TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE ÉS AYES-TÉTEL A TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE Egy irály úgy szeretné izgalmasabbá tenni az elítéltjeine ivégzését, hogy három ládiába elhelyez 5 arany és 5 ezüst érmét. Ha a ivégzésre szánt célszemély aranyat húz, aor a váraozással ellentétben mégsem végzi i, de ha ezüstöt, aor igen. A irály a nagyobb izgalom edvéért mindig máshogy osztja szét az érméet a ládában. Egyi alalommal így: 6 arany 4 ezüst 8 arany ezüst arany 9 ezüst A érdés, hogy meora esélye van az elítéltne a megmeneülésre. Az egyes ládiából aranyat húzni 6 0 8 0 0 valószínűséggel lehet, de csa aor, ha az orra elé rajá az adott ládát. Ahhoz, ugyanis hogy emberün mondju az első ládából aranyat húzzon, ét dolog ell. Először is ell / esély arra, hogy egyáltalán az első ládát válassza és további 6/0, hogy abból aranyat húzzon. Vagyis az arany húzás valószínűsége: mateing.hu / / / 6 arany 4 ezüst 6 8 P ( A 0 0 0 8 arany ezüst Nos éppen ezt mondja a teljes valószínűség tétele: Legyen 4és 7 teljes eseményrendszer, vagyis páronént izáró eseménye, melye összege a biztos esemény. Esetünben és azt jelenti, hogy -es -es és -as láda. Eor 5 A A A A 4 7 Vagyis 5 6 8 P ( A 0 0 0 6 60 arany 9 ezüst
A AYES TÉTEL Egy zöldséges három helyről szerez be almáat. Az első helyről a észlet 0%-át szerzi be, eze mind jó. A másodi helyről a 0%-át és itt 5% romlott, de nem baj mert ezt is el tudja adni néhány va öregasszonyna. A harmadi helyről a maradé 50%-ot szerzi be, és itt 5% romlott. Kiválasztun egy almát, amiről iderül, hogy romlott. Meora valószínűséggel származi a hármas termelőtől? ELSŐ TERMELŐ: 0% MÁSODIK TERMELŐ: 0% HARMADIK TERMELŐ: 50% 0% rossz 5% rossz 5% rossz A hármas termelő a észlet 50%-át hozza, így minden alma 0,5 valószínűséggel van tőle. Csahogy ha iderül az almáról, hogy rossz, ez a valószínűség megváltozi. Az első termelő például a észlet 0%-át hozza, tehát minden alma 0, valószínűséggel tőle van. Ha viszont iderül az almáról, hogy rossz, ez a valószínűség 0-ra csöen, semmiépp sem hozhatta azt az első termelő, mert az csa jót hoz. Vagyis ez a plusz információ, hogy az alma rossz, a ezdeti 0%, 0%, 50% valószínűségeet megváltoztatja. Az első termelő esélyét 0%-ra változtatja, a harmadi termelő esélyét pedig növeli, hiszen ő az ai leginább gyanús. mateing.hu A ezdeti valószínűségene ezt a megváltozását írja le a ayes tétel. Aor használju, ha egy orábban beövetezett ( esemény valószínűségét aarju iszámolni egy ésőbb beövetezett (A türében. Ha és teljes eseményrendszer, valamint A tetszőleges esemény, aor bármely eseményre A A A A A Most a hármas termelő esélyeit ( szeretnén tudni, feltéve, hogy az alma rossz. (A=rossz P ( A A A A A 0,5 0,5 00, 0,05 0, 0,5 0,5 4 P ( 0,8 5 A 4 5 P ( A 0 7 Nos ez a valószínűség 7 Vagyis a hármas termelő ezdeti 50%-os valószínűsége 8%-ra nőtt amiatt, mert megtudtu, hogy az alma rossz. Korábban tisztáztu, hogy tehát az első termelő esélye nulla, ha az alma rossz. Ha pedig az első termelő 0%, a harmadi pedig 8%, aor a másodi termelő 7% eséllyel hozza a rossz almát.
TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE Ha és így tovább n teljes eseményrendszer, valamint A tetszőleges esemény, aor P A A A... A ( n n AYES-TÉTEL Aor használju, ha egy orábban beövetezett ( esemény valószínűségét aarju iszámolni egy ésőbb beövetezett (A türében. Ha és így tovább n teljes eseményrendszer, valamint A tetszőleges esemény, aor bármely eseményre A A A A... A n n 0. Egy biztosító étféle autóbiztosítást forgalmaz, normált és sportautóra öthetőt. Normál biztosítást négyszer annyian ötne, mint sportautóra öthetőt. A normál biztosítást ötő %-a balesetezi egy éven belül, míg a sportautósonál 97% nem balesetezi. a Egy biztosítottat iválasztva meora a valószínűsége, hogy balesetezi? b Ha balesetezi, meora a valószínűsége, hogy sportautóra ötött biztosítása volt? 0. Egy betegség imutatásához szűrővizsgálatot végezne. A vizsgálat a betegséget az esete 90%-ában épes imutatni. Ugyanaor megesi, hogy tévesen betegne diagnosztizál olyat is, ai egészséges. Ez az esete %-ban fordul elő. A betegség a laosság 5%-át érinti. Egy laosról a teszt elvégzése során iderül, hogy egészséges. Mi a valószínűsége, hogy valóban az? 04. Egy eresedő termelőtől szerez be almáat. A vásárolt mennyiség 45%-a az első termelőtől származi, enne fele első osztályú. A másodi termelőtől az összes mennyiség 5%-át szerzi be, enne 70%-a első osztályú, míg a harmadi termelő csa első osztályú árut szállított. Kiválasztun egy almát és az nem első osztályú. Mennyi a valószínűsége anna, hogy a másodi termelőtől származi? 05. Egy biztosító három irodájában autóbiztosítással rendelező ügyfele száma 00, 50 és 50, özülü rendre 70%, 60% és 55% a övetező évre megújítja biztosítását. a Egy ügyfelet véletlenszerűen iválasztva meora valószínűséggel újítja meg a biztosítást? b Ha egy ügyfél megújítja a biztosítását meora valószínűséggel tartozi az első irodához? 06. Egy üzletbe három helyről szállítana egy terméet, amelyne %-a selejtes. A másodi helyről étszer annyi terméet szállítana, mint az elsőtől. A selejtarány az első helyről származónál 4% a másodinál %, míg a harmadinál minden századi termé selejtes. Egy terméet véletlenszerűen iválasztva mi a valószínűsége, hogy azt a harmadi helyről szállítottá?
07. Egy üzemben három műszaban állítana elő egy terméet amine a %-a selejtes. Az első műsza étszer annyi terméet állít elő, mint a másodi. A selejte aránya az első műszaban % a másodinál 4% míg a harmadinál %. Egy terméet iválasztva meora valószínűséggel észítette a harmadi műsza? 08. A övetező táblázat az autóvezető életor szerinti éves baleseti statisztiáit tartalmazza. életor baleset oozás valószínűsége %-os megoszlás az összes autóvezető özül -0 0.06 0% -50 0.0 45% 5-0.04 5% Ha egy adott évben az autóvezető nem oozott balesetet meora a valószínűsége, hogy 50 évnél idősebb? 09. Egy üzemben három műszaban folyi a termelés. A reggeli műsza 4.00-tól.00- ig tart és itt 4% esély van a gépsor meghibásodására. A délutáni műszaban, ami.00- tól 8.00-ig tart 5% eséllyel történi meghibásodás, míg az esti műszaban, ami 8.00- tól éjfélig tart a meghibásodás esélye 7%. Meora a valószínűsége, hogy ha egy nap pontosan egy meghibásodás történi, aor az a délelőtti műszaban van? 0. Egy alatrészt száz darabos tételeben szállítana. Az egyes tételeben azonos arányban fordul elő három, ettő és egy hibás alatrészt tartalmazó. Mennyi a valószínűsége anna, hogy egy tételből alatrészt véletlenszerűen iválasztva mindettő hibátlan lesz?. Egy vizsgán a hallgató 60%-a első éves, 0%-u másodéves, a többie felsőbb évese. Anna a valószínűsége, hogy egy hallgató vizsgán elért eredménye legalább özepes, rendre 6/5, 9/0, és /5. Ha egy találomra iválasztott hallgató eredménye özepesnél gyengébb, aor mennyi a valószínűsége anna, hogy az illető első éves?. Egy terméet 50 darabos csomagolásban szállítana. Ismert, hogy a csomago egynegyede egy hibásat, mási negyede ét hibásat tartalmaz, míg a többiben nincs hibás. Egy találomra iválasztott csomagból iveszün terméet. Mennyi anna a valószínűsége, hogy mindettő hibátlan?. Egy bizonyos észüléet 0-0 darabos tételben szállítana. A tétele fele csupa hibátlan észüléet tartalmaz, a többi özött azonos eséllyel található vagy hibást tartalmazó tétel. Két észüléet iválasztun egy tételből és mindettőt hibátlanna találju. Mennyi a valószínűsége anna, hogy olyan tételből választottun, amelyben hibás volt? 4
4. Egy géphez szüséges alatrészt ét helyről szerzün be, az egyi helyről szállította hibátlan műödéséne valószínűsége 0,9, a mási helyről származónál pedig 96%. Jelenleg az első típusúból 8, a másodi fajtából darab van összeeverve. Találomra iveszün egy alatrészt. Mennyi a valószínűsége anna, hogy az nem hibátlan? 5. Egy iárusításon részben lejárt tapétaragasztóat árulna. A észlet negyedében a lejárt ragasztó aránya 0%. A észlet 0%-ban illetve 0%-ban rendre 4/5 illetve /4 a nem lejárta aránya. A fennmaradó részben minden harmadi lejárt. Mi a valószínűsége, hogy a teljes áruészletből iválasztva egy ragasztót az lejárt? 6. Valamely üzletbe három termelőtől szállítana egy terméet, amelyne %-a selejtes. A másodi termelőtől étszer annyi terméet szállítana, mint az elsőtől. A selejtarány az első termelőnél 4% a másodinál %, míg a harmadinál minden századi termé selejtes. Egy terméet véletlenszerűen iválasztva mi a valószínűsége, hogy azt a harmadi termelőtől szállítottá? 7. Valamely üzletbe három termelőtől szállítana egy terméet, amelyne 40%-a első osztályú. Az első termelőtől étszer annyi terméet szállítana, mint a másoditól. Az első osztályúa aránya az első termelőnél 0% a másodinál 60%, míg a harmadinál 80%. Egy terméet véletlenszerűen iválasztva mi a valószínűsége, hogy azt a harmadi termelőtől szállítottá? 8. Egy üzemben gépen gyártana azonos típusú csavaroat. A termelés 5%-át az első, 0%-át a másodi, a többit a harmadi gép adja. Az első gép %, a másodi 4%, a harmadi 6% selejttel dolgozi. A teljes termelésből iválasztun egy alatrészt, ami selejtes. Mennyi a valószínűsége anna, hogy nem az első gépen észült? 9. Egy eresedő termelőtől szerez be gyümölcsöet. A vásárolt mennyiség 0%-a az első termelőtől származi, enne fele első osztályú. A másodi termelőtől az összes mennyiség 40%-át szerzi be, enne 70%-a első osztályú, míg a harmadi termelő csa első osztályú árut szállított. Kiválasztun egy gyümölcsöt és az első osztályú. Mennyi a valószínűsége anna, hogy nem a másodi termelőtől származi? 0. Egy alatrészt száz darabos tételeben szállítana. Az egyes tételeben azonos arányban fordul elő három, ettő és egy hibás alatrészt tartalmazó. Mennyi a valószínűsége anna, hogy egy tételből alatrészt véletlenszerűen iválasztva mindettő hibátlan lesz?. Egy vizsgán a hallgató 60%-a első éves, 0%-u másodéves, a többie felsőbb évese. Anna a valószínűsége, hogy egy hallgató vizsgán elért eredménye legalább özepes, rendre 6/5, 9/0, és /5. Ha egy találomra iválasztott hallgató eredménye özepesnél gyengébb, aor mennyi a valószínűsége anna, hogy az illető első éves?. Egy terméet 50 darabos csomagolásban szállítana. Ismert, hogy a csomago egynegyede egy hibásat, mási negyede ét hibásat tartalmaz, míg a többiben nincs 5
hibás. Egy találomra iválasztott csomagból iveszün terméet. Mennyi anna a valószínűsége, hogy mindettő hibátlan?. Egy bizonyos észüléet 0-0 darabos tételben szállítana. A tétele fele csupa hibátlan észüléet tartalmaz, a többi özött azonos eséllyel található vagy hibást tartalmazó tétel. Két észüléet iválasztun egy tételből és mindettőt hibátlanna találju. Mennyi a valószínűsége anna, hogy olyan tételből választottun, amelyben hibás volt? 4. Golyóat helyezün el dobozban: az elsőben 4 fehér és 5 piros, a másodiban 5 fehér és 8 piros, a harmadiban 8 fehér és piros golyó van. Az egyi dobozból találomra iveszün egyszerre golyót. Mennyi anna a valószínűsége, hogy lesz öztü fehér, ha: a a dobozoat egyenlő valószínűséggel választju; b a másodi dobozból való választás háromszor valószínűbb, mint a mási ettőből? c Ha a másodi dobozból való választás háromszor valószínűbb, mint a mási ettőből, melyi dobozból húzun legnagyobb valószínűséggel pirosat? 5. Egy 0 érdésből álló teszt érdéseire a vizsgázó /7 része helyes választ ad, /7 része nem tudja a választ és tippel: 50%-os valószínűséggel találja el a helyes választ. A többie azt hiszi, hogy jó a válaszu, pedig az hibás. Mennyi anna a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen iválasztott vizsgázó legalább nyolc érdésre ad jó választ? 6. Egy gazdaság ét almásertje özül az első negyedaora, mint a másodi. Az elsőben az almá 90%-a első osztályú, a másodiban pedig 5% nem első osztályú. Találomra iválasztun egy almát, ami első osztályú. Mennyi anna a valószínűsége, hogy az első ertben termett? Ha 0 almát választun i, aor mennyi anna a valószínűsége, hogy özülü legfeljebb nem első osztályú? 7. Egy üzemben három gépen állítana elő alatrészeet. Az első gép a teljes termelés minden negyedi darabját állítja elő és itt a termée 0%-a nem első osztályú. A másodi gép a termelés 0%-át adja és az első osztályúa aránya 70%, míg a harmadi gép csa első osztályút állít elő. Mi a valószínűsége, hogy ha egy termé első osztályú, aor az első gép gyártotta? 8. Egy üzemben három gépen állítana elő csavaroat. Az első gép étszer annyit állít elő, mint a másodi, ami harmad annyit, mint a harmadi. A selejtarány rendre %, % és 5%. Mi a valószínűsége, hogy ha egy csavar selejtes, aor a másodi gép gyártotta? 9. Három urnába golyóat helyezün el. Az elsőbe 8 piros, 5 fehér, a másodiba 6 piros, 9 fehér és a harmadiba 0 piros, 7 fehér golyót teszün. Találomra iveszün egyszerre ét golyót valamelyi urnából. Mi a valószínűsége, hogy mindettő fehér lesz? Ha ezt egymás után hatszor megismételjü úgy, hogy a húzás után mindét golyót visszaraju, mi a valószínűsége, hogy legalább az esete felében mindettő fehér lesz? 0. Egy biztosító a biztosítandó festmény esetében vizsgálatot végeztet, mert 5% esélyt lát arra, hogy a ép hamis. A szaértőről, ait bevonna a vizsgálatba, orábbi munái alapján megállapítható, hogy az eddigi 000 esetből ötször tévedett. Négy esetben hamisna állapította meg a festményt, amiről ésőbb iderült, hogy mégis eredeti, míg egyszer eredetine minősített egy hamisítványt. Munája során a téveseel együtt száz hamisítványt leplezett le. A biztosító megvizsgáltatja vele a épet, amiről megállapítja, hogy eredeti. A övetező érdése merülne föl: Mi a valószínűsége, hogy egy eredeti festményről azt állapítjá meg, hogy valóban az? Mi a valószínűsége, hogy 6
egy hamisról azt állapítjá meg, hogy hamis? Mi a valószínűsége, hogy ha azt állapítottá meg, hogy a ép eredeti, aor valóban az?. A leopárd-vadászaton, a vadászt 0, valószínűséggel támadja meg a leopárd, és ilyenor az esete 80%-ban a vadász belehal a sérüléseibe. Vadászat özben egyéb örülménye miatt a vadász 0, valószínűséggel hal meg. Egy alalommal a vadász a vadászat során meghalt. Mi a valószínűsége, hogy leopárd ölte meg? 7