Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33

Hasonló dokumentumok
Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36

Az informatika logikai alapjai

1. Az elsőrendű logika szintaxisa

2. Ítéletkalkulus szintaxisa

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33

Logika és számításelmélet. 2011/11 11

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika M asodik el oad as 1/26

LOGIKA ÉS SZÁMÍTÁSELMÉLET KIDOLGOZOTT JEGYZET

Az informatika logikai alapjai

Felmentések. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 21

Felmentések. Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól.

Az informatika logikai alapjai előadások

Logika és számításelmélet Készítette: Nagy Krisztián

1. Tétel - Az ítéletkalkulus alapfogalmai

2004/2005 Logikai alapok a programozáshoz. (Kidolgozott vizsgakérdések) Előadó: Pásztorné Dr. Varga Katalin

Logikai alapok a programozáshoz

Elsőrendű logika. Mesterséges intelligencia március 28.

Logika és informatikai alkalmazásai

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák.

Diszkrét matematika I.

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája?

Matematikai logika és halmazelmélet

Diszkrét matematika 1. középszint

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

Ésik Zoltán (SZTE Informatikai Tanszékcsoport) Logika a számtastudományban Logika és informatikai alkalmazásai Varterész Magdolna, Uni-Deb

Predikátumkalkulus. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést.

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus

Sor és oszlopkalkulus

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Logika és informatikai alkalmazásai

Halmazelmélet és logika

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Logika és informatikai alkalmazásai

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?

Logika és informatikai alkalmazásai

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Diszkrét matematika I.

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Logikai alapok a programozáshoz. Nagy Károly 2014

Logikai alapok a programozáshoz

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

Házi feladatok megoldása. Nyelvek használata adatszerkezetek, képek leírására

Matematika alapjai; Feladatok

Logika és informatikai alkalmazásai

Automatikus tételbizonyítás

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

3. előadás. Programozás-elmélet. A változó fogalma Kiterjesztések A feladat kiterjesztése A program kiterjesztése Kiterjesztési tételek Példa

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László

Logika és informatikai alkalmazásai

ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

Formális nyelvek és automaták

Alapfogalmak-szemantika

1. Logikailag ekvivalens

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Az informatika logikai alapjai

Memo: Az alábbi, "természetes", Gentzen típusú dedukciós rendszer szerint készítjük el a levezetéseket.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Hardver és szoftver rendszerek verifikációja Röviden megválaszolható kérdések

A matematika nyelvéről bevezetés

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Logika és informatikai alkalmazásai. Wednesday 17 th February, 2016, 09:03

A fontosabb definíciók

1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei

A matematika nyelvér l bevezetés

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

A digitális számítás elmélete

2. Rekurzió. = 2P2(n,n) 2 < 2P2(n,n) 1

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Logika és informatikai alkalmazásai

Diszkrét matematika 2.

Automaták és formális nyelvek

Struktúra nélküli adatszerkezetek

Logika és informatikai alkalmazásai

17. előadás: Vektorok a térben

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus

Logika nyelvészeknek, 12. óra A típuselmélet alapjai. Lehetőség van a kvantorfogalom mellett a funktorfogalom általánosítására is.

Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Átírás:

1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Harmadik előadás

Tartalom 2/33 Elsőrendű logika bevezetés Az elsőrendű logika szintaxisa

3/33 Nulladrendű állítás Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az álĺıtások minősítésével és az álĺıtások leírásával. Az álĺıtás definíciója szerint az álĺıtást egy kijelentő mondattal ki lehet fejezni. Ha a kijelentő mondat alanya valamely konkrét dolog, akkor az álĺıtást nulladrendű álĺıtásnak hívjuk. Az ilyen álĺıtások formális leírására egy relációt (logikai függvényt) definiálunk. Példák E(x) = i, ha x egész szám P (x) = i, ha x prímszám L(x, y, z) = i,ha z az x és az y legnagyobb közös osztója Az álĺıtás konkrét egyedekkel behelyettesített reláció. Pl.: E(9) vagy L(9,6,3) álĺıtások, de L(9,6,z) nem álĺıtás (paraméteres álĺıtás).

Elsőrendű állítás 4/33 Ha a kijelentő mondat alanya egy halmaz, akkor az álĺıtást elsőrendű álĺıtásnak hívjuk. Ilyenkor az álĺıtás az összes elemre egyidejűleg fennálló megállapítást/általánosítást vagy a halmaz bizonyos elemeire (nem feltétlenül mindre) fennálló megállapítást/létezést fogalmaz meg. Leírásukhoz a kvantorokat (, ) használjuk. Példa xe(x) azt jelenti, hogy a halmaz minden eleme egész szám. xp (x) azt jelenti, hogy a halmazban van olyan elem, ami prímszám.

Matematikai struktúra 5/33 Az 1800-as évek végén és az 1900-as évek elején a matematikai struktúrák (halmazelmélet és az aritmetika számelmélet) logikai vizsgálatához meg kellett teremteni mind a nulladrendű, mind az elsőrendű álĺıtások leírására szolgáló eszközöket. Szükségessé vált a matematikai struktúrákat leíró nyelv definiálása.

6/33 Matematikai struktúra Definíció A matematikai struktúra egy U, R, M, K halmaznégyes, ahol U: nem üres halmaz, a struktúra értelmezési tartománya (amennyiben U egyfajtájú elemekből áll) R: az U-n értelmezett n-változós (n = 1, 2,..., k) logikai függvények (alaprelációk) halmaza M: az U-n értelmezett n-változós (n = 1, 2,..., k) matematikai függvények (alapműveletek) halmaza K: az U megjelölt elemeinek egy (esetleg üres) részhalmaza A struktúra szignatúrája (ν 1, ν 2, ν 3 egészértékű fgv.együttes) megadja az alaprelációk és az alapműveletek aritását, valamint K elemszámát.

Matematikai struktúra leíró nyelve 7/33 Adott matematikai struktúra leíró nyelv ábécéjének logikán kívüli része áll: az R halmazbeli alaprelációk neveiből az M halmazbeli alapműveletek neveiből a K halmazbeli elemek neveiből Ezekkel a nevekkel már lehet egyszerű (nulladrendű és paraméteres) álĺıtásokat leírni. Az R, M, K-beli nevek a leíró nyelv logikán kívüli részét képezik.

Matematikai struktúra leíró nyelve 8/33 Az összetett álĺıtások és az elsőrendű álĺıtások leírására kibővítjük az ábécét a logikai szimbólumokkal (az ábécé logikai része): individuumváltozók unér és binér logikai műveleti jelek,,, kvantorok, elválasztójelek ( ), Ez együtt egy adott matematikai struktúra logikai leíró nyelvének az ábécéje.

Példa elemi aritmetika 1 9/33 N 0 ; =; s, +, ; 0 együttes, ahol x, y,...: individuumvátozók befutják a természetes számok halmazát (N 0 -t) =: az {(x, x)} igazhalmazú alapreláció neve s: az egyváltozós rákövetkezés függvény neve + és : rendre az összeadás és a szorzás műveletek nevei 0: a megjelölt univerzumelem neve (az az elem, amely nem tartozik a rákövetkezés függvény értékkészletébe) 1 Tk.36-37.o.

Példa elemi aritmetika 10/33 A struktúra szignatúrája alatt az alaprelációk és az alapműveletek aritásait, valamint a konstansok számát megadó ν 1, ν 2, ν 3 egész értékű függvényeket értjük. Esetünkben: ν 1 (=) = 2, ν 2 (s) = 1, ν 2 (+) = 2, ν 2 ( ) = 2, ν 3 = 1 Felsorolással megadva: = s + 0 2 1 2 2 1 Az elemi aritmetika leíró nyelvének ábécéjében az N 0 kezelésére a változók (x, y,...) szolgálnak (individuumváltozók), az {=, s, +, ; 0} jelek a megfelelő leképezések azonosítói. A leíró nyelv szignatúrája ugyanaz, mint a struktúráé.

Példa elemi aritmetika 11/33 Az alaprelációkkal (itt az = relációval) lehet álĺıtásokat leírni, pl. 2 = 3, 5 = 5. De nem álĺıtás pl. y = 5 vagy z = w (paraméteres álĺıtások). Egyéb ismert egyszerű álĺıtásokat pl. a kisebb egyenlő relációt ezen a nyelven csak összetett álĺıtás formájában lehet feĺırni (formalizálni). Ehhez a nyelv ábécéjét logikai résszel bővítjük ki. Ezek: individuumváltozók: x, y,... logikai összekötőjelek:,,, kvantorok:, elválasztójelek: ( ),

Példa aritmetika, geometria 12/33 Definiáljuk (formalizáljuk) az aritmetika logikai leíró nyelvén a relációt: x y x y = def z((x + z) = y) Megjegyzés: Az aritmetika univerzuma egyfajtájú elemekből, a természetes számokból állt. Egy matematikai struktúra univerzuma többfajtájú elemekből is állhat. Például a térgeometriában pontok, egyenesek és síkok alkotják az értelmezési tartományt. Ekkor a leíró nyelv ábécéjében a fajták elnevezésére is bevezetünk jeleket. Esetünkben ezek a nevek: p, e, s. Így az értelmezési tartomány U p U e U s lesz, a struktúra pedig az U p U e U s, R, M, K együttes.

Az elsőrendű logika leíró nyelve (L) követelmények 13/33 Olyan ábécével kell hogy rendelkezzen, melynek a logikán kívüli szimbólumai és azok szignatúrája paraméterezéssel bármely adott matematikai struktúra szignatúrájával megfeleltethető kell legyen, és ennélfogva a szimbólumok lehessenek a struktúra relációinak, műveleteinek és megjelölt elemeinek a nevei. Más szóval a nyelv alkalmas kell, hogy legyen tetszőleges szignatúrájú matematikai struktúrák leírására.

Egyfajtájú struktúrákat leíró nyelvek 14/33 Egyféle elemből álló U esetén az U, R, M, K struktúra leíró nyelv logikán kívüli része lehet a következő. Az L nyelv ábécéje: P r, F n, Cnst, szignatúrája: (ν 1, ν 2, ν 3 ). P r: predikátumszimbólumok halamaza ν 1 : P P r-re megadja P aritását (k) F n: függvényszimbólumok halamaza ν 2 : f F n-re megadja f aritását (k) Cnst: konstansszimbólumok halamaza ν 3 : megadja a konstansok számát

Többfajtájú struktúrákat leíró nyelvek 15/33 Többféle elemből álló U esetén az U, R, M, K struktúra leíró nyelv logikán kívüli része lehet a következő. Az L nyelv ábécéje: Srt, P r, F n, Cnst, szignatúrája: (ν 1, ν 2, ν 3 ). Srt: nemüres halmaz, melynek π j elemei fajtákat szimbolizálnak P r: predikátumszimbólumok halamaza ν 1 : P P r-re megadja P aritását (k), és hogy milyen fajtájúak az egyes argumentumok (π 1, π 2,..., π k ) F n: függvényszimbólumok halamaza ν 2 : f F n-re megadja f aritását (k), és hogy milyen fajtájúak az egyes argumentumok, valamint a függvény értéke (π 1, π 2,..., π k ; π f ) Cnst: konstansszimbólumok halamaza ν 3 : megadja minden fajtához a konstansok számát.

Leíró nyelv logikai rész 16/33 különböző fajtájú individuumváltozók (minden fajtához megszámlálhatóan végtelen sok): x, y, y k,... unér és binér logikai műveleti jelek:,,, kvantorok:, elválasztójelek: ( ), Az L nyelv ábécéjére V [V ν ]-vel hivatkozunk, ahol V ν adja meg a (ν 1, ν 2, ν 3 ) szignatúrájú Srt, P r, F n, Cnst halmaznégyest.

Tartalom 17/33 Elsőrendű logika bevezetés Az elsőrendű logika szintaxisa

A nyelv kifejezései 18/33 A nyelv kifejezései informálisan: termek: a matematikai leképezéseket szimbolizálják formulák: a logikai leképezéseket szimbolizálják

Az elsőrendű logika szintaxisa 2 term I. 19/33 Egyfajtájú eset. Termek L t (V ν ) 1 (alaplépés) Minden individuumváltozó és konstans szimbólum term. 2 (rekurzív lépés) Ha az f F n k-változós függvényszimbólum és t 1, t 2,..., t k termek, akkor f(t 1, t 2,..., t k ) is term. 3 Minden term az 1, 2 szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő. 2 Tk.112.o.

Az elsőrendű logika szintaxisa formula I. 20/33 Egyfajtájú eset. Formulák L f (V ν ) 1 (alaplépés) Ha a P P r k-változós predikátumszimbólum és t 1, t 2,..., t k termek, akkor P (t 1, t 2,..., t k ) formula (atomi formula). 2 (rekurzív lépés) Ha A formula, akkor A is az. Ha A és B formulák, akkor (A B) is formula, ahol a három binér művelet bármelyike. 3 Ha A formula, akkor xa és xa is az. 4 Minden formula az 1, 2, 3 szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő.

Az elsőrendű logika szintaxisa term II. 21/33 Többfajtájú eset. Termek L t (V ν ) 1 (alaplépés) Minden π Srt fajtájú individuumváltozó és konstans szimbólum π fajtájú term. 2 (rekurzív lépés) Ha az f F n (π 1, π 2,..., π k ; π f ) fajtájú függvényszimbólum és t 1, t 2,..., t k rendre π 1, π 2,..., π k fajtájú termek, akkor f(t 1, t 2,..., t k ) π f fajtájú term. 3 Minden term az 1, 2 szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő.

Az elsőrendű logika szintaxisa formula II. 22/33 Többfajtájú eset. Formulák L f (V ν ) 1 (alaplépés) Ha a P P r (π 1, π 2,..., π k ) fajtájú predikátumszimbólum és t 1, t 2,..., t k rendre π 1, π 2,..., π k fajtájú termek, akkor P (t 1, t 2,..., t k ) formula (atomi formula). 2 (rekurzív lépés) Ha A formula, akkor A is az. Ha A és B formulák, akkor (A B) is formula, ahol a három binér művelet bármelyike. 3 Ha A formula, akkor xa és xa is az. 4 Minden formula az 1, 2, 3 szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő. Elsőrendű logikai nyelv: L(V ν ) = L t (V ν ) L f (V ν ).

Formulaelnevezések 23/33 A negációs A B konjukciós A B diszjunkciós A B implikációs xa univerzálisan kvantált xa egzisztenciálisan kvantált A xaés xa formulák esetén az A formula a kvantált formula törzse - mátrixa.

Elsőrendű formulákhoz kapcsolódó fogalmak 24/33 Vezessük be a,,,,, prioritási sorrendet, ekkor az ítéletlogikához hasonlóan definiáljuk: a zárójelelhagyásokat a műveletek és a kvantorok hatáskörét a komponens és prímkomponens fogalmakat egy formula fő műveleti jelét Az ítéletlogikában minden formulát fel lehet írni a prímformulák (azaz ítéletváltozók) és a műveletek segítségével. Az elsőrendű nyelvben is vannak ilyen formulák. Prímformulák a az elsőrendű nyelvben az atomi formulák és a kvantált formulák. a Tk.113.o.

Közvetlen részterm és részformula Közvetlen részterm 1 Konstansnak és individuumváltozónak nincs közvetlen résztermje. 2 Az f(t 1, t 2,..., t k ) term közvetlen résztermjei a t 1, t 2,..., t k termek. Közvetlen részformula 1 Egy atomi formulának nincs közvetlen részformulája. 2 A közvetlen részformulája az A formula. 3 Az (A B) közvetlen részformulái az A (baloldali) és a B (jobboldali) formulák. 4 A QxA (Q {, }) közvetlen részformulája az A formula. 25/33

Prímkomponensek 26/33 Egy formulában egy logikai művelet hatáskörében lévő részformulá(ka)t komponens formuláknak nevezzük. 1 Egy atomi formulának nincs közvetlen komponense (prímformula). 2 A közvetlen komponense az A formula. 3 Az (A B) közvetlen komponensei az A és a B formulák. 4 A QxA (Q {, }) formulának nincs közvetlen komponense (prímformula). Megjegyzés: prímkomponensnek nevezzük azokat a prímformulákat, amelyekből a formula kizárólag a,,, műveletek segítségével épül fel. Ennek megfelelően a prímformulák: 1 Egy atomi formula prímformula. 2 Egy QxA formula prímformula.

Szerkezeti fák 3 27/33 Term szerkezeti fája. Egy t term szerkezeti fája egy olyan véges fa, melyre teljesül, hogy a gyökeréhez a t term van rendelve, ha valamelyik csúcsához egy t term van rendelve, akkor az adott csúcs gyerekeihez a t term közvetlen résztermjei vannak rendelve, leveleihez individuumváltozók vagy konstansok vannak rendelve. 3 Tk. 116-118.o.

Szerkezeti fák 28/33 Formula szerkezeti fája. Egy F formula szerkezeti egy olyan véges fa, melyre teljesül, hogy a gyökeréhez az F formula van rendelve, ha valamelyik csúcsához egy F formula van rendelve, akkor az adott csúcs gyerekeihez az F formula közvetlen részformulái vannak rendelve, leveleihez atomi formulák vannak rendelve.

Logikai összetettség 29/33 Egy A formula logikai összetettsége: l(a) Szerkezeti rekurzió szerinti definíció (Tk.5.1.15) 1 Ha A atomi formula, akkor l(a) = 0 2 l( A) = l(a) + 1 3 l(a B) = l(a) + l(b) + 1 4 l(qxa) = l(a) + 1

Szabad és kötött változók elsőrendű formulákban 30/33 Egy formulában egy x változó egy előfordulása szabad, ha nem esik x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe kötött, ha x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe esik Egy x változó egy formulában kötött változó, ha x minden előfordulása kötött szabad változó, ha x minden előfordulása szabad vegyes változó, ha x-nek van szabad és kötött előfordulása is Megjegyzés: Ha egy formulában egy változó kötött, akkor átnevezve ezt a változót a formulában elő nem forduló változónévvel a formula ekvivalens marad az eredetivel. Ily módon minden formula átírható változóátnevezésekkel vegyes változót már nem tartalmazó formulává.

Szabad és kötött változók példa 31/33 Szabad és kötött változók A formula: xp (x) yq(w, y) P (v) zq(w, z) A prímkomponensek: xp (x), yq(w, y), P (v), zq(w, z) A szabad individuumváltozók: v, w

Formulák szintaktikus tulajdonságai 32/33 Zártság Egy formula zárt, ha minden változója kötött. Egy formula nyitott, ha legalább egy individuumváltozónak van legalább egy szabad előfordulása. Egy formula kvantormentes, ha nem tartalmaz kvantort. 1. rendű álĺıtásokat szimbolizálnak az L nyelven a zárt formulák vagy mondatok.

Alapkifejezés, alapatom, alapterm,... 33/33 Alapkifejezés Alapkifejezés a változót nem tartalmazó L kifejezés (alapformula, alapterm). Ezeket alappéldányoknak is nevezik. Az atomi formulák alappéldányait két csoportba soroljuk: 1 Egy atomi formula alapatom, ha argumentumai konstans szimbólumok vagy egy megadott univerzum elemei (pl. P (c)) 2 Egy atomi formulát az atomi formula alappéldányának nevezzük, ha argumentumai alaptermek (pl. Q(f(a, b), a)) Megjegyzés: Egy atomi formulát (nem alappéldány) egyébként paraméteres álĺıtásnak is neveznek.