Tetréder 9 788 789 788 Legyenek gömb érintési pontji lpsíkokkl Al, Bl, Cl és Dl ODl9 [ABC] & & ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl Hsonlón beláthtó, hogy AB9 ClDl, AC9 BlDl, AD9 BlCl, BD9 AlCl és DC9 AlBl 789 Külsô pontból gömbhöz húzott érintô szkszok egyenlô hosszúk, így z ábrán egyformán jelölt szkszokr is ez teljesül BE BE BE 5 x; CE CE CE 6 y; DE DE 5 DE 6 z; AE AE AE s AD + BC s + z + x + y; AB + DC s + x + y + z; AC + BD s + y + x + z Tehát három szemközti élpár hosszánk összege egyenlô 790 Egy gömb bármely síkmetszete kör Az oldllp síkmetszeteken z éleknek nem lehet metszetkörrel két közös pontjuk, mert gömbbel is csk egy-egy vn Egy közös pontnk viszont lennie kell, hiszen sík és gömb közös részérôl vn szó Legyen BD közös élen z ABD- be írt kör érintési pontj P, BCD-be írt kör érintési pontj Q P és Q közös pontj BD élnek és gömbnek, ilyen pont pedig csk egy vn & P / Q 79 Rjzoljuk meg z ABD, illetve BCD beírt körét Ezek BD élt P-ben, illetve Q- bn érintik A beírt kör érintési pontjánk helye: BP + b + c + b- c - c, illetve BQ b + d + e b+ d- e - e A feltétel szerint + e c + d & BP BQ Hsonlón beláthtó, hogy szomszédos lpok beírt köreinek érintési pontji z élnek ugynzon pontjár esnek H vn élérintô gömb, kkor nnk középpontj lpsíkokr beírt körök középpontjábn állított merôlegeseken kell legyen AB9 O E és AB9 c & AB9 [O E ; c]; AB9 O E és AB9 d & AB9 [O E ; d] AB-re E -ben csk egy merôleges sík állíthtó, így c és d ebben síkbn vnnk és metszik egymást Legyen c + d M M! c & ME ME 5 ME ; M! d & ME ME ME A két összefüggésbôl 79/I 79/
50 Tetréder 79 79 79 ME ME 5 () és ME ME () következik Az () egyenlôséget vizsgálv: mivel z O -bn állított merôleges is metszené d-t fenti gondoltmenet szerint, így rr metszéspontr M E M E 5 M E 6 dódn, így M -nek és M-nek z E E 5 felezô merôleges síkján kell lenni, mi d-vel csk egy közös pontot dht & Ml / M & ME ME 5 ME 6 Ezt () egyenlôséggel összevetve & M rjt vn z O -ben állított merôlegesen & vn élérintô gömb 79 Az 79 feldtbn láttuk, hogy feltételnek eleget tevô tetrédernek vn élérintô gömbje Ehhez z élérintô gömbhöz z A csúcsból húzhtó érintôk érintô szkszi egyenlôk egymássl Ugynez mondhtó el B, C illetve D csúcsokból húzott érintô szkszokr is Az A középpontú sugrú g A, B középpontú b sugrú g B, C középpontú c sugrú g C, D középpontú d sugrú g D gömbök kölcsönösen érintik egymást: AE 9 E O, mert g élérintô gömb; BE 9 E O, mert g élérintô gömb & e(e ; O) g A és g B gömbök E beli közös érintôje Hsonlón megmutthtó, hogy g A E -bn érinti g C -t és E -ben érinti g D -t A többi gömb páronként vló érintése is ugynígy beláthtó 79 AD BC feltétel mitt DDl9 [ABC] vetítés mitt & DDl merôleges [ABC] sík minden egyenesére & DDl BC Az láhúzottkból & BC9 [ADDl] & BC merôleges [ADDl] minden egyenesére & BC9 ADl & ADl z ABC A-ból induló mgsságvonl Hsonlón megmutthtó, hogy CDl is, BDl is mgsságvonl A háromszög mgsságvonli egy pontbn metszik egymást & Dl mgsságpont z ABC-ben 79 Tekintsük zt z ABCDEFGH prlelepipedont, melynek A; C; F; H csúcsi egyben tetréder csúcsi is AC9 FH és AH9 FC & AC9 BD és AH9 DE & ABCD, illetve ADEH prlelogrmm rombusz & A prlelepipedon egy csúcsb futó élei egyenlôk & A prlelepipedon minden lpj rombusz & A tetréder hrmdik élpárj is merôleges 795 DDl9 [ABC] & DDl AB; CCl9 [ABD] & 795 & CCl AB Az láhúzottk szerint AB merôleges DDl és CCl metszô egyenesek síkjár: AB9 [CClDDl] & & AB merôleges sík minden egyenesére & AB9 CD 796 Tekintsük z 795 ábrát AB9 DC és AB9 DDl & & AB9 [CDDl]&AB9 CDl Legyen AB + e(c; Dl) C & & [ABD] + [CDDl] DC & AB DC AB9 DC és AB9 CCl& AB9[CDCl]&AB9 DCl Legyen AB + e(d; Cl) C & [ABD] + [CDCl] DC & & AB DC Az láhúzottkból C / C, mivel D-bôl ABre csk egy merôleges húzhtó & [DDlC] / [CClD]& & CCl és DDl metszô egyenesek ( CC D mgsságvonli)
Tetréder 5 798/I 798/ 797 Tekintsük z 795 ábrát Az 795 feldtbn láttuk, hogy h DDl + CClYY, 0 kkor DC9 AB Az 796 feldtbn láttuk, hogy h AB9 DC, kkor AAl + BBlYY 0 798 I Megmuttjuk, hogy h egy tetréder ortocentrikus, kkor szemközti élpárji merôlegesek egymásr Az 795 feldtbn láttuk, hogy h CCl metszi DDl-t, kkor DC AB Hsonlón megmutthtó, hogy BD AC és AD BC Az láhúzottk éppen bizonyítndó állítást jelentik Megmuttjuk, hogy h egy tetréder szemközti élpárji merôlegesek egymásr, kkor ortocentrikus Az 796 feldtbn láttuk, hogy h AB9 DC, kkor DDl és CCl metszik egymást, síkjuk z AB élre merôleges és síkmetszet mgsságvonli DDl és CCl testmgsságok & & M DC DCC mgsságpontj Hsonlón beláthtó, hogy M AB z ABA mgsságpontj Vegyük z [ABA ] és [CDC ] síkok metszetét C! AB és A! DC mitt metszésvonl C A szksz DC9 [ABA ] mitt DC9 C A & C A mgsságvonl DCC -ben & M CD! C A Hsonlón beláthtó, hogy M AB! C A Mivel M AB és M CD z AD-re illeszkedô BC-re merôleges, illetve BC-re illeszkedô és AD-re merôleges síkon is rjt vnnk, és ezek metszésvonl biztosn nem C A, így négy sík közös részén is rjt kell legyenek, mi egyetlen pont & A testmgsságok egy pontbn metszik egymást 799 Az 79 ábr jelöléseit hsználjuk Tekintsük zt z ABCDEFGH prlelepipedont, melynek A; C; F; H csúcsi egyben tetréder csúcsi is A szemközti élek merôlegessége mitt ABCDEFGH lpji rombuszok (798 feldt és 79 feldt) Pitgorsz tételét felírv prlelepipedon éle mint átfogó és tetréder két szemközti élének fele mint befogó áltl meghtározott derékszögû háromszögekre: AC HF AF HC AH FC + b + + & A tetréder szemközti éleinek négyzetösszege állndó 800 Az 798 feldtbn láttuk, hogy tetréder mgsságvonli illeszkednek tetréder egyik élén át vele szemben levô élre merôleges síkr (pl DDl benne vn DC-re illeszkedô, AB-re merôleges síkbn) Az AB-re, illetve DC-re illeszkedô ilyen síkok A C metszésvonl átmegy z M mgsságponton és A C 9 AB, illetve A C 9 DC (l z 798 feldt megoldását) A merôlegesség mitt A C z AB és DC élek normáltrnszverzális, mi így átmegy M-en 80 Az 800 feldtbn láttuk, hogy z AB-re illeszkedô DC-re merôleges sík és CD-re illeszkedô AB-re merôleges sík A C metszésvonl z AB és DC élek nor- 800 80
5 Tetréder 80 80 80 máltrnszverzális, és átmegy M-en Jelöljük z AB-re merôleges síkot S AB -vel S AB [DCC ], AB9 S AB & AB9 DC & DC z ABD mgsságvonl, C mgsságtlppont Hsonlón beláthtó, hogy BA BCD mgsságvonl & A mgsságtlppont 80 AAl9 [BCD] & AAl9 BC & AM BC Hsonlón megmutthtó, hogy BM9 AC és CM9 AB A fentiekbôl következik, hogy z ABCM tetréder ortocentrikus DDl9 [ABC] & l AD & MDl z [ABC] síkhoz trtozó mgsságvonl CCl9 [ABD] & CC & ABCD tetréder ortocentrikus & BC AD & CM9 AD & A kétszer láhúzottkból következik, hogy AD9 [BCM] & AD [BCM] síkhoz trtozó mgsságvonl & AD + DDl D z ABCM tetréder mgsságpontj (mivel ortocentrikus, elég egy pár mgsságvonl metszéspontj) Hsonlón láthtó be z állítás többi tetréderre is 80 Tekintsük zt z ABCDEFGH prlelepipedont, melynek A; C; F; H csúcsi egyben tetréder csúcsi is A szemközti élek merôlegessége mitt prlelepipedon lpji rombuszok A prlelepipedon szemközti lpközéppontji tetréder szemközti élfelezô pontji, melyeket összekötô szksz prlelepipedon egyik élével párhuzmos és egyenlô Mivel z ortocentrikus tetrédert mgáb foglló prlelepipedon minden éle egyenlô, ezért tetréder élfelezô pontjit összekötô szkszok is egyenlôk 80 Az 80 feldtbn láttuk, hogy EF GH KL EGFH prlelogrmm átlói felezik egymást, így HG+ EF O pontr OE OG OF OH Az ELFK prlelogrmm átlóink metszéspontj ugyncsk fenti O pont, hiszen EF-nek csk egy felezéspontj vn & & OE OL OF OK Az láhúzottkból OE OG OL OH OK OF & E, G, L, H, K, F egy O középpontú gömbön vnnk 805 Tekintsük z 80 ábrát Az ABC Feuerbch köre átmegy z E, L és G pontokon E, L és G egyértelmûen meghtározzák sját körüket, így gömb és sík metszete csk z ABC Feuerbch köre lehet Hsonlón beláthtó többi lpr is z állítás 806 DDl9 [ABC] & DDl AB ABCD tetréder 806 ortocentrikus & DC AB Az láhúzottkból & & AB9 [DDlC] & DlC9 AB & DlC z ABC C-bôl induló mgsságvonl Hsonlón igz, hogy DlA és DlB is mgsságvonl & Dl z ABC mgsságpontj H felezi AD-t & Hl felezi ADl-t Hsonlón igz, hogy Kl felezi BDl-t és Fl felezi CDl-t E, G, L! [ABC] & E / El, G / Gl, L / Ll Az ABC-ben: El, Gl és Ll oldlfelezô pontok; Kl, Fl és Hl felezik csúcs és mgsságpont közti szkszt & ezek pontok rjt vnnk z ABC Feuerbch körén
Tetréder 5 807 808 807 Az 806 feldtbn megmutttuk, hogy z M mgsságpont [ABC] síkr vetett merôleges vetülete z ABC Dl mgsságpontj OA OB OC mitt Ol z ABC körülírt körének középpontj e(ol; Dl) z ABC Euler egyenese, és z S D súlypont z OlDl szksz Ol-höz közelebbi hrmdolópontj: DS l S Ol Ol, S D, Dl egy egyenesen vnnk Tudjuk, hogy D D S! DS D & O, S, M egy síkbn vnnk, D, M és O pontok áltl kifeszített síkbn, mi merôleges z [ABC] síkr Hsonlón megmutthtó, hogy O, S és M B, M és O pontok áltl kifeszített síkbn is benne vnnk, így két sík metszésvonlán is, mi egy egyenes & O, S, M egy egyenesen vnnk A merôleges vetítés ránytrtó, így MS:SO MlSl SlOl DDlS D -ben: DS : SS D :& DlSl : SlS D :& DS l l SS l D Az láhúzott állításokt vizsgálv: S D Ol DlS D DlSl + SlS D SlS D + SlS D SlS D & S D Ol SlS D SO l l SlS D + S D Ol SlS D + + SlS D SlS D DS l l & Sl felezi z OlDl szkszt, tehát Sl z ABC Feuerbch körének középpontj 808 Az 807 feldtbn láttuk, hogy D, M, S, O pontok z [ABC] síkr merôleges R D síkbn vnnk, és két sík metszésvonl z ABC el Euler egyenese & S D súlypont is z el Euleregyenesen vn & z S D -ben állított merôleges is R D síkbn vn és metszi z e egyenest & R D Az el Euler-egyenes pontjir teljesül, hogy DlS D S D Ol & MR D R D O Hsonlón megmutthtó, hogy többi lpsúlypontb állított merôleges is metszi tetréder Euler egyenesét z MO szksz O-hoz közelebbi hrmdolópontjábn, így R D R A R C R B R R D síkbn: SR SRS D + SMD, mert szögeik páronként egyenlôk (csúcsszögek, váltószögek) & m SM RS D Az 807 feldtbn láttuk, hogy MS SO Fönt megmutttuk, hogy MR RO& MD & MR MO MS & MS + SR MS& SR MS MS RSD m & & MD RSD Hsonlón MS MD beláthtó, hogy MB RS B, MC RS C, MA RS A 809 Felhsználjuk: Egy tetrédernek kkor és csk kkor vn élérintô gömbje, h szemközti éleinek összege páronként egyenlô (789 és 79 feldt) Ortocentrikus tetréder szemközti éleinek négyzetösszege páronként egyenlô (799 feldt) I H ABC szbályos és DA DB DC, kkor szemközti élek összege páronként egyenlô & vn élérintô gömb 809
5 Tetréder 80 8 8 Válsszuk z ábr szerinti jelölést A tetréder ortocentrikus: ( + b) + (c + d) (b + d) + ( + c) () (b + d) + ( + c) ( + d) + (b + c) () () & + b + b + c + cd + d b + bd + d + + c + c & b + cd bd + c & & b $ ( - d) c $ ( - d) & ( - d) $ (b - c) 0 ()-t hsonlón átlkítv: (c - d) $ ( - b) 0 () megoldásár következô lehetôségek vnnk: ) d & () (c - )( - b) 0 & c vgy b b) b c & () (c - d)( - c) 0 & c d vgy c Pl ) esetben, h c : AB + b; BC c + b + b; CA + c ; DA d + ; DB d + b + b; DC d + c & & ADC szbályos: AB DB CB A többi eset is hsonlón beláthtó 80 Felhsználjuk: szbályos tetréder testmgssági egyenlôk és tetréder térfogt V t lp $ M Bontsuk fel tetrédert P pontból induló PA, PB, PC és PD szkszokkl négy TD$ M TD$ m T m T m T m részre V ABCD V ABCP + V BCDP + V ACDP + V ABDP D$ D$ D$ + + + Egyszerûsítés után: M m + m + m + m b $ sind 8 V $ $ c$ sin{ b$ sind $ c$ sin{ # bc sin d #, egyenlôség d 90 6 6 esetén sin { #, egyenlôség { 90 esetén H { 90, kkor DC9 [ABD]&DC9 DB, DC9 AD Mximális térfogt, h D-nél (; b) (b; c) (c; ) 90 8 Pitgorsz-tétel D csúcsú derékszögû -ekre: x + y b (); y + z c (); z + x () () + () + (): (x + y + z ) + b + c ; x + y + z b c + + s ; x + y " ()-be: s - z b & z s - b ; y + z " ()-be: s - x c & x s - c ; z + x " ()-b: s - y & y s - ; V xyz ( s )( s b )( s c - - - ) 6 6 8 8 Legyen DC z ABD mgsságvonl & & DC AB Legyen D pont vetülete [ABC]-r Dl & & DDl9 [ABC]& DDl AB Az láhúzottkból AB9 [DC Dl] Az M C -ben [ABD] síkr állított merôleges benne vn [DC Dl] síkbn & e(m C ; P) merôleges vetülete rjt vn C Dl egyenesen Hsonlón megmutthtó, hogy másik két lpr állított merôleges vetülete is egy-egy Dl-n átmenô egyenes, így metszéspontjuk Dl pont
Tetréder 55 8 85 8 DS C S C E, mert S C súlypont z ABD-ben Az S C -ben állított e merôleges párhuzmos M C P-vel e vetülete e is párhuzmos M C P vetületével C Dl-vel S C z ED szksz E-hez közelebbi hrmdolópontj el z Sl C -re illeszkedô AB-re merôleges egyenes A Dl középpontú rányú középpontos hsonlóság E-t SlC -be, z E-re illeszkedô AB-re merôleges f AB felezô merôlegest e -be viszi Az ABC oldlfelezô merôlegesei egy pontbn metszik egymást & & hsonló képeik, merôleges vetületek is egy pontbn metszik egymást 85 DDlA, DDlB, DDlC, mert mindhárom derékszögû, átfogóik egyenlôk, egyik befogójuk közös & másik befogójuk is egyenlô: DlA DlB DlC & Dl z ABC körülírt körének középpontj 86 Tekintsük z 85 ábrát DDlA, DDlB, DDlC, mert mindhárom derékszögû, átfogóik egyenlôk, egyik befogójuk közös & DDl-vel szemközti szögeik is egyenlôk & b c 87 Bontsuk fel tetrédert beírhtó gömb középpontjából csúcsokb húzott szkszokkl négy részre A kpott tetréderek egy-egy lpj z eredeti tetréderével közös, ehhez lphoz trtozó mgsság pedig r 87 V ABCD $ tabc $ r + $ tbcd $ r + $ tacd $ r + $ tabd $ r r$ A $ r $ AABCD $ tabc $ m $ r $ AABCD & ABCD t ABC m r$ A ABCD r$ A ABCD Hsonlón i t BCD, i t m ACD, i t m ABD r$ A ABCD r$ A ABCD A m ABCD t ABC + t BCD + t ACD + t ABD + m r$ A ABCD r$ A ABCD r$ A ABCD AABCD + + + + m m m r$ AABCD m + + + & + + + m m m r m m m m 88 Bontsuk fel tetrédert P-bôl csúcsokb húzott szkszokkl négy részre V V ABCD $ tabc $ m ; V V $ tabc $ d & d Hsonlón megmutthtó, V m 88
56 Tetréder 89 80 V d hogy V d, V, V m V m V d & d + d + d + m m m m d V V V V d + + + d + d + d + m V V V V m m m m 89 Vetítsük D és O pontokt z [ABC] síkr & D*, O* OO*Dl + DD*Dl, mert OO * ODl szögeik egyállásúk & m V DD * DDl ABCD $ tabc $ DD*; V ABCO $ tabc $ OO* & V OO * ODl & ABCO V OCl Hsonlón megmutthtó, hogy ABDO V OAl, BCDO, V ABCD DD * DDl V ABCD CCl V ABCD AAl V OBl ACDO OAl OBl OCl ODl VABCO+ VBCDO+ VACDO+ VABDO + + + V BBl AAl BBl CCl DDl V ABCD 80 OCl i DC & O, Cl, C, D egy síkbn vnnk & síkjuknk z [ABC] síkkl vló metszésvonl OC, z [ABD] síkkl vló metszésvonl DCl & DCl és OC egyenese z [ABC] és [ABD] síkok AB metszésvonlán metszik egymást & Cll! AB OCl i DC mitt CllOCl + CO l CO ll m + CllCD, mert szögeik egyállású szögek & m t ABO Hsonlón beláthtó, hogy és + + + + DB t DC CC ll m c t ABC BO l t ACO AO l tbco CO l BO l AO l t ABO t ACO tbco ABC DA t ABC DC DB DA t ABC t ABC t ABC t ABC t ABC 8 Legyen CD felezôpontj E, vizsgált sík z [ABE] E felezi DC-t & BE súlyvonl BCD-ben & tbce tbed Az ABED tetréder [BED] lphoz trtozó mgsság egybeesik z ABCE tetréder [BCE] lphoz trtozó mgsságávl (A-ból [DBC] síkr bocsátott merôleges) V BECA $ tbec $ M A $ tbed $ M A V BEDA 8 Tekintsük z 807 ábrán DDlS D háromszöget Felhsználjuk: tetréder súlypontj súlyvonl oldlhoz közelebbi negyedelôpontj Vegyük D csúcspont és z S súlypont [ABC] síkr vetett merôleges vetületét " DlSl DDlS D + SSlS D, mert szögeik egyállásúk & m DS DDl D DSD SS SS D SSl D -t felhsználv DDl SSl V ABCD $ tabc $ DDl $ tabc SSl $ $ tabc $ SSl V ABCS Hsonlón megmutthtó, hogy sulypont többi lppl is negyedkkor térfogtú tetrédert lkot, mint z ABCD tetréder ABCD &
Tetréder 57 8 8 b$ c$ sin 8 V $ ta B C$ M $ $ d$ sinf $ b$ c$ d$ sin$ sinf 6 V $ b$ c$ d$ sin$ sinf b c d Hsonlón V $ b $ c 6 $ d $ sin $ sin f 6 $ $ V b$ c$ d $ b$ c$ d$ sin$ sinf 6 c$ mc 8 V $ TA B C$ M $ $ m d $ sin{ c $ m c $ m d $ sin{ Hsonlón V 6 V c m m c m c m $ c $ $ d c $ $ d T T c$ mc $ md $ sin{ A B C$ A B D 6 V c$ mc $ md TA B C$ T A B D c$ mc $ c$ m d 85 Az ABCD tetréder DS D súlyvonlát z S súlypont : ránybn osztj & Az S középpontú (-) rányú középpontos ngyítás S D -t D-be viszi, tehát z [ABC] síkot D-n átmenô, vele párhuzmos síkb Hsonlón többi oldllpr is megfelelô ez hsonlóság, tehát feldtbn megdott tetréderhez vezet & ABCD + AlBlClDl és m (-) & V V ABCD ABCD l l l l m 7 F 86 ABCD l l l A levágott tetréder D középpontból középpontosn hsonló z eredetihez: m & Ml $ M M F FABCD Ml FABCD l l l ABCD 85 86
58 Tetréder 88 V 87 Tekintsük z 86 ábrát ABCD l l l q & V ABCAB l lc l & V AlBlClD q $ V ABCAlBlCl A levágott tetréder D középpontból középpontosn hsonló z eredetihez Ml V ABCD l l l m M V + V ABCAlB lc l AlBlC ld q$ VABCAB l lc l q VABCAB l lc l+ q$ VABCAB l lc l q + V 88 Az 8 feldtbn láttuk, hogy V V V $ b$ c $ b$ c A mrdék test térfogt: V V - V V - $ b $ c b c $ $ $ b$ c- $ b$ c V $ b$ c- $ b$ c $ V $ b $ c V $ b $ c $ V A BC D A BC D 89 Tekintsük z 79 ábrát Az F csúcsból induló lpátlók (FA; FC; FH) tetréder élei Ezeknek F-tôl különbözô végpontjit összekötô szkszok: AC ABCD lp átlój; CH CDHG lp átlój; AH z ADHE lp átlój 80 Az 79 ábr jelöléseit hsználjuk Az A csúcsból kiinduló lpátlók meghtározzák z ACFH tetrédert Ugynehhez tetréderhez jutunk, h C; z F; illetve H csúcsból induló lpátlókt tekintjük A kihgyott négy csúcs (B; D; E; G) bármelyikébôl indulunk ki, BDEG tetrédert kpjuk 8 Az AB élre DC-vel párhuzmos síkot fektetünk A DC élre AB-vel párhuzmos síkot fektetünk & Ez két sík párhuzmos egymássl Hsonlón párhuzmos egymássl BC-re és AD-re; illetve BD-re és AC-re fektetett két-két sík Két-két-két párhuzmos sík áltl meghtározott test egy prlelepipedon, síkok közül három-háromnk közös pontj tetréder négy csúcs & Ez egy tetréder köré írhtó prlelepipedon 8 H egy prlelepipedon egy tetréder köré írhtó, kkor tetréder egyik élét trtlmzó lpj párhuzmos kell legyen szemközti lppl, zz z zon lévô éllel is & A tetréder köré írhtó prlelepipedon z 8 feldtbn ismertetett eljárássl létrehozhtó, z pedig egyetlen testet htároz meg 8 A kockáb írt tetréder minden éle kock egy lpátlój A kock lpji egybevágók & & lpátlói egyenlôek, tehát tetréder minden éle egyenlô 8 A szbályos tetréder köré írhtó prlelepipedon szemközti lpji olyn prlelogrmmák, melyeknek két átlój egyenlô hosszú & Tégllpok, tehát test tégltest Vetítsük tetrédert és köré írhtó tégltestet merôlegesen vlmelyik lpjánk síkjár! Mivel szbályos tetréder szemközti élei merôlegesek egymásr, tégltest lpjink átlói is merôlegesek egymásr & Minden lpj négyzet, zz szbályos tetréder köré írhtó prlelepipedon kock 85 Mind nyolc csúcsnál egy-egy egyenlô szárú derékszögû háromszög lpú tetrédert vágunk le, mgsságuk egyben z élük V kock 6 6 cm Egy levágott csúcs térfogt: 9 V l $ $ cm V V kock - 8Vl 80 cm
Tetréder 59 86 Felhsználjuk: A szbályos tetréder mgsságtlppontj z oldllp súlypontj & S D C Pitgorsz-tétel DS D C-re: M - & M 6 $ 6 V $ $ ; F $ $ $ ) 8,6 cm; V 5 $ á 7, 96 cm ; F 7,96 $ á á 8, cm b) cm; V 768 á 0,008 m 8, dm ; F 6 á 0,08 m 0, 8 dm 87 A szbályos tetrédert mgáb foglló prlelepipedon egy kock A tetréder körülírt gömbjének középpontj kock középpontj, sugr kock testátlójánk fele: R $ 6 $ 88 A szbályos tetréder térfogt: V $ $ A térfogt másképp: V V ABCO $ $ $ r $ r Akettôt összehsonlítv: $ $ $ 6 r & r 89 Az egymást páronként érintô gömbök középpontji egy R élû szbályos tetréder négy csúcsábn vnnk A belülrôl, illetve kívülrôl érintô gömbök koncentrikusk, középpontjuk tetréder középpontjávl zonos Az érintkezés feltétele: r b + R r k A szbályos tetréder köré írhtó gömb sugr z 87 feldt eredményébôl R 6 R 6 Az ábr szerint R 6 rb+ R& rb 6-6 R és rk R + A térfogtok rány: V J b r N J N b 6 K - O V K k r O b5-6l k K 6 + O 86 87 88 89
60 Tetréder 8 80 Az 86 feldtbn láttuk, hogy szbályos tetréder mgsság: M 6 M M 6 Ebbôl 6 $ 6M M $ V $ $ M $ $ $ M 8 8 A szbályos tetréder mgsságtlppontj z oldllp súlypontj & S D C A DSD C-ben sin { & { 5, 6 A DS D mgsság DB és AD éllel is { szöget zár be, AB, AC és BC élekre pedig merôleges, mert merôleges síkjukr 8 Tekintsük z 8 ábrát A szbályos tetréder mgsságtlppontj z oldllp súlypontj & FS D FSD D derékszögû háromszögben: cos f 6 & f 70, 5 6 8 Az 86 feldtbn láttuk, hogy szbályos tetréder térfogt: V $ & V 0 $ Az 88 feldtbn láttuk, hogy beírt gömb sugr: r 6 0 6 5 6 H lpokt cm vstgságbn csiszolják le, kkor beírt gömb sugr cm-rel csökken: 5 6 J N K 5 6 O rl - K O cm; l r l $ - 6 b0-6 6 l cm; 6 6 L P b0-6 6 l $ Vl ; V 0 -b0-6 6 l 0 -b0-6 6 l m V $ u $ $, 8 $ ; ; m á 776,97 g á 77, kg
Gúl 6 Gúl, csonkgúl Gúl 8 Az oldllpok területösszege ngyobb, mint z lplp síkjár esô vetületeik területösszege, hiszen t i l t i $ cos < t i (hol z oldllp és z lplp szöge) A vetületek területösszege pedig nem kisebb z lplp területénél t lplp # t l + t l + + t n l t $ cos + t $ cos + + t n $ cos n < t + t + + t n (Az lplp területe kkor egyenlô vetületek területének összegével, h mgsság tlppontj z lplp belsô pontj) m m 85 ATM és BTM derékszögû háromszögben: sin és sin b & $ sin m b $ sinb & b b sinb A bizonyítás független ttól, hogy T tlppont z lpsokszögnek sin belsô pontj-e, vgy sem 86 A szbályos n oldlú gúl mgsságánk tlppontj z lplp köré írt kör középpontj PA i T-ben T-nél derékszög vn, ezért PA i > A i T, zz n > R Adott R esetén n + < n, és mivel 6 R, csk <n<6 lehetséges & n! {; ; 5} 87 Egy síkot párhuzmos síkokkl metszve metszésvonlk párhuzmosk: Sl i S & AlBl i AB, BlCl i BC, Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételét z AMB AB és AlBl szelôire: AlM : AM BlM : BM! Hsonlón többi lp M-be futó éleire: BlM:BM ClM : CM DlM : DM Az rányok egyenlôségébôl visszjutunk z A ponthoz Ez zt jelenti, hogy z Al pont z A pont M-re vontkozó középpontos hsonló képe, Bl B pontnk, Cl C pontnk és így tovább & Az Sl síkbeli metszet z lpsokszög M középpontú hsonló képe 88 Hsználjuk z 87 ábr jelöléseit! Az 87 feldtbn láttuk, hogy gúl lplppl párhuzmos síkmetszetei hsonlók z lpsokszöghöz, ezért egymáshoz is Hsonlóságuk AB l l MBl MTl rány: m, hol Tl, illetve T síkokr z M csúcsból állított merôlegesek tlppontji & m t K AB MB MT t J ABCD l l l l f MTlN ( MTl) ABCDf MT O MT 85 86 87
6 Gúl, csonkgúl 85 89 Legyen z lplpok területe t és t, síkmetszetek tl J MT l N területe t l és t l! Az 88 feldtbn láttuk, hogy t K MT O tl J MTl N és t K MT O A feltételek szerint t t, M T M T, J MT l N T T l T T l, ezért M T l M T l &tl t$ K MT O J MTl N t $ K tl MT O 850 Legyen gúl mgsság m, csúcshoz közelebbi síkmetszet területe tll, távolbbié tl! J mn J mn tll Az 88 feldt lpján tll : tl : t : : m K : : O K O & tll $ 900 9 9 t 9 9 tl 00 cm ; t 900 00 & l $ cm t 9 9 tl J mln tl tl 85 Az 88 feldt szerint & ml m $ m t K m O, hol ml csúcs és t t m m metszô sík távolság ) tl t& ml 0 cm b) tl t& ml 0 cm 85 A szbályos gúl minden oldllpj ugynkkor szöget zár be z lplppl Egy oldllptól mért távolság d v $ sin (T PT l derékszögû háromszög) Az oldllpoktól mért $ vi távolságok összege, felhsználv, hogy ta A P t i i i következô: d + + d + + d n J t t t N n v $ sin + v $ sin + + v n $ sin sin $ (v + v + + v n ) sin $ + + f + K O L P sin t lp $ sin ( t+ t+ f + tn) állndó 85 Tekintsük z 8 ábrát! A mgsság tlppontj z ABC S D súlypontj, ezért J N FSD FC $ Pitgorsz tétele z FS 6 D D-re: m m m K O + + K 6 O J N Pitgorsz tétele z AFD-re: b m + K m + + 85 O + m + Az oldlél: b m + 85 AC z ABCD négyzet átlój, ezért AC & AC & ATE derékszögû háromszögre Pitgorsz tétele:
Gúl 6 b - M b AT + M & AT b - M & AC AT b - M & $ ( b - M ) z lpél 855 Tekintsük z 8 ábrát A mgsság tlppontj z ABC S D súlypontj, ezért FSD FC $ Pitgorsz tétele z AFD- 6 J N re: b FD + K & FD O b - Pitgorsz tétele z J FS D D-re: DS D DF - FS D b N K - O- b - & K O & DSD b - 9, 6 cm 856 Az lplp szbályos htszög, ezért ABK szbályos & KB Pitgorsz tétele CKB derékszögû háromszögre: o - M & 05, cm 857 KFC derékszögû háromszögben KF : cm; M 6,6 ; cos & m á,7 cm; tg & m M á á, 6 cm ABC egyenlô szárú & F felezéspont esetén AFC derékszögû Pitgorsz tétele szerint: o m + & & o á 7, 07 cm 856 857 858 Döntsük gúlát z egyik oldllpjár! Ágyzzuk be testet egy kockáb! H z lpélek hosszúságúk, kkor z oldlélek (egyben kock élei) hosszúságúk A D csúcsnk z lpr vetett merôleges vetülete z oldlú szbályos háromszög S súlypontj Az oldlél és z lplp szöge DSC derékszögû háromszögbôl számolhtó: cos : 858/I 858/ 858/I
6 Gúl, csonkgúl 859 6 & 5, 6 Az oldllp és z lplp szöge DSF derékszögû háromszögbôl számolhtó: cos b : 6 & b 5, 7 DS testmgsság z FSD-re felírt Pitgorsz-tételbôl: M M 6 - & 6 6 859 ) Pitgorsz tétele KFE derékszögû háromszögre, hol KF ; EF ; KE M M M - & b) oldllp és lplp szöge KFE derékszögû háromszögben: cos : & & 5, 7 c) oldlél és lplp szöge z AKE derékszögû háromszögben: AK ; EK M & & háromszög egyenlô szárú & b 5 860 Tekintsük z 8 ábrát! A D pont [ABC] síkr vetett merôleges vetülete z ABC súlypontj, ezért BCD lpsíkr vetett merôleges vetülete BCS D Jelöljük z lplp t területét t-vel! tsd BC súlypont tuljdonság mitt, t BCD t feltétel mitt A vetület területe z eredeti terület cos f-szoros, zz t t $ cos f & cos f 0,5 & f 60 86 A gúl felszíne: A + m A feltétel szerint A :,56, zz ( + m): m,56 & 0,78 Hsználjuk z 86/I ábr jelöléseit! ) KEF derékszögû háromszögbôl: cos : m 0,6 & á 50, z oldllp és z m lplp szöge 86/I 86/
Gúl 65 m bmb b) EBC oldllp területe kétféleképpen: & m { & mb Vegyük BDT síkmetszetet! sin : m b b m b : $ b m Az EFB derékszögû háromszögre írt Pitgorsz-tételbôl: b m b b + & + + & 8, & m m 078 $, m { sin 0, 899 {, 6 & & 86 Legyen gúl lpéle b! Helyezzük rá egy b élû kock lplpjár gúlát! Tekintsük kockánk z 86 ábrán láthtó ABCDEFGH részét, mi egy b élû kock! A BH testátló merôleges z [ACF] síkr, és zt z ACF Q súlypontjábn metszi & AQC 0 & A H pont gúl csúcs & A gúl mgsság b 6 cm 86 Az 86 ábr szerint z FC oldlél szögét keressük különbözô lpélekkel eset: BC és DC lpélekkel: 60 eset: AB és ED lpélekkel ugynkkor szöget zár be Felhsználjuk, hogy szbályos ötszögben z ED oldl párhuzmos z AC átlóvl, AB oldl pedig párhuzmos z EC átlóvl AB és FC kitérô egyenesek szöge egyenlô z EC és FC metszô egyenesek szögével Vegyük z ECF síkmetszetet, mi egy egyenlô szárú háromszög, lpj z EC átló, szári z EF és FC egyenlô élek! Ez háromszög egybevágó z ECD-gel, mert EC oldluk közös, másik két oldluk pedig hosszúságú EDC 08 & ECD DEC 6 & (AB; FC) (ED; FC) 6 eset: EA lpéllel Vegyük gúl [FKC] síkkl vló tengelymetszetét! FK merôleges z lpsíkr, ezért merôleges nnk minden egyenesére & FK EA KC egyenes z ötszög szimmetritengelye, ezért KC EA Az 86 láhúzottkból következik, hogy EA9 [FKC] & EA merôleges [FKC] minden egyenesére & EA9 FC, tehát EA és FC élek szöge 90 86 EBC derékszögû, mert BC AB (ABCD tégllp), EA9 [ABCD] & EA BC Az láhúzottkból következik, hogy BC9 [EAB] & BC9 EB EBC-ben 60 és 0 hegyesszögek & & EC BC és EB $ ; AD AE feltétel mitt M Pitgorsz tétele z ABE derékszögû háromszögre: EB AB + + AE, zz + & & M cm 865 A síkmetszet z ACGF húrtrpéz FG középvonl z EDS-nek, ezért FG CG CDS súlyvonl, ezért CH : HD : Pitgorsz tételét lklmzv GHD, mjd GHC derékszögû háromszögben: GH GD - HD b J N J N K - O K O és 86 86 865
66 Gúl, csonkgúl GC GH + HC b J N J N J N b - + + K O K O K O AC egy oldlú szbályos ötszög átlój, b+ 5l AC - FG 5 ezért AC ACGF húrtrpézbn TC GTC derékszögû háromszögben Pitgorsz tétele: GT GC - CT b + 6 t ACGF ( AC FG) GT + $ b+ 5l$ $ b + síkmetszet területe 6 866 ) A á 68 cm b) A á 09, 5 cm c) A á 85, 6 cm d) A á 65, 5 cm 867 5,7 m ónlemez szükséges 868 ) V á 6, 97 dm b) V, 9 dm c) V á 0, 0 m d) Tekintsük z 85 ábrát Legyen 56 cm, b 78 cm! Pitgorsz tétele TEC-re, hol TC J N 56 $ 56 & M 78 K $ O - & K O M á 67, cm V $ 56 $ 67, 70 8 cm 70, 8 dm e) Tekintsük z 856 ábrát, legyen 5,9 cm, o, cm! KAB szbályos, ezért KB 5,9 cm 59, $ Pitgorsz tétele CKB-re: M, - 5,9 & M á 0,8 cm V $ 6 $ $ 0, 8 5, 6 cm 869 Tekintsük z 85 ábrát, legyen AC e és b! e 6cm& cm Pitgorsz tétele z ETC-re: M b l - & M cm V $ b l $ 8cm és b l $ A b l + $ 8 b + l cm 870 Tekintsük z 8 ábrát, legyen x cm, y cm, z 8 cm! $ 8 V 5 $ $ cm Pitgorsz tétele z ABD, BCD, illetve CDA derékszögû háromszögekre: AB + 8 & AB 6 $,6 cm BC 8 + & BC á 6,7 cm AC + & AC á,8 cm ABC-ben s 6, cm, ezért Heron-képlet felhsználásávl $ 8 8 $ $ 87 t ABC 6,7 cm & A + + + tabc 95, 7 cm 87 A feltétel szerint z oldllpok olyn egyenlô szárú háromszögek, miknek szárszöge 5, lpj 8 cm Az oldllpok mgsságár: tg,5 m & m á 9,66 m Pitgorsz tétele KFE-re (87 ábr): M 9,66 - & M 8,79 cm & & V $ 8 $ 8,79 á 87, 5 cm
Gúl 67 87 ) Tekintsük z 87 ábrát, legyen 7 cm! 87 m A A + $ & m - 5, 9 cm Pitgorsz tétele KFE derékszögû háromszögre: m M M m + & - 5, 5 cm V M 5, 8 cm b) Tekintsük z 856 ábrát, legyen 5,5 cm! J N m A- K O A 6 $ + & m 7 cm ABK szbályos, ezért KF cm Pitgorsz tétele KFC derékszögû háromszögre: m M + KF & K O L P 55, $ & M m - KF 0, 7 cm V $ 6 $ M 80, 58 cm 5 c) Tekintsük z 87 ábrát! ABK egyenlô szárú, szárszöge 5, ezért tg & x & x & tg, 5 x 5,67 cm& t 7, $ 567, 8 $ 06, 56 cm, vlmint A t lp lp + 8 $ t oldllp & 7, m & 7 06,56 + 8 $ & m 8,79 cm Pitgorsz tétele KFC derékszögû háromszögre: m M + x & M m - x 6,7 cm V $ tlp $ M á 8, 9 cm 87 ) Tekintsük z 87 ábrát, legyen 6, cm! V $ M & M V : 0, cm Pitgorsz tétele z EKC derékszögû háromszögre, melyben KC & o M + & & o 0, 58 cm b) Tekintsük z 87 ábrát! ABK olyn egyenlô szárú háromszög, minek szárszöge 7, ezért x 9 tg 6, 9 x, 5 $ $ M & 5,7 cm V $ tlp $ M & x tg6 87 & M 5, cm; ABK-bôl KB x + 6,6 cm Pitgorsz tétele KBC derékszögû háromszögre: o 5, + 6,6 & & o 6, 68 cm c) Tekintsük z 856 ábrát, legyen 5,9 cm! V $ 6 $ $ M & V & M 7,7 cm; ABK szbályos, ezért KB 5,9 cm Pitgorsz tétele KBC derékszögû háromszögre: o M + & & o 8, 66 cm
68 Gúl, csonkgúl 87 87 Legyen gúl lpéle, mgsság M, keresett távolság m GT! A síkmetszet z ABGH húrtrpéz ABCDE gúl térfogt: V M; ABCDGH test tér- fogt: V M ABCDGH test felbonthtó egy 6 háromszög lpú hsábr (QRGPSH) és két egybevágó tégllp lpú gúlár (APSDH és QBCRG) A hsáb térfogt: V $ GH $ GH A tégllp lpú QR $ GT m AB-GH gúl térfogt: V QB$ BC$ GT $ $ m ( GH) m - GH EK -GT GH M m Az E középpontú hsonlóság lpján: & - & 6 DC EK M J ( M- m) N - $ m ( M- m) m ( M m) M M - K O & GH V M + V 0,5 V & $ + $ L P & M 6 6 5 & m - mm+ M 0 & m + 5 M> M, ez nem lehet m - $ M keresett távolság 875 Az 875 ábr jelölései szerint: 7 8l,,56 m AKE derékszögû háromszögben 56, $ M AK 8, m és tg7 8l & 8 M 5,7 m V M, 5 m, 876 Tekintsük z 8 ábrát, legyen b c,5 cm, x y z! Döntsük gúlát z egyik oldllpjár! Az oldllpok olyn egyenlô szárú derékszögû háromszögek, miknek,5 cm z átfogój & o, 5 5, $ 5, o o A + $ 76, cm és V $ $ o 6 097, cm 877 Tekintsük z 877 ábrát, legyen dm, b 75! KAB olyn egyenlô szárú háromszög, minek szárszöge 5, ezért tg & x,8 dm & t 5 x x tg, 5 lp 8 $ 875 877
Gúl 69 77,5 dm ABC olyn egyenlô szárú háromszög, minek lpon fekvô 879 m tg75 szöge 75, ezért tg 75 & m 7,6 dm & t oldllp m,9 dm A t lp + 8t oldllp 96,68 dm Pitgorsz tétele KFC derékszögû háromszögre: M + x m & M 5,68 dm; V $ t lp $ M 6, m 878 Tekintsük z 877 ábrát! M 7,65 m; KA r,5 m KAB olyn egyenlô szárú háromszög, minek szárszöge 5, ezért t lp r sin5 8 $ 8, 06 m & V tlp $ M 5, m 879 Tekintsük z 879 ábrát! A A,9 cm; KFC 87 l Az lplp köré írhtó kör középpontjából csúcsokhoz vezetô sugrkkl db olyn egyenlô szárú háromszögre bonthtó, melyek szárszöge 5 KFA 9 derékszögû háromszögbôl: tg 7,5, & KF 7, cm KF M CKF derékszögû háromszögbôl: tg 87 l & 7 M 6,5 cm t, lp 9, $ 7, $ 6,9 cm & V $ tlp $ M á 809,8 cm á 80, dm 880 Hsználjuk z 87 ábr jelöléseit! V 86 cm ; : M :, ezért M; V M $ M M & 86 M & M 8 cm & cm Pitgorsz tétele 9 7 7 CKF derékszögû háromszögre: m M + &m 6 0 á 8,97 cm; m A 0 0 cm + $ + b + l 599, 7 cm 88 Az 87 ábr jelöléseivel: M $ & V $ M & V 75, m& M 0,6 m Pitgorsz tétele KFE-re: m M + & m 0,78 m; m A + $ 9, 9 m 88 Az 87 ábr jelöléseivel: Az oldllpok szbályos háromszögek, ezért m Pitgorsz tétele KFC derékszögû háromszögre: m M + & M - ; 6V V M $ & 6 cm 6
70 Gúl, csonkgúl 88 885 88 Hsználjuk z 875 ábr jelöléseit, legyen 6 0l, V,86 cm! AKE derékszögû háromszögben AK M ; tg tg 6 0l M & tg 6 0l; V M $ $ $ tg 6 0l& 6V tg 6 0l 7, m J 5 N 875 88 Pitgorsz tétele DFC derékszögû háromszögre: m + K 5 & m dm O J 7 N 875 Pitgorsz tétele KFD derékszögû háromszögre: M + K & M, 7 dm O ; V $ 7 $ 5 $,7 á 67, 65 dm 56 885 KAB olyn egyenlô szárú háromszög, minek szárszöge 7 & sin 6, & r á r á, cm CKB derékszögû háromszögben: tg { tg 7 5l, $ sin7 V t lp $ M $ 5 $ M, & M,7 cm; $,7 á 5,99 cm & m $ V 7, $ 5,99 á, g 886 Az 87 ábr jelöléseit hsználv: t lp 0 cm & cm & V $ tlp $ M 6, 7 cm Pitgorsz tétele KFE derékszögû háromszögre: m 6 + 6,7 & m m,96 cm & t plást $ á 69,58 cm á, 7 dm 887 Az 87 ábr jelöléseit hsználv: 5 cm,5 dm V tömeg : sûrûség,96 dm ; V $ tlp $ M &,96 V $,5 $ M & M á 0 dm 888 Tekintsük z 856 ábrát, legyen,5 cm, m 9 cm! ABK szbályos, ezért KF 5, J cm Pitgorsz tétele KFC derékszögû háromszögre: 9 M + 5, N K O & K L O P 5, $ & M á 8, cm; V 6 $ $ $ 8,, 7 cm
Gúl 7 889 890 V 889 M 9 cm; V 6,5 cm ; t ACE 6,7 cm V $ tlp $ M & t lp M 0,8 cm ; t ACE e $ M t & e ACE 8,6 cm; t M lp e $ f t & lp f 5, cm ABK derékszögû háromszögben tg { : 0,66 & { & Az lplp egyik szöge 6 Pitgorsz e f e f e tétele z ABK-re: e f J N J N K + O K O & 8, cm 890 M cm; m, cm; t 60 cm Az lppl párhuzmos sík egy, z eredetivel M- m m, 7 hsonló gúlát metsz le gúlából m - - A levágott gúl térfogt: Vl t(m - m) 96 cm Hsonló testek térfogtánk rány: m & V M M 0 V l V l 96 $ 0 & V V 0 57, & $ cm m 7 7 89 Az lplp átlój z ABC derékszögû háromszögbôl Pitgorsz tételével: e 6 + 8 & & e 0 cm Pitgorsz tétele KCE derékszögû háromszögre: M + 5 & M cm Az AlBlClDl sík egy, z eredetivel hsonló gúlát metsz le gúlából A két gúl térfogtánk V l M- h h h rány: & m, másrészt m - A kettôt összevetve: - V M M J N & h $ K - O cm, 8cm K O 89 89 A csúcshoz közelebbi sík egy olyn gúlát metsz le, mely hsonló z eredeti gúlához Térfogtuk rány: V m 5 m & m & & m, cm V M A csúcstól távolbbi sík is egy olyn gúlát metsz le, mely hsonló V l z eredeti gúlához Térfogtuk rány: m & V ml & m & & ml 5 $ 9, cm M
7 Gúl, csonkgúl 89 Csonkgúl A csúcstól számított második test mgsság: m ml - m á 8, cm A csúcstól számított hrmdik test mgsság: m M - ml á 569, cm 89 A kock fedôlpjánk síkj egy, z eredetivel hsonló gúlát metsz le A lemetszett gúl mgsság m 6 -, lpéle A hsonlóság rány: m, másrészt m - & 6 6 6 - &, dm & V, 8 dm 6 89 Legyen PQHE csonkgúl lpsíkr merôleges metszete & EP9 AB & EP m z ABFE oldllp mgsság A feltétel szerint: + b + b $ $ m & + b m ( + b) J b Pitgorsz tétele PTE-re: M + - N ( b) K m O, zz M + - ` + b j ( + b) b ` + j _ - bi $ _ + bi b ` + j -` -b j & M - _ + bi _ + bi _ + bi b b b b ` + + - j` + - + j $ b b & M _ + bi _ + bi + b 895 Az 89/I ábr jelöléseivel: M 5 cm; 55 cm; b cm Vegyük csonkgúl EH élre illeszkedô, lpsíkr merôleges metszetét! A síkmetszet olyn húrtrpéz, minek szári csonkgúl oldllpjink mgsságávl egyenlôk, mgsság pedig testmgssággl Az 89/ ábrát tekintve: PT (55 - ) :,5 cm Pitgorsz tétele PTE-re: m,5 + 5 & 55 + & m 5,6 cm A 55 + + $ $ 5,6 á 6, cm á, m 5 V $ (55 + 55 $ + ) á 00 689, cm á 00, 69 dm & 89/I 89/
Csonkgúl 7 896 897 896 Tekintsük csonkgúl kiegészítô gúláját! Az egyesített test hsonló kiegészítô PS - PT PT gúlához A hsonlóság rány: m - Az lp háromszög súlypontj S, PS PS 9 tehát PS, 5 0 0 QPT 60 és QT 0 cm & QP és PT & m 6 0 9, 5 95, 95, - : Afedôlp és z lplp hsonlóságából b m $ $ 9,5 6 9, 5 9, 5 9, 5 95, 9, 5 + 9, 5 0 9,5 cm A + + $ $ cm, dm J 0 9, 5 9, 5 9, 5 95, N K $ O V $ + + 869, cm 8, 69 dm K O L P _ 8 897 Az oldllpok mgsság Pitgorsz tételével: m,8 -, -, i & m,77 m, + 8, Al, + $ $,77 á, 06 m 898 Vegyük csonkgúl olyn tengelymetszetét, mi z lplp egyik szimmetriátlójár illeszkedik! Ez síkmetszet egy olyn húrtrpéz, minek mgsság testmgsság, szári csonkgúl oldlélei, lpji z lpél, illetve fedôél kétszeresei Legyen 7, cm, 898/I 898/
7 Gúl, csonkgúl 90 b,8 cm, M 7, cm! Pitgorsz tétele z 898/I ábrán kiemelt háromszögre: o 7, +, - 8, i & _ 7 & o 7,5 cm Számítsuk ki egy oldllp mgsságát! Pitgorsz tétele z 898/ ábrán kiemelt háromszögre: m 7,5 -, -, i & m 7,8 cm _ 7 J N K 7,, 7, +, O A 6 $ + + $ 78, K O L P 87, cm J N 7, K 7, 7, $, $, O V 6 $ $ + + 8, 55 cm K O L P 899 V b5 + 5t + tl 96& b tl + 5 t - 0 0& b t l < 0, ez nem lehet b t l & t m 900 Tekintsük z 89/I ábrát, legyen cm, b 9 cm! A + b + $ + b $ m, zz 87 + 9 + 8 m & m á,56 cm Az 89/ ábr szerint Pitgorsz tétele kiemelt háromszögre: M m - b J - N K O & M á 8, cm; V M c + b + b m M` + b+ b j& V á 869, cm á 87, dm 90 K középpontú hsonlóság mitt m :8 m : e m : ; m m + 0 & m :8 (m + 0) : & m 0 cm & m 0 cm V m t $ 0 $ 8 á 6,7 cm és V m t $ 0 $ 0 cm &V V + (V - V ): 9,5 cm V : V m : m & V m & m $ m á 5,96 cm & d á 0, cm e :8 m V : m & e 8 $ á 0, 8 cm m 90 eset: medence tele vn T 96 m ; t 9 m ; m 6m& V 686 m eset: medence félig vn t 9 m ; m m A felsô lp éle ekkor z oldllp trpéz középvonl & A felsô lp egy ( + 7) : 0,5 m oldlú négyzet, ezért területe T 0,5 m & & V, 75 m
Poliéderek, szbályos testek 75 90/I 90/ 90 A 90/I és 90/ ábr jelöléseivel: ARP + ASD, mert szögeik egyenlôk, ezért oldlik rány egyenlô mgsságik rányávl: x 50 00 66 & x & PQ A ládábn levô virágföld csonkgúl lkot vesz fel, lsó négyzetlpjánk oldl cm, felsôé 0 65 66 7, cm V csonkgúl mbt+ Tt + tl 50 7, 7, $ $ c + $ + m 79 79, 7 cm 0, 079 m A föld tömege: 0,079 $ 00 á, 7 kg Poliéderek, szbályos testek 90 Legyen z 90 ábrák jelöléseivel kock éle, z EI szksz felezôpontj P! FP HP, mert egy-egy oldlú szbályos háromszög súlyvonli FH, mert egy oldlú négyzet átlój A gúl két oldllpjánk szöge: sin { & { á 09,7 A kock 90/I 90/ 90/I
76 Poliéderek, szbályos testek 905 egy élére illeszkedô két szbályos háromszög lpszöge, zz IQJ kiszámítás: cos f & f á 5,7 &IQJ f + 90 + f á 99,7 Y { A keletkezett test szomszédos lpji különbözô szögeket zárnk be & Nem szbályos test 905 Legyen kock élhossz A kock bármely két szomszédos lpközéppontjánk távolság egyenlô kock egy lpátlójánk felével Például z 905 ábr jelöléseivel QR AC, mert QR középvonl z ACF háromszögnek A keletkezett test minden éle hosszúságú & lpji egybevágó szbályos háromszögekapqrs egyenlô oldlú négyszög, tehát rombusz PR, illetve QS átlój párhuzmos és egyenlô kock AB, illetve BC élével & átlói egyenlô hosszúk & PQRS négyszög négyzet Hsonlón QUST és PURT négyszög is négyzet A PQRSTU test egy csúcsból induló négy éle egy-egy egybevágó négyzet lpú szbályos gúl négy oldléle & szögletei egybevágók A kock lpközéppontji egy szbályos test (egy szbályos oktéder) csúcsi 906 A kock középpontjár szimmetrikus mindhárom test Az oktéder lpközéppontji z oldllp szbályos háromszögek súlypontji Vetítsük z O középpontból PUQ lp Al középpontját kock felületére! A súlypont hrmdoló tuljdonság mitt z Al pont z A pontb kerül, vetítés pedig egy O középpontú ml rányú középpontos hsonlóság Ezt bármelyik lpközépponttl megismételhetjük Az oktéder lpközéppontji tehát egy olyn kock csúcsi, mely z eredetinek O középpontú, m rányú hsonlósággl nyert képe 907 A szbályos tetrédert szármztthtjuk egy kockából úgy, hogy tetréder élei kock lpátlói legyenek A tetréder élfelezô pontji egyben kock lpközéppontji is Az 905 feldtbn bizonyítottk szerint szbályos tetréder élfelezô pontji egy szbályos oktéder csúcsi 906 907
Poliéderek, szbályos testek 77 908 A két tetréder élei felezôpontjukbn metszik egymást A metszéspontok kock lpközéppontji, melyek z 905 feldtbn bizonyítottk szerint egy szbályos oktéder csúcsi 909 Az 905 feldtbn láttuk, hogy szbályos oktéder elhelyezhetô egy kockábn úgy, hogy z oktéder csúcsi kock lpközéppontji & Az oktéder testátlói kock két szemközti lpjánk középpontjit összekötô szkszok & A testátlók párhuzmosk kock egy csúcsból induló éleivel, melyek páronként merôlegesek egymásr & Az oktéder testátlói merôlegesek egymásr 90 Az 906 feldtbn beláttuk, hogy szbályos oktéder lpközéppontji kockát htároznk meg Az 908 oktéder lpjit kock három-három egymáshoz cstlkozó lpátlój síkjávl párhuzmos síkok htározzák meg H egy kock minden csúcsán át szomszédos három csúcs áltl kifeszített síkkl párhuzmosn felveszünk egy síkot, éppen fent említett szbályos oktéderhez jutunk 9 Legyenek z I, J, K, L, M, N pontok z oktéder élfelezô pontji Az oktéder PUQ lpj középvonl-háromszög z EBD háromszögben, SRT lpj pedig középvonl-háromszög CFH háromszögben [EBD] ; [CFH] & [PUQ] i [SRT] Mivel IJ középvonl PQT három- szögnek, z IJ szksz benne vn [PUQ] és z [SRT] középpárhuzmos síkjábn és IJ PQ Hsonlón beláthtó, hogy JK, KL, LM, MN, NI szkszok is ebben síkbn vnnk, és hosszuk z oktéder élhosszánk fele & Az IJKLMN egy síkbeli egyenlô oldlú htszög IJ ipq idb és JK itr ich ibe & DBE és IJK párhuzmos szárú szögek, vlmint JK és BE száruk ellentétes irányú & IJK 80-60 0 Hsonlón igzolhtó, hogy z IJKLMN sokszög minden szöge egyenlô Az láhúzottkból következik, hogy z oktéder IJKLMN síkmetszete egy szbályos htszög 9 Egy dott élû kockából szármztssuk BGDE szbályos tetrédert és PQRSTU szbályos oktédert z 905 és z 907 feldtbn ismertetett módon A tetréder élei lpátlók, hosszuk Az oktéder csúcsi lpközéppontok, egyben tetréder élfelezô pontji, 90 9 9
78 Poliéderek, szbályos testek 9 9 ezért z oktéder élhossz A tetréderbôl z élfelezô pontok négy egybevágó élhosszúságú szbályos tetrédert vágnk le, PQTE, RSTG, PUSD, URQB testeket E négy tetréderbôl és z oktéderbôl kívánt módon összeállíthtó kétszeres élû DBGE szbályos tetréder 9 Az oktéder egy csúcs, zzl szomszédos négy élfelezô pontj és középpontj fele kkor élû, z eredetihez hsonló szbályos oktédert htároz meg Az oktéder mind ht csúcsánál levághtunk ilyen egybevágó, élû oktédert Így z eredeti oktédernek mind nyolc lpján megmrd középvonl háromszög, s hhoz kpcsolódv egy-egy élû szbályos tetréderrel kitölthetô z élû oktéder Tehát ht drb élû szbályos oktéderbôl és nyolc drb élû szbályos tetréderbôl összeállíthtó egy élû szbályos oktéder 9 A két tetréder közös része egy szbályos oktéder, PQRSTU test Ennek éléhez illeszkednek kimrdt részek, z EAQP tetréderrel egybevágó testek Az EAQP test AU vektorrl vló eltoltj TURS test & EAQP, TURS TURS éppen negyede PQRSTU szbályos oktédernek & A kimrdó részbôl drb szbályos oktéder állíthtó össze, melyek mindegyike egybevágó két tetréder közös részével, PQRSTU oktéderrel 95 Az 9 feldtbn láttuk, hogy egy élû kockáb beírt két tetréder nyolc drb élû szbályos tetrédert, egy élû szbályos oktédert és tizenkét drb élû szbályos oktéder-negyedet htároz meg Rkjuk ki kockákkl teret, ez lehetséges Bontsunk fel minden kockát fentiekben megdott módon! Így közös élben tlálkozó négy kockábn egymáshoz cstlkoznk szbályos oktéder-negyedek & Kitölthetô tér egyenlô élû szbályos tetréderekkel és oktéderekkel 96 Az 9 feldt megoldásábn láttuk, hogy egy kock szétdrbolhtó szbályos oktéderre, 8 szbályos tetréderre és szbályos oktéder-negyed -re Két kockábn szbályos oktéder, 6 szbályos tetréder és szbályos oktéder-negyed vn Ennyi oktéder-
Poliéderek, szbályos testek 79 99/I 99/ negyed -bôl 6 drb, z elôzôkkel egyenlô élû szbályos oktéder rkhtó össze Így összesen két kockából 8 oktéderünk és 6 tetréderünk vn Az 9, illetve z 9 feldt szerint 6 oktéderbôl és 8 tetréderbôl drb kétszeres élû szbályos oktéder, illetve oktéderbôl és 8 tetréderbôl drb kétszeres élû szbályos tetréder lesz Tehát kockát átdrbolhtjuk két szbályos tetréderbe és egy szbályos oktéderbe 97 A szbályos oktéder beírhtó egy kockáb úgy, hogy z oktéder csúcsi kock lpközéppontji A kock beírt gömbje lpközéppontokbn érinti kock lpjit Ez gömb egyben z oktéder köré írhtó gömb, melynek középpontj z oktéder és kock közös középpontj, sugr pedig z oktéder testátlójánk fele 98 A szbályos oktéder lpközéppontji olyn kockát htároznk meg, melynek testátlói merôlegesek z oktéder szemközti lppárjir Tehát kock körülírt gömbje egyúttl z oktéder beírt gömbje, melynek átmérôje kock testátlój 99 Legyen szbályos oktéder éle, meghosszbbítás b Vizsgáljuk PURT síkmetszetet! A kock éle PR ATZ szksz PR egyenesre esô merôleges vetülete KV b A PT szksz PR egyenesre esô merôleges vetülete PK & VZ PV PK + KV ( + b) A gömb sugr KZ, mert kock testátlójánk fele A KVZ derékszögû háromszögben Pitgorsz-tétel szerint: KV + VZ KZ, zz 6 J N J N J N K b O K ( + b) O K 6 O b b b + & + + + 90/I K O K O K O L P & b + b- 0 & b - b ( - b) & b b & - Tehát TZ meghosszbbítás z oktéder b élének hosszbbik rnymetszete 90 Legyen z oktéder AE és CE élének körülírt gömbbel vló metszéspontj G és H Az AC és GH szksz szimmetrikus z EF egyenesre & & GH i AC CAE 5 & EGH 5 & GEH egyenlô
80 Poliéderek, szbályos testek 90/ szárú derékszögû háromszög Tekintsük z oktéder A, F, C, E csúcsit trtlmzó síkot, mi kock köré írt gömbbôl K középpontú KG sugrú fôkört metszi ki! KG ; AK KC ; LG KT b ; GT AT + b, hiszen & ATG is egyenlô szárú derékszögû háromszög KTG derékszögû háromszögben Pitgorsz-tétel J N J bn J b szerint: GK KT + GT K, zz + + N O K O K O K O & b & b - b& b -, tehát GH távolság kock b élének hosszbbik rnymetszete Mivel LEG egyenlô szárú derékszögû, LE b, mi GH szksz távolság z ltt levô kocklptól Megjegyzés: b + b - 0 lpján b 5 - l b kiszámíthtó 9 Az 90 feldtbn láttuk, hogy z élû kockából megdott szármzttássl kpott Z, Y pontokr ZY ide; GC ZY b, hol b + b - 0 ) DE imn & ZY imn & & MZYN síkbeli négyszög és trpéz Be kell látnunk, hogy z X pont is z MZYN trpéz síkjábn vn Ehhez elegendô zt megmuttni, hogy X, F és G pontok egy egyenesen vnnk Vizsgáljuk z A, C, B pontokt trtlmzó síkot! XXl b ; FC ; XF l - b b ; CG ; XXl b XF ; l b b b - ; - XXl XF l + b + b - 0 & & XXlF + FCG, FC CG b b FC CG mert két-két oldluk rány és z zok áltl közrezárt szögük egyenlô & megfelelô szögeik egyenlôk Például XXF l CFG & X, F, G egy egyenesen vn b) A szármzttásból következik, hogy z M, Z, Y, N, X pontok kock köré írhtó gömb pontji Mivel egy síkbn vnnk, és gömb síkmetszetei körök & MZYNX húrsokszög c) A szármzttás szerint MX MZ NX NY Pitgorsz-tétel z XlXF derékszögû háromszögben: XF XX + X F + - N J bn J b b b l l - + K O K O Pitgorsz-tétel z MFX derékszögû háromszögben: MX MF + XF + - + - + K O J N b b b b Az ) pontbn kpott b + b - 0 összefüggést felhsználv MX b dódik & MX b & Az MZYNX ötszög oldli egyenlôk Az elôzô pontbn beláttuk, hogy ez z ötszög körbe írhtó & & Szbályos ötszög csúcsi vizsgált pontok 9 Az 9 feldt megoldásábn láttuk, hogy z élû kockából megdott módon szármzttott pont, vlmint kock 8 csúcs rjt vn kock köré írt gömbön, és megfelelô
Poliéderek, szbályos testek 8 9 95/I 95/ pontok drb egybevágó szbályos ötszöget lkotnk & A test drb olyn egybevágó szbályos ötszög lpú gúlár bonthtó, melyeknek oldlélei egyenlôk, s ezek z oldlélek kock köré írt gömb sugri & A test szöglete egybevágó A test szbályos tizenkétlpú test, vgyis dodekéder 9 A dodekédert z 9 feldtbn leírt módon szármztthtjuk & A dodekéder 8 megfelelô csúcs éppen egy beírt kock csúcsit dj meg A kock éle egyenlô dodekéder egy lpátlójávl, és beírt kock egy éle párhuzmos dodekéder két szemközti élével Egy szbályos ötszöglp minden átlójához illeszthetô beírt kock & 5 különbözô helyzetû, egybevágó kock írhtó dodekéderbe 9 A dodekéder lpközéppontj egy csúcsú testet htároz meg Mivel dodekéder szbályos test, lpszögei, megfelelô hosszúságdti egyenlôk & A keletkezett test minden élének hossz egyenlô z FGH egyenlô szárú háromszög lpjánk hosszávl, hol F és H két szomszédos lpközéppont, G pedig e lpok közös élének felezéspontj & A test lpji szbályos háromszögek A dodekéder bármely lpközéppontj hozzá cstlkozó szomszédos lpok középpontjivl szbályos ötoldlú gúlát htároz meg A kiszemelt lpközéppontnál gúl élszögei egyenlôk Tehát szbályos dodekéder lpközéppontji csúcsú szbályos testet, zz szbályos ikozédert htároznk meg 95 ) A szbályos dodekéder két szemközti párhuzmos lpjánk középpontját összekötô szksz felezô merôleges síkj tízszögben metszi dodekédert A tízszög csúcsi élfelezô pontok, tízszög oldlánk hossz felekkor, mint dodekéder lpátlój & Atízszög egyenlô oldlú sokszög A tízszög csúcsi egyenlô távol vnnk dodekéder körülírt gömbjének középpontjától, hiszen ez távolság egyenlô dodekéder egy éle és gömb középpontj áltl meghtározott egyenlô szárú háromszög lphoz trtozó mgsságávl & A tízszög csúcsi egy körön vnnk A körbe írhtó egyenlô oldlú tízszög szbályos b) A szbályos ikozéder két átellenes csúcsát összekötô szksz felezô merôleges síkj tízszögben metszi z ikozédert A 96 tízszög csúcsi élfelezô pontok, és tízszög oldl felekkor, mint z ikozéder éle & A tízszög egyenlô oldlú sokszög A tízszög csúcsi egyenlô távol vnnk z ikozéder körülírt gömbjének középpontjától, hiszen ez távolság egyenlô z ikozéder egy éle és gömb középpontj áltl meghtározott egyenlô szárú háromszög lphoz trtozó mgsságávl & A tízszög csúcsi egy körön vnnk A körbe írhtó egyenlô oldlú tízszög szbályos 96 Aszbályos ikozéder 0 lpközéppontj 0 csúcsú testet htároz meg Mivel z ikozéder szbályos test, lpszögei és megfelelô hosszúságdti egyenlôk & A keletkezett
8 Poliéderek, szbályos testek 97 99/I 99/ test minden élének hossz egyenlô z FGH egyenlô szárú háromszög lpjánk hosszávl, hol F és H két szomszédos lp középpontj, G pedig e lpok közös élének felezéspontj Az ikozéder bármely lpközéppontj hozzá cstlkozó szomszédos lpok középpontjivl szbályos háromoldlú gúlát htároz meg A kiszemelt lpközéppontnál gúl élszögei egyenlôk Tehát szbályos ikozéder lpközéppontji 0 csúcsú szbályos testet, zz szbályos dodekédert htároznk meg 97 Mivel szbályos dodekéder forgásszimmetrikus két átellenes lpközéppontján átmenô egyenes körüli 7 -os elforgtásr, megdott élek ezen z egyenesen metszik egymást 98 Tekintsük szbályos dodekéder egy lpjánk csúcsib érkezô zon éleket, mik nem illeszkednek e lp síkjár Az 97 feldtbn láttuk, hogy ez z öt egyenes egy ponton megy át Ez metszéspont rjt vn z dott lp középpontját dodekéder középpontjávl összekötô egyenesen A dodekéder szbályos test, ezért minden lphoz trtozik egy ilyen metszéspont Ezek metszéspontok egyenlô távol vnnk dodekéder középpontjától, ezért dodekéder lpközéppontjink középpontos hsonlósággl nyerhetô képei ( hsonlóság középpontj szbályos dodekéder köré írt gömbjének középpontj) Az 9 feldtbn láttuk, hogy szbályos dodekéder lpközéppontji szbályos ikozéder csúcsi & A feldt feltételeinek megfelelô öt-öt él metszéspontji is egy szbályos ikozéder csúcsi 99 A szbályos testek egy-egy hálóját ábrázoltuk A szbályos tetréder hálój: 99/I ábr A kock hálój: 99/ ábr A szbályos oktéder hálój: 99/I ábr A szbályos ikozéder hálój: 99/IV ábr A szbályos dodekéder hálój: 99/V ábr 90 Tekintsük z 905 ábrát, legyen AB x, QR! A szbályos oktédert beírhtjuk egy kockáb úgy, hogy z oktéder csúcsi kock lpközéppontji Az oktéder éle felekkor, mint kock lpátlój Az ACF háromszögben QR szksz középvonl & QR AC és AC x Az oktéder két szemközti élének távolság felezéspontokt összekötô 99/I 99/IV 99/V
Poliéderek, szbályos testek 8 9 9/I 9/ szksz hossz, mi egyenlô z oktéder élhosszávl & d Az oktéder testátlój QS x 9 FT, mert TUF szbályos háromszög mgsság TU, mert egy oldlú négyzet átlój TZ { TZ, mert Z TU szksz felezéspontj sin TF & { 09, 7 két szomszédos lp szöge 9 9 EV középvonl z RTK háromszögben & EV TK VZ irq és V negyedelôpont & Z negyedelôpont PQ szkszon & ZQ, VZ és FZ - Pitgorsz-tétel z FZV derékszögû háromszögben: FV FZ + VZ FV 9 5 + & FV 6 6 8 Pitgorsz-tétel z FVE derékszögû háromszögben: 9/I 5 FE FV + EV FE + & FE 8 6 9 Az oldlú szbályos oktéder köré írhtó gömb átmérôje z oldlú négyzet átlój r PK PR & Az oktéder köré írt gömb sugr r 9 Tekintsük z E, F felezéspontokon átmenô és T, U csúcsokt trtlmzó síkmetszetet!