10. Exponenciális rendszerek



Hasonló dokumentumok
6. Előadás: Sorbanállási modellek, III.

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés)

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

Gyakorló feladatok Alkalmazott Operációkutatás vizsgára. További. 1. Oldja meg grafikusan az alábbi feladatokat mindhárom célfüggvény esetén!

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Sztochasztikus folyamatok feladatgy jtemény

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)

Gyakorló feladatok a Termelésszervezés tárgyhoz MBA mesterszak

NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

4. Előadás: Sorbanállási modellek, I.

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Régebbi Matek M1 zh-k. sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos feladatai.

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

Fizika A2E, 9. feladatsor

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt

SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS FELADATOK

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.

VERESEGYHÁZ AUTÓ BIZTOSÍTÁS - CASCO STATISZTIKAI ADATAI 2012

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / május a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

i p i p 0 p 1 p 2... i p i

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Szélsőérték feladatok megoldása


Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

BIZTONSÁGOSAN KÖZLEKEDNI EGY ÉLETÚTON

Geometriai valo szí nű se g

Egészrészes feladatok

Villamos autókból álló taxi flotta számára létesítendő töltőállomások modellezése

CALL CENTEREK HATÉKONYSÁGI VIZSGÁLATAI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

Feladatok és megoldások a 13. hétre

Mintapélda1 Hányféleképpen állhatnak sorba egy bolt pénztáránál a vásárlók, ha 3-an, 4-en, 5-en, k-an vannak?

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

7. 17 éves 2 pont Összesen: 2 pont

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

Függvények Megoldások

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Makroökonómia I. segédanyag február

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA május-június EMELT SZINT. Vizsgafejlesztő Központ

12. előadás - Markov-láncok I.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

b. Ha R16-os felnit és 55-ös oldalfalmagasságot választunk, akkor legfeljebb mennyi lehet a gumi szélessége? (10 pont) MEGOLDÁS:

Gyakorlat. Szokol Patricia. September 24, 2018

Közlekedési áramlatok MSc. Csomóponti-, útvonali eljutási lehetőségek minősítése

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Közlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta

Minimális fluidizációs gázsebesség mérése

0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat

Teljesítménymodellezés

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: június 8.

Próba érettségi feladatsor április 11. I. RÉSZ

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

4,5 1,5 cm. Ezek alapján 8 és 1,5 cm lesz.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

7. A Poisson folyamat

MINDEN FELADATOT A FELADATOT TARTALMAZÓ LAPON OLD- JONMEG!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 2 1 = 217.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

Számítógépes Hálózatok. 4. gyakorlat

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

A 2013/2014 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló javítási-értékelési útmutató. INFORMATIKA II. (programozás) kategória

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

8. Előadás: Szimuláció, I.

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

SOROZATOK- MÉRTANI SOROZAT

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

1. Lineáris differenciaegyenletek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

Korreláció és lineáris regresszió

Átírás:

1 Exponenciális rendszerek 1 Egy boltba exponenciális időközökkel átlagosan percenként érkeznek a vevők két eladó, ndrás és éla, átlagosan 1 illetve 6 vevőt tud óránként kiszolgálni mennyiben egy vevő érkezésekor a rendszer üres, őt az esetek felében ndrás, másik felében éla szolgálja ki a Felrobban-e a rendszer? z időnek mekkora hányadában dolgozik ndrás és éla? b bolt tulajdonosa összesen 3 forint órabért fizet a két alkalmazottnak, melyet a kiszolgált vevők számának arányában osztanak el Mennyit kap ndrás és mennyit éla? c Tegyük fel, hogy a két eladó nem egy üzlethelységben, hanem a város két különböző pontján fogadja a vevőket Felrobban-e a rendszer, ha a kuncsaftok 1/ 1/ valószínűséggel választják a két üzlethelységet? a vevők érkezési intenzitása = 15, a kiszolgálási intenzitások = 1 és = 6, legyen továbbá = + = 16 Jelölje 1 valamint 1 azt az állapotot, mikor egy vevő van a boltban, és őt ndrás illetve éla szolgálja ki z intenzitási diagramm: / 1 / 3 1 rendszer nem robban fel, ugyanis nagy (n 3) rendszerméret esetén ez egy egyszerveres exponenciális sorbanállási modell, melyben a kiszolgálási intenzitás nagyobb, mint a érkezési intenzitás z intenzitási egyenletek: : 1 : 1 : : 3 : : π 1 + π 1 = (/)π + (/)π π + (/)π = π 1 + π 1 π + (/)π = π 1 + π 1 π 3 + π 1 + π 1 = π + π + π π + π = π 3 + π 3 π 5 + π 3 = π + π Legyen π 1 = π 1 + π 1 ekkor az első három egyenletet összeadva π = π 1, amiből π 1 = π 1

második és a harmadik egyenletből π 1 -t illetve π 1 -t kifejezve π 1 = π + (/)π +, π 1 = π + (/)π + Ezeket az első egyenletbe helyettesítve és a π változót kifejezve π = ( + + ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) π = T π = 533π negyedik egyenlet rendezése és behelyettesítés után π 3 = π + π ] π 1 = π 3 állapottól kezdve a rendszer egy egyszerveres sorbanállási modell, vagyis a szokásos módszerrel ( ) π ( ) 3π ( ) n π π =, π 5 =,, π n =, n Tehát 1 = π + π 1 + π + π 3 + π + = = T + + 1 1 / Visszahelyettesítés után T + + 1 + ( ) ] + + π ] π = 176π, amiből π = 57 π = 3, π 1 = 3, π 1 = 38, π n = 9375 n 57, n ndrás az időnek π = 1 (π +π 1 ) = 93, éla π = 1 (π +π 1 ) = 97 részében dolgozik b ndrás egy órából π időt dolgozik, vagyis átlagosan π = 93 vevőt szolgál ki Ez az érték élánál π = 568 Természetesen 93 + 568 = 15 az óránként betérő vevők átlagos száma pénzt 93 : 568 arányban osztják el, tehát ndrásnak 186, élának pedig 1136 forint jár c Mivel a vevők = 15 intenzitású Poisson folyamatot alkotnak, és az egyes vevők lényegében pénzfeldobással választanak a két üzlethelység között, az eredeti Poisson folyamat p = 1/ valószínűség szerinti ernoulli felbontását kapjuk, vagyis az egyes üzletekbe érkező vevők független Poisson folyamatokat alkotnak mindkét esetben = p = 75 intenzitással Mivel a vevők a két üzletbe függetlenül érkeznek, és ndrás és éla kiszolgálási ideje sincs hatással egymásra, két teljesen független egyszerveres sorbanállási folyamatot kapunk ndrás = 1 kiszolgálási intenzitása nagyobb, mint a = 75 érkezési intenzitás, tehát ő bírni fogja a vevők rohamát Ezzel szemben éla rendszere felrobban, hiszen az ő kiszolgálási intentiztása csak = 6

Egy ügyfélszolgálati irodában ablak van, melyek 1 perc várható értékű exponenciális eloszlás szerint szolgálják ki az ügyfeleket z ügyfelek exponenciális időközökkel érkeznek, óránként átlagosan 6 Sajnos az ablakok olyan módon vannak kialakítva, hogy az ablaktól csak akkor tud az ügyfél távozni, ha senki sem áll a ablaknál, vagy esetleg éppen távozik valaki a ablaktól ablak forgalma nincs akadályozva z iroda mérete végtelen, és ha csak egy ügyfél van a rendszerben, őt az ablakhoz hívják Ábrázoljuk az intenzitási diagrammot Óránként hány ügyfelet tud kiszolgálni a két ablak együttesen? Felrobban-e a rendszer? z ügyfelek = 6 intenzitással érkeznek, az egyes ablakok = 5 intenzitással intézik az ügyeket diagramm: 1 3 3 Egy utazási irodában egy alkalmazott dolgozik Ha érkezik egy érdeklődő, akkor 1 perc várható értékű exponenciális ideig tart, amíg az érdeklődő elmondja, hogy mit szeretne, és várható értékű exponenciális ideig tart, amíg az alkalmazott elkészíti számára az ajánlatot z ajánlatkészítés után az érdeklődő távozik (z igény előadásához szükséges idő és az ajánlatkészítéshez szükséges idő egymástól függetlenek) potenciális érdeklődők 1 intenzitású Poisson folyamat szerint érkeznek a Ábrázoljuk a rendszer intenzitási diagrammját b Tegyük fel, hogy egy érdeklődő csak akkor tér be, ha nincs másik vevő az irodában Óránként átlagosan hányan jönnek be? a Legyen = 1 az érdeklődők érkezési intenzitása, = 1 a vevők kérésének intenzitása, végük = 15 az ajánlat elkészítésének intenzitása Jelölje n és n azt az állapotot, hogy a rendszerben n 1 ügyfél tartózkodik, és a kiszolgálás az első illetve a második fázisban tart 1 3 1 3 Egy utcai cipőpucoló órákban számolva n = és = paraméteres Erlang eloszlású idő alatt teszi rendbe a kuncsaftok cipőjét cipőpucoló először 3

letisztítja, majd kifényesíti a cipőket Mindkét munkafázis 3 perc várható értékű exponenciális ideig tart, így jön ki a teljes kiszolgálásra a fenti Erlang eloszlás Tegyük fel, hogy óránként 15 potenciális kuncsaft érkezik, de egy vendég csak akkor fog megállni, ha a rendszer üres, vagy ha előtte csak egy ember van a rendszerben, akinek már fényesítik a cipőjét z időnek mekkora hányadában dolgozik a cipőtisztító? Óránként hány embert tud kiszolgálni? 5 Egy fodrászatban egy mester dolgozik, és óránként 3 vendég érkezik Egy hajmosás átlagosan 5 percig, egy hajvágás 15 percig tart (Férfi fodrászatról van szó) mester mindenkinek levágja a haját, de előtte mosást csak a vendégek negyede két a Ábrázoljuk meg a rendszer intenzitási diagrammját Óránként átlagosan hány vendéget szólgál ki a mester? Felrobban-e a rendszer? b Tegyük fel, hogy egy új vendég csak akkor tér be a fodrászatba, ha előtte nincsen várakozó, tehát legfeljebb egy vendég van a rendszerben Óránként hány kuncsaftot szolgál ki a mester? a Legyen = 3 a vendégek érkezési intenzitása, = 1 és = mosás illetve a hajvágás intenzitása Jelölje továbbá n és n azt az állapotot, hogy a rendszerben n kuncsaft található, és a mester az első illetve a második munkafázist végzi z intenzitási diagramm: 1 3 3 1 3 3 3 3 Egy vendég kiszolgálási idejének várható értéke 15 + 1/ 5 = 165 perc, ami kevesebb, mint a kuncsaftok perces érkezési időköze Tehát a rendszer stabil 6 Tekintsünk egy női fodrászt, aki hajfestéssel foglalkozik Egy festés átlagosan 15 percig tart, de a vendégnek attól függetlenül, hogy már hányat próbált ki, 5 százalék valószínűséggel nem tetszik a kapott szín, és új festést kér Óránként 3 vendég érkezik Ábrázoljuk az intenzitási diagrammot Óránként átlagosan hány hölgyet szolgálnak ki? Felrobban-e a rendszer? Legyen = 3 és = 3 1 3/ / / / / 3/ 3/ 3 3/ 3/

7 Egy tigris idejét alvással, vadászattal és evéssel tölti Minden tevékenység időtartama exponenciális eloszlást követ, átlagosan 5 órát alszik, órán át vadászik és 1 órán keresztül eszik z időnek mekkora arányában alszik, ha a mindig betartja az alvás vadászat evés sorrendet? b egy-egy táplálkozás után rendre 5 valószínűszínűséggel marad élelme, így a következő alkalommal nem kell elmennie vadászni? c egy frissen elfogott zsákmányból 5 valószínűszínűséggel marad élelme, de ezt akkor a következő alkalommal mind megeszi? Legyen = 1/5 az alvás, V = 1/ a vadászat, végül E = 1 az evés intenzitása Jelölje továbbá, V és E azt az állapotot, hogy a vizsgált pillanatban a tigris alszik vadászik illetve eszik a z intenzitási diagramm és az intenzitási egyenletek: E E V V E π E = π π = V π V V π V = E π E z első két egyenletből 1 = π + π V + π E = 1 + + ] π = 8 V E 5 π, vagyis a kérdéses időarány π = 65 z eredmény az időtartamok hosszának várható értékéből is kijött volna, hiszen 5/(5 + + 1) = 65 8 ferihegyi repülőtérről 1 fős kisbusszokkal is be lehet jutni a városba z utasok átlagosan 3 percenként érkeznek, és egy járat akkor indul, mikor tele van a busz Feltéve, hogy mindig van szabad busz, adjuk meg az indulásra váró utasok átlagos számát, illetve az átlagos várakozási időt 5