Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május.
Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó Formi elírások: Fontos tudnivlók. A dolgoztot vizsgázó áltl hsznált szín&tl eltér szín& tolll kell jvítni, és tnári gykorltnk megfelelen jelölni hibákt, hiányokt stb.. A feldtok mellett tlálhtó szürke tégllpok közül z elsben feldtr dhtó mximális pontszám vn, jvító áltl dott pontszám mellette lev tégllpb kerül.. Kifogástln megoldás esetén elég mximális pontszám beírás megfelel tégllpokb. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy z egyes részpontszámokt is írj rá dolgoztr. Trtlmi kérések:. Egyes feldtoknál több megoldás pontozását is megdtuk. Amennyiben zoktól eltér megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknk z útmuttó egyes részleteivel egyenérték& részeit, és ennek lpján pontozzon.. A pontozási útmuttó pontji tovább bonthtók. Az dhtó pontszámok zonbn csk egész pontok lehetnek.. Nyilvánvlón helyes gondoltmenet és végeredmény esetén mximális pontszám dhtó kkor is, h leírás z útmuttóbn szereplnél kevésbé részletezett. 4. H megoldásbn számolási hib, ponttlnság vn, kkor csk rr részre nem jár pont, hol tnuló hibát elkövette. H hibás részeredménnyel helyes gondoltmenet lpján tovább dolgozik, és megoldndó problém lényegében nem változik meg, kkor következ részpontszámokt meg kell dni. 5. Elvi hibát követen egy gondolti egységen belül (ezeket z útmuttóbn ketts vonl jelzi) formálisn helyes mtemtiki lépésekre sem jár pont. H zonbn tnuló z elvi hibávl kpott rossz eredménnyel, mint kiinduló dttl helyesen számol tovább következ gondolti egységben vgy részkérdésben, kkor erre részre kpj meg mximális pontot, h megoldndó problém lényegében nem változik meg. 6. H megoldási útmuttóbn zárójelben szerepel egy megjegyzés vgy mértékegység, kkor ennek hiány esetén is teljes érték& megoldás. 7. Egy feldtr dott többféle helyes megoldási próbálkozás közül vizsgázó áltl megjelölt változt értékelhet. 8. A megoldásokért jutlompont (z dott feldtr vgy feldtrészre elírt mximális pontszámot meghldó pont) nem dhtó. 9. Az olyn részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásk, de melyeket feldt megoldásához vizsgázó ténylegesen nem hsznál fel. 0. A vizsgfeldtsor II. részében kit&zött 5 feldt közül csk 4 feldt megoldás értékelhet. A vizsgázó z erre célr szolgáló négyzetben feltehetleg megjelölte nnk feldtnk sorszámát, melynek értékelése nem fog beszámítni z összpontszámáb. Ennek megfelelen megjelölt feldtr esetlegesen dott megoldást nem is kell jvítni. H mégsem derül ki egyértelm&en, hogy vizsgázó melyik feldt értékelését nem kéri, kkor utomtikusn kit&zött sorrend szerinti legutolsó feldt lesz z, melyet nem kell értékelni. írásbeli vizsg / 0. május.
Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 9. b) Az lpkock térfogt: V 7 cm. k A gyártás során ennek kockánk minden csúcsából egy olyn (derékszög&) tetrédert vágnk le, melynek három lpj egybevágó, cm befogójú egyenl szárú derékszög& háromszög, és ezek lpok páronként merlegesek egymásr. Ezen lpok közül bármelyiket lplpnk tekintve tetréder mgsság cm. A 8 csúcsnál levágott tetréderek térfogtánk összege: 4 V 8 ( cm ). pont A visszmrdó test térfogt: V V 5 77 cm. k Így V k V 77 V k 8 95 %. Összesen: 7 pont Ez pont világos rjz esetén kkor dhtó, h rról leolvshtók z dtok is. írásbeli vizsg / 0. május. Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó. ) els megoldás Az f függvény egy negtív fegyütthtós másodfokú függvénynek egy zárt intervllumr vett lesz&kítése. Grfikonj egy lefelé nyitott prbolánk egy íve. Teljes négyzetté kiegészítéssel x x { ( x ) 4. A ( ;4) pont prbol tengelypontj, mely függvény grfikonjánk is pontj. Tehát f [ ; ] intervllumon szigorún monoton növ, [ ; 5 ] intervllumon pedig szigorún monoton fogyó. Az eddigiekbl következik, hogy ( ) mximumhelye f-nek és mximum értéke 4. A minimum zárt intervllum két htáránk vlmelyikénél lehet: f ( ), f ( 5). Az f függvény minimumhelye z 5, minimum értéke f ( 5). I. Összesen: 7 pont Megjegyzések:. H megoldást grfikonkészítéssel kezdi, és rról helyesen olvss le monotonitási viszonyokt és szélsértékeket, kkor jár 7 pont, h grfikon helyességét indokolj.. H hibás grfikonról olvss le jól kért értékeket, kkor jó leolvsásért pontot kpjon (monotonitás + szélsértékek )!. A monotonitási trtományokhoz hozzászámíthtjuk z x értéket, vgy ki is zárhtjuk zt. Mindkét változtot fogdjuk el helyes válsznk! írásbeli vizsg / 0. május.
Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó. ) második megoldás A vlós számok hlmzán értelmezett x x x függvény derivált függvénye: x x. Ahol derivált függvény pozitív, ott z eredeti függvény szigorún monoton növ, hol negtív, ott szigorún monoton fogyó. x! 0 œ x és x 0 œ x!. A vlós számok hlmzán értelmezett x x x függvénybl lesz&kítéssel kpott f függvény tehát [ ; [ intervllumon szigorún monoton növ, ] ;5 ] intervllumon pedig szigorún monoton fogyó. Az eddigiekbl következik, hogy ( ) mximumhelye f-nek és mximum értéke 4. A minimum zárt intervllum két htáránk vlmelyikénél lehet: f ( ), f ( 5). Az f függvény minimumhelye z 5, minimum értéke f ( 5). Megjegyzés: Összesen: 7 pont A monotonitási trtományokhoz hozzászámíthtjuk z x értéket, vgy ki is zárhtjuk zt. Mindkét változtot fogdjuk el helyes válsznk!. b) Az lg x x lg 5 h x x! 0, és x lg 5 kifejezés kkor értelmezhet, lg x z. Az egyenltlenség megoldás vlós számok hlmzán: x vgy x!, de d x d 5, így z x d 5 feltételnek kell teljesülnie. A lg x x lg 5 pontosn kkor teljesül, h x x 5. Ennek vlós megoldási 4 és. Tehát zon x vlós számokr értelmezhet kifejezés, melyekre x d 5 és x z teljesül. Összesen: 7 pont Bármilyen formábn megdott helyes válsz ot ér. Például: @ ; > ]; 5 ] vgy { x R x d 5, x z }. írásbeli vizsg 4 / 0. május. Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 9. ) Az üzem npi hszn n drb készlet gyártás esetén:,5 n 8 n 0, n n 00 h,5 0, n 6 n 00.,5 Az f : R o R ; f x 0, x 6 x 00 0,5 függvény deriválhtó és f (x) 0, x 6. Az f szélsértékének létezéséhez szükséges, hogy f (x) = 0 teljesüljön. 0,5 0, x 6 0 œ x 400. 0,5 0,5 Mivel f (x) 0,5 x 0, ezért x 400 esetén npi hszon mximális, hiszen f mximumhelye egyben h mximumhelye is (mert 400 eleme h értelmezési trtományánk is). Npi 400 építkészlet gyártás esetén lesz hszon mximális. x A mximális hszon:,5 h 400 0, 400 6 400 00 500 (euró). Összesen: 9 pont H h függvény deriváltját képezi, ez pont nem jár. H vizsgázó mximumot zzl indokolj, hogy z els derivált z x 400 környezetében eljelet vált (pozitívból negtívb megy át), ez pont jár. írásbeli vizsg / 0. május.
Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 8. b) hrmdik megoldás A megoldás során kihsználjuk, hogy tized méterre (egész deciméterre) kerekítve kell megdni z eredményt. A megépített kerítés hossz leglább 0 +, m és legfeljebb EF 6, m. Zoli kerítésre leglább, 5 000 484 500 Ft-ot, legfeljebb 6, 5 000 54 500 Ft-ot költött. A kerítésre költött összeg leglább 6,5 m, de legfeljebb 8,05 m terület& telekrész értékével egyezik meg. x 0 A FG=x jelöléssel: h! 8, 05, kkor Zoli biztosn jobbn járt. Ebbl ( kerekítésre vló tekintettel) z dódik, hogy x t, (m). A 6,5 m -hez trtozó FG távolság: 6,5 0,08 (m). (A monotonitás mitt minden ennél kisebb x esetén Zoli rosszbbul jár.) Azt kell már csk megvizsgálni, hogy z, m, illetve z, m hosszú FG szksz esetén jól járhtott-e Zoli. pont FG (m),, kerítés költsége (Ft) 5 857 5 059 telekrész értéke (Ft) 495 000 540 000 egyenleg Zoli szempontjából (Ft) 6 857 +894 pont Láthtó, hogy FG=, m is elnyös Zolink. Összefogllv: h FG leglább, m (és legfeljebb 8 m), kkor Zoli jól járt kerítés megépítésével. Összesen: pont írásbeli vizsg 0 / 0. május. Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó. ) A német és frnci vizsgávl rendelkez hllgtó közül = 9-nek vn ngol vizsgáj is. Mindhárom kérdésre 9-en válszoltk igennel. pont Összesen: pont. b) els megoldás A ngol nyelvvizsgás közül 9 = fnek vn egy vgy két nyelvvizsgáj. Tehát hllgtó trtozik z ngol nyelvvizsgávl rendelkezk közül német vgy frnci nyelvvizsgávl nem rendelkezk hlmzink uniójáb. Ezen hlmzok elemszám külön-külön 7 illetve 8, z unió elemszám. A két hlmz közös részébe tehát 5 = elem trtozik. A közös részbe pedig cskis ngol vizsgávl rendelkez hllgtók trtoznk. Ezek lpján beírhtjuk z lábbi hlmzábráb z egyértelm&en dódó elemszámokt: pont pont A három nyelvvizsg közül leglább eggyel rendelkezk szám + + = 6. Mindhárom kérdésre nemmel (9 6 =) f válszolt. Összesen: 9 pont írásbeli vizsg 5 / 0. május.
Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó. b) második megoldás Jelöljük x-szel csk ngol nyelvvizsgávl rendelkez hllgtók számát. Ezzel jelöléssel következ Venn-digrmot hozhtjuk létre: H ez gondolt csk megoldás során derül ki, ez pont jár. pont A pont z ngol hlmz helyes kitöltéséért jár. Az ngol nyelvvizsgávl rendelkezk szám, tehát 4 x. Csk ngol nyelvvizsgávl x hllgtó rendelkezik. Beírv x megkpott értékével megfelel elemszámokt: A három nyelvvizsg közül leglább eggyel rendelkezk szám + + = 6. Egyetlen nyelvvizsgávl sem rendelkezik 9 6 = f, tehát mindhárom kérdésre hllgtó válszolt nemmel. Összesen: 9 pont írásbeli vizsg 6 / 0. május. Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 8. b) másik megoldás Elegend kedvez G pontokt FH szksz pontji között keresni. Az x=fg jelöléssel: h x növekszik, kkor z EG szksz hossz szigorún monoton csökken (mert z EHG derékszög& háromszög EH befogój mindig 0 m hosszú, másik befogój pedig csökken), z EFG háromszög területe szigorún monoton n (hiszen FG oldl n, hozzá trtozó mgsság nem változik). Ebbl következik, hogy elegend megvizsgálni, mely esetben egyenl kerítésre fordított költség cserébe kpott telekrész értékével. A kerítésért kpott telekrész területe (x-et méterben 0 x mérve): = 5 x ( m ), értéke 0 000 5 x (Ft). A kerítés hossz (Pitgorsz- tétellel): 00 40 x x, kerítés megépíttetésének költsége: 5000 x 00 40 x. 5000 x 40 x 00 0000 5 x, zz x 40 x 00 0 x (hol x pozitív), x 40 x 00 900 x. Ebbl: 899 x 40 x 00 0. Ennek pozitív megoldás x,8. Tehát leglább, m (és legfeljebb 8 m) hosszú FG szksz. Összesen: pont írásbeli vizsg 9 / 0. május.
Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 8. b) els megoldás A feldt megértése (pl. egy jó vázlt). ( FG x és EG y jelölés esetén) Az EFG háromszög T területe: T = 5 x (m ); Zoli telkéhez cstolt terület értéke: 0 000 5x (Ft). Az új kerítés hosszát z EHG derékszög& háromszögbl számíthtjuk. FG 0 x. * Alklmzv Pitgorsz tételét: y 0 x 0 * 0 y 00 40 x x. * Az EG hosszú kerítés megépíttetésének költsége: 5 000 00 40 x x. Zoli jobbn járt, tehát 5 000 x 40 x 00 0 000 5 x, zz x 40 x 00 0 x (hol x pozitív, és méterben dj meg kérdéses hosszt.) (Mivel mindkét oldl nemnegtív, ezek négyzete között relációjel változtln.) x 40 x 00 900 x. Ebbl 0 899 x 40 x 00 (hol x pozitív). Az x 899 x 40 x 00 (x R) másodfokú függvény egyetlen pozitív zérushelye, 8. (A másik zérushely, ) Ez másodfokú függvény pozitív számok hlmzán szigorún n. Mivel,8 m, m, így leglább, m (és legfeljebb 8 m) hosszú FG szksz. Összesen: pont Megjegyzés: Koszinusztétel lklmzásávl is megdhtó z FG oldl ( *-gl jelölt pontokhoz): $ GFE ) D jelöléssel tg D =, 5, zz D 56, EFG háromszög EG oldlár koszinusztétel lklmzás. 6,06 y x 7, x cos56, írásbeli vizsg 8 / 0. május. Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó. els megoldás H hétfn egy rekeszben x kg sárgbrck volt, és ebbl összesen y db rekesszel vásárolt, kkor kedden egy rekeszben ( x ) kg volt, és ekkor összesen ( y 8 ) db rekesszel vásárolt. Így z xy 65 és z ( x )( y 8) 65 egyenleteknek kell teljesülniük. Tehát z xy ( x 65 )( y 8) 65 ½ ¾ egyenletrendszer megoldását keressük, hol x és y pozitív számot jelöl. A második egyenletben zárójel felbontásávl z xy y 8 x 6 65 egyenlethez jutunk. Mivel xy 65, így 65 y 8 x 6 65, zz 4 x y 8. Ebbl y 4 x 8. Az xy 65 egyenletben y helyére 4 x 8 -t helyettesítve, 4 x 8 x 65 0 másodfokú egyenletet kpjuk. Ennek pozitív megoldás: x 7, 5. (A negtív megoldás: 5,5) Innen y. Ezekkel z értékekkel számolv: kedden 5,5 kg szibrck volt egy rekeszben, és összesen 0 rekesszel vásárolt kiskeresked. (Az értékek szöveg feltételeinek megfelelnek.) Tehát hétfn egy rekeszben 7,5 kg sárgbrck volt, és ekkor összesen rekesszel vásárolt kiskeresked. Összesen: pont H ez gondolt csk megoldás során derül ki, ez pont jár. Ez pont szöveg szerinti ellenrzésért dhtó. írásbeli vizsg 7 / 0. május. $
Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó. második megoldás H hétfn n drb rekesz sárgbrckot vásárolt 65 kiskeresked, kkor egy rekeszben kg n sárgbrck volt. Így kedden n 8 drb rekesz szibrckot vett, és 65 ekkor egy rekeszben n kg szibrck volt. pont pont n 8 65 n 65. pont Rendezve kpjuk: n 8 n 660 0. pont Ennek egyetlen pozitív gyöke n ( másik gyök n 0 ). Hétfn rekesz sárgbrckot vett kiskeresked, egy rekeszben 7,5 kg gyümölcs volt. Ezek z értékek megfelelnek feldt minden feltételének (kedden 0 rekesszel vásárolt, egy rekeszben 5,5 kg szibrck volt). Megjegyzés: pont Összesen: pont H hétfn minden rekeszben s kg sárgbrck volt, kkor, A felírhtó egyenlet ekkor: 8 65 Gyökök: s 7, 5 és s 5, 5. Ez pont szöveg szerinti ellenrzésért dhtó. 65 drb rekesszel vásárolt. s 65 s. Rendezve: 4 s 8 s 65 0. s írásbeli vizsg 8 / 0. május. Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 7. b) második megoldás 00 000 lkosr vontkozón számolunk, mert z rányok mint ngyságától függetlenek. 00 000 lkos közül 5 000 betegszik meg, 95 000 egészséges mrd. 5 000 beteg közül 50 dohányzik, 750 nem dohányzik. 95 000 egészséges lkos közül 9 000 dohányos, 76 000 nem dohányos. pont A 50 dohányos között 50 beteg vn, ez dohányosok számánk 0,6%-. A 78 750 nem dohányos között 750 beteg vn, ez nem dohányosok számánk,5%-. Összesen: 9 pont 8. ) A telek felosztásánk megértése (pl. egy jó vázlt). Az EF átfogójú, 0 és 0 befogójú derékszög& háromszög (EFH) megdás. Pitgorsz tételének lklmzás: EF 0 0 EF 6, méter. Összesen: 4 pont írásbeli vizsg 7 / 0. május.
Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 7. b) els megoldás Az dtok áttekintéséhez célszer& ábrát készíteni. város lkosság (00%) nem beteg (95%) beteg (5%) 80% 0% 45% 55% nem beteg és nem dohányos nem beteg és dohányos beteg és dohányos beteg és nem dohányos (Modellt készít: szövegnek megfelel 4 diszjunkt csoportb sorolj város lkosságát.) Kiszámítjuk, hogy város lkosságánk hány százlék trtozik négy csoportb. Nem beteg és nem dohányos: 0,95 0,8 0,76, zz 76%; nem beteg és dohányos: 0,95 0, 0,9, zz 9%; beteg és dohányos: 0,05 0,45 0,05, zz,5%; beteg és nem dohányos: 0,05 0,55 0,075, zz,75%. A város lkosink (9 +,5 =),5%- dohányos, közöttük város lkosink,5%- beteg, tehát dohányosok között,5 00 % betegek,5 rány. Egy tizedes jegyre kerekítve ez 0,6%. A város lkosink (76 +,75=) 78,75%- nem dohányos, közöttük város lkosink,75%- beteg, tehát nem dohányosok között,75 00 % 78,75 betegek rány. Egy tizedes jegyre kerekítve ez,5%. Összesen: 9 pont Ez pont kkor is jár, h megoldás erre gondoltr épít. írásbeli vizsg 6 / 0. május. Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 4. ) els megoldás Az ábrák jelöléseit hsználjuk. Legyen gúl lpéle, mgsság m. AC, z AEC háromszög területe: () 64 m. H jelölés z ábrán világos, ez pont jár. Az lplppl párhuzmos síkmetszet négyzet, melynek oldl 4 cm hosszú. Az ABCD és ABCD négyzet (vgy két E csúcsú gúl) (középpontos) hsonlóság mitt megfelel szkszok rány egyenl: 4 m 4, m. Ezt behelyettesítve z (ACE háromszög területére felírt) () egyenletbe: 64, 8. A gúl lplpjánk területe 8 cm. 8 Ÿ 8 (mert >0), gúl mgsság: m 8 (cm). Összesen: 0 pont írásbeli vizsg 9 / 0. május.
Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 4. ) második megoldás Legyen gúl lpéle, mgsság m. AC, z AEC háromszög területe: () 64 m. Az lplppl párhuzmos síkmetszet (négyzet) (középpontosn) hsonló z lplphoz. A hsonló síkidomok területérl tnultk szerint ezért: m, 6 vgyis m, mibl (>0 és m>0 mitt) m következik. Ezt behelyettesítve z (ACE háromszög területére felírt) () egyenletbe: 64, 8. A gúl lplpjánk területe 8 cm. 8 Ÿ 8 (mert >0), gúl mgsság: m 8 (cm). Összesen: 0 pont H jelölés z ábrán világos, ez pont jár. 4. b) H z AD él felezpontj F, z ABCD négyzet középpontj G, kkor kérdezett szög: D EFG ). Az EGF derékszög& háromszögbl: 8 tg D, 4 54,7 D $. Összesen: pont írásbeli vizsg 0 / 0. május. Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 7. ) Az n 00 és p 0, 05 prméter& binomiális eloszlás lpján számolhtunk. Annk vlószín&sége, hogy 00 ember között 00 nincs beteg: 0,95, nnk vlószín&sége, hogy közöttük beteg vn: 00 99 0,05 0,95. Annk vlószín&sége, hogy 00 ember között legfeljebb egy, z újfjt betegségségben szenved 00 00 99 vn: 0,95 0,05 0,95 0,0059 0,0 0, 07. (Nekünk komplementer esemény vlószín&sége kell,) tehát nnk vlószín&sége, hogy 00 ember között leglább két z újfjt betegségségben szenved vn 0,07 0, 969 A kérdezett vlószín&ség két tizedes jegyre kerekítve: 0,96. Összesen: 7 pont Ez pont kkor is jár, h megoldás erre gondoltr épít. írásbeli vizsg 5 / 0. május.
Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 6. b) második megoldás Közvetlenül megszámoljuk, hogy 4 egyenl vlószín&ség& eset közül hány végzdik több kék mint piros golyó húzásávl. Legyen z els szám kék, második piros, hrmdik fehér golyók szám: (,0,4), (,0,), (,0,), (4,0,), (5,0,0), (,,), (,,), (4,,0), (,,0). Mivel különböz színek egyformán gykorik, ezért fenti esetek közül zonosk vlószín&ség szempontjából következk: (,0,4), (4,0,), (4,,0) (,0,), (,0,), (,,0) (5,0,0) (,,) (,,) Az els hárms összesen 5! 5 5 4! -féleképpen, második hárms 5! 5!! =0 -féleképpen, hrmdik (5,0,0) -féleképpen, míg 5! 5 negyedik (,,)! =0-féleképpen következhet be. Végül z ötödik (,,) 0 következhet be, zz 5!!! 0 4 -féleképpen kedvez esetek szám: 5 0 0 0 96. 96. A keresett vlószín&sége tehát: 0,95 4 Összesen: 8 pont H vizsgázó nem zonos rendszerben számítj ki z összes és kedvez esetek számát, legfeljebb 5 pont dhtó. Megjegyzés: H vizsgázó elbb több kék mint piros golyó húzásánk vlószín&ségét számítj ki, és b) els megoldásánk gondoltmenetét követve dj meg z egyenl számú kék és piros golyó húzás vlószín&ségét, kkor lklmzzuk b) els megoldásánk pontozását! írásbeli vizsg 4 / 0. május. Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 5. ) II. Összesen: pont 5. b) els megoldás Tetszleges D > ; S @ 0 esetén sin D, sin D, sin D. Ezek egy számtni sorozt egymást követ tgji, h, zz 4 sin D sin D sin D. Átlkítv: sin D sin D sin D. D E D E A sin D sin E sin cos zonosságot lklmzv bl oldlr: sin D cosd sin D. 0-r rendezés és szorzttá lkítás után: sin D D. cos 0 (A bl oldlon álló szorzt pontosn kkor 0, h vlmelyik tényezje 0.) A vlós számok hlmzán sin D 0 pontosn kkor, h D ks, zz, h S D k (k Z). Mivel D > 0 ; S @, ezért. lehetséges értékei: S S 0; ; Œ; ; Œ. cos D tekintett intervllumon pontosn kkor teljesül, h D 0 vgy D S, ezeket z értékeket pedig már megkptuk z elz eset vizsgáltkor. H D 0, D S vgy D S, kkor,, ; S h D, kkor 0,, 4, tehát ez négy D érték megoldást d. S D esetén nem kpunk megfelel megoldást, ugynis ekkor. Összesen: pont A számtni sorozt bármelyik definíciójánk helyes lklmzásáért jár pont. Ez z csk mind z öt jó érték felsorolásáért jár. írásbeli vizsg / 0. május.
Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 5. b) második megoldás Tetszleges D > ; S @ 0 esetén sin D, sin D, sin D. Ezek egy számtni sorozt egymást követ tgji, h, zz 4 sin D sin D sin D. Átlkítv: sin D sin D sin D. A sin D sin D 4sin D és sin D sin D cosd zonosságokt lklmzv: 4sin D 4sin D 4sin D cosd. Ebbl: sin D sin D cosd 0. (A bl oldlon álló szorzt pontosn kkor 0, h vlmelyik tényezje 0.) A tekintett intervllumon sin D 0 pontosn kkor teljesül, h D 0 vgy D S vgy D S. Mivel sin D cos D, ezért bl oldl másik tényezje cos D cosd cosd D cos lkbn írhtó, és pontosn kkor 0, h cos D 0 vgy cos D. Az. eddigi lehetséges értékeihez innen két új érték dódik cos D 0 egyenletbl: S D és H D 0, D S vgy D S, kkor,, ; h S D. S D, kkor 0,, 4, tehát ez négy D érték megoldást d. S D esetén nem kpunk megfelel megoldást, ugynis ekkor. Összesen: pont A számtni sorozt bármelyik definíciójánk helyes lklmzásáért jár pont. Ez z csk mind három jó érték felsorolásáért jár. írásbeli vizsg / 0. május. Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó 6. ) 5 4 különböz húzás lehetséges, (ezek mindegyike zonos vlószín&séggel következhet be). Egyform kék és piros golyók szám, h mindkett 0, vgy. Els eset 0 piros és 0 kék, zz mind z öt fehér, ez -féleképpen lehetséges. Második eset: piros és kék, fehér, ez 5! 5! =0-féleképpen következhet be. Hrmdik eset: piros és kék, fehér, ez 5! 5 4!! =0 esetben következhet be. pont A kedvez esetek szám tehát 0 0 5. A döntetlen játszm vlószín&sége: 5 0,098 0,. 4 Összesen: 8 pont Ezt pontot kkor is megkpj, h gondoltot ugyn nem írj le, de megoldásából kiderül, hogy erre épít. 6. b) els megoldás Három eset lehetséges: zonos kihúzott piros és kék golyók szám, vgy több kék vgy több piros. pont A különböz szín& golyók zonos szám mitt több piros mint kék golyó húzásánk esélye zonos több kék mint piros golyó húzásánk esélyével. pont A több kék mint piros golyó húzásánk esélye tehát: 5 4 pont 96 0,95. 4 Összesen: 8 pont Ennél kevésbé részletezett helyes indoklás esetén is járnk ezek pontok. írásbeli vizsg / 0. május.