SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK

OPERÁCIÓKUTATÁS No.1. Nagy Tamás Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Budapest 00

Nagy Tamás Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No.1 Szerkeszti: Komáromi Éva Megjelenik a Budapesti Corvinus Egyetem Operációkutatás Tanszéke gondozásában Budapest, 00

Nagy Tamás Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Lektorálta: Medvegyev Péter Készült az Aula Kiadó Digitális Gyorsnyomdájában. Nyomdavezető: Dobozi Erika

Tartalomjegyzék 1. Valószín½uségszámítási összefoglaló 5 1.1. A valószín½uségi változó várható értéke és szórása............... 5 1.. Nevezetes eloszlások.............................. 8 1..1. Karakterisztikus vagy Bernoulli eloszlás................ 9 1... Binomiális eloszlás:........................... 9 1..3. Normális eloszlás............................ 9 1..4. Lognormális eloszlás.......................... 11 1.3. Központi határeloszlás tétel.......................... 1 1.4. Kovariancia és korreláció............................ 14. Geometriai Brown-mozgás 19.1. A geometriai Brown-mozgás de níciója.................... 19.. A geometriai Brown-mozgás paraméterei................... 1.3. A geometriai Brown-mozgás egy egyszer½u modellel való közelítése......4. A Brown-mozgás................................ 3 3. Opciók 7 3.1. Az opciók alapvet½o típusai........................... 7 3.. Opciós stratégiák................................ 30 3..1. Egy opciót és egy részvényt tartalmazó stratégia........... 30 3... Különbözeti stratégiák......................... 3 3..3. Kombinációs stratégiák......................... 34 3.3. A Put-Call paritás............................... 36 3.4. Egzotikus opciók................................ 39 3.5. Az opciók értékének lehetséges tartományai................. 39 3.5.1. Alsó korlátok.............................. 40 3.5.. Fels½o korlátok.............................. 40 3.6. Az opciók árazása................................ 41 3.6.1. Binomiális opcióárazási modell..................... 41 3.6.. A részvényárfolyam-változás mértékének meghatározása....... 48 3.6.3. A részvényárfolyam volatilitásának mérése.............. 50 3.7. Black-Scholes formula.............................. 50 3.8. Az opciós ár tulajdonságai........................... 56 4. Felhasznált irodalom 59 3

4 TARTALOMJEGYZÉK

1. fejezet Valószín½uségszámítási összefoglaló E rövid összefoglaló nem terjed ki a valószín½uségszámítás alapvet½o fogalmainak, mint az eseménytér, elemi esemény, valószín½uség, valószín½uségi változó, eloszlásfüggvény, s½ur½uségfüggvény valamint az alapvet½oen fontos sztochasztikus függetlenség fogalmának ismertetésére. Feltételezzük, hogy az olvasó ezeket jól ismeri. Célszer½unek láttuk azonban, hogy ezen fogalmakkal kapcsolatos és a kés½obbiekben s½urün használt formulákat megismételjük és példákkal is illusztráljuk ½oket. 1.1. A valószín½uségi változó várható értéke és szórása A gyakorlati alkalmazásoknál gyakran el½ofordul, hogy egyetlen vagy néhány számadattal kell jellemezni a valószín½uségi változót ill. annak eloszlását. A legfontosabb jellemz½ok a várható érték és a szórás (ill. variancia). A várható érték fogalma: Ha az X diszkrét valószín½uségi változó lehetséges értékei x 1 ; x ; x 3 : : : és ezeket rendre p 1 ; p ; p 3 : : : valószín½uséggel veszi, akkor az X várható értéke E(X) = X i p i x i, ha X folytonos valószín½uségi változó és s½ur½uségfüggvénye f(x), akkor az X várható érték E(X) = Z 1 xf(x)dx: 1 A variancia és a szórás fogalma: Ha az X E(X) valószín½uségi változó négyzetének létezik várható értéke, akkor ezt az X varianciájának nevezzük, azaz V ar(x) = E([X E(X)] ); ennek négyzetgyöke az X valószín½uségi változó szórása. A variancia számítható az X és az X valószín½uségi változók várható értékének segítségével is, azaz V ar(x) = E(X ) [E(X)] : Míg a várható érték az X valószín½uségi változó eloszlásának centrumát adja meg, addig a variancia ill. a szórás az eloszlásnak a centrum körüli ingadozását méri. 5

6 1. FEJEZET: VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Az alábbiakban a várható érték és a variancia néhány fontos, az alkalmazásokban hasznos tulajdonságát ismertetjük: 1. Ha az X valószín½uségi változónak létezik várható értéke és szórása, akkor E(aX + b) = ae(x) + b; V ar(ax + b) = a V ar(x):. Legyenek X 1 ; X ; : : : ; X n tetsz½oleges valószín½uségi változók, amelyeknek létezik a várható értékük, ekkor az összegük várható értéke megegyezik a várható értékük összegével, azaz! E X i = E(X i ): 3. Legyenek X 1 ; X ; : : : ; X n független valószín½uségi változók, amelyeknek létezik a várható értékük, ekkor a szorzatuk várható értéke megegyezik a várható értékük szorzatával, azaz! ny ny E X i = E(X i ): 4. Legyenek X 1 ; X ; : : : ; X n független valószín½uségi változók, amelyeknek létezik a szórásuk, ekkor az összegük varianciája megegyezik a varianciájuk összegével, azaz V ar! X i = V ar(x i ): Példa: Az alábbi példa jól illusztrálja a várható értékkel és a varianciával (szórással) kapcsolatos összefüggéseket. Legyenek X 1 ; X ; : : : ; X n független, azonos eloszlású valószín½uségi változók, a közös várható érték és variancia legyen E(X i ) = m és V ar(x i ) = minden i-re. Legyen Y valószín½uségi változó ezeknek a valószín½uségi változóknak a számtani átlaga, amelyet mintaátlagnak hívunk, legyen továbbá s valószín½uségi változó a minta varianciája. A mintaátlag és a minta variancia az alábbi képletekkel adottak: Y = np X i n ; s = a) Mutassuk meg, hogy E (Y ) = m: b) Mutassuk meg, hogy V ar (Y ) = =n: c) Mutassuk meg, hogy E (s ) = : np (X i Y ) n 1 Megoldás: A várható értékre és a varianciára vonatkozó tulajdonságokat alkalmazzuk. a) 0 1 np X! i E (Y ) = E B C @ n A = 1 n E X i = 1 E(X i ) = 1 n n nm = m :

1.1. A VALÓSZÍN ½USÉGI VÁLTOZÓ VÁRHATÓ ÉRTÉKE ÉS SZÓRÁSA 7 b) 0 np V ar (Y ) = V ar B @ n X i 1 C A = 1 n V ar! X i = 1 n V ar(x i ) = 1 n n = n c) E kérdés megválaszolását több lépésben végezzük. 0 1 np (X i Y )! E(s ) = E B C @ n 1 A = 1 n 1 E (X i Y ) Most az összeget írjuk át más alakra (X i Y ) = = (Xi X i Y + Y ) = Xi Y ny + ny = X i Xi ny Y X i + ny = Ennek a várható értékét a várható értékre vonatkozó addiciós összefüggés felhasználásával számítjuk ki. E! (X i Y )! = E Xi ny = E = E(Xi ) ne(y )! Xi ne(y ) = A következ½o lépésben az Y valószín½uségi változó négyzetének várható értékét számítjuk ki, felhasználva többek között a független valószín½uségi változók szorzatára vonatkozó

8 1. FEJEZET: VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ összefüggést. E(Y ) = 0 np E B6 @ 4 n X i 31 7 5 C A = 1 n E 0" @ # 1 X i A = " # " #! = 1 n E X i X j = 1 n E j=1! = 1 n E X X i + X i X j = = 1 n "E X i! = 1 n " E(X i ) + = 1 n " E(X i ) + + E j6=i! X i X j = j=1!# X X i X j = j6=i # X E(X i X j ) = j6=i # X E(X i )E(X j ) Legutoljára pedig a varianciára megismert j6=i V ar(x) = E(X ) [E(X)] ) összefüggést alkalmazzuk az E(Xi ) számítására.! E(s 1 ) = E(Xi ) ne(y ) = n 1 " 1 #! = E(Xi ) n 1 X E(X n 1 n i ) + E(X i )E(X j ) = j6=i! = 1 E(X 1 X i ) E(X i )E(X j ) = n n(n 1) j6=i! = 1 V ar(x i ) + (E(X i )) n! 1 X E(X i )E(X j ) n(n 1) j6=i = 1 n (n + nm 1 ) n(n 1) (n n)m = = + m m = 1.. Nevezetes eloszlások Az alábbiakban négy eloszlást ismertetünk, ezek az eloszlások játszák a legnagyobb szerepet a további vizsgálódásainkban.

1.. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 9 1..1. Karakterisztikus vagy Bernoulli eloszlás Legyen A tetsz½oleges esemény, amelynek bekövetkezési valószín½usége p (0 p 1). Ha az X valószín½uségi változó csak a 0 és az 1 értékeket veheti fel az alábbiak szerint 1; ha az A esemény bekövetkezik, X = 0; ha az A esemény nem következik be, akkor az A esemény X karakterisztikus valószín½uségi változójáról beszélünk. Tehát a P (X = 1) = p és a P (X = 0) = 1 p számok alkotják a karakterisztikus eloszlást. Jellemz½oi: 1... Binomiális eloszlás: E(X) = p; V ar(x) = p(1 p): Tekintsünk n független kísérletet az A esemény meg gyelésére és jelölje X valószín½uségi változó a kísérletsorozat során az A esemény bekövetkezéseinek számát. Ha X i az i- edik kísérletre vonatkozó karakterisztikus valószín½uségi változó, akkor a kísérletsorozatra jellemz½o X valószín½uségi változót az alábbiak szerint írhatjuk X = X i : Legyen p az A esemény bekövetkezésének valószín½usége, ekkor felhasználva a karakterisztikus eloszlás jellemz½oit és az összegre vonatkozó összefüggéseket, az X valószín½uségi változó várható értéke E(X) = np; szórása pedig a függetlenség miatt V ar(x) = np(1 p): A binomiális eloszlás valószín½uségeloszlása n P (X = k) = p k (1 p) n k ; (k = 0; 1; ; : : : ; n): k 1..3. Normális eloszlás A normális eloszlásnak központi szerepe van az eloszlások között, az egyik leggyakrabban alkalmazott eloszlás. A X valószín½uségi változót normális eloszlásúnak nevezünk, jele N(m; ), ha s½ur½uségfüggvénye a következ½o alakú f(x) = 1 p e (x m) ; ( 1 < x < 1) ahol m valós, pedig pozitív állandó. Az eloszlásfüggvényt az alábbiak szerint számíthatjuk ki F (x) = Z x 1 f(t)dt:

10 1. FEJEZET: VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ A normális eloszlású X valószín½uségi változó várható értéke és varianciája E(X) = m; V ar(x) = : Kitüntetett szerepe van annak a normális eloszlásnak, amelynek várható értéke 0, szórása pedig 1, azaz m = 0; = 1. Az ilyen eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük, jele N(0; 1). Ha X normális eloszlású valószín½uségi változó, akkor az ax + b valószín½uségi változó is normális eloszlású. Ezt a tényt felhasználva minden N(m; ) eloszlást a Z = X m transzformációval N(0; 1) eloszlásba vihetünk. A két eloszlás eloszlásfüggvénye között az alábbi a kapcsolat x m F (x) = ; ahol (z) az N(0; 1) ún. standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye, azaz (z) = Z z 1 1 p e t dt: Így elegend½o a standard normális eloszlás (x) eloszlásfüggvény értékeit táblázatba foglalni, mert erre visszavezethet½o tetsz½oleges paraméter½u normális eloszlás. S½ot elegend½o csupán a pozitív x-ekre közölni a táblázatokat, mivel igaz, hogy ( x) = 1 (x): A normális eloszlás alkalmazásakor táblázatot kell használnunk a (x) standard normális eloszlásfüggvény értékének meghatározására. Táblázat hiányában az alábbi, nagy pontosságú közelít½o képletet szokták használni (x) számítására. Ez az összefüggés van beépítve számos statisztikai programcsomagba is: (x) 1 1 p e x = (a 1 y + a y + a 3 y 3 + a 4 y 4 + a 5 y 5 ); ahol y = 1 1 + 0:316419x ; a 1 = 0:319381530; a = 0:35656378; a 3 = 1:781477937; a 4 = 1:8155978; a 5 = 1:3307449: Végül egy fontos összefüggést ismertetünk a független, normális eloszlású valószín½uségi változók összegére vonatkozóan.

1.. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 11 Legyenek X 1 ; X ; : : : ; X n független, normális eloszlású valószín½uségi változók, amelyeknek várható értéke és varianciája legyen E(X i ) = m i és V ar(x i ) = i. Az X 1 + X + : : : + X n összeg szintén normális eloszlású valószín½uségi változó, amelynek várható értéke és varianciája E(X 1 + X + : : : + X n ) = m 1 + m + + m n ; V ar(x 1 + X + : : : + X n ) = 1 + + + n: 1..4. Lognormális eloszlás A X valószín½uségi változót m és paraméter½u lognormális eloszlásúnak nevezünk, ha az Y = log X valószín½uségi változó normális eloszlású m várható értékkel és szórással. A lognormális eloszlás s½ur½uségfüggvénye f(x) = 1 p x e (log x m) ; (x > 0): A lognormális eloszlású X valószín½uségi változó várható értéke és varianciája m+ E(X) = e ; V ar(x) = e m+ (e 1): Az alábbiakban a normális és a lognormális eloszlás alkalmazására egy példát mutatunk be. Példa: Legyen egy bizonyos részvény ára az n-edik hét végén S(n); ahol n 1. Tegyük fel, hogy az S(n)=S(n 1) árarány minden n 1 értékre független és azonos eloszlású lognormális valószín½uségi változó. Legyen a szóbanforgó lognormális valószín½uségi változó két paramétere m = 0:0165 és = 0:0730. a) Mi a valószín½usége, hogy a részvény ára egyik hétr½ol a másikra növekedik? b) Mi a valószín½usége, hogy a részvény ára három héttel kés½obb nagyobb lesz, mint az induló ár? Megoldás: a) A keresett valószín½uség P (S(n) > S(n 1)) bármely n 1 értékre. Mivel a feladatban megfogalmazott feltevés minden n-re azonos, így elegend½o az n = 1 esetre elvégezni a számítást, azaz a keresett valószín½uség P (S(1) > S(0)). Mivel a részvény ára pozitív, ezért az S(1) > S(0) egyenl½otlenség ekvivalens a log S(1) > log S(0) ill. a log S(1) S(1) > 0 egyenl½otlenséggel. Ezt felhasználva, és tudva, hogy az X=log S(0) S(0) valószín½uségi változó m = 0:0165 várható érték½u és = 0:0730 szórású normális eloszlású valószín½uségi változó, valamint a Z = X m valószín½uségi változó m = 0 várható érték½u és

1 1. FEJEZET: VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ = 1 szórású standard normális eloszlású valószín½uségi változó, így a keresett valószín½uség P (S(1) > S(0)) = P = P log S(1) S(0) > 0 = P Z > 0:0165 0:0730 = 1 P (Z < 0:60) log S(1) S(0) m = P (Z > 0:60) = 1 ( 0:60) = 1 (1 ( 0:60)) = (0:60) = 0:5894:! > 0 m b) A keresett valószín½uség P (S(n + ) > S(n 1)) bármely n 1 értékre. A feltevés szerint minden n-re azonosak a viszonyok, így az n = 1 esetre végezzük el a számítást, azaz a keresett valószín½uség P (S(3) > S(0)). Mivel a részvény ára pozitív, ezért az S(3) > S(0) egyenl½otlenség ekvivalens a log S(3) > log S(0) ill. a log S(3) S(0) > 0 egyenl½otlenséggel. Ez utóbbi további alakítással log S(3) 0 és ebb½ol a számunkra már használható log S(3) S() adódik. A Z=log S(3) S() S(1) + log + log S() S(1) S(0) S() S(1) > S() S(1) S(0) S() S(1) + log + log > 0 egyenl½otlenség S(1) S(0) valószín½uségi változó három darab független normális eloszlású valószín½uségi változó összege, amelyr½ol tudjuk, hogy szintén normális eloszlású valószín½uségi változó. A Z várható értéke 3m; azaz 3 0:0165 = 0:0495, varianciája pedig 3, így szórása p 3, azaz p 3 0:0730 = 0:1644. Hasonlóan az a) részbeni megoldáshoz, a keresett valószín½uség P (S(3) > S(0)) = P log S(3) S() S(1) + log + log S() S(1) S(0) > 0 Z 3m = P p > 0 3m 3 p 3 = P Z > 0:0495 = P (Z > 0:39149) = 0:1644 = (0:39149) = 0:6517: 1.3. Központi határeloszlás tétel Legyenek X 1 ; X ; ::: azonos eloszlású, független valószín½uségi változók, m közös várható értékkel és közös szórással és legyen S n valószín½uségi változó az els½o n darab X i valószín½uségi változó összege S n = X i : Mint tudjuk az S n valószín½uségi változó várható értéke nm, szórása pedig p n. A központi határeloszlás azt montja ki, hogy bármely x valós számra lim P Sn nm n!1 p x = (x): n Szavakban ez azt jelenti, hogy elég nagy n esetén az Sn közel standard normális eloszlás. nm p n valószín½uségi változó eloszlása

1.3. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS TÉTEL 13 A normális eloszlásnak a tétel adja meg a valószín½uségszámításban játszott központi szerepét. Példa: Tekintsük egy részvény ármozgására az alábbi modellt. Ha egy adott id½oben a részvény ára s, akkor egy id½operiódus után a részvény ára vagy p valószín½uséggel us vagy pedig (1 p) valószín½uséggel ds (u > 1, 0 < d < 1). Tegyük fel, hogy az egymás utáni id½operiódusokban az ármozgás független. Határozzuk meg közelít½oleg annak a valószín½uségét, hogy a következ½o 1000 id½operiódus után a részvény ára legalább 30 %-kal nagyobb lesz, mint az induló ár! Megoldás: Jelölje az S i valószín½uségi változó a részvény árát az i-edik periódusban. keresett valószín½uség S1000 P 1:30 : S 0 Elemi számolással a keresett valószín½uséget átalakítva kapjuk, hogy S1000 P 1:30 = P log S 1000 log 1:3 = S 0 S 0 = P log S 1000 S 999 S S 1 log 1:3 = S 999 S 998 S 1 S 0! X1000 = P log S i log 1:3 : S i 1 Ekkor a Legyen X i = log S i S i 1 valószín½uségi változó az i-edik és a közvetlen megel½oz½o periódusbeli ár hányadosának logaritmusa. El½oször határozzuk meg X i várható értékét és varianciáját. Az X i lehetséges értékei: log u ill. log d. m = E(X i ) = p log u + (1 p) log d = p log u d + log d; = V ar(x i ) = p (log u) + (1 p)(log d) [p log u + (1 p) log d] = = p(1 p) log u : d Ha u = 1:1; d = 0:9; p = 0:55, akkor m = 0:005 ill. = 0:1: A keresett valószín½uség kiszámítására most a központi határeloszlás tételt alkalmazzuk. Mivel n = 1000 elég nagy és az összegben szerepl½o X i valószín½uségi változók azonos eloszlásúak és függetlenek, így a tétel feltételei fennállnak, a keresett valószín½uség közelít½o értékét az alábbi szerint határozhatjuk meg P! X1000 X i log 1:3 = P 0 B @ 1000 P X i p 1000 1000m log 1:3 1000m = 1 p 1000 = 0:93 96 : log 1:3 1000m p 1000 1 C A

14 1. FEJEZET: VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Példa: Egy bizonyos részvény minden id½operiódusban vagy 0.39 valószín½uséggel 1-el csökken, vagy 0.0 valószín½uséggel nem változik, vagy pedig 0.41 valószín½uséggel 1-el növekszik. Feltéve az egymás utáni id½operiódusok árváltozásainak függetlenségét, mennyi annak a valószín½usége, hogy a következ½o 700 id½operiódus után a részvény ára legalább 10-el nagyobb lesz az induló árnál? Megoldás: Jelölje az X i valószín½uségi változó a részvény árának megváltozását az i-edik periódusban. El½oször határozzuk meg X i várható értékét és varianciáját. E(X i ) = ( 1) 0:39 + 0 0: + 1 0:41 = 0:0; V ar(x i ) = [( 1) 0:39 + 0 0: + 1 0:41] 0:0 = 0:7996; amelyb½ol a közös várható érték m = 0:0 és a szórás = 0:894: A kezd½o és a 700 id½operiódus utáni árváltozást az X i valószín½uségi változók összege adja, így a keresett valószín½uség! X700 P X i 10 : Ennek kiszámítására alkalmazhatjuk a központi határeloszlás tételt, mivel n = 700 elég nagy és az összegben szerepl½o X i valószín½uségi változók azonos eloszlásúak és függetlenek. A tétel szerint 0 700 1! P X700 X i 700 0:0 P X i 10 = P B @ 0:894 p 10 700 0:0 700 0:894 p C 700 A = 0 700 1 P X i 700 0:0 = P B @ 0:894 p 0:16907C 700 A = = (0:16907) = 0:5675 : 1.4. Kovariancia és korreláció A gyakorlatban nagyon sokszor kell két valószín½uségi változó egymástól való függ½oségét, kapcsolatának szorosságát vizsgálni. Azt vizsgáljuk, hogy a saját várható értékeik körüli ingadozásuk milyen kapcsolatban van egymással. Ennek az ún. sztochasztikus kapcsolatnak a mérésére két mutatót is szokás használni, egyik a kovariancia, másik a korrelációs együttható. Az X és az Y valószín½uségi változók kovarianciája alatt az alábbi várható értéket értjük Cov(X; Y ) = E ([X E(X)][Y E(Y )]) : Az X és az Y valószín½uségi változók korrelációs együtthatója alatt a kovariancia és a szórások hányadosát értjük, azaz (X; Y ) = Cov(X; Y ) p V ar(x)v ar(y ) :

1.4. KOVARIANCIA ÉS KORRELÁCIÓ 15 Az alábbiakban a fogalmakra vonatkozó néhány fontos tulajdonságot ismertetünk. 1. Cov(X; Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). Cov(X; Y ) = Cov(Y; X), szimmetria 3. Cov(X; X) = V ar(x) 4. Cov(aX; Y ) = acov(x; Y ) 5. Cov(a; Y ) = 0 6. Cov(X 1 + X ; Y ) = Cov(X 1 ; Y ) + Cov(X ; Y ), linearitás 7. Cov(X 1 + X ; Y 1 + Y ) = Cov(X 1 ; Y 1 ) + Cov(X ; Y 1 ) +Cov(X 1 ; Y ) + Cov(X ; Y ) 8. Cov(aX + b; Y ) = acov(x; Y ) 8. 1 (X; Y ) 1 9. Ha lineáris a kapcsolat X és Y között, azaz Y = ax + b, akkor (X; Y ) = sgn(a), vagyis 1, ha a > 0 és 1, ha a < 0. Most néhány fontos általánosítást ismertetünk: 10. A 7. tulajdonság általánosításai több valószín½uségi változó összegére Cov! mx X i ; Y j = j=1 mx Cov (X i ; Y j ) ; j=1! mx mx Cov a i X i + b i ; c j Y j + d j = a i c j Cov (X i ; Y j ) : j=1 j=1 11. A 3. tulajdonság általánosításai n darab valószín½uségi változóra!! V ar X i = Cov X i ; X j = Cov (X i ; X j ) = = = j=1 Cov (X i ; X i ) + V ar (X i ) + j=1 X Cov (X i ; X j ) j6=i j6=i X Cov (X i ; X j ) : V ar! a i X i + b i! = Cov a i X i + b i ; a j X j + b j = = = = j=1 a i a j Cov (X i ; X j ) = j=1 a i Cov (X i ; X i ) + a i V ar (X i ) + X a i a j Cov (X i ; X j ) j6=i j6=i X a i a j Cov (X i ; X j ) : Ha Cov(X; Y ) = 0; akkor azt mondjuk, hogy az X és az Y valószín½uségi változók korrelálatlanok. A korrelálatlanságot nem szabad összekeverni a függetlenséggel.

16 1. FEJEZET: VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Mint korábbról tudjuk, ha X és Y valószín½uségi változók függetlenek, akkor E(XY ) = E(X)E(Y ): E fontos összefüggést felhasználva állítható, hogy ha X és Y valószín½uségi változók függetlenek, akkor Cov(X; Y ) = (X; Y ) = 0; vagyis a függetlenségb½ol következik a korrelálatlanság, fordítva nem. Több valószín½uségi változó esetén ezek páronkénti kovarianciáit és korrelációs együtthatóit a tömörebb leírás végett egy-egy mátrixba foglalhatjuk össze. Legyen X 1 ; X ; : : : ; X n n darab valószín½uségi változó és legyen c ij = Cov(X i ; X j ) és r ij = (X i ; X j ). A c ij ill. r ij számokból alkotott C ill. R mátrixot kovariancia-mátrixnak ill. korreláció mátrixnak nevezzük. A C és az R mátrixok szimmetrikusak és pozitív szemide nit mátrixok, továbbá c ii = V ar(x i ) = i és r ii = 1. Független valószín½uségi változók esetén a C egy diagonális mátrix, az R pedig egységmátrix. Ha bevezetjük az S diagonális mátrixot, amelynek f½oátlójában az egyes valószín½uségi változók szórása szerepel, akkor az ismert c ij = i r ij j összefüggés a C = SRS; ill. R = S 1 CS 1 alakban írható. Gyakran van szükségünk arra, hogy több valószín½uségi változó súlyozott számtani átlagát vizsgáljuk. Legyenek X 1 ; X ; : : : ; X n valószín½uségi változók és legyenek w 1 ; w ; : : : ; w n súlyok ( P w i = 1 és w i 0 minden i-re). Jelölje Y valószín½uségi változó a súlyozott számtani átlagot, azaz Y = w i X i ; ennek várható értéke és varianciája a korábban megismert összefüggésekb½ol E(Y ) = V ar(y ) = w i E (X i ) ; j=1 w i w j Cov (X i ; X j ) : Ha a súlyokat és a várható értékeket egy-egy vektorba foglaljuk úgy, hogy m = (E (X 1 ) ; E (X ) ; : : : ; E (X n )) és w = (w 1 ; w ; : : : ; w n ), akkor a fentieket vektor-mátrix m½uveletek segítségével tömörebb formában is írhatjuk. E(Y ) = w T m; V ar(y ) = w T Cw = w T SRSw: Ha a valószín½uségi változók függetlenek, akkor ahol T a transzponálás jele. V ar(y ) = w T SSw = (Sw) T (Sw);

1.4. KOVARIANCIA ÉS KORRELÁCIÓ 17 Példa: Tegyük fel, hogy egy adott id½operiódusban egy bizonyos részvény ára egyenl½o valószín½uséggel n½o vagy csökken 1 egységgel és különböz½o id½operiódusok kimenetele egymástól független. Jelölje az X valószín½uségi változó az els½o periódusbeli változást, az Y valószín½uségi változó pedig az els½o három periódusbeli változás összegét. Határozzuk meg az X és Y valószín½uségi változók közötti kovarianciát és a korrelációs együtthatót! Megoldás: Az egyszer½ubb számolás kedvéért készítsünk egy táblázatot a lehetséges esetek vizsgálatára. A +; jelekkel az értékpapír árának növekedését ill. csökkenését jeleztük. A. oszlopban az X valószín½uségi változó, a. sorban pedig az Y valószín½uségi változó lehetséges értékeit tüntettük fel. A táblázat belseje az XY szorzat valószín½uségi változó valószín½uség eloszlását mutatja. Az utolsó sor és oszlop az X és az Y valószín½uségi változó lehetséges értékeihez tartozó valószín½uségeket mutatja. + + + + + - + - + + - - - + + - + - XY 3 1 1-1 1-1 -1-3 + 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 0 0 0 1/ - -1 0 0 0 0 1/8 1/8 1/8 1/8 1/ 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1 - - + - - - E(X) = 1 1 + ( 1) 1 = 0; E(Y ) = 3 1 8 + 1 1 8 + 1 1 8 + ( 1) 1 8 + 1 1 8 + ( 1) 1 8 + ( 1) 1 8 + ( 3) 1 8 = 0; E(XY ) = 1 3 1 8 + 1 1 1 8 + 1 1 1 8 + 1( 1) 1 8 + +( 1)1 1 8 + ( 1)( 1) 1 8 + ( 1)( 1) 1 8 + ( 1)( 3) 1 8 = 1; V ar(x) = E(X ) [E(X)] = 1 1 + ( 1) 1 0 = 1; V ar(y ) = E(Y ) [E(Y )] = 1 8 [3 + 1 + 1 + ( 1) + +1 + ( 1) + ( 1) + ( 3) ] 0 = 3: A kovariancia és a korrelációs együttható Cov(X; Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 1; (X; Y ) = Cov(X; Y ) p = p 1 = 0:577. V ar(x)v ar(y ) 1 3 Bemutatunk egy másik megoldási módot is. Jelöljék az X 1 ; X ; X 3 valószín½uségi változók az 1., a. és a 3. periódusbeli változást. (Az X 1 azonos az el½oz½o megoldásban szerepl½o X-el.) Ezek a valószín½uségi változók függetlenek. A feladat értelmében az X 1 és az X 1 + X + X 3 valószín½uségi változók

18 1. FEJEZET: VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ kovarianciáját kell meghatározni, amelyet az alábbiak szerint végezhetünk, felhasználva a kovariancia additivitását és a függetlenséget Cov(X 1 ; X 1 + X + X 3 ) = Cov(X 1 ; X 1 ) + Cov(X 1 ; X ) + Cov(X 1 ; X 3 ) = = Cov(X 1 ; X 1 ) = V ar(x 1 ) = 1: A korrelációs együttható számításához szükségünk van a három független valószín½uségi változó összegének varianciájára, amely az alábbiak szerint számítható V ar(x 1 + X + X 3 ) = V ar(x 1 ) + V ar(x ) + V ar(x 3 ) = (X 1 ; X 1 + X + X 3 ) = = 3V ar(x 1 ) = 3; Cov(X 1 ; X 1 + X + X 3 ) p V ar(x1 )V ar(x 1 + X + X 3 ) = 1 p 3 = 0:577.

. fejezet Geometriai Brown-mozgás.1. A geometriai Brown-mozgás de níciója Jelölje S(y) egy értékpapír árát y id½o elteltével a jelent½ol. Az S(y); 0 y < 1 értékpapír árak együttese m és paraméter½u geometriai Brown-mozgást követ az alábbi két feltétel fennállása esetén: 1. ha minden nemnegatív y és t értékre az S(t + y) S(y) valószín½uségi változó független az y id½opont el½otti áraktól,. a S(t + y) log S(y) valószín½uségi változó mt várható érték½u és t varianciájú ( p t szórású) normális eloszlású valószín½uségi változó. Más szavakkal: az árak sorozata akkor követ geometriai Brown-mozgást, ha az árak hányadosa nem függ a múltbeli áraktól és lognormális valószín½uség-eloszlású mt és p t paraméterekkel. A geometriai Brown-mozgást tehát két paraméter meghatározza. Az m paramétert drift (növekedési) paraméternek, a paramétert pedig volatilitási (változékonysági) paraméternek szokás nevezni. A feltevés szerint egy adott t hosszúságú id½oszakban az árak hányadosa ugyanolyan eloszlást követ, függetlenül attól, hogy mi az id½oszak kezdete. Eszerint tehát egy értékpapír árának pl. egy hónap alatti megduplázódása ugyanakkora valószín½uség½u mintha 10-r½ol vagy 5-r½ol duplázódott volna meg. Ha a kezd½o ár S(0), akkor a t id½obeli ár várható értéke és varianciája a lognormális eloszlásra megismert összefüggések alapján E [S(t)] = S(0)e t(m+ =) ; V ar [S(t)] = [S(0)] e t(m+ =) (e t 1): Példa: Tegyük fel, hogy egy értékpapír S(y); y 0 ára geometriai Brown mozgást követ, m=0.01 és =0. paraméterekkel. Ha S(0) = 100, akkor t = 10 esetén a) E [S(10)] =?; V ar [S(10)] =?; b) P (S(10) > 100) =?; 19

0. FEJEZET: GEOMETRIAI BROWN-MOZGÁS c) P (S(10) < 10) =? Megoldás: a) A várható értékre és a varianciára adott képletekbe behelyettesítve kapjuk, hogy E [S(10)] = 100e 10(0:01+0: =) = 134:99; V ar [S(10)] = 100 e 10(0:01+0: =) (e 100: 1) = 8961:6. b) A keresett valószín½uséget áralakítva kapjuk, hogy P (S(10) > 100) = P (S(10) > S(0)) = P (log S(10) > log S(0)) = P log S(10) S(0) > 0 : Az X = log S(10) S(0) valószín½uségi változó tm várható érték½u és t varianciájú normális valószín½uségi változó, azaz a várható érték = 0:1, a szórás = 0:6346. A keresett valószín½uség X 0:1 P (S(10) > 100) = P (X > 0) = P 0:6346 > 0:1 0:6346 X 0:1 = P 0:6346 > 0:15811 = (0:15811) = 0:5636. c) A keresett valószín½uséget átalakítva kapjuk, hogy P (S(10) < 10) = P S(10) < S(0) 10 = P log S(10) < log S(0) = P log S(10) < log S(0) + log 10 S(0) = P log S(10) 10 < log : S(0) 100 S(0) 10 S(0) Az X = log S(10) valószín½uségi változó 0:1 várható érték½u és 0:6346 szórású normális S(0) valószín½uségi változó, így a keresett valószín½uség P (S(10) < 10) = P X < log 10 = P (X < 0:183) 100 X 0:1 0:183 0:1 = P < 0:6346 0:6346 X 0:1 = P 0:6346 < 0:13016 = (0:13016) = 0:5517.

.. A GEOMETRIAI BROWN-MOZGÁS PARAMÉTEREI 1.. A geometriai Brown-mozgás paraméterei Az m drift paraméter, a volatilitási paraméter értéke attól függ, hogy milyen mértékegységben mérjük az id½ot. A gyakorlat az id½ot évben mérik, így éves driftr½ol és éves volatilitásról szokás beszélni. Mit fejeznek ki e paraméterek, ezt szeretnénk néhány szóban bemutatni. A részvény két árfolyamának hányadosát Jelöljük X valószín½uségi változóval a de nícióban szerepl½o log valószín½uségi változót, azaz X = log, amelyb½ol S(t+y) S(y) S(t+y) S(y) S(t + y) = S(y)e X : Ezen összefüggés szerint az X valószín½uségi változó a részvény hozamát jelenti t id½otartam alatt, azaz a részvényárfolyam folytonos növekedési üteme X. A de níció szerint tehát a részvény hozama normális eloszlást követ mt várható értékkel és t varianciával (ill. p t szórással). Amennyiben t értékét 1-nek választjuk, úgy az m drift paraméter a részvény várható éves hozamát, a volatilitási paraméter pedig részvény éves hozamának szórását jelenti. A várható hozamot és a szórást százalékosan szokták megadni. Példa: Egy részvény árfolyamának várható éves hozama 16 %, volatilitása évi 30 %. A részvényárfolyam egy adott nap végén 1000 Ft. a) Mennyi a várható részvényárfolyam a következ½o nap végén? b) Mennyi a részvényárfolyam várható szórása a. nap végén? c) Mi a valószín½usége, hogy a részvényárfolyam a 10. nap végén 950 és 1100 között lesz? Megoldás: Az adataink alapján m = 0:16, = 0:30, S(0) = 1000. Az árfolyamoknál keresked½oi napokban számolnak, ami 5 nap, így 1 nap 1 évnek felel meg. 5 a) t = 1 0:004; 5 E [S(0:004)] = 1000e 0:004(0:16+0:3 =) = 1000:8. b) t = 5 0:008; V ar [S(0:008)] = 1000 e 0:008(0:16+0:3 =) (e 0:0080:3 1) = 7:63, szoras = p 7:63 = 6:88. c) t = 10 S(0:04) 0:04; és tudjuk, hogy az X = log 5 S(0) eloszlású, várható értéke és szórása valószín½uségi változó normális E(X) = mt = 0:16 0:04 = 0:0064; p V ar(x) = p t = 0:3 p 0:04 = 0:06.

. FEJEZET: GEOMETRIAI BROWN-MOZGÁS A keresett valószín½uség 950 P (950 < S(0:04) < 1100) = P S(0) < S(0:04) < 1100 S(0) S(0) = P log 950 S(0:04) < log < log 1100 1000 S(0) 1000 = P ( 0:0513 < X < 0:0953) = P 0:9617 < X 0:0064 < 1:4817 0:06 = (1:4817) ( 0:9617) = 0:7669..3. A geometriai Brown-mozgás egy egyszer½u modellel való közelítése Az alábbiakban egy egyszer½u modellt mutatunk be, amely ugyan pontatlanul, de elfogadható interpretálását adja a geometriai Brown-mozgásnak. Tekintsünk egy t hosszúságú id½otartamot, amelynek a kezd½o ideje y, befejez½o ideje t + y: Legyen egy bizonyos részvény ára a két id½opontban S(y) ill. S(t + y). Osszuk fel a t id½otartamot n egyenl½o részre és tegyük fel, hogy a részvény ára csak a részintervallumok végén változik. Minden részintervallum végén a részvény ára vagy p valószín½uséggel u-szorosára változik (u > 1, tehát növekszik), vagy (1 p) valószín½uséggel d-szorosára változik (0 < d < 1, tehát csökken), ahol u = e p p t t n ; d = e p = 1 1 + m r! t : n Legyen X i egy Bernoulli valószín½uségi változó, amelynek értéke 1, ha az árfolyam növekszik és 0, ha az árfolyam csökken az i-edik részintervallumban. Az X i valószín½uségi változók mindegyikének ugyanaz a várható értéke és varianciája, mégpedig E(X i ) = p; V ar(x i ) = p(1 p): Ekkor az Y = P X i valószín½uségi változó mutatja, hogy a lejárati id½o alatt hányszor növekedett a részvény árfolyama. Az n Y valószín½uségi változó pedig a lejárati id½o alatt a részvényárfolyam csökkenéseinek számát mutatja. Ezt gyelembevéve az id½otartam alatt a részvény árfolyama u Y d n Y szorosára változik, azaz S(t + y) = S(y)u Y d n Y : Most számítsuk ki a két árfolyam hányadosának a logaritmusát, felhasználva u és d faktorokra adott összefüggést, kapjuk, hogy S(t + y) log = Y log u r t S(y) d + n log d = n Y p nt: Az Y = P X i valószín½uségi változó, mint ismeretes, binomiális eloszlású E(Y ) = np várható értékkel és V ar(y ) = np(1 p) varianciával. A centrális határeloszlástétel értelmében elég nagy n esetén az Y valószín½uségi változó ún. standardizáltja (az p Y E(Y ) V ar(y) valószín½uségi változó) standard normális eloszláshoz közelít p = 1 esetén vagy amennyiben n ;