváltozási tényező (1.4. 1. ábra, 2.3. 1. ábra, 2.3. I. táblázat); 102
többtengelyű feszültségi állapot van-e, a szívósság, a fáradás, a vízzáróság, a fagyállóság, a kopásállóság, a kúszás, a zsugorodás. A beton megnevezésének az MSZ(FÜGGELÉK, IRODALOM) szerint a következőket kell tartalmaznia(az EC szerint értelemszerűen ugyanez): a beton jelét( C ), a beton nyomószilárdsági számjelét(hengerszilárdság/ kockaszilárdság: pl. 25/30), az adalékanyag legnagyobb szemcsenagyságát ( d max = 25 mm), a konzisztencia fokozatát(pl. KK), a vízzárósági fokozat jelét(pl. vz2), a fagyállósági fokozat jelét(pl. f150), a kopásállósági fokozatot(pl. K10), a légpórusosságot (%-ban), és az esetleg alkalmazott adalékszerek megnevezését. A jelölésnek a következőket mindenképpen meg kell adnia: : A beton és a betonacél valóságos alakhelyes : σ(ε) diagramja az 1.4. 1. ábrán látható. A valóságos σ(ε) diagramokkal igen fáradságos lenne a mérnöki munka. Ezért ezen diagramok helyett egyszerűbbeket használunk: a 2.3. 1.,2. és 3. ábrán a betonnak, a betonacélnak és a feszítőacélnak az MSZ és az EC szabvány szerinti anyagmodelljeit szemléltettük. L. még a 2.3. I., II. és III. táblázatot is. A beton legfontosabb tulajdonságai közül kiemeljük az időben elhúzódó alakváltozásokat: a kúszást és a zsugorodást. L. az 1.4. 2. ábrán. A kúszás a lassú alakváltozás és az ernyedés együttessége. A lassú alakváltozás a beton tömörödésével kapcsolatos tartós alakváltozás, melyet az jellemez, hogy tartós terhelő erők hatására a beton alakváltozása időben fokozatosan növekszik, majd egy bizonyos végértéket ér el. Tartós terhelő mozgás hatására a beton nyomófeszültségei csökkennek, ugyanakkor a betonacél húzófeszültségei megnövekszenek[egyensúly: járulékos nyomófeszültségek a húzott zónában]. Ezt a jelenséget ernyedésnek nevezzük. Ez a két jelenség szorosan összefügg és a vasbetonban egyszerre jelentkezik. A beton jellegzetes tulajdonsága, hogy száradáskor zsugorodik, nedvesség hatására duzzad. Az ε c,sh zsugorodási tényező t = t időpontbeli végértéke: ε c,sh. C25/30 25 KK. A kúszás és a zsugorodás : A φ kúszási tényező azt fejezi ki, hogy a beton ε co kezdeti(t = t o = 0 időpontbeli) fajlagos rugalmas alakváltozása(összenyomódása) a kúszás hatására idővel ε c = ε co + ε c,c mértékűre megnövekszik, ahol ε c,c = ε c,c (t) = φ(t)ε co a fajlagos kúszási alakváltozás. 103
A φ = φ(t) kúszási tényező t = t időpontbeli végértéke: φ. A φ tényező függ a megterhelés t o = τ időpontjától is. Ezért az 1.4. 2. ábrán a t idő kúszás esetén a megterhelés t o = τ időpontjától értendő, míg zsugorodás esetén a betonozástól. Az ábrán t o = τ = 0. A vázolt kúszási folyamatot az ún. lineáris kúszási törvény írja le, amely szerint az ε c,c = ε c,c (t) = φ(t)ε co fajlagos kúszási alakváltozás lineárisan/egyenesen arányos a φ(t) kúszási tényezővel. Az ε c teljes fajlagos beton alakváltozás az ε co kezdeti fajlagos rugalmas alakváltozás és az ε c,c fajlagos kúszási alakváltozás összege(egyelőre az ε sh zsugorodás nélkül): ε c = ε c (t) = ε co + ε c,c (t) = ε co + φ(t)ε co = ε co (1+φ(t) ), (1.4. 0) vagy rövidebb írásmóddal: ε c = ε co (1+φ). (1.4. 1) Az ε c,sh zsugorodással együtt a teljes fajlagos beton alakváltozás: ε c = ε co + ε c,c + ε c,sh = ε co (1+φ) + ε c,sh. Az 1.4. 2. ábrán az ε c,sh zsugorodás és a φ kúszás f(t) időbeli lefutási függvényét azonosnak tekintettük: ε c,sh = ε c,sh (t) = ε c,sh f(t) és φ = φ(t) = φ f(t). A vasbeton szerkezet kúszás/lassú alakváltozás előidézte megnövekedett alakváltozásait, elmozdulásait (lehajlás stb.) a Fritz-féle látszólagos rugalmassági tényezővel, az E c,eff ún. alakváltozási tényezővel, azaz az EC megnevezésével a hatékony rugalmassági tényezővel vehetjük figyelembe. Ennek nagysága a t = t időpontban, tartós terhelő erők (önsúly stb.) esetén: E c,eff =. (1.4. 2) Itt E cm a beton rugalmassági tényezőjének a várható értéke: 2.3. I. táblázat. Tartós terhelő mozgás (zsugorodás) esetére a Fritz-féle javaslatot ajánljuk: E c,eff =. (1.4. 3) 1.5. A BETON ÉS AZ ACÉLBETÉT EGYÜTTDOLGOZÁSA. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTOK. KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK Tekintsük az 1.5. 1. ábrát, ahol az a ábrán azt szemléltetjük, hogy az acélbetétek a τ tapadófeszültségek révén kapnak húzóerőt. Érdemes megfigyelni a b ábrán vázolt különleges erőjátékot: ívhatás. Megjegyezzük, hogy a modern vasbeton szilárdságtanban létezik egy olyan irányzat, amelyik a vasbeton szerkezetet nyomott betonrudakból és húzott betonacél rudakból álló speciális rúdszerkezetként modellezi (Jörg Schlaich és a strut-and-tie modell). Ezzel a továbbiakban nem foglalkozunk. 104
A további fejtegetések előtt ismét tekintsük át a 2.3. 1. 3. ábrát, ahol a vasbeton anyagainak anyagmodelljeit láthatjuk. Az 1.5. 2. ábrán egy hajlított-nyírt tartó példáján azt mutatjuk be, hogy a terhelés növekedésével a vasbeton keresztmetszetek 3, egymástól eltérő módon viselkedő feszültségi állapotba kerülnek: Kis terhelésnél a keresztmetszet repedésmentes. Úgy hajlításra, mind nyírásra. Ez az ún. I. feszültségi állapot. Ez mindaddig tart, amíg a beton eléggé alacsony, f ctm vagy f ctd nagyságú névleges húzószilárdsága (2.3. I. táblázat) ki nem merül. Most eltekintünk attól, hogy az f ctm ben és f ctd ben biztonság is van. A növekvő terhelés egy bizonyos értékénél a keresztmetszetek egy része bereped. Egy bizonyos tehernél hajlításra, és egy másik tehernél nyírásra. Ekkor kezdődik az ún. II. feszültségi állapot. Ez mindaddig tart, amíg a beton f cd nagyságú névleges nyomószilárdságát[a beton nyomószilárdságának tervezési értékét] és/vagy az acélbetétek f yd nagyságú névleges húzószilárdságát[a betonacél folyáshatárának tervezési értékét] el nem érjük. A nyomott acélbetétek is elérhetik az f yd nagyságú névleges nyomószilárdságot. Most eltekintünk attól, hogy az f cd ben és az f yd ben biztonság is van. A teher további növelésével a keresztmetszetek berepedése fokozódik. Egy idő után az acélbetétek megfolynak(1.4. 1. ábra és 2.3. 2. ábra: σ s = f yd ). A nyomott betonzóna fokozatosan képlékenyedik, végül a szélső nyomott betonszál az összemorzsolódás határára kerül, azaz összenyomódása eléri az ε cu mértékű határértéket[a beton fajlagos törési összenyomódásának tervezési értékét]. Ez a III. feszültségi állapot. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a most leírt teherhordó viselkedés az ún. normálisan vasalt vasbeton keresztmetszetekre igaz: 1.6. 1. ábra. A tényleges törőteher a fentinél nagyobb, mert a tárgyalt anyagjellemzőkben biztonság is van(1.7. pont). Az 1.5. 3. ábrán a hajlítási törés és a nyírási törés jellegzetes alakjait mutatjuk be. Megállapítható, hogy törekedni kell jó tapadási tulajdonságú acélbetétek alkalmazására. A későbbiekben a repedéskorlátozás tárgyalásánál( 4.1. pont) rámutatunk arra is, hogy a repedések tágassága kisebb, ha kis átmérőjű, sűrű vasalást alkalmazunk. Az 1.5. 4. és 5. ábrán a rugalmasságtani hajlítási KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK meghatározását ismertetjük( I. és II. fesz. állapotban). Az I., a II. és a III. feszültségi állapot jellegzetességeit részletesen tárgyaljuk a 3., és a 4. fejezetben. 1.6. VASALTSÁGI SZINTEK (normálisan vasalt, gyengén vasalt, alulvasalt, túlvasalt) Az 1. 6.1. ábrán a vasbeton keresztmetszetnek a tönkremenetelkor mutatott viselkedését szemléltetjük. Ez a viselkedés a vasaltság mértékétől függ. 105
Ha csak viszonylag csekély vasalást alkalmazunk, akkor a vasalt szerkezet nem tekinthető vasbetonnak: 1a : alulvasalt tartó. Ennél az acélbetétek a repedések megjelenésekor(m cr ) azonnal elszakadnak(ε s > ε uk ). A II. feszültségi állapot sem alakul ki. 1b : gyengén vasalt tartó. Ez esetben az acélbetétek a repedések megjelenése után még működnek, meg is folynak(σ s = f yd ), de az ε cu elérése előtt elszakadnak(εs > ε uk ). A II. feszültségi állapot kialakul ugyan, de a III. nem. Most is eltekintünk attól, hogy az anyagjellemzőkben biztonság is van. Az 1a esetet, azaz az alulvasaltságot, mindenképpen el kell kerülnünk, hiszen az előrejelzés nélküli, katasztrófa jellegű törést, hirtelen összeomlást jelent. Az 1b esetben, az ún. gyengén vasalt szerkezeteknél nem erről van szó. Vannak olyan nagyméretű vasbeton szerkezeti elemek, amelyek viszonylag kis igénybevételeket kapnak. Pazarlás lenne ezekben annyi vasalást elhelyezni, mint egy normálisan vasalt szerkezetben. Ilyen pl. az alapozási szerkezetek jó része. A gyengén vasalt szerkezet teherbírását(r) az 1.6. 2. ábrán látható módon kell meghatározni. Először kiszámítjuk a szokásos vasbeton szilárdságtan szerinti teherbírást. Ezután az m 1 mértékű, a gyengén vasaltság miatti teherbíráscsökkentő tényezővel redukáljuk a vasbeton teherbírást. A szokásos normális vasbeton viselkedés akkor áll elő, ha a vasalás eléri, ill. meghaladja az 1.6. 2. ábrán szemléltetett minimális értéket: 2 : normálisan vasalt tartó. Ekkor az acélbetétek megfolynak(σ s =f yd ). A beton szélső szálában létrejön az ε cu határ összenyomódás[a beton fajlagos törési összenyomódásának tervezési értéke]. Kialakul a III. feszültségi állapot(σ s = f yd, σ c = f cd ). Ez esetben a terhelés növekedésével a teherbírási (törési) határállapot fokozatosan, jól látható repedésekkel előrejelezve következik be. Az ilyen tartó általában kellően szívós (viszonylag nagy képlékeny alakváltozások után következik be a tényleges törés). Az esetek túlnyomó többségében ezt a vasalási helyzetet kell előállítani. Előfordulhat az is, hogy túlságosan nagy a húzott vasalás: 3 : túlvasalt tartó(ridegen törik): Erre az jellemző, hogy az acélbetétek nem folynak meg(σ s < f yd ), de a beton szélső szálában létrejön az ε cu határ összenyomódás[a beton fajlagos törési összenyomódásának tervezési értéke]. Ezt is kerülni kell. Egyrészt, mert gazdaságtalan. Másrészt azért is, mert a törés érdemi repedéses előrejelzés nélkül, ridegen következik be. Az 1.6. 1. ábrán jól látható, hogy az x semleges tengely nagysága az M hajlítónyomaték növekedésének a függvényében egyre csökken. 106
1.7. A BIZTONSÁGRÓL. ELLENŐRZÉSI/MÉRETEZÉSI ELVEK Tankönyvünk keretei nem teszik lehetővé, hogy elmélyedjünk a valószínűségelméletben. Néhány alapfogalmat látunk az 1.7. 1. 4. ábrán: gyakoriság, valószínűség stb. A Mechanika és a Tartók statikája tárgyakban azt tanulták meg a hallgatók, hogy mekkora igénybevételek (M, V, N stb.) lépnek fel egy adott tartószerkezetben, mégpedig megadott terhekből. Ezek egyértelműen meghatározott feladatok. Ezután a szilárdságtani ellenőrzések/méretezések során megadott anyagellenállások segítségével ellenőrzik, illetve méretezik a tartókat. Ezekben a számításokban látszólag szó sem lehet valamilyen véletlenszerűségről. Tudomásul kell venni azonban azt, hogy az építményre ható terheket és így az igénybevételeket is továbbá a szerkezet teherbírását is, általában előre meg nem határozható, véletlenszerű tényezők befolyásolják. A gazdaságosság szempontjait is figyelembe véve meg kell elégednünk azzal, hogy az igénybevételeknek a tartó élettartamán belül valószínűen várható legnagyobb értékére(msz: M M, T M, N M stb.) (EC: M Ed, V Ed, N Ed stb.) kell megfeleljen a tartó teherbírásának valószínűen várható legkisebb értéke(msz: M H, T H, N H stb.) (EC: M Rd, V Rd, N Rd stb.). L. az 1.7. 4. ábrát. Hasonlóan kell eljárni a használati esetekben is: repedések korlátozása, lehajlások korlátozása, rezgések korlátozása stb. esetén is, de más valószínűségekkel. Ilyen megközelítésben a biztonság a terv alapján, az abban előírt minőségi kívánalmak(szabványok) szerinti anyagokból és technológiával elkészítendő tartószerkezet használati(repedezettségi, alakváltozási) és teherbírási stb. tartósságának a várható valószínűsége. Egy bizonyos élettartamon belül. Tudomásul vesszük azt, hogy teljesen biztos építmény nincs. Kompromisszumot kell kötnünk az előállítási+fenntartási költségek és a használat alatti(repedezettségi, alakváltozási stb.), továbbá a teherbírási tartósság között. Az 1.7. 1. ábrán összefoglaltuk a szokásos teherbírási ellenőrzési/méretezési eljárások vázlatát. Rámutattunk arra, hogy a továbbiakban a hazai és nemzetközi gyakorlatnak megfelelően az osztott biztonsági tényezős eljárást fogjuk alkalmazni. Az osztott biztonsági tényező azt jelenti, hogy a bizonytalanságokat külön a terhek/igénybevételek oldalán és külön az anyagok ellenállásának az oldalán vesszük figyelembe. Az 1.7. 2. ábrán láthatók a mértékadó[m](tervezési) terhek/igénybevételek meghatározásának az alapelvei. Látható, hogy itt némi valószínűségszámításra is szükség van. Ezért is használjuk a módszerre a félvalószínűségi jelzőt. A γ M = 1,2 1,4 nagyságú biztonsági tényezőt úgy állapították meg valószínűségszámítással hogy annak a valószínűsége, hogy az építmény élettartama során az E M mértékadó[m](tervezési) tehernél/igénybevételnél nagyobb teher/igénybevétel is éri a szerkezetet, 5% legyen. Ez a mértékadó[m](tervezési) tehernek, mint szélsőértéknek az ún. túllépési valószínűsége. A mértékadó[m](tervezési) teherre/igénybevételre a teherbírási (törési) határállapotok ellenőrzésekor van szükség (1.7. 4. ábra). 107
Az 1.7. 2. ábrán a gyakorisági függvény(sűrűségfüggvény) ún. várható értéke az E v teher/igénybevétel, amely a mérésekkel, statisztikai kiértékelésekkel kapott terhek/igénybevételek átlagértéke. Ezt a várható értéket tekintjük a teher/igénybevétel alapértékének. Ennek a tartós(!) részére a használati(rugalmas) határállapotok vizsgálatánál van szükség: repedéskorlátozás, alakváltozások/lehajlások korlátozása stb. Az MSZ(FÜGGELÉK, IRODALOM) szerinti hasznos terhek tartós része általában 50%. Az 1.7. 3. ábrán láthatók egy anyagellenállás, nevezetesen példaként a beton határfeszültsége meghatározásának az alapelvei. Látható, hogy itt is szükség van egy kis valószínűségszámításra. Ez az eljárás ui., amint már említettük ún. félvalószínűségi módszer. A γ b = 1,3 nagyságú biztonsági tényezőt úgy állapították meg valószínűségszámítással hogy annak a valószínűsége, hogy az építmény élettartama során a σ bh beton nyomó határfeszültségnél kisebb törési szilárdság is előfordulhat, 1 (ezrelék!) legyen. Ez a beton nyomó határfeszültségének, mint szélsőértéknek az ún. alulmaradási (túllépési) valószínűsége. A gyakorisági függvény (sűrűségfüggvény) ún. várható értéke az a σ bv betonszilárdság, amely a mérésekkel, statisztikai kiértékelésekkel kapott betonszilárdságok átlagértéke. De nem ezt a várható értéket tekintjük a betonszilárdság alapértékének, hanem az R bk minősítési értéket(ennek 5% az alulmaradási valószínűsége). Az α R tényezőt az ábrán definiáltuk. Tekintsük az 1.7. 4. ábrát, ahol az M H M M alapvető ellenőrzési összefüggést szemléltetjük. Az M M és az M H érték az 1.7. 2. 3. ábra alapján meghatározható. Az igénybevételek f M, továbbá a teherbírások f H gyakorisági görbéjének(sűrűségfüggvény) a felrajzolása alapján megmondhatjuk azt is, hogy mennyi a tönkremenetel bekövetkezési valószínűsége, tehát, hogy mennyi a kockázat. Látható, hogy teherbírásra minden 10 000. 100 0000. szerkezet mehet tönkre. Viszont a használati állapotokbeli károsodások (repedések, lehajlások stb.) bekövetkezési valószínűsége jóval nagyobb: minden 100. 1000. szerkezet károsodhat. A kockázat szintjét a műszaki követelmények és a gazdaságossági megfontolások kompromisszumaként állapították meg. Lényeges az építménytől elvárt megfelelőségi időtartam, a tervezési élettartam is. Magyarországon a magasépítésben ez általában 50 év, míg egy hídszerkezet esetében 100 év. FIGYELEM! Az ábrákra ráírtuk, hogy ugyan az MSZ(FÜGGELÉK, IRODALOM) szerinti konkrét számokkal dolgoztunk, de az elvek azonosak az EC-ben is. Viszont a biztonság szintje az EC-ben jóval magasabb. 108
2. FEJEZET: EUROCODE(EC) ALAPISMERETEK Figyelem! A 129. oldaltól a FÜGGELÉK-ben az alapfogalmak/szakkifejezések és a jelölések részletes magyarázata megtalálható. Az EC szerinti jelöléseket össze is hasonlítjuk az MSZ szerinti jelölésekkel! 2.1. Ellenőrzési/méretezési elvek. A biztonság szintje. Határállapotok. Hatáskombinációk A szerkezetek ellenőrzése/méretezése az építő tevékenység fontos eleme. Az épületek és építmények tönkremenetele ugyanis nagy anyagi kárral és életveszéllyel jár. Ugyanakkor a nagy hibát vétő statikus tervezőnek a bíróság előtt is felelnie kell. Az ellenőrzés/méretezés során az adatok alábbi 3 fő csoportjával foglalkozunk: a szerkezetre működő hatások/terhek adatai(nagyság, helyzet, időtartam, gyakoriság stb.); a szerkezeti anyagok mechanikai jellemzői(szilárdság, rugalmassági tényező stb.); a szerkezet geometriai adatai(hossz, keresztmetszeti jellemzők stb.). Az 1950 előtti hazai előírások/szabványok, továbbá a 2000 előtti külföldi szabványok többsége a megengedett feszültségek módszerén, azaz az egységes biztonsági tényezős módszeren alapult(rugalmasságtani elveken). 1.7. 1. ábra. A világon először Menyhárd István és Korányi Imre munkássága nyomán Magyarországon vezették be azt az előírást, amelyik a szerkezetek teherbírásának ellenőrzését a törési/képlékeny határállapot alapján írta elő. Ez 1950-ben történt. Ugyanakkor kialakították az ún. osztott biztonsági tényezős módszert is. Ennél a terhekben meglévő bizonytalanságot a terheknél, a szerkezeti anyagok jellemzőiben lévő bizonytalanságokat a szerkezeti anyagok ellenállása meghatározásánál veszik figyelembe. 1.7. 1. ábra. A 2.1. 1. ábrán megadtuk a határállapot EC szerinti definícióját is. Az EC szabvány két fő határállapot rendszert különböztet meg: a teherbírási határállapotokat(hajlítás, nyírás, nyomás stb.) és a használhatósági határállapotokat(repedéstágasság, lehajlás stb.). Az EC szabványok a teherbírási ellenőrzéseknél szintén osztott biztonsági tényezőkkel dolgoznak. A 2.1. 1. ábrán látható a tartószerkezetekkel szemben támasztott 3 alapkövetelmény is. Ezen az ábrán szemléltetjük a teherbírási határállapotokbeli ELLENŐRZÉS alapelvét is. Az egyes vizsgált értékek %- os előfordulási gyakoriságának a függvénye a sűrűségfüggvény(v.ö. 1.7. 3. ábra: gyakorisági függvény; más szóval). 109
Az igénybevétel(e) sűrűségfüggvényében a leggyakrabban előforduló értéket karakterisztikus értéknek nevezzük (ez kb. a várható érték/átlagérték): E k. Állandó terheknél(e Gk = G k ) γ G, míg esetleges terheknél(e Qk = Q k ) γ Q a biztonsági/parciális tényező jelölése. A karakterisztikus érték és a biztonsági tényező szorzata az ún. tervezési (d) érték: E Gd = E Gk γ G, állandó terhekre és E Qd = E Qk γ Q. esetleges terhekre A terhek biztonsági tényezőinek értékeit a 2.1. I. táblázatban foglaltuk össze. A teherbírás/ellenállás(r) sűrűségfüggvényében az egy bizonyos alulmaradási valószínűséggel előforduló értéket karakterisztikus (k) értéknek nevezzük: R k (2.1. 1. ábra). A beton(c) biztonsági/parciális tényezőjét γ c vel, míg a betonacél(s) és a feszítőacél biztonsági/parciális tényezőjét γ s sel jelöljük. A karakterisztikus érték és a biztonsági/parciális tényező hányadosa az ún. tervezési(d) érték: és. R d = betonra, R d = betonacélra A vasbetonépítésben leggyakrabban használt építőanyagok (beton, betonacél, feszítőacél) biztonsági/parciális tényezőinek értékeit a 2.3. 1. 2.3. 3. ábrán adjuk meg. Ott láthatók a fenti általános jelek(r) konkrétan: f cd, f ck, f yd, f yk. Az ELLENŐRZÉS alapelve teherbírási határállapotban(az MSZ is így): E d R d. Tehát az E d tervezési(d) igénybevétel (nyomaték, nyíróerő, nyomóerő stb.) kisebb vagy egyenlő kell legyen az R d teherbírás/ellenállás tervezési(d) értékénél (nyomaték, nyíróerő, nyomóerő stb.). Az ELLENŐRZÉS alapelve használhatósági határállapotban(az MSZ is így): E d C d. Tehát a használhatósági tervezési(d) igénybevételből számított E d használhatósági jellemző(lehajlás, repedéstágasság stb.) kisebb vagy egyenlő kell legyen a használhatósági követelmény C d tervezési(d) értékénél(lehajlás, repedéstágasság stb.). Eddig elég jól megfeleltethetők egymásnak az EC és az MSZ alapelvei. Némileg új az, hogy az EC bevezeti az ún. tervezési helyzet fogalmát. A tervezési helyzet a fizikai feltételek olyan együttese, mely egy bizonyos időtartam során a lehetséges különböző körülményeket jellemzi. E feltételek fennállásának esetére a tervezés keretében igazolni kell, hogy a határállapotokat a szerkezet nem lépi túl. A teherbírási határállapotban megkülönböztetünk tartós(a szokásos használat), ideiglenes(építés, javítás), rendkívüli (tűz, robbanás stb.) és szeizmikus(földrengés) tervezési helyzetet. 110
Most térjünk át a 2.1. 2. ábrára, ahol az esetleges terhek (Q) különböző teherszintjeit szemléltetjük. A legnagyobb előfordulási gyakorisága az ún. kvázi-állandó(tartós) teherszintnek van: ez az élettartam legalább 50%-ában fellép. A gyakori teherszint előfordulási gyakorisága az élettartamon belül sokkal kisebb: 1%. A legkisebb gyakorisága a ritka teherszintnek van. Az EC ezt a tehernagyságot fogadta el karakterisztikus(k) értékként. A karakterisztikus teher 1 éves időszakon belül legfeljebb 2% valószínűséggel lép fel. Ez kb. 50 évenként egyszer előforduló érték. A tervezési élettartam Magyarországon a magasépítésben általában 50 év, míg egy hídszerkezet esetében 100 év. A Q esetleges teher tervezési(d) értékét a Q k karakterisztikus érték és a γ Q biztonsági/parciális tényező (2.1. I. táblázat) szorzata szolgáltatja: Q d = γ Q Q k. Az EC a tehercsoportosításokat/teherkombinációkat hatáskombinációknak nevezi. A teherbírási határállapotokban, a fenti tervezési helyzetekben képzendő hatáskombinációkat a 2.1. III. táblázatban foglaltuk össze. A használhatósági határállapotokban érvényes hatáskombinációk a 2.1. IV. táblázatban láthatók. Ezeket lehajlási, repedéskorlátozási stb. ellenőrzéseknél használjuk. A 2.1. II. táblázatbeli különböző ψ egyidejűségi tényezőket a 2.1. 2. ábra segítségével könnyebben értelmezhetjük. L. a 2.1. 3. ábra számpéldáit! 2.2. Terhelő hatások Az állandó és az esetleges jellegű terhelő hatásokat részletesen tárgyalja a FÜGGELÉK-beli Irodalom. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az EC sokkal több és részletesebben meghatározott teherfajtát tartalmaz, mint az MSZ. Nem is beszélve a hatások kombinációinak sokféleségéről: 2.1. III. és 2.1. IV. táblázat. Megjegyezzük, hogy a 2.1. II. táblázat alapján is lehet képünk arról, hogy az EC hasznos terhei általában már karakterisztikus értékükben(tehát biztonsági tényező nélkül) is nagyobbak, mint az MSZ terhei. 2.3. Anyagjellemzők(beton, betonacél, feszítőacél) A 2.3. 1. 3. ábrán és a 2.3. I. III. táblázatban a tervezéshez szükséges mértékig, táblázatos alakban összefoglaltuk a betonok, a betonacélok és a feszítőacélok legfontosabb anyagjellemzőit. 2.4. Vegyes adatok/segédletek A 2.4. I. IV. táblázatban összefoglaltunk fontos tervezési alapadatokat, pl. betonfedés, minimális vasalás stb. (a terjedelmi korlátokon belül). 111
3. FEJEZET: TEHERBÍRÁSI HATÁRÁLLAPOTOK 3.1. HAJLÍTÁS(tiszta hajlítás, azaz nincs egyidejű nyírás vagy nyomás) A Mechanika c. tárgyból ismeretes, hogy ennél az igénybevételnél a keresztmetszetet terhelő M hajlítónyomatékból csak σ normálfeszültségek ébrednek. Emlékeztetünk arra, hogy a hajlítás mindig nyírással(v) jár együtt (3.2. 1. ábra). Ebben a pontban röviden összefoglaljuk a hajlítónyomatéki teherbírás M Rd tervezési értéke(a határnyomaték) meghatározásának egyszerű elméletét, kiemelve az ELLENŐRZÉS fontosságát: M Rd M Ed. Itt M Ed a [külső] (hajlító)nyomaték tervezési értéke(a mértékadó hajlítónyomaték). Továbbá megmutatjuk a hajlítási MÉRETEZÉSI módszereket is. Elsősorban ábrák segítségével szemléltetjük a vizsgálatokat, a szöveges rész minimális. Tekintsük a (tiszta) hajlításnál előforduló három jellegzetes σ ε tartományt: A 3.1. 1. ábra/1 n, azaz az 1 jelű esetben, mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak: ez a normálisan vasalt keresztmetszet (1.6. 1. ábra). Ilyen keresztmetszet tervezésére kell törekednünk. A 3.1. 1. ábra/2 n, azaz a 2 jelű esetben, a nyomott acélbetétek nem folynak meg. Ebben a tartományban a húzott acélbetétek nyúlása egyre inkább megközelítheti az ε uk acél határnyúlást (2.3. 2. ábra). Kialakulhat az 1.6. 1. ábrán tárgyalt alulvasalt, illetve gyengén vasalt állapot. A 3.1. 1. ábra/3 n, azaz a 3 jelű esetben, a húzott acélbetétek nem folynak meg. Ekkor túlvasalt keresztmetszetről beszélünk: 1.6. 1. ábra. Ezt kerülnünk kell, mert ez gazdaságtalan és ridegen törik a tartó. A 3.1. 2. ábrán az ellenőrzést az (M1) vetületi egyenlettel kell kezdeni az x c semleges tengely meghatározása céljából. Először célszerű mind a húzott, mind a nyomott betonacélokat megfolytnak tekinteni. Ebből adódóan a σ s1 és a σ s2 acélfeszültség helyébe a betonacél folyáshatárának f yd tervezési értékét írjuk be. Ha az így kiadódó x c érték ellentmondásban van a σ s1 re és a σ s2 re a 3.1. 1. ábra/2,3 n feltüntetett redukciós képletek valamelyikével, azaz a kapott x c vel vagy a húzott, vagy a nyomott vasalás nem folyik meg, akkor az (M1) képletbe értelemszerűen a σ s1 re vagy a σ s2 re vonatkozó redukciós képletek valamelyikét kell behelyettesíteni. Így ξ c = x c /d re 2. fokú egyenletet kapunk. A (hajlító)nyomatéki teherbírás M Rd tervezési értékét az (M2) nyomatéki összefüggés szolgáltatja: ELLENŐRZÉS. Megfelelés esetén M Rd M Ed, ahol M Ed a [külső] nyomaték tervezési értéke(a mértékadó nyomaték). 112
3.1.1. ELLENŐRZÉS Az ellenőrzési tudnivalókat 6 ábrán részletesen elemezzük: 1A.) A derékszögű négyszög keresztmetszet (hajlító)nyomatéki teherbírásának M Rd tervezési értéke (a határnyomaték). ELLENŐRZÉS (1 db): 3.1. 2. ábra/ec. 1B.) A T alakú keresztmetszet (hajlító)nyomatéki teherbírásának M Rd tervezési értéke(a határnyomaték). ELLENŐRZÉS (5 db): 3.1. 3. ábra/i V. Megjegyzés: a nyomott acélbetétek megfolyásával általában nem kell foglalkozni. Az EC2 szerint a beton fajlagos törési összenyomódásának tervezési értéke ε cu = 3,5 Ekkora összenyomódás mellett a nyomott acélbetétek általában megfolynak. 3.1.2. MÉRETEZÉS A tervezési tudnivalókat 10+4=14 ábrán foglaltuk össze: 2A.) A derékszögű négyszög keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSe (4 db): 3.1. 4. ábra/i IV. 2B.) A T-alakú keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSe (6 db): 3.1. 5. ábra/i VI. 3A.) A derékszögű négyszög keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSe (2 db): 3.1. 6. ábra/i II. 3B.) A T alakú keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSe (2 db): 3.1. 7. ábra/i II. 113
3.2. NYÍRÁS(tiszta nyírás, nincs csavarás) 3.2.1. I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) 3.2.2. II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) Tekintsük a 3.2. 1. ábrát, amelyen a nyírási jelenség lényegét szemléltetjük. A homogén(egynemű; 1.1. pont ), izotróp(melynek fizikai tulajdonságai egy pontban a tér minden irányában azonosak), lineárisan rugalmas anyagú gerendát gondolatban bontsuk fel az ábrán látható módon két részre, majd terheljük meg. Ekkor a két egymásra helyezett gerenda külön-külön viseli a rá eső terhet. Ennek megfelelően az alsó félgerenda felső szélső szála összenyomódik, míg a felső félgerenda alsó szélső szála megnyúlik. Ezen deformációk eredményeképpen lép fel az ábrán feltüntetett Δ eltolódás-különbség. Ha azt akarjuk, hogy a két fél gerenda együttdolgozzon, akkor a két félgerenda kapcsolati felülete mentén vízszintes irányú (x) τ = τ yx csúsztatófeszültségeket kell működtetni. Általában τ nyírófeszültségekről beszélünk, de ebben az esetben jobban kifejezi a fizikai lényeget a csúsztatófeszültség szó. A τ = τ yx csúsztatófeszültségek működésének eredményeképpen a Δ eltolódáskülönbség eltűnik, és a két félgerenda h magasságú egységet fog alkotni. Rámutatunk arra, hogy egy dxdy méretű elemi hasáb nyomatéki egyensúlyi feltételéből az következik, hogy a τ yx vízszintes (x) nyírófeszültségnek mindig van τ xy = τ yx nagyságú függőleges (y) párja! Ez a Maxwell-féle reciprocitási tétel speciális alakja. A nyírófeszültségek meghatározására a Grashof-féle képlet szolgál. Egyensúlyi okból a τ = τ xy = τ yx nyírófeszültségeknek a keresztmetszet menti összege(integrálja) a külső V nyíróerővel kell megegyezzen. Az ábrán feltüntettük a homogén, izotróp, rugalmas anyagú gerendákra a Mechanika c. tárgyból már megismert alapképleteket a σ normálfeszültségek és a τ = τ xy nyírófeszültségek meghatározására. A σ normálfeszültségek az M hajlítónyomatékból, míg a τ xy nyírófeszültségek a V nyíróerőből származnak. Tudjuk azt is, hogy az M nyomaték és a V nyíróerő között szoros kapcsolat van. Az M hajlítónyomatékkal mindig együtt jár bizonyos nagyságú V nyíróerő is. Nevezetesen dm/dx = V, azaz a nyomatéki függvénynek az x helykoordináta szerinti első deriváltja a nyíróerő (az előjelet szemléletből állapítsák meg!). Derékszögű négyszög keresztmetszet esetén a nyírófeszültségek a gerenda magassága mentén parabolikusan oszlanak meg. 114
Az I. és a II. feszültségi állapotban fellépő feszültségeket jó közelítéssel a 3.2. 2. 3. ábrán látható rugalmasságtani összefüggésekkel lehet számítani. A σ rugalmas normálfeszültségek meghatározását a 4.1. és a 4.2. pontban részletesen megtárgyaljuk. A rugalmas állapotokban (I. és II. feszültségi állapot) ébredő σ x, σ y (σ y =0 általában) normálfeszültségeket és τ = τ xy = τ yx nyírófeszültségeket, továbbá az előző feszültségekből származtatható σ 1 húzó és a σ 2 nyomó főfeszültségeket, valamint ezek α hajlásszögét a tartótengelyhez szemlélteti a 3.2. 2. ábra. Ha a gerenda minden pontjában meghatározzuk a σ 1, σ 2, α mennyiségeket, akkor két egymásra merőleges görbesereget kapunk: ezek a főfeszültségi trajektóriák. Ezeket felrajzolva jobban megismerhetjük a gerenda rugalmas erőjátékát(ívszerű viselkedés is lehetséges; 1.5. 1. ábra). Felhívjuk a figyelmet a 3.2. 3. ábrára, ahol néhány a gyakorlatban sűrűn előforduló keresztmetszethez megrajzoltuk az alakhelyes τ = τ xy = τ yx diagramokat. Három ábrát a repedésmentes állapothoz és egyet a berepedt állapothoz. Érdemes megfigyelni, hogy a berepedt keresztmetszetben a kísérletek szerint, hogyan módosulnak a τ nyírófeszültségek. Mivel a vasbeton nem homogén, nem izotróp és nem rugalmas anyagú(l. még az 1.1. pontot), a fentiek a vasbetonra csak korlátozott mértékben, azaz viszonylag kis terhelésnél, tekinthetők megfelelőnek. 3.2.3. III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) Tekintsük a 3.2. 4. 6. ábrát. A nyírási vasalás nélküli keresztmetszet nyírási teherbírását az EC2-ben V Rd,c vel jelölik. A V Rd,c = (V7) alsó korlát segítségével mindenekelőtt azt kell eldönteni, hogy bereped-e a keresztmetszet nyírásra, azaz szükség van-e nyírási vasalásra: V Ed V Rd,c? vagy V Ed > V Rd,c? Itt V Ed a [külső] nyíróerő tervezési(d) értéke(a mértékadó nyíróerő). Ha V Ed >V Rd,c, akkor szükség van méretezett nyírási vasalásra. Ha V Ed V Rd,c, akkor is ajánlatos minimális nyírási vasalás: 1.6. 2. ábra, 2.4. II. táblázat. Az MSZ mellékelt képletével való összehasonlítás világosan mutatja, hogy mennyivel bonyolultabb az EC2 szerinti képlet. A V Rd,c képletében szereplő A sl hosszvasalás a csaphatásra(dowel action) utal. Ezután a nyomott ferde rácsrudak teherbírása, azaz a V Rd,max =(V6) felső korlát segítségével igazolni kell a betonméretek és a beton szilárdságának az alkalmasságát: V Ed V Rd,max? vagy V Ed > V Rd,max? Ha V Ed V Rd,max, akkor a keresztmetszet bevasalható és a (V1) (V4) összefüggésekkel meg kell határozni a nyírási teherbírás tervezési(d) értékét: V Rd, 3.2. 4. ábra. 115
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a nyírási vasalás által felvehető V Rd,s nyíróerőnek, azaz a nyírási vasalás teherbírása V Rd,s tervezési(d) értékének a képlete jelen kivételes esetben lényegében megegyezik az MSZ képletével. A csekély eltérés csak a belső erők karjának szorzójában van (0,85 0,90). A más trigonometrikus alak azonosságot takar. A kivételes eset azt jelenti, hogy azt az esetet tárgyaltuk, amikor a nyírási repedés(ill. a ferde nyomott ferde rácsrudak) hajlásszöge a vízszinteshez Θ = 45 o. Mint az MSZ-nél, a klasszikus Mörsch-féle modell alapján. A fentiek alapján a nyírási teherbírás V Rd tervezési értéke(a határnyíróerő) a V Rd,c alsó korlát és a V Rd,max felső korlát közé kell essen: (V4). Végül a megfelelést a (V5) feltétel teljesítése jelenti: ELLENŐRZÉS. 3.3. CSAVARÁS(tiszta csavarás és csavarás+nyírás) Mindenekelőtt a 3.3. 1. ábrán bemutatjuk a rugalmasságtani csavarási alapfogalmak közül a legfontosabbakat. Kétféle csavarási megtámasztási fajta látható az ábrán: az a) villás megtámasztás és a b) merev befogás. Az utóbbi megfelel annak, amit a Mechanika c. tárgyban az egyszerű(tiszta) hajlításnál már megismertek a hallgatók. A villás megtámasztásnak az a jellegzetessége, hogy a külső T csavarónyomatékot fel tudja úgy venni, hogy nem gátolja a befogási keresztmetszet pontjainak tartótengelyirányú (x) w öblösödését, tartótengelyirányú torzulását. Ezért a b) esettel ellentétben, az a) esetnél nem keletkeznek a befogásnál σ x σ ω feszültségek. járulékos A csavarás alábbi két fajtáját különböztetjük meg: 1) Tiszta csavarás(de Saint-Venant-féle csavarás; 3.3. 2. 3. ábra) Tiszta csavarásra van igénybe véve az állandó keresztmetszetű, azaz állandó GI t csavarómerevségű gerenda/rúd, ha a két végén egyforma T nagyságú csavarónyomaték/erőpár csavarja, azaz a T csavarónyomaték a rúdtengely mentén állandó. Tiszta csavarásnál a keresztmetszetek pontjainak tartótengelyirányú (x) w eltolódását/öblösödését, valamint a keresztmetszeti idom/kontur keresztirányú torzulását nem akadályozzuk meg. Tiszta csavarásból a rúd keresztmetszeteiben csak τ t csavarási nyírófeszültségek ébrednek és ezek a tartótengely mentén minden keresztmetszetben ugyanakkorák. A keresztmetszet pontjainak tartótengelyirányú (x) w öblösödése is minden keresztmetszetben azonos nagyságú. 116
2) Gátolt csavarás(hajlító csavarás) Ha a keresztmetszet pontjainak tartótengelyirányú (x) w öblösödését valami gátolja, akkor gátolt csavarásról beszélünk. Ekkor a TV csavarási/nyírási középponton (3.3. 1. ábra) átmenő csavarási tengely a rúd egyetlen olyan alkotója, mely egyenesen marad, a többi alkotó pedig elgörbül és a hosszát is megváltoztatja. A gyakorlatban általában gátolt csavarással van dolgunk. Ha a szekrény keresztmetszetű vasbeton tartót vékony kereszttartó tárcsákkal, diafragmákkal megfelelően merevítjük, akkor a keresztmetszet keresztirányú torzulása elhanyagolhatóan kicsi lesz. Ennek megfelelően a gátlás helyénél kialakuló viszonylag σ x σ ω (és τ ω ) öblösödési feszültségek a gátlás helyétől jelentős nagyságú távolodva rohamosan csökkennek, majd elhanyagolhatóan kicsik lesznek. Innentől kezdve (majdnem) tiszta csavarás működik. Megjegyezzük, hogy a diafragmák megnehezítik a kivitelezést, ezért e tekintetben kompromisszumra van szükség (a támaszoknál mindenképpen kell diafragma). A tömör rúd csavarásakor a fellépő σ ω (és τ ω ) öblösödési feszültségek hatása elhanyagolhatóan kicsi. A gátolt csavaráskor fellépő σ ω (és τ ω ) öblösödési feszültségek a nyitott keresztmetszetű(3.3. 2. ábra), vékonyfalúnak tekintett vasbeton tartók erőjátékát jobban befolyásolják, mint a zárt keresztmetszetű tartók erőjátékát. A gyakorlati esetek többségében azonban a nyitott keresztmetszeteknél is megelégedhetünk ezen hatás közelítő figyelembevételével vagy esetenként az elhanyagolásával. A gyakorlatban szükség van a 3.3. 2. ábrán látható néhány fontosabb repedésmentes keresztmetszet rugalmasságtan szerinti tiszta csavarási keresztmetszeti jellemzőire. A nyitott keresztmetszetek de Saint-Venant-féle (S index) I t = I ts csavarási tehetetlenségi nyomatékát és W t = W ts csavarási keresztmetszeti tényezőjét tömör, vastagfalú szelvényekre adtuk meg. Téglalap keresztmetszetnél a hosszabb oldal közepén keletkezik a legnagyobb τ t = τ ts csavarási nyírófeszültség(3.3. 3. ábra). I-keresztmetszetben(i=1,2,3) a legvastagabb elemben keletkezik a legnagyobb τ ti = τ tsi csavarási nyírófeszültség. A zárt keresztmetszetek Bredt-féle (B index) I t = I tb csavarási tehetetlenségi nyomatékát és W t = W tb csavarási keresztmetszeti tényezőjét szekrényes keresztmetszetekre adtuk meg. Ezeknél a legvékonyabb elemben (i=1,2,3,4) keletkezik a legnagyobb τ t = τ tb csavarási nyírófeszültség. A zárt keresztmetszetek teljes csavarási tehetetlenségi nyomatéka: I t = I ts + I tb, és hasonlóképpen csavarási nyírófeszültség: τ t = τ ts + τ tb. Vékonyfalú zárt keresztmetszetek esetében az eredő az I ts, W ts, τ ts mennyiségek elhanyagol-hatóan kicsinyek az I tb, W tb, τ tb mennyiségekhez képest. 117
A 3.3. 2. ábrán kiemeltük, hogy a t = τ tbi v i nagyságú ún. nyírófolyam a zárt keresztmetszet középvonala mentén állandó (i=1,2,3,4). Ezen alapszik az a számítási eljárás, amelyik a 3.3. 8. ábrán látható. 3.3.1. I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT (1.5. pont) Repedésmentes keresztmetszet esetén, jó közelítéssel, a fenti általános rugalmasságtani megfontolásokat tekinthetjük érvényesnek. 3.3.2. II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) Berepedt keresztmetszetekre az előző pontbeli eredmények az előzőnél nagyobb közelítést, becslést jelentenek. 3.3.3. III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont); 3.3. 3. és 4. ábra! A berepedt vasbeton keresztmetszet (törési) határállapotbeli csavarási teherbírásának(r) T Rd tervezési(d) értéke(csavarási határnyomatéka) a 3.3. 5. 8. ábra segítségével határozható meg. A keresztmetszet csavarási teherbírásának T Rd,c alsó korlátja és T Rd,max felső korlátja ugyanazt a szerepet tölti be, mint amit már a tiszta nyírásnál részleteztünk: bereped-e csavarásra a keresztmetszet, azaz kell-e csavarási vasalás (T Rd,c ), illetve a betonméretek jók-e és a betonminőség megfelelő-e (T Rd,max )? A csavarási vasalást egymásra merőleges irányú kengyelek és hosszvasak képezik (3.3. 3. és 6. ábra). A 3.3. 8. ábra szerinti (Tt4s) és a (Tt4l) összefüggés szerint meg kell határozni a kengyelek(s) T Rd,s,s csavarási teherbírását (csavarási határnyomatékát) és a hosszirányú(l) acélbetétek T Rd,s,l csavarási teherbírását(csavarási határnyomatékát), és e kettő közül a kisebb a csavarási vasalás(s) határ- teherbírásának(r) T Rd,s,s tervezési(d) értéke(a csavarási vasalási nyomaték). Végül a megfelelést az (Tt7) feltétel teljesítése jelenti: ELLENŐRZÉS. 3.3.4. Egyidejű CSAVARÁS és NYÍRÁS A 3.3. 9. és 10. ábrán ezt és a kérdést is részletesen megtárgyaltuk. Több helyünk nincs. Felhívjuk a figyelmet a 3.3. 4. ábrára, ahol a csavarási nyírási hajlítási összetett igénybevételeknél kialakuló törésképeket szemléltetjük. 118
3.4. KÜLPONTOS NYOMÁS (ÉS KÖZPONTOS NYOMÁS) 3.4.0. STABILITÁS A terhelő erők és a terhelő mozgások okozta igénybevételek, valamint alakváltozások(lehajlások) meghatározására általában a homogén, izotróp, repedésmentes, lineárisan rugalmas anyagú tartókra vonatkozó módszereket szabad alkalmazni. A statikai vizsgálatoknál általában az ún. elsőrendű elmélet keretében, kis elmozdulások feltételezésével dolgozhatunk. Ekkor érvényes a megmerevítés elve, azaz a deformálatlan, változatlan tartóalakra írjuk fel az egyensúlyi és az összeférhetőségi/geometriai egyenleteket, amelyek ezen elmélet keretében lineárisak. A linearitás miatt érvényes az egymásrahalmozás/szuperpozíció elve is. Ez az az elmélet, amelyet a hallgatóknak a Mechanika és a Tartók statikája c. tárgy keretében oktattak. Ezzel a módszerrel határozzák meg a hallgatók a különböző tartószerkezetek igénybevételeit (pl. Cross-módszer, erőmódszer stb.). Ilyen módon azonban csak az igen kis alakváltozások tartományában kaphatunk jó eredményeket. Stabilitási vizsgálatokat az elsőrendű elmélettel nem végezhetünk. Stabilitási kérdéseknél, főleg a nagyobb alakváltozások tartományában, a tartó alakváltozásainak az erőjátékra való visszahatásából származó ún. másodrendű hatások(igénybevételnövekmények, alakválto-zás-növekmények) nem hanyagolhatóak el. Ekkor az alakváltozásokkal módosított megváltozott tartóalakra írjuk fel az egyensúlyi és az összeférhetőségi/geometriai egyenleteket. Az elmélet attól másodrendű, hogy az egyensúlyi egyenletek tartalmazzák az alakváltozásokat is, ezért a végeredményként kapott összefüggések nemlineárisak lesznek. Ha a másodrendű hatások jelentősek, akkor stabilitásvizsgálatot kell végezni. Az egyensúly alábbi alapvető típusait különböztetjük meg (3.4. 1. ábra ): a) Stabilisnak(stabilnak, biztosnak) nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha abból kismértékű zavarással(elmozdulással) kimozdítva a szerkezet visszatér az eredeti állapotába, mert az eredeti helyzetben a legkisebb a rendszer potenciális energiája. A tervezőmérnökök számára nyilvánvalóan a stabil egyensúlyi helyzet a legfontosabb, hiszen csak stabil Az egyensúlyi egyensúly állapotban alábbi alapvető tudjuk típusait a szerkezeteket különböztetjük használni. meg (3.4. 1. ábra ): b) Labilisnak(bizonytalannak) nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha abból kismértékű zavarással(elmozdulással) kimozdítva a szerkezet nem tér vissza az eredeti állapotába, mert az eredeti helyzetben a legnagyobb a rendszer potenciális energiája. c) Kritikusnak nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha abból kismértékű zavarással(elmozdulással) kimozdítva az eredeti egyenes egyensúlyi alak/helyzet szomszédságában ismét nyugalmi helyzet áll elő, azaz változatlan P kr =P kr,l kritikus tehernagyság mellett is létezik egy második egyensúlyi helyzet is, mégpedig kihajlott/kigörbült alakban. Az egyensúlyi helyzet kis környezetében a rendszer potenciális energiája állandó(l index: l. a következő oldalon). A c) eset tulajdonképpen az a) eset és a b) eset közötti átmeneti állapotot jellemzi. A régebbi szakirodalom nem eléggé szabatos módon a kritikus egyensúlyi helyzetet indifferens(közömbös) egyensúlyi helyzetnek nevezte. A kritikus egyensúlyi helyzetben az egyensúly elágazik. Ez azt jelenti, hogy a kritikus pontban egyensúly lehetséges az eredeti egyenes alakon kívül egy szomszédos, kihajlott/kigörbült alakban is. 119