T M > 5 6 T M M = T M +T M T M M > 5 6 T T T = 2 3 T.

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º Î ÐÓ ØÓØØ Ð ØÓ Ñ ÓÐ ¾¼½¾º Ú Þ Ì ÓÖ Ð ÌȺ½º Î Ó ÔÓÒØ Ý ÐÝ Þ Ð ÓÒ Ó Ý Þ Ð ÖÑ ÐÝ ÖÓÑ Ð ÓØØ ÖÓÑ Þ Ø Ö Ð Ø Ð Ð 1 Ý Ò ÝÞ Øº ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ð Ø Ý µ 4 Ý Ò ÝÞ Ø Ø Ö Ð Øò ÖÓÑ Þ Ð Æ ÑÞ Ø Þ Å Ý Ö Å Ø Ñ Ø Î Ö ÒÝ Ð Ø µ 4 Ý Ò ÝÞ Ø Ø Ö Ð Øò Ø Ð Ð ÔÔ Ð µ 10 3 Ý Ò ÝÞ Ø Ø Ö Ð Øò Ø Þ Ð Å ÓÐ µ Ú ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ú Ó ÖÓÑ Þ Ø Ø ÖÓÞ Ñ º Ä Ý Ò Þ ¹ Þ Ð Þ Ý Ð Ò ÝÓ Ø Ö Ð Øò Þ ABC ÖÓÑ Þ º Ì ÒØ Þ AB = c Ý Ò Ø Þ ÞÞ Ð C¹Ò Ö ÞØ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ò ÞÓØØ c 1 Ý Ò Ø c 1 Ý ¹ Ò c¹ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ö Ô Ø c Ý Ò Øº c 1 c Ý Ò Ò Ð ÐÝ Þ ÖÑ ÐÝ ÔÓÒØ Þ A B ÔÓÒØÔ ÖÖ Ð Þ ØÚ ÓÐÝ Ò ÖÓÑ Þ Ø Ð ÓØ Ñ Ðݹ Ò Ø Ö Ð Ø Ñ Ý Þ Þ ABC ÖÓÑ Þ Ñ Ü Ñ Ð Ø Ö Ð Ø Ú Ðº Î Þ ÐØ ÔÓÒØ ÐÑ ÞÙÒ ÖÑ ÐÝ Ø A¹Ú Ð B¹Ú Ð Þ ØÚ Ð Ð ÓÖ Ø ¹ Ö Ð Øò ÖÓÑ Þ Ø Ð ÓØ Ñ ÒØ ABC Ý ÔÓÒØ ÐÑ ÞÙÒ Ø Ð Þ Ò c 1 c Ý Ò Ò ÐÐ ØÚ ÞÓ Þ ØØ Ø Ð Ð Ø º c 1 C c A B c ÞØ ÓÒ ØÖÙ Ø Ð Þ Ø Ø BC CA ÓÐ Ð Ð Ò ÙÐÚ º Þ Ö Ý¹ Ý Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ý Ò Ô Ö ÞØ ÚÓØ ÔÙÒ H ÐÑ Þ ÔÓÒØ Ò Ð Ø Ð ÐÝ Þ Ö º ½

B C A B A C ÖÓÑ Ú Ñ Ø Þ Ø Þ Þ A B C ÖÓÑ Þ Ñ ÐÝÒ Þ Ô ÖÓÑ Þ Þ ABC ÖÓÑ Þ º B C A B A C Þ ÖÓÑ Þ ÔÔ Ò Ý Þ Ö ÓÖ Ø Ö Ð Øò Ñ ÒØ Þ Ö Ø ABC ÖÓѹ Þ Ø Ø Þ ÙØ Ð Ð 1 Ý Ò ÝÞ Ø Ø Ö Ð Øò ÓÖ Þ A B C Ø Ö Ð Ø Ð Ð 4 Ý Ò ÝÞ Øº µ Ú Ó ÔÓÒØ Ú Ó Þ ÞØ Ø ÖÓÞ Ñ º Ì ÒØ Þ Þ Ð Þ Ý Ð Ó Þ Ø Ð Ý Ò Þ DEº ¾

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º x D x x E ýðð Ø ÙÒ Ñ Ö Ð Ý Ò Ø C¹ Ò ÐÐ ØÚ D¹ Ò CD¹Ö º H ÐÑ Þ Ñ Ò Ý ÔÓÒØ Ø Ñ Ö Ð Þ ØØ Ú Ò ÐÐ ØÚ C D Ñ Ù ÓÒ Ñ Ö ¹ Ð Ò Þ Ò ÔÐ C¹ Ò ÐÐ ØÓØØ Ñ Ö Ð Ò ÞÓÒ Ø Ð Ð ÐÝ Þ ÔÓÒØÓ D¹Ø Ð Ñ Þ Ú ÒÒ Ñ ÒØ C Ú Ú Ñ Ø C¹Øº À Þ x Ó Þ CD Þ Þ Ý ÖÓÑ Þ ÓÐ Ð Ñ ÐÝÒ CD¹ Þ Ø Ö¹ ØÓÞ Ñ m ÓÖ ÖÓÑ Þ Ø Ö Ð Ø T = 1 mxº Þ ÖØ CD¹Ú Ð 1¹Ò Ð Ø Ö Ð Øò ÖÓÑ Þ Ø Ð ÓØ ÔÓÒØÓ CD Ý Ò Ø Ð m < x Ø ÚÓÐ Ö Ú ÒÒ º Þ ÐØ Ø Ð Ý ÚÖ ÓÖÐ ØÓÞÞ H ÐÑ Þ ÔÓÒØ Øº ÒÒ ÚÒ Ø ÖÓÐ Ý Ò Þ Ð Þ Ú Ø ÖÓÐ Ý Ò Ú Ð Ö Þ Ø Þ Ö¹ Ò Ø Ø Ø ÐØ Ø Ð Ý ØØ Ý Ø Ð Ð ÔÖ Þò Ø H ÐÑ Þ ÔÓÒØ Ò Ð ÐÝ Þ Øº Ø Ð Ð Ô Ø Ö Ð Ø x x = 4º µ Þ µ µ Ð ØÖ Þ Ò ÔÓØØ ÖÓÑ Þ Ø Ð Ð Ô Ñ Ø Þ Ø Ø Ö¹ Ø ÐÑ ÞÞ H ÔÓÒØ ÐÑ Þغ Þ Ñ Ø Þ Ø Ý Ð Ð Ø ÓÐ Ð Ó Þ Ø Ø Ñ Ð Ð Ý ØÐ Ð ÙÐ Ø Þ Ò º ýðð Ø Ù Ó Ý Ñ Ø Þ Ø Ø Ö Ð Ø Ð Ð 10 3 º ÞØ Þ ÐÐ Ø Ø ÐØ Ð ÒÓ Ò Ó ÐÑ ÞÞ Ñ Þ Ð Ð ÑÑ º Áº Ä ÑÑ ÖÑ ÐÝ T Ø Ö Ð Øò ÖÓÑ Þ ÖÑ ÐÝ Ù Ý Ò ÓÖ Ø Ö Ð Øò Þ ÔÔÓÒØÓ Ò Þ ÑÑ ØÖ Ù Ð Þ Ø Ñ Ø Þ Ø Ð Ð 5 6 T Ø Ö Ð Øòº Þ Áº Ä ÑÑ ÞÓÒÝ Ø Â Ð Ð ÖÓÑ Þ Ø Ú Þ ÐØ Þ ÔÔÓÒØÓ Ò Þ ÑÑ ØÖ Ù Ð Þ ØÓØ K Ñ Ø Þ Ø Ø Mº ¹Ú Ð ÐÐ ØÚ M ¹Ú Ð Ð Ð ÖÓÑ Þ ÐÐ ØÚ Þ M Ð Þ Ø Ô Ø ÒÒ Ð Þ ÔÔÓÒØÓ Ø Ö Þ Ò Ð Ñ ÐÝ ÒÑ Ô Þ K¹Øº Å Ú Ð M K Ý M K Ñ Ð M M Kº À T M > 5 6 ÓÖ T M > 5 6 Ý T M M = T M +T M T M M > 5 6 T + 5 6 T T = 3 T. ½µ Å Ö ÞØ M Ý M Þ ÖØ M M º Þ Ð ÁÁº Ä ÑÑ ÐÐ Ø Ý ÐÐ ÒØÑÓÒ ½µ Ö Ð Ò Ø Ø Þ Áº Ð ÑÑ ÞÓÒÝ Ø Ø ÒÝ ÖØ ÌºÈº½ºµ Ð Ø Ñ ÓÐ Þ Øغ ÁÁº Ä ÑÑ À ÖÓÑ Þ Ø Ö Ð Ø T ÖÓÑ Þ Þ ÔÔÓÒØÓ Ò Ø Ö Þ ØØ Ô ÓÖ Ð Þ Ø Ø Ö Ð Ø Ð Ð 3 T º

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º ÁÁº Ä ÑÑ ÞÓÒÝ Ø Ð Þ Ø Þ ÔÔÓÒØÓ Ò Þ ÑÑ ØÖ Ù ÓÒÚ Ü Ø Ø Ú Ý Ø Þ Ú Ý Ò Ý Þ Ú Ý Þ Þ Ú Ý ÔÓÒØ Ú Ý Ö Ð Þ Øº Þ ÙØ ÖÓÑ Ø¹ Ø Ð Ò Ñ Ó Ð Ð ÓÞÙÒ Ø Ö Ð Ø Þ ÖÙ º Þ ÔÔÓÒØÓ Ò Þ ÑÑ ØÖ Ù Ò Ý Þ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÑ º Á Ñ ÖØ Ó Ý ÖÓÑ Þ ÖØ Ð Ò ÝÓ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ð Ø ÖÓÑ Þ Ø Ö Ð Ø Ò Ð Ý ÞÞ Ð Þ ØØ Ð Ñ ÐÐ ØÓÚ Ó ¹ Ð Ð ÓÞÒ º Î Þ Ð Ù Ø Þ Ø Ø B C T 6 a 1 T 1 T a A T 5 a 3 T 3 B A T 4 C Ø Þ Ñ ÐÐ ØØ Ø ÖÓÑ Þ Ð ÓØ Þ Ö Ø Ñ ÐÝ Ñ Ò ÓÒ¹ Ð Þ Ö Ø ABC A B C ÖÓÑ Þ Þº BC = a ÓÐ ÐØ B A A C Þ ÞÓ Þ a 1 a a 3 Ó Þ Þ ÞÓ Ö ÓÒØ Ý Ñ ÐÐ ØØ Ð Ú ÖÓÑ Þ T 1 T T 3 Ø Ö Ð Ø Ö T 1 T + T T + T ( 3 T = a1 a ) + ( a a ) ( a3 ) ( a1 + 3 a a + a a + a3 a 3 ) = 1 3. ¾µ Å Ò Ø Þ Ò Ò ÝÞ Ø Þ ÑØ Ò Þ Ô ÞØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø ÞÒ ÐØ٠к Þ ÓÒÐ Ò T 3 T + T 4 T + T 5 T 1 3, T 5 T + T 6 T + T 1 T 1 3, Ý ÖÓÑ Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ Ý T 1 +T 3 +T 5 T T 1 +T 3 +T 5 1 3 T, + T +T 4 +T 6 T T +T 4 +T 6 1 3 T 1, µ Ö Ð Þ Ð Ð Ð Þ Ý Ø Ð Ðº T 1 + T 3 + T 5 Þ Ø ÐÐ Ð ÚÓÒÒ Þ ABC ÖÓÑ Þ T Ø Ö Ð Ø Ð Ó Ý Ú Þ ÐØ Ø Þ Ø Ö Ð Ø Ø Ô Ù Ñ T +T 4 +T 6 Þ Þ ÒØ Ò T Ø Ö Ð Øò A B C ÖÓÑ Þ Ø Þ Ø Ö Ð Ø Ò Ð Ò º ÞÞ Ð ÁÁº Ä ÑÑ ÞÓÒÝ Ø Ø ÒÝ Öغ

ÌȺ¾º ÖØ 0 1 º º º(n ) (n 1) Ó ÞØ ÔÓÒØÓ Ð n Ý ÒÐ ÚÖ Ó Þ¹ ØÓØØÙ º Ý Þ 0 ÔÓÒØ Ð Ò ÙÐÚ Ö Ö Ð Ø Ò Ö Þ Ø ØØ ÓÖ Ö ÒÝ Ò Ù Ö Ðº Þ Ò (n 1) Ù Ö Ø Ú Þ Ñ ÐÝ Ó Þ Ú Òµ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ÓÖÖ Ò ¹ Ò 1 3 º º º n 1 nº  РРH ÞÓÒ Ó ÞØ ÔÓÒØÓ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ö Þ Ö Ù ÖÓØغ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý H Ð Ñ Þ Ñ µ Ð Ð n µ Ð Ø 10 n¹ò Ð µ ÔÖ Ñ n Ø Ò Ð Ø (n 1) º Å ÓÐ µ  ÒÞ Ö ÇÐ Ú Ö À H Ð Ñ Þ Ñ n¹ò Ð Ú Ð ÒÒ ÓÖ Ð ÒÒ H¹ Ò ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ ÐÝÖ n n = n¹ò Ð Ø Þ Ö Ð ÔØ Ò Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ñ ÖØ H Ð ¹ Ñ Ö Ð Ð Ô Ø Ò Ó º µ Ì ÒØ 0 1 º º º([ n] 1) Ó ÞØ ÔÓÒØÓ Ø Þ ÐÑ Þ Ø Ð Ð H 1 Ú Ð Ñ ÒØ [ n] [ [ n ] n] º º º [ n] Ó ÞØ ÔÓÒØÓ Ø Þ ÐÑ Þ Ø Ð Ð H º Þ Þ Þ Ò 3 n Ó ÞØ ÔÓÒØ Ð ÒÝ Ò Ò Ñ Ð Ð º Î Ý ÞÖ Ð Þ Ö Ó Ý H 1 ¹ Ð H ¹ Ð Ð Ñ ÞØ Ð Ò Ñ Ò Ð Ò Þ Ñ ÓÖ Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ø ÒØ Ð Ò ¹ غ Þ [ [ n ] n] n Ð Ò Ñ ³ Ñ Ò Ý Ð Ø Ù Ö Ó Þغ Ê ÙÐ H 1 H Ð Ñ Ø Ý Ö ÒÝ ØÓØØ Ô ÖÓ Ö Ò Ø ÒØ Ø Ñ ÐÝ Ò H 1 Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ø Ð Ø Þ H Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ú Ð Þ Þ Ð Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ö ÒÝ ØÓØØ º Ò Þ Þ Ö Ò Ø Ø Ñ Ò Ò Ó Ó Ý ÒÐ Ý Ö Ò Ú Ò Ö ÒÝ ØÓØØ ÙÐ Ö Öº Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ø ÐÑ Þ ÞØ Þ Ù Ö ÓÖ Ò Ú Ù ÓÖ Ø º Ý [ n ] [ n]¹ò Ð Ó Þ Ý Ò n [ n Ù Ö Ó Ñ Ö Ø Þ Þ Ñ Ò Ñ Ø Ñ ÒØ ( n ( n 1 ) ( )) n 1 3 n. ] [ n]¹ò Ð Ö Ú À Þ Ú ÖØ Ó ÞØ ÔÓÒØÓ Ð Ú Ø ÐÑ ÞÙÒ Ø ÓÖ 9 n Ó ÞØ ÔÓÒØÒ Ð Ø ÖØÙÒ º Å Ý ÞÞ Ó Ý Ý Ò ÓÒÐ ÐÚ Ò Ñ ¹ ÑÙØ Ø Ø Ó Ý 3 n+ Ð Ô Ð Ò º µ Áº Ñ ÓÐ Á Ñ Ö Ø Ó Ý Þ ÖÙ Ø Ð Ð Ò Þ ÑÓ p Ñ Ö Ó Ö Ù ÐØ Ñ Ö ¹ Ó ÞØ ÐÝÓ µ ÓÔÓÖØ Ð Ù Þ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò q Ñ Ö Ñ ÐÝÒ ØÚ ÒÝ 1, q, q, q 3,..., q p µ Þ Þ Þ ÖÙ Ø Ð Ð Ò Þ Ñ Ö Ó ÞØ ÐÝ Øº Þ ÙÐ Ö¹ ÖÑ Ø Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ q p 1 1 (mod p) Þ Ñ Ö Ò Ñ Ñ Ö µº Ø Ñ Ö Ó Ò Ð ÔÐ ÔÖ Ñ Ø Ú Ý 3 Þ Ò 1, 3, 3 = 9, 3 3 = 7 6, 3 4 = 81 4, 3 5 = 43 5

Þ Þ Ò ÑÒÙÐÐ Ñ Ö º Ð ØÙÒ Ò ÓÖ Ò Ð Ò Þ ÐÝÖ Ù ÖÙÒ ÑÓ p Ù Ö Ò Ú¹ Ó Þ Ö Ò Ö µ¹ Ò Ñ ÓØØ ÖØ º ÒÒ ÞÓÐ ÓÞ ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙ¹ Ø ØÒÙÒ Ó Ý µ Ð Ñ Ð ÐÐ Ö ÞÐ Ø Þ Ò Ñ Ó ÞØ Ø p¹ú к Ý ÐÝ Ò Ö ÞÐ Ø Þ m 0 p > k 1µ q m +q m+1 +q m+ +...+q m+k 1 = q mqk 1 q 1 Þ q Ò Þ Ö ÒØ ÓÖ Ó ÞØ Ø p¹ú Ð k = p 1 Ý Þ ¹ ÔÔ Ò m = 0 Ñ ÞØ ÑÓÒ Ó Ý µ¹ Ò Ð ÖØ Þ Ù Ö ÐÚ Þ ÙØ Ò Þ ÔÓÒØ Ö Ò Ú Þ Ñ ÐÝÖ ÓÖ Ù ÖÙÒ Ð Þ Öµº µ ÁÁº Ñ ÓÐ ÀÓÑÓÒÒ Ý Ð ÒØ Æ Ñ Ó Ù ÞÒ ÐÒ Ó ÝnÔÖ Ñº ÐÝ ØØ ÖÓÑ Ø Ø Ð Ò ÞØ Ø Ò Ñ n Ð Ø 4k 1 Ú Ý 4k + 1 Ð Ô Ö ØÐ Ò Þ Ñ Ð Ø Ô ÖÓ Þ Ñ Þ Þ k Ð µº Áº Øn = 4k 1º Ù ÓÞÞ Ð Þ Ö Ð Ò ÝÓ Ô ÖÓ Ñ Ð Ô ÖÓ Þ ÑÓغ ÞÙØ Ò Þ ½º Ñ Þ Ö Ö Þ Ò 4k + = 4kµº ÅÓ Ø Ò Ð Ù Ñ ÞØ Ñ Ö Ð Ð Ò ÝÓ Ô ÖÓ ÐÐ ØÚ Ð Ô ÖÓ ¹ Þ ÑÑ Ð ÞØ Ñ Ø Ð Ñ Ý Ô ÖÓ Þ Ñ Ñ Ö º ÓÖ (k 1). Ñ Þ Ò Ð Þ Ò (3k )¹Ø Ð 0¹ Ò Ø (k 1)¹ Ñ Ò Ò Ò ÚÓÐØÙÒ Ñ Öº ÅÓ Ø Ð Ô Ò (k 1)¹ Ø Ø Ø Ð Ô Ò (3k 3)¹Ö º ÁÒÒ ÒØ Ð Ô Ò Ð Ù Ù Ý Ò ÞØ Ñ ÒØ Ú Þ Ð Ä Ô k¹ ÓÞ Ð Þ Ð Ð Ú Ô Ö ØÐ Ò Þ ÑÓØ Ð ÐÖ Ð Ñ ÐÙÐÖ Ð ÞØ Ñ Ø Ð º ÓÖ ÓÖÓÞ Ø ÒÒ ÒØ Ð Þ Ú (k 1) (k+1) (k 3) (k+3) º º º Ã Ø ÝÑ ÙØ Ò Þ Ñ Þ ØØ 4k Ø Ø Þ Ý Ñ ÓÐ ÐÓÒ Ý Ú Ð Ñ ÖØ Ñ Ò ½¹ Ð Ò ÝÓ Þ Ñ ÓÞ ÙÒ ØØ Ú Ð Øµº Å Ú Ð Ñ Ò Ò Ò Ý Ø Ð ÔØ Ò Ú Ú Ý Ø kµ Ñ Ò Ò Ñ Þ Ö Ð ÙØÓØØÙÒ Ý Ú Ø Ð Ú Ðº Áº Ø n = 4k + 1º ÙÒ ÓÞÞ Ð Þ Ö Ð Ò ÝÓ Ô ÖÓ Ñ Ð Ô ÖÓ Þ ÑÓغ ÞÙØ Ò Þ ½º Ñ Þ Ö Ö Þ Ò 4k+ = 4k+µº ÅÓ Ø Ò Ð Ù Ñ ÞØ Ñ Ö Ð Ð Ò ÝÓ Ô ÖÓ ÐÐ ØÚ Ð Ô ÖÓ ¹ Þ ÑÑ Ð ÞØ Ñ Ø Ð Ñ Ð Ó ÝÒ Ô ÖÓ Þ ÑÓ º Å Ñ Ø Ð ÞØ Ñ Ô Ö ØÐ Ò Þ ÑÓ Ð Þ ÔÖ Ð (k 1) (k+3) (k 3) º º º Ý (k +1)¹ Ø Ý Ù Ñ Ò Ñ Þ Ö Ð Ô Ò Ø Ø Ý Ú Ø Ð Ú Ð ØØ Ö Ù Þ Þ Ñ Þ Øº ÁÁÁº Ø n = kº ÓÖ Ð Ò ÝÓ Ô ÖÓ Ñ Ð Ô Ö ØÐ ÒØ ¹ Ñ Ø Ð º Ô ÖÓÒ ÒØ Þ Ñ ÒØ Ý Ø Ø Þ Ý ÓÐ ÐÓÒ Ò Ñ Ð Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö ØÐ Ò Þ ÑÓ ØØ Ú Ð ÒÒ Ú ÞÓÒØ Ý Ø Ñ Ò Ð ÙÒ Þ Ð Þ Þ Ô Ø Ø Ø ÞÓ Ý Ò ÒØ Ú Ø ÝÑ Ø Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ö Ð Ô Ò Þ Þ Ñ Þ Ø ØÙ Ù ÖÒ º Å ÝÞ Ã Þ Ñ ÔÔ Ú Ö ÐØ Þ ÓÐ ÑÔ Ð ØÓغ ÌÓÑÓÒ Á ع Ú Ò Ý Ö Ò Ú Þ ÐØ ÔÓÞ Ø Ú Ù Ö Ó Ø Ò ØØ Ñ Ã Þ Ò ¾ Þ Ý Ò Ò Ñ Ö Ø Ò Ø Ú Ù Ö Ó Ø Ò ÐÝ Þ Øغ Ö Ð Ö Ø Ò Ø Ò ØØÔ»» ÖÜ ÚºÓÖ»Ô»½¼¼ º¾ ºÔ

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º Æ º½º Ä Ð ÒÝ Ð Ð Ø Ý n Ý Þ Öò Ö Ò Ò Ò Ò ÒÒ Ô ÖÓ Ó Þ Ö Å ÝÞ ÐØ Ø Ó Ý Ö Þ Þ Ò Þ Ý ÓÑÔÓ¹ Ò Ò Ø Þ Ø Þ Þ Ø Ú Ð ½¹½ ÐÐ Ð ÓÖ Ò Ñ Ð Ø Þ Öº Áº Ñ ÓÐ Ä Ý Ò G Ý Þ Ý Þ Öò Ö Ñ Ò Ò Ò Ô ÖÓ Öº v 0 L 3 Þ ÒØ L Þ ÒØ L 1 Þ ÒØ L 0 Þ ÒØ Ä Ý Ò v 0 Þ Ý º Ç ÞÙ Þ ÒØ Ö Ó Ø v 0 ¹Ø Ð k Ø ÚÓÐ Ö Ð Ú ÔÓÒØÓ Ð Ó Þ L k Þ ÒØ Øº Þ L 0 Þ ÒØ Ò v 0 Ú Òº Ð ÞÓÑ Þ Ó Þ ÒØ ÞØ Ú Ý Ý Þ ÒØ Ò Ð Ð Ú Þ Ø ØÒ º Å Ò Ò v 0 ¹Ø Ð Ð Ò Þ Ð Ú Þ Ø Ð Þ Ð ÓÒÝ Þ ÒØÖ º v 1 v 0 L 3 Þ ÒØ L Þ ÒØ L 1 Þ ÒØ L 0 Þ ÒØ Ì Ý Ð Ó Ý Ý v 1 v 0 Ð Ø Ð Ú Þ Ø Þ Ý Ð Ð ÓÒÝ Þ ÒØÖ º Î Ý v 1 Ø ÞÓÑ Þ Ò Þ Ð ÓÒÝ Þ ÒØ Ò Ð Ú ÞÓÑ Þ ¹ Ø Ñ Ø Ø Ò Ñ Ø Ð Ð ÓÞ º Ä v 0 ¹ Ò Ø Ð Ð ÓÞÒ Ù Ðкµ ÓÖ Ø Ø Ý Ô ÖÓ ÖØ Ð Óغ Ì Ø Ñ Ò Ò v 1 v 0 ÔÓÒØ Ð Ð Ð Ý Ð Ñ Ý Þ Ð ÓÒÝ Þ ÒØÖ Ý Ð Ð n 1 Ð Ú Þ Ø Ð Ò Þ Þ ÒØ Þ Øغ v 1 v v 3 v 0 L 3 Þ ÒØ L Þ ÒØ L 1 Þ ÒØ L 0 Þ ÒØ

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º Ì Ý ÑÓ Ø Ð Ó Ý Ý v 1 Þ Ú Ò ØÚ Ú Ð Ý Þ ÒØ Ò Ð Ú v v 3 Ó Ðº ÓÖ v ¹ Ð v 3 ¹ Ð Ò ØÚ ½¹½ ÙØ Ø Ð Ð Ñ Ò Ñ Ø Ð Ð ÓÞÒ Ô ÖÓ ÖØ Ø Ð ÐÙÒ º Ì Ø Ý Þ ÒØ Ò Ð Ð Ñ Ò Ò Ð Ð Ý Ñ Ð Ð Ø Þ ØÚ º Ý Þ Ý Þ ÒØ Ò Ð Ð Ð Þ Ñ Ð Ð L i i n 1 º v 0 L 3 Þ ÒØ L Þ ÒØ L 1 Þ ÒØ L 0 Þ ÒØ Ì Ø Þ Ð Þ Ñ Ð Ð 3 (n 1) º Þ Ð Ö Ø G Ý Þ ÐÑ ¹ ÐÓÑ Ö Ô ÖÓ n Ø Ò Þ ØÚ Ñ Ý Ð Ý ÐРк Þ ÐÑ ÐÓѹ Ö Ý Ô Ö ØÐ Ò Ö Ñ Ý Þ Ò Ö ÒØ Þ ÖÓÑ Þ Ð Ðк Þ ÐÝ Ò Ø ÔÙ Ö Ó Ö Þ Ó Ý ÖÑ ÐÝ Ø Ù Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ ÞÓÑ Þ Ú Òºµ ÁÁº Ñ ÓÐ À Ñ Ø ØØ 3 (n 1) ¹ Ú Ö Ñ ÒÝØ ÞØ Ò Ù ¹ Ú Ð ÞÓÒÝ Ø Ø Ù º n 3 Ø Ò Þ ÐÐ Ø Þº Ì Ý Ð Ó Ý n 4 Ñ Ò Ò n¹ò Ð ÖØ Ö Ñ Ö ÞÓÐØÙ Þ ÐÐ Ø Øº Ä Ý Ò G Ý n Þ Ý Þ Öò Ö Ñ Ò Ò Ò Ô ÖÓ Öº À Ý ÐØ Ð Ò Ò Ò Ö ¹ ÓÖ Þ Ð Þ Ñ Ð Ð n 1 3 (n 1) º À Ú Ò Ö Ú Ð ÞÙÒ Ý C ÖØ ÒÒ Ó Þ Ð Ý Ò k Ô Ö ØÐ Òµº Ä Ý Ò v 1 v Ø Ð Ò Þ ÔÓÒØ C¹Òº Ý Ô Ö ØÐ Ò Ý Ô ÖÓ Ó Þ ÚÖ Ó ÞØ C¹Øº À Ð ÒÒ v 1 v ÞØ Ý C¹Ø Ð Ö Ð Ø ÓÖ Þ Ñ Ð Ð ÚÚ Ð Ý ØØ Ô ÖÓ ÖØ Ð ÓØÒ º Ì Ø C Ð Ø Ð ÝÚ G k ÓÑÔÓÒ Ò Ö Þ Øº Ä Ý Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ñ ¹ Ö Ø n 1,n,...n k º Þ Ò Ù ÐØ Ú Þ Ö ÒØ Þ i. ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ð Ð 3 (n i 1) Ð Ú Ò Ý G Ð Ò Þ Ñ Ð Ð k + k i=1 3 (n i 1) k + 3 n 3 k = 3 n k 3 (n 1) Å Ú Ð Þ Ð Þ Ñ Þ 3 (n 1) ¹ Ð ÓÖÐ Ø Þº Æ º¾º Ý n Ð Ñò ÐÑ Þ n Ð Ñò Ö Þ ÐÑ Þ Ò ÓÐÝ Ò H ÐÑ Þ Ø Ú Þ Ð Ù Ñ ÐÝÖ Þ Ó Ý H Ñ ÐÝ Ø Ð Ñ Ò Ñ Ø Þ Ø Ñ (n 1) Ð Ñòº ÙÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÐÝ Ò H ÐÑ ÞÖ Ò Þ ÖÖ ÙÒ Ð ÓÖÐ ØÓØ Ý ÐÝ Ò ÐÑ ÞÖ Ò Þ Ö Ð Ñ Ò Þ Ñ Ö Ý Ó Ý Ð ÓÖÐ Ø ÓÒ ØÖÙ ÐØ Ô Ð Ð Ñ Þ Ñ Ò ÒÝ Ó Ð Ð Ð Ý Ò Å ÓÐ ÃÓÒ ØÖÙ ËÞ ÑÓÞÞÙ Ñ n Ð Ñò ÐÑ Þ Ð Ñ Ø 0 1 º º ºn 1 Þ ÑÓ Ðº Ã Ô ÞÞ Ñ Ò Ò n Ð Ñò Ö Þ ÐÑ Þ Ò Ö Þ ÐÑ Þ Ò Þ Ö ÔÐ Ð Ñ Þ ¹ Ñ Ò Þ Ø ÑÓ ÙÐÓ nº Ê Ù Ý ÓÔÓÖØ ÞÓ Ø Ö Þ ÐÑ ÞÓ Ø

Ñ ÐÝ Ò Ù Ý Ò ÓÞ Ñ Ö Ó ÞØ ÐÝ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Þ Þ º Ý n Ó¹ ÔÓÖØÓØ ÔÙÒ º Ì Ð Ð Ñ Þ ÑÙ Þ Ò ( n n) Ý Ð Þ ÞØ ÓÐÝ Ò ÓÔÓÖØ Ñ ÐÝ Ò Ð Ð n( 1 n n) Ð Ñ Ö Þ ÐÑ Þµ Ú Òº Ý ÐÝ Ò ÓÔÓÖØ Ò Ñ ¹ ÐÝ Ø Ð ÑÒ Ö Þ ÐÑ ÞÒ µ Ò n 1 Þ Ð Ñ Þ Ò n 1 Ñ Ö Þ Þ Ñ Ö Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÞ Þ n¹ Ñ Ö Óغ ÓÒ ØÖÙ Ð Ñ Þ Ñ Ø Ø n( 1 n n). Å ÓÐ Ð ÓÖÐ Ø Ã Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ø ÙÒ º Ä Ý Ò Ý Ñ Ð Ð H ÐÑ ÞÖ Ò Þ Ö Ð Ñ Þ Ñ H º Ì ÒØ H Ý h Ð Ñ Øº Þ n Ð Ñò h ÐÑ ÞØ Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø Ù Ý Ð Ñ Ø Ó Ù h¹ Ð Ý Ñ Ð Ñ Ø Ø Þ Ò ÐÝ Ö º ÞØ n ¹ Ð ÔÔ Ò Ø Ø Ñ Þ Ò Þn Ð Ñ Ñ Ò Ý Ø Ó Ø Ù Ñ Ò h¹ ÓÞ Ò Ñ Ø ÖØÓÞ n Ð Ñ Ú Ð Ñ ÐÝ ¹ Ø ÐÐ ÐÝ Ö Ö ÒÙÒ º Þ Ò Ñ ÓÒ H ÖØ ÐÑ Þ Þ Ö ÒØ Ò Ñ ÙØ ØÙÒ H¹ Ð Ð Ñ Þ Ö Ú Ð Ñ Ò Ñ Ö ( n n) H ÐÑ Þ Ý Ø Ô Ù º H¹ Ð ÐÑ ÞÓÒ ÐÚ Þ ØØ Ö Ú Ð Ù Ý Ò ÓÞ Þ n Ð Ñò A ÐÑ Þ ÓÞ Ñ ÙØ ØÙÒ Ò ÝÓÒ Ó ÞÓÖ Ð Ð n¹ Þ Öº Î Ð Ò Þ A ÐÑ Þ Ð Ö Ú Ð Ô ØÙÒ H ÓÔÓÖØ Ø ÖØÓÞ ÐÑ ÞØ A¹ Ò Ù Ý Ò ÒÒ Þ Ð ÑÒ Ö Ð Ú Ð Ò Ñ ÙØ ØÙÒ Ø Ð Ò Þ H¹ Ð ÐÑ Þ ÓÞ Þ Ò ÞÓ ÝÑ Ð Ò Ñ Ý ÞÒ Ñ (n 1) ÐÝ Òº Ý Ø Ø Þ A ÐÑ Þ ÓÞ Ð Ð n¹ Þ Ö ÙØÙÒ Ð H¹ Ð ÐÑ ÞÓ Ð Ý Ð Ñ Ö Ú Ðº Þ ÞØ ÑÓÒ Ó Ý (( ) ) n n H H n, n 1 Ñ Ð n n+1( n) H. Þ Ý ÔÓØØ Ð ÓÖÐ Ø ÒØ ÓÒ ØÖÙ ÐØ Ô Ð Ð Ñ¹ Þ Ñ Ò n n+1 ¹ Þ Ö º Þ Þ ÖØ Ú Ð Ò ¹Ò к Æ ÞÞ Ò ÑÓ Ø Ý Ñ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ø Ì ÒØ Ò Ý Ñ Ð Ð H ÐÑ ÞÖ Ò Þ ÖØ H Ñ Ò Ò Ð Ñ Ð Þ Þ Ð Ø Ñ ÓÒ Ó ÙÒ Ý Ð Ñ Ø Ò Ú Ý Ò ÓÞÞ ÑÑ Øµº Ý Ó (n 1) Ð Ñò Ö Þ ÐÑ ÞØ ÔÙÒ H Ñ Ò Ò Ð Ñ Ð n¹ غ Þ Þ (n 1) Ð Ñò Ö Þ ÐÑ ÞÓ Ñ Ò Ð Ò Þ Þ Ò H Ñ ÐÝ Ø Ð Ñ Ñ Ý Þ Ñ ÝÑ Ð (n 1) ÐÝ Òº Ð Ú Ø Þ Ó Ý n H ( n n 1), Þ Þ H 1 ( ) n n! = n n 1 n (n 1)!(n+1)! = 1 n! n+1n!n! = 1 ( ) n, n+1 n Ó Ý ÒØ Ð ØØÙ º Æ º½º Ý Ý Þ Öò Ö Ö Ò ÑÒ Ø Ú Ö ÓÒ Ð Þ ÑÓ Ø ÖÙÒ Ñ ÐÝ Þ 1º ÞÙØ Ò Ñ Ò Ò ÐÖ Ö Ö Ù Ø Ú Ò Ø Ð Ð Ø Ö ÖØ Þ Ñ ÞÓÖÞ Ø Øº Î Ð Ô ÞÞ Þ Ð Ò ÔÓØØ ÞÓÖÞ ØÓ A Þ Øº À Ø ÖÓÞ¹ ÞÙ Ñ A Ñ Ü ÑÙÑ Ø Þ Ð Ø Ò ÀÓ Ý Ò Ó ÞÙ Ð Þ ÑÓ Ø Ó Ö Ó Ý Ñ Ü ÑÙÑÓØ Ô Ù

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º µ µ µ µ m µ µ º º C n Þ Þ n Ó Þ Ö n K m,n Ø Ð Ô ÖÓ Ö K n Ø Ð Ö Å ÓÐ µ ÁØØ Þ A = a 1 a + a a 3 + a 3 a 4 + a 4 a 1 ÞÓÖÞ Ø Þ Ñ Ü ÑÙÑ Ø ¹ Ö ÓÐ Þ a i ¹ Ò ÑÒ Ø Ú Þ 1º Î Ý ÞÖ Ó Ý A = (a 1 +a 3 )(a +a 4 ) Ý Ö Ñ Ð ÐÑ ÞÒÙÒ Þ ÑØ Ò Ñ ÖØ Ò Þ Ô ÞØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø (a1 +a 3 )(a +a 4 ) (a 1 +a 3 )+(a +a 4 ) = 1. µ Ì Ø A 1 4 Þ Ø Ö Ð Ö Ø Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò Ø Ò Ñ ÓÖa 1+a 3 = 1 a +a 4 = 1 º µ ÅÓ Ø Þ A = a 1 a +a a 3 +a 3 a 4 +a 4 a 1 +a 1 a 3 +a a 4 Þ Ø Ú Þ Ð Ù º Å Ú Ð A = (a 1 +a +a 3 +a 4 ) (a 1 +a +a 3 +a 4) Þ ÑØ Ò Ò ÝÞ Ø Þ Ô ÞØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ Ö ÒØ a 1 +a +a 3 +a 4 a 1 +a +a 3 +a 4 = 1 4 4 4, Ý A 1 1 4 = 3 8, Þ Ñ Ü ÑÙÑ ÓÖ Ú Ø Ø Ð Ú ÐØÓÞ Ñ Ò Ý ÒÐ ÝÑ Ð Þ Þ 1 4 ¹ к ½¼

µ Ù ÓÒ Þ ØÐ Þ 1. 3. Þ ØØ Þ Þ Ú Þ Ð Ù Þ A = a 1 a + a a 3 +a 3 a 4 +a 4 a 1 +a 1 a 3 Þ Ø µ ½º Ñ ÓÐ Å Ú Ð A = (a 1 +a 3 )(a +a 4 )+a 1 a 3 (a 1 +a 3 )(a +a 4 ) Ñ Ü ÑÙÑ ÓÖ Ú Ò Ñ ÓÖ (a 1 +a 3 ) = (a +a 4 ) = 1 Ñ (a 1+a 3 ) Ö Þ Ø Ñ ÐÐ ØØ a 1 a 3 ÓÖ Ú Þ Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ø a 1 = a 3 Ý a 1 = a 3 = 1 4 (a +a 4 ) = 1 Ø Ò Ô Ù Ñ Ü ÑÙÑÓØ Ñ ÐÝÒ ÖØ 1 4 + 1 16 = 5 16. µ ¾º Ñ ÓÐ A = (a 1 +a 3 )(a +a 4 )+a 1 a 3 Ý Ð ÒÝ Ø Ð Ò Ó Ý Þ a ¹Ö a 4 ¹Ö Þ Ò ÙØ ÐÝ Ó Ý Ò Ó ÞÐ Ð a a 4 Þ ØØ ÐØ Ø Ó Ý Þ Þ ÐÝØ Þ Ý Ö Ø ØØ Ø Ø ÔÐ a 4 = 0º Ì Ø ÑÓ Ø Þ A = a 1 a +a a 3 +a 3 a 1 Þ ¹ Ø ÐÐ Ñ Ü Ñ Ð Þ ÐÒÙÒ º Ù Ý¹Ë Û ÖÞ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Ú Ý ÖÓÑ Þ ÑØ Ò ¹Ñ ÖØ Ò Þ Ô Þ Ðµ Ò a 1 a +a a 3 +a 3 a 1 a 1 +a +a 3 º Å Ú Ð a 1 +a +a 3 = 1 Ð a 1 a +a a 3 +a 3 a 1 1/3 Ñ a 1 = a = a 3 = 1 3 Ú Ð ÞØ Ñ ÐÐ ØØ Ð º Ñ Ü ÑÙÑ ÖØ 31 9 = 1 3 º Ñ Ü ÑÙÑ Ø Ø Ò Ú Ø Ø Ðº Î Ý a 1 = a = a 3 = 1 3 a 4 = 0 Ú Ý a 1 = a 4 = a 3 = 1 3 a = 0º Å ÝÞ ¾º Ñ ÓÐ Ò ÔØÙ Ö Ñ ÒÝغ Þ Ú Ð Ò Ò ¹ 1 ÝÓ Ñ ÒØ ÓÖ Ò ÔÓØØ ÖØ 3 = 16 48 > 15 48 = 5 16 º Þ ½º Ñ ÓÐ Ò ÓØØ Ú ØØ Ð Ø Ó Ý Ý ÓÐÝ Ò Þ Ø Ñ Ü Ñ Ð Þ ÐÒ ÖØÙÒ Ò Ú Þ Ø Ò Þ (a 1 +a 3 )(a +a 4 ) ÞÓÖÞ ØÓØ Ñ ÐÝ Ò Ñ ÚÓÐØ Ð ØÙÒ º µ n = 3 Ø Ø µ Ð ØÖ Þ Ò Ø ÞØ ÞØÙ Ñ Ü ÑÙÑ 1 3 ÚÓÐØ Ñ µ¹ Ò Ð ØØÙ n = 4 Ø Ø ÓÐ Ñ Ü ÑÙÑ 1 4 ¹Ò ÓØغ Ä ØÒ Ó Ù Ó Ý Þ Ð Þ Ñ Ü ÑÙÑ Ñ Ò Ò n 4 Ø Òº Þ A Þ ÖØ Ð Ö Ø Þ 1 4 ÖØ Ø Ôк a 1 = a = 1 Ø Òº ¹ Ð Ø Ù Ó Ý Þ Ð ÓÖРغ Î Ý Ò Ý a i a i+ Ô Öغ Þ Þ Þ ¹ Ò a i 1 + a i+1 ÐÐ ØÚ a i+3 + a i+1 ÞÓÖÞ Ú Ð Þ Ö Ô ÐÒ º ÐØ Ø Ó Ý ÞÓÖÞ Þ Ð Þ Ð Ò ÝÓ ÓÖ Ý a 1...,a n Þ Ñ¹n¹ Ð Ò ÙÐÚ Þ A Þ ÖØ Ø Ò Ú Ð a i ÐÝ Ö (a i + a i+ )¹Ø Ö Ù Ñ a i+ ¹Ø Ð ÒÙÐÐ ÞÞÙ º ÐØ Ø Ø Ø Ó Ý a n = 0º ÓÖ Ð Ý Ò w Ô Ö ØÐ Ò Ò¹ Üò a i ¹ Þ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ Ø Ø (1 w) Ô ÖÓ Ò Üò º ÓÖ A = n i=1 a ia i+1 w(1 w) Ø Ð Ð Ñ Ú Ð Ó ÓÐ ÐÓÒ ÐÓÐ Ð Ñ Ò Ò Ò ÑÒ Ø Ú Ø Þ Ö Ô Ð ÐØ ÒØÚ 0 ÖØ òa 1 a n ÞÓÖÞ ØØ Ðº w(1 w) 1/4 Ñ Ð ÐÐ Ø ÙÒ Ú Ø Þ º n > 4 Ø Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÔÙÒ Ñ Ü ÑÙÑÓØ Ó Ý Þ Ý Ö 1 ¹ Ø Ø ÞÓÑ Þ Ö Ô Ø Ø Þ Ð ÐÓ ÞÐ Ò Þ Ò 1 ¹ Ø Ø Þ Ò º µ Â Ð Ð Ô ÖÓ Ö Ý Ó ÞØ ÐÝ Ò Ö ÖØ Þ ÑÓ Ø b 1 b º º º b m Ñ Ó ÞØ ÐÝ Ö ÖØ Þ ÑÓ Ø c 1 c º º º c n º Þ ( m n ) m n A = b i c j = b i = BC i j i Þ Ñ Ü ÑÙÑ Ø Ö ÓÐ m i b i = B n j c j = C. Å Ú Ð B C Ò ÑÒ Ø Ú Þ ÑÓ Þ 1 Ý ÞÓÖÞ ØÙ Ñ Ü ÑÙÑ Ø B = 1 C = 1 Ø Ò Ô Ù º Ñ Ü ÑÙÑ ÖØ 1 4. j c j ½½

Å Ý ÞÞ Ó Ý Ú Ö Ñ ÒÝ ÞÓÒÝ Ø Ø Ð Ô ÖÓ Ö Ó Ñ ÐÐ ØØ Ø Ø Þ Ð Ð Ð Ý ÐÐ Ð Ö Ò Ð Þ Ô ÖÓ Ö Ó Ø Ò º µ µ Ø Þ ÓÒÐ Ò Ö ØÙÒ Ð A = i,j n i>j a i a j = ( i a i) ( n ) i a i, ÓÐ Þ ÑØ Ò Ò ÝÞ Ø Þ Ô ÞØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ Ö ÒØ n i a i i a i = 1 n n n, Ý (i,j) E(G) A 1 1 n = n 1 n, Ñ Ü ÑÙÑÓØ ÓÖ Ô Ù Ñ ÓÖ Þ Þ Ú ÐØÓÞ Ý ÒÐ ÝÑ Ð Þ Þ 1 n ¹Ò к Æ º¾º Æ Ý ÓÐØ Ò ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ Æ º ½º Ð Ø Ò ÐØ Ð ÒÓ Ú Ý Þ Öò Ö Ø Ò a i a j 1 ( 1 1 ), ω(g) Ð Ð ω(g) Ö Ð Ò ÝÓ Ø Ð Ö Þ Ö Ò Ñ Ö Ø ºµ Å ÓÐ Þ ÓÐÝ Ò k Ý Þ Öò Ö ÓØ Ñ ÐÝÒ ÖÑ ÐÝ Ø Þ ØØ ÙØ Ð Ø Ð k¹ Ò Ò Ú ÞÞ º Ö k¹ Ð Ò Ú Ù Ö Ò Ý ÓÐÝ Òk Ð Ñò Ö Þ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ø Ð k¹ º ÞÓÒÝ Ø Ò ÞÒ ÐÒ Ó Ù ÌÙÖ Ò Ø Ø Ð Ø Ñ Þ Ö ÒØ Ý n Þ ÔÓÒØ Ö Ò Ò Ò Ø Ð k+1µ¹ Þ Þ Ò Ò (k +1)¹ Ð ÓÖ Ð Ò Þ Ñ Ð Ð k 1 k n. Ä Ý Ò Þ a i ÐÝÓ Ò Ú Þ Ò Ð Þ Ø Þ Ö N Þ Ø Ð ÞØ G Ö ÓØ Ñ ÐÝ Ø Þ G Ð Ú Ð ÔÙÒ Ú Ø Þ Ñ ÓÒ i ÐÝ Ø Ý Na i Ò Ý X i ØÐ Ò ÐÑ Þ Ú Þ Ø ij E(G) ÓÖ X i X j Ñ Ò Ò Ð Ý Ò Þ ØÚ º Ý V(G ) = N E(G ) = N (i,j) E(G) a i a j. À G Ö Ò Ò Ò ω(g) + 1¹ Ð ÓÖ G ¹ Ò Þ ÒØ Ò Ø Ð Ð Þ Ñ Ñ ØØ ÌÙÖ Ò Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Þ Ð Þ Ñ Ð Ø Þ Ð Ñ ÓÒ E(G ) ω(g) 1 ω(g) N. N ¹Ø Ð Ú Ð Ó ÞØ ÙØ Ò Þ ÐÐ Ø Ø ÒÝ Ö º ½¾

ÌÙÖ Ò Ø Ø Ð Ò Ð Ð ÒÒÝ Ò Ð Ö Ø Ò º Î Ý Ò Ý ÐÝ ÐÓ ÞÐ Ø (a 1,a,...a n ) Ø ÒØ Ò Ý ÓÐÝ Ò (i,j) Ô ÖØ Ñ ÐÝÖ a i a j > 0 ij E(G)º À ÓÒÐ Ø Ù Þ i j Ó ÞÓÑ Þ Ò ÐÝ Þ Ø ÐØ Ø Ó Ý Þ Þ Þ i Ø Ò Ò ÝÓ Ú Ý Ý ÒÐ µº Þ ÖØ Ò Ñ Ò a i := a i + a j,a j := 0 Ñ ÓÒ Ñ Ó Ø Ù ÐÝÓ Øº Þ Ð Ö Ø Ø Ö ÐÚ ÐØ Ø Ó Ý Ò ÑÒÙÐÐ ÐÝÓ Ý G¹ Ð Ð Þ Ø ÖØÓÞÒ ÒÒ Ò Ô Þ Æ º ½º Ð Ø µ Ö Þ Ñ ÓРغ ˺ ½½º Ý Ò ÑÒ Ø Ú Þ n Þ ÑÖ Ð Ý Ò a n = 10...00...00...01, ÓÐ 0¹ Þ Ñ ÞÓÑ Þ Ó Ò ÑÒÙÐÐ Þ Ñ Ý Þ ØØ nº ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý an 3 Ñ Ò Ð Ö Ø Ø Þ Ñ Þ ÒØ Ó Ñ Ö Ø Ð Ø Ò ÝÞ Ø Þ Ñ Þ ÒØ Å ÓÐ Áº Æ Ñ Ö Ø Ð Ø Ò ÝÞ Ø Þ Ñ Þ Òغ a n ÙØÓÐ Ø Þ Ñ Ý 1 Ú Ý 01º Ì Ø ¹ Ñ Ö ½º ÒÒ ÑÓ ÖÑ º Ì Ø Ý ¹ Ý Ð Ó ÞØÚ Ñ Ö ÓØ Þ ÑÓØ ÖÙÒ Ð ÖÒ Ø Ò ÝÞ Ø Þ Ñ Þ Òغ Ý Ò ÝÞ Ø Þ Ñ ¹ Ñ Ö ÞÓÒ Ò ¼ Ú Ý ½ Ð Ø Ý ØØ Þ Ò ¹ Ñ Ö ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ Ú Ý ½ ½ ¾ Рغ Ý an 3 Ò Ñ Ö Ø Ð Ø Ò ÝÞ Ø Þ Ñ Þ Òغ ÁÁº Ð Ö Ø Ø Þ Ñ Þ Òغ Î Ý ÞÖ Ó Ý ÐØ Ð Ò Þ Ò Ý a 0 3 = 11 a 1 3 = 10001 3 = 407 = 4 3 +7 3 3 = 340067 = 34 3 +67 3, a n3 = 103n+3 + 10 n+ + 10 n+1 +1 3 = = ( 10 n+1 + 3 ) 3 + ( 10 n+1 +1 3 ) 3, (10 n+1 +) 3 = 10 3n+3 +6 10 n+ +1 10 n+1 +8 ( 10 n+1 +1) 3 = 8 10 3n+3 +1 10 n+ +6 10 n+1 +1, (10 n+1 +) 3 +( 10 n+1 +1) 3 = 9 (10 3n+3 + 10 n+ + 10 n+1 +1 ). ĺ ½ ÁÅÇ ¾¼¼½» Ý Ñ Ø Ñ Ø Ú Ö ÒÝ Ò ¾½ Ð ÒÝ ¾½ Ú ØØ Ö Þغ ½µ Å Ò Ý Ú Ö ÒÝÞ Ð Ð Ø Ð ØÓØ ÓÐ ÓØØ Ñ º ¾µ Å Ò Ý ÓÞ Ñ Ò Ý Ð ÒÝ ÓÞ Ú Ò Ð Ð Ý ÓÐÝ Ò Ð Ø Ñ ÐÝ Ø Ñ Ò ØØ Ò Ñ ÓÐ ÓØØ º ½

ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò Ð Ø Ñ ÐÝ Ø Ð Ð ÖÓÑ Ð ÒÝ Ð Ð ÖÓÑ Ñ ÓÐ ÓØغ Áº Ñ ÓÐ Ã È Ø Ö Î Þ Ò Ø Ó ÐÑ Ø ËÞ Ð¹Ò Ò Ú Þ Ý ÓÐÝ Ò ¹ Ð Ø Ô ÖØ Ñ ÐÝ Ò Ñ ÓÐ ÓØØ Ð ØÓØ Ô ÓÐ ØÒ ÚÓ Ý ¹Ð ÒÝ Ô ÖØ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ð Ø Ñ ÐÝ Ø Ñ Ò ØØ Ò Ñ ÓÐ ÓØØ º ¾µ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ð 1 = 441 Ô ÓÐ Ø Ú Ò Ñ Þ ½µ ÐØ Ø Ð ÞØ ÑÓÒ Ó Ý Þ Ð Þ Ñ Ð Ð 1 6 = 5º Ô ÓÐ Ø» Þ Ð Ö ÒÝ Ý 441 5 º Ñ ÓÐ Ò Ð ÒÝ Ò ÞØ Ó Ù Ð ØÒ Ó Ý Ó Ð ØÒ ÐÐ Ð ÒÒ Ñ ÐÝ Ò Ý Ö Ð Ø Ú Ò Ò Ó Þ Ð Þ Ò Ô ÓÐ Ø» Þ Ð Ö ÒÝ Ò Ñ Ð º Ì Ý Ð Ð Ø ÐÐ Ø Ú Ð ÐÐ ÒØ Ø Ò Ó Ý Ò Ò ÓÐÝ Ò Ð Ø Ñ ÐÝ Ø Ð Ð ÖÓÑ Ð ÒÝ Ð Ð ÖÓÑ Ñ ÓÐ ÓØغ Ê Þ Ø Ò Ý Ø Ö Ñ Ñ ÐÝ Ð ØÓ Ø ÓÐ ÓØØ Ñ ÞØ Ò ÞÞ Ñ Ó Ý Þ Ø Ð ØÓ Ø Ñ ÐÝ Ð ÒÝÓ ÓÐ ÓØØ Ñ Ñ º Å Ú Ð Þ Ð Ð Ø Ô Ð Ø ÓÐ ÓØØ Ñ Ý Ð Þ ÓÐÝ Ò Ñ ÓÐ ÓØØ Ð Ø Ñ ÐÝ Ø Ð Ð 4 Ð ÒÝ Ñ ÓÐ ÓØØ 6 3 = 18 < 1µº Æ Ú ÞÞ Ò Ý ÐÝ Ò Ð ØÓØ Ñ ÐÝ Ø Ø Ø Ñ Ò Ø Ò Ñ Ð ÓÐ ÓØØ Ñ Ó Þ Ý Ð Ð Ð Ò Ý Ò Ò Ý Öò Ð ØÒ º Ý ÐÝ Ò Ò Ý Öò Ô Ð Ø Ñ ÒÒÝ Ò Ð Ø ÐÐ Ø Ò Ñ Ø Ð Ð Ð Ð Ñ Ý ÓÐ ÓØØ Ñ º Ã Ú Ð ÞØ ØÙÒ Ø Ø Ý Ø ÓÞÞ Ö Ø Ò Ý Ò Ý Öò Ð ØÓØ Ø º Ý Ð Ð ½½ Ò Ý Öò Ð ØÓØ Ø Ð ÐÙÒ Ð Ò ÙÐÚ 11¹ Ø Ð ÒÝÓ Ðº Ì Ø Ð Ð Ò Ý Öò Ð Ø Ú Òº  РРn ÞÓ Ò Ð ØÓ Ò Þ Ñ Ø Ñ ÐÝ Ø Ö ÑØ Ò Ô Ó¹ Ð ØÓØ Ð Ð l 1 l º º º l n Þ Ñ ÓÐ Ò Þ Þ Þ Ð Ò Þ Ñ Øº à ÒÒÝò ÐÐ Ò Ö ÞÒ Ó Ý Ò Ò ÓÐÝ Ò Ð Ø Ñ ÐÝ Ø 3 3 Ð ÒÝ Ñ ÓÐ ÓØØ k Þ Ð Ð Ø Ð Ô ÓÐ ØÓ Þ Ñ Ð Ð Ñ Ô ÓÐ ØÓ Þ Ñ (k ) = k 4, k >, µ 1 = (k )+1, k =, µ Þ 1¹ Þ Ð Ð Ø Ô Ò Ñ Ø Ö ÑØ Ô ÓÐ ØÓغ Þ Þ Ô ÓÐ Ø Ð ØÓ Ð Þ Þ 441 (l 1 )+(l )+...(l 1 n)+(n ), µ ÓÐ Þ (n ) Ø ¹ Þ Ð Ð ØÓ µ ÔÐ Ø Ò Ø Ð Ð Ø Þ Ø 1¹ Ð º Þ n Ð Ø Ð Ò Ý Öò Ñ ÐÝ Þ Ñ Ð Ð Þ¹ ØÓ Ò Ò Ñ ¹ Þ Ð Ø Ð Ø Ð ÐÐ ØÐ Þ Ñ Ø ÒÙÒ Þ Ø 1¹ غ µ Þ Ò Þ Ö Ð Ø Ð ÓÒØÚ Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý l 1 +l +...+l n 5 Þ Ð Þ Ñ µ Ô Ù Ó Ý 441 (l 1 +l +...+l n ) 3n 5 4 = 40, µ ½

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ º ÁÁº Ñ ÓÐ Ä Ø ÞÙ Ó µ Ã Þ Ø Ò Ý 1 1¹ Ø Ð Þ ØÓØ Þ Ý Ó ÞÐÓÔÓ Ð ÒØ Ø ÓÖÓ Ð ÒÝÓ Ø Ø Ð Þ ØÓ Ñ Ò Ý Ñ Þ Ö Ù Ý ÓÐÝ Ò Ð ØÒ ÓÖ Þ Ñ Ø Ñ Ø Ñ Þ Þ Ø ÖØÓÞ Ð ÒÝ Ñ ÓÐ ÓØغ ¾µ Ð Ô Ò Ñ Ò Ò Ñ Þ ØÙ ÙÒ Þ ÑÓØ ÖÒ º Î Þ Ð Ù Þ Ý Ó ÞÐÓÔÓ Ø ËÞ Ò ÞÞ Ö ÞÓ Ö Ñ Þ Ø Ñ ÐÝ ¹ Ò ÓÐÝ Ò Þ Ñ Ú Ò Ñ ÐÝ Þ ÓØØ Ó ÞÐÓÔ Ò Ð Ð ¹ ÞÓÖ Ð ÓÖ ÙÐ Þ Ö Ð Ð ØÓ Ö Ð ØÙ Ù Ó Ý Ð Ð ÖÓÑ Ð ÒÝ Ñ ÓÐ ÓØØ Øº Ý Ó ÞÐÓÔ¹ Ò ½µ Ñ ØØ Ð Ð Ð Ò Þ Þ Ñ ÐÐ Ø ¾½ Ñ Þ Òº Å Ò Ò Ó ÞÐÓÔ Ò Ú Ò Ñ ØØ Þ Ò Þ ØØ Ñ Þ Ð Ò Ò 6 = 1 Ñ Þ Ø Ð ØÒ Ø ÐØ Ò Ý Ó ÞÐÓÔ Òµº Þ Ò Þ ØÐ Ò Ñ Þ Ò Ø Ø Ð Ð Ð Ò Þ Þ Ñ ÐÐ Ø Ñ Ò Ý Ñ Ü ÑÙÑ ¾¹ Þ Ö Ø Ø Ð Ð ½¼ Þ Ò Þ ØÐ Ò Ñ Þ Ð Ø Ý Ó ÞÐÓÔ Ò Þ Þ Ñ Ò Ò Ó ÞÐÓÔ Ò ¾½ Ñ Þ Ð Ð Ð ½½ Þ Ò Þ ØØ Ö º Ì Ñ ÒØ Ø Ð Þ Ø Ñ Þ Ò Ð Þ Òòº ÅÓ Ø Ú Þ Ð Ù ÓÖÓ Ø Í Ý Ò Ý Þ Ò ÞÞ ÞÓ Ø Ô ÖÓ Ö Ñ Ò Ð Ú Þ Ñ Þ ÓØØ ÓÖ Ò Ð Ð ¹ ÞÓÖ Ð ÓÖ Ùк Þ Ø Ð ØÓ Ø Ð ¹ Ð ÖÓÑ Ñ ÓÐ ÓØØ º Ý Ñ Ò Ò ÓÖ Ò Ð Ð ½½ Ô ÖÓ Ñ Þ Ú Òº Ì Ø Ñ Þ Ø Ñ ÒØ Ð Ô ÖÓ º Ë ØÙÐÝ ÐÚ Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò Ñ Þ Ñ ÐÝ Ô ÖÓ º Þ Þ Ò Þ Ö ÔÐ Þ ÑÒ Ñ Ð Ð Ð ØÓØ Ô Ð Ð ÖÓÑ Ð Ð ÖÓÑ Ð ÒÝ Ñ ÓÐ ÓØØ º ͺ½¼º Ý ÖÒ Ý Þ ØÐ Ñ Ö Ð ÝÑ Ö º ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ò Ý Þ ÖÑ ÐÝ Ø Þ Ñ ÞØ ÓÐ Ð Ò Ò ÝÞ Ø Þ Ý ÒÐ Ö Ð ÖØ Ö ØÑ Ö Ò Ò ÝÞ Ø Ú Ðº Å ÓÐ Þ ØÐ P Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Ø Ð Ó Ø ÖØ PA = a PB = b PC = c PD = d Þ ÞÓ Ð AB +CD = (PA +PB )+(PC +PD ) = = (PA +PD )+(PB +PD ) = AD +BC, Ø Ø ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒÙÒ Ó Ý a +b +c +d = 4r. B C P c F BD d b F AC δ O a r A D ½

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º Ö Ð ÖØ Ö Þ ÔÔÓÒØ Ð Þ ØÐ Ö Ó ØÓØØ Ñ Ö Ð Ø ÐÔÔÓÒØ F AC F BF Ý Ò Þ ØÐ Ð Þ ÔÓÒØ º Ý Ñ F AC P = a+c F AC A = a+c, F BDD = b+d, c = a c, F BDP = b+d b = b d. Þ OF AC A Ö Þ ò ÖÓÑ Þ Ò ( ) a+c r = OFAC +F AC A = + b d = a +b +c +d +ac bd, 4 ½¼µ Þ ÓÒÐ Ò Þ OF BD D Ö Þ ò ÖÓÑ Þ Ò ( ) b+d r = OFBD +F BD D = + a c = a +b +c +d ac+bd, 4 ½½µ Ø Ø Þ ½¼µ ½½µ Ý ÒÐ Ø Þ Ò ÙÔÐ ÔÔ Ú ÒØ Þ Ø º Å ÝÞ P ÔÓÒØÒ ÖÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ ØÚ ÒÝ ac = bd ÞÞ Ð ½¼µ Ý ÒÐ Ø Ð ÞÓÒÒ Ð Ú ÒØ ÓÖÑÙÐ º ͺ½ º Ý ØÖ Ô Þ ØÐ Ò Þ 90 º ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Þ Ö Ò ÞÓÖÞ Ø Ò Ñ Þ Ð Ô Ò ÞÓÖÞ Ø Ò Ðº Å ÓÐ À ÞÒ Ð Ù Þ Ð Ö Ð Ð Ø F Ð Ð Þ AC BD ØÐ Ñ Ø Þ ÔÓÒع Ø E D Ð BC Þ ÖÖ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ý Ò Ò ÞAB Ð Ô Ý Ò Ú Ð Ú Ð Ñ Ø Þ ÔÓÒØ µ D c F C d b b A a c a E c B Þ AFB BFC CFD DFA ÖÓÑ Þ Ö Þ ò Ý a = AF +BF ; b = BF +CF ; c = CF +DF ; d = DF +AF. ½

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º Þ Ð ÖÑ ÐÐ ØÚ Ñ Ó Ò Ý Ý ÒÐ Ø Þ Ð a +c = (AF +BF )+(CF +DF ) = (BF +CF )+(DF +AF ) = b +d. ½¾µ Þ AED ÖÓÑ Þ Ö Ð Ö Ø Ù ÖÓÑ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø a c > b d. ½ µ ½¾µ Ý ÒÐ Ø Ð ÚÓÒÚ ½ µ Ò ÝÞ Ø Ø Ô Ù Ó Ý ac < bd. ͺ º Þ ABCD ØÖ Ô Þ ØÐ Ñ Ö Ð Ò Ñ Ø Þ ÝÑ Ø P ÔÓÒØ Ò Ñ ÐÝÒ Ø Ö Ô ØÖ Ô Þ F BC F DA Þ ÔÚÓÒ Ð Ö P º ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ A B P ÔÓÒØÓ ÓÒ Ø Ð Ö Ö ÒØ C D P ÔÓÒØÓ ÓÒ Ø Ð Öغ Áº Ñ ÓÐ Ö ÐÝ Ò Ø µ Ì Ð Þ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ ÞAPD Ö Þ ò ÖÓÑ Þ ÒF AD D = F AD A = F AD P Ø Ö Þ Ñ ØØ F AD P = F AD P Ý Ì Ð Þ Ø Ø Ð Ñ ÓÖ Ø Þ Ö ÒØ AP D Ö Þ ò ÖÓÑ Þ º Þ ÓÒÐ Ò BP C ÖÓÑ Þ Ö Þ ò F BC B = F BC C = F BC P = F BC P. D C I P F AD F BC P A B J DF AD P CF BC P Ý ÒÐ Þ Ö ÖÓÑ Þ DP CP Ð Ô Ò Ð ¹ Þ Ñ Ö Ð Ñ ÝÑ Ø Þ I ÔÓÒØ Ò Ñ Þ AF AD P BF BC P Ý ÒÐ Þ Ö ÖÓÑ Þ AP BP Ð Ô Ð Þ Ñ Ö Ð Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Ð Ý Ò Jº Þ Ö ÞØ Ö Ú Ò I CDP ÖÓÑ Þ Ö Ð ÖØ Ö Ò Þ ÔÔÓÒØ Ñ J Þ ABP ÖÓÑ Þ º Á ÞÓÐ Ù Ñ Ó Ý Þ I P J ÔÓÒØÓ Ý Ý Ò Ò Ú ÒÒ Ñ Ý Ò Ð Ø Ñ ÓÐ Ø Ð ÒØ º Ì ÒØ Þ F AD IF BC AP B ÖÓÑ Þ Øº Þ Ø ÖÓÑ Þ Þ Ô¹ ÔÓÒØÓ Ò ÓÒÐ ÐÝÞ Øòº Î Ð Ò F AD F BC AB Ñ ÖØ ØÖ Ô Þ Þ ÔÚÓÒ Ð ½

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º Ô Ö ÙÞ ÑÓ Þ Ð ÔÓ Ð Ñ F AD I Þ AP D ÖÓÑ Þ Ý Þ ÔÚÓÒ Ð Ò Ý Ò Ý Ô Ö ÙÞ ÑÓ AP ¹Ú Ð F BC I ÓÒÐ Ó Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ BP ¹Ú к ÓÒÐ Þ ÔÔÓÒØ ØÖ Ô Þ AD BC Þ Ö Ñ Ó Þ Ø Ò Q Ñ Ø¹ Þ ÔÓÒØ Ø Ø Q I P Ý Ý Ò Ò Ú ÒÒ º À ÓÒÐ Ò ÞÓÐ Ø Ó Ý Q J P Ý Ý Ò Ò Ú ÒÒ Ñ Ú Ð Ð Ø Ñ ÓÐ Ø ÞØ º ÁÁº Ñ ÓÐ Ã ØòÞ µ ÞØ ÐÐ Ð ØÒ Ó Ý Ø Ö Ð ÖØ ÖÒ P ¹ Ò Þ Ö ÒØ Ú Òº P DC Ö Ò Ø ÒØ P DC Ö Ð Ø Þ Ø BAP Ö Ò Ô BAP Ö Ð Ø Þ Øº Þ Þ Ø Ö Ò Ø ÖØÓÞ Ý P Ñ ÐÐ ØØ Ú Ö ÒØ Þ Ö Ö Ð Ø Þ P DC Ö P ¹ Ð Ö ÒØ Ò P C¹Ú Ð Þ ÖØ Þ ÐÐ ØÚ BAP Ö P ¹ Ð Ö ÒØ Ò BP ¹Ú Ð Þ ÖØ Þ º Ø Ö ÒØ ÔÓÒØÓ¹ Ò ÓÖ Ý Þ Ñ ÝÑ Ð Ø Ö ÒØ Þ Ö Ö Ð Ø Þ ÔÔ BP C Þ Ø Þ Þ BP C = BAP +P DC. ½ µ ÞØ Ð ÞÓÐ Ù ÓÒ Ö Ø ØÖ º Å Ú Ð BA DC Ý BAD + ADC = 180 Ñ Ð BAP +P DC = 180 P AD ADP. ½ µ Å Ö ÞØ DP A ÖÓÑ Þ Ò DP A = 180 P AD ADP, ½ µ Ñ Ø ½ µ Ö Ð Ú Ð Þ Ú ØÚ Ô Ù Ó Ý BAP +P DC = DP A ½ µ P Ö Ø Ú Ò AD BC Ì Ð Þ¹ Ö Ò Ý F BC P = F BC P F DA P = F DA P Ñ ØØ P Ö Ø Ú Ò Þ Ò Ö Ò DP A BP C Ö Þ º Þ ½ µ ½ µ Þ Ú Ø Ú Ð ÞÓÐ Ó Ý Ø Ö Ö ÒØ ÝÑ Øº À º½ Þ Ð Ò k XY Z ¹Ú Ð Ð Ð Þ X Y Z ÔÓÒØÓ ÓÒ ØÑ Ò Öغ Ä Ý Ò Ú ÓÒ Ò Ý Ø Ø Þ Ð ÔÓÒØ A B C Dº À P ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ ÐÝÖ k ABP k CDP Ö Ö ÒØ ÝÑ Ø k ADP k BCP Ö P ¹Ò Ú Ð Ñ P ¹ Ò Ñ Ø Þ ÝÑ Ø ÓÖ k ABP k CDP Ö ÒØ ÝÑ Øº B P P C A D ½

Å ÝÞ À º½º Ð Ø ÐÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ø Þ Íº º Ð Ø ÐÐ Ø Ø Þ Ò ØÖ Ô Þ Ð Ô Ò A B Ò ØÐ Ò P Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Ò Ø Ð Ö Ö ÒØ Ñ Ð Ô C D Ò P ¹Ò Ø Ð ÖØ ØÙ Ò ÐÐ Ø Ð Ô Ý¹ Ø Ö P ¹ Ð ÝÑ Ò Ý Ø Ø º ÒØ Ñ ÓÐ Ò Ð Ø ØØÙ Ó Ý Ð Ø ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ P P BC AD Þ Ö Ì Ð Þ Ö Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØ º Áº Ñ ÓÐ ÞÓÒÝ Ø Ø Þ Ð Ä ÑÑ Ö Ð ÔÓÞÞÙ º Ä ÑÑ k XYU k X Y U Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö ÒØ ÝÑ Ø U¹ Ò XYU +UY X XUX (mod 180 ). ½ µ º ÞØ Ð ÑÑ Ø Íº º Ð Ø ÁÁº Ñ ÓÐ Ò Ñ Ö ÞÒ ÐØÙ ÞÓÐØÙ ÅÓ Ø k ABP k CDP Ö P ¹ Ò Ö ÒØ ÝÑ Ø Ø Ø CDP +PAB CPB (mod 180 ). ½ µ ÞØ Þ Ö ØÒ Ò ÞÓÐÒ Ó Ý k ABP k CDP Ö P ¹ Ò Ö ÒØ ÝÑ Ø Ø Ø CDP +P AB CP B (mod 180 ). ¾¼µ Î Ý ÞÖ Ó Ý CDP CDP +PDP (mod 180 ), Ñ P AB PAB PAP (mod 180 ), k DPP A Ö Ò PDP PAP (mod 180 ), ¾½µ ¾¾µ ¾ µ Ý ¾½µ ¾¾µ ¾ µ Þ ½ µ Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð ÔÔ ÞÓÒÝ Ø Ò ¾¼µ Þ Ø º ÁÁº Ñ ÓÐ Þ ýðð Ø P ÒØÖÙÑ ÒÚ ÖÞ Ú Ð ÞÓÐ Ø º ÁÐÝ Ò ÒÚ ÖÞ Ò Ð k ABP k CDP Ö Ô Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ý Ò Ø Ø Þ A B C D ÔÓÒØÓ A B C D Ô ØÖ Ô ÞØ Ð ÓØÒ Ñ ÐÝ Ò A B C D Þ Ð ÔÓ P Ô Þ ØÐ Ú Ý Þ Ö Ý Ò Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Ý k ABP k CDP Ö Ô Ú Ð Ò Ö ÒØ ÝÑ Ø P Ô Ò Þ Ò ÓÒÒ Ò ÝÑ Ò Ý Ø Ø º ˺ º ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý K = 10 1010n +10 10n +10 n 1 Þ Ñ Ñ ÐÝ ÔÓÞ Ø Ú Þ n¹ö Ñ ÔÖ Ñº ½

Ð Þ Ø Ñ ÝÞ Áº ÓÒÐ ÐÐ ò Ð ØÓ Ý Ö Ò Ñ ÓÐ Ø Ý ÓÒ Ö Ø Þ ÑÑ Ð Ú Ð Ó ÞØ Ø ÞÓÐ Ú Ðº ÈÐ n = 1¹Ö Ø Ò Þ Ó ÞØ Ø 11¹ Ý Ð Þ Ò 10 1 (mod 11), Ý 10 k ØÚ ÒÝ 11¹ Ñ Ö k Ô Ö Ø Þ Ö ÒØ 1 Ú Ý +1 10 10101 1 (mod 11), 10 101 1 (mod 11), 10 1 1 (mod 11), 1 1 (mod 11). Ë ÒÓ n = Ø Ò Ñ Ö Ò Ñ Ø 11 Þ Ò 10 1010 1 (mod 11), 10 10 1 (mod 11), 10 1 (mod 11) 1 1 (mod 11). ÁØØ Ñ Ó ÞØ Ø ÐÐ Ö Ò º Ó Ý Ö Ò Ö ÒÒ Ó Ý ØØ Ñ Ð Ð 101º Î Ð Ò 10 = 100 1 (mod 101), Ý 10 k ØÚ ÒÝ 101¹ Ñ Ö Ô ÖÓ k¹ö Þ Ö ÒØ 1 Ú Ý +1 Ó Ý k Ò Ý Ð Ò Ñ Ó ÞØ Ø Ú Ý Ó ÞØ Ø Þ Þ 10 1010 1 (mod 101), 10 10 1 (mod 101), 10 1 (mod 11) 1 1 (mod 11). Ë ÒÓ 11¹ Ý Ð 101¹ Ý Ð Ú Ð Ó ÞØ Ø Ó Ñ Ò Ð Ñ Ò Ò Ø Øº ýðø Ð ÒÓ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò ØÖ Ú Ò Þ º Ð Þ Ø Ñ ÝÞ ÁÁº Á Ñ Ö Ø Ó Ý Ñ Ò Ò ÔÓÞ Ø Ú Þ Þ Ñ Ð Ö Ø k z Ð Ò ÓÐ k Ø ÖÑ Þ Ø Þ Ñ Ñ z Ô Ö ØÐ Ò Ø ÖÑ Þ Ø Þ Ñº Þ Ð Ö Ý ÖØ ÐÑòº z Þ Ñ Þ Ö Ø Þ Ñ Ô Ö ØÐ Ò Ö Þ k Þ Ñ Þ ÓØØ Þ Ñ ÔÖ ÑØ ÒÝ Þ Ð Ò ØØ Ø Ú º Å ÓÐ Ä Ý Ò n = r n ÓÐ n ÔÓÞ Ø Ú Ô Ö ØÐ Ò Þ Ñ r Ø Ø Þ Ð Ø ÖÑ Þ Ø Þ Ñº Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Þ Ó ÞØ Ø ( 10 r +1 ) ¹ Ý Ðº Å Ú Ð Þ Ð ¹ Ð 10 n Ñ Ø Ð K Þ ÖØ Ò ÝÓ Ñ ÒØ 10 n Ý Ú Ø Þ Ó Ý K Ò Ñ ÔÖ Ñº Ä ÑÑ À p = r x q = r y ÓÐ r r Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ Ñ x y ÔÓÞ Ø Ú Ô Ö ØÐ Ò Þ ÑÓ r > r ÓÖ 10 p 1 (mod 10 r +1), 10 q 1 (mod 10 r +1). Î Ð Ò 10 r 1 (mod 10 r +1) Ý ( 10 p = 10 r) x ( 1) x 1 (mod 10 r +1), ¾¼

Þ Ò x Ô Ö ØÐ Ò Ñ 10 r = ( 10 r ) r r 1 (mod 10 r +1) Ý 10 q = ( 10 r ) y 1 y 1 (mod 10 r +1). ÅÓ Ø Ú Þ Ð Ù Ñ K Þ Ò Þ Ö ÔÐ 10¹ ØÚ ÒÝÓ Ø Þ Ö ÒØ Ó Ý Ø Ú ÔÖ ÑØ ÒÝ Þ Ð ÓÒØ Ò ÒÝ ØÚ ÒÝÓÒ Þ Ö Ô Ð 10 n ¹ Ò Þ ØÚ ÒÝ Ø Ú ÔÔ r Þ Ò 10 n = 10 r n º 10 10n ¹ Ò Þ ØÚ ÒÝ Ø Ú n Þ Ò 10 10n = 10 n 5 n º 10 1010n ¹ Ò Ö ØØ ÖØ 10 n Ñ ÖØ 10 1010n = 10 10n 5 10n º Å Ú Ð r < r n < 10 n Ý Ð ÐÑ Þ Ø Ù Ä ÑÑ Ø K Ú Ð Ò Ó ÞØ Ø ( 10 r +1 ) ¹ Ý Ðº À º¾ Ä Ð ÒÝ Ð Ñ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Þ {1,,3,...,100} ÐÑ Þ Ý ÓÐÝ Ò Ö Þ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ò Ñ ÐÝ Þ Ñ Ñ Ó ÞØ Ö Þ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ñ Ð Ñ Ò Ñ Å ÓÐ Ä Ð ØÚ Ò Øº ÒÒÝ Ø Ð Ø ÔÐ Þ50¹Ò Ð Ò ÝÓ Þ ÑÓ Ý Ñ Ð Ð Ö Þ ÐÑ ÞØ Ð ÓØÒ º ØÚ ÒÒ Ð Ø Ø Ò Ñ Ð Ø Ú Ð ÞØ Ò º ÒÒ ÞÓÐ ÓÞ Ø ÒØ Þ ¹ ÑÓ Ø Þ Ëº º Ð Ø Ò Ð ØÓØØ n = k p Ð Ò ÓÐ k p Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ p Ô Ö ØÐ Òº Þ {1,,3,...,100} Þ Ñ ÐÑ Þ Ð Ñ Ò p Ô Ö ØÐ Ò Ö Þ ÖØ ØÚ Ò Ð Ð Ø Þ Ò p {1,3,5,7,...99}º À Ø Þ Ñ Ô Ö Ø¹ Ð Ò Ö Þ Ñ Ý Þ ÓÖ Ý Ñ Ó ÞØ Ò Ú Þ Ø Ò Ð Ò Ý ÒÝÓÐ Ø Ø Ø ØØ ØÚ ÒÝ º ØÚ ÒÒ Ð Ø Þ Ñ Ð Ñ Ö ØØ Ò Ù Ý Ò Þ Ð ÒÒ Ô Ö ØÐ Ò Ö Þ Ý Ò Ñ Ð Ø Ö Þ ÐÑ Þ Ò ØÚ ÒÒ Ð Ø Þ Ñº À º Ò Ð Ø Ò Ö Ð Þ ÒØ Ö Ð Þ Ñ Ø Ð ÐÑ Þ Ø Â Ð Ð I(z) Þ y = 1 x Ú ÒÝ Ö Ð ØØ Ð Ð Ø Ö Ð Ø Ø x = 1 x = z Þ ØØ z > 1µº Ð Ð Ò Ñ Ò Þ ÒÒÝ Ø ÖØ Ò Ó Ý 0 < z < 1 Ø Ò Ø Ö Ð Ø Ò Ø Ú 1 < z Ø Ò ÔÓÞ Ø Úº y 3 1 z 1 3 4 x ¾½

µ ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý I(n) < 1 1 + 1 +...+ 1 n < 1+I(n). µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò Ø Ö Ð ØØ ÖØ Ð Ô Þ Þ ÓØØ Ø Ò Ø Ò ÐÝ Ò Ø Ó ÓÑÔÓÞ µ Ñ ÐÝ Þ xy = 1 Ô Ö ÓÐ Ø ÒÑ Ö ¹ Ô Þ ÒÒ (1,1) ÔÓÒØ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ð ÖØ (q, 1 q ) ÔÓÒØ Ú Þ q > 0µº µ Á ÞÓÐ Ù Ó Ý Ø Ø Þ Ð ÔÓÞ Ø Ú Ú Ð a b Þ ÑÓ Ö I(ab) = I(a)+I(b)º µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý I(z) = lnz. Å ÓÐ µ Ì ÒØ Þ x¹ø Ò ÐÝ Ò Þ 1 3 4 º º ºn Ó ÞØ ÔÓÒØÓ Øº Þ ÔÓÒ¹ ØÓ Þ x¹ø Ò ÐÝ [1,n] Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ø (n 1) Ö Ý ÒÝ Ó Þ Þ ÞÖ Ó ÞØ º Ñ Ð Ò Ñ Ò Ý Þ ÞÖ Ý¹ Ý Ø Ð Ð ÔÓØ Ñ Ô ÓÐÝ ÒÓ Ø Ñ ÐÝ ÖÖ Ñ Ö Ð ÓÐ Ð Ö Ò Ö 1 1 1 3 1 4 º º º 1 n 1 Ó Þ º Å Ú Ð Þ x 1 x Ú ÒÝ ÔÓÞ Ø Ú Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ó Ý Ý Þ Ø Ð Ð ÔÓ Ð Ö Øº y 1 0.75 0.5 0.5 1 3 4 n x Ø Ð Ð ÔÓ ÞØ Ö Ð Ø Ò ÝÓ Ñ ÒØ Ô Ö ÓÐ Ð ØØ Ø Ö Ð Ø I(n) < 1 1 + 1 +...+ 1 n 1. Þ x¹ø Ò ÐÝ 1 3 4 º º ºn Ó ÞØ ÔÓÒØ ÞØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ö ÑÓ Ø Ö Ò Ö 1 1 3 1 4 º º º 1 n Ñ Ø Ð Ð ÔÓ Ø Ñ Ð Ò º ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ñ ØØ Þ ÑÓ Ø Ñ Ò Ö Ð ØØ Ð ÞÒ Ö Ð ØØ Ø Ö Ð Ø Ð Þ Þ Ø Ð Ð ÔÓغ y 1 0.75 0.5 0.5 1 3 4 n x Ñ Ð Ø Ð Ð ÔÓ ÞØ Ö Ð Ø Ñ ÒØ Ô Ö ÓÐ Ð ØØ Ø Ö Ð Ø 1 + 1 3 +...+ 1 n < I(n), 1 1 + 1 + 1 3 +...+ 1 n < 1+I(n). ¾¾

µ Ì ÒØ Ò Ø Ñ Ö Ð Ø Ò ÐÝ Ò Ø Øº Þ Ð Ø Ò ÐÝ Ð Ý Ò Þ x¹ø Ò ÐÝ Ö ÒÝ 1 q Ñ Ó Ø Ò ÐÝ Ð Ý Ò Þ y¹ø Ò ÐÝ Ö ÒÝ Ô ( ) qº Þ Ð Ô Þ Ø Ø Þ (x,y) ÔÓÒØÓØ qx, y q ÔÓÒØ Ô Þ º Þ xy = 1 Ô Ö ÓÐ Ô ÒÑ Ð Þ Þ Ò xy = qx y q º Þ Ý Ò Ø Þ Ð Þ ØÓ Ø Ö Ð Ø Ø Þ 1 q ¹ ÞÓÖÓ Ö Ñ q¹ ÞÓÖÓ Ö Ú ÐØÓÞØ Ø Ý Ú Ö Ñ ÒÝ Ò Ø Ö Ð Ø Ø Ò Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø Þ Þ Ø ØØ Ð Ô Þ º Þ (1,1) ÔÓÒØ Ô Ú Ð Ò (q, 1 q ) ÔÓÒØ Ó Ý Ð Ø Ú ÒØ º µ µ¹ Ò Ñ ÓØØ Ð Ô Þ Ò Ð q = b Ø Ò Ô Ö ÓÐ x = 1 x = a ÞØ Ú Ò ÐÐ ØÚ Þ Ð ØØ Ú Ø ÖØÓÑ ÒÝÒ Ô Þ x = b x = ab ÞØ Ú ÐÐ ØÚ Ø ÖØÓÑ Òݺ Þ ÙØ Ø ÖØÓÑ ÒÝ ÓÞ Þ x = 1 x = b ÖØ ÞØ Ø ÖØÓÑ ÒÝØ ÓÞÞ Ú Ú Ô Ù Þ x = 1 x = ab ÞØ Ö ÞØ Þ Þ I(ab) = I(a)+I(b)º µ Ì ÒØ Þ f(t) = I(e t ) Ú ÒÝغ Þ Ú ÒÝ Ñ Ò Ò t Ú Ð Þ ÑÖ ÖØ ÐÑ Þ ØØ ÑÓÒÓØÓÒ Ò t = 0 Ø Ò ÖØ Þ ÖÙ f(t 1 +t ) = I(e t1+t ) = I ( e t1 e t) = I ( e t1) +I ( e t) = f(t 1 )+f(t ). À f(1) = c ÓÖ f( 1) = c Þ Ò 0 = f(0) = f(1+( 1)) = f(1)+f( 1)º Å Ö ÞØ f(u) = d ÓÖ ÔÓÞ Ø Ú Þ n Ø Ò f(nu) = f(u)+f(u)+...+f(u) = nf(u) = nd. ¾ µ Þ u = 1 ÐÐ ØÚ u = 1 Ø Ò n = m¹ñ Ð Ó Ý Ñ Ò Ò Þ m¹ö f(m) = mcº Ê ÙÐ ¾ µ¹ Ò u = m n ¹Ö mc = f(m) = m n + m n +...+ m n = nf ( m n Ñ Ð f ( ) m n = c m n Ø Ø Ö ÓÒ Ð t¹ö f(t) = ctº Ú ÒÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ø ¹ Ð Ú Ø Þ Ó Ý f(t) = ct Ñ Ò Ò Ú Ð Þ ÑÖ Ø Ð Ðº Å Ú Ð I(e t ) = f(t) = ct Ý ÔÓÞ Ø Ú z¹ö I(z) = clnzº Ð Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý I(e) = 1 Þ Þ c = 1º Ì ÒØ Þ a n = I ( (1+ 1 n )n) ÓÖÓÞ ØÓØ Þ I Ø Ö Ð Ø Ú ÒÝ ØÙÐ ÓÒ¹ Ñ ØØ a n = ni ( 1+ n) 1 Ñ Þ (1 + 1 n )n ÓÖÓÞ Ø ØÙÐ ÓÒ Þ I Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ØØ lim n a n = I(e)º ÐÒ Þ Ö ØÒ Ò Þ I ( 1+ n) 1 ÖØ Ø Ø Ø ÔÓÞ Ø Ú Ø Ò Þ 1 x Ð ØØ Ø Ö Ð Ø Ø x = 1 x = 1+ Þ Øغ Î Ý ÞÖ Ó Ý Þ x 1 x Ú ÒÝ Ö ÓÒ ÔÓÞ Ø Ú x¹ Ö Þ x x Ú ÒÝ Ö ÓÒ Ð ØØ ÐÝ Þ Ð Î Ð Ò ÔÓÞ Ø Ú x¹ö x 1 x Ý ÒÐ ØÐ Ò x¹ Þ Ð Ø ÞÓÖÓÞ Ø ÔÓØØ x x 1 Ö Ð Þ Ñ ÖØ 0 (x 1) Þ Ö Ò Þ Ø Øº Å Ö ÞØ Þ 1 x Ú ÒÝ Ö ÓÒ ÓÒÚ Ü Ø Ø ÔÐ x = 1 x = Þ ØØ 1 Ö Ö Ð ØØ ÐÝ Þ Ð x 3 1 x. Î Ð Ò Ø ÞÓÖÞ Ö Ò Þ ÙØ Ò Þ (x 1)(x ) 0 Ö Ð ÓÞ ÙØÙÒ Ñ ÔÔ ØØ Ø Ð Ðº ), ¾

y y 1 0.75 0.5 0.5 1+ 1 x 1 0.75 0.5 0.5 1+ 1 x Ö Ð ØØ Ø Ö Ð Ø Ø Ý¹ Ý ØÖ Ô Þ Ø Ö Ð Ø Ú Ð ÐÙÐÖ Ð ÐÐ ØÚ Ð ÐÖ Ð ¹ Ð Ø Þ Þ 1+(1 ) < I(1+ ) < 1+(1 1 ), 1 < I(1+ ) < 1 4. Ð = 1 n ¹ Ø ÖÚ n¹ò Ð ÞÓÖÓÞÚ Ô Ù Ó Ý 1 1 n < a n = ni(1+ 1 n ) < 1 1 4n, Ý lim n a n = 1º ÒØ Ù Ý Ò ÖÖ Ø Ö ÖØ Ö I(e) ÓØØ Ø Ø I(e) = 1 Ý I(z) = lnzº ˺ º Ò Ð Ù Þ a 1 a º º º ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò a n = 1 n ([ n [ n [ n + +...+. ¾ µ 1] ] n]) µ ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ú Ø Ð Ò Ó n¹ö a n+1 > a n º µ ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ú Ø Ð Ò Ó n¹ö a n+1 < a n º Å ÓÐ Ä Ø ÐÑÓÒ Ø Â ÒÞ Ö ÇÐ Ú Ö Þ [ n k] Ñ ÒÒÝ ÞØ ÑÓÒ Ñ Ó Ý 1¹Ø Ð n¹ ÒÝ Þ Ñ Ó ÞØ Ø k¹ n [ n Ú Ðº Ñ ÒÒÝ Ø Ø 1¹Ø Ð n¹ Þ ÑÓ Ó ÞØ Þ Ñ Ò Þ k] k=1 Ý a n ÞØ ÑÓÒ Ñ Ó Ý Þ 1 º º º n Þ ÑÓ Ò ØÐ Ó Ò ÒÝ Ó ÞØ Ú Òº µ Þ Ð Þ Ñ Ñ ÐÝÒ Ø Ó ÞØ Ú Ò º Þ Ð Ñ ÐÝÒ ÖÓÑ 4º Þ ÑÓ Ò ÖÑ ÐÝ Ò Ó Ó ÞØ Ð Ø s!¹ò ÔÐ Ð Ð s Ó ÞØ Ú Òµ Ý Ö Ö Ð Þ Ö ÓÖ Ö Þ Þ ÓÐÝ Ò Þ Ñ Ñ ÐÝÒ Ø Ó ÞØ Ú Ò Ñ ÒØ ÖÑ ÐÝ Ò Ð ÔÓÞ Ø Ú ÞÒ º Þ ÐÝ Ò Þ ÑÓ ÞØÓ Ò Ò Ú Ð Þ ØÐ ÓØ Ø Ø a r > a r 1 r Ö ÓÖ Öº ¾

µ Ð Ð Ø Ø Þ Ð Ò ÒÝ ÔÓÞ Ø Ú Þ Ð ØØÙ Þ Ó ÞØ Þ Ñ n 1 3 4 5 6 d(n) 1 3 4 Þ 1¹ Ò Ú Ð Þ ÑÓ Ò Ð Ð Ø Ó ÞØ Ú Ò ÔÓÒØÓ Ò ÞÓ Ò Þ ÑÓ Ò Ú Ò Ø Ó ÞØ Ñ ÐÝ ÔÖ Ñ º Þ Ó ÞØ Þ Ñ Ò ØÐ ÝØ Ð Ò Ý Ø ÔÔ ÝØ Ð Ø Ñ Ö Ø Ñ ÒØ Ý Þ ØÐ Ñ Ö Ñ Ò Ø Ð Þ ¹Ò к Ð Ú Ø Þ Ó Ý Ñ Ò Ò 6¹Ò Ð Ò ÝÓ p ÔÖ Ñ Ð Ð Ú Þ Þ ØÐ ÓØ Þ Þ a p < a p 1 º Å Ú Ð Ú Ø Ð Ò Ó ÔÖ Ñ Þ Ñ Ú Ò Ý Ú Ø Ð Ò Ó ÞÓÖ Ò ÓÖÓÞ Øº ÌÓÑÓÒ Á ØÚ Ò Ñ ÝÞ Á Ñ Ö Ø Ó Ý H n = 1 1 + 1 + 1 3 +...+ 1 n ÖÑÓÒ Ù ÓÖØ Ò ÝÓÒ Ð Þ Ð Ø ÐÓ Ö ØÑÙ Ú Òݺ Æ Ú Þ Ø Ò Þ Þ Ý Å Ú Ð n k 1 < [ ] n k n k Ý n+ lnn < H n < 1+lnn. n k=1 n n k < [ n k] k=1 H n 1 < a n H n, n k=1 (lnn) 1 < a n (lnn)+1. n k, ¾ µ ¾ µ Þ Ð ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý Þ a n ÓÖÓÞ Ø Ú Ø Ð Ò Ó ÞÓÖ Ò º ÌÓÚ Ñ ÝÞ Þ Ö Ñ ÒÝ Ð Ô Ò ÞØ ÑÓÒ Ø Ù Ó Ý Þ 1¹Ø Ð n¹ Ø Ö Þ Þ ÑÓ Ò ØÐ Ó Ò lnn Ó ÞØ Ú Òº ĺ º k Ö Ö ÒØ Þ ÝÑ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ l 1 l Ý Ò Øº k 1 Ö Ö ÒØ l 1 ¹ Ø A¹ Ò Ú ÐÖ Ð Ö ÒØ k¹ø C¹ Òº k Ö Ö ÒØ l ¹Ø B¹ Ò Ú ÐÖ Ð Ö ÒØ k 1 ¹ Ø E¹ Ò k¹ø D¹ Òº Þ AD BC Ý Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Qº ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Q CDE ÖÓÑ Þ Ö ÖØ Ö Ò Þ ÔÔÓÒØ º l 1 A l k C D Q B E k k 1 ¾

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º Áº Ñ ÓÐ Â Ð Ð k Ö Ö ÒØ ÔÓÒØ Ø l 1 ¹ Ò Ðк l ¹Ò U Ðк V k k 1 k Ö Þ ÔÔÓÒØ Ø Ö Ò Ö O O 1 O Þ O 1 ¹ Ð Ðк O ¹ Ð UV ¹Ö Ó ØÓØØ Ñ ¹ Ö Ð Ø ÐÔÔÓÒØ Ø T 1 Ðк T Þ O T AO 1 Ý Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Ø T Þ O 1 T 1 O T Þ ÞÓ Ó Þ Ø d 1 Ðк d º l 1 U A k T 1 O T r d d 1 C Q E r 1 O 1 T k 1 l V D O r B k G D E Ö ÒØ ÔÓÒØÓ Ö Ò Ö Þ Ö ÒØ Þ ÖÔ ÖÓ O 1 O O O O 1 O ÒØÖ Ð Ö Ò º G D E ÔÓÒØÓ Ý Ó ÞØ Ð Þ O 1 O O ÖÓÑ Þ ÓÐ Ð Ø Ó Ý Ó Ð Ð Ö Þ ÝÑ Ð Ý ÒÐ O 1 G = O 1 E O E = O D OD = OGº à ÒÒÝò ÞÓÐÒ Ó Ý Ý Ð ÔÔ Ò Ó ÞØ Ø Ð Ý ÖÓÑ Þ ÓÐ Ð Ó Ý ÞO 1 O O ÖÓÑ Þ ÖØ Ö Ò Ö ÒØ ÔÓÒØ Ý Ó ÞØ Ð Þ ÓРРغ Ì Ø GP D E ÔÓÒØÓ ÓÒ ØÑ Ò Ö Þ O 1 O O ÖÓÑ Þ ÖØ Ö º Ð Ø ÞÓÐ ÓÞ Þ ÙØ Ò Ð Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý DA OO ÞÞ Ð Ò Ð Ñ ÓÒ CB OO 1 º À ÓØØ Ø ÔÓÒØ ØØ O O ÓÖ Ö Ø ÞÓÒ P ÔÓÒØÓ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ò Ø ÔÓÒØØ Ð Ú Ð Ø ÚÓÐ Ò ÝÞ Ø Ò Ð Ò Ð Ö ÓØØ ÐÐ Ò Ú Ð Ý ÒÐ OP O P = OD O D º Á Ñ Ö Ø Ó Ý Þ Ñ ÖØ Ò ÐÝ Ø ÓØØ ÔÓÒØÖ Ñ Ö Ð Ý Ò º Ð ÓÐÝ Ð Ð ÞÓÐÒÙÒ Ó Ý Ö Ò ÓÒ OA O A = OD O D. ¾ µ ¾ µ Ö Ð Ò Þ OA O A Ñ ÒÒÝ Þ ÑÓÐ ÓÞ Þ OUA O TA Ö Þ ò ÖÓÑ Þ Ø ÞÒ Ð Ù º È Ø ÓÖ Þ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ OA = r +d 1 O A = (r r ) +(d 1 d ), ¾ µ Ý OA O A = 4rr +d 1 d 3r r d. ¾ µ Þ O 1 T 1 O O T O O 1 TO Ö Þ ò ÖÓÑ Þ Ö Ð Ö Ù È Ø ÓÖ Þ Ø Ø ÐØ (r 1 +r) = d 1 +(r 1 +r) (r +r) = d +(r +r) (r 1 +r ) = (d 1 d ) +(r r 1 r ) ¼µ ¾

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º Þ Ð Ø Ý ÒÐ Ø Ð 4rr 1 = d 1 4rr = d, Ñ ÖÑ Ð Þ Ð ÞÒ Ð Ú Ð r = d 1 d. ½µ ¾µ Þ ½µ¹ ¾µ Þ Ð Ô Ò ¾ µ Ý Ö Ø OA O A = 4rr +4r 3r r 4rr = r r = OD O D. µ ÔÔ ÞØ ÖØÙ ÞÓÐÒ º ÁÁº Ñ ÓÐ Ä ÑÑ Äº º½º À Ð Ø Ö Ò V Þ l Ý Ò k Ö Ö ÒØ ÔÓÒØ Ñ U Þ l 1 k Ö ÒØ ÔÓÒØ ÓÖ V C A Ý Ý Ò Ò Ú ÒÒ U C B Ý Ý Ò Ò Ú ÒÒ Ø B E A Ý Ý Ò Ò Ú ÒÒ º Ð ÑÑ ÞÓÐ k 1 k Ö Ð ÓÒÐ ÔÓÒØ Þ Ö ÒØ ÔÓÒØ Ù Cº Ð ÔÓÒØ Ð k 1 Ö k¹ Ò Ý Ø Ø º ÒÒ Ð Ò Ý Ø Ò Ð k 1 Ö l 1 Ö ÒØ Ò Ô k Ö Ý l 1 ¹ Ý Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ö ÒØ Ð Þ Ñ ÔÔ l º Ý ÞA Ö ÒØ ÔÓÒØ Ô V Ö ÒØ ÔÓÒØ Ø Ø Þ Ø ÔÓÒØ Ý Ý Ò Ò Ú Ò C¹Ú к À ÓÒÐ Ò ÞÓÐ Ø Ñ Ø ÔÓÒØ ÖÑ ÓÐÐ Ò Ö Ø º Ä ÑÑ Äº º¾º Ð Ø Ö Ò Þ AD Ý Ò Ö ÒØ k k Ö Øº Ð ÑÑ ÞÓÐ k k Ö Þ ÔÓÒØ Ð Þ Ö ÒØ Ø Ö ØÚ ÒÝÚÓÒ Ð Ø Ø Ñ Ò Þ ÒÒÝ Ø ÐÐ Ð ØÒÙÒ Ó Ý Þ A ÔÓÒØÒ k k Ö Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ØÚ ÒÝ Ý ÒÐ º Ä ÑÑ Äº º½º Þ Ö ÒØ k Ö Þ l Ý Ò V Ö ÒØ ÔÓÒØ Þ AC Ý Ò Ò Ú Òº Þ A ÔÓÒØ k¹ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ØÚ ÒÝ AC AV Þ ÓÒÐ Ò A¹Ò k ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ØÚ ÒÝ AE AB Ý ÞØ ÐÐ ÞÓÐÒÙÒ Ó Ý AC AV = AE AB Ø Ø ÞØ Ó Ý C V B E ÔÓÒØÓ Ý Ö Ò Ú ÒÒ º l 1 U A k C k 1 l V D B E k ¾

k 1 Ö Ò Þ AC Ö Ö Ð Ø Þ α = CEA Ñ Ö Ö ÒØ Þ Ö ¹ Ö Ð Ø Þ α = CAU º CAU Þ Ú ÐØ Þ CVB Ý α = CEA = CVB Ø Ø CEBV Ú Ð Ò ÖÒ Ý Þ Ð ÑÑ Ø ÞÓÐØÙ º Ð ÑÑ Ð ÝÓÖ Ò Ú Ø Þ Ð Ø ÐÐ Ø º AD Ö ÒØ k¹ø k ¹Ø Þ ÓÒÐ Ò BC Ö ÒØ k¹ø k 1 ¹ غ ÓÖ Q Ö Ø Ú Ò k k 1 k k Ö Þ Ö ÒØ Ò Þ Þ ØÚ ÒÝÚÓÒ Ð Ò Ý Q k k 1 k Ö ØÚ ÒÝÔÓÒØ º Ý Ö Ø Ú Ò k 1 k E¹Ò ØÑ Ò Þ Ö ÒØ Ò Þ Þ QE Ö ÒØ k 1 k Ö Øº ÓÖ Ú ÞÓÒØ QC = QE QD = QE Ñ Ú Ð QC QE Ý Ò k 1 Ö QD QE Ý Ò Ô k Ö Ö ÒØ Q ÔÓÒØ Ðº Ý QC = QD = QE Ø Ø Ð Ø ÐÐ Ø Ø ÞÓÐØÙ º ÁÁÁº Ñ ÓÐ Ð ÒØ Ä ÑÑ Äº º¾¹Ö ÙÒ ÞÓÒÝ Ø Øº ÁÒÚ ÖØ Ð Ù Þ Ö Ø D¹Ö ÓÖ k k Ö ÒØ Ö Ô k k Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ý Ò l 1 l Ô Þ l 1 l ÝÑ Ø D¹ Ò Ö ÒØ Ö k 1 Ô k 1 Ö A Ô A º k 1 A D l 1 k l k ÓÖ DA ÒÝ ÐÚ Ò Ô Ö ÙÞ ÑÓ k ¹Ú Ð k ¹Ú к Þ ÖØ DA ÒÚ ÖØ ÐØ Ô DA Ý Ò Ö ÒØ k k Ö Ø Ó Ý Ð ÑÑ ÐÐ ØÓØØ º Áκ Ñ ÓÐ Æ Ý Ê ÖØ Ä ÑÑ Äº º¾¹Ö ÙÒ Ñ Ý ÞÓÒÝ Ø Øº Ì ÒØ k k Ö D¹ Ð Þ Ö ÒØ Ý Ò Ò Þ l 1 Ý Ò Ð Ú ØØ A Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Øº ÞØ ÐÐ ÞÓÐÒÙÒ Ó Ý A Ñ Ý Þ A¹Ú кµ ÁÒÚ ÖØ Ð Ù Þ Ö Ø Þ A Þ ÔÔÓÒØ D¹Ò ØÑ Ò i ÖÖ ÒÒ Ð Þ ÒÚ ÖÞ Ò Ð Þ l 1 k k Ð Þ ØÓ Ô ÒÑ º Þ l Ý Ò Ö ÒØ Þ l 1 k k Ð Þ ØÓ Ø Ø Ø l Ô ÓÐÝ Ò B ¹Ò ØÑ Ò Ö Ñ ÐÝ Ö ÒØ l 1 k k Ñ Ò Ý Øº Ý ÓÐÝ Ò Ö Ú Ò Þ Þ ÑÐ Ð Ø Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð ¾

Ð ÞÓÐ Ù Ñ ÐÝ Ö ÒØ ÖÓÑ Ð Þ ØÓغ k 1 Ö Ý ÐÝ Ò Ö B = Bº Ä ÑÑ Äº º º À k Ö Ö ÒØ Þ ÝÑ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ l 1 l Ý Ò Ø k Ö Ö ÒØ l ¹Ø Ú Ð Ñ ÒØ k¹ø Ú ÐÖ Ð ÓÖ Ý ØÐ Ò Ý ÓÐÝ Ò k 1 Ö Ú Ò Ñ ÐÝ Ö ÒØ l 1 ¹ Ø k¹ø Ú Ð Ñ ÒØ k ¹Ø Ú ÐÖ Ðº Ä ÑÑ Äº º º ÞÓÒÝ Ø Ò Ú ÞÐ Ø k¹ø l 1 ¹ Ø Ö ÒØ Ö Þ ÔÔÓÒØ k¹ø l ¹Ø Ö ÒØ Ö Þ Ô¹ ÔÓÒØ Ý¹ Ý Ô Ö ÓÐ Ø Ð ÓØÒ º Ê ÙÐ Þ Ø Ô Ö ÓÐ Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ø Ò ÐÝò ÞÓÒÓ ÐÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Ù ÞÙ Ú Þ Ö Ý Ò Ø ÚÓй µ Ý ÒÐ º Å Ø Þ ÔÓÒØ Þ Ñ Ø Ý } y = ax +b 1 x+c 1 y = ax +b x+c Ð Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ Ö Ú Þ Ø Ñ ÐÝÒ Ð Ð Ñ ÓÐ Ú Òº ĺ º ÓØØ ÝAB ØÑ Ö ò O Þ ÔÔÓÒØ Ð Öº ÞAB Ý Ò B¹Ò Ø Ð Ñ Ó Þ Ø Ò ÐÚ ØØ M ÔÓÒØ Ð ÞÓØØ Þ Ð Ð ÖØ C D ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ø Þ CM < DMµº Þ AOD BOC ÖÓÑ Þ Ö ÖØ Ö Þ O K ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ø Þ ÝÑ Øº Á ÞÓÐ Ù Ó Ý OK KM Ñ Ö Ð º Å ÓÐ Ä Ý Ò DAB = α ABC = β BC AD Ý Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØ E Þ AC BD Ý Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Lº Å Ú Ð E Ö Ø Ú Ò Þ ABCD AOKD Ú Ð Ñ ÒØ ABCD OBCK Ö ØÚ ÒÝÚÓÒ Ð Ò Ý E ÖÓÑ Ö ØÚ ÒÝÔÓÒØ Þ ÖØ E Ö Ø Ú Ò OK¹Òº BEA = 180 α β. DKC = DKE +EKC = EAB +ABE = α+β, Ý EDKC ÖÒ Ý Þ º Å Ö ÞØ EDL = LCE = 90 Ý EDKLC Ö Ø Þ º Ý LKE = LDE = 90. BKA = BKO +OKA = BCO +ODA = CBO +DAO = = α+β. BLA = 180 LAB ABL = 180 (90 β) (90 α) = = α+β. Ý ABLK ÖÒ Ý Þ º ÓÖ M Ð Ú Ò AB CD Ý Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØ µ Þ ABCD ABLK DKLC Ö ØÚ ÒÝÔÓÒØ Þ ÖØ M Ö Ø Ú Ò LK Ý Ò Òº Ý MKO = LKO = 90, Ø Ø Ð Ø ÐÐ Ø Ø ÞÓÐØÙ º Ǻ º ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý ÖÑ ÐÝ Ú Ð Þ Ñ Þ ØØ Ú Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò Ñ ÐÝ Þ Ð ÖÑ ÐÝ ¾ Þ Ö ÓÒ Ð Ú Ý ÓÐÝ Ò Ñ ÐÝ Þ Ð ÖÑ ÐÝ ¾ Þ ÖÖ ÓÒ Ð ¾

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º Å ÓÐ Ð Þ Ö Ú Ý Ò ÐÐ Ø Ø Ú Ð Þ ÑÓ Þ Ö Ð ½º Ã Ø Ö ÓÒ Ð Þ Ñ Þ Ö ÓÒ Ð ¾º Ý Ö ÓÒ Ð Ý ÖÖ ÓÒ Ð Þ Ñ Þ ÖÖ ÓÒ Ð º Þ ÖÖ ÓÒ Ð Þ ÑÓ Ö ÓÒ Ð Þ Ö Þ ÑÓ Ó ÞÓ Þ ØØ ÙØ Ð Ñ ÐÝ Þ Ö ÓÒ Ð µ Ô ÖÓ Ö º Þ ½º ¾º ÐÐ Ø ØÖ Ú Ð º º¹ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò ÞÓÒÝ Ø Ù Ò Ö Ø Ò Ì Ý Ð Ó Ý Ò Ñ Ô ÖÓ Ö º Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ú Ò ÒÒ Ô Ö ØÐ Ò Ö Ú Ý Ô Ö ØÐ Ò Ó ÓÐÝ Ò ÖÖ ÓÒ Ð Þ Ñ ÓÐ ÖÑ ÐÝ ¾ ÝÑ Ø Ú Ø Þ Ö ÓÒ Ð º Ä Ý Ò Þ a 1 a º º º a k a k+1 º Å Ú Ð Þ a 1 +a, a 3 +a 4,..., a k 1 +a k, a k+1 +a 1, a k +a k+1 Þ ÑÓ Ñ Ò Ö ÓÒ Ð Þ Þ a 1 +a +...+a k +a k+1 ÒÒ Ð a 1 +a +...+a k +a k+1 º Ð Þ Þ Ð ÓÖ ÚÓÒ Ù Ð Þ a 1 +a a 3 +a 4 º º º a k 1 +a k Þ Ø Ì ÖÑ Þ Ø Ò Þ Ö Ñ ÒÝ ØØ Ö ÓÒ Ð Ð Þ ØØ Þ Ö Ñ ÒÝ a k+1 Ñ Ö Ð ÐØ ØØ Ó Ý ÖÖ ÓÒ Ð Ø Ø ÐÐ ÒØÑÓÒ ÓÞ ÙØÓØØÙÒ º ÞØ Ð ÞÒ ÐÚ ÓÒØ Ù Þ Ö Ø Ð Ø Ð Ø Ø Ø ØÖ º Þ Ð Ø Ò Ñ Ò Ò Þ Ñ ÖÖ ÓÒ Ð º Å Ú Ð Ú Ò Ð Ð ÒØ ÑÐ Ø ØØ Ô ÖÓ Ö Ú Ð Ñ ÐÝ ÓÐ Ð Ò Ú Ò Ð Ð Þ Ñº ÞÓ Þ Ð Ô ÖÑ ÐÝ ¾ Þ ÖÖ ÓÒ Ð º Ñ Ð Ø Þ ÑÓ Þ ØØ Ú Ò Ö ÓÒ Ð º À Ú Ò Ð Ð ÓÖ ÞÓ Þ Ð ÖÑ ÐÝ ¾ Þ Ö ÓÒ Ð º À Ò Ò ÓÖ ØÙ Ù Ó Ý Ú Ò Ð Ð ÖÖ ÓÒ Ð º ÓÖ Ô ÖÓ Ö Ú Ð Ñ ÐÝ ÓÐ Ð Ò Ú Ò Ð Ð Þ Ñ Ñ ÐÝ Þ Ð ÖÑ ÐÝ ¾ Þ ÖÖ ÓÒ Ð º Þ Ú Ð ÞÙÒ Ñ ½¹ Ø Ö ÓÒ Ð Þ ÑÓ Þ Ð Ý Þ ÒØ Ò Ñ Ú Ò Þ Þ Ñº Ǻ º Å Ú Ð Þ Òò ÒÒ Ó Ý Þ Ö Ò Ñ ÓØØ Ö 8 ÔÓÒØ Þ Ð ÖÑ Ø Ø Ð ÐÓÑÖ Ú Ð ÞØÚ ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ ÖÑ Ø ÔÙÒ Ñ ÐÝ Ò Ò Ò ÔÓÒØ Ñ ÐÝ Þ Ú ÒÒ ØÚ Áº Ñ ÓÐ ÃÙØ ÃÖ Ø Þ ÓÐ Ò À Ú Ð ÞØ ÓÖÖ Ò Ø Ý Ð Ñ Ú Þ ÓÖ Þ Ò 8 7 6 Ø Ú Òº Ú Þ Ø Þ Ñ Ø ÓÖÖ Ò Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð Þ ÑÓÐ Ù Þ º Þ Ð Ò Ú Ð ÞØÓØØ Ø Ø Þ Ð Ð Ø 8 Ð Ø µº Ñ Ó Ò Ñ Ö Ð Ø ÞÓÑ Þ Ó ÖÓÑ Ð Ø Ø 4 Ñ Ö º ÞÓÒ Ò Þ Ð ¼

Ð Ø ÐÐ Ò Ó Ò Þ Ñ ÞØ µ Ú Ð ÞØ Þ Ö ÖÑ Ñ Ð Ð Ú Ð ÞØ Øº Ý Ñ Ó Ö ÖÓÑ Ð Ø Ñ Ö º ÖÑ Þ Þ Ð ÖÑ ÐÝ Ñ Ð Ø Ò Ñ Ð ÞÒ ÞÓÑ Þ Ó º Ý Ú Þ Ø Þ Ñ 8 3 º Ö Þ ØØ Ú Ð Þ Òò 8 7 6 8 3 = 1 7. ÁÁº Ñ ÓÐ Ý Ò Þ ÓÐ Ò Î Þ Ð Ù Ó Ø Ø Ö Ò Ñ ÐÝÒ Ö Ñ ÓØØ Ö À ¹ ÖÓÑ Þ Ð Ñ ÐÝ ØØ Ñ ÞÓÑ Þ Ó ÓÖ Þ ÔÔ Ò Ð Ô ØÐ Þ Ø ÖÑ ÐÝ ØØ Þ Øغ Þ ÐÝ Ò ÖÑ Ó Ý Ô Ø Ó Ý Ú Ð ÞØÓ Ý ÓØ Ò Ñ ÞØ Ò Ñ ÖÓÑ ÞÓÑ Þ Ø Ú Þ º Ú Þ Ø Þ Ñ Ø Ø ÓÖÖ Ò Ò Ð Ðµ 8º Þ Þ Ø Þ Ñ ÓÖÖ Ò Ò Ð Ð ( 8 3) Ø Ø Ö ØØ Ú Ð Þ Òò 8 ( 8 ) = 8 3! 8 7 6 = 1 7. 3 Ǻ½ º Þ a b c d ÔÓÞ Ø Ú Ö ÓÒ Ð Þ ÑÓ Ö Ø Ð Ð Þ Ð ÖÓÑ ÐØ Ø Ð ½µ a+b+c+d = 8 ¾µ a +b +c +d = 5 µ c = dº À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ c Ñ Ü Ñ Ð ÖØ Ø Áº Ñ ÓÐ ÞÞ c¹ø Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ð ½³µ a = 8 b c ¾³µ (8 b c) +b +c = 5 µ Þ Þ c = d 6c 4(8 b)c+(b 16b+39) = 0, µ Ý c = 4(8 b)± 16(8 b) 4(b 16b+39), 1 Þ Þ Ò ÝÓ c ÖØ c = (8 b)+ b +8b+ 11. µ 3 c Ñ Ö ØÐ ÒØ Ð Ó Ø Ù b Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ Ò º µ Þ Ò Ý Ð ØØ Ñ ÒÒÝ [ b 3 3,+ 3 ] 3 [ 0.598,4,598] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ò ÑÒ Ø Ú ØØ ÖØ ÐÑ ÞÞ µ Ú ÒÝغ Ú ÒÝ Ö Ú ÐØ c = 1 3 + (4 b) 3 b +8b+ 11, µ ½

Þ Ø ÓÖ Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ó ¾¼½¾º Þ Ôغ ¾ ¹¾ º Ä ÓÐÚ Ø Ó Ý b Ø Ò Ö Ú ÐØ Ò Ø Ú Ø Ø Ú ÒÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ó Ý º Ê Ò Þ Ò ÝÞ ØÖ Ñ Ð ÙØ Ò Ö Ú ÐØ Þ ÖÙ ÐÝ Ò b 1 = 1 ÖØ Ø Ô Ù Ñ Þ Ð Ö Ð b = 7 Ò ÝÞ ØÖ Ñ Ð Ð ÔÓØØ Ñ Ý º c Ú ÒÝ ÖØ Þ ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ð Þ Ð Ò b = 3 3 ¹ Ò+ 3 < 3 Ñ b 1 = 1 ¹ Ò ÒÒ Ð Ò ÝÓ Ò Ú Þ Ø Ò 7 > 3 Ñ b = ¹ Ò Ö Ò Ø Úº Ý Ö Ú ÐØ Þ ÖÙ ÐÝ Ò b 1 ¹ Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ú Òº Þ Ý Ñ Ü ÑÙÑ c = 7 ÖØ Ú Ð Þ Ð Ø Ö Ö Ñ ÖØ ÔÓÞ Ø Ú Ö ÓÒ Ð Ý Ñ ÒØ Ø Ú ÐØÓÞ Þ Ø ÖØÓÞ ÖØ a = b = 1 c = d = 7 º ÁÁº Ñ ÓÐ ÞÞ b¹ø Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ð Þ Ð Þ Ñ ÓÐ Ð Ò ÔÓØØ µ Þ Ø Ý Ö Ø Ù b +4(c 4)b+(6c 3c+39) = 0. ÈÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ò ÐÝ Ò Ú Ð b ÖØ Þ Ý ÒÐ Ø Þ Ö Ñ Ò Ò Ò ÑÒ ¹ Ø Ú Þ Þ 0 D 8 = (16 8c+c ) (6c 3c+39) = 4c +16c 7 = (7 c)(c 1), Ø Ø 1 c 7. ÞØ ÔØÙ Ó Ý c Ò Ñ Ò Ø Ø Ð 7 ÖØ Ø ÞØ Ð Ö Ø Þ Ò c = d = 7 a = b = 1 Ø Ò Ø Ð ÐÒ Þ Ð ÖØ Þ º ÁÁÁº Ñ ÓÐ Ð Ñ Ò Ð Ù d Ú ÐØÓÞ Ø Ú Þ Þ a+b = e a b = Ú ÐØÓÞ Ø a b ÐÝ ØØ ½³µ e+c = 4 ¾³µ e +c = 5 º À e¹ø c Ø ÒØ Ú ÐØÓÞ Ò ¹Ø Ô Ö Ñ Ø ÖÒ ÓÖ ÒØ ½³µ Ý Ý Ò ¾³µ Ô Ý ÓÐÝ Ò ÓÖ Þ ÔÔÓÒØ Ö Ý ÒÐ Ø Ñ ÐÝÒ Ù Ö Ð Ð 5 º Ñ Ü Ñ Ð Ù Ö ÓÞ = 0 Þ Ð Ø Þ Ø ÖØÓÞ Ö Þ E ( 5, 5 ) ÔÓÒØÓÒ Ñ Ý Øº e 4 E (0,0) P 4 c ¾

(c,e) ÔÓÒØ Ø Ð Þ Ø Ñ Ø Þ ÔÓÒØ º Þ Ö Ð Ú Ð Ó Ó Ý Ñ Ü ¹ Ñ Ð Ö = 0 Ø Ò Ô Ù Ð Ò ÝÓ c ÖØ Øº P ( 7, ) 1 Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Ø ÖØÓÞ Þ Ð Ø Þ c = d = 7, e = 1, = 0, a = b = 1. Þ Ú Ð Ò Ñ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ö ÓÒ Ð ÖØ º Å ÝÞ Ø ÓÖ ÙØ Ò Þ ÓÐ Ò Ò Ñ Ø ÓÖÓÞ Ó Ò Ú Ð ØÐ Ò Ð Þ Ð Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ð Ò ÙÐØÙÒ ½µ a+b+c+d = 13 ¾µ a +b +c +d = 5 µ c = dº È ÔÔ Ö ÐÝ Ñ ÑÙØ ØØ Ó Ý Ò Ò ÓÐÝ Ò Ú Ð Þ ÑÒ Ý Ñ ÐÝ Ð Ø ÞØ Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Öغ Î Ð Ò Þ ÑØ Ò Ò ÝÞ Ø Þ Ô ÞØ Þ Þ Ö ÒØ a+b+c+d 4 a + b + c + d 4 a +b +c +d, 4 ØØ Ð ÓÐ Ð Ø ÖØ ÖØ 13 4 Ó ÓÐ Ð 5 Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ø Ð Òغ ÐÑ Ö Ð Ö Ó Ý Çº½ ³º Ñ ÐÝ r Ú Ð Þ ÑÓ Ø Ò Ú Ò Ñ ÓÐ Ú Ð Þ ÑÒ Ý Ö Ò Þ ½µ a+b+c+d = r ¾µ a +b +c +d = 5 µ c = dº Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÒ Íº½ Ý ÓÖÓÞ Ø ÖÑ ÐÝ ÞÓÑ Þ Ó Ø Ø Þ Ú Ò Ø Ú ÖÑ ÐÝ ½½ ÞÓÑ Þ Ó Ø Þ Ú Ô ÔÓÞ Ø Ú Þ ÑÓØ ÔÙÒ º Ä Ð ÒÝ Ø Ð Ø ÓÖÓÞ ØÒ Áº Ñ ÓÐ Ä Ø ÞÙ Ó µ Ð Þ Ö ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý ÓÖÓÞ ØÒ Ò Ñ Ð Ø 17 Ø º Î Ý Ò Þ Ð 14 Ø ÓØ ÓÖÓÞ Ø Ò Þ Þ Ò Ø Ú Þ Ò Þ Ð Ñ Ó Ø Þ Ð Ò¹ Ð Ò Ò Ø Úº ÖÑ ÐÝ ½½ ÞÓÑ Þ Ó Ø Þ Ô ÔÓÞ Ø Ú Ø Ø Þ Ð ½½ Ø Ý Þ ÙØÓÐ ÖÓÑ Ø ½¾º¹½ ºµ Þ Ò Ø Úº 14¹ Ð ÞÓÒ Ò Þ ÙØÓÐ ½½ Ø Þ ÔÓÞ Ø Ú Ý º¹½½º Ø ÖØ Ø Þ ÔÓÞ Ø Úº Å Ú Ð Ñ Ò Ò ÞÓÑ Þ Ó Ø Þ Ò Ø Ú Þ ÖØ º¹½¼º Ø ÖØ Ø Ó Þ Ò Ø Ú ½½º Ø Ø Ø ÞØÓ Ò ÔÓÞ Ø Úº Í Ý Ò ÞØ Ñ Ò Ð Ø Ù Ò Ñ Þ Ð ÐÝÖ Ð Þ Ú Ò Ñ ¾º¹Ø Ð Ñ Ò Ò Ø ÐÝ ØØ Þ Ý Ð ÙØ Ò Ð Ú Ø ÑÓÒ Ù ÑÓ Øµ Ý Ú Ò 17 Ø ÓÖÓÞ ØÒ ÓÖ ¾º º º Ø Ø Ð Þ Ú Ú Ò Ñ 14 Ø Ø Ø ÓÖ Ò ½¾º ½ º ½ º Ø ÔÓÞ Ø Úº Þ ÞÓÒ Ò ÐÐ ÒØÑÓÒ Ñ ÖØ ØÙ Ù Ó Ý ½¾º¹½ º Ø ÖØ Ø Þ Ò Ø Úº ÅÓ Ø ÑÙØ Ù Ñ Ó Ý 16 Ø Ð ÐÐ Ø ÓÖÓÞ Ø Ä Ý Ò Ñ Ò Ò ÔÓ¹ Þ Ø Ú Ø 1 Ñ Ò Ò Ò Ø Ú Ø Ô Ô (,5 + 1 1000 )º Å Ò Ò ÝÑ Ø

Ú Ø 7 Ø ÞØ Ð Ð Ò Ø Ú ÐÐ Ð Ý Ò Ñ Ò Ò ÝÑ Ø Ú Ø 11 Ø ÞØ Ð Ð 8 ÔÓÞ Ø Ú ÐÐ Ð Ý Òº ÞØ Ñ Ò Ð Ø Ù Ø Ó +,+,,+,+,+,,+,+,,+,+,+,,+,+º ÁÁº Ñ ÓÐ Ã ØòÞ µ Æ Ñ Ð Ø ½ Ø º ÒÒ ÞÓÐ ÓÞ Ö Ù Ð Ý Ø Ð Þ Ø Ð ÓÖ ÓÖ Þ ½º ¾º º º º º Ð Ñ Ø ¾º¹ ¾º º º º º Ð Ñ Ø Ø º Ú Ð Þ ÙØÓÐ ½½º ½¾º º º º ½ º Ð Ñ Øº ÓÖ Ñ Ò Ò ÓÖ Þ Ò Ø Ú Ñ Ò Ò Ó ÞÐÓÔ Þ ÔÓÞ Ø Ú Þ Ð Ø ØÐ Òº ½ Ø Ð Ø ÓÖÓÞ Ø ÔÐ Þ Ð Ì Ø Ñ ÓÐ ½ º 1;1;,6;1;1;1;,6;1;1;,6;1;1;1;,6;1;1. ĺ½¼º À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ Þ ÓÐÝ Ò Q Q Ú ÒÝØ Ñ ÐÝÖ Ñ Ò Ò x,y Ö ÓÒ Ð Þ ÑÔ ÖÖ Ø Ð Ð Þ Ð Þ f(f(x)+f(y)) = x+y. Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÇÐÝÑÔ ¾¼¼»¾µ Å ÓÐ Ã ØòÞ µ x = y¹ Ð ÞØ Ô Ù Ó Ý f(3f(x)) = 3xº x ÐÝ Ö 3f(x)¹ Ø ÖÚ ÞØ Ñ Ø Ø Þ Ò Ñ Ò Ò x¹ö Þ ÚÓÐØ Þ ÐÐ Ø ÓÖ ÞÓ Ö Ñ ÐÝ Ð ÐÐÒ 3f(x) Ð Òºµ f(3f(3f(x)) = f(9x) = 3 3f(x) = 9f(x)º Þ x = 0¹ Ö f(0) = 9f(0) Ñ Ð f(0) = 0º ÅÓ Ø x = 0¹Ø ÖÚ Ð Ø Ò Þ Ö ÔÐ Ý ÒÐ Ø f(f(y)) = yº Ð ØÙ Ù Ó Ý Þ f Ú ÒÝ ÐÚ Þ Ñ Ò Ò Q¹ Ð ÖØ Øº Ð Ø Ò Þ Ö ÔÐ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ø ÓÐ Ð Ò f Ú ÒÝ Ø Ú Ú f(x)+f(y) = f(x+y) Ñ Ò Ò Ö ÓÒ Ð (x,y)¹ö º y = 0¹ Ø ÖÚ f(x) = f(x)º Ì Ø f(x) + f(y) = f(x + y) Ñ Ò Ò Ö ÓÒ Ð (x,y)¹ö Ø Ø f(u) + f(v) = f(u + v) Ñ Ò Ò Ö ÓÒ Ð (u,v)¹ö º Ð Ø Ð Ò Ù Ú Ð Ð Ø Þ Ó Ý Ñ Ò Ò ÔÓÞ Ø Ú Þn¹Ö Ö ÓÒ Ð x¹ö f(nx) = nf(x)º Ä Ý Ò k = f(1) Ý x = 1 Ø Ò f(n) = nk n ÔÓÞ Ø Ú Þµº À x = 1 n ÓÖ f(1) = k = nf( 1 n ) Ð Ó ÞØÚ n¹ò Ð f(1 n ) = k n º Å ÒØ ØÙ Ù Þ Ð Þ Ø Ý m Þ Ð ÞÓÖÓÞÞÙ ÓÖ mf( 1 n ) = f(m n ) = mk n (m,n) ÔÓÞ Ø Ú Þ º Ì Øf(x) = kx Ñ Ò Ò Ö ÓÒ Ð x¹ö º Å Ú Ðf(f(x)) = x = k x Þ ÖØk = 1 Þ Þ k = 1 Ú Ý k = 1º Þ Ø Ð Ø Ø Ý f(x) = x Ú Ð Ñ ÒØ f(x) = x Ú ÒÝ Øº Þ Ô Ú Ð Ò Ñ Ð Ð Ú ÒÝ º ºÊ Ã Ö Ñ Ð Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ò Þ Ô ÖÓ Ð ÐÐ Ñ ÓÐ ¹ Ø x7 1 x 1 = y5 1 Å ÓÐ Þ Ý ÒÐ ØÒ Ò Ò Þ Ñ ÓÐ º Þ Ð Þ Ö Ý Ø Ø ÐØ Ð ØÙÒ º Ä ÑÑ x7 1 x 1 Ñ Ò Ò ÔÖ ÑÓ ÞØ ¹Ø Ð Ó ÞØÚ ¼ Ú Ý ½ Ñ Ö ÓØ º Ä ÑÑ ÞÓÒÝ Ø Ä Ý Ò Ð ÓÐ Ð Ý ÔÖ ÑÓ ÞØ pº ÓÖ Ð Ý Ò x Ö Ò u Þ Þ Ð Ý Ò u Ð ÓÐÝ Ò ÔÓÞ Ø Ú Þ Ø Ú Ñ ÐÝÖ x u 1 (mod p).

ÓÖ p x 7 1 Ñ ØØ u Ó ÞØ 7¹ Ø Ñ Ö ÞØ ÖÑ Ø¹Ø Ø Ð Ñ ØØ u Ó ÞØ (p 1)¹ غ À u = 7 ÓÖ p Ú Ð Ò 1¹ Ø Ñ Ö ÙÐ 7¹Ø Ð Ó ÞØÚ º ØÓÚ Ò Þ u = 1 Ø Ø Ú Þ Ð Ù º ÁÐÝ Ò ÓÖ Ø Ø x 1 (mod 7)º ÒÝ Ó ÓÒØÓØØ Ð Ö ÓÒ ÒØÖ ÐÙÒ x 7 1 x 1 = x6 +x 5 +..+x+1 7 (mod p). Ð Ò ÙÐØÙÒ Ó ÝpÓ ÞØ ÒÝ Ó Ø Ø Ø ÓÖ p = 7 Ð Ø º Ä ÑÑ Ø ÞÓÐØÙ º Ì Ø Ð ÓÐ Ð Ñ Ò Ò ÔÖ ÑÓ ÞØ 7k+1 Ú Ý 7k Ð º Î Ý Ó ÓÐ ÐØ y 5 1 = (y 1)(y 4 +y 3 +y +y+1). Ð Þ Ö Ú Þ Ð Ù ÞØ Þ Ø Ø Ñ ÓÖ Ð ÓÖ ÙÐ 7 ÔÖ ÑØ ÒÝ Þ Þ Øغ Þ y 5 1 Þ ÖØ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ó ÞØ Ø 7¹Ø Ð y 1 (mod 7), ÓÖ Ú ÞÓÒØ y 4 +y 3 +y +y +1 5 (mod 7), ÓÖ Ò Ñ Ð Ø Ñ Ò Ò ÔÖ ÑÓ ÞØ 7k Ú Ý 7k +1 Ð º À 7 Ò Ñ ÔÖ ÑØ ÒÝ Þ ÓÖ 7k + 1 Ð ÔÖ ÑØ ÒÝ Þ Ð ØÒ Þ ÞÓÖÞ Ø 7k +1 Ð y 5 1 1 (mod 7)º Þ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ø Ð Ð y (mod 7)º ÓÖ y 4 +y 3 +y +y +1 4 (mod 7) Ù Ý ÒÓÐÝ Ò ÐÐ ÒØÑÓÒ Ò Þ Ó ÞØ Ð Ú Ð Ñ ÒØ Þ Ð º Ì Ø Ð ØÒ Ú Ð Ò Ò Ò Ñ ÓÐ Þ Þ Þ ÑÓ Ö Òº ºÊ º Ä Ù Ó Ý Ñ Ò Ò Ú Þ ÖØ ÓÒÚ Ü Ð Þ Ø Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ ÐÝÖ Ø Ð Ð Ó Ý Ñ Ò Ò Ö Ø Ö ÞØ Ð Ñ Ò Þ Ð Ò ÔÓÒØ Þ Ô ÖÑ Áº Ñ ÓÐ ý Ó ØÓÒ È Ø Ö Ã ÐÐ ÃÖ Ø À ÓÒÚ Ü Ð Þ Ø Ò ÐÚ Þ Ò ÖÓÑ ÔÓÒØÓØ ÓÖ Ø ÒØ Ø Þ ÐØ ÐÙ Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ÖÓÑ Þ Ø Ö Ð Ø Øº Ý Ý Ú ÒÝØ ÔÙÒ Þ Ð Þ Ø ÔÓÒØ ÖÑ Ò Ñ ÐÝ ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ò Ð Þ ÐÚ Ú Ð Ñ ÑÙØ Ø Ø Ó Ý Ú Ò Ñ Ü ÑÙÑ Þ Þ ÓÐÝ Ò A B C ÔÓÒØ ÖÑ Ñ ÐÝÖ Þ ABC ÖÓÑ Þ Ò Ð Ò ÝÓ Ø Ö Ð Øò ÖÓÑ Þ Ò Ñ Ø Ð Ð Ø ÐÑ Þ Òº ýðð Ø Ù Ó Ý ÒÒ Þ ABC ÖÓÑ Þ Ò Þ S ÐÝÔÓÒØ Ð Ø Ú ¹ Ò ÐÑ Ò Ñ Ð Ð ÔÓÒغ Þ ABC ÖÓÑ Þ A Ò Ø BC¹Ú Ð Ô Ö ÙÞ ¹ ÑÓ Ò ÞÓØØ Ý Ò BC¹Ú Ð ÐÐ ÒØ Ø ÓÐ Ð Ò Ò Ñ Ð Ø ÔÓÒØ Þ Ð Þ ØÒ Ñ ÖØ Ð ÒÒ ÓÖ A¹Ø Ý ÓÐÝ Ò ÔÓÒØÖ Ö ÐÚ Ò Ú Ð ØÒ Ò Ø Ö Ð Ø Øº Í Ý Ò ÞØ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ø Ñ Ò ÖÓÑ Ö Ú Ð Þ Ñ ÞØ Óй Ð Ý Ò Ö Ð ÐÑ ÞÚ Ô Ù Ó Ý Ø Ð ÔÓÒØ ÐÑ Þ ÞÓÒ Þ A B C ÖÓÑ Þ Ò Ð Ð Ú Ò Ñ ÐÝÒ Þ Ô ÖÓÑ Þ Þ ABC ÖÓÑ Þ º Å Ö ÞØ A B C Þ Ð Þ Ø ÔÓÒØ Ý ÓÒÚ Ü Ø Ñ ØØ Þ Ð Þ Ø Ö Þ Ø Ð ABC ÖÓÑ Þ º

Ý S ÔÓÒØ ÓÖ Ú Ò Ú Ð Ñ ÐÝ PQ Þ Þ Þ Ô ÖÑ Ò Þ SP Þ SQ Þ ÞÓÒ Ú Ò ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ ÐÝÖ S Þ ÔÔÓÒØ ( ) Ö ÒÝ Ò Ý Ø Ø Ð ÐÑ ÞÚ Þ Þ Ø Ö Ö Ú Ý Þ ÞÓÒ Ú ÐÖ ÙØÙÒ º Þ ÓØØ Ø Ò S¹ Ð ( )¹ Þ Ö Ö Ò Ý ØÚ ÓÒÚ Ü Ð Þ Ø Ö Þ Ø Þ ABC ÖÓÑ Þ Ø Þ A B C ÖÓÑ Þ Þ ÙØÙÒ Ñ ÐÝÒ Ñ Ò Ò ÔÓÒØ ÓÒ¹ Ú Ü Ð Þ Ø Ø Ö Ú Ý Ð ÔÓÒØ º ÁÁº Ñ ÓÐ À ÐÐÝ Ø Ø ÐÐ Ð Þ Ñ ÓÐ ÓÞ À ÐÐÝ Ø Ø Ð Ò Þ Ð Ú Ø Ð Ò Ó ÐÑ ÞÖ ÚÓÒ Ø¹ ÓÞ Ú ÐØÓÞ Ø Ø ÞÒ Ð Ù Ð Ê Ñ Ò Á ØÚ Ò ÓÑ ØÖ Ø ÖØ Ö Ð Ø ¾ º Óºµ À Ú Ø Ð Ò Ó Þ ÖØ ÓÒÚ Ü Ð Þ Ø Þ ØØ Ú Ò Ð Ð Ý ÓÖÐ ØÓ Þ Ð ÖÑ ÐÝ ÖÓÑÒ Ú Ò Þ ÔÓÒØ ÓÖ Ú Ð Ñ ÒÒÝ Ò Ú Ò Þ ÔÓÒØ Ì ÒØ Þ Ð Þ Ø Ö Ð Ø Ò Ø Ø Þ Ð A ÔÓÒØ Ø ÒÝ Ø Ð Þ Ð Þ ØÓØ Ø ÖÑ Ö º À P ÔÓÒØ ÒÒ Ú Ò ÒÝ Ø ØØ Ô Ò ÓÖ Þ AP Ý Ò Ò Þ Ð Þ ØÓÒ Ð Ð Ö Þ Ò Þ Ð Òµ P Ð Ñ Ö ÐÝ Ò Ú Ò Ò Ò Þ A¹Ú Ð ÐÐ ÒØ Ø ÖÑ Òº ÈÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ò Ð Ø ÐØ Ø Ð Ò Ñ Ð Ð P ÔÓÒØ ÞØ ¹ ÒÝ Ø Ø Þ Ð Þ Ø Ö Ð Ø Ò Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ö ÐÚ ÞÚ ÔÓØØ ÒÝ Ø ØØ Ô Ò Ð ÒÒ Þ Ö Þ Þ Ò Ñ Ø Þ Ø ÔÓÒØ Ñ Ð Ð P ÔÓÒØÓ º À ÐÐÝ ÒØ Ø Ø Ð Ð Ø Ú Ø Þ Ó Ý Þ Þ Ø ÖÔÓÒØ ÐÝ ØØ Ö¹ Ñ ÐÝ ÖÓÑÖ ÞÓÐ Ù Ó Ý Ò Ñ Ö Ñ Ø Þ Ø Ð Ñ Ö Ú Ø Þ Ó Ý Þ Þ Ò Ñ Ö Ñ Ø Þ Ø º Ì ÒØ Þ A B C Ø ÖÔÓÒØÓ Øº Å Ú Ð Þ Ð Þ Ø ÓÒÚ Ü Ý B¹Ú Ð C¹Ú Ð Ý ØØ BC Þ Þ Þ ÔÓÒØ Ð Ð ÞF BC ÓÐ Ð Ð Þ ÔÓÒØ ÒÒ Ú Ò ÓÒÚ Ü Ð Þ Ø Òº Þ F BC ÔÓÒØ Ð Þ ABC ÖÓÑ Þ ÐÝÔÓÒØ Ø Ô Ù Þ A Ð Ø ÖÑ Ö ÒÝ Ò ÒÝ Ø Ò Ø Ø ÐÝÔÓÒØ ÒÒ Ú Ò ÓÒÚ Ü Ð Þ Ø A¹ Ð ÒÝ Ø ØØ Ô Òº ÈÓÒØÓ Ò Ù Ý Ò Ý ÞÓÐ Ø Ó Ý B¹ Ð C¹ Ð Ø ÖÑ Ö ÒÝ Ò ÒÝ Ø ØØ Ô Ò ÒÒ Ú Òº ºÅ º Ä Ø Þ ¹ ÓÐÝ Ò A ÓÒÚ Ü ÔÓÒØ ÐÑ Þ ÓÒ Ñ Ú Ø Ð Ò Ó Ö ÔÓÒØÓØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý Ý Ò Ò Ò Ú Ø Ð Ò Ó Ö ÔÓÒØ Å ÓÐ Á Ò Ð Ø Þ º Ì ÒØ Þ y = x+1 y = x 1 Ý Ò ÞØ ÚÓغ Ò Ú Ø Ð Ò Ó Ö ÔÓÒØ Ú Ò Þ Ò Ñ Ò Ò Þ x¹ Þ Ð Ø Þ Ý Ó Þ ( x 1, x + 1) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Þ Þ Ñº Å Ö ÞØ Ò Ñ Ñ Ö ò Ý Ò Ñ Ø Þ Ø Ø ÖÓÐ Ý Ò Ø Ý Ú Ö Þ Ú Ò Ú Ò Ú Ó Ö ÔÓÒØØ Ð Ñ Ö ò Ý Ò Ø Ô Ð Ð Ý Ö ÔÓÒØ Ú Òº ºÅ º ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ý Þ ÓÓÖ Ò Ø ÔÓÒØ Ò Ú Ò Ý¹ Ý Ùº ÖÑ ÐÝ ÐØÓÐ Ø Ø Ñ Ù ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ú ØÓÖÖ Ðº Á ÞÓÐ Ù Ó Ý ÖÑ ÐÝ Ø Ð Ö Þ Ñ ÐØ Ù Ý ÐÝÖ ÑÓÞ Ø Ø Ú Ó ÐÝ Ò Ð Ô Ðº

Áº Ñ ÓÐ ÀÓÑÓÒÒ Ý Ð ÒØ ØòÞ ½º Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ú Ð Ñ ÐÝ Ø Ù ÔÐ A B Ý ÐÝÖ ÑÓÞ Ø Ø A = B ÓÖ ÖÑ ÐÝ ØØ Ý ÐÝÖ ÑÓÞ Ø Ø º Ì Ý Ð Ó Ý C D C D ÔÓÒØ Ö ÐØ Ñ ÓÖ A B Þ A = B ÔÓÒØ ÙØÓØغ À ÐÝ ØØ C D Ý Ø ÑÓÒ Ù C¹Ø ÐÐ ØØ ÚÓÐÒ A B Ý Ú Ð ÑÓÒ Ù A¹Ú Ð Ý ÐÝÖ ÙØØ ØÒ ÓÖ ÑÓ Ø ØÓÐ Ù Ð A ¹Ø B C Ú ØÓÖÖ Ð Ñ Ö Ð ÙØÓØØÙÒ º À C¹Ø D¹Ø ÐÐ ØØ ÚÓÐÒ Ý ÐÝÖ ÙØØ ØÒ ÓÖ B ¹Ø ØÓÐ Ù Ð C D Ú ØÓÖÖ Ð B ÔÓÒØ Ý ÓÞÞÙ Ð ØÖ Þ A B D C Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÑ Ø Ñ ØÓÐ Ù Ð C ¹Ø Þ A B Ú ØÓÖÖ Ð ØØ Ð ÖØ Ò º ¾º ÃÓÒ ÒØÖ Ð ÙÒ ÑÓ Ø Þ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Þ A(x A ;y A ) B(x B ;y B ) C(x C ;y C ) D(x D ;y D ) ÔÓÒØÓ ÐÝ ØØ Þ x A x B x C x D Þ ÑÓ Ö Ð¹ ÐÑ ÞÞÙÒ Ù Ð Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Þ (x B x A ) (x D x C ) Þ ÑÓ Ö ÒÒ Ð Ô ÐÚ Þ Ø Þ A B C D ÔÓÒØÓ Ò Ð Ø Ò ÑÐ Ø ØØ Þ ÐÝ Þ ¹ Ö ÒØ ÑÓÞ Ø Ú Ðº Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ö Ñ ÒÝ ÔÔ Þ Ý Ð Ò ÑÓÒ Ù (x A x B ) Þ ÖÙ Ú Ð Ô Ù Þ x A1 = x B1 x C1 x D1 ÓÓÖ Ò Ø Øº ÅÓ Ø Þ (x C1 x A1 ) (x D1 x B1 ) Þ ÑÓ Ð Ú Þ ØØ Ù Ð Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ð Ö¹ Ø Ó Ý Ý Ð Ò Þ ÖÙ Ú Ð ÓÒ Ð Ù ÙÒ Þ x A = x B = x C ÐÐ ÔÓØ º º ÅÓ Ø Ø Ö Ò Ø Ñ Ó ÓÓÖ Ò Ø Ö Ð Þ A B C ÔÓÒØÓ Ð Þ ÖÑ ÞÓØØ Ú Ð Ø Ö Ò Ò Þ (x B x A ) (x C x A ) Þ ÑÓ Ð Ú Þ ØØ Ù Ð Þ Ð ÓÖ ØÑÙ B C ÔÓÒØÓ ÐÚ ÐØÓØØ ÑÓÞ Ø Ú Ð Ø ÖØ Ñ B Ú Ý C Ð Þ ÖÑ ÞÓØØ Ý Ö Ð A Ð Þ ÖÑ ÞÓØØ Ú Ðº ÁÁº Ñ ÓÐ ÌÓ Ò Ö Ö Ì Ñ ÐØ Ø Ó Ý C D ÔÓÒØÓ Ø Þ Ö ØÒ Ò Ý ÑÓÞ ØÒ º Ì ÒØ Þ A B D ÔÓÒØÓ ÐÐ ØÚ Þ AB AD Ú ØÓÖÓ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÑ ¹ Ö Óغ À C Ö ÔÓÒØ ÓÖ Þ Ò Ú ÝÙÒ Þ AB AD Ú ØÓÖÓ Ð ÐÐ ÒØ ØØ Ð D¹ ÑÓÞ Ø Ø º À Ò Ñ Ö ÔÓÒØ ÓÖ ÑÓÞ Ø Ø Ö Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÑ Ñ Ðݹ Ò ÖÓÑ A B Dº Ä Ý Ò C ÐÑÓÞ ØÓØØ Ò Ô Ö Ð ÐÓ Ö Ñ¹ Ñ Ò C º Ì Ö Ò Ø Þ A B C ÔÓÒØÓ ÐÐ ØÚ Þ AB AC Ú ØÓÖÓ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÑ ¹Ö D ÔÓÒØ Ú Þ Ð Ø Ö º À D Ö ÔÓÒØ ¹ ÓÖ Þ Ò Ú ÝÙÒ Ò Ñ ÓÖ ÑÓÞ Ø Ø Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÑ Ñ ÐÝÒ A B C º Ä Ý Ò Þ ÔÓÒØ D 3 Ø Ö Ò Ø º º º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ñ Ø ÖØ Ø Ú Ø Ð Ò Ó Þ Ý Ö Ñ Ö Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ Ó Ö Ð Ô ÙÐ Ò Ñ Ú Ð ÞØÓØØ ÔÓÒØÓØ Þ Ò Ð Þ Ò º Þ ÖØ Ò Ñ Ø ÖØ Ø Ú Ø Ð Ò Ó Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ÖØ Ò ÝÞ ØÖ ÔÓÒØ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ð Ø Ñ Ò ÔÓÞ Ø Ú Þ Þ Ñ Þ Ð Ö ÓÖ Ò Ñ Ò Ò Þ Ø Ö Ð Øº Àº½ º µ Ý Ú Ø ÙØ Ø Ø ÐÑ ÖØ Ö Ð º Þ Ø Ñ ÒØ Ò ÒÞ Ò ÙØ Ú ÒÒ Ñ ÐÝ Ò Ð Ú ÒÞ Ò Þ Ò ÔÔ Ð Ý ÙØ Ò Ó Ý Ö Ñ Ò¹ Ò Þ ØÓÒº Ý ÓØØ Ö ÒÝ Ò Þ Ö ØÒ Ò Ö Ñ ÒÒ º ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò ÐÝ ÓÚ Ð Ø Ø Þ ÙØ ÔÐ Ý Ð ÓÔØ Ö Ðµ Ö Ø Ò Ð Ý Ó Ý ÒÞ Ò ÙØ Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ö ØÙ ÓÒ Ñ ÒÒ

µ Á ÞÓÐ Ù Ó Ý ÙØ Ò Ð Ú ÒÞ Ò ÞÑ ÒÒÝ Ø ÖÖ Ð ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ø ÓÒÒ Ò Ò ÙÐÚ ÖÑ ÐÝ Ö ÒÝ Ò Ö Ø ÖÔ ÐÝ µ Áº Ñ ÓÐ Ö ÑØ Ñ Ì Ø Ñ Ð ÐÑ ÞÞÙÒ ÙØ Þ Ñ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ð Ò Ù Ø Ý Ø Ø Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Þ Þ ÐÐ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý k 1 ØÖ Þ ÞÓÐ Ù (k+1) ØÖ Ä Ý Ò ÙØ ÐÝ Ú Ð Ñ ÐÝ ÔÓÒØ Ð Ò ÙÐÚ Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Þ Ö ÒØ ÓÖÖ Ò Ò A 0 A 1 A k A k+1 = A 0 º Ä Þ Þ ØØ ÓÐÝ Ò Ñ ÐÝ Ò Ð Ò ÒÞ Ò Ú Ò Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Þ Ö ÒØ Ú Ø Þ Ø Ð Ö Þº Î Ð Ò ÓÐ Ñ Ð ÒÒ Þ Ð ÒÞ Ò ÓÖ Þ ÞÑ ÒÒÝ Ú Ð ÒÒ Þ A 0 A 1 A 1 A º º ºA k 1 A k A k A 0 ÙØ ÓÞ Þ Ò Þ ÒÞ ÒÒ Ð Ø Ø Ø Ð ÖÒ Ðº Ä Ý Ò Ý ÐÝ Ò Ø A i Ø Ø A i ¹ Ò Ð Ò ÒÞ Ò Ú Ò A i+1 Ð Ö Þº Ê Ù Ø Þ Þ ÒÞ ÒØ A i+1 ¹ Ð A i ¹ Þ ÒØ Ñ ÙØ Ø A i+1 ¹ Òº Ø Ð Ò Ù Þ Ö ÒØ Ý Ö Ð Ø ÖÒ Ô ÐÝ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ ÒÞ Ò Ø Ð Ò Ñ A i+1 ¹ Ð Þ Ò Þ ÑÓ Ø Ò Ò Ò ÙÐÚ º ýðð Ø Ù Ó Ý Ù Ý ÒÓÒÒ Ò Ò ÙÐÚ Þ Ö Ø (k + 1) ÒÞ Ò ÙØ ÐÖ Ò Þ Ò Ö Ö Ø Ô ÐÝ º Î Ð Ò Ñ ÓÖ Ö Ñ ÒÚ Ð Ö Þ i¹ ÙØ Ø ÐÚ Þ Þ ÓØØ Ò Ò¹ Þ ÒØ ÓÖ Þ (i+1)¹ Ø ÒÞ Ò Ø Ð Ð Ò Ú Þ Ñ ÙÒ Ð Þ A i+1 ÔÓÒØ Ó Þ i¹ Ø Ö Ø ÒÞ ÒÑ ÒÒÝ ÒÑ Ò Ð Ð ÒÒ º Ì Ø Ú Þ Ø Ø Þ A i+1 ÔÓÒØ Þ Ö Ø Ð ÓØØ Ð Ú ÒÞ Ò Ö Ð Ö Ø Þ Ò Ñ ÓÐÝ ÓÐ º µ ÁÁº Ñ ÓÐ Ð ÙÒ Ð Ð ÓÒ ÓÐ Ø Ò Ì Ý Ò Ð Ý Ó Ø ÒÒÝ ÒÞ ÒÒ Ð Ñ ÒÒÝ ÒÑ Ò Ð Ð ÒÒ Ö Ö ÓÞ Ý Ø Ø Þ Ð Ò Ú Ð ÞØÓØØ A ÔÓÒØ Ð Ò ÙÐÚ Ñ Ò Ò Ö Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Þ Ö ÒØ Ú Ý Ð Ñ Ò Ò ØÒ Ð Þ ÓØØ Ð Ú ÒÞ ÒØ Ã Þ Ø Ò Ö ÓÒØ Þ ÙØ ÐØ Ð Ô ÐØ ÒÞ Ò¹ Ñ ÒÒÝ Ö Ð ÚÓÒ Ù ÞØ Ñ ÒÒÝ Ø Ñ ÒÒÝ Ø Ð Ö Ð Ø ØØ Ò Ý ÔÐ Þ A ÔÓÒØ Ò Ú ÒÝ Ò ÖØ 0 Ù Ý Ò ÒÒÝ ÓÐÝ Ñ Ø Ú Ø Ð Ô Þ A ÔÓÒØ Ò º À ÐÝ Ò ÒØ Ò Ø ÚÒ Ó Ò Ð Ú ÒÞ Ò Ñ ÒÒÝ Þ Ò Ñ Þ Ú Öº Ä ÒÝ Ò Ù Ý Ò ÞØ Þ Ö Ø ÔÒ Ò ÓÖ Ò Ñ A¹ Ð Ò Ñ ÖÑ ÐÝ Ñ ÔÓÒØ Ð Ò ÙÐÒ Ò Ð Ð Ð Ú Ý Ð Ð Ð ÒÒ ÐØÓÐÚ Ö ÓÒº Ú ÒÝÒ Ð Þ Ñ Ò ÑÙÑ ÐÝ Þ Ñ Ñ Ò Ñ Ð ÖØ Ø ¹ Þ Ö Ú Ø Ø Ðº À Ý Ñ Ò ÑÙÑÔÓÒØ Ð Ò ÙÐÙÒ Ð ÓÖ Þ ÙØ Ò Ð Ú ÒÞ Ò Ñ ÒÒÝ Ö Ñ Ò Ò ÑÒ Ø Ú ÖØ Ø ÔÙÒ Ø Ø Ö ØÙ Ñ ÒÒ Þ ÙØ Ø Ò Ð Ðº µ Áº Ñ ÓÐ Ö ÑØ Ñ Ì Ø Ñ Â Ð Ð H ÞÓ Ò ÙØ Ò ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ð Ò ÙÐÚ ÔÓÞ Ø Ú ÓÖ ¹ Ö ÒÝ Ò Ö Ð Ø Ñ ÒÒ Ô ÐÝ Ò N ÞÓ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ð Ò ÙÐÚ Ò Ñ Ð Ø Ö Ñ ÒÒ Ò Þ Ö ÒÝ Òº Þ N¹ Ð ÙØ Ò Þ Ò ¹ Ú ÒÞ Ò Ú Ò ÒÒ Ð Ñ ÒØ Ñ ÒÒÝ Ý Ö Ñ Ò Þ Þ Þ Ò ÐÐ Ò Þ Ø Ò Þ µ Ð ØÖ Þ ÖØ ÐÑ Ò Ð ÒÒ ÓÐÝ Ò N¹ Ð Ø Ñ ÐÝ Ð Ò ÙÐÚ N¹ Ð ÙØ Ø ÞÒ ÐÚ Ö Ð ØÒ Ñ ÒÒ º Ý H¹ Ð

ÙØ Ò Þ Ò Ð Ð ÒÒÝ ÒÞ Ò Ú Ò Ñ ÒÒÝ Þ ÓÞ Ó Ý Ö Ð Ò Ñ ÒÒ Ô ÐÝ Òº À ÞÒ Ð Ù ÑÓ Ø H¹ Ð ÙØ Ö Þ µ й Ø Ö Ñ ÒÝ Ø Ò Ø Ú ÓÖ Ö ÒÝÖ ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÚ Þ Þ Ö ÒØ Ú Ò ÓÐÝ Ò H¹ Ð Ø Ñ ÐÝ Ð Ò Ø Ú ÓÖ Ö ÒÝ Ò Ø Ø Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ö¹ Ñ Ø Ò Ô ÐÝ Òº ̺¾º Ä Ý Ò a b c d ÓÐÝ Ò Þ Þ ÑÓ Ó Ý am 3 + bm + cm + d Ó ÞØ Ø ØØ Ð d Ò Ñ Ó ÞØ Ø ØØ Ðº ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý ÓÖ Ñ Ò Ø Ð Ð Ø ÓÐÝ Ò n Þ Þ Ñ Ñ ÐÝÖ dn 3 +cn +bn+a Þ ÒØ Ò Ó ÞØ Ø ØØ Ð Å ÓÐ À am 3 +bm +cm+d 0 (mod 5), µ d Ò Ñ Ó ÞØ Ø 5¹Ø Ð ÓÖ m Ñ Ó ÞØ Ø 5¹Ø к À m Ò Ñ Ó ÞØ Ø 5¹Ø Ð ÓÖ Ú Ò ÒÚ ÖÞ ÑÓ ÙÐÓ 5 Þ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò n Þ Þ Ñ Ñ ÐÝÖ m n 1 (mod 5). µ ÓÒ ÖÙ Ò Ø n 3 ¹Ò Ð ÞÓÖÓÞÚ Ô Ù Ó Ý a+bn+cn +dn 3 0 (mod 5). ĺ½ º Ý Ú H ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ò Þ ØÙÐ ÓÒ Ó Ý ÖÑ ÐÝ P R H ÔÓÒØÔ Ö ÓÞ Ú Ò ÓÐÝ Ò Q H ÔÓÒØ Ñ ÐÝÖ PQR Ý Þ º ¹ ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý H Ú Ð Ñ ÐÝ ÔÓÒØ ÖÑ Ý Þ ò ÖÓÑ Þ Ø Ø ÖÓÞ Ñ Å ÓÐ Ú ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ð Ú Ó Ð ÔÔ Ò Ú Ð ÞØ Ø Ø ÔÓÒØ Ý Ú Ó Ð Ø ÚÓÐ Ð Ô Ð ÔÓÒØÓ Þ ØØ Ú Ò Þ Þ ØØ Ð Ò ¹ ÝÓ º Ä Ý Ò P R Ø ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ ÐÝ Þ ØØ ÐÐ Ô Þ Ð Ò ÝÓ Ø ÚÓÐ º Ð Ø Þ Ú Þ Ö ÒØ Þ Þ P R ÔÓÒØÓ ÓÞ Ú Ò ÓÐÝ ÒQÔÓÒØ Ñ Ðݹ Ö PQR Ý Þ º PQR ÖÓÑ Þ Ò PR ÓÐ ÐÒ Ð Ò Ò Ó Þ ÓÐ Ð Ý P ¹Ò Ð Q¹Ò Ð Ñ Ð Ø Ñ Ñ ÒØ Ý Þ º ú¾º Ý Ø Ö Ð Ø ØÒ Ý ÓØØ P ÔÓÒØÓÒ ØÑ Ò Ñ Ò Ò Ñ Ø Þ Ø Öº ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Ø Ø Ñ Ð Øº Å ÓÐ Ã ØòÞ Þ Ð Þ Ø ÐÐ Ø Ý ØÐ Ò ÔÓÒØ Ðº Þ Ý r = 0 Ù Ö Ñ Ø Ø Þ ÐÐ Ø Ò Ñ Ð Ðº À Þ Ð Þ Ø Ò Ñ Ý ØÐ Ò ÔÓÒØ Ð ÐÐ ÓÖ Ú Ò P ¹Ò Ø Ú Ð ÖÑ Ø Þ Ø Ò Ò Ú Ò P ¹Ò Ø ÓÐÝ Ò Ý Ò Ñ ÐÝ Ø Ð Ò Þ ÔÓÒØ Ò A¹ Ò B¹ Ò Ñ Ø Þ Ø Ø Øº Þ AB Ý Ò Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÝÑ Ø Ð Ð Ò Þ Σ 1 Σ Ó Ø Ð Ò Þ ÖÑ Ø Þ Ø Ø Ò k 1 ¹ Ø k ¹Øº k 1 k ÝÑ Ø Ñ Ø Þ Ø Ö Ò Ö ÞØ Ð Ý ÝS Ñ Ø Ø¹ Ø º Î Ð Ò ÒÒ Þ ÔÔÓÒØ Þ AB Þ Þ Σ AB Ð Þ Ñ Ö Ð Ò